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Page 1/4 Nom : Prénom : Section : Physique Générale C 11P090 – 1 février 2010 à 8h30 - Indiquez vos Nom, Prénom et Section sur toutes les feuilles. - Précision demandée : 1-10%. - N’oubliez pas d’indiquer les unités. - Vous devez obtenir 6 points pour réussir la note maximale de 6. - Durée de l’examen : 3h00. - Conseils : Résolvez les problèmes le plus possible algébriquement avant d’insérer les valeurs numériques. QCM : (répondez directement sur le présent énoncé aux cinq questions, chaque QCM n’a qu’une bonne réponse qui vaut 0.2 points) 1. Un fluide parfait s’écoule de manière uniforme dans un tuyau souple de section constante A. Que se passe-t-il à l’endroit où vous réduisez la section du tuyau de moitié en l’écrasant avec vos doigts ? a. Le fluide s’écoule moins vite et la pression augmente. b. Le fluide s’écoule moins vite et la pression diminue. c. Le fluide s’écoule plus vite et la pression augmente. d. Le fluide s’écoule plus vite et la pression diminue. e. Il ne se passe rien en vertu de l’équation de continuité. 2. Dans une collision parfaitement élastique entre deux mobiles : a. L’énergie cinétique de chaque mobile est conservée. b. La somme des énergies cinétiques des deux mobiles est conservée c. Seule la quantité de mouvement totale est conservée. d. Il n’y a pas de transfert d’énergie cinétique entre les deux mobiles. 3. Vous lancez deux cylindres de même masse et de même rayon sur un plan horizontal en direction d’un plan incliné. Le cylindre A roule sans glisser, le cylindre B glisse sans rouler et sans frottements. Ils arrivent tous deux avec une même vitesse v au bas du plan incliné. Alors : a. Le cylindre A monte plus haut sur le plan incliné que le cylindre B. b. Les deux cylindres vont monter à la même hauteur sur le plan incliné, puisqu’ils ont la même vitesse en bas du plan incliné. c. Le cylindre B monte plus haut sur le plan incliné que le cylindre A. d. Il n’est pas possible de dire quel cylindre va monter plus haut sur le plan incliné.

Physique Générale C – 11P090 – 1 février 2010 à 8h30 · Page 3/4 Exercice 3. Une plaque de glace rectangulaire d’épaisseur d = 312 mm et dont la base mesure A = 5 m2 flotte

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Nom : Prénom : Section :

Physique Générale C – 11P090 – 1 février 2010 à 8h30

- Indiquez vos Nom, Prénom et Section sur toutes les feuilles. - Précision demandée : 1-10%. - N’oubliez pas d’indiquer les unités. - Vous devez obtenir 6 points pour réussir la note maximale de 6. - Durée de l’examen : 3h00. - Conseils : Résolvez les problèmes le plus possible algébriquement avant d’insérer les

valeurs numériques. QCM : (répondez directement sur le présent énoncé aux cinq questions, chaque

QCM n’a qu’une bonne réponse qui vaut 0.2 points)

1. Un fluide parfait s’écoule de manière uniforme dans un tuyau souple de section

constante A. Que se passe-t-il à l’endroit où vous réduisez la section du tuyau de moitié en l’écrasant avec vos doigts ?

a. Le fluide s’écoule moins vite et la pression augmente. b. Le fluide s’écoule moins vite et la pression diminue. c. Le fluide s’écoule plus vite et la pression augmente. d. Le fluide s’écoule plus vite et la pression diminue. e. Il ne se passe rien en vertu de l’équation de continuité.

2. Dans une collision parfaitement élastique entre deux mobiles :

a. L’énergie cinétique de chaque mobile est conservée. b. La somme des énergies cinétiques des deux mobiles est conservée c. Seule la quantité de mouvement totale est conservée. d. Il n’y a pas de transfert d’énergie cinétique entre les deux mobiles.

3. Vous lancez deux cylindres de même masse et de même rayon sur un plan horizontal en direction d’un plan incliné. Le cylindre A roule sans glisser, le cylindre B glisse sans rouler et sans frottements. Ils arrivent tous deux avec une même vitesse v au bas du plan incliné. Alors :

a. Le cylindre A monte plus haut sur le plan incliné que le cylindre B. b. Les deux cylindres vont monter à la même hauteur sur le plan incliné, puisqu’ils ont

la même vitesse en bas du plan incliné. c. Le cylindre B monte plus haut sur le plan incliné que le cylindre A. d. Il n’est pas possible de dire quel cylindre va monter plus haut sur le plan incliné.

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4. Quand vous mélangez deux substances différentes de masses égales m1 = m2 mais de températures différentes T1 > T2, la température T du mélange à l’équilibre thermique sera :

a. � �1 2 ½ T T T �

b. � � � �1 1 2 2 1 2 m /T mT T m m � �

c. � �1 2 2 T T T �

d. T dépend des capacités calorifiques des substances mélangées.

5. Quand vous marchez sur le tapis de la salle de bains le matin en vous levant, il semble plus chaud que le carrelage parce que :

a. la température du tapis est plus élevée que celle du carrelage. b. le carrelage emmagasine moins de chaleur que le tapis. c. la conductivité thermique du tapis est moins élevée que celle du carrelage. d. la conductivité thermique du tapis est plus élevée que celle du carrelage.

EXERCICES : Résolvez au moins cinq parmi les six exercices proposés. Chaque exercice vaut 1 point.

(Si vous résolvez tous les exercices, ils seront comptabilisés jusqu’à la note maximale de 6) Exercice 1. Un barrage se vide par un trou dans le mur du barrage situé à 4m au-dessus du sol. Le niveau d’eau dans le barrage est à 50m au dessus du sol.

a. Calculez la vitesse de sortie de l’eau par le trou dans le mur du barrage. b. En admettant que l’eau émerge horizontalement du trou, calculez à quelle distance du

mur elle atteint le sol. Considérez que le mur du barrage est parfaitement vertical. c. Quelle est la norme du vecteur vitesse de l’eau au moment où elle atteint le sol ? Indication : On admet que le niveau d’eau ne varie pratiquement pas dans le barrage. Exercice 2. Vous habitez une petite pièce avec 2 grandes fenêtres rectangulaires de 60cm x 120cm. Supposez que les murs soient parfaitement isolés. Seules les 2 fenêtres laissent échapper la chaleur de la pièce par conduction (on ne tient pas compte des pertes par rayonnement ou convection).

a. Quelle puissance de chauffage devez-vous fournir pour maintenir la pièce à 20°C s’il fait – 4°C à l’extérieur avec 2 fenêtres formées d’une vitre simple en verre de 1 cm d’épaisseur ?

b. Quelle puissance de chauffage devez-vous fournir si vous remplacez le vitrage simple ci-dessus par un double vitrage formé de deux verres de 2.5 mm d’épaisseur chacun séparés par 5 mm d’air pour maintenir la pièce à 20°C s’il fait – 4°C à l’extérieur ?

c. Quelle conclusion tirez-vous des deux résultats précédents. Indications : coefficient de conductivité du verre : 0.8 W / (m�K) coefficient de conductivité de l’air : 0.026 W / (m�K)

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Exercice 3. Une plaque de glace rectangulaire d’épaisseur d = 312 mm et dont la base mesure A = 5 m2 flotte dans l’océan.

a. Calculez l’épaisseur immergée D de cette plaque de glace. b. Calculez la force F nécessaire pour enfoncer la plaque de glace d’une profondeur z

mesurée à partir de la situation d’équilibre correspondante au point a ci-dessus. c. Tracez un graphique de la force appliquée F(z) en fonction de la profondeur immergée

z de la plaque de glace. Aidez-vous du résultat obtenu sous b. d. Calculez la masse maximale m que cette plaque de glace peut supporter sans couler. e. En vous aidant du graphique de la question c ci-dessus, que pouvez-vous dire du

mouvement de la plaque de glace si vous supprimez instantanément une force F qui la maintient enfoncée dans l’eau sans la submerger ?

Indications : Masse volumique de l’eau : Ueau = 1000 kg / m3 Masse volumique de la glace : Ugl = 917 kg / m3 Exercice 4. Soient deux blocs de masses m1 et m2 reliés par une corde inextensible et de masse négligeable selon la figure ci-contre. Le bloc m1 glisse sur un plan incliné d’un angle Į = 35°. On néglige la masse de la poulie.

a. Dessinez l’ensemble des forces qui agissent sur les deux masses m1 et m2 (la masse m1 subit un frottement sur le plan incliné, mais on néglige le frottement de l’air).

b. Il existe une fourchette pour la masse m1 entre une valeur minimale et une valeur maximale dans laquelle le système des deux masses va rester immobile. Calculez les valeurs m1 minimale et maximale entre lesquelles cette condition de stabilité est remplie pour une masse m2 de 20 kg.

c. Si vous donnez une petite impulsion à la masse m1 quand elle équivaut à la valeur maximale calculée sous b, le système va se mettre en mouvement. Calculez l’accélération de l’ensemble des deux masses dans ce cas et indiquez dans quelle direction elles se déplacent (m2 vaut toujours 20 kg).

Indications : Coefficient de frottement statique entre la masse m1 et le plan incliné : ȝs = 0.30 Coefficient de frottement dynamique entre la masse m1 et le plan incliné : ȝd = 0.02 Si vous ne trouvez pas la réponse à la question b, résolvez le point c algébriquement.

Į = 35°

m1 m2

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Exercice 5. Un disque en aluminium de rayon R = 2 m et d'épaisseur d = 2 cm est mis en rotation depuis l'arrêt avec une accélération angulaire Į = ¼ tour / s2 durant 8 minutes. Après ces 8 minutes, on laisse tomber une boule de masse m = 50 kg chaque seconde sur le plateau. Le disque tourne dans un plan horizontal, et chaque boule tombe parfaitement verticalement et se colle instantanément sur le disque à une distance r = R/2 du centre.

Le disque ne subit aucun frottement dans sa rotation et on considère les boules comme des masses ponctuelles.

a. Calculez la vitesse angulaire du disque après les 8 minutes d’accélération. Donnez le résultat en rad/s et en tours/s.

b. Calculez le moment d'inertie du disque. c. Calculez le moment d'inertie, la vitesse angulaire et l’énergie cinétique de rotation du

disque après la chute de la première boule. Donnez les solutions algébriques seulement.

d. Combien de temps faut-il pour que la vitesse de rotation du disque soit réduite de moitié ? Comptez le temps à partir de la chute de la première boule.

e. Est-ce que l’énergie cinétique de rotation est aussi réduite de moitié après ce temps ? Justifiez votre réponse.

Indications : Masse volumique de l’aluminium : U = 2.7� 103 kg / m3

Moment d’inertie d’un disque homogène de rayon R : I = ½ MR2

Exercice 6. Les sons d’une guitare sont obtenus en faisant vibrer une corde. La note obtenue dépend de la longueur, de la masse linéique et de la tension dans la corde. Considérez une corde en acier de longueur L = 65 cm et de section A = 0.75 mm2

a. Quelle doit être la tension de cette corde pour que sa fondamentale correspondent à la fréquence d’un La à 110Hz ?

b. De quel type d’onde s’agit-il (longitudinale ou transversale) et quelle est sa longueur d’onde ?

c. Quelle sera la fréquence de cette fondamentale si vous déplacez la guitare dans un autre lieu où la température vaut 20°C de moins? Pour répondre à cette question, considérez que seule la longueur de la corde change en fonction de la température alors que la longueur du manche de la guitare ne change pas. Cet effet aura pour conséquence de modifier la tension dans la corde, et par conséquent sa fréquence de vibration.

Constantes : masse volumique de l’acier : U = 7850 kg/m3

coefficient de dilatation linéique de l’acier : Į = 12�10-6 K-1

module de Young de l’acier : E = 120 GPa

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Corrigé – Physique Générale C – 11P090 février 2010

QCM :

1. d.

2. b.

3. a.

4. d.

5. c.

EXERCICES : Exercice 1.

a. Il faut appliquer la relation de Bernoulli :

212

P v gh cte� U �U

On applique cette relation à la surface du barrage et au point de sortie de l’eau. La pression aux deux endroits correspond à la pression atmosphérique. Comme le barrage est beaucoup plus grand que le trou pratiqué dans le mur, la surface de l’eau ne bouge pas. En prenant la position du sol comme référence de l’énergie potentielle, on peut écrire :

� �

� � � �

� �

2 2

2

2

1 12 2

122

2

2

surf surf surf trou trou trou

surf trou trou

surf troutrou surf trou

trou surf trou

P v gh P v gh

g h h v

g h hv g h h

v g h h

� U � U � U � U

U � U

U � �

U

En remplaçant les valeurs numériques, la vitesse de sortie de l’eau par le trou dans le

mur du barrage vaut :

� �2 9 81 50 4 30m/strouv . � � �

b. L’eau qui sort par le trou suit une trajectoire balistique. La distance de chute s’obtient

en calculant d’abord le temps de chute (MRUA verticalement) puis la distance parcourue par l’eau horizontalement pendant ce temps (MRU horizontalement) :

Page 2/9

210 0 2

210 0 2

20 0

0 0

2

2

8 0 9s

z z v t gt

z z v t gtz z v t

tg

z z v tt

g

t / g .

� �

� � �

� � �

� � �

Pendant ces 0.9s, l’eau parcours une distance x=vt horizontalement :

30 0 9 27mx vt . �

c. On peut résoudre cette partie du problème en appliquant les lois de la cinématique en notant que le mouvement vertical est un MRUA :

0

0 9 81 0 9 8 83 m/sy y chutev v gt

. . . �

� �

alors : 2 2 2 230 8 83 31 3 m/sx yv v v . . � �

Alternativement, on peut appliquer la loi de conservation de l’énergie mécanique entre le point de sortie du trou et le point d’impacte :

� �� �

2 21 12 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

méc cin pot

trou trou sol sol

trou trou sol sol

sol trou trou sol

sol trou trou sol

E E E cte.

mv mgh mv mgh

v gh v ghv v g h h

v v g h h

� �

� �

� �

� �

� �230 2 9 81 4 978 5

31 3m/ssol

sol

v . .

v .

� �

Exercice 2.

a. La puissance de chauffage qu’il est nécessaire de fournir doit compenser exactement

les pertes thermiques dues aux fenêtres. Cette perte se fait uniquement par conduction dans le cas présent. La puissance thermique perdue par conduction est donnée par :

verreQ A THt d

' ' �N'

Dans le cas de notre pièce, on a deux vitres. Cette relation devient alors :

� �2 0 6 1 2 24

0 80 01

2 76kW

. .Q .

..

� � � � �

b. Le cas du double vitrage se traite en utilisant la définition de la résistance thermique

R, et en se rappelant que les résistances thermiques d’éléments en série s’additionnent.

Page 3/9

dRA

N �

Pour une vitre : 30 0025 4 3 100 8 0 6 1 2

K/Wverred .R .A . . .

� �N � � �

Pour la couche d’air: 10 005 2 7 10

0 026 0 6 1 2K/Wair

d .R .A . . .

� �N � � �

La résistance thermique d’une fenêtre avec double vitrage vaut alors :

3 1 3

1

4 3 10 2 7 10 4 3 102 79 10

K/W K/W K/WK/W

vitre verre air verreR R R R

. . .

.

� � �

� �

� � � � �

La perte de chaleur par les deux fenêtres vaut alors :

1

12

12 242 79 10

172W

fenêtre

Q TR

. �

� � '

� � ��

c. Les pertes thermiques d’un double vitrage sont 2760 / 172 = 16 fois moindres que celle d’un vitrage simple de même épaisseur.

Exercice 3.

a. Quand le bloc de glace flotte, la poussée d’Archimède compense exactement son

poids. Comme la poussée d’Archimède correspond au poids du liquide déplacé, on a :

0A WF F F � ¦

0

0 312 917 1000 0 286m

A W

eau immergé glace glace

eau immergé glace glace

immergé glace glace eau

glace eau

glace eau

F FV g V g

V VV V /AD Ad /D d /D . / .

U �U

U U

U U

U U

U U

b. Pour enfoncer la plaque de glace d’une profondeur z (sans la submerger), il faut fournir une force pour compenser la poussée d’Archimède supplémentaire :

0Az

Az

eau sup

eau

eau

F F F( z )F( z ) F

V gA z gA g z kz

U

U � � U � �

¦

1000 5 9 81 49 05049 050

N/meauk A g . 'F ' z U � � �

La force augmente linéairement avec la profondeur jusqu’à ce que le bloc soit

immergé, ensuite elle est constante.

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c.

d. Le résultat obtenu sous b permet de calculer la masse maximale que le bloc de glace

peut supporter. Elle correspond au poids qui génère la force nécessaire pour enfoncer le bloc de glace de la distance d dont il émerge sans charge :

� �49 050 0 312 0 286

1275 3NF( d ) kd ' . .F . � �

Cette force correspond à une masse maximale de 130 kg.

e. Le calcul et le graphique montre que la force nécessaire à enfoncer le bloc de glace

d’une distance z est proportionnelle à cette distance. La poussée d’Archimède agit donc comme une force de rappel élastique proportionnelle au déplacement qui induit un mouvement oscillatoire. Pour info : on peut estimer la période en calculant :

2

2

2

2 0

zd zma m k zdt

d z k zmdt

� �

� �

2 km

Z et comme pour tout oscillateur de ce type : 2 2 mT /k

S Z S

où m est la masse du bloc de glace et k la constante calculée sous le point b. Exercice 4.

a. Les forces auxquelles les masses sont soumises sont dessinées ci-dessous. La force

de frottement est dessinée pour la situation correspondant à la question c. On peut aussi la dessiner dirigée vers le bas de la pente.

Į

m1 m2

2WFJG

TJGT

JG

1WFJG

NFJG

fFJG

FJG

z

submergéz

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b. Quand le système est immobile, la somme des forces qui agit sur chacune des

masses est nulle. Pour la masse m2 on choisit un axe vertical y la masse ne pouvant clairement bouger que dans cette direction :

2

2 2

0y W

W

F F T

T F m g

¦

Pour la masse m1, on considère deux axes x et z orthogonaux, où x est parallèle au plan incliné et z perpendiculaire. Selon l’axe z (direction positive vers le haut) :

1

1 1 1

0z W N

N W W

F F cos F

F F F cos m g cos

� D �

D D¦

Selon l’axe x (direction positive vers le bas du plan incliné) :

10x W stat NF F sin T F D � r P ¦

Le signe ± correspond à la direction du frottement qui change selon que c’est la masse m1 ou m2 qui tire le plus. Il correspond aux deux valeurs limites recherchées pour m1 :

� �

� �

1

1 2 1

1 1 2

1 2

21

0

0W stat N

stat

stat

stat

stat

F sin T F

m g sin m g m g cosm sin m cos mm sin cos m

mmsin cos

D � rP

D � r P D

D r P D

D rP D

D r P D

L’équation ci-dessus permet de calculer :

� �2

1 24 4kgmin

stat

mm .sin cos

D �P D

� �2

1 61 0kgmax

stat

mm .sin cos

D �P D

c. Lorsque le système est mis en mouvement, on peut appliquer les relations ci-dessus,

mais en remplaçant ȝstat par ȝdyn. L’équation du mouvement le long du plan incliné, en négligeant la masse de la poulie, devient :

1x x W x fF ma F F T � �¦

� �

� �

1 2 1

1 2 1 2 1

1 2

1 2

x dyn

x dyn

dynx

ma m g sin m g m g cos

m m a m g sin m g m g cos

m sin cos ma g

m m

D � �P D

� D � �P D

D �P D �

Page 6/9

� �61 35 0 02 35 20

61 200 17 1 7 2m/s

x

x

sin . cosa g

a . g .

� �

Exercice 5.

a. La vitesse angulaire se calcule à partir de l’accélération angulaire comme : tZ D Alors : � �2 4 8 60 754rad/st /Z D S � �

754 2 120tours/s/ S

b. Selon l’indication :

� �21

2

2 2 2 41 1 12 2 2

3 412 2 7 10 0 02 2 1357 2 2kgm

I MR

VR R d R dR

. . .

U U S US

� S � �

c. Après la chute de la première boule, le moment d’inertie augmente selon :

2 212

221

2

221

2

2

4

I MR mr

RMR m

RMR m

§ · � ¨ ¸© ¹

Le moment cinétique vaut :

L I Z

Ce moment est une constante du mouvement et ne change pas avec l’adjonction de masse. Cette loi de conservation permet de calculer la nouvelle vitesse angulaire :

0 0 1 1

L I cteI I Z Z Z

L’indice indique le nombre de boule qui sont sur le disque.

0 0 1 1

22 21 1

0 12 2

2102

1221

2

4

4

I I

RMR MR m

MRRMR m

Z Z

§ ·Z � Z¨ ¸

© ¹Z

Z§ ·

�¨ ¸© ¹

d. La vitesse angulaire ZN avec N boules sur le disque vaut :

Page 7/9

0 0

22 21 1

02 2

2102

221

2

4

4

N N

N

N

I I

RMR MR Nm

MRRMR Nm

Z Z

§ ·Z � Z¨ ¸

© ¹Z

Z§ ·

�¨ ¸© ¹

Sachant que une boule s’ajoute toutes les secondes au disque, on peut calculer le temps requis pour réduire la vitesse de moitié. On cherche N tel que :

210 02

221

2

24

NMR

RMR Nm

Z Z Z

§ ·�¨ ¸

© ¹

10 0 02

21

02

21

0 02

21

02

0 02 2

24

4

88 42

2

IRI Nm

RI I Nm

RI Nm

I IN

mR mRM Nm

Z Z

§ ·�¨ ¸

© ¹§ ·

�¨ ¸© ¹

La solution numérique est :

� �2 3 222 2 2 7 10 2 0 02 1356 5

50 5027 13

R dM . . .Nm m

N .

�U S � � S � �

La vitesse angulaire est réduite de moitié au bout de 27-28 secondes.

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e. L’énergie cinétique de rotation s’écrit :

� �

� � � �

� � � �� �

212

2 2 21 1 10 0 0 02 2 2

2212022 21 1 1

2 2 2 2221

2

2 22 21 10 02 21 1

2 22 22 21 1

2 2

2 22 21 10 02 21 1

2 22 2121 2

2

2 21021

2

1

4

4

24 4

22

2

N N N

E I

E I MR

MRRE I MR NmRMR Nm

MR MR

R M RMR Nm MR mm

MR MR

MR MRMR

MR

Z

Z Z

Z§ · Z �¨ ¸

§ ·© ¹�¨ ¸

© ¹

Z Z

§ · § ·� �¨ ¸ ¨ ¸

© ¹ © ¹

Z Z

§ ·�¨ ¸

© ¹Z

02 E

L’énergie cinétique est réduite de moitié. Elle n’est pas conservée, ce qui est en accord avec la collision parfaitement inélastique entre les boules et le disque.

Exercice 6.

a. La fréquence d’une vibration transversale dans une corde dépend de la masse linéique et de la tension de la corde de la manière suivante :

1

2TFf

L

P

Dans cette relation, ȝ est la masse linéique :

m V AL AL L L

U UP U

On peut alors déterminer la tension nécessaire dans la corde pour que sa vibration fondamentale corresponde à 110Hz :

� �

� � � �� �

2

2 2

2 6

12

2

2

2 2

110 2 0 65 7850 0 75 10 120 4N

T

T

T

T

Ff

L

Ff L

Ff L

f L f L A F

. . .�

P

� P

� P

� P � U

� � � � �

b. Il s’agit d’une onde transversale

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Sa longueur d’onde vaut 2L = 2�0.65 = 1.3 m

c. Quand la température diminue, la corde va se raccourcir. Comme on admet que la

longueur du manche de la guitare ne change pas en fonction de la température, cela implique que la tension dans la corde augmente.

On commence par calculer le changement de longueur de la corde lorsqu’on réduit sa température de 20°C :

6

4

0 65 12 10 201 56 10 m

L TLL L T .

.

' D'

' �D' � � �

Cette déformation va induire une contrainte V supplémentaire sur la corde de :

LE EL

E T

'V H

�D'

La contrainte est une force par unité de surface. Cette force correspond à la tension supplémentaire induite dans la corde lorsque celle-ci se contracte :

6 9 60 75 10 120 10 12 10 2021 6 N

F E TA

F A E T ..

� �

V �D'

� �D' � � � � � �

Cette force vient s’ajouter à la tension de la corde à la température initiale pour donner une tension totale de :

120 4 21 6 142 NTF . . � Avec cette tension, la nouvelle fréquence de la corde est :

6

12

12

1 1422 0 65 7850 0 75 10119 5 Hz

T

T

FfL

FL A

. ..

P

U

� � �

Notez que la fréquence augmente comme on s’attend pour une corde dont on augmente la tension.