Physique Statistique N.VandewalleS.Dorbolo

Objectifs du cours

• Donner un aperçu de la physique statistique.

• Obtenir un autre regard du monde de la physique.

• Réaliser des TP originaux : «phénomène sans modèle»

Plan du cours

Chapitre 1 : IntroductionChapitre 2 : Outils statistiques - rappelsChapitre 3 : Nécessité de l’approche statistique

Chapitre 4 : Ensembles de Gibbs / fonctions de partitionChapitre 5 : Le gaz parfait revisité / distributions des vitesses / équipartitionChapitre 6 : Fluides réelsChapitre 7 : Distributions / statistique de Maxwell-BoltzmannChapitre 8 : Gaz de fermions / statistique de Fermi-DiracChapitre 9 : Gaz de bosons / statistique de Bose-Einstein / corps noirChapitre 10 : Changement d’état / approche de LandauChapitre 11 : Modèles de spins / simulations numériquesChapitre 12 : Phénomènes critiques et lois d’échelle / fractales

Chapitre 13 : Marches aléatoires Chapitre 14 : Percolation

Organisation du cours

• Cours [28h] - N.Vandewallethéorie - concepts - applets - numérique

• TD [14h] - D.Terwagneexemples choisis - exercices

• Labos [16h+2h] - S.Dorbolo / D.Terwagne / G.Lumay / E.Mersch / N.VdWsystèmes hétérogènes - diffusion - etc

Supports du cours

• Notes (en chantier depuis trop longtemps)

• Copie des diapositives

• Livres de référence : Vauclair, Huang, etc...

Laboratoires

Chapitre 1 : Introduction

Qu’est-ce que la Physique Statistique ?

• Exemple : atomes de C • Autre exemple : molécules amphiphiles

Pourquoi certaines structures plutôt que d’autres ?

La formation de micelles est spontanée; elles troublent le liquide par diffusion de la lumière.

Quelques objets microscopiques viennent donc modifier l’apparence macroscopique du système.

Qu’est-ce que la Physique Statistique ?

• Exemple : billes vibrées • Exemple vivant : poissons

- agents microscopiques : interactions, mouvements, agitation - formation de structures organisées, pourquoi ? - une information se propage, comment ? - comportement micro-macro, local-global ?

L’agitation conduit à la création de jets organisés de matière : les oscillons.

Le mouvement coordonné de poissons produit des structures géantes : banc.

Hypothèses de travail : - N particules identiques- mouvements obéissent aux lois de Newton- rebonds élastiques sur les parois

gaz parfait gaz réelpas de collisions collisions entre particules

Mouvement d’une particule dans un récipient cubique :

lors du rebond avec la parois de droite : vx ! "vx

!px = !2mvxsoit une variation de la quantité de mouvement :

Le cas d’école : le gaz parfait

Force exercée sur la parois de droite :

force subie par la particule qui rebondit :

force sur la paroi (action-réaction) :

Fx =!px

!t

!t =2L

vx

temps entre deux rebonds :

F =

mv2x

L

force totale sur la parois : F =m

L

!

v2

x1 + v2

x2 + ... + v2

xN

"

F =

m

LN!v2

x"

Gaz isotrope : !v = !vx + !vy + !vz v2

= v2

x + v2

y + v2

z

!v2" = !v2

x" + !v2

y" + !v2

z" = 3!v2

x"

F =mN

3L!v2"

Pression exercée sur la paroi : p =F

L2=

mN

3L3!v2"

p =N

3Vm!v2"

Comparaison avec l’équation d’état :

pV = NkBT =N

3m!v2"

3

2kBT =

1

2m!v2"

énergie thermique énergie cinétique moyenne d’une particule

La température est donc une mesure de l’agitation microscopique des particules.

aspects statistiques liés à la température : v2

La physique statistique fait le lien entre mondes microscopiques et macroscopiques.

Les outils de la physique statistique sont la mécanique classique, la statistique appliquée, la mécanique quantique, l’informatique, etc...

La physique statistique a apporté les concepts de fractales et d’invariance d’échelle, de chaos déterministe, de turbulence, d’auto-organisation, etc...

mécanique quantique

Physique statistique / petit historique

2000 1950 1900 1850

Q=

cm∆

T

E=

hν

η1η 2

Fermi Joule

LangevinKadanoff

S=

k Bln

Ω

EFR∼

Nα

Landau

thermodynamique

deGennesPlanck

BoltzmannCurie

K

=R

(K)

F∼

m2

+m

4

M(T

/Tc)

Physique statistique et autres domaines scientifiques

Physique statistique

AstrophysiqueEtat solide Matière molle

Physique quantique

InformatiqueFluides Biophysique

Chimie

• Fermi-Dirac• magnétisme• supraconductivité

• Bose-Einstein• spectroscopie• fluides quantiques

• fluctuations• corrélations• théorie liquides

• corps noir• chaos• structures

• turbulence• rhéologie• chaos

• optimisation• complexité• automates

• polymères• spectroscopie• réactions

• membranes• protéines• ratchets

Cours accessibles dans la discipline

ThermodynamiquePHYS 062

N.Vandewalle

Physique des fluidesPHYS 957H.Caps

Physique StatistiquePHYS 212

N.Vandewalle

Fluides complexesPHYS 945

N.Vandewalle

MicrogravitéPHYS 948

H.Caps/N.Vandewalle

Physique Statistique Expérimentale

PHYS 250S.Dorbolo

Physique non-linéaire, chaos et fractales

PHYS 939N.Vandewalle

Introduction à la Physique Statistique

PHYS 069S.Dorbolo

publications (8-10/y)couverturesscience

Le GRASP (10 ans)

N.VandewalleS.Dorbolo

H.CapsS.Bontempi

G.LumayF.LudewigG.DelonN.Adami

A.BronfortD.Terwagne

E.MerschF.BoschiniK.FaucherM.Ababou

T.GiletT.SchellerC.Becco

matière molle poudres et grainsmicrofluidiquesystèmes complexeschaosturbulencemicrogravité

GRASP

UCB, Dow Corning, ...spin-offindustries

2 ESA TTCOSTinternational

projets Zéro-G et ISSµg

photos / art / filmsart

Chapitre 2 : Rappels de Statistique

Fréquences et probabilités

f(n) =Nn

N

∞

0Pv dv = 1

• variable discrète • variable continue

∞

n=1

Pn = 1

Pn = limN→∞

Nn

N

Pv = αv2 exp−βv2

mousse gaz

n vcôtés d’une bulle : vitesse d’une particule :

• fréquence d’observations répétées : probabilitiés

[normalisation][normalisation]

µ = x = b

axPx dx

x2 = b

av2Px dx

σ2 = (x − µ)2 = b

aPx(x − µ)2 dx = x2 − µ2

Caractériser une distribution (I)

• Distribution d’une variable discrète :

• Distribution d’une variable continue :

[premier moment = moyenne]

[variance]

[second moment]

µ = n =K

n=1

nPn

n2 =K

n=1

n2Pn

σ2 = (n − µ)2 =K

n=1

Pn(n − µ)2 = n2 − µ2

Caractériser une distribution (II)

• Contre-exemple : distribution en loi de puissance

tremblements de Terre et loi de Richter pour l’énergie dissipée : P (E) ∼ E−1

E ∼ ∞

0EP (E) dE →∞ pas moyen de calculer la moyenne !

γ1 =(x − µ)3

σ3

γ2 =(x − µ)4

σ4− 3

Caractériser une distribution (III)

• Moments d’ordres plus élevés ? C’est utile !

[mesure l’asymétrie de la distribution]

[mesure l’applatissement de la distribution]

• Troisième moment : skewness

• Quatrième moment : kurtosis

γ2 > 0 γ2 < 0

leptokurtique platykurtique(pointu) (plat)

Px = 0pour x < a

=1

b− apour a ≤ x ≤ b

= 0pour x > b

µ =a + b

2

σ2 =(b− a)2

12γ1 = 0

γ2 = −65

Distribution uniforme (I)

x

Px

a b

• version continue :

Distribution uniforme (II)

• dés à jouer : version discrète

• générateur de nombres pseudo-aléatoires :

Pn

n1 2 3 4 5 6

- algortihmes (von Neumann) qui génère une suite de nombres- important pour la cryptographie- pseudo car cycles de plusieurs millions de nombres

xn+1 = (axn + c) mod m

µ = Np

σ2 = Np(1− p)

γ1 =1− 2p

Np(1− p)

γ2 =1− 6p(1− p)Np(1− p)

Pp(n/N) = CnN pn(1− p)N−n =

N !n!(N − n)!

pn(1− p)N−n

Distribution binomiale

n

Pn

• Probabilité d’obtenir n succès sur N tirages ?

P (x) =1

σ√

2πexp− (x− µ)2

2σ2

γ1 = 0γ2 = 0

Distribution gaussienne

Px

x

• Exemple : barres d’erreur

• Distribution générique en sciences :

• Attention : largeur à mi-hauteur : ∆x ≈ 2.35σ

±σ ±2σ ±3σ

68.2% 95.4% 99.6%

x

Px

P (x) = λ exp (−λx)µ =

1λ

σ2 =1λ2

γ1 = 2γ2 = 6

Distribution exponentielle

Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration.

• Loi simple :

• Exemple :

Px

x

P (x) =1

xS√

2πexp

− (lnx−M)2

2S2

µ = exp

M +S2

2

σ2 = exp2M + S2

exp(S2)− 1

γ1 =

exp(S2)− 1exp(S2) + 2

γ2 = exp(4S2) + 2 exp(3S2) + 3 exp(2S2)− 6

Distribution log-normale

• Exemple : processus de fragmentation

• Gaussienne en échelle logarithmique : variable x>0

Théorème de la limite centrale

• La somme de nombreuses variables aléatoires indépendantes ayant des distributions arbitraires se distribue comme une gaussienne.

• Exemple : 2 dés à jouer (distribution triangulaire)

[uniforme]

[gaussienne]

• Autre exemple : créer numériquement une distribution gaussienne (6)

Pn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12n1 + n2

• Illustration du théorème pour 4 distributions différentes :

• Le produit de nombreuses variables aléatoires indépendantes ayant des distributions arbitraires se distribue comme une lognormale.

PDF et CDF

• PDF : Probability Distribution Function

• CDF : Cumulated Distribution Function

• Avantage de la CDF : indépendante des classes !

• Cas de la gaussienne : fonction erreur

P (x)dx F (y) = y

−∞P (x)dx

erf(y) =2√π

y

0e−x2

dx

• CDF : trouver facilement la médiane