Performances Des Systemes Boucles

Sciences de lingnieur

performancesBO-BF Lyce Jacques AmyotAuxerre 29/11/2004 Page 1 sur 5

PERFORMANCES DES SYSTEMES BOUCLES.

I ETUDE DUN PREMIER ORDRE :

1) En boucle ouverte :

La forme canonique de HO(p) est :

o :x Ko est le gain statique de la chane directe (ou gain statique en boucle ouverte),x W o est la constante de temps de la chane directe (constante de temps de la boucle

ouverte).

Evaluation de la rapidit du systme :

Cette valuation se fait par lintermdiaire du calcul de t 5%. Ici : t 5% = 3. W o

Evaluation de lerreur statique du systme pour une entre chelon unitaire :

Cette valuation se fait par lintermdiaire du calcul de Hs(t) : fo H

ttstets ))()(lim()(

Daprs le thorme de la valeur finale on peut calculer Hs(t) grce : 0ppSpEpts

o H ))()(.(lim)(

On trouve : Hs(t) = 1-KoKo tant positif alors : f d dHs t( ) 1

2) En boucle ferme :

Exprimons HF(p)en fonction des paramtres de Ho(p) :

)()()(pH1

pHpHo

OF

soit

p1K1

p1K

pH

0

O

0

O

F

.

.)(W

W , soit en rduisant :pK1

KpH00

OF

.

)(W

En mettant HF(p) sous forme canonique il vient : p

K11

K1K

pH

O

0

O

O

F.

)(W

On pose :

x0

0F K1

KK

o KF est appel le gain statique du systme boucl,

x0

0F K1

W W o W F est appel la constante de temps du systme boucl

Finalement on peut crire : p1

KpHF

FF

.

)(W

p1KpH

o

oo

.

)( W

HO(p)E(p) S(p)

HO(p)E(p) S(p)

HF(p)E(p) S(p)

=+-




Cette valuation se fait par lintermdiaire du calcul de t 5%. Ici : t 5% = 3. W F soit

0

05 K1

3tW .%

Evaluation de lerreur statique du systme pour une entre chelon unitaire :

Cette valuation se fait par lintermdiaire du calcul de Hs(t) :

fo H

ttstets ))()(lim()(

Daprs le thorme de la valeur finale on peut calculer Hs(t) grce :

0ppSpEpts

o H ))()(.(lim)(

On trouve : o

s K11t

H )(

Ko tant positif alors : 0 1d dHs t( )3) Reprsentation graphique de s(t) dans les cas B.O. et B.F. :

Ces tracs sont raliss pour une entre chelon unitaire, avec K0 = 2 et W 0=1s. Dans le cas de la boucle ferme le retour est considr comme unitaire.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10-0.25 0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75 6.25 6.75 7.25 7.75 8.25 8.75 9.25 9.75 10.25

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

-0.15

-0.05

0.05

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

1.05

1.15

1.25

1.35

1.45

1.55

1.65

1.75

1.85

1.95

2.05

2.15

FTBF 1ER ORDRE

FTBO 1ER ORDRE

Echelon unitaire



4) Conclusions :Le bouclage na pas modifi lordre du systme,Le bouclage a modifi le gain du systme : KF




Grce labaque du temps de rponse rduit utilisable pour les systmes du second ordre ci-dessous, on value dans les deux cas tr.Zn:

On peut lire sur labaque :

Ce qui conduit aux rponses suivantes :

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.20.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7 3.9 4.1 4.3 4.5 4.7 4.9 5.1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

2.9

3.1

3.3

En boucle ouverte :

tr.Zno # 3 donc tr 5% # 1.5 s

En boucle ferme :

tr.ZnF # 8 donc tr 5% # 2 s

tr.Zn

Coefficient damortissement a

FTBF 2me ORDRE

FTBO 2me ORDRE

Echelon unitaire



4) Conclusion :Le systme boucl est donc aussi un systme du second ordre, aF est infrieur ao. Or, pour un systme du second ordre, cest pour un facteur damortissement de 0,7 que le temps de rponse est minimum. Aussi, si ao est suprieur 0.7, le bouclage peut amliorer le temps de rponse, par contre si ao est dj infrieur 0.7, le bouclage conduit augmenter le temps de rponse 5%.

III INFLUENCE DU GAIN SUR LE COMPORTEMENT TEMPOREL :

Les tudes temporelles menes ci -dessus montre limportance du gain de la chane directe dans ltablissement des performances dun systme boucl. Cest la raison de la prsence, dans la chane directe aprs le comparateur, dun gain variable KV que lon pourra ajuster aux performances attendues du systme. Ce qui donne le schma bloc de la figure ci-dessus.

Il est important de ne pas confondre le gain statique Ko de Ho(p), qui est structurel (pour le modifier il faut modifier la structure du processus commander) avec le gain variable KV, qui est introduit dans la chane directe.

Nota : Les rsultats prcdents sont transfrables cette tude en remplaant le gain de la chane directe par le produit du gain structurel Ko et du gain variable (ajustable) KV.

IV CONCLUSION :

Par rapport aux trois critres de performance : la prcision, la rapidit et les dpassements, on remarque que linfluence dun gain KV est positive pour la prcision et la rapidit, ce qui semble conduire rechercher un gain maximum.Outre que pour un systme du second ordre une valeur trop importante du gain peut conduire des dpassements nfastes, on constate par ailleurs que ce choix mne aussi vers linstabilit. Aussi lors du rglage, il faut toujours rechercher le gain minimum qui permet dassurer les performances temporelles souhaites.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.30.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 1.05 1.15 1.25 1.35 1.45 1.55 1.65 1.75 1.85 1.95 2.05 2.15 2.25

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

-0.075

-0.025

0.025

0.075

0.125

0.175

0.225

0.275

0.325

0.375

0.425

0.475

0.525

0.575

0.625

0.675

0.725

0.775

0.825

0.875

0.925

0.975

1.025

1.075

HO(p)S(p)E(p)

KV

Kv KF t5% (s)1 0.75 45 0.9375 0.8810 0.9677 0.3615 0.9782 0.2620 0.9836 0.31

KV =1

KV =5

KV =10

KV =20

KV =15

Etude ralise avec a0=5,Z n0=2 rad/s et K0=3

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