1 Département de Physique, Université Laval, Québec ©Pierre Amiot, 2010. La fonction delta et certaines de ses utilisations 0. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques. Il n’est pas destiné aux mathématiciens. L’emphase est mis sur l’utilisation des fonctions delta, pas sur leurs structures et propriétés mathématiques. Qu’il soit suffisant de dire ici que les fonctions delta ne sont pas des fonctions, mais des distributions dont les mathématiciens connaissent bien les caractéristiques. Nous nous contenterons de certaines de leurs propriétés. Les deltas apparaissent sous une forme discrète, dite delta de Kronecker et sous une forme continue dite de Dirac. C’est sous la forme continue que nous devons être particulièrement attentifs à leurs propriétés de distribution. 1. La forme discrète ou le delta de Kronecker !

n m

Il est simplement défini par !n m

= 1 si n = m

=0 si n " m

#$%

&'(

)(* !

n m= !

m n

où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4...... En fait, !

n m peut être représenté par la matrice unité (en fait l'élément n, m, de cette matrice).

Il s'agit de fait, d'une matrice puisqu'on peut utiliser le 1er indice comme indice de ligne et le second comme indice de colonne. Ainsi (si n et m vont de 1 jusqu'à 5)

![ ] =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

"

#

$$$$$

%

&

'''''

Notons quelques propriétés, qui sont surtout centrées sur le fait qu'un delta à l'intérieur d'une somme va tuer la somme, au sens où il ne restera qu'un seul terme, celui satisfaisant la contrainte imposée par le delta

i) Cn

n

D

! "n m

= Cm

à condition que la valeur m (préfixée) tombe à l'intérieur du domaine

des valeurs de n, appelé D, sinon le résultat est zéro. Le delta a tué la somme

ii) !mn

n

tous

" !n k= !

m k

Le deuxième de ces résultat est équivalent à dire que la matrice unité fois (produit matriciel) la matrice unité donne la matrice unité ! C'est évident. iii) Une expression comme Ci! ij n’a pas vraiment de sens. Elle prend vraiment tout son sens lorsqu’on somme sur les valeurs de i, dans

i=1

N

! Ci" ij = Cj

iv) On doit noter que le delta de Kronecker est sans dimension.

2 2. La forme continue ou le delta de Dirac en 1-D : ! x " x

0( )

a) Définition C'est un peu la généralisation continue du delta de Kronecker avec x, une variable continue, jouant le rôle d'indice (continu), là où n et m étaient des indices discrets. On pourrait penser définir

! x " x

0( ) = 1 si x = x0

= 0 si x # x0

mais ce serait sursimplifier le problème parce qu'une variable continue a une "mesure" nulle i.e une probabilité essentiellement nulle d'avoir exactement une des valeurs qui lui sont permises. On est amené à définir la fonction delta d'une façon différente, ce qui en fait la prive de son caractère de fonction.

x

!

a

h

x0

Les mathématiciens appellent cela une distribution. Comme on est ici dans le domaine du continu, la somme est devenue une intégrale dans laquelle la fonction delta n'est définie que par le rôle qu'elle joue dans cette intégrale. Le delta de Kronecker tue la somme, celui de Dirac tue l'intégrale

! x " x

0( ) f x( )dx = f x

0( )

x1

x2

# si x0$ x

1, x

2[ ]

= 0 si x0% x

1, x

2[ ] (1) on tue l'intégrale

Nous avons tué l'intégrale qui se réduit à la valeur de l'intégrant évalué au seul point permis par le delta. Contrairement à la somme, l'intégrale contient une mesure dx qui porte les mêmes dimensions que la variable x. C'est un élément important et pour rester cohérent, la fonction delta sera définie de façon à ce que

! x " x

0( )x1

x2

# dx = 1 si x0$ x

1, x

2[ ]

= 0 si x0% x

1, x

2[ ] (2)

On note, dans cette dernière équation, que 1 n'a pas de dimension mais que dx a les dimensions de x. Il faut donc que ! x " x

0( ) ait les dimensions inverses de celles de son argument, donc

3 dim ! x( )( ) = dim x

"1( ) = dim x( )( )"1 .

Il n'est pas déraisonnable d'imaginer alors une "fonction" ∆ de la façon qui apparaît sur la figure ci-dessus où! x " x

0( ) = lima#0

h#$

a h=1

% x " x0( ) . Pour a suffisamment petit, il est clair que

f (x)! x " x0( )

D

# dx $

$ f (x0) ! x " x

0( )

D

# dx

$ f (x0)•1 $ f (x

0)

où l'intégrale ! x " x0

( )D

# dx = la surface intérieure = 1 par construction.

b) Quelques propriétés de la fonction delta de Dirac. On les comprend mieux en gardant à l'esprit que cette fonction ne contribue que là où son argument est nul et uniquement lorsqu'utilisé à l'intérieur d'une intégrale i) ! x( ) = +! "x( ) x = +0 est identique à x = -0.

ii) ! f x( )( ) =! x " xn( )f ' xn( )n

#

où les xn sont les zéros de la fonction, i.e. f xn( ) = 0, mais f ' xn( ) ! 0

Par exemple ! a x( ) =! x( )

a .

iii) x! x( ) = 0 , un résultat assez évident, même si, strictement, il ne se manifestera que lors de l'intégration. On se permet ici d’écrire x! x( ) = 0 parce qu'intégrer cette quantité donnera nécessairement zéro. iv) ! x " y( ) ! y " a( )# dy = ! x " a( ) si le domaine d'intégration de y contient x et a . v) Une représentation très utile et fréquente de la fonction de Dirac est

! x " x0( ) =

1

2#ei k x" x

0( )

"$

+$

% dk

Pour mieux la comprendre, il est utile de savoir faire les intégrales dans le plan complexe en utilisant le lemme de Jordan. vi) On peut aussi visualiser la fonction delta comme la dérivée de la fonction échelon de Heaviside ! x " x

0( ) =

d

dxH x " x

0( ) ,

où H x ! x0

( ) est la fonction échelon de Heaviside (voir figure ci-dessous)

4 H x ! x

0( ) = 1 si x > x0

= 0 si x < x0

xx0

H

1

De plus, on peut continuer et définir la dérivée de la fonction delta,

! ' x " x0( ) =

d

dx! x " x

0( ) . Elle a la propriété suivante, démontrable par intégrale par partie,

! ' x " x0( )

D

# f x( )dx = " f ' x0( )à condition que x

0!D .

c) Changement de coordonnées Imaginons un changement de coordonnées. Nous utiliserons un exemple très simple. Soit x = a u ! dx = adu parce que a est ici une constante. Clairement

! x " x0

( )x1

x2

# dx = a ! au " au0

( )u1

u2

# du =1 comme on le sait. Il est clair qu'il faut que

! au " au0

( )u1

u2

# du =1

a mais nous savons que ! u " u

0( )

u1

u2

# du = 1 . La seule solution

possible est que! au " au0( ) = ! a u " u

0( )( ) =1

a! u " u

0( ) .

Essayons une transformation un peu plus compliquée. Soit x = u

2

! dx = 2udu

Ici ! x " x0( )

x1

x2

# dx = ! u2 " u

0

2( )u1

u2

# 2udu = 1

La solution est simple, ! u2

"u0

2( ) =1

2u! u " u

0( ) ce qui donne

! x " x

0( )x1

x2

# dx = ! u2 " u

0

2( )u1

u2

# 2udu =! u " u

0( )2uu

1

u2

# 2udu

= ! u " u0( )

u1

u2

# du $ 1

La façon générale de noter ces résultats (sans le démontrer ici) est d'écrire que lors d'une

transformation de coordonnées, ! x " x0( )#

! u " u0( )

Joù J est le Jacobien de la

5 transformation de coordonnées. Puisque sous cette transformation, la mesure d’intégration se transforme comme dx ! J du , on aura alors

! x " x0( )

D

# dx =! u " u

0( )J

D

# J du $ ! u " u0( )du = 1

D

# si x0u0

( ) !D

Ceux qui sont intéressés pourront vérifier que ce résultat est cohérent avec la propriété numéro ii) ci-dessus. 3. Delta de Dirac en 3-D :

!3 !

r "! r 0

( ) Essentiellement par définition, nous avons

! 3 ! r "! r 0

( )D

# f (! r ) d

3 ! r = f (

! r 0) si

! r 0!D .

En système cartésien, on a simplement d3 ! r = dxdydz et

!3 !

r "! r 0

( ) = ! x " x0

( )! y " y0

( )! z " z0

( ) . On vérifie dans ce cas que

! 3 ! r "! r 0

( )D

# d3 ! r = ! x " x

0( )

D x

#=1 si x

0$Dx

" # $ % $

dx ! y " y0

( )D y

#=1 si y

0$Dy

" # $ % $

dy ! z " z0

( )Dz

#=1si z

0$Dz

" # $ % $

dz

Qu'arrive-t-il en système non cartésien, disons par exemple en système cylindrique où l'élément de volume devient

d3 ! r = !"d !"d# "dz? Doit-on alors écrire

! 3 ! r "! r 0

( )D

# d3 ! r = ! $ " $

0( )

D

### ! % " %0

( )! z " z0

( ) $ d $ d% dz ? La réponse est NON !

Clairement il y a un problème, les dimensions n'étant même pas satisfaites ( un angle n'a pas de dimension). Il y a une dim !( ) de trop à droite. La solution est assez évidente lorsqu'on voit qu'en coordonnées curvilignes, disons (u, v, w) , que

d3 ! r = J dudv dw , où J est le Jacobien de

la transformation cartésien —> curviligne. Dans ce cas, le simple critère sur les dimensions

nous amène à écrire que

!3 !

r "! r 0

( ) =! u " u

0( )! v " v0( )! w " w

0( )J

. De façon générale, nous

aurons alors

! 3 !r "!r0( )d 3!r #

! u " u0( )! v " v

0( )! w " w0( )

JD

$$$D

$$$ J dudvdw

= ! u " u0( )

Du

$ du • ! v " v0( )dv • ! w " w

0( )Dw

$Dv

$ dw

Par exemple, dans le cas cylindrique où nous avons J = ! , nous devrons écrire

! 3 !r "!r0( ) =

! # " #0( )! $ "$

0( )! z " z0( )

#.

Nous aurons alors, en effet,

! 3! r "! r 0( )

D

# d3! r =

! $ " $0( )! % "%

0( )! z " z0( )

$D

### $ d $ d% d z

= ! $ " $0

( )D$

# d $ • ! % " %0

( )D%

# d% • ! z " z0

( )Dz

# dz

= 1 • 1 • 1 = 1

Cette façon de faire est très systématique, mais demande un peu d'attention. Prenons les coordonnées sphériques par exemple. L'élément de volume y est donné par

6

d3! r = r

2sin! drd! d" = r

2dr d cos! d"

Dans la première expression, les variables sont r,! et " , où 0 ! " ! #, 0 ! $ ! 2# . On sait que le Jacobien est J = r2 sin! . Dans la deuxième expression, les variables sont r, cos! et " , où !1 < cos" < +1, 0 # $ # 2% . Ici on sait que le Jacobien est J = r2 . Dans un cas comme dans l'autre, notre recette fonctionne, puisque

! 3 !r "!r0( )

D

# d3!r =

! r " r0( )! $ "$

0( )! % " %0( )

r2sin$

D

### r2sin$ dr d$ d%

= ! r " r0( )

Dr

# dr • ! $ "$0( )

0

&

# d$ • ! % " %0( )

0

2&

# d%

= 1 • 1 • 1 = 1

Alors que nous pouvons écrire aussi

! 3! r "! r 0( )

D

# d3! r =

! r " r0( )! cos$ " cos$

0( )! % "%0( )

r2

D

### r2

dr d cos$ d%

= ! r " r0

( )Dr

# dr • ! cos$ " cos$0

( )"1

+1

# d cos$ • ! % "%0

( )0

2&

# d%

= 1 • 1 • 1 = 1

Dans un cas comme dans l'autre, la présence du Jacobien permet de tout réduire à des produits de la forme ! " # "

0( ) d"D

$ % 1 si!0"D , sinon =0.

4. Exemples d'utilisation. Nous serons particulièrement intéressés par les fonction de Dirac dans le cadre de l'utilisation d'ensembles complets de fonctions orthogonales. a. Polynômes de Legendre On sait, par exemple que les polynômes de Legendre, P

lx( ), l = 0,1,2,3.... forment un

ensemble complet sur le domaine x = !1, +1[ ]. Ensemble complet signifie que toute fonction raisonnablement continue, f (x) , limitée à ce domaine D défini par x = !1, +1[ ] , peut s'écrire comme une combinaison linéaire de polynômes de Legendre

f (x) = cll=0

!

" Pl x( ) .

Tout se passe comme si f (x) était un vecteur, les Plx( ), l = 0,1,2,3.... des vecteurs de base et

les cl les composantes du vecteur f (x) dans cette base. C'est RÉELLEMENT le cas et on

parle d'espace linéaires, qu'ils soient vectoriels au sens habituel ou fonctionnels. Dans ce dernier cas, la dimension de cet espace fonctionnel/vectoriel est infini, mais ce n'est pas là un problème conceptuel, rien ne limitant en principe la dimension d'un espace. Cela peut occasionner des problèmes pratiques, mais nous nous y attaquerons en temps et lieu. Il y a un problème très mineur avec la définition traditionnelle des polynômes de Legendre : ils ne sont pas normalisés, alors que nous sommes habitués à des vecteurs de base normalisés, comme en fait foi le produit scalaire habituel entre vecteurs (géométriques)

7 ˆ i , ˆ i ( ) = ˆ i • ˆ i =1 . Dans un espace fonctionnel réel, le produit scalaire sera (toujours) défini par une intégrale sur le domaine D, qui est ici x ! "1, +1[ ] . Donc

Pl, P

k( ) = P

lx( )

!1

+1

" Pkx( ) dx = #

l k

2

2l + 1. Le facteur !

l k indique l'orthogonalité de ces

fonctions de base (les polynômes de Legendre) mais le facteur numérique est différent de un,

il est égal à 2

2l +1, ce qui nous dit que ces fonctions ne sont pas normalisées (à un). Il est

trivial d'y remédier, si on veut, en définissant une base constituée des fonctions

!lx( ) =

2l +1

2Plx( ) . Elles seront orthogonales ET normalisées (on dit orthonormales) et on

pourra écrire

f (x) = Cl

l=0

!

" #l x( ) .

Mais...historiquement on les utilise généralement sous leur forme initiale, contrairement à ce que nous faisons ci-dessous

De la même façon que dans

!

A = Ai

i=1

N

! ˆ e i , où les composantes sont données par un produit

scalaire (vectoriel) A

i= ˆ e

i,!

A ( ) = ˆ e i•!

A , nous calculerons ici les composantes de f (x) par le produit scalaire fonctionnel Ck = !k, f( ) = !k (y) f (y)dy"1

+1

# . Remplaçant dans l'expression pour f (x) donne, interchangeant somme et intégrale

f (x) = !l (y) f (y) dy"1

+1

#l=0

$

% !l x( ) = dy"1

+1

# f (y) !l (y)l= 0

$

% !l x( ) .

Si l'ensemble des fonctions de base est complet, alors le résultat du calcul à droite doit donner f (x) identiquement. Examinant le côté droit, il devient clair que cela revient à exiger que

!l (y)l= 0

"

# !l x( ) = $ x % y( )

En effet, remplaçant, l'expression à droite devient dy!1

+1

" f (y) # x ! y( ) $ f (x) , comme il se doit. Nous avons donc un critère pour déterminer si un ensemble de fonctions, disons !

nz( ){ } , constitue un ensemble complet de fonctions sur un domaine D. Elles doivent

pour ce faire, satisfaire

! n y( )n

tous

" ! n z( ) = # y $ z( ) , pour y et z dans D.

Cette démonstration n'est pas triviale et les physiciens ont tendance à en laisser la démonstration aux mathématiciens (chacun son métier!). La généralisation aux espaces de coordonnées à plusieurs dimensions est immédiate.

8

!n{ }

! r ( )

n{ }

tous

" !n{ }

! r '( ) = #

3 ! r $! r '( ) où le symbole n{ } signifie que la somme est multiple et

porte sur un ensemble d'indices, puisqu'ils seront en général plusieurs (généralement un indice pour chaque dimension de l'espace de coordonnées). Remarque additionnelle Nous n'avons parlé ci-dessus que d'espaces réels, impliquant des fonctions réelles. En mécanique quantique par exemple, il n'est pas possible d'échapper aux fonctions complexes. Dans le cas où les fonctions sont complexes, le produit scalaire prend la forme plus générale

!!r( ), "

!r( )( ) = !# !

r( )D

$ "!r( ) d 3

!r , où !# !

r( ) = complexe conjugué de!!r( ) .

Clairement cette définition recouvre celle que nous avons utilisée pour les fonctions réelles. b. Autre exemple : les harmoniques sphériques La surface d'une sphère est un espace à deux dimensions qui peut être couvert par les coordonnées ! et " du système de coord. sphériques. En fait cette surface correspond à prendre r = constante dans le système de coordonnées sphériques r,!,"( ) . Sur cet espace, les harmoniques sphériques, définis par

Yl m

!,"( ) =2l +1

4#

l $ m( )!

l + m( )!Pl mcos!( ) ei m" ,

forment un ensemble complet orthonormal. Ainsi

Yl m

! " ',# '( )m=$ l

+ l

%l=0

&

% Yl m

",#( ) = ' # $# '( ) ' cos" $ cos" '( ) : ensemble complet.

On note ici que les variables naturelles des harmoniques sphériques sont cos! et " . On vérifie d’ailleurs que la mesure d’intégration de volume s’écrit d

3 r r = r

2drd! = r

2drsin"d"d# $ r

2drd cos"d#

et il n’y a donc aucun problème nouveau ici, simplement une façon différente d’écrire la même chose. On vérifie d’ailleurs l'orthonormalité en calculant

d! d cos" Yl ' m '

#

$1

+1

%0

2&

% ",!( ) Ylm

",!( ) = 'l l ''m m'

: orthonormal. On note l'orthogonalité sur les deux indices Toute fonction "raisonnable" de ! et " peut alors s'écrire

f !,"( ) =l=0

#

$ Cl m

m=% l

+ l

$ Yl m !,"( ) ,

qui représente le vecteur f sur la base des vecteurs unitaires de base, les Ylm

, avec les composantes C

lm définies par le produit scalaire comme il se doit

Cl m = Yl m , f( ) = d! dcos" Yl m# ",!( )

$1

+1

%0

2&

% f ",!( ) . c. Autres utilisation La fonction delta ne sert pas que pour décrire les relations formelles d'orthogonalité dans les espaces linéaires. Même si elle n'est strictement définie qu'à l'intérieur d'une

9 intégrale, on l'utilise parfois à l'extérieur, sachant que toute quantité d'intérêt physique devra impliquer une intégrale qui emportera le ! . On table parfois sur le fait que ! w( ) a les dimensions de w-1. Par exemple, on sait que

!3 !r "!r0( ) a les dimensions de (volume)-1. On

peut utiliser ce fait pour décrire une charge électrique ponctuelle, q, se trouvant à une position

! r 0 , sous la forme d'une densité volumique de charge :

!!r( ) = q" 3

!r #!r0( ) .

Cette expression a les bonnes dimensions pour une densité (charge/volume). Il est également évident que l'intégrale de cette densité sur un domaine d'espace donnera la charge dans ce domaine, soit q si le domaine contient le point

! r 0 et zéro s'il ne le contient pas.

Cette densité de charge sera utilisée pour calculer des quantités comme le potentiel électrostatique en un point

! r ' dû à une charge q située en

! r 0

V(! r ' ) =

1

4!"0

#! r ( )

! r $! r '

espace

% d3! r =

q

4!"0

&! r $! r 0( )

! r $! r '

espace

% d3! r

=q

4!"0

1! r '$! r 0

qui est évidemment la bonne expression pour ce potentiel. On voit que l'utilisation de la fonction de Dirac nous a permis de traiter dans un contexte continu (intégrale) le cas d'une charge ponctuelle, donc discrète, située en un point. d. Quelques précautions En Physique, on est souvent assez libéral dans les manipulations de la fonction delta. La plupart du temps, ça ne pose pas de problème, mais parfois elle se venge. Par exemple, occasionnellement, on se retrouve avec une fonction delta au carré. Ça n'existe pas. Il faut alors reculer d'un pas pour corriger le tir en faisant plus attention et en tenant compte qu'il ne s'agit pas d'une fonction, mais bien d'une distribution. On doit également faire attention en intégrant par parties lorsque l'intégrale contient une fonction ! . On a utilisé cette technique (intégration par parties) pour démontrer que ! ' x " x

0( )D

# f x( )dx = " f ' x0( )

mais cette même technique se plante royalement si on l'utilise pour tenter de démontrer que ! x( ) = +! "x( ) puisqu'ici l'intégration par parties nous donnerait ! "x( ) = "! x( ) , un résultat qui est FAUX. En fait, il faut utiliser la propriété ii) ici. Ce sont ces petites différences qui font que la fonction delta n'est pas une fonction, mais une distribution. 5.Représentations du delta En page 2, nous avons donné une représentation du delta de Dirac sous la forme de la limite d'un rectangle dont la largeur tend vers zéro et la hauteur vers l'infini, tout en gardant égal à un le produit de ces deux quantités. Ce n'est pas la seule représentation possible du delta de Dirac. Nous en présentons ici quelques unes sans démonstration (voir Messiah par exemple)

! x " x0

( ) =1

#limL$%

sinL x " x

0( )x " x

0( )

10 ! x " x

0( ) =

1

2#eik x" x

0( )

"$

+$

% dk particulièrement utile

!" x # x0( ) =

i

2$eik x# x

0( )

#%

+%

& k dk

! x " x

0( ) =

1

#lim$%&

1

$e" x

2/ $( )

! x( ) =1

2

d2

dx2x

Notons que la deuxième représentation nous donne une façon de sortir de l’impasse lorsque des manipulations intempestives nous ont amenés à un delta au carré, comme

! 2 x " x0( ) = ! x " x

0( )i1

2#eik x" x

0( )

"$

+$

% dk

6. Quelques références : Cohen-Tannoudji et al, Annexe II, vol. 2 Messiah, Mécanique quantique, Annexe 1, vol. 1 Mathews and Walker, Mathematical methods of Physics Morse and Feshbach, vol. 1 Merzbacher, Quantum Mechanics ©Pierre Amiot, 2010.