Plan Problématique Présentation de la méthode Conclusions et perspectives Résultats 1 Journée thématique du GDR IFS « Réduction de modèle en IFS » ENSAM

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Plan

Problématique

Présentation de la méthode

Conclusions et perspectives

Résultats

Journée thématique du GDR IFS« Réduction de modèle en IFS »

ENSAM – Jeudi 18 mai 2006

Validation de l’approche de la réduction a priori - POD sur l'équation de Burgers :

potentialités et limites

Verdon N. *, Hamdouni A. *,Ryckelynck D. **, Allery C. *, Beghein C. *

* LEPTAB, Université de La Rochelle

** LMSP, ENSAM Paris

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Résultats


Plan de la présentation

Problématique

Pourquoi un modèle réduit ? Les limitations de la POD Une alternative : la méthode APR

Présentation de la méthode APR

Les différentes étapes de l’algorithme Le cas test : l’équation de Burgers 1D

PrésentationRésultatsSystème dynamique


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Plan

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Résultats


Problématique

Les méthodes actuelles de CFD demeurent encore très coûteuses en temps de calcul (DNS, LES) et limitent le champ d’action des applications industrielles

Il faut donc un outil CFD peu coûteux et précis Idée : modèle d’ordre réduit => POD

Avantages :

– Modes énergétiquement optimaux

– Très performant associée à un système dynamiqueInconvénients :

– Phase d’échantillonnage longue et coûteuse

– Manque de flexibilité des paramètres de contrôle

Alternative : Méthode APR (A Priori Reduction) Échantillonnage pas nécessaire Evolution dynamique de la base de l’écoulement

Problématique

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Problématique


Résultats



La méthode APR est une méthode itérative combinant deux techniques largement utilisées en mécanique des fluides :

La POD ou décomposition de Karhunen-Loève Les techniques de sous-espace de Krylov

Les qualités requises pour l’algorithme sont :

Rapidité de calcul Précision de la solution Obtention d’une base de l’écoulement Caractère a priori de la méthode La méthode doit pouvoir s’adapter rapidement aux

variations de paramètres de contrôle (nombre de Reynolds, etc..)


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Problématique


Résultats


Pour un système non-linéaire, ce sous-espace est construit à partir de la jacobienne J du système :

Initialisation de la base

bAx

rArArAr m .,,².,., 1 mK

bAxr


Si l’on considère le système linéaire suivant :

Et que l’on définit le résidu par :

Le sous-espace de Krylov d’ordre m est défini de la façon suivante :

010000 .,,².,., rJrJrJr m

0)u( hF

On considère le système non-linéaire suivant :

On veut décomposer la vitesse sur une base Yi :

de taille N

n

ii xtxu

1

a(t)).(),(

Idée : on initialise la base avec un sous-espace de Krylov

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Problématique


Résultats


Projection des équations, résolution et reconstruction

a.u

0)a.(. hT F


Le système d’équation est ensuite projeté :

(Y de taille N x n)

où encore en notation matricielle :

On a l’expression de la vitesse sur la base Yi (Krylov) :

n

ii xtxu

1

a(t)).(),(

0)a( f de taille n << Nou encore :

nouvelles inconnues : coefficients temporels a(t) déterminés par Newton-Raphson par exemple

La solution est alors reconstruite :

n

iir xtxu

1

a(t)).(),(

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Plan

Problématique


Résultats


Adaptation de la base

Elle comprend deux étapes principales :

Une phase d’amélioration de la base existante

Collection des données temporellesDécomposition de Karhunen-Loève sur ces

donnéesAmélioration de la base

Une phase d’expansion de la base améliorée

Résidu calculé à chaque pas de tempsChoix du résidu à conserverCalcul de vecteurs de base à rajouter (Krylov)


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Problématique


Résultats


Phase d’amélioration :formulation du problème

)(,),(),( 21 MtatataE

C


Les coefficients temporels sont stockés à chaque pas de temps :

On réalise une décomposition de Karhunen-Loève sur cet ensemble

Tkj

M

kkiij tata )(.)(C

1

Où C est la matrice de covariance n x n définie par :

où M est le nombre de pas de temps

Le problème à résoudre s’écrit :

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Problématique


Résultats


Phase d’amélioration :sélection des modes propres

n 21

,,, 21


On obtient alors n valeurs propres solutions du problème rangées dans l’ordre décroissant :

Sélection des h valeurs propres significatives

On forme la matrice d’amélioration V dont les colonnes sont les h vecteurs propres conservés

La base est enfin améliorée : V~ (de taille N x h)

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Problématique


Résultats


Phase d’expansion

))(( krhk tuFr

KmKKK rJrJrJr .,,².,., 1exp

Les résidus sont calculés à chaque pas de temps :

Choix du résidu

KtRésidu conservé = résidu du pas de temps

Formation de l’espace de Krylov correspondant :

Ne satisfait plus le critère de convergence

Kr


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Problématique


Résultats


Formation de la nouvelle base

La nouvelle base est alors formée de : La base améliorée

La base obtenue par expansion avec sous-espace de Krylov

V~


Nouvelle base pour l’itération suivante : exp,

~


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Plan

Problématique


Résultats


Algorithme global

010000 .,,².,., rJrJrJr m 0)u( hF

Initialisation de la base


Projection des équations

Problème initial discrétisé

Résolution du système réduit et reconstruction de

la solution complète

Mise à jour de la base

Amélioration

Expansion0)a( f

n

iir xtxu

1

a(t)).(),(

V~


exp,~

Critère de convergence

OK

solution du problème),( txur

pas OK

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Résultats


Cas-test : Equation de Burgers 1D

Rappel de l’équation :

Conditions aux limites et conditions initiales

Solution analytique

avec

x

uu

x

u

t

u

2

2

[1,0])sin()0,( xxxu

00),1(),0( ttutu

10

1

)cos(

)sin(2),(

22

22

n

tnn

n

tnn

xneaa

xnneatxu

dxxa 1

0

10 )cos(1)2(exp

dxxnxan )cos()cos(1)2(exp21

0

1

Résultats

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Problématique


Résultats


Résultats : solution de référence

Résultat qualitatif correct

1.0

Résultats

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Résultats


Calcul de l’erreur

Newton-Raphson A Priori Reduction

50 5.38e-3 5.43e-3

60 4.46e-3 4.51e-3

70 3.81e-3 3.86e-3

80 3.32e-3 3.37e-3

90 2.95e-3 3.0e-3

100 2.64e-3 2.69e-3

150 1.74e-3 1.79e-3

200 1.29e-3 1.34e-3

Résultats

N

Méthode

2),(),(maxLr

Tttxutxue

L’erreur est calculée en norme L2 :

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Problématique


Résultats


Comparaison des temps de calcul

Résultats

Temps de calcul jusqu’à 100 fois plus faible

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Problématique


Résultats


Evolution avec la viscosité

Résultats

410

La méthode APR fournit la même solution que Newton-Raphson

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Résultats


Système dynamique

Après calcul, on dispose d’une base Y de l’écoulement La vitesse est décomposée sur cette base de la façon suivante :

Idée : on construit un système dynamique comme avec la base POD Cas de l’équation de Burgers 1D

Équation récrite en utilisant la décomposition de la vitesse :

Après projection sur la base Y, après orthogonalisation des modes :

Les coefficients B et C sont calculés une fois pour toute, on a juste un système de n équations différentielles à résoudre (RK4, etc..)

Résultats

n

iir xtxu

1

a(t)).(),(

n

i

n

j

jiji

n

i

ii

n

ii

i

dx

daa

dx

da

dt

da

1 112

2

1

k

n

j

n

kj

C

kji

n

jj

B

ji

i aadx

da

dx

d

dt

da

ijkij

1 112

2

,,

Calcul très rapide

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Problématique


Résultats


Système dynamique :Résultats

Résultats

e ≈ 2.5e-3

=> précision du même ordre de grandeur que dans l’échantillonage

L’équation de Burgers est résolue par système dynamique sur 3 secondes à partir de la solution obtenue par la méthode APR sur 0.1 secondes

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Problématique


Résultats


Travaux en cours

L’algorithme est en train d’être implémenté sur le code Volumes Finis 2D CAFFA (Peric&Ferziger)

L’exemple choisi est la cavité entraînée :

Validations préalables :

Re=400Re=16000

u=0,v=0

u=0,v=0

u=0,v=0

u=U,v=0U


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Problématique


Résultats


Travaux en cours

Algorithme employé par CAFFA

Équations de Navier-Stokes : U=(u,v)

Initialisation des variables Linéarisation des équations Résolution du système algébrique (écrit en flux)

=> on détermine les composantes u et v Traitement de la pression : résolution de

l’équation de Poisson :

PgradUUUdt

U

Udiv

1

0)(


SN,W,E,nbnbnb

nb QAA PP

)v,u(fP

MODIFICATIONS APPORTEES PAR LA METHODE APR

1. Détermination d’une base de l’écoulement et résolution du système par la méthode APR

2. Projection de la pression

)(.)(),(1

tbxtxPn

ii

N

iir

N

iir

xtx

xtx

1

1

a(t)).(),(v

a(t)).(),(u

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Problématique


Résultats


Conclusions

L’algorithme de réduction a priori possède de nombreuses qualités : Rapidité de calcul Précision du résultat peu altérée Fournit une base de l’écoulement

Potentialités : Couplé à un système dynamique, il permet d’obtenir une

solution précise sur des temps bien plus long que celui nécessaire pour construire la base

Le gain de temps devrait être encore plus intéressant en 2D Limites :

Le traitement du terme de pression va poser des problèmesChoix de la base de projection pour la pression

important Un problème de stockage va intervenir lorsque l’on

échantillonne les vecteurs solutions de l’équation réduite


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