PHYSIQUE : une approche moderne

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Tout le programme de physique de 1re anne de classes prparatoires (PCSI, MPSI et PTSI) dans un seul volume. Chacune des 44 leons se termine par des exercices corrigs, inspirs de ceux poss aux concours ( loral ou lcrit).

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  • PCSIMPSIPTSI

    1re ANNE

    PHYSIQUEUne approche moderne

    COURSEXERCICES CORRIGSOUTILS MATHMATIQUES

    Cet ouvrage rassemble dans un seul volume tout le programme de physique de premire anne des trois filires des classes prparatoires aux grandes coles : PCSI, MPSI et PTSI.Les programmes de ces trois filires sont trs proches et ne diffrent que surquelques points prcis indiqus dans le texte. Les auteurs ont suivi la dmarche pdagogique suggre par le programme officiel, tant sur le contenu que sur la progression des enseignements, en illustrant chaque leon par des exemples et des ordres de grandeur. Le livre est dcoup en 44 leons, chacune tant suivie de questions de cours,dexercices dapplications directes et de problmes inspirs de ceux poss auxconcours, tous corrigs en dtail. Louvrage propose un rappel de lessentiel des outils mathmatiques de basencessaires lenseignement de la physique en classes prparatoires. Les 44 leons se terminent par une section Ouvertures qui souligne lactualitdu sujet et prsente des lments indispensables de physique moderne. Louvrage intressera galement les tudiants de premire anne des universitset des classes prparatoires intgres, ainsi que les candidats aux concours de lenseignement secondaire. PH

    YSIQUE

    Une approche moderne

    + Strictement conforme au programme+ De nombreux exemples avec ordres de grandeur+ De nombreux exercices et problmes corrigs+ Des ouvertures pour la prparation aux preuves

    dADS et de TIPE+ Des outils mathmatiques de base

    ISBN : 978-2-8041-6226-9

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    www.deboeck.com

    TOUT-EN-UN

    Sous la direction de JOS-PHILIPPE PREZ

    CHRISTOPHE LAGOUTE OLIVIER PUJOL RIC DESMEULES

    Conformeau programme

    Jos-Philippe Prez, Professeur mrite de lUniversit de Toulouse au UPS-OMP, IRAP.Christophe Lagoute, Professeur au Lyce Bellevue de Toulouse.Olivier Pujol, Matre de confrences lUniversit de Lille au LOA.ric Desmeules, Professeur au Lyce Bellevue de Toulouse, en CPGE-MP.

    PCSIMPSIPTSI

    PREPAPHY1:Mise en page 1 13/07/11 17:53 Page1

  • Sommaire

    Avant-propos

    Constantes, notations et symboles

    Les grands noms de la physique en CPGE 1re anne

    Leons

    1. Qu'est-ce que la physique? I. Unit et dimensions II. Constantes fondamentales de la physique III. Les quatre interactions fondamentales

    2. Cinmatique du point I. Cadre spatio-temporel de la cinmatique II. Vitesse et acclration d'un mobile ponctuel III. Ouvertures

    3. Dynamique du point matriel I. Force II. Loi fondamentale de la dynamique III. Premire loi de Newton ou principe de l'inertie IV. Exemples d'application V. Ouvertures

    4. nergtique d'un point matriel I. nergie cintique d'un point matriel II. Puissance et travail d'une force III. Thorme de l'nergie cintique IV. nergie potentielle V. nergie mcanique d'un point matriel VI. Ouvertures

    5. Lois de l'lectrocintique I. Rgimes stationnaire et quasi stationnaire II. Tension et courant lectriques III. Diples lectrocintiques IV. Diples linaires et diples non linaires V. Lois de Kirchhoff

    6. Circuits linaires I. Systmes linaires II. Association de diples linaires passifs III. Gnrateurs IV. Thorme de Millman V. Aspects nergtiques dans un circuit RLC VI. Ouvertures

    7. Oscillateur harmonique. Amortissement visqueux I. Oscillateur harmonique II. Influence d'un amortissement visqueux

  • III. Applications

    8. Rgimes transitoires I. Rponse un chelon de tension II. Circuit lectrique RC III. Circuit lectrique RL IV. Circuit RLC srie V. Applications

    9. Bases de l'optique gomtrique I. Aspect ondulatoire de la lumire II. Approximation de l'optique gomtrique III. Lois de Snell-Descartes IV. Applications des lois de Snell-Descartes V. Ouvertures

    10. Formation des images gomtriques I. Image en optique gomtrique II. Stigmatisme approch, approximations de Gauss III. Systmes centrs focaux ou afocaux IV. Aberrations V. Ouvertures

    11. Lentilles minces I. Lentilles II. Constructions gomtriques III. Relations de conjugaison et grandissements IV. Aberrations V. Ouvertures

    12. Miroirs sphriques I. Proprits gnrales II. Relations de conjugaison et grandissements III. Tlescopes rflecteurs et cavits optiques IV. Ouvertures

    13. TP-cours: Sources et dtecteurs I. Source de lumire II. L'il III. Ouvertures

    14. TP-cours (PSCI): Instrumentation optique I. Lentilles et miroirs II. Projection d'images III. Instrumentation usuelle IV. Ouvertures

    15. Circuit RLC srie en rgime sinusodal. Rsonance I. Signaux sinusodaux en lectricit II. Oscillations lectriques forces. Rsonance III. Excitation d'amplitude dtermine IV. Applications

  • 16. Circuits en rgime sinusodal I. Impdance et admittance complexes II. Lois de Kirchhoff en rgime sinusodal III. Puissance en rgime sinusodal

    17. TP-cours: Instrumentation lectrique I. Signaux usuels II. Sources lectriques usuelles III. Oscilloscope IV. Multimtres V. Ouvertures

    18. TP-cours (PCSI): Amplificateur oprationnel I. Description et fonctionnement (PCSI, PTSI) II. Montagnes d'AO en rgime de saturation (PSCI, PTSI) III. Montagnes d'AO en rgime linaire IV. Ouvertures

    19. Fonction de transfert des filtres I. Fonction de transfert d'un filtre II. Classification des filtres III. Filtres passifs IV. Filtres actifs

    20. TP-cours (PCSI): Redressement et modulation I. Caractristique courant-tension d'une diode II. Redressement III. Modulation et dmodulation d'amplitude

    21. Critre de stabilit (PCSI) I. Stabilit et instabilit II. Systmes linaires du premier ordre III. Systmes du deuxime ordre

    22. Thorme du moment cintique pour un point matriel I. Moment cintique d'un point matriel II. Moment d'une force en un point III. Thorme du moment cintique IV. Pendule circulaire V. Ouvertures

    23. Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives I. Champ de forces centrales conservatives II. Mouvements force centrale conservative III. Analyse pralable du mouvement de Kepler IV. Trajectoire dans le problme de Kepler (PCSI, MPSI) V. tude directe des trajectoires circulaires VI. Ouvertures

    24. Changement de rfrentiels. Force d'inertie I. Diffrents mouvements d'un repre II. Changements de rfrentiel en cinmatique galilenne

  • III. Composition des vitesses IV. Composition des acclrations V. Relativit galilenne VI. Forces d'inertie VII. Ouvertures

    25. Systme de deux points matriels (PCSI, MPSI) I. lments cintiques du systme II. Rfrentiel du centre de masse III. Thormes fondamentaux IV. Aspects nergtiques V. Systme isol de deux points matriels VI. Ouvertures

    26. Rfrentiels galilens approchs I. Diffrentiels rfrentiels galilens approchs II. Dynamique terrestre III. Mares (PCSI) IV. Ouvertures

    27. Introduction la thermodynamique I. Description d'un systme en thermodynamique II. change d'nergie par travail III. tat stationnaire et tat d'quilibre IV. Grandeurs extensives et intensives

    28. Gaz parfaits: approche microscopique I. Mouvement brownien II. Hypothses microscopiques et lois statistiques III. Pression et temprature cintique IV. nergie interne d'un gaz parfait V. Ouvertures

    29. Fluides rels I. tude exprimentale des gaz rels II. Le modle de Van der Waals III. Phases condenses IV. Ouvertures

    30. Statistique des fluides I. Pression dans un fluide au repos II. Fluides compressibles et homognes III. Gaz parfait dans le champ de pesanteur IV. Actions exerces par les fluides au repos V. Ouvertures

    31. Premier principe de la thermodynamique I. nonc du premier. nergie interne II. Transferts d'nergie III. Enthalpie. Dtente de Joule et Thomson IV. Mesures calorimtriques V. Ouvertures

  • 32. Deuxime principe de la thermodynamique I. volutions irrversibles II. Deuxime principe III. noncs historiques du deuxime principe IV. Relation fondamentale de la thermodynamique V. Entropie d'un gaz VI. Cration d'entropie dans une phase gazeuse VII. Entropie d'une phase condense VIII. Ouvertures

    33. Entropie statistique. Troisime principe I. tat macroscopique et tat microscopique (PCSI) II. Entropie statistique (PCSI) III. Troisime principe IV. Ouvertures

    34. Corps pur diphas I. Approche exprimentale II. Diagrammes d'quilibre III. Aspects nergtique et entropique (PCSI) IV. quilibre liquide-vapeur V. Ouvertures

    35. Machines thermiques I. Machine thermique ditherme II. Machines thermiques relles III. Ouvertures

    36. Champ et potentiel lectrostatique I. L'interaction coulombienne II. Champ lectrostatique III. Potentiel lectrostatique IV. nergie d'un systme de deux charges V. Champ, potentiel et nergie de gravitation VI. Ouvertures

    37. Symtries en lectrostatique I. Symtries des charges et consquences II. Invariances des distributions de charge III. Utilisation des symtries IV. Ouvertures

    38. Thorme de Gauss. Applications I. Thorme de Gauss II. Dtermination de champs lectrostatiques III. Condensateur (PCSI, PTSI) IV. Analogie gravitationnelle V. Ouvertures

    39. Diples lectrostatiques (PCSI, MPSI) I. Moment dipolaire II. Potentiel et champ

  • III. Diple dans un champ extrieur IV. Ouvertures

    40. Particules charges dans des champs lectromagntiques I. Champ magntique II. Particule charge dans un champ lectrique III. Particule dans un champ magntique IV. Ouvertures

    41. Particules charges dans un conducteur I. Mouvement d'une charge dans un conducteur II. Loi d'Ohm (PCSI, PTSI) III. Effet HALL (PCSI, PTSI) IV. Force de Laplace (PCSI) V. Ouvertures

    42. Loi de Biot et Savart. Symtries du champ magntique I. Sources du champ magntique II. Symtries des courants et consquences III. Influence des invariances des sources IV. Calculs de champs magntiques V. Ouvertures

    43. Proprits du champ magntique I. Conservation du flux du champ magntique II. Thorme d'ampre III. Calculs de champs par le thorme d'ampre IV. Ouvertures

    44. Diple magntique (PCSI) I. Moment d'un diple magntique II. Champ produit par un diple magntique III. Exemples de diples magntiques IV. Actions d'un champ magntique extrieur V. Bilan comparatif des champs E et B statiques VI. Ouvertures

    Outils mathmatiques

    1. Oprations sur les vecteurs I. Base directe et base indirecte II. Produit scalaire III. Produit vectoriel IV. Produit mixte V. Technique de projection VI. Double produit vectoriel

    2. Trigonomtrie I. Formules de base II. Application aux diamtres apparents III. Angle solide

    3. Coniques I. Dfinition

  • II. quation polaire III. quation cartsienne IV. Proprits fondamentales des coniques

    4. Drives et dveloppements limits I. Drive d'une fonction II. Drives partielles III. Drive d'une fonction compose IV. Drive logarithmique V. Drive d'un vecteur VI. Dveloppements limits

    5. Fonctions hyperboliques I. Dfinition II. Proprits III. Dveloppements limits

    6. Nombres complexes I. Dfinition II. Force cartsienne III. Reprsentation d'un nombre complexe IV. Forme polaire d'un nombre complexe V. Formules d'Euler VI. Multiplication par le nombre complexe exp(j) VII. Application au trac des diagrammes de Bode

    7. Matrice I. Dfinitions II. Algbre des matrices III. Dterminants de matrices carres 2x2 IV. Inversion d'une matrice carre rgulire V. Vecteurs propres et valeurs propres

    8. quations diffrentielles I. quations diffrentielles linaires II. quations diffrentielles non linaires

    9. Diffrentielles I. Diffrentielles d'une fonction II. Systmes de coordonnes III. Formes diffrentielles

    10. Probabilits I. Langage des probabilits II. Probabilits III. Variables alatoires IV. Lois de probabilit V. Intgrales gaussiennes

  • Jos-Philippe Perez

    Professeur mrite de physique de lUniversit de Toulouse au LATT-OMP (Agrg, Docteur-s-sciences) :

    membre du jury de lagrgation, du CAPES, du concours de Centrale-Paris , des Instituts Nationaux

    polytechnique.

    Christophe Lagoute

    Professeur de physique au Lyce Bellevue, attach au laboratoire au lyce Bellevue de Toulouse, et

    chercheur associ au Laboratoire dAstrophysique de lObservation Midi-Pyrnes (agrg de physique et

    docteur en astrophysique). Membre du jury du concours des Mines et Ponts .

    Olivier Pujol

    Matre de confrences lUniversit de Lille et chercheur au Laboratoire dOptique atmosphrique (Agrg,

    Docteur en Physique de lAtmosphre), enseignant la prparation lagrgation.

    Eric Desmeules

    Professeur en CPGE-MP (Normalien Saint-Cloud, Agrg) au lyce Bellevue de Toulouse. Il est membre du

    jury du concours des Mines et Ponts .

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/6/27 11:35 page xxvii #27

    Avant-proposCet ouvrage rassemble, en un seul volume, tout le programmede physiquede premireanne des classes prparatoires aux Grandes coles : PCSI, MPSI et PTSI. Comme lesprogrammes de ces trois sections ne dirent que sur quelques points bien prcis, nousavons indiqu clairement dans le texte les rares parties qui ne concernent quune filirespcifique, considrant que proposer trois livres distincts naurait eu aucun intrtscientifique ou pdagogique.

    Adhrant la dmarche pdagogique du programme ociel, nous avons volon-tairement t fidles au contenu et la progression des enseignements quil propose.Aussi navons-nous procd qu deux seules interversions, afin de rendre ce pro-gramme encore plus ecace :

    i) nous commenons par les lois de Kirchho en rgimes stationnaire et quasi station-naire, avant de les appliquer aux circuits en rgime transitoire ;

    ii) nous tudions les transitions de phase du corps pur avant les machines thermiques.

    Il nous a paru pdagogiquement intressant de dcouper ce cours en leons quasiautonomes.Un teldcoupagea entranquelques redites, quonvoudrabien considrercomme des points importants, quil est toujours utile de rappeler. On dnombre entout 44 leons, dont la premire, intitule Quest-ce que la physique ? , est uneintroduction gnrale, centre sur les constantes fondamentales, les ordres de grandeuret les lois fondamentales enphysique. Les 43 autres sedistinguent clairementde simplesformulaires, cest dire que les exemples dillustration, les aspects exprimentaux, maisaussi historiques, voire pistmologiques, qui relvent de la culture scientifique, ytiennent une place significative.

    Ajoutons que chaque leon se termine par une section Ouvertures proposant desprolongements de la leon, dans lesquels nous avons, autant que possible, soulignlactualit du sujet et prsent des lments de physique moderne. Ces complmentscontribueront notamment prparer ecacement les tudiants aux preuves dADS(Analyse de Documents Scientifiques) ou de TIPE (Travaux dInitiative PersonnelleEncadrs), lesquelles dpassent souvent largement le cadre du programme en faisantappel des notionsde physique duXXe sicle. Ainsi, nous navons pas hsit rappelerque la chute libre dans le vide est une illustration des fondements physiques de larelativit gnrale dEinstein.

    Cet ouvrage sadresse dabord aux tudiants : il doit donc tre clair, ecace et peucoteux. Aussi la typographie est-elle volontairement are, le renvoi des formulesloignes pratiquement inexistant, les outilsmathmatiques ajusts au strict ncessaire.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/6/27 11:35 page xxviii #28

    xxviii Avant-propos

    videmment, chaque leon est suivie de travaux dirigs, dans lesquels on trouvetout dabord dix questions de cours essentielles, auxquelles ltudiant devrait pouvoirrpondre sans dicult avant daborder la suite, puis des exercices et des problmesdapplication, tous corrigs, constituant ainsi une excellente prparation aux interro-gations orales ou crites. Parmi les quelque 300 exercices et problmes, rsums parun titre explicite, beaucoup sont inspirs de ceux poss aux concours nationaux ; ilsont t parfois modifis afin de souligner leur intrt physique et fournir des ordres degrandeur ralistes. En outre, certains exercices et problmes sont originaux, au pointquils pourraient apparatre dans les sessions de concours venir.

    Les solutionsde tous les exercices et problmes, runies la finde louvrage, permet-tront ltudiant, et plus largement lautodidacte, de tester sa propre comprhensiondu cours, denrichir sa rflexion sur le contenu, de dvelopper sa capacit de travailautonome, et surtout de favoriser considrablement sa russite lpreuve de physiqueaux dirents concours.

    Cest aussi pour cela que nous avons pens judicieux de rappeler lessentiel desoutils mathmatiques de base ncessaires au dveloppement de la physique. Dans cecontexte, il nest pas inutile dajouter que la grande exprience acquise par les auteursdans la prparation aux grands concours scientifiques (concours des Grandes coles,Capes et Agrgation) constitue un atout prcieux de louvrage.

    Par son contenu structur en leons, sa progression prudente, sa modernit et sapdagogie synthtique, ce livre sera certainement trs utile aussi aux tudiants depremire anne des Universits, aux tudiants des Classes Prparatoires Intgres,ainsi quaux tudiants prparant les concours du professorat en physique.

    Les auteurs, juin 2011

  • Es ist das schnste Los einer physikalischen Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer umfassenden Theorie den Weg weist, in welcher sie als Grenzfall weiterlebt. ( Cest le plus beau sort dune thorie physique que douvrir la voie une thorie plus vaste dans laquelle elle continue vivre comme un cas particulier. ) Albert Einstein 1916, ber die spezielle und die allgemeine Reltivitts-theorie, Springer, Seite 50, 2009.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 53 #97

    Leon 3Dynamique du point matriel

    La dynamique est ltude du mouvement des corps en liaison avec les causes, appelesforces, qui le produisent. Avec la cinmatique, cest--dire la seule description gom-trique du mouvement laide de la vitesse et de lacclration (cf. Leon 2), la dyna-mique forme la mcanique, dont les lois ont t nonces au XVIIe sicle, dabord parle physicien italien Galile dans son ouvrage Discours et dmonstrations mathmatiquesconcernant deux sciences nouvelles (1638), puis par le physicien anglais Isaac Newtondans le clbre trait intitul Principes mathmatiques de la philosophie naturelle ou Philosophiae Naturalis Principia mathematica (1687).

    On se propose dans ce chapitre de recenser les direntes forces et dexprimer leuraction sur le mouvement. Ainsi, nous allons voir que, par rapport une catgorieparticulire de rfrentiels, qualifis de galilens, la relation de causalit entre les forceset le mouvement est particulirement simple.

    I FORCE

    Les forces sont les causes dumouvement ; ce sont des grandeurs vectorielles notesFFF quiagissent sur des objets ponctuels en faisant apparatre des caractristiques physiquestelles que la charge lectrique, la masse grave, etc.

    On distingue deux types de forces : les forces fondamentales, en raison de leuruniversalit, au nombre de quatre (cf. Leon 1), et les forces dites de contact, qui,contrairement aux prcdentes, existent, comme leur nom lindique, parce quil y a uncontact entre le point matriel considr A et son environnement proche ; ces derniresne sont pas fondamentales, car elles napparaissent pas lchelon microscopique ;cependant, elles ont un rle essentiel dans la vie courante.

    I.1 Forces fondamentales

    Les forces fondamentales agissent distance, commenous le verrons par lintermdiairede champs divers (cf. Leons 26, 36, 37, 42). numrons-les : la force de gravitationuniverselle, la force de Lorentz ou force lectromagntique, qui est une gnralisation

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 54 #98

    54 3 Dynamique du point matriel

    de la force lectrostatique entre deux charges ponctuelles au repos, la force nuclairedite forte et la force nuclaire faible (cf. Leon 1).

    a) Force de gravitation

    La force de gravitation est celle que subit un point matriel A1 de la part dun autrepoint A2 distant de r (Fig. 3.1) :

    FFF21 = Gm1m

    2

    r2eeer o eeer =

    rrrr

    et rrr = AAA2AAA1 = rrr1 rrr2

    o G 6,67 1011 SI est la constante de Newton (cf. Leon 1). Les quantits scalairespositives m1 et m

    2 sont les masses graves des points A1 et A2 respectivement. Chacune

    traduit la capacit dun corps matriel interagir par gravitation avec un autre corpsmatriel.

    O

    x

    y

    z

    r2

    r1

    F12F21

    A2

    A1

    Figure 3.1 Force de gravitation universelle

    RemarqueLexpression de cette force, qui fut introduite par Newton pour interprter le mouve-ment des corps du Systme Solaire (plantes, satellites, comtes), est parfois appele,de nos jours, la cinquime loi de Newton. Les trois premires sont celles relatives ladynamique et la quatrime concerne lhypothseduniversalit du temps (cf. Leon 24).

    Nous verrons ultrieurement que la gravitation se manifeste localement sur Terresous la forme de la force de pesanteur, ou poids, dun corps (cf. Leon 26). On admettra,en attendant, lexpression suivante du poids m, tant le champ de pesanteur terrestreet m la masse grave du corps considr.

    On peut trouver un ordre de grandeur de en rduisant la pesanteur sa contribu-tion essentielle qui est la force de gravitation exerce par la Terre suppose sphrique(masse MT, rayon RT). En eet, il vient, en assimilant la Terre un point matriel demasseMT plac en son centre T, on trouve :

    m = GmMTR2T

    soit = GMTR2T 6,67 1011 6 10

    24

    (6 400 103)2 9,77 m.s2

    ce qui est proche de la valeur exprimentale mesure, 9,80 m.s2.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 55 #99

    I Force 55

    RemarqueLa direction de dfinit la verticale (cf. Leon 26) ; tout plan perpendiculaire esthorizontal.

    b) Force lectromagntique de Lorentz

    La force de gravitation est formellement analogue la force dinteraction entre deuxcharges ponctuelles au repos dans le vide ; son expression est donne par la loi deCoulomb, du nom du physicien franais Charles Coulomb qui la tablie la fin duXIXe sicle :

    FFF21 =1

    40

    q1q2r2

    eeer o eeer =rrrr

    et rrr = AAA2AAA1 = rrr1 rrr2

    Une dirence rside cependant : la force de gravitation est toujours attractive, alorsque la force coulombienne ne lest que si q1q2 < 0 ; si q1q2 > 0 elle est rpulsive.Rappelons que cette force est bien plus intense que la prcdente (cf. Leon 1).

    Dans le cas gnral dune charge q en mouvement la vitesse vvv par rapport unrfrentielR, situe dans une rgion de lespace o rgne un champ lectromagntique(EEE, BBB), la force dinteraction est la force de Lorentz, du nom du physicien nerlandaisHendrik Lorentz qui la propose en 1895 :

    FFF = q(EEE + vvv BBB)

    c) Forces nuclaires

    Rappelons que la force nuclaire forte permet dexpliquer la cohsion des nuclons (cf.Leon 1) ; elle est cent fois plus intense que les forces lectromagntiques et de trscourte porte, de lordre de 1 fm = 1015 m. Quant la force nuclaire faible, qui permetdinterprter certaines formes de radioactivit, sa porte est encore plus faible : 1018 m.

    I.2 Forces de contact

    a) Force de rappel dun ressort

    Modifions la longueur au repos l0 dun ressort, soit en allongeant ce dernier de sorteque sa longueur l devienne suprieure l0, soit en le comprimant pour que l < l0.

    Pour une petite dformation |l l0| l0, le ressort exerce une force proportionnelle sa dformation (Fig. 3.2) :

    FFF = K(l l0) eeexo K est une constante caractristique du ressort qui sexprime en N.m1, appeleraideur, et eeex le vecteur unitaire port par la direction du ressort et orient selon le sensde son allongement (l l0 > 0). Cette expression est parfois appele loi de Hooke du nomdu physicien anglais Robert Hooke (contemporain de Newton) qui la tablie.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 56 #100

    56 3 Dynamique du point matriel

    O FF AA

    ll l l0 < 0l l0 > 0l0

    xO

    x

    Figure 3.2 Allongement et compression dun ressort horizontal

    b) Tension dun fil

    Un fil, lextrmit duquel on a accroch une masselotte, exerce sur cette dernire,lorsquil est tendu, une force de tension TTT. Dans le cas dun pendule simple, constitudun fil inextensible en kevlar (longueur constante l), cest cette tension qui contraintla masselotte dcrire un arc de cercle de rayon l malgr le poids (Fig. 3.3).

    O

    A(m)

    g

    Tl

    Figure 3.3 Force de tension du fil dans un pendule simple

    c) Contact avec un support

    Lorsquun point matriel A est pos sur un support, une table par exemple, ce dernierexerce une force de raction RRR qui empche A de sy enfoncer.

    En labsence de frottement, la raction est normale au plan de la table : RRR = Reeen, oeeen dsigne le vecteur unitaire normal ce plan (Fig. 3.4a). En prsence de frottement,le support exerce sur A une ractionRRR qui prsente deux contributions, lune normaleRRRn et lautre tangentielleRRRt (Fig. 3.4b) :

    RRR = RRRn +RRRt avec RRRn = Rn eeen et RRRt = Rt eeet

    eeet tant le vecteur unitaire tangent la table.Si A est en mouvement sur la table, on a RRRn vvv = 0. En outre, on constate exp-

    rimentalement que RRRt est de sens oppos vvv : RRR vvv = RRRt vvv < 0 (Fig. 3.4c). Enfin, lescomposantes normale Rn et tangentielle Rt sont relies par des lois exprimentalesdites lois de Coulomb, quil est inutile de donner ici.

    d) Force de frottement fluide

    Si le point matriel est en mouvement dans un milieu fluide, par exemple leau oulair, ce dernier soppose au mouvement du point A par une force de frottement fluideFFFf oppose la vitesse vvv de A par rapport au rfrentiel li au fluide. Ces forces defrottement visqueux ont t analyses trs tt par Galile puis par Newton. On lesreprsente en distinguant deux cas, selon la valeur de la vitesse.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 57 #101

    II Loi fondamentale de la dynamique 57

    R Rt

    Rn

    R

    A

    a) b) c)

    en

    ene

    t

    g

    Rn

    Rt v

    R

    A

    g

    A

    Support horizontal Support inclin

    Figure 3.4 a) Raction normale dun support sur un point immobile en labsence de frottementb) Raction normale et tangentielle en prsence de frottement c) Cas o A possde une vitesse non nulle

    i) Pour des vitesses susamment faibles, la relation entre FFFf et vvv est linaire :

    FFFf = vvv

    tant un coecient directement reli la capacit du fluide sopposer au mou-vement de A, prcisment sa viscosit. Cette loi est connue sous le nom de loi deStokes et la force est dite de Stokes, du nom du physicien anglais Georges Stokes quilexplicita en 1840. La dimension physique de est [M][T]1.

    ii) Pour des vitesses plus grandes, la force de frottement est proportionnelle au carr dela vitesse :

    FFFf = v2 eeev o eeev = vvvvest le vecteur unitaire port par la vitesse. Le coecient , que lon appelle souventcoecient de Venturi, du nom du physicien italien du XVIIIe sicle Giovanni Venturi,dpend notamment du fluide. La dimension de , qui dire de celle de , est[M][L]1.

    II LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE

    La loi fondamentale de la dynamique a t nonceparNewtonds les toutes premirespages de son uvre Principia Mathematica, sous lintitul deuxime loi . Elle exprimela relation entre les forces qui agissent sur un point matriel et une caractristique deson mouvement, appelle quantit de mouvement.

    Il est instructif de rappeler la formulation historique de la deuxime loi de Newton.

    II.1 nonc historique de la loi fondamentale de la dynamique

    Le changement de mouvement est proportionnel la force imprime et seectue suivant ladroite par laquelle cette force est imprime.

    Il vient, en caractrisant le mouvement, comme la fait Newton, par la quantit demouvement ppp et en dsignant par FFF la force imprime :

    dpppdt= FFF

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 58 #102

    58 3 Dynamique du point matriel

    Il devient alors ncessaire de prciser ce concept de quantit demouvement dun pointmatriel, concept apparu pour la premire fois avec Ren Descartes en 1645, puis reprispar Newton, en 1687, la premire page de son trait !

    II.2 Quantit de mouvement dun point matriel

    Par rapport un rfrentiel R, on appelle quantit de mouvement dun point matrielA, caractris par sa masse gravem, sa charge lectrique q, etc., le produit de sa vitessevvvA/R par un coecient scalaire constant m, appel masse inerte, dont les proprits et lasignification physique apparatront clairement avec lnonc de la loi fondamentale :

    ppp = mvvvA/R

    Remarques1) La quantit de mouvement est appele aussi impulsion ou moment linaire, du la-tin momentum qui est une contraction des mots movimentum (mouvement) etmovere (dplacer). Ces noms trouvent leur justification en physique moderne ouselon le problme tudi ; par exemple le terme impulsion est souvent utilis dansltude des collisions. Nous le rservons la quantit demouvement gnralise duneparticule charge dans un champ lectromagntique.2) On montre que lon peut choisir m = m avec une prcision relative meilleure que1013 (cf. Leon 26).

    II.3 nonc actuel

    Onobtient la formulationactuellede la loi fondamentalede ladynamiqueen combinantles deux relations prcdentes, ce qui donne :

    Relativement un rfrentiel galilen R, le mouvement dun point matriel A, de quantitde mouvement ppp, soumis plusieurs forces, de somme

    PFFF, satisfait la relation :

    dpppdt=X

    FFF avec ppp = mvvvA/R soit maaaA/R =X

    FFF

    puisque m est une constante.

    II.4 Analyse de la loi fondamentale de la dynamique

    a) Inertie

    Lamassem qui intervient dans la loi fondamentale de la dynamique traduit la propritdinertie, cest--dire la capacit dun corps rsister la modification de sa quantitde mouvement, do le qualificatif inerte . Plus m est grand, plus le corps rsiste :lexprience courante montre bien quil est plus ais de communiquer une vitessedonne une balle de ping-pong qu une boule de ptanque. Rciproquement, uneforce dtermine communiquera unevitesse pluspetite un corpsdemasse importantequ un corps de masse plus faible.

    Lunit de masse inerte est le kilogramme (cf. Leon 1).

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 59 #103

    II Loi fondamentale de la dynamique 59

    Remarques1) Trs souvent, par abus de langage, la masse inerte est simplement appele masse.Plus important, on la historiquement confondue avec la masse grave, pourtant toutesdeux a priori direntes, puisque la masse grave na de sens que relativement la forcede gravitation. Il est vrai, qu lanalyse, ces deuxmasses savrent gales, mais au prixdune rvolution majeure : labandon de la gravitation comme force par Einstein danssa thorie de la relativit gnrale.2) On voit parfois la force de frottement visqueux de Stokes crite sous la formecontestable suivante, FFFf = m/vvv, faisant apparatre la masse inertem, et ainsi laissantpenser, tort, que cette force serait proportionnelle la masse. Si lintroduction de ladure = m/, qui dpend de m, dans lanalyse du mouvement est judicieuse, cellea priori dans lexpression de la force est malheureuse. Rappelons que la seule force quisoit, aprs analyse, proportionnelle la masse est la force de gravitation, la pesanteurntant quune adaptation terrestre de cette dernire (cf. Leon 26), ce qui constitue unesingularit en physique, comme on vient de le dire prcdemment.

    b) Rfrentiels galilens

    Dans sa formulation, la loi fondamentale suppose lexistence de rfrentiels particu-liers, qualifis de galilens. Le rfrentiel du laboratoire, par rapport auquel les exp-riences quotidiennes sont conduites, peut tre considr comme une bonne ralisationdun tel rfrentiel. Dans la suite immdiate, nous nous contenteronsde ce rsultat dontla justification est dabord exprimentale. Nous verrons ultrieurement que certainsdsaccords irrductibles entre thorie et exprience ont conduit substituer au rfren-tiel du laboratoire dautres rfrentiels qui ralisent, eux, unemeilleure approximationdun rfrentiel galilen (cf. Leon 26).

    RemarqueDans ltude dumouvement en cinmatique galilenne, on na attribu aucun caractregalilen au rfrentiel dtude (cf.Leon 2). Ce nest que dans la recherche des causes dumouvement, cest--dire dans sa relation aux forces, que lon est conduit donner aurfrentiel dtude un statut particulier, galilen ou non. Dans la thorie de la relativitdEinstein, qui gnralise celle de Galile et Newton, au contraire, il est ncessaire deprciser la nature physique des rfrentiels ds la cinmatique ; aussi dit-on que larelativit a fait entrer, en 1905, la cinmatique dans le domaine des sciences physiques.

    c) Dtermination dune force

    Rciproquement, la loi fondamentale permet, lorsque le mouvement est connu, dedterminer les forces, voire den dcouvrir de nouvelles. Cest prcisment partirdes lois de Kepler sur le mouvement des plantes autour du Soleil (cf. Leon 23) queNewton put tablir lexpression de la force de gravitation en 1/r2. Cest partir dumouvement dun point dans unmilieu que lon a pu dduire les expressions des forcesde frottement visqueux ; cest aussi en tudiant les conditions du mouvement ou durepos dun point matriel en contact avec un support que lon a pu connatre, aumoinspartiellement, lexpression de la raction de contact RRR quexerce le support. De nosjours, cest en analysant le mouvement des satellites artificiels en orbite basse que londtermine prcisment le champ de gravitation terrestre (cf. Leon 36).

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 60 #104

    60 3 Dynamique du point matriel

    III PREMIRE LOI DE NEWTON OU PRINCIPE DE LINERTIE

    III.1 nonc historique et nonc actuel

    a) nonc historique de Newton

    Cet nonc figure dans les premires pages du trait de Newton : Tout corps persvre dans son tat de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si

    des forces imprimes le contraignent den changer.

    b) nonc actuel

    Par rapport tout rfrentiel galilen R, tout point matriel A, loign de tout autre corps(P

    FFF = 000), a un mouvement rectiligne uniforme : vvv = CteCteCte.En eet, daprs la deuxime loi de Newton, si

    PFFF = 000, alors :

    dpppdt= 0 do ppp = CteCteCte et vvv = CteCteCte

    Notons que la vitesse et la quantit de mouvement sont des constantes vectorielles.Le mouvement de A est alors rectiligne et uniforme, ce qui caractrise un point matriellibre, car soumis une force nulle. Le repos correspond videmment une valeur nullede la vitesse.

    c) Point matriel isol et point matriel pseudo-isol

    On distingue parfois un point matriel isol, lequel nest soumis aucune force (FFF = 000),dun point matriel pseudo-isol, soumis un ensemble de forces dont la somme estnulle :

    PFFF = 000.

    Remarques1) En nonant cette premire loi deNewton, on nepeut sempcher de penser lerreurhistorique dAristote Il ny a pas de mouvement (vitesse) sans moteur (force) .2) Cest Descartes qui nona le premier, de faon satisfaisante, le principe de linertiesous sa forme dfinitive, avec mouvement rectiligne et uniforme, dans Principe deschoses matrielles publi en 1644 (Newton navait que deux ans). Galile, lui, navaitconsidr que les mouvements circulaires uniformes comme ses prdcesseurs, enomettant le caractre rectiligne dans le principe de linertie. Ajoutons, pour lanecdote,que, dans son nonc original, Descartes associait explicitement la conservation de lavitesse dun point matriel isol limmuabilit de Dieu !3) Il ne faut pas confondre un point matriel libre, pour signifier isol ou pseudo-isol,et ltat libre que peut acqurir un point matriel en interaction avec un centre attractifparce quil peut sloigner infiniment de ce dernier (cf. Leon 4).4) En dernire analyse, comme la fait remarquer le physicien autrichien Ernst Mach(prononcez mar ), cette premire loi de Newton nest quune consquence de la loifondamentale de la dynamique, lorsque le point matriel est isol ou pseudo-isol.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 61 #105

    IV Exemples dapplication 61

    d) quilibre mcanique

    Un point matriel, isol ou pseudo-isol, est dit en quilibre ou au repos lorsque savitesse est nulle, ce qui suppose que sa vitesse initiale le soit. En eet :X

    FFF = 000 do vvv = CteCteCte = 000

    Par exemple, une masselotte A, soumise son poidsm et la tensionTTT dun fil, est enquilibre si :

    m +TTT = 000 et vvv = 000

    III.2 Rfrentiel inertiel

    Un rfrentiel est qualifi dinertiel si on peut y raliser le principe de linertie.Cest le cas, pour le rfrentiel du laboratoire, lorsque la pesanteur nest pas prise

    en compte, parce que ngligeable dans ses eets, ou si elle est compense par une autreforce ; rfrentiel du laboratoire et rfrentiel inertiel concident alors.

    Une table coussin dair, qui permet de compenser la pesanteur m par la rac-tion normale quexerce de lair sou par la table, est un rfrentiel galilen, qui estaussi inertiel deux dimensions. Nous verrons plus loin (cf. Leons 24 et 26) quunecabine dascenseur en chute libre ou un vaisseau spatial sans propulsion ralisent unrfrentiel inertiel trois dimensions, bien que non galilen.

    De faon gnrale, le rfrentiel du laboratoire est galilen, avec une excellenteapproximation (cf. Leon 26), mais il nest pas inertiel, pour tout mouvement troisdimensions, prcisment en raison de la pesanteur qui empche dy raliser le principede linertie.

    IV EXEMPLES DAPPLICATION

    IV.1 Conditions initiales

    Si lon connat, un instant particulier, ltat mcanique dun point matriel A, cest--dire sa position et sa vitesse, ou sa quantit de mouvement, la loi fondamentale permetde dterminer ltat mcanique de A, tout instant antrieur ou postrieur. On ditque la loi fondamentale est dterministe ou quil y a dterminisme, selon lexpressionintroduite par le mathmaticien Pierre Simon Laplace dans son trait de mcaniquecleste.

    En gnral, un instant particulier est choisi comme instant initial, cest--dire commeorigine des temps. Comme la loi fondamentale est du second ordre de drivation parrapport au temps, on obtient la vitesse partir de lacclration par une premireintgration, ce qui exige de connatre la vitesse un instant dtermin, le plus souvent linstant initial t = 0. Une seconde intgration permet dobtenir la position, mais lacondition initiale sur la position est alors ncessaire. Ainsi, pour chaque degr de libert,il y a deux conditions initiales.

    Comme nous le verrons dans des cas simples, tels que la chute des corps, les condi-tions initiales modifient considrablement la nature des trajectoires relevant pourtantde la mme application de la loi fondamentale.

    Ltude du mouvement dun point matriel ncessite de respecter une stratgieprcise. Le systme considr se rduisant un seul point matriel A, en mouvement

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 62 #106

    62 3 Dynamique du point matriel

    par rapport au rfrentiel terrestre R, suppos galilen, on doit successivement :i) eectuer le bilan des forces qui sexercent sur le point matriel considr ;ii) appliquer la loi fondamentale de la dynamique de Newton ;iii) exploiter lquation obtenue en conservant le plus longtemps possible sa forme

    vectorielle ;iv) projeter, si ncessaire, lgalit vectorielle prcdente dans la base la plus simple,

    laquelle ne concide pas ncessairement avec celle B du rfrentiel R ;v) analyser qualitativement les expressions littrales obtenues ;vi) enfin sassurer du respect des dimensions physiques et des ordres de grandeur.

    IV.2 Chute libre dans le champ de pesanteur

    a) Chute libre sans vitesse initiale

    Abandonnons (sans vitesse initiale) un point matriel A, de masse m susammentimportante de telle sorte que lon puisse ngliger les forces de frottement de lair,comme la suppos Galile. Il en rsulte que le point matriel nest soumis qu sonpoids m. Il est alors commode de choisir la base du rfrentiel R de telle sorte que Oxconcide avec la verticale descendante dfinie par la direction et le sens du champ depesanteur (cf. Leon 26).

    Par rapport au rfrentiel terrestre, suppos galilen, la loi fondamentale scrit :

    maaa = m do aaa =

    Ainsi, dans le vide, lacclration deA est indpendante de samasse, comme le confirmelexprience dite du tube de Newton (cf. Leons 1 et 26) : tous les corps tombentdans le vide avec la mme acclration. Prcisons que ce rsultat exceptionnel a pourfondement lgalit, admise ici, des masses inerte et grave (cf. Leon 26).

    On en dduit aisment lexpression de la vitesse du point A en intgrant unepremire fois par rapport au temps :

    vvv = t + vvv0 = t

    puisque la vitesse initiale vvv0 est nulle.Une seconde intgration donne le vecteur positionOAOAOA au cours du mouvement :

    OAOAOA =12t2 +OAOAOA0

    OAOAOA0 donnant la position initiale. Projetons ces vecteurs dans la base cartsienne B ={eeex, eeey, eeez}. Il vient, pour aaa, vvv et OAOAOA, respectivement, puisque eeex est orient selon laverticale descendante :

    aaa =

    B

    xyz

    =

    B

    00

    vvv =

    B

    xyz

    =

    B

    t00

    OAOAOA =

    B

    xyz

    =

    B

    t2/200

    si initialement A0 est en O. Ainsi, seule la coordonne x est aecte :

    x = x = t et x =t2

    2

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 63 #107

    IV Exemples dapplication 63

    On en dduit la dure de chute tc, entre la position initiale et la hauteur h parcourue :

    tc =2h

    1/2

    ORDRE DE GRANDEUR

    Du sommet de la tour de Pise (h = 54,5m), en Italie, o une lgende arme que Galilelaissa tomber des corps de masse dirente pour tudier la chute libre, on trouve, enngligeant les frottements, tc = 3,3 s.

    Remarques1) Galile avait conscience de linfluence des forces de frottement. Son gnie fut dedduire dexpriences approximatives la loi prcdente vraie dans le vide.2) Einstein considrait que lexprience de la chute des corps dans le vide, avec lamme acclration, en raison de lexceptionnelle galit de la masse grave et de lamasse inerte, tait la plus belle exprience de physique fondamentale quun professeurde physique pouvait montrer ses tudiants.3) Trs souvent, on dsigne par Oz laxe vertical ascendant. Un tel choix ntait pas iciadapt, car le mouvement de chute privilgie la verticale descendante.

    b) Chute libre avec vitesse initiale

    Si le pointA est lch avec une vitesse initialevvv0 faisant un angle0 avec laxe horizontalOy (Fig. 3.5), la trajectoire nest plus rectiligne, alors que lquation du mouvement,issue de la loi fondamentale, est toujours la mme : aaa = .

    En eet, si on projette, comme prcdemment, cette quation dans la base B ={eeex, eeey, eeez}, on obtient :

    aaa =

    B

    xyz

    =

    B

    00

    do vvv =

    B

    xyz

    =

    B

    t + Cte = t + v0 cos0Cte = v0 sin00

    puisquinitialement les composantes de la vitesse sont respectivement v0 cos0 etv0 sin0. Une seconde intgration donne :

    OAOAOA =

    B

    xyz

    =

    B

    t2/2 + (v0 cos0) t + Cte = t2/2 + (v0 cos0) tv0 sin0 t + Cte = v0 sin0 t0

    puisqu linstant initial les coordonnes de A taient nulles.Lquation de la trajectoire sobtient en liminant le temps, prcisment en expri-

    mant t en fonction de y et en remplaant lexpression de t ainsi obtenue dans x. Ontrouve :

    t =y

    v0 sin0do x =

    12

    v20 sin2 0

    y2 +y

    tan0

    La trajectoire est donc une parabole (Fig. 3.5 et cf. OM3).

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 64 #108

    64 3 Dynamique du point matriel

    O y

    x

    g 0 v0

    Figure 3.5 Chute libre pour une vitesse initiale non nulle

    Retenons que, selon la direction de la vitesse initiale vvv0, le mouvement est rectiligneou parabolique ; les conditions initiales jouent donc un rle essentiel dans la nature dela trajectoire dans des mouvements dynamiquement quivalents. Le cas o 0 = /2donne la parabole avec sommet en O :

    x =

    2v20y2

    IV.3 Chute avec frottement de Stokes

    En prsence dun frottement de Stokes (FFFf = vvv), la loi fondamentale applique unpoint matriel A devient :

    mdvvvdt= maaa = m vvv soit dvvv

    dt+vvv= o =

    m

    est un coecient homogne une dure. Explicitons cette quation vectorielle dans lamme base que prcdemment, en introduisant les trois composantes de la vitesse, vx,vy, vz ; on obtient :

    B

    vxvyvz

    +

    B

    vx/vy/vz/

    =

    B

    00

    dodvxdt+vx=

    a) Vitesse initiale nulle

    La solution de cette quation direntielle du premier ordre, coecients constantsavec secondmembre, est la somme de la solution de lquation direntielle homogne(sans second membre) et de la solution particulire dfinie par vx constant (cf. OM8).

    La premire solution scrit :

    Cte exp t

    o Cte dsigne une constante. Comme la seconde solution est , il en rsulte lexpres-sion gnrale suivante de la vitesse :

    vx(t) = Cte exp t

    +

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 65 #109

    IV Exemples dapplication 65

    Puisqu linstant initial vx = 0, on trouve :

    0 = Cte + do Cte = et vx(t) = 1 exp

    t

    Ainsi, on a, vectoriellement :

    vvv = 1 exp

    t

    eeex

    La figure 3.6 montre lvolution de la vitesse du point matriel A. On constate quaubout dune dure de quelques , la vitesse de A atteint la valeur limite vl = = m/.

    tO

    vl

    vx

    Figure 3.6 volution de la vitesse de chute dun point matriel avec frottement de Stokes

    ORDRES DE GRANDEUR

    i)Dans lexprience de Millikan (cf. Leon 1), la vitesse limite de chute dans lair dunegoutte dhuile, assimile un point matriel, est de lordre de 0,1 mm.s1. On trouvealors comme ordre de grandeur de , en prenant pour masse volumique de lhuilem,h = 810 kg.m3, et pour rayon de la goutte r = 1 m :

    =mvl=4m,hr3

    3vl 4 810 10

    18 9,803 104 3,3 10

    10 kg.s1

    ii) De mme, une gouttelette deau dun nuage tombe avec une vitesse de lordre de10 cm.s1. Dans ce cas, lordre de grandeur de est, puisque la masse volumique deleau est m,e = 1 000 kg.m3, pour une gouttelette de rayon 10 m :

    =4m,er3

    3vl 4 1 000 10

    15 9,803 0,1 4,2 10

    10 kg.s1

    La position du point A sobtient en intgrant lexpression prcdente de vx :

    x(t) = t + 2 exp t

    + Cte

    Si initialement x(0) = 0, on trouve :

    0 = 2 + Cte do Cte = 2 et x(t) = t 21 exp

    t

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 66 #110

    66 3 Dynamique du point matriel

    Remarques1) La vitesse limite tait prvisible sans calcul. Au dbut de la chute sans vitesseinitiale, le terme de Stokes est nul, mais au fur et mesure que la vitesse crot, sa valeuraugmente jusqu atteindre une valeur gale au poids. Les deux forces se neutralisentalors et le corps acquiert une vitesse telle que m = vl.2) La mesure de vl permet de dterminer le coecient . Une telle technique sert ainsi mesurer la viscosit dun fluide, laquelle intervient dans ; lappareil correspondantest un viscosimtre chute.3) Nous avons vu quen labsence de frottement le point matriel dcrivait une trajec-toire rectiligne selon une loi quadratique (en t2), pour une vitesse horizontale nulle.Cette volution nest plus quadratique en prsence dun frottement de Stokes.

    b) Vitesse initiale selon lhorizontale

    Le point A est, cette fois, lanc selon lhorizontale, prcisment avec une vitesse vvv0 =v0 eeey. Comme la vitesse initiale selon la verticale Ox est toujours nulle, on a encore :

    vx(t) = 1 exp

    t

    et x(t) = t 2

    1 exp

    t

    Selon Oy, lquation direntielle traduisant lvolution de vy est maintenant :

    dvydt+vy= 0 do vy(t) = Cte exp

    t

    Puisquinitialement vy = v0, Cte = v0 ; par consquent :

    vy(t) = v0 exp t

    On en dduit aisment lvolution de y en intgrant par rapport au temps :

    y(t) = v0 exp t

    + Cte

    Or, avec y = 0 linstant initial, Cte = v0. On en dduit :

    y(t) = v0 1 exp

    t

    La trajectoire nest donc plus une parabole comme en labsence de frottement (cf.Exercices). Cependant, dans lair, pour des objets courants, lcart avec la chute librenest pas trs significatif, car 104 kg.s1, et donc 1/ = /m ngligeable, sauf pourdes masses trs faibles.

    IV.4 Chute avec frottement de VenturiComme on suppose que le point matriel est maintenant soumis une force de frot-tement fluide de type Venturi, FFFf = v2 eeev, avec eeev = vvv/v, lquation du mouvementdevient :

    mdvvvdt= maaa = m v2 eeev

    En raison de la prsence du terme quadratique v2, cette quation direntielle nestpas linaire et est donc dlicate rsoudre (cf. OM8). Dans ce contexte, la simulationnumrique est un outil prcieux.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 67 #111

    IV Exemples dapplication 67

    a) Vitesse initiale selon la verticale

    Projete dans la mme base cartsienne que prcdemment, cette quation donne,puisque v2 = v2x :

    B

    vxvyvz

    +

    mB

    v2x00

    =

    B

    00

    do mdvxdt= m v2x

    Montrons que vx tend vers la limite (m/)1/2. Au dpart, le terme de pesanteur estprpondrant si la vitesse initiale v0 nest pas trop importante ; au fur et mesure quevx augmente partir de sa valeur initiale v0, linfluence du terme de frottement crotjusqu atteindre la valeur de m. La vitesse vx nvolue alors plus car dvx/dt = 0 etprend la valeur limite telle que :

    v2l = m soit vl =m

    1/2

    Lquation direntielle scrit donc :

    dvxdt=

    1 v

    2x

    v2l

    La rsolution de cette quation donne une solution de la forme (cf. OM8) :

    vx = vl tanhtvl+ Cte

    avec Cte = argtanh

    v0v&

    La figure 3.7 reprsente lvolution de la vitesse : lorsque t est faible, vx v0 t ;lorsquon fait tendre t vers linfini, vx tend videmment vers vl.

    v0

    v

    t

    vx

    0

    Figure 3.7 volution de la vitesse dun point matriel en chute avec frottement de type Venturi

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 68 #112

    68 3 Dynamique du point matriel

    ORDRES DE GRANDEUR

    i) Pour un corps humain, assimil un point de masse m = 70 kg, la vitesse limite dechute dans latmosphre est environ 200 km.h1, soit 55,5 m.s1. On obtient alors :

    =9,80 7055,52

    0,22 kg.m1

    Le coecient dpend de lorientation du corps. La vitesse limite peut atteindre voiredpasser 100 m.s1.ii) Lors dune svre averse de pluie, les gouttes tombent avec une vitesse de lordre de9 m.s1. Pour une goutte de diamtre D = 2r = 6 mm, on trouve e dsignant la massevolumique de leau :

    =4er33v2l

    4 1 000 (3 103)3 9,80

    3 92 1,37 105 kg.m1

    RemarqueSi la vitesse initiale v0 tait importante, le terme de frottement dominerait ds linstantinitial : ce dernier diminuerait alors la vitesse vx jusqu ce quil soit compens par lapesanteur et que dvx/dt = 0. La vitesse serait alors la vitesse limite v&.

    b) Vitesse initiale selon lhorizontale

    Si la vitesse initialenest pasnulle et fait unangle0 avec la verticale, la loi fondamentalesexplicite selon :

    B

    xyz+

    mB

    (x2 + y2)1/2 x(x2 + y2)1/2 y0

    =

    B

    00

    do, les quations suivantes du mouvement :

    x = m(x2 + y2)1/2x et y =

    m(x2 + y2)1/2 y

    La rsolution de ces quations passe ncessairement par un ordinateur. Sur la figure 3.8,on a reprsent la trajectoire obtenue pour une boule de ptanque avec m = 0,71 kg, = 2 kg.m1 et 0 = /2.

    20

    20

    y (m)

    x (m)

    = 3,67 104 kg.m1

    = 0g

    Figure 3.8 Chute avec force de frottement de Venturi et vitesse initiale selon lhorizontale

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 69 #113

    IV Exemples dapplication 69

    IV.5 Oscillations dun ressort

    Une masselotte, assimile un point matriel A (masse m), est attache lextrmitdun ressort, de raideurK et de longueur au repos l0, dont lautre extrmit est fixe unpoint fixe O ; lensemble est plac dans le champ de pesanteur dfinissant la verticaledescendante Ox (Fig. 3.9a).

    X

    K

    AO

    x

    b)a)

    g

    O

    le

    l0A

    X

    x

    Figure 3.9 Oscillateur lastique a) Vertical b) Horizontal

    Analysons le mouvement lorsquinitialement on allonge le ressort et quon le lche.En labsence de frottement de lair, les seules forces qui sexercent sur A sont le poidsm et la force de rappel K(x l0) eeex du ressort. La loi fondamentale scrit, dans lerfrentiel terrestre R :

    maaa = m K(x l0)eeex soit mx = m K(x l0)en projection selon Ox.

    Notons qu lquilibre, la somme des forces tant nulle, on a :

    0 = m K(xe l0) do xe = l0 + mKIl est alors judicieux dintroduire la longueur le = l0+m/K qui correspond la longueur lquilibre du ressort, avant son allongement. On obtient, en posant X = x le :

    mx = K(x le) do X + 20X = 0 avec 20 = KmCette quation direntielle est caractristique dun mouvement oscillant sinusodalautour de la position dquilibre de priode T0 = 2/0 (cf. Leon 7 et OM8). Cest bience que montre lexprience ralise avec K = 15 N.m1 et m = 300 g. En mesurant lapriode de 10 oscillations avec un chronomtre, on trouve bien une valeur proche decelle calcule, T0 0,9 s.

    RemarqueSi la masselotte oscille sans frotter sur un axe horizontal (Fig. 3.9b), on obtient desrsultats similaires, condition de remplacer le par l0 dans les relations prcdentes.

    IV.6 Pendule simple dans le champ de pesanteur

    On ralise unpendule simple en attachantunemasselotte, assimile unpointmatrielA (masse m), lextrmit dun fil tendu, inextensible (longueur l), lautre extrmit

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 70 #114

    70 3 Dynamique du point matriel

    Tg

    A

    O

    x

    y

    e

    er

    Figure 3.10 Pendule simple dans le champ de pesanteur

    tant fixe en un point fixe O dun rfrentiel terrestre R (Fig. 3.10). Si on lche un telpendule, une fois cart de la verticale dun angle , on observe des oscillations.

    En labsence de frottement, les seules forces qui sexercent sur A sont le poidsm etla tension TTT du fil. La loi fondamentale scrit, par rapport R :

    maaa = m +TTT = m TOAOAOAl

    puisque la tension est oriente vers le point de fixationO. En explicitant cette quationvectorielle dans la base polaire, dfinie par le vecteur unitaire radial eeer et le vecteurunitaire orthoradial eee, on trouve :

    0 = m cos T et ml = sin soit + 20 sin = 0 avec 20 = lLa premire quation donne T = m cos, ce qui montre que la tension du fil nepeut tre dtermine quune fois le mouvement connu. La seconde en est lquationdirentielle du mouvement ; elle nest pas linaire puisque sin est une fonctionnon linaire de . Cependant, si est susamment petit, on a sin , ce qui rendlquation linaire et donc simple rsoudre :

    + 20 = 0

    Cest lquation caractristique dun oscillateur harmonique (cf. Leon 7).

    V OUVERTURES

    V.1 Loi fondamentale de la dynamique dEinstein

    Lorsque la vitesse v dun point mobile nest pas ngligeable devant la constantedEinstein c, comme cest le cas avec des particules charges en mouvement dansun champ lectrique, on constate des carts irrductibles entre les rsultats expri-mentaux et la loi fondamentale newtonienne de la dynamique. La deuxime loi deNewton doit tre remplace par une loi plus prcise qui lenglobe, la loi fondamentaledEinstein de la dynamique, dite relativiste. Il nest cependant pas inutile de prciserque cette nouvelle loi a t tablie par Einstein, en 1905, partir dune constructionintellectuelle, la relativit restreinte, et non sous la pression dune exprience dicile interprter dans le cadre newtonien.

    La modification apporte par Einstein, dans sa thorie de la relativit restreinte, porteessentiellement sur la quantit de mouvement, puisquon a toujours :

    dpppdt=X

    FFF mais avec ppp =mvvv

    (1 v2/c2)1/2 et non ppp = mvvv

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 71 #115

    V Ouvertures 71

    videmment, dans lapproximation des faibles vitesses (v c), la loi fondamentaledEinstein restitue celle de Newton, puisque :

    ppp = mvvv1 v

    2

    c2

    1/2 mvvv

    1 +

    v2

    2c2

    mvvv

    La prcision de lapproximation newtonienne reste cependant excellente ; en eet, tantque v < 3 000 km.s1, (v/c < 0,01), soit cent fois la vitesse de la Terre sur son orbiteautour du Soleil, le terme correctif sans dimension v2/(2c2) est infrieur 5 105, cequi est ngligeable.

    RemarqueCertains auteurs attribuent, tort, m/(1 v2/c2)1/2, qui a la dimension dune masse, lestatut physique demasse variable avec la vitesse. lanalyse, ce concept savre inutileet source de confusion. Prcisons quil napparat pas dans la publication originaledEinstein, mais uniquement dans des textes crits par des vulgarisateurs.

    V.2 Indterminisme exprimental et chaos

    Daprs ce qui prcde, le mouvement dun point matriel serait parfaitement connu partir de son tat mcanique un instant ; cest le dterminisme de Laplace. Ce dernierest en fait uniquement thorique, car on ne peut dfinir un tel tat avec une prcisioninfinie, les mesures de position et de quantit de mouvement tant toujours entachesderreurs.

    Parfois, cette indtermination sur ltat ne prsente pas dimportance, car elle restedu mme ordre de grandeur au cours du mouvement. Cest le cas notamment lorsqueles quations du mouvement sont linaires (cf. Leon 21). Le dterminisme thoriquedevient alors exprimental.

    Dans certains cas de systmes non linaires, lindtermination peut voluer expo-nentiellement ; ltat mcanique nest alors plus prvisible : le systme est chaotique. Cestce que lon constate avec latmosphre, comme la soulign le mtorologue amricainEdward Lorenz en 1963, ou avec trois corps et plus en interaction gravitationnelle,comme le montra le physicien franais Henri Poincar au dbut du sicle dernier.

    CONCLUSION

    Retenons les points essentiels suivants.

    1) Les forces traduisent la prsence de corps dans lenvironnement dun point mat-riel A. On distingue les forces fondamentales, au nombre de quatre, qui agissent distance et qui sont toujours prsentes, mme lchelle microscopique, des forcesmacroscopiques de contact (raction dun support, frottement solide et fluide, ten-sion dun fil, tension dun ressort).

    2) La loi fondamentale de la dynamique deNewton, relie les forces aumouvement. Parrapport au rfrentiel du laboratoire suppos galilen, le mouvement de A satisfait lquation vectorielle :

    dpppdt=X

    FFF o ppp = mvvv

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 72 #116

    72 3 Dynamique du point matriel

    est la quantit de mouvement de A, m tant un coecient constant, la masse inerte.Comme ppp = mvvv, cette loi fondamentale se rduit :

    maaa =X

    FFF

    3) La masse inerte doit tre fondamentalement distingue de la masse grave m, quiintervient dans lexpression de la force de gravitation, bien qugale cette dernire.Cependant, lgalit m = m est tablie avec une incertitude relative qui atteintactuellement 1013.

    4) Le rfrentiel du laboratoire peut tre considr comme galilen avec une excellenteapproximation pour la plupart des expriences quotidiennes.

    5) Les conditions initiales jouent un rle dterminant puisquelles permettent deconnatre le mouvement dun point matriel tout instant. Du point de vue mca-nique, ltat de cedernier est caractris par sa position et sa quantit demouvement,ce qui ncessite deux conditions initiales.

    6) La premire loi de Newton, ou principe de linertie, apparat, aprs analyse, commeune consquence de la loi fondamentale ; si le point est isol ou pseudo-isol (

    PFFF =

    000), sa quantit de mouvement est une constante vectorielle ; le mouvement estrectiligne uniforme.Un rfrentiel dans lequel on peut raliser la premire loi de Newton est quali-fi dinertiel. Ainsi, une table coussin dair forme un rfrentiel inertiel deuxdimensions dans un plan horizontal.

    7) La loi fondamentale de la dynamique de Newton du point matriel nest quuneapproximation de celle dEinstein qui lenglobe dans le cas o les vitesses ne sontplus trs faibles devant c.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 73 #117

    Travaux dirigs 73

    TRAVAUX DIRIGSQuestions de cours

    Q3-1 Rappeler la nature des quatre forces fondamentales. Donner les expressionsde la force de gravitation et de la force lectrostatique entre deux points matriels.

    Q3-2 Quelles sont les expressions des diverses forces de frottement, visqueux etsolide ?

    Q3-3 noncer la deuxime loi de Newton laide du concept de quantit demouvement.

    Q3-4 noncer la premire loi de Newton.

    Q3-5 Quappelle-t-on rfrentiel inertiel ? Exemple de ralisation.

    Q3-6 Montrer sur lexemple de la chute libre le rle essentiel des conditionsinitiales dans la nature de la trajectoire.

    Q3-7 Quand dit-on quun point matriel est isol ou pseudo-isol ? Exemple.

    Q3-8 quelle conditionunpointmatriel est-il au repospar rapport au rfrentielterrestre ? Exemple.

    Q3-9 Comment dfinit-on ltatmcanique dun pointmatriel ? En quoi consistele dterminisme laplacien ?

    Q3-10 Quel est le rsultat essentiel de la chute libre dans le vide ? En quoi est-il exceptionnel ? Donner lexpression einsteinienne de la loi fondamentale de ladynamique qui gnralise celle de Newton.

    Exercices

    E3-1 Lanc vertical dune balleUne balle, assimile un point matriel de masse m, est lance avec une vitesseinitiale v0 non nulle, selon la verticale ascendante Ox, depuis un point situ unehauteur h = 1,20 m du sol. On nglige les frottements visqueux de lair.

    1. tablir la loi horaire du mouvement.

    2. a) Dterminer laltitude maximale atteinte par la balle et la dure sparant lins-tant initial du lanc de linstant o la balle touche le sol.

    b) Calculer cette dure pour une vitesse initiale de 5 m.s1.

    E3-2 Parachute de freinage dun avionUn avion de chasse, de masse m = 10 t, se pose, racteurs coups, une vitesse de240 km.h1. linstant initial o le train datterrissage entre en contact avec le sol,le pilote dploie un parachute de freinage. On nglige la force de frottement fluide TR

    AVAU

    XDIRIG

    S

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 74 #118

    74 3 Dynamique du point matriel

    de lair sur lavion ainsi que les forces de frottement dues au contact avec le sol. Lesfrottements de lair sur le parachute sont modliss par une force de type Venturi,de coecient = 6 kg.m1.

    1. tablir lquation direntielle laquelle obit la vitesse vvv de lavion. En dduirelvolution de la vitesse de lavion.

    2. Pourquoi est-il ncessaire dactionner un systme de freinage, agissant sur lesroues, pour immobiliser lavion ?

    3. Le pilote actionne les freins des roues lorsque la vitesse de lavion par rapport ausol atteint 100 km.h1. cet instant, quelle a t la distance parcourue sur la piste ?

    E3-3 Tir dun ballonUn ballon de football, pos au sol, est frapp avec une vitesse initiale v0 = 30 m.s1,faisant un angle 0 = 30 avec lhorizontale Ox. Durant son vol, le ballon, assimil un point matriel de masse m = 0,43 kg, est soumis des frottements arodyna-miques ; on suppose quils sont de type Stokes avec = 0,2 kg.s1.

    1. tablir lquation vectorielle du mouvement dcrivant lvolution du vecteurvitesse vvv ?

    2. Dterminer la solution vvv(t). Montrer quil existe une vitesse limite v& dont ondonnera lexpression. Que peut-on en dduire quant la forme de la trajectoire duballon ? Tracer son allure.

    3. a) Dterminer le vecteur positionOAOAOA. En dduire les coordonnes x(t) et y(t) duballon, laxe Oy tant dfini par la verticale ascendante.

    b) Montrer que la coordonne x est limite par une valeur xp, dite porte du tir, quelon dterminera.

    4. Calculer les coordonnes de la flche F de la trajectoire du ballon, cest--direcelles du point daltitude maximale.

    5. a) Quelle porte et quelle flche seraient-elles atteintes en labsence de frotte-ment ?

    b) Comparer numriquement les dirences ; sont-elles significatives ?

    E3-4 Pendule coniqueUn pendule simple, constitu dune masselotte attache lextrmit A dun fildont lautre extrmit O est fixe, est mis en mouvement circulaire uniforme, le filformant avec la verticale descendante Oz un angle constant. La trajectoire de lamasselotte du pendule est donc contenue dans le plan horizontalOxy. La longueurl = OA du fil est 25 cm.

    1. a) crire la loi fondamentale de la dynamique en y faisant apparatre la tensionTTTdu fil exprime en fonction de sa valeur T et du vecteurOAOAOA.

    b) En la projetant sur la base cylindrique, dterminer la vitesse angulaire de A enfonction de , l et .TR

    AVAU

    XDIRIG

    S

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 356 #400

    356 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

    Il sagit prcisment de deux lentilles paisses accoles, de diamtre important (8 cm),quivalent une lentille mince convergente dassez courte distance focale (10 cm)que lon approche au plus prs de lobjet afin quune grande portion de ce dernier soitclaire (Fig. 14.8).

    II.3 Mise au point

    On sassure dabord que la distanceminimale objet-cran, 4 fi, soit respecte, afin quob-jet et image soient rels (cf. Leon 11). On recherche alors les deux positions de la lentillepour lesquelles lobjet et limage sont conjugues lune de lautre ; gnralement, onchoisit la position de la lentille pour laquelle limage est plus grande que lobjet. Leslentilles de courtes focales, 10 15 cm, doivent tre prfres, si lon souhaite un fortgrandissement transversal.

    II.4 Rglage du tirage source-condenseur

    Afin de se placer dans les conditions de Gauss, on rgle la distance condenseur-sourcede sorte que limage de la source donne par le condenseur, gnralement le filamentde la lampe, se forme au centre de la lentille (Fig. 14.8). Ce rglage seectue soit entranslatant la source, soit en reculant le condenseur. On vite ainsi que la lentille neforme son tour, au voisinage de lcran, limage de la source.

    RemarqueSi lobjet est diusant, par exemple sil sagit dun verre dpoli, le condenseur estfacultatif. La lumire issue de la source claire alors directement lobjet.

    III INSTRUMENTATION USUELLE

    III.1 Loupe

    La loupe est un instrument destin augmenter langle sous lequel on voit un objet.Cest souvent une lentille paisse, de courte distance focale image fi, de lordre dequelques centimtres.

    a) Utilisation

    Lobjet est gnralement plac au foyer de la lentille afin quun il puisse observerlimage sans accommoder, laquelle est virtuelle (cf. Leon 13).

    Sans instrument, on examine les dtails dun objet en plaant ce dernier la pluscourte distance de lil possible, cest--dire la distance minimale de vision distinctedm 25 cm (Fig. 14.9a). La prsence de linstrument a donc pour eet de remplacer dmpar fi et ainsi daugmenter langle sous lequel on voit lobjet puisque fi < dm (Fig. 14.9b).

    b) Grossissement

    Le grossissement G est dfini par la valeur absolue du rapport de langle i sous lequelon voit lobjet, travers linstrument, et de langle dobservation lil nu :

    G =|i|

    avec i =AoBofi

    et =AoBodm

    do G =dmfi

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 357 #401

    III Instrumentation usuelle 357

    B0

    A0

    dm

    B0

    A0

    FiO

    ii

    a) b)

    Figure 14.9 Loupe a) Vision directe dun objet b) Vision dun objet travers la loupe

    pour la loupe. Gnralement, le grossissement caractrise les instruments qui donnentdun objet virtuel une image virtuelle, comme un microscope par exemple (cf. III.6).

    ORDRE DE GRANDEUR

    Pour fi = 5 cm,G = 25/5 = 5. Les fabricantsmentionnent gnralement le grossissementsur la monture de la loupe ; dans ce cas, une telle loupe portera linscription : 5.

    c) Latitude de mise au point

    La capacit daccommodation de lil autorise une certaine latitude de rglage de ladistance objet lentille, appele latitude de mise au point. Limage donne par la loupepourra tre observe nettement par lil, uniquement si elle se situe entre le punctumproximum et le punctum remotum.

    valuons la latitude de mise au point enmaintenant la distance lentille-il fixe, parexemple en positionnant lil au foyer image Fi de la loupe L.

    i) Si lobjet se trouve au foyer objet Fo de L, son image, qui se forme linfini, constituepour lil emmtrope, un objet au punctum remotum (Fig. 14.10a).

    O FiAi

    dmBi

    F0 A0

    LoupeLoupea) b)

    B0O FiA0

    F0

    B0

    Figure 14.10 Image dun objet donne par une loupe a) Objet au punctum remotum pour lilb) Objet au punctum proximum pour lil

    ii) Si limage de lobjet donne par L se trouve au punctum proximum : FiAi = dm. Enutilisant la relation de conjugaison deNewton, on trouve la position correspondantede lobjet (Fig. 14.10b) :

    FoAo FiAi = f 2 do FoAo = f2

    dm

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 358 #402

    358 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

    Ainsi, pour cette position de lil en Fi, laccommodation est possible si lobjet estplac entre Fo et Ao, ce qui donne comme latitude de mise au point Lm :

    Lm =f 2

    dm=

    dmG2

    Pour une loupe de grossissement 5, cette latitude mise au point vaut Lm = 1 cm.

    III.2 Oculaire

    Les oculaires (du latin ocularis, relatif lil) sontdes systmesoptiquesgnralementconstitus de deux lentilles (Fig. 14.11). Analogues aux loupes, on les prfre cesdernires, notamment en raison des possibilits quore la configuration de doubletpour la correction des aberrations chromatiques (cf. Leon 11).

    eL1 L2

    A0F0, 1 F0, 2 Fi, 2Fi, 1O1 O2

    Figure 14.11 Fonctionnement dun oculaire de Ramsden. Dtermination du foyer objet

    a) Caractrisation dun doublet

    On caractrise gnralement un doublet de deux lentilles minces L1 L2, de distancesfocales images f1 et f2, spares par une distance e, par un triplet de petits nombresentiers m, l, p proportionnels f1, e, f2, respectivement :

    f1m=

    el=

    f2p= u

    o u dsigne ce rapport commun. Notons que les entiers m, l, p ne sont pas forc-ment positifs. Parmi les doublets connus, citons loculaire symtrique 3, 2, 3 de JesseRamsden, opticien britannique du XVIIIe sicle et loculaire 3, 2, 1 dHuygens. Ce der-nier prsente lavantage dtre pratiquement achromatique lorsque les deux lentilles,tailles dans le mme verre, sont spares par une distance gale la demi-somme desdistances focales images :

    e =f1 + f22

    soit l =m + p2

    En eet, on montre, partir de la distance focale image fi de lensemble, laquelledpend de f1, f2, mais aussi de e, que la variation de fi, lorsque la longueur donde durayonnement varie, peut tre nglige si la condition prcdente est satisfaite.

    b) Fonctionnement

    Dans des conditions dobservation o lil naccommode pas, limage dun pointobjet Ao par loculaire doit tre linfini ; Ao doit donc se trouver dans le plan focal

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 359 #403

    III Instrumentation usuelle 359

    objet de loculaire. Pour cela, L1 doit former limage de Ao dans le plan focal objet deL2. On obtient la position de Ao laide de la relation de conjugaison de Descartes(cf. Leon 11), ce qui donne pour le doublet de Ramsden 3, 2, 3 (Fig. 14.11) :

    1pi 1po=

    1f1=

    13u

    avec pi = O1Fo,2 = O1O2 +O2Fo,2 = 2u 3u = u do :

    po = O1Ao = 34uAinsi, pour u = 5 mm, on trouve po = 3,75 mm.

    RemarqueOn peut constater la proximit du plan focal objet dun oculaire en sen servant commedune loupe.

    c) Oculaire rticul

    Puisque limage de Ao donne par le doublet se forme linfini, Ao est dans le planfocal objet de loculaire. On utilise parfois ce plan pour y placer un fin rticule, dontlimage travers loculaire se superpose alors celle de lobjet.

    De tels rticules se prsentent souvent sous la forme :i) dune croix permettant de pointer un objet, par exemple une toile afin dorienter

    le tlescope dans la direction dobservation souhaite,ii) dun ruban gradu appel micromtre, permettant de mesurer une distance ou,

    indirectement, un angle.

    III.3 Viseur

    Un viseur est un systme optique servant reprer prcisment la position dun objetsitu dans un plan de front plusieurs centimtres ou dcimtres de lentre de lins-trument. Ce dernier tant destin lil, le plan de front appel plan de vise doit setrouver dans le plan focal objet du viseur afin de former une image linfini.

    Ce systme est constitu dun objectif L1 convergent et dun oculaire, que lonassimile, pour simplifier, une lentille mince L2 (Fig. 14.12a). Lobjectif forme limagedu plan de vise dans un plan contenant un rticule, lequel joue le rle dobjet pourloculaire.

    Le rglage dun viseur consiste mettre au point limage du rticule traversloculaire, en agissant sur une crmaillre ou un dispositif de rglage quivalent. Ladistance entre lobjectif et le rticule dtermine alors la distance du viseur au plande vise, indpendamment du tirage de loculaire, et conformment la relation deconjugaison de Descartes :

    1O1Ai

    1O1Ao

    =1f1

    f1 tant la distance focale image de lobjectif.Un viseur permet de dterminer, sur un banc doptique, la position dune image

    relle ou virtuelle. Par exemple, pour mesurer la distance AoAi entre un objet rel AoBoet son image virtuelle AiBi travers une lentille mince divergente L (Fig. 14.12b), onvise successivement :

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 360 #404

    360 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

    A0 O1 O2

    Ai

    Objectif OculaireRticule

    Crmaillre B0

    A0

    BiO

    AiFi za zzp

    L

    A0 Ai

    b)

    ViseurObjectif Oculaire

    a)

    Figure 14.12 Viseur a) Fonctionnement b) Vise dune image virtuelle

    i) lobjet rel en labsence de L et on lit sur le banc labscisse za du viseur,

    ii) limage virtuelle, en prsence de L, en mesurant la nouvelle abscisse zp du viseur. Ladistance recherche est alors AoAi = zp za.

    Remarques1) Lorsque la distance de lobjectif au rticule nest pas rglable, le viseur est dit frontale fixe, la distance du plan de vise lobjectif tant fixe par construction.2) Un oculaire est capable de raliser la mme fonction quun viseur. Ce qui len dis-tingue, cest notamment la distance entre le plan focal objet et lentre de linstrument,laquelle nest que de quelques millimtres pour un oculaire, ce qui rend impossiblelobservation dimages virtuelles.

    III.4 Collimateur

    Certains instruments doptique, comme le spectroscope prisme (cf. III.7), ncessitent,pour fonctionner, un objet linfini. Un collimateur est un instrument doptique quipermet prcisment de raliser un objet linfini (Fig. 14.13).

    LampeCrmaillre

    Verre dpoli Objectif

    Figure 14.13 Fonctionnement dun collimateur

    Le collimateur comporte un verre dpoli sur lequel est grav un rticule que lonclaire laide dune source de lumire ventuellement incorpore linstrument. laide dune crmaillre, on place le rticule au foyer objet dune lentille convergente,lobjectif du collimateur, ce qui permet de former son image linfini.

    On vrifie le rglage du collimateur en observant son image laide dun autreinstrument, dont la vocation est prcisment dobserver un objet linfini : la lunette.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 361 #405

    III Instrumentation usuelle 361

    III.5 Lunette

    a) Fonctionnement

    Une lunette est un instrument afocal vou lobservation dobjets situs grandedistance ( linfini). Elle se compose dun objectif L1, dun oculaire, que lon assimilerapar simplicit une lentille mince L2, et parfois dun rticule (Fig. 14.14).

    Rglage 1 Rglage 2

    OculaireObjectif Rticule

    Figure 14.14 Lunette de vise

    Lobjectif L1 forme, dans son plan focal image, limage de lobjet, laquelle est reprisepar loculaire. Le rticule doit donc se trouver aussi dans le plan focal de L1.

    RemarqueOn voit travers lexemple de la lunette que lassociation deux systmes convergents,peut donner un systme non convergent, dans ce cas afocal.

    b) Rglages

    Le rglage dune lunette seectue en deux tapes :

    i) Mise au point sur le rticule

    En agissant sur la crmaillre de rglage (2) de loculaire (Fig. 14.14), on cherche obtenir une image nette du rticule en partant de la position la plus loigne possiblede loculaire (Fig. 14.15a).Dans cette configuration initiale, limage quedonne la lunetteest virtuelle pour lil, qui par consquent, ne peut lobserver.

    En rapprochant progressivement loculaire du rticule, la premire image nette durticule que lon voit se forme au punctum remotum de lil. Cest le rglage quilconvient de retenir, car il limite la fatigue oculaire due laccommodation (Fig. 14.15b).

    En rapprochant encore loculaire du rticule, lil accommode par rflexe. Limagereste nette tant quelle se forme au del du punctum proximum, mais le confort visuelest perdu en raison de leort daccommodation (Fig. 14.15c).

    ii) Rglage de lobjectif

    En agissant sur la crmaillre de rglage (1) de la position de lobjectif (Fig. 14.14), onforme limage quil donne de lobjet vis dans le plan du rticule ; lorsque limage estnette, le plan focal image de lobjectif concide avec le plan du rticule.

    Une fois ces rglages eectus, si un second utilisateur souhaite observer traverslinstrument, le seul rglage reprendre est celui de la mise au point sur le rticule,pour ladapter son il. Le rglage de lobjectif reste videmment inchang.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 362 #406

    362 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

    a)il

    OculaireRticule

    b)

    il

    OculaireRticule

    c)

    il

    OculaireRticule

    Figure 14.15 Mise au point sur le rticule a) Configuration initiale b) Rglage optimal pour lilnormal c) Rglage entranant une fatigue oculaire

    RemarqueEn pratique, on peut tre amen retoucher sporadiquement la mise au point sur lerticule, en raison de lgres modifications de ltat de lil lors dobservations delongue dure. Il ne faut videmment pas hsiter revenir sur ce rglage, la prioritdevant tre naturellement donne au confort visuel, car linconfort altre la qualit desmesures.

    c) Lunette autocollimatrice

    Le rglage de lobjectif dune lunette, munie dun rticule, ncessite la vise dunobjet trs loign ( linfini), ce qui nest pas toujours possible, dans lenceinte dunlaboratoire. Une lunette autocollimatrice permet, elle, deectuer ce rglage.

    Une lunette autocollimatrice dire dune lunette quelconque par la possibilitquelle ore dclairer le rticule grce une petite lampe incorporedans linstrument.Le rglage de la mise au point sur le rticule reste le mme que celui qui vient dtredcrit, en agissant sur la crmaillre demise aupoint : rglage (2) (Fig. 14.16a). Lobjectif,quant lui, peut dsormais tre rgl par autocollimation :i) on commence par clairer le rticule, lequel est un objet lumineux pour lobjectif,ii) on dispose ensuite dun miroir plan, qui peut tre tenu la main, devant lobjectif.

    Ce dernier donne du rticule une image reprise par le miroir, puis nouveau parlobjectif (Fig. 14.16a). Limage observe travers loculaire est alors la superpositionde limagenette du rticule et de la nouvelle imagedu rticule formepar lobjectif etlemiroir.Onmet cette seconde image aupoint laidede la crmaillre de rglage (1)de la distance rticule objectif (Fig 14.16a). Lorsque la nettet est satisfaisante, lerticule se trouve dans le plan focal objet de lobjectif et lon voit se superposerdeux images nettes du rticule, qui sont lgrement dcales si le miroir nest pasexactement orthogonal laxe optique (Fig. 14.16b).

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 363 #407

    III Instrumentation usuelle 363

    Rglage 1Miroir plan Rglage 2

    OculaireLampe

    Objectif

    a) b)

    Figure 14.16 Lunette autocollimatrice a) Rglage b) Double image du rticule observe traversla lunette

    d) Tlescope rfracteur

    Le tlescope rfracteur (lunette astronomique), est un instrument ddi lobservationdu ciel nocturne. Llment le plus coteux du tlescope est son objectif, qui doit tre degrand diamtre, afin de collecter un maximum de lumire, et corrig des aberrationschromatiques. La prsence dun rticule au foyer de lobjectif tant dintrt limitpour lobservation astronomique (il gne lobservation de limage), ces tlescopes ensont gnralement dpourvus. Le rglage de linstrument se rduit donc celui deloculaire.

    Une caractristique importante de linstrument est son grossissement G, valeurabsolue du rapport de langle i sous lequel on voit lobjet travers le tlescope surlangle sous lequel on le voit lil nu. En assimilant pour simplifier, loculaire une lentille mince convergente (Fig. 14.17), on a, si AiBi est limage que donne lobjectifdans son plan focal image :

    tan = AiBif1

    et i tani = AiBif2

    a) b)

    O

    Bi

    Ai

    F0, 2

    Fi, 1

    iAi

    BiAi

    Cercleoculaire

    Oculaire

    OculaireObjectifMonture

    de lobjectif

    i

    Figure 14.17 Tlescope rfracteur a) Grandissement angulaire b) Cercle oculaire

    puisque le plan focal image de lobjectif concide avec le plan focal de loculaire. On entire lexpression suivante du grossissement :

    G =|i|=

    f1f2

    qui dpend de loculaire utilis. Notons que linstrument renverse limage.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 364 #408

    364 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

    EXEMPLE

    Pour un tlescope, de focale dobjectif f1 = 1 m et de focale doculaire f2 = 20 mm,G = 1/0,02 = 50. Le diamtre apparentdes anneauxde Saturne tantdenviron 40 ,le tlescope permet de les observer sous un angle |i| = 50 40 = 33 , qui est biensuprieur la limite de rsolution angulaire de lil ; on dit que linstrument permetde les rsoudre.

    Remarques1) Lutilisation dun oculaire divergent la place dun oculaire convergent donne uninstrument ne renversant pas limage : cest la lunette terrestre ou lunette de Galile(cf. Leon 11).2) Il existe deux limites de la rsolution des images observes travers un tlescope.La premire est due la diraction de la lumire, cest--dire son parpillement enraisonde la limitation spatiale imposepar lobjectif au faisceaude lumire entrantdanslinstrument. Pour une lunette de 20 cm de diamtre par exemple, cela reprsente unelimite de rsolution de 0,6 . La deuxime est due la prsence de latmosphre qui enraison de son inhomognit et de sa turbulence, dgrade les images, au point quunetoile a lapparence dune petite tache, dont le diamtre apparent varie de quelquesdiximes de secondes darc dans les meilleurs sites dobservation astronomique quelques secondes darc. Cette petite tache dans le plan focal de lobjectif du tlescopeest appele seeing par les astronomes (de langlais see qui signifie voir).3) Rappelons quune lunette munie dun oculaire est un systme afocal, puisquelledonne dun objet linfini, une image linfini.

    e) Disque oculaire

    Le disque oculaire, encore appel disque de pleine lumire, est le disque centr sur laxeoptique do semble merger toute la lumire entrant dans linstrument ; cest donclimage de la monture de lobjectif donne par loculaire (Fig. 14.17b).

    Comme f2 f1, le disque oculaire se situe proximit de la face de sortie deloculaire, peu aprs son foyer image. Aussi, lil se place-t-il naturellement au centrede ce disque puisque cest cet endroit que limage est la plus lumineuse.

    f) largisseur de faisceau laser

    Un largisseurde faisceau laser est un systme constitude deux lentilles L1 etL2 destin augmenter le diamtre dun faisceau incident parallle laxe optique (Fig. 14.18).Le faisceau mergent tant, lui aussi parallle laxe optique, il conjugue, comme unelunette astronomique, un objet et une image situs tous deux linfini : le systme estafocal, le foyer image de L1 concide donc avec le foyer objet de L2.

    Le rapport du diamtre Di du faisceau mergent sur celui De du faisceau incidentest alors (Fig. 14.18) :

    DiDe=

    f2f1> 1

    f1 et f2 tant les distances focales des deux lentilles. Comme Di/De > 1 on en dduitf2 > f1 : un largisseur de faisceau laser est donc une lunette inverse.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 365 #409

    III Instrumentation usuelle 365

    DiD

    e

    F0, 2

    Fi, 1

    f1 f2OculaireObjectif

    Figure 14.18 largisseur de faisceau laser

    ORDRE DE GRANDEUR

    Avec un faisceau laser, de 1 mm de diamtre, qui pntre dans un largisseur constitude deux lentilles de focales f1 = 5 mm et f2 = 8 cm, on obtient, en sortie, un faisceaude diamtre (80/5) 1 = 1,6 cm.

    III.6 Goniomtre

    a) Description

    Un goniomtre, du grec gnia qui signifie angle , est un instrument destin lamesure des angles. Il comporte (Fig. 14.19) :

    i) un plateau circulaire gradu (1), dont la finesse des graduations, de 0 360,dtermine la prcision de linstrument,

    ii) un collimateur rotatif (2), destin former limage linfini dune fente source (3),laquelle est claire par une source de lumire auxiliaire (4),

    iii) une lunette de vise rotative (5), munie dun rticule en forme de croix, permettantde mesurer la direction de limage de la fente source,

    Au centre du plateau, on place le systme de dviation de limage de la fente sourceque lon dsire tudier, par exemple un prime ou un rseau de diraction.

    Lampe (4)

    Fente source (3)

    Plateaucirculaire (1)

    Collimateur (2)

    Lunette (5)Prismen

    i A

    D

    Figure 14.19 Goniomtre

    b) Rglages

    Les tapes du rglage sont les suivantes :

    i) on rgle la lunette selon la procdure habituelle dcrite prcdemment,

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 366 #410

    366 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

    ii) une fois rgle, la lunette donne une image nette dun objet linfini. Il sut alorsde viser le collimateur et de rgler celui-ci de telle sorte que limage de la fente, vue travers la lunette, soit nette.

    RemarqueOn doit veiller eectuer le rglage prcdent avec une fente peu ouverte afin dviterlblouissement. De faon gnrale, en optique, il est prudent de ne jamais placer lildirectement derrire un oculaire, mais plutt de sapprocher progressivement le longde laxe de vise. Cela permet de dceler dassez loin une image de forte intensitlumineuse et ainsi de se protger dun blouissement dangereux.

    c) Spectrogoniomtre prisme

    Un spectrogoniomtre (ou spectroscope) prisme est un goniomtre quip dun prismequi dvie la lumire par dispersion (cf. Leon 9).

    Les direntes composantes monochromatiques de limage de la fente source, lasortie du collimateur, subissent une dviation qui dpend de lindice du verre, lequelest fonction de la frquence du rayonnement, ou de la longueur donde correspondantedans le vide. En mesurant langle de dviation, on accde soit lindice n dun verre une longueur donde dtermine, soit une longueur donde pour un indice connu.

    RemarqueIl existe des spectrogoniomtres plus performants, quip de rseaux, qui sont dessystmes optiques priodiques provoquant une dispersion de la lumire par diraction(cf. Leon 9).

    d) Incertitudes sur la mesure des angles

    Les angles sont mesurs par rapport une origine arbitraire sur le plateau. Commecette direction ne concide gnralement pas avec laxe du collimateur, on sarrangepour mesurer deux angles 1 et 2 correspondants deux directions D1 et D2, dolon dduit la dirence = 2 1.

    Lincertitude sur la mesure dpend videmment de la prcision de linstrument.En crivant sous la forme suivante, la relation entre un angle , sa mesure exp et sonincertitude (cf. Leon 1) :

    = exp on a, pour un plateau gradu en minutes darc :

    1 = 1 et 2 = 1 do = (2 1) = (1) + (2) = 2

    les incertitudes sajoutant (cf. Leon 1).

    e) Mesure de langle au sommet dun prisme

    La premire tape de toute mesure qui utilise un prisme consiste dterminer langleau sommet de ce dernier. Deux mthodes sont envisageables selon que lon utilise uncollimateur ou une lunette autocollimatrice.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 367 #411

    III Instrumentation usuelle 367

    i) Avec un collimateur, on sarrangepour que la lumire incidente tombe sur larte duprisme en lclairant symtriquement. Les vises successives dans les directionsD1et D2 des images rflchies sur les faces donnent par dirence langle = 2 1, lequel est le double de langle au sommet du prisme (Fig. 14.20a) : A = /2.Lincertitude sur la mesure est alors : A = /2 = 1 .

    D1

    D2

    = 2 A

    A2

    A2

    A1

    A1

    A2A1I1I2

    A

    Lunette

    Lunette = A

    D1

    D2

    A2A1

    Lunette

    Lunette

    a) b)

    Figure 14.20 Mesure de langle au sommet dun prisme a) Avec un collimateur b) Avec unelunette autocollimatrice

    ii) Avec une lunette autocollimatrice, on commence par clairer et mettre au point lerticule. Ensuite, on forme par rflexion sur une face dun prisme, une secondeimage du rticule. On tourne alors la lunette de faon superposer les deux imagesdu rticule, ce qui garantit lorthogonalit de laxe de vise avec la face du prismepour la direction D1. En eectuant une mesure analogue pour la direction D2 surlautre face du prisme, on en dduit langle = A1 A2 = A (Fig. 14.20b),do A = .Cette mthode est moins prcise que la prcdente, puisque :

    A = ( ) = = 2

    f) Mesure de lindice dun prisme

    On utilise une source spectrale et un tableau de rfrence indiquant les longueursdondes dans le vide 0 des raies les plus intenses avec leurs couleurs.

    Aprs avoir identifi la raie choisie, de longueur donde 0, on tourne lentement leprisme afin de le placer dans la position qui donne le minimum de dviation Dm dela lumire incidente issue du collimateur. Au cours de la rotation, on observe, dans lechamp de la lunette, le dplacement rgulier de la raie, puis, lors du franchissement dela position du prisme donnant le minimum de dviation, un changement de sens dudplacement. On centre alors le rticule sur cette direction minimale de dviation D1(Fig. 14.21a), et on mesure langle 1 correspondant.

    En procdant de mme pour la position symtrique du prisme par rapport laxedu collimateur, on mesure langle 2 correspondant la directionD2, do lon dduitla dirence : = 2 1 = 2Dm (Fig. 14.21b).

    Lindice duprisme, la longueur donde choisie, sobtient alors laide de la relation(cf. Leon 9) :

    n =sinA + Dm

    /2

    sinA/2

    Enmesurant lindice du prisme direntes longueurs donde, on peut obtenir les pre-miers coecients du dveloppement de lindice en fonction de la longueur donde 0

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 368 #412

    368 14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

    Minumumde dviation

    Raie choisie

    Prisme

    Base

    Lunette

    Positionsymtrique

    2Dm

    a) b)

    Dm Dm

    Figure 14.21 Minimum de dviation a) Vise dans la lunette b) Mesure de 2Dm

    et vrifier la loi de Cauchy :

    n A0 + A120

    Les mesures obtenues avec les raies dune lampe spectrale vapeur de mercure, pourun verre flint extra dense, donnent le graphe de n en fonction de 20 de la figure 14.22.On obtient une droite dquation :

    n = 1,707 +16,3 103

    20la longueur donde tant exprime en m.

    1,74

    1,76

    1,78

    1,80n

    6 02(m2)420

    Figure 14.22 Vrification de la loi de Cauchy pour un verre flint extra dense

    g) Mesure des longueurs donde

    La mesure dune longueur donde 0 inconnue ncessite, au pralable, de tracer unecourbe dtalonnage donnant la dviation minimale Dm(0) en fonction de la longueurdonde, laide de sources spectrales dont on connat le spectre. On peut utiliser uneou plusieurs sources afin de resserrer les mesures dans le domaine spectral de la raie mesurer.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 369 #413

    IV Ouvertures 369

    On dtermine ensuite un angle minimal de dviation pour la raie dterminer ; lacourbe dtalonnage fournit la valeur de 0.

    IV OUVERTURES

    Lemicroscope est un instrument doptique destin lobservation des dtails invisibles lil nu (cellules vivantes, dfauts dunmatriau, structuresminrales, etc.). Une foisrgl, il donne donc dun objet rel, une image rejete linfini, que lil observe avecun fort grossissement.

    IV.1 Description

    Il existe plusieurs types de microscope, le plus courant tant celui transmission delumire, cest--dire muni dun systme dclairage situ sous lobjet (Fig. 14.23).

    Platine porte-objetDiaphragme

    Miroir condenseur

    Objectif

    Oculaire

    Crmaillre

    Vis micromtrique

    Figure 14.23 Microscope

    Il comporte les lments suivants : une platine porte objet sur laquelle on dispose lchantillon observer, que lonprpare pralablement sur une lame de verre, ventuellement recouverte dune finelamelle ;

    un miroir qui joue le rle dun condenseur, afin dclairer lobjet par transmission ; un diaphragme qui permet de rduire lclairement de lobjet ; des objectifs amovibles de direntes distances focales, que lon slectionne laidedune plate-forme rotative. Ces objectifs, de focales typiques comprises entre 2 et45 mm, sont destins former une image agrandie de lobjet, que lon observe laide dun oculaire ;

    un oculaire de focale typique de quelques dizaines de millimtres, maintenu unedistance fixe de lobjectif ;

    un systme crmaillre qui permet dapprocher lobjectif de lobjet (tout en veillant ne pas briser ce dernier avec lextrmit de lobjectif) ;

    une vis micromtrique de mise au point, ncessaire en raison de la faible latitude demise au point (cf. ci-aprs).

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1129 #1173

    OM 3Coniques

    I DFINITION

    Une conique est lensemble des pointsM dun plan tels que le rapport de la distanceMF, un point F, et de celle HM, une droiteD, est constant :

    FMHM

    = Cte = e

    Le nombre positif e est lexcentricit , Fun foyer etDune directrice de la conique (Fig. 3.1).On introduit gnralement la distance p, appele paramtre de la conique, et on crit ladistance de F D sous la forme :

    FH0 =pe

    H0 tant la projection de F surD.

    x

    x

    y

    yM

    H0

    Hr

    F

    Dp/e

    Axe focal

    Figure 3.1 Dfinition gomtrique dune conique partir dun foyer et dune droite directrice

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1130 #1174

    1130 3 Coniques

    RemarqueLe mot conique vient de la dfinition gomtrique de ces courbes obtenues parintersection dun cne avec un plan.

    II QUATION POLAIRE

    En coordonnes polaires, r = FM et = (Fx, FMFMFM), lquation FM = eHM scrit aussi :

    r = epe+ r cos

    = p + er cos puisque HM = H0F + FM =

    pe+ r cos

    Il en rsulte :

    r =p

    1 e cos soit aussi r =p

    1 + e cos( )Remarquons que langle est langle (Fx, FMFMFM) que fait le rayon vecteur FMFMFM aveclaxe Fx. On distingue trois types de coniques selon la valeur de e.i) Si e < 1, la conique est une ellipse :

    rmin r rmax o rmin = p1 + e et rmax =p

    1 eii) Si e > 1, la conique est une hyperbole :

    rmin r < o rmin = p1 + eiii) la limite e = 1, la conique est une parabole :

    rmin r < o rmin = p2RemarqueLa signification de p est immdiate : p = r lorsque = /2.

    III QUATION CARTSIENNE

    Pour tablir lquation cartsienne dune conique, il est naturel dadopter le systmedaxes H0xy. Pour cela, exprimons en fonction des coordonnes x et y la relationFM2 = e2HM2. Il vient :

    x pe

    2+ y2 = e2x2 soit x2

    1 e2

    2px

    e+ y2 +

    p2

    e2= 0 (E)

    Cest une quation du deuxime degr en x et en y.

    III.1 Parabole

    Pour la parabole (e = 1), lquation (E) prcdente se rduit y2 = 2p(x p/2). Enintroduisant le nouveau systme daxes SXY, dfini par X = x p/2 et Y = y (Fig. 3.2),lquation de la parabole se met sous la forme canonique suivante :

    Y2 = 2pX

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1131 #1175

    III quation cartsienne 1131

    x

    y

    H0

    MH

    Axe focal

    p

    p

    FS

    Parabole

    Figure 3.2 Parabole

    III.2 Ellipse et hyperbole

    Pour e 1, multiplions les deux membres de lquation (E) par (1 e2)/p2. Il vient :1 e2

    2p2

    x2 21 e2

    x

    ep+ y2

    1 e2p2

    +1 e2e2

    = 0

    soit, en considrant les deux premiers termes comme le dbut dun carr remarquable :1 e2

    2p2

    x p

    e (1 e2)2 1e2+ y2

    1 e2p2

    +1 e2e2

    = 0

    Dans le nouveau systme daxes CXY (Figs. 3.3 et 3.4) dfini par :

    X = x pe (1 e2) et Y = y

    lquation (E) devient :X21 e2

    2p2

    +Y21 e2

    p2

    = 1

    Les anciennes coordonnes de la nouvelle origine C sont : xC = p/[e(1 e2)] et yC = 0.

    a) Ellipse

    Axe focal

    Ellipse

    P A x

    M

    C FF

    y Y

    p

    p /e

    H0

    Figure 3.3 Ellipse

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1132 #1176

    1132 3 Coniques

    Pour une ellipse (e < 1), lquation (E) se met sous la forme canonique suivante :

    X2

    a2+Y2

    b2= 1 avec a =

    p1 e2 et b =

    p(1 e2)1/2

    Comme e < 1, lorigine C se trouve sur H0x droite de F (Fig. 3.3). La distance c entreles points C et F vaut :

    c = CF = H0C H0F = pe (1 e2) pe=

    pe1 e2 = ea do e =

    ca

    En outre, entre a, b et c, on a la relation c2 = e2a2 = a2 a2(1 e2) = a2 b2 soit, puisqueb = p(1 e2)1/2 = a(1 e2)1/2 :

    a2 = c2 + b2

    b) Hyperbole

    Axe focal

    Hyperbole

    y

    H0CF S FS

    M

    p

    Y

    p /e

    Figure 3.4 Hyperbole

    Quant lhyperbole (e > 1), elle admet pour quation canonique :

    X2

    a2 Y

    2

    b2= 1 avec a =

    pe2 1 et b =

    p(e2 1)1/2

    Comme e > 1, lorigine C se trouve sur H0x gauche de D : xC < 0 (Fig. 3.4). Ladistance c entre les points C et F vaut :

    c = CF = CH0 +H0F =p

    e (e2 1) +pe=

    pee2 1 = ea do e =

    ca

    En outre, entre a, b et c, on a la relation : c2 = e2a2 = a2+ a2(e2 1) = a2+ b2, soit, puisqueb = p(e2 1)1/2 = a(e2 1)1/2 :

    a2 = c2 b2

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1133 #1177

    IV Proprits fondamentales des coniques 1133

    IV PROPRITS FONDAMENTALES DES CONIQUES

    IV.1 Parabole

    Comme e = 1,MF =MH. La parabole est donc lensemble des pointsM du plan situs gale distance dun point F et dune droiteD.

    IV.2 Ellipse et hyperbole

    Introduisant = 1, les quations de lellipse et de lhyperbole scrivent toutes deux :

    X2

    a2+

    Y2

    b2= 1 avec a2 = c2 + b2

    = 1 donnant lellipse et = 1 lhyperbole.Il en rsulte que :

    X2

    a2+

    Y2

    a2 c2 = 1 soit X2 + Y2 + c2 = a2 +

    c2X2

    a2

    En ajoutant 2cX aux deux membres de cette quation, on obtient :

    (X + c)2 + Y2 =a +

    cXa

    2et (X c)2 + Y2 =

    a cX

    a

    2a) Ellipse

    Dans le systme daxes CXY, dans lequel F a pour coordonnes (c, 0) (Fig. 3.3),FMFMFM a pour composantes (X + c, Y). Par consquent, la premire des deux quationsprcdentes se met sous la forme :

    FM2 =a +

    cXa

    2Notant F le point symtrique de F par rapport C, la seconde quation prend la formeanalogue :

    FM2 =a cX

    a

    2Or |X|/a 1 et c < a entranent c|X|/a < a. On en dduit :

    FM = a +cXa

    FM = a cXa

    et FM + FM = 2a

    Lellipse est donc lensemble des points M du plan tels que la somme des distances deux points F et F, appels foyers, est constante.

    b) Hyperbole

    Dans le systme daxes CXY, dans lequel F a pour coordonnes (c, 0) (Fig. 3.4), FMFMFM apour composantes (X c, Y). On peut donc crire, comme prcdemment :

    FM2 =a cX

    a

    2et FM2 =

    a +

    cXa

    2

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1134 #1178

    1134 3 Coniques

    F tant le symtrique de F par rapport C. Comme c est suprieur a, on a :Xa

    2= 1 +

    Y2

    c2 a2 > 1 doc|X|a> c > a

    Deux cas se prsentent donc selon la position deM.

    i) X > 0Comme cX/a > a, il vient :

    FM =cXa a FM = cX

    a+ a et FM FM = 2a

    Le pointM dcrit la branche droite de lhyperbole (Fig. 3.4).

    ii) X < 0Comme cX/a > a, on a a + cX/a < 0, do :

    FM = a cXa

    FM = cXa a et FM FM = 2a

    Le pointM dcrit la branche gauche de lhyperbole (Fig. 3.4). Ainsi :

    |FM FM| = 2a

    Lhyperbole est donc lensemble des points M du plan tels que la dirence desdistances deux points F et F, appels foyers, est constante. Lorsque labscisse X deM tend vers , lquation de lhyperbole donne :

    Y2

    b2=

    X2

    a2 1 X

    2

    a2

    Lhyperbole admet donc deux asymptotes, Y = bX/a et Y = bX/a, qui se coupenten C.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1143 #1187

    OM 6Nombres complexes

    I DFINITION

    Un nombre complexe est le couple ordonn (a, b) de deux nombres rels a et b. Lensembledes nombres complexes est muni de deux oprations :

    i) la somme, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

    ii) le produit, (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc).Le produit est commutatif puisque :

    (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc) = (ca db, da + cb) = (c, d)(a, b)

    II FORME CARTSIENNE

    Le nombre complexe z = (a, b) peut scrire, compte tenu de la dfinition :

    z = (a, 0) + (0, b) = (1, 0)a + (0, 1)b

    Le nombre complexe (1, 0) a les mmes proprits que le nombre rel 1. Quant aunombre complexe (0, 1), qui est tel que (0, 1)(0, 1) = (1, 0), il est appel lunit imagi-naire. Il est gnralement not i, sauf en lectricit, o on le dsigne par j afin dviterun conflit de notation avec lintensit du courant. Cest ce que nous ferons ici :

    z = (a, b) = a + jb avec j2 = 1

    o a et b sont respectivement les parties relle et imaginaire de z : a = Re{z} et b = Im{z}.

    RemarqueOn prendra soin de ne pas confondre j, tel que j2 = 1, avec la racine cubique de 1souvent dsigne par la mme lettre.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1144 #1188

    1144 6 Nombres complexes

    III REPRSENTATION DUN NOMBRE COMPLEXE

    Le nombre complexe (a, b) peut tre reprsent, dans un plan cartsienOxy, par le pointM de coordonnes a et b ; Ox est laxe rel et y laxe imaginaire (Fig. 6.1a). La distance dentre lorigine O etM est le module |z| du nombre complexe z :

    d = |z| = (a2 + b2)1/2

    Si M1 et M2 reprsentent les nombres complexes z1 = a1 + jb1 et z2 = a2 + jb2 respecti-vement, la distanceM1M2 est gale au module du nombre complexe z2 z1 (Fig. 6.1b) :

    M1M2 = |z2 z1| =(a2 a1)2 + (b2 b1)2

    1/2Le carr du module de z = a + jb, qui vaut a2 + b2, scrit aussi :

    |z|2 = (a + jb)(a jb) soit |z|2 = zz o z = a jbest le nombre complexe conjugu de z. Les parties relle et imaginaire de z sont souventcrites en fonction de z et z :

    a = Re{z} = z + z

    2et b = Im{z} = z z

    2 j

    |z |

    a

    b

    O

    M

    x

    y

    a)O x

    y

    b)a2 a1

    b1

    b2

    M1

    M2d

    Figure 6.1 a) Reprsentation gomtrique dun nombre complexe z b) Reprsentation gomtriquedu module de la diffrence z1 z2

    IV FORME POLAIRE DUN NOMBRE COMPLEXE

    Daprs la reprsentation gomtrique, si est langle (Ox, OMOMOM), on a : a = |z| cos etb = |z| sin, do la forme polaire de z :

    z = a + jb = |z| (cos + j sin)

    V FORMULES DEULER

    Rappelons les dveloppements limits en 0 des fonctions cos x, sin x et exp x, x tantune variable relle :

    cos x = 1 x2

    2!+x4

    4! x

    6

    6!+ . . . sin x = x x

    3

    3!+x5

    5! x

    7

    7!+ . . . exp x = 1+x+

    x2

    2!+x3

    3!+ . . .

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1145 #1189

    VI Multiplication par le nombre complexe exp(j) 1145

    Pour tout nombre complexe z, on peut gnraliser lcriture prcdente en posant :

    exp z = 1 + z +z2

    2!+z3

    3!+ . . .

    Si z est imaginaire pur, alors il peut scrire z = jx avec x rel, et :

    exp( jx) = 1 + jx x2

    2! jx

    3

    3!+ . . .

    En comparant exp( jx) cos x et sin x, on trouve les formules dEuler, du nom dumathmaticien suisse Leonhard Euler :

    exp( jx) = cos x + j sin x cos x =exp( jx) + exp( jx)

    2et sin x =

    exp( jx) exp( jx)2 j

    Il en rsulte que la forme polaire dun nombre complexe scrit :

    z = |z| exp( j) avec exp( j) = cos + j sin

    EXEMPLES

    j = exp`j/2

    1 = exp( j) 1 + j = 2 exp ` j/4

    VI MULTIPLICATION PAR LE NOMBRE COMPLEXE exp(j)

    Multiplions le nombre complexe z = |z| exp( j), reprsent par le point M du plancartsien Oxy (Fig. 6.2), par exp( j), de module unit. On obtient le nombre complexez suivant :

    z = z exp( j) = |z| exp[ j( + )]Cest un nombre complexe de mme module que z, mais dont langle polaire a aug-ment de . Le vecteurOMOMOM reprsentant z sobtient donc partir du vecteurOMOMOM parune rotation de langle autour de laxe Oz perpendiculaire au plan Oxy.

    Notons que la multiplication dun nombre complexe par un nombre rel ne modifieque son module.

    M

    M

    O x

    y

    Figure 6.2 Interprtation de la rotation dun vecteur dans un plan laide dun nombre complexe

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1146 #1190

    1146 6 Nombres complexes

    VII APPLICATION AU TRAC DES DIAGRAMMES DE BODE

    Les diagrammes de Bode, associs la fonction de transfert dun filtre, fournissentun exemple dillustration du calcul du module et de la phase dun nombre complexe.Comme le trac point par point de ces diagrammes est fastidieux, il est judicieuxdutiliser un outil informatique, par exemple gnuplot, disponible en libre accs surInternet et largement adopt par les scientifiques. On donne ici les lments de basequi permettent dobtenir rapidement un graphique, en excluant les divers ranementsque permet gnuplot.

    VII.1 Position du problme

    Onveut tracer, en fonctionde la frquence rduitew, les diagrammesdeBodedunfiltrede Sallen-Key (cf. Leon 19), dont la fonction de transfert canonique a pour expression :

    H = H01 w2 + jw/Q =

    H01 + 102W + j10W/Q

    en introduisant la variable plus adapteW = lgw. Pour cela, on prcise que H0 = 5 eton considre pour Q les deux valeurs Q1 = 10 et Q2 = 1.

    VII.2 Lignes de commandes sur gnuplot

    Il est parfois utile dinitialiser le logiciel avec la commande reset.

    a) Taille de la figure et bornes des axes

    On commence par prciser les valeurs limites des abscisses et des ordonnes.

    xmin = -1.1xmax = 1.1ymin=-20ymax=40set xrange [xmin:xmax]set yrange [ymin:ymax]

    Avec set grid, on ache la grille du graphique. Prcisons que la commande set degnuplot permet dattribuer une caractristique au dessin.

    b) Trac des axes

    On donne un nom aux deux axes x et y avec xlabel et ylabel respectivement :

    set xlabel "W"set ylabel "Gu(dB)"

    Avec set xtic et set ytic, on demande de tracer des repres ( tic en anglais) lelong des deux axes.

    set xticset ytic

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1147 #1191

    VII Application au trac des diagrammes de Bode 1147

    c) Trac du module

    Avant dcrire la fonction complexe, on doit introduire le nombre complexe j, laidede j={0,1} et rappeler les valeurs des paramtresH0,Q1 etQ2. On obtient alors le tracdes deux courbes donnant Gu (dB) = 20 lg |H| pour les deux valeurs deQ laide de lacommande plot ( graphe en anglais) :

    j={0,1}H0=5Q1=10Q2=1plot 20*log10(abs(H0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q1))) title "Q = 10",20*log10(abs(H0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q2))) title "Q = 1"

    linstruction title donnant en lgende Q = 10 pour la courbe 1 et Q = 1 pour lacourbe 2.

    Remarques1) Le module du nombre complexe est obtenu avec abs.2) En promenant la souris sur le graphique ach, on a, en bas gauche, les coordon-nes du point courant.3) Dans gnuplot, les lignes prcdes du symbole # ne sont pas prises en compte.4) On peut aussi travailler laide dun fichier texte (script en anglais), dans lequelon rassemble toutes les instructions prcdentes. On doit alors ouvrir un diteur detexte, par exemple Bloc-notes sous windows ou vi sous linux, et crer un fichierintitul Bode-sk.txt, lextension .txt indiquant quil sagit dun texte. laide degnuplot, on trace le graphe en chargeant (load) le fichier Bode-sk.txt , selon load"Bode-sk.txt".

    VII.3 Trac de la phase

    Pour le trac de la phase , argument du nombre complexe H(w), on procde dela mme manire. On change lintervalle de valeurs des ordonnes ymin=-2*pi etymax=2*pi, on modifie le nom de laxe correspondant set ylabel "Phase (rad)" eton trace :

    plot arg(H_0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q1)) title "Q = 10",plot arg(H_0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q2)) title "Q = 1"

    Les diagrammes de Bode obtenus sont ceux reprsents sur la figure 19.16 de laLeon 19.

    RemarqueIci aussi, on peut travailler laide dun fichier texte, comme prcdemment.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 825 #869

    VII Entropie dune phase condense 825

    crivons les bilans nergtique et entropique pour le systme isol :

    U = 0 avec U = U1 + U2 = C(Tf T1) + C(Tf T2)et

    S = S(c) > 0 avec S = S1 + S2

    On en dduit :Tf =

    CT1 + CT2C + C

    =T1 + T2

    2Les variations dentropie de chacun des corps sobtiennent en imaginant des cheminsrversibles entre les mmes tats extrmes. Dsignant par T1 et T2 les tempraturesgnriques respectives des matriaux au cours de ces chemins, il vient :

    S1 =ZQ1T1=

    Z TfT1

    CdT1T1

    et S2 =ZQ2T2=

    Z TfT2

    CdT2T2

    Il en rsulte que :

    S = C lnTfT1

    + C ln

    TfT2

    = S(c) > 0

    ORDRE DE GRANDEUR

    Pour T1 = 300 K, T2 = 372 K, on trouve Tf = 336 K, ce qui donne, avec C = 25 J.K1 :

    S = 25 ln336300

    + 25 ln

    336372

    0,29 J.K1

    Le rsultat prcdent sapplique sans modification la variation dentropie dunnageur (phase condense) qui plonge, depuis un tremplin dans lair, 303 K (30),dans leau dune mer 293 K (20). Si sa capacit thermique massique est 4 kJ.K1.kg1(proche de celle de leau), sa variation dentropie est, pour une masse de 70 kg, unefois lquilibre thermique atteint dans leau :

    S = mcV lnTfTi

    = 70 4 103 ln

    303293

    9,4 kJ.K1

    VII.3 Conducteur ohmique parcouru par un courant stationnaire

    Eectuons, pendant la dure lmentaire dt, les bilans nergtique et entropique dansun conducteur ohmique, de rsistance R, parcouru par un courant stationnaire, din-tensit I (Fig. 32.10a). Si Ta est la temprature la surface du conducteur, lapplicationsuccessive des deux principes donne :

    dU = 0 = W + Q avec W = Q = RI2 dtdS = S(r) + S(c) avec dS = 0 et S(r) =

    QTa= S(c)

    Il en rsulte la cration dentropie suivante :

    S(c) =WTa=

    RI2 dtTa

    > 0

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 826 #870

    826 32 Deuxime principe de la thermodynamique

    I

    R

    a)

    Sources decourant

    b)

    I

    A B

    R1I1

    I2

    R2

    Figure 32.10 Cration positive dentropie a) Dans un conducteur parcouru par un courantstationnaire b) Dans deux conducteurs

    Il est instructif dvaluer la cration dentropie dans deux conducteurs ohmiques,de rsistances R1 et R2, en parallle entre deux points A et B et tels que la maille ainsiforme soit alimente par une source de courant dintensit I (Fig. 32.10b). Lentropiecre dans ce systme, la temprature Ta, pendant la dure dt, est :

    S(c) =R1I21 + R2I

    22

    Tadt =

    R1I21 + R2(I I1)2Ta

    dt

    en dsignant par I1 et I2 = I I1 les intensits des courants qui parcourent les deuxconducteurs respectivement. On en dduit le flux entropique cr :

    S(c)

    dt=

    R1I21 + R2(I I1)2Ta

    Cherchons le minimum de ce flux lorsquon fait varier I1, I tant constant. Il vient :

    ddI1

    S(c)

    dt

    = 2

    R1I1 R2(I I1)Ta

    = 0 si R1I1 R2I2 = 0

    cest--dire si la loi des mailles (cf. Leon 5) est vrifie. En drivant une seconde fois,on constate que cet extrmum est un minimum, puisque :

    d2

    dI21

    S(c)

    dt

    =2(R1 + R2)

    Ta> 0

    Ainsi, la loi des mailles ralise le minimum du flux entropique cr. Ce rsultat remar-quable est une illustration simple dun thorme tabli par Prigogine, en 1945, selonlequel le fonctionnement dun systme linaire, en rgime stationnaire, est caractrispar une cration dentropie minimale. Il fut remarqu et publi, pour la premire fois,par Maxwell en 1876, sans aucune justification ni rfrence au deuxime principe de lathermodynamique !

    VIII OUVERTURES

    Comme pour le premier principe, il est instructif dtablir lexpression du deuximeprincipe de la thermodynamique pour les systmes ouverts, lesquels changent ausside la matire avec le milieu extrieur. Les exemples dapplication sont nombreux,puisquils concernent la plupart des machines thermiques et tous les tres vivants.

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 883 #927

    Leon 35Machines thermiques

    Les machines thermiques ont jou un rle historique majeur en physique, puisqueleur construction, au cours du XIXe sicle, est lorigine de la thermodynamique.Les premires ont t ralises par le physicien franais Denis Papin au XVIIe sicleet lingnieur cossais James Watt au XVIIIe sicle. De nos jours, la lutte contre legaspillage de lnergie relance lintrt des machines thermiques les plus ecaces etles moins polluantes, do la modernit du sujet.

    On sait, depuis lnonc historique de Thomson du deuxime principe de la ther-modynamique, quun systme, tel quun fluide, en contact avec une seule source ther-mique, ne peut, au cours dun cycle, fournir du travail (W < 0) et recevoir de la chaleur(Q > 0). Un tel systme doit ncessairement tre en relation avec au moins deux sourcesthermiques.

    On distingue deux types de machines thermiques :

    lesmoteurs, qui fournissent du travail (W < 0), gnralementmcanique, en recevantde la chaleur (Q > 0) ;

    les machines inverses, qui au contraire reoivent du travail (W > 0) et fournissent dela chaleur (Q < 0). Il sagit essentiellement des rfrigrateurs et des pompes chaleur.

    On se propose dans cette leon dtudier principalement les machines thermiquesdithermes, dans lesquelles un fluide volue en contact successivement avec deux sourcesthermiques stationnaires : une source froide, de temprature fixe Tf , et une sourcechaude, de temprature dtermine Tc (Fig. 35.1).

    I MACHINE THERMIQUE DITHERME

    I.1 Bilans nergtique et entropique

    Le fluide voluant de faon cyclique, les variations dnergie totale E et dentropie S,aprs un cycle, sont nulles, do les bilans nergtique et entropique suivants :

    E =W +Qc +Qf = 0 et S = QcTc +QfTf+ S(c) = 0 avec S(c) > 0

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 884 #928

    884 35 Machines thermiques

    WMachinethermique

    Qc

    Tc

    QfTf

    Figure 35.1 Schma synoptique dune machine thermique ditherme

    Rappelons que, dans ces expressions, W est le travail reu par le fluide, Qc et Qf leschaleurs reues provenant respectivement de la source chaude et de la source froide.

    I.2 Diagrammes de Raveau

    Le diagramme de Raveau, du nom de lingnieur franais Raveau du XIXe sicle, est lareprsentationgraphique, dans le plan (Qf , Qc), des bilans nergtique et entropique. Ilpermet de dterminer le point de fonctionnement F dune machine ditherme. Ce dernierest, en eet, le point dintersection de deux droites dquations respectives :

    Qc = Qf W et Qc = TcTf Qf TcS(c)

    la premire, de pente 1, tant issue du premier principe et la seconde, de penteTc/Tf < 1, du deuxime. Cette dernire droite passe par lordonne loriginengative TcS(c) < 0, puisque Tc > 0 et S(c) > 0 ; elle est dtermine une fois lestempratures des thermostats fixes et le terme dirrversibilit S(c) connu. Comme lapremire droite passe, elle, par lordonne lorigine W, deux cas se prsentent.

    Qc

    Qc = Qf W

    Qc = Qf W

    Qf

    Qc

    Qf

    F

    F

    W

    W

    0 0T

    cS(c) T

    cS(c)

    Qc = Qf TcS(c)

    Tc

    Tf

    Qc = Qf TcS(c)

    Tc

    Tf

    a) b)

    Figure 35.2 Diagrammes de Raveau a) Dun moteur b) Dune machine inverse

    i) Si W < 0, comme dans un moteur, le point de fonctionnement F se situe dans lequart de plan Qc > 0 et Qf < 0 (Fig. 35.2a). Aussi un moteur reoit-il de la chaleurde la part de la source chaude et fournit-il de la chaleur la source froide.

    ii) SiW > 0, comme dans un rfrigrateur ou une pompe chaleur, F se trouve dans lequart de plan Qc < 0 et Qf > 0 (Fig. 35.2b). Aussi une machine inverse fournit-ellede la chaleur la source chaude et reoit-elle de la chaleur de la part de la source

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 652 #696

    652 25 Systme de deux points matriels (PCSI, MPSI)

    E25-9 Masse volumique de lUniversUn ensemble de points matriels est rparti uniformment dans un volume sph-rique, de centre O et de rayon R. La vitesse v de chaque point de la distribution estradiale, oriente vers lextrieur du volume et proportionnelle sa distance r O,selon la loi exprimentale donne par Edwin Hubble en 1929 :

    v = Hr avec H1 = 13,7 Gan

    (1 Gan = 1 milliard dannes) ; H est la constante de Hubble.

    1. laide de considrations dimensionnelles, donner une expression de lnergiepotentielle de gravitation de cette distribution sphrique homogne, de rayon R etde masseM, en prcisant et en justifiant son signe. Le facteur correctif est 0,6.

    2. Montrer que lnergie cintique de lensemble peut se mettre sous la forme :

    Ek = MH2R2

    tant un facteurnumriquedterminer.Ondsigneraparm lamassevolumiquedu systme.

    3. Les observations les plus rcentes en astrophysique conduisent admettre quelnergie mcanique de cet ensemble est nulle.

    a) Quelle est lexpression de la masse volumique m en fonction de H et G ?

    b) Calculer sa valeur en unit SI. quel nombre de nuclons par unit de volumecette valeur correspond-elle ?

    E25-10 Mcanique des systmes vivantsLes systmes vivants sont des systmes mcaniques dformables auxquels sap-pliquent videmment les trois thormesde lamcanique (quantit demouvement,moment cintique et nergie mcanique).

    1. Un chat, de masse Mc = 3 kg, tombe accidentellement dune hauteur h = 10 m,les pattes en lair. On constate quil touche le sol, recouvert de sable, sur ses quatrepattes. Les forces de frottement dues lair sont ngligeables.

    a) Appliquer les trois thormes de la mcanique.

    b) Montrer que cette aptitude du chat se retourner au cours de sa chute estconforme ces thormes.

    2. On sait quune danseuse augmente son nergie cintique initiale en ramenantses bras le long de son corps.

    a) Appliquer les thormes du moment cintique et de lnergie mcanique ladanseuse.

    b) Justifier laugmentation de lnergie cintique. O la danseuse puise-t-elle cetteaugmentation dnergie ?

    3. Un aquarium de 5 kg, reposant sur le plateau de gauche dune balance, est enquilibre avec une tare, de mme masse, place sur le plateau de droite. Il contientun poisson initialement immobile de masse 100 g.

    a) Appliquer le thorme de la quantit de mouvement chacun des plateaux dela balance.TR

    AVAU

    XDIRIG

    S

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 653 #697

    Travaux dirigs 653

    b) Comment volue lquilibre initial, lorsque le poisson, eray par un intrus,se dplace brutalement vers la surface avec un vecteur acclration vertical de5 m.s2 ?

    E25-11 quilibre dun point matriel et point de Fermat dun triangleUnemasselotteA (massem) est maintenue en quilibre par trois fils, aux extrmitsdesquels on a fix trois masses ponctuelles m1, m2 et m3. Comme le montre lafigure 25.11, ces trois fils passent par trois orifices ponctuels A1, A2, A3 que lon aamnags sur une table horizontale.

    1. tablir la condition dquilibre. Trouver la position dquilibre dans les deux cassuivants.

    a) Lune des masses (m3) est trs infrieure aux deux autres.

    b) Lune des masses (m3) est trs suprieure aux deux autres.

    2. Lorsque les trois masses sont gales, la position dquilibre est appele point deFermat ou point de Torricelli.

    a) Daprs ce qui prcde, proposer une dfinition dun tel point.

    b) Montrer que ce point nexiste que si le triangleA1A2A3 na pas dangle suprieur 2/3.

    3. a) Quelle est lnergie potentielle dun tel systme, en fonction des cotes des troismasses, comptes le long dun axe vertical descendant Ox dont lorigine est prisedans le plan de la table ?

    b) Que peut-on dire de la somme des distances AAi lquilibre ? En dduire uneautre dfinition du point de Fermat.

    4. Montrer que le point de Fermat dun triangle peut tre obtenu par lintersectionde trois cercles circonscrits aux triangles quilatraux A1A3B2, A1A2B3 et A2A3B1,adosss aux trois cts du triangle A1A2A3.

    AA1

    m1

    m3

    m2

    A2

    A3

    O

    x

    g

    Figure 25.11 quilibre dun point matriel

    E25-12 Peintre sur une nacelle avec pouliePour se hisser le long dunmur, un peintre, demasseMp = 70 kg, utilise une nacelle,demasseMn = 20 kg, et une corde enroule sur une poulie. Lune des extrmits estattache la nacelle, enN, et lautre, enK, un contrepoids demasseMk (Fig. 25.12).Par contact au pointH de la corde qui porte le contrepoids, le peintre exerce la forcede tension FFFpc dirige selon la verticale. La corde est suppose inextensible et demasse ngligeable. TR

    AVAU

    XDIRIG

    S

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1332 #1376

    1332 Corrections des exercices des travaux dirigs

    (1 Man = 106 an), ce qui est beaucoup plus faible que lge gnralement admispour le Soleil qui est de 5 Gan (1 Gan = 109 an). On en conclut que leondrementgravitationnel ne permet pas dexpliquer lge du Soleil. Le physicien amricainHans Bethe a montr que ce sont les ractions de fusion nuclaire au sein du Soleilqui permettent de lestimer correctement.

    S25-9 Masse volumique de lUnivers

    1. Lnergie potentielle de gravitation est proportionnelle au carr dune massedivis par une distance ; elle doit donc pouvoir se mettre sous la forme suivante :Ep = GM2/R, le signe moins traduisant le caractre attractif de linteraction. Uncalcul prcis montre que le facteur correctif est 3/5 (cf. Leon 36).

    2. Quant lnergie cintique de la distribution, elle scrit :

    Ek = 12Xi

    miv2i =H2

    2

    Xi

    mir2i

    En eectuant cette dernire sommation, on obtient, en introduisant la masse volu-mique m :

    Xi

    mir2i =ZVmr2 dV = m

    Z R0

    r24r2 dr = 4mZ R0

    r4 dr = 4m

    jr5

    5

    R0

    = 4mR5

    5=35MR2

    puisqueM = 4mR3/3. On en dduit : Ek = MH2R2 avec = 3/10.3. Puisque Em = 0, il vient :

    310

    MH2R2 35GM2

    R= 0 do

    H2R3

    2= GM = G

    4R3m3

    et m =3H2

    8G

    Concrtement, on trouve m 9,57 1027 kg.m3, soit, puisque m = nvmp :

    nv =mmp=9,57 10271,67 1027 = 5,7 m

    3

    Ainsi, le nombre moyen de nuclons par unit de volume dans lUnivers est inf-rieur 6.

    S25-10 Mcanique des systmes vivants

    1. a) Lapplication du thorme de la quantit de mouvement donne, en ngligeantlinfluence de lair :

    dPPPdt=McaaaC =Mc do aaaC = vvvC = t et xC =

    t2

    2

    Ox tant la verticale descendante, si la vitesse initiale est nulle et lorigine prise laposition initiale. Le centre de masse C du chat a donc la mme trajectoire que celledun boulet. La dure de chute est alors donne par :

    t =2h

    1/2=

    2 109,8

    1/2 1,43 sCO

    RRECTION

    SDES

    EXERCICES

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1333 #1377

    Corrections des exercices des travaux dirigs 1333

    Lapplication du thorme du moment cintique, au centre de masse mobile C,donne, puisquen ce point le moment du poids est nul :

    dLLLCdt= 000 do LLLC = CteCteCte

    Rien nempche physiquement le chat de se retourner tout en se dformant afin deconserver son moment cintique initial.

    Quant lapplication du thorme de lnergie mcanique, il fait apparatre letravail des forces intrieures non conservatives :

    dEm = W(nc)in avec Em =12Mcx2c + Ek McxC

    Ek tant lnergie cintique dans le rfrentiel du centre de masse.b) videmment, pour pouvoir se retourner, autour de C, le chat utilise le travail desforces intrieures non conservatives, lequel peut tre positif en raison de lnergieemmagasine par tout tre vivant, grce son alimentation, et restitue par sonmtabolisme.

    2. a) Au cours dumouvement, le centre demasse est pratiquement fixe sous lactiondu poids de la danseuse et de la raction quexerce le sol sur ses pointes en O. Laprojection du moment cintique selon laxe de rotation se conserve, puisque lemoment des actions de contact est nul en O. On a ainsi :

    dLLLOdt= OCOCOC m qui donne dLLLO

    dt eeez = (OCOCOC m) eeez soit dLO,zdt = 0

    les vecteurs et eeez tant colinaires. Ainsi, le moment cintique selon laxe derotation est une constante :

    LO,z = Cte avec LOz =

    Xi

    OAOAOAi mivvvi! eeez

    Le thorme relatif lnergiemcanique donne, lui, puisquil ny a pas de variationdnergie potentielle de pesanteur : dEk = W(nc)in .b) En diminuant les longueurs des bras et donc des vecteursOAOAOAi, on conoit que ladanseuse puisse augmenter alors la vitesse des dirents points qui la constituent,et donc son nergie cintique. Cette dernire augmentation provient du travailpositif des forces intrieures non conservatives, fourni par le mtabolisme de ladanseuse.

    3. a) Lorsque le poisson se met en mouvement dans laquarium, la quantit demouvement du systme constitu par laquarium nest pas constante, mais variepuisque le centre de masse du systme {aquarium-poisson} se dplace. Notons quele systme nest pas isol : certes le poids de laquarium demeure constant, maispas la raction quexerce le plateau sur lui. Lquilibre de la balance est celui desplateaux, prcisment des forces de raction RRR et RRRd quexercent respectivementlaquarium sur le plateau de gauche et la tare sur le plateau de droite. Appliquonsle thorme de la quantit de mouvement laquarium gauche, puis la tare droite. On obtient respectivement :

    dPPPdt= RRR +M et

    dPPPddt= RRRd +Md CO

    RRECTION

    SDES

    EXERCICES

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1334 #1378

    1334 Corrections des exercices des travaux dirigs

    Il en rsulte, puisqueM =Md :

    RRR = RRRd +dPPPdt dPPPd

    dtsoit R = Rd +

    dPx,dt

    dPx,ddt

    en projection selon laxe Ox vertical descendant.

    b) Initialement, il y a quilibre des plateaux car les quantits de mouvement sonttoutes deux nulles. Si le poisson acquiert un mouvement selon la verticale, lqui-libre est rompu :

    R = Rd +dPx,dt

    Lavantage est au plateau de droite si le poisson initialement au fond de laquariumremonte brutalement :

    dPx,dt

    0,1 5 = 0,5 N comparer R et Rd qui valent lquilibre 5 1 9,8 49 N. Cette dirence estaisment dtectable avec une balance susamment sensible.

    S25-11 quilibre dun point matriel et point de Fermat dun triangle

    1. Pour tablir la condition dquilibre, crivons que la somme des forces de tensionde fil qui sexercent sur la masselotte A est nulle :

    TTT1 +TTT2 +TTT3 = 000 soit T1 eee1 + T2 eee2 + T3 eee3 = 000

    en introduisant les vecteurs unitaires dfinis parAAAAAA1, AAAAAA2 etAAAAAA3 respectivement.Ces tensions sont directement relies aux poids, puisque les trois masses tant enquilibre, on a, la tension ne variant pas le long des fils mi Ti = 0. Il en rsulte :

    m1 eee1 +m2 eee2 +m3 eee3 = 000 do m1 eee1 +m2 eee2 +m3 eee3 = 000

    a) Si la masse m3 est trs infrieure au deux autres masses, il vient m1eee1 +m2eee2 000.Le point A se trouve pratiquement sur la droite A1A2, prcisment au centre demasse de A1 et A2.

    b) Si la massem3 est trs suprieure aux deux autres masses, alors lapproximationm3 eee3 000 na pas de sens physique. On lve la dicult en introduisant, dans lebilan des forces, la force supplmentaire de raction en raison du contact de Aavec A3.

    2. Puisque m1 = m2 = m3, le point de Fermat est tel que : eee1 + eee2 + eee3 = 000.

    En A, les trois vecteurs unitaires eee1, eee2 et eee3 forment entre eux des angles gaux 2/3. De mme pour A1 et A2.

    b) Pour que le pointA existe, il faut que de A3 on puisse couper, par des droites, lesdirections des vecteurs eee1 et eee2, ce qui suppose que langle A3 soit infrieur 2/3.

    3. a) Lnergie potentielle dun tel systme, en fonction des cotes zi = AiMi despointsMi, a pour expression :

    Ep = m (z1 + z2 + z3) = mXi

    ziCORR

    ECTION

    SDES

    EXERCICES

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1463 #1507

    Index 1463

    Clapeyron, xxxviiiDiagramme de, 691Formule de, 869

    Clausius, xxxix(nonc de), 813

    Climatiseur, 885Coecient

    damortissement, 170de compressibilit, 733des liquides et des solides, 738de dilatation, 686de performance, 887

    Cohen-Tannoudji (Claude), 719Colatitude magntique, 1103Collimateur, 360Comte de Hale-Bopp, 570Comparaison des champs E et B, 1107Comparateur, 462

    hystrsis, 462simple, 462

    Complexe (Amplitude), 383Condensateur, 117, 407, 974Condensation, 857, 858Condenseur, 356, 889Condition des sinus dAbbe, 255Conductance, 115, 406

    dynamique, 120Conducteur ohmique, 115, 1045Conductivit, 1034Conique, 572, 1129Conservation

    du flux du champ magntique, 1079du moment cintique, 546, 566de lnergie mcanique, 567

    Constanteconventionnelle classique, 12dEinstein, 3, 11drive classique, 13drive quantique, 13de Boltzmann, 12de couplage, 19de Faraday, 13de gravitation, 6, 11de Newton, 6, 11de Planck, 13de structure fine, 14de von Klitzing, 14des gaz parfaits, 13fondamentale, 2, 11

    Constante des gaz parfaits, 693Constantes fondamentales, xxixConstructions gomtriques

    Dioptres, 221Lentilles, 276Miroirs sphriques, 308

    Conventiongnrateur, 113rcepteur, 113

    Coordonnescartsiennes, 31, 1163cylindriques, 31, 1164sphriques, 32, 1165systmes de, 1163

    Copernic, xxxvCoriolis, xxxviiiForce de, 610Corps noir, 333Corps pur, 728, 855Coulomb, xxxviiCoupure (Frquence de), 489Courant

    de polarisation, 477de conduction, 110de convection, 109de court-circuit, 123de diusion, 110lectrique, 109lectromoteur, 123volumique, 1031

    Courbedbullition, 874de fusion, 865de rose, 859de sublimation, 866

    Covolume, 736Cration dentropie

    (Interprtation microscopique de la), 847Critique (Isotherme), 729Cube de la physique, 15Cycle

    de Beau de Roches, 900de Carnot, 887de Stirling, 894

    Cyclotron, 1016Cylindre de combustion, 891

    D

    Dalton (John), 712Debye, xlii, 988Dclinaisonmagntique, 1102Dfaut de masses, 100Degrs de libert, 33Dmodulation damplitude, 515Drivation (Branchement en), 125Drive

    dun produit scalaire, 1138dun produit vectoriel, 1138dun vecteur, 1137dune fonction, 1135logarithmique, 1137partielle, 1136

    Descartes, xxxviDescription

    eulrienne, 732lagrangienne, 732microscopique, 688

    Dsordre, 841

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1464 #1508

    1464 Index

    Desormes, 831Dterminants, 1152Dtecteur de crte, 201Dtente

    dans une tuyre, 798, 828de Gay-Lussac et Joule, 784, 804, 822de Joule, 798de Joule et Kelvin, 828de Thomson, 798de Joule et Thomson, 789, 822isenthalpique, 789, 790

    Dterminisme, 71Deuxime principe, 811Dviation

    angulaire par un prisme, 225lectrostatique, 436, 1009magntique, 1013vers lest, 671

    Dewar (Vase), 793Diagramme

    dAmagat, 734de Bode, 486dquilibre dun corps pur, 866de Raveau, 884

    Diamtre apparent, 257, 1126Direntielle, 1161

    Forme, 1166logarithmique, 1161

    Diraction, 217Diusion, 395

    de Rutherford, 580Rayleigh, 395Rayleigh rsonnante, 396Thomson, 396

    Dimension physique, 4Diode

    jonction, 119lectroluminescente, 336idale, 118Zener, 119

    Dioptre, 219plan, 248succession de, 252

    Dipleactif, 114lectrique, 691lectrocintique, 112lectrostatique, 988gnrateur, 115magntique, 1097passif, 114rcepteur, 115terrestre, 1101

    Discernables (Particules), 837Discussion qualitative de mouvement, 92Dispersion, 216, 227Dissipatif, 527Distance minimale de vision distincte, 339

    Distributionde Boltzmann, 852de Maxwell, 718des vitesses de Maxwell, 706linique de charge, 916surfacique, 915symtrique, 949

    Diviseurde courant, 141de tension, 140

    Doubletde charges identiques, 941de charges opposes, 944

    Drude, xli, 1030Modle de, 1030

    Dure de relaxation, 170Dynode, 343

    E

    bullition, 863(Courbe d), 730

    cart-type, 1173change dnergie, 688chantillonnage, 443chelle

    astronomique, 17Celsius, 686Fahrenheit, 686macroscopique, 17

    chelon de tension, 188cliptique, xxxcoulement, 731Eet

    Hall, 1038Joule, 130photo-lectrique, 342Purkinje, 339

    Ecacitdun moteur thermique, 885dune machine inverse, 886dune machine thermique, 885

    Einstein, xlii, 27lectrocintique, 107lectromagntisme, 1lectron lastiquement li, 394lectronique, 107lectronvolt, 13, 78, 922Ellipse, 573Ellipsode, 320nergie, 77

    (Bilan d), 129cintique

    dun point matriel, 77dun systme matriel, 631

    dans un circuit lectrique, 150de masse, 98dune particule en relativit, 99interne, 775

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1467 #1511

    Index 1467

    lectromagntique, 18lectrostatique, 911faible, 19fondamentale, 18forte, 19gravitationnelle, 18newtonienne, 913nuclaire, 649

    Invariancedes distributions de charge, 945par rotation autour dun axe, 947, 1065par translation, 945, 1065

    Irrversibilit(Causes d), 807

    Isenthalpique(Dtente), 789, 790

    Isonergtique(Dtente), 784

    Isolant, 1045Isothermes

    dAndrews, 728

    J

    Jet atomique, 719Joule, xxxix

    (Dtente de Gay-Lussac et), 784,798, 822(dtente de et Thomson), 789, 822

    K

    Kelvin, xxxix, 4, 686(nonc de), 814

    Kepler, xxxviKilogramme, 3Kilowatt-heure, 78Kirchho, xxxix

    Lois de, 126Knig, xxxviiKnig (Thormes de), 625

    L

    Lame faces parallles, 237 incandescence, 334quartz-iode, 334

    Lampes, 334Laplace, xxxvii, 71

    Force de, 1041Laser, 319Latitude, 602

    de mise au point, 357, 371Lawrence, 1016Leibniz, 78Lentilles, 349liaison

    bilatrale, 96hydrogne, 997unilatrale, 548, 550

    Lignes de champdun diple lectrostatique, 992dun diple magntique, 1099lectrostatique, 919magntique, 1058

    Limite de Roche, 667Liqufaction, 856, 862

    (Palier de), 729Loi

    binomiale, 1175dAvogadro, 712dOhm, 115de Biot et Savart, 1055, 1057de Boltzmann, 758, 844de Boyle et Mariotte, 712de Cauchy, 216de Charles, 712de Coulomb, 55de Dalton, 712de Descartes, 219de Gay-Lussac, 712de Hooke, 55de Joule (premire), 718de Kepler, 570de Kirchho, 126, 128de Newton, 57, 60, 627de Snell, 219de Stokes, 57de Venturi, 57des mailles, 127, 129, 412des nuds, 127, 129, 411fondamentale, 1

    de loptique gomtrique, 232de la dynamique de Newton, 57de la dynamique dEinstein, 70, 98

    maxwellienne, 706Longueur donde de Compton, 14Lorentz, xliLoupe, 356Lune, xxxiLunette, 361

    astronomique, 363autocollimatrice, 362

    M

    Mthodede Badal, 354de Bessel, 352de Silbermann, 353des mlanges, 794

    Mtre, 3Mcanique, 1Machine thermique

    ditherme, 883ferme, 891inverse, 883ouverte, 891relle, 891

    Macrotat, 835

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1469 #1513

    Index 1469

    Limite de rsolution angulaire, 339rsted, xxxviiiOhm, xxxviii

    Loi d, 115Onde

    lectromagntique, 212lumineuse, 212Surface d, 212Vitesse de propagation dune, 212

    Opposition des actions rciproques, 627Orientation

    de lespace, 1007dune surface, 963

    Oscillateur, 163Oscillation

    force, 382libre, 163

    Oscilloscope, 436

    P

    Palier de liqufaction, 729Parabolode, 321Parallle (Association en), 140Parsec, xxx, 18Particules discernables deux tats, 838, 840Pascal, xxxvi, 708

    (Thorme de), 750(Tonneau de), 752

    Pendulecirculaire, 547de Foucault, 661paramtrique, 552simple, 8, 97

    invers, 551Analyse nergtique, 95

    Permabilit magntique du vide, 12, 1056Permittivit dilectrique du vide, 13, 912Perrin (Jean), 703Pesanteur, 658Phase

    lorigine, 164, 379condense, 738Portrait de, 96, 169, 178

    Phillips (William), 719Photodtecteurs, 342

    transfert de charge, 344Photodiode, 342Photomultiplicateur, 343Photon, 20Physique, 1

    classique, 11quantique, 11, 13, 169, 569, 578, 837, 878,

    1047Plan

    dantisymtrie, 943, 1064de symtrie, 940, 1062dincidence, 219focaux, 256, 306

    Plantes du systme solaire, xxxi

    Plana, 679Planck, xli, 211

    Grandeurs de, 15Poids dun corps, 658Point

    critique, 730, 859triple, 860

    Point matrielquilibre dun, 61isol, 60pseudo-isol, 60Repos dun, 61

    Points conjugus, 244Point (thermodynamique)

    critique, 729triple, 860

    Polymre unidimensionnel, 852Pompe chaleur, 883, 885Pont

    de Graetz, 512de Maxwell, 412de Wheatstone, 128rsonance, 394

    Portrait de phase, 96, 169, 178Positions de Gauss, 1101Postulat de Nernst-Planck, 843Potentiel, 911

    cr par un diple, 990de gravitation, 928de rfrence, 126lectrostatique, 921scalaire magntique, 1099

    Potentiomtre, 140Prcession de Larmor, 1109Prcision dune mesure, 10Premier principe

    de la thermodynamique, 774Presbytie, 341Presse hydraulique, 751Pression

    dun fluide au repos, 747de vapeur saturante, 861dynamique, 736Force de, 747Origine physique, 707cintique, 707partielle, 712

    Prigogine, xliiiPrincipe, 1

    de lquivalence, 780de laction et de la raction, 627zro de la thermodynamique, 815(Troisime), 843dHuygens, 234de linertie, 60

    Prisme rflexion totale, 226Condition dmergence dun, 226

  • prepaphys1 (Col. : DeBoeck 21x27) 2011/7/20 8:41 page 1470 #1514

    1470 Index

    Dviation par un, 225Minimum de dviation, 225

    Probabilitconditionnelle, 1171conjointe, 1171Densit de, 1172

    Production dentropie, 811Produit vectoriel, 6Projection dimage, 355Pseudo-priode, 171Pseudo-vecteur, 1007, 1062Puissance

    active, 416dune force, 79lectrique, 113instantane, 415moyenne, 416musculaire, 80

    Pulsationcyclotron, 1011de Larmor, 1427dun oscillateur, 39

    Punctumproximum, 339remotum, 339

    Pupille, 339

    Q

    Quantique, 2Quantit de mouvement, 58Quantum

    de charge lectrique, 12de conductance, 1047dnergie, 13de flux magntique, 13de mouvement cintique, 1105de rsistance, 1047

    Quark, 20

    R

    Raveau (Diagramme de), 884Rayleigh, xlRayon

    de Bohr, 14classique de llectron, 931lumineux, 218

    Ractance, 406Raction, 56Redressement, 507, 509Rductionisme, 703Rflexion

    Lois de la, 219, 1020totale, 222

    Rfrentiel, 32de Copernic, 657de Kepler, 657du centre de masse, 624du laboratoire, 656

    gocentrique, 656galilen, 59, 655inertiel, 61, 672terrestre, 657

    Rfractionlimite, 222Lois de, 220, 1020

    Rfractomtre, 226Refroidissement atomique, 719Rfrigrateur, 883, 885

    absorption, 889Regel de leau

    (Exprience du), 865Rgime

    apriodique, 173critique, 174tabli, 189, 382forc, 189, 525, 526libre, 189pseudo-priodique, 171stationnaire, 107transitoire, 189, 382

    Rgledu bonhomme dAmpre, 5du tire-bouchon de Maxwell, 5

    Relation de Mayer, 788Relativit

    galilenne, 605gnrale, 1, 582, 610, 674Principe de relativit, 613restreinte, 1, 70, 98

    Rendement dune machine, 887Repre despace, 30Reprsentation

    de Norton, 146de Thvenin, 146

    Rseau, 112Rsistance, 115, 406

    dentre, 437de sortie, 434dynamique, 120ngative, 470

    Rsistivit, 1034Rsistor, 115Rsonance, 384, 385, 389

    de tension, 389dintensit, 387

    Rtroaction, 460Rversibilit, 695, 813Rose (Courbe de), 730Rutherford, xliiRydberg, 14

    S

    Sisme, 398Sallen-Key (Cellule de), 498Saturation (Courbe de), 730Savart, xxxviiiSeconde, 3

  • PCSIMPSIPTSI

    1re ANNE

    PHYSIQUEUne approche moderne

    COURSEXERCICES CORRIGSOUTILS MATHMATIQUES

    Cet ouvrage rassemble dans un seul volume tout le programme de physique de premire anne des trois filires des classes prparatoires aux grandes coles : PCSI, MPSI et PTSI.Les programmes de ces trois filires sont trs proches et ne diffrent que surquelques points prcis indiqus dans le texte. Les auteurs ont suivi la dmarche pdagogique suggre par le programme officiel, tant sur le contenu que sur la progression des enseignements, en illustrant chaque leon par des exemples et des ordres de grandeur. Le livre est dcoup en 44 leons, chacune tant suivie de questions de cours,dexercices dapplications directes et de problmes inspirs de ceux poss auxconcours, tous corrigs en dtail. Louvrage propose un rappel de lessentiel des outils mathmatiques de basencessaires lenseignement de la physique en classes prparatoires. Les 44 leons se terminent par une section Ouvertures qui souligne lactualitdu sujet et prsente des lments indispensables de physique moderne. Louvrage intressera galement les tudiants de premire anne des universitset des classes prparatoires intgres, ainsi que les candidats aux concours de lenseignement secondaire. PH

    YSIQUE

    Une approche moderne

    + Strictement conforme au programme+ De nombreux exemples avec ordres de grandeur+ De nombreux exercices et problmes corrigs+ Des ouvertures pour la prparation aux preuves

    dADS et de TIPE+ Des outils mathmatiques de base

    ISBN : 978-2-8041-6226-9

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    Sous la direction de JOS-PHILIPPE PREZ

    CHRISTOPHE LAGOUTE OLIVIER PUJOL RIC DESMEULES

    Conformeau programme

    Jos-Philippe Prez, Professeur mrite de lUniversit de Toulouse au UPS-OMP, IRAP.Christophe Lagoute, Professeur au Lyce Bellevue de Toulouse.Olivier Pujol, Matre de confrences lUniversit de Lille au LOA.ric Desmeules, Professeur au Lyce Bellevue de Toulouse, en CPGE-MP.

    PCSIMPSIPTSI

    PREPAPHY1:Mise en page 1 13/07/11 17:53 Page1

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