philosophe et mathématicien grec, aPythagore,

établi la relation suivante dans les

triangles rectangles.

Pythagore de Samos est né a Samos en 580 avant Jésus-Christ et est décède en Italie en 500 avant Jésus-Christ. C‘était un philosophe grec qui a beaucoup contribue a faire avancer les mathématiques, l'astronomie et la musique.

Connaissances antérieures

1. Aire d’un carré(ou le carré d’un nombre)

La formule de l'aire d'un carre ayant une base de C unités et une hauteur de C unités sera C × C qui donnera :

A = C2

Aire = C × C

2. La racine carrée d’un nombre :

La relation de PythagoreTriangle rectangle :Un triangle est rectangle lorsque

l’un des angles du triangle mesure 90°.

Rappel : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est toujours de 180°.

Il est important de noter que le théorème de Pythagorefonctionne uniquement dans un triangle rectangle.

a

b

c

Cathètes

Hypoténuse

B

AC

Remarque : L’hypoténuse est toujours en face de l’angle de 900.

Cathètes : Ce sont les deux côtés du triangle formant l’angle droit.

Hypoténuse : C’est le côté opposé à l’angle droit. L’hypoténuse est le plus long des trois côtés du triangle.

* La valeur de l'hypotenuse est toujours plus grande que la valeur des cathetes.

3

4

5

Avec un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités,

on construit des carrés avec chacun des côtés.

On constate que la somme des aires des deux carrés formés avec les cathètes est égale à l’aire du carré formé avec l’hypoténuse.

On calcule l’aire de chacun.9

16

25

9 + 16 = 25

32 + 42 = 52soit

a

b

ca2

b2

c2

En remplaçant par des lettres

Relation de Pythagore :

Le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes.

c2 = a2 + b2

a

b

c

c2 = a2 + b2

Si on cherche la mesure de l’hypoténuse ( le plus long côté ) :

Si on cherche la mesure d’une cathète :

a2 = c2 - b2

b2 = c2 - a2

Attention: Une fois le calcul terminé, il faut extraire la racine carrée de la réponse.

Exemples d’application :

Trouve les mesures manquantes dans les triangles suivants:

c2 = a2 + b2

c2 = 32 + 42

c2 = 9 + 16

c2 = 25

c = 5

Réponse: La mesure manquante est de 5 unités ou 5u.

Ici, on cherche l’hypoténuse.

a

b

c

1)

3

4

?

33,15 cm

2) A

B

C

18,42 cm

?

b2 = c2 - a2

b2 = 33,152 - 18,422

b2 = 1098,9225 - 339,2964

b2 = 759,6261

b ≈ 27,5613

Réponse: m AC ≈ 27,56 cm

Ici, on cherche une cathète.

a

b

c

Comment vérifier si un triangle est rectangle en connaissant uniquement la mesure des trois côtés?

Par la relation de Pythagore.

Exemple : À partir des mesures données, vérifie si les triangles forment un triangle rectangle.

1) 11cm, 61cm, 60cm 2) 63dm, 33dm, 56dm

Hypoténuse

c2 = a2 + b2

612 = 112 + 602

3721 = 121 + 36003721 = 3721

c2 = a2 + b2

632 = 332 + 562

3969 = 1089 + 31363969 ≠ 4225

Réponse : Le triangle 1) est un triangle rectangle.

Remarque : B

AC b

acLa relation de Pythagore peut

s’écrire

soit c2 = a2 + b2

soit (m AB) = (m BC) + (m AC) 2 2 2

300

600

D

C

E

A

BCette écriture est un peu plus longue, mais plus précise pour une figure complexe.

Un triangle est rectangle seulement si le problème le mentionne ou si tu es capable de le prouver.

Remarques :

La relation de Pythagore n’est vraie que dans les triangles rectangles.

Distance entre deux points dans le plan cartésienDistance entre deux points dans le plan cartésien

1. Pour trouver la distance entre deux points dans un plan1. Pour trouver la distance entre deux points dans un plan

cartésien, il faut regarder la graduation des axes.cartésien, il faut regarder la graduation des axes.

2. Par la suite, il faut former un triangle rectangle à partir des 22. Par la suite, il faut former un triangle rectangle à partir des 2

points.points.

3. Il suffit d’appliquer la formule de Pythagore pour trouver la3. Il suffit d’appliquer la formule de Pythagore pour trouver la

distance entre les deux points. Cette distance sera l’hypoténusedistance entre les deux points. Cette distance sera l’hypoténuse

3

5