PorteLogique_Boole

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Unit: Base de systmes logiques (BSL)Portes logiques et algbre de Boole,Portes logiqueset algbre de BooleEtienne Messerli& collgues REDS10 septembre 2013Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 1Portes logiques et algbre de Boole,Polycopi : Electronique numrique Portes logiques et algbre de Boolechapitre 4, pages 35 54 Circuits logiques combinatoires Simplification, tables de Karnaughchapitres 5-1 5-6, pages 55 64 Symboles utiliss chapitre 4-9, pages 46 et 47Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 2Portes logiques et algbre de Boole,Principe de la logique (postulat) tre logique, cest avoir une rponse unique sans contradiction : Pas dAffirmation et de Ngation en mme temps !!! Pas de Vrai et de Faux en mme temps !!! Une lampe ne peut jamais tre Allume (ON) et Eteinte (OFF)en mme temps0OFFCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 3Portes logiques et algbre de Boole, principe de la logique (postulat) 1ON tre logique, cest avoir une rponse unique sans contradiction : Pas dAffirmation et de Ngation en mme temps !!! Pas de Vrai et de Faux en mme temps !!! Une lampe ne peut jamais tre Allume (ON) et Eteinte (OFF)en mme tempsCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 4Portes logiques et algbre de Boole, principe de la logique (postulat) On voit clairement une Variable binaire :1ON1 ON0OFF0 OFFCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 5Portes logiques et algbre de Boole,Systme logique C'est un systme qui traite l'information de faon logique Pour tudier un systme logique, il faut connatre les fonctions de base (les composants) et le langage mathmatique qui permet de dcrire un comportement sous forme dquations Pour un additionneur: X Y Z0 0 00 1 1 1 0 11 1 0Z = (X, Y)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 6Portes logiques et algbre de Boole,Systme binaire Systme logique qui emploie des informations lmentaires (signaux) deux valeurs Avantages : on peut utiliser des interrupteurs comme lments de base du systme un signal binaire est plus fiable qu'un autre plus d'tats les dcisions prises dans un systme digital sont trs souvent binaires En gnral, les 2 valeurs sont reprsentes par les chiffres 0 et 1 (facilite le calcul arithmtique)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 7Portes logiques et algbre de Boole,Dfinitions Etat logique : chacune des 2 valeurs que peut prendre une variable logique Variable logique : grandeur qui ne peut prendre que les 2 tats logiques Variable dentre (ou simplement entre) : information 2 tats reue par un systme logique Variable de sortie (ou simplement sortie) : information 2 tats gnre par un systme logique Fonction logique : relation logique entre une sortie et une ou plusieurs entresCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 8Portes logiques et algbre de Boole,Types de systmes logiques Systme combinatoire : la valeur des sorties un moment donn dpend uniquement des valeurs des entres cet instant le comportement est entirement spcifi par une table, nomme table de vrit, qui pour chaque combinaison des entres donne la valeur des sorties pour n entres, la table de vrit comporte 2n lignes la sortie est immdiate Systme squentiel : la valeur des sorties dpend de la valeur des entres au cours du temps: il faut une mmoire l'obtention d'un rsultat peut demander plusieurs tapes, avec mmorisation de rsultats intermdiairesCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 9Portes logiques et algbre de Boole,Additionneur combinatoireX1X0Y1Y0Z2Z1Z0+X1 X0 Y1 Y0 Z2 Z1 Z00 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 00 0 1 1 0 1 10 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0 01 0 0 0 0 1 01 0 0 1 0 1 11 0 1 0 1 0 01 0 1 1 1 0 11 1 0 0 0 1 11 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1 0YXCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 10Portes logiques et algbre de Boole,Additionneur squentielXiYimmoireZiretenue+Pour effectuer laddition, il faudra acheminer les bits des oprandes vers les entres Xi et Yi, dans le bon ordreCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 11Portes logiques et algbre de Boole,Dcomposition sortie par sortie Chaque bit de sortie peut tre exprim en fonction des entres indpendamment des autres sorties Z2 vaut 1 lorsque (X1=0 et X0=1 et Y1=1 et Y0=1)ou (X1=1 et X0=0 et Y1=1 et Y0=0)ou (X1=1 et X0=0 et Y1=1 et Y0=1)ou (X1=1 et X0=1 et Y1=0 et Y0=1)ou (X1=1 et X0=1 et Y1=1 et Y0=0)ou (X1=1 et X0=1 et Y1=1 et Y0=1) Un systme combinatoire N sorties peut tre dcompos en N systmes combinatoires une seule sortieX1 X0 Y1 Y0 Z2 Z1 Z00 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 00 0 1 1 0 1 10 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0 01 0 0 0 0 1 01 0 0 1 0 1 11 0 1 0 1 0 01 0 1 1 1 0 11 1 0 0 0 1 11 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1 0Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 12Portes logiques et algbre de Boole,Conventions : quations logiques Pour abrger lcriture : Z vaut 1 lorsque remplac par Z = Y vaut 1 remplac par Y Y vaut 0 remplac par / Y linverse de remplac par / et remplac par ou remplac par + ordre de priorit : / + Ainsi, la sortie Z2 peut tre dcrite par lquation logique : Z2 = /X1 X0 Y1 Y0 + X1 /X0 Y1 /Y0 +X1 /X0 Y1 Y0 + X1 X0 /Y1 Y0 +X1 X0 Y1 /Y0 + X1 X0 Y1 Y0Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 13Portes logiques et algbre de Boole,Les portes logiques de bases Etude des fonctions d'une variableNous verrons la porte logique de base : NON Etude des fonctions de deux variablesNous verrons les portes logiques de base : ET, OUnous verrons ensuite des combinaisons : NON-ET, NON-OU OU-ExclusifCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 14Portes logiques et algbre de Boole,4 fonctions d'une variableF1.0 = 0 constanteF1.1 = A transmissionF1.2 = not A = /AF1.3 = 1 constanteVariableA01Fonctions F1.0 00F1.1 01F1.2 10F1.3 11Seule fonction non triviale dune seule variable :le NON (inversion logique)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 15Portes logiques et algbre de Boole,Inverseur NON NOT Symbolis par un triangle pointant vers la sortie, suivi ou prcd dun petit cercle ou dune demi-flche La sortie du circuit est ltat logique inverse de son entre0 1Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 16Portes logiques et algbre de Boole,Inverseur NON NOT 1 0 Symbolis par un triangle pointant vers la sortie, suivi ou prcd dun petit cercle ou dune demi-flche La sortie du circuit est ltat logique inverse de son entreCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 17Portes logiques et algbre de Boole,16 fonctions de deux variables ...F2.0 = 0 F2.4 = not A and B = /A BF2.1 = A and B = A B F2.5 = BF2.2 = A and not B = A /B F2.6 = A xor B = A BF2.3 = A F2.7 = A or B = A + BCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 18Portes logiques et algbre de Boole,16 fonctions de deux variables Nous pouvons reprer les fonctions : ET (AND, intersection) = F2.1 OU (OR, runion) = F2.7 Autre fonction logique intressante : OU-EXCLUSIF (XOR) = F2.6Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 19Portes logiques et algbre de Boole,16 fonctions de deux variablesF2.8 = /F2.7 = /(A + B) F2.C = /F2.3 = /AF2.9 = /F2.6 = /(A B) F2.D = /F2.2 F2.A = /F2.5 = /B F2.E = /F2.1 = /(A B)F2.B = /F2.4 F2.F = /F2.0 = 1Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 20Portes logiques et algbre de Boole,.16 fonctions de deux variables Les fonctions F2.8 F2.F sont respectivement les inverses des fonctions F2.7 F2.0 3 de ces fonctions sont intressantes : NON-ET (NAND) : fonction universelle NON-OU (NOR) : fonction universelle NON-OU-EXCLUSIF (XNOR) : fonction galit Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 21Portes logiques et algbre de Boole,Porte logique ET AND La sortie de la porte ET est 1 si toutes les entres sont 1 . sortie ET a 1 si : a ET b ET c ET d sont 1abcdSCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 22Portes logiques et algbre de Boole, porte logique ET AND La sortie de la porte ET est 1 si toutes les entres sont 1. Il y a un seul cas :11111Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 23Portes logiques et algbre de Boole, porte logique ET AND Dans les autres cas la sortie est '0'0000001110Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 24Portes logiques et algbre de Boole,Porte logique OU OR La sortie du circuit OU est 1 si une entre est 1. sortie OU a 1 si : a OU b OU c OU d est 1abcdSCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 25Portes logiques et algbre de Boole, porte logique OU OR Si une entre est 1, la sortie est 1.1000111111Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 26Portes logiques et algbre de Boole, porte logique OU OR Si tous les entres sont 0 alors la sortie est 0. Il y a un seul cas :00000Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 27Portes logiques et algbre de Boole,Porte logique NON-ET NAND La sortie de la porte NON-ET est 1 si une entre est 0 . sortie NON-ET a 1 si : a OU b OU c OU d est 0abcdSCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 28Portes logiques et algbre de Boole,Porte logique NON-OU NOR La sortie du circuit NON-OU est 1 si toutes les entres sont 0. sortie NON-OU a 1 si : a ET b ET c ET d sont 0abcdSCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 29Fonctions de base NON (NOT): inversion ou complment logique ET (AND): produit ou intersection logiquea /a0 11 0a b ab0 0 00 1 01 0 01 1 1Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD Portes logiques et algbre de Boole, p 30 OU (OR): somme ou union logiquea b a#b0 0 00 1 11 0 11 1 1a b ab0 0 00 1 11 0 11 1 0Impossible dafficher limage. fonctions de base OU-exclusif (XOR) : pas une fonction de base, mais proprits intressantes Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD Portes logiques et algbre de Boole, p 31Portes logiques et algbre de Boole, fonctions de base Les fonctions ET, OU et OU-EXCLUSIF plus de 2 entres peuvent tre ralises laide des fonctions correspondantes 2 entres seulement 3 formes : Parallle (non dcompose) Dcomposition pyramidale Dcomposition en cascadeCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 32Portes logiques et algbre de Boole,ABCDFABCDFABCDFParalllePyramidaleCascade fonctions de base Exemple : fonction ET 4 entresCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 33Portes logiques et algbre de Boole, fonctions de base Nous pouvons dcrire tout systme combinatoire, quel que soit son nombre dentres, avec seulement les 3 fonctions de base : inversion ET 2 entres OU 2 entres ou seulement avec la fonction universelle NAND 2 entres ou seulement avec la fonction universelle NOR 2 entresCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 34Portes logiques et algbre de Boole,Fonctions universelles Un fonction est universelle lorsquelle permet la ralisation des trois fonctions logiques de base (NON, ET, OU) NAND NORCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 35Portes logiques et algbre de Boole,Logigramme Logigramme = schma logique Utilise les symboles graphiques des fonctions usuelles (ET, OU, ) Montre les liaisons entre les entres, les fonctions utilises et les sorties Par convention, les signaux vont de gauche droite (entres gauche, sorties droite)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 36Portes logiques et algbre de Boole,ConventionsA lintrieur dune fonction : logique positive (tat actif = 1)A lextrieur : logique mixte (tat actif indiqu)UNIQUEMENTen logique positiveBouton_PressnContactnAllumeFermeLogique mixte : ltat actif est prcis dans le nomCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 37Portes logiques et algbre de Boole,Exercices Ecrivez lquation logique des sorties Z1 et Z0 de ladditionneur 2 bits de la page 10. Exprimez la fonction OU-EXCLUSIF 2 entres laide des fonctions de base uniquement, dessiney le logigramme. Pourquoi la fonction XNOR est-elle appele galit ? Faites une dcomposition en pyramide dune fonction OU 4 entres, en utilisant des fonctions OU 2 entres. Ralisez la fonction impair 3 entres, en utilisant des fonctions OU-EXCLUSIF 2 entres. Dmontrez que les fonctions NAND et NOR sont universelles.Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 38Portes logiques et algbre de Boole,Exercices Dessinez un schma de la fonction Z2 (pages 12 et 13), en nutilisant que des fonctions ET et OU 2 entres, ainsi que des inversions (voir symboles pages 30 et 31). Dessinez le schma de la fonction S2 = X1 Y1 + X1 X0 Y0 + X0 Y1 Y0en nutilisant que des fonctions ET et OU 2 entres, ainsi que des inversions. Dmontrez que les fonctions S2 et Z2 ci-dessus sont identiques (ont exactement le mme comportement logique)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 39Portes logiques et algbre de Boole,Algbre de Boole : postulats Postulats de l'algbre de BooleA + /A = 1 (A or /A = 1)A /A = 0 (A and /A = 0) dcoulent de l'hypothse :l'inverse d'une variable ne peut jamais avoir la mme valeur que la variableLes postulats seront viols dans les circuits rels !Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 40Portes logiques et algbre de Boole,Algbre de Boole : thormes I /(/A) = A thorme de linvolution not(notA) = AII A + 0 = AIII A 0 = 0IV A + 1 = 1V A 1 = AVI A + A = A idempotence de loprateur OUVII A A = A idempotence de loprateur ETCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 41Portes logiques et algbre de Boole, thormes VIII A + B = B + A commutativitIX A B = B A commutativitX A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C associativitXI A (B C) = (A B) C = A B C associativitXII A + B C = (A + B) (A + C) distributivitXIII A (B + C) = (A B) + (A C) distributivitCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 42Portes logiques et algbre de Boole, thormesThormes de De Morgan (1806-1871)XIV /(A + B) = /A /BXV /(A B) = /A + /BConsensusXVI (A B) + (/A C) + (B C) = (A B) + (/A C)XVII (A + B) (/A + C) (B + C) = (A + B) (/A + C)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 43Portes logiques et algbre de Boole,Table de vrit (TDV) Liste des valeurs de sortie en fonction des combinaisons des entres Permet de spcifier touts les tats d'une fonction logique => cahier des chargesAB SCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 44Portes logiques et algbre de Boole,Construction TDV Lister les combinaisons des entres N entres => 2N lignes dans la tableCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 45Portes logiques et algbre de Boole,Mintermes On appellee minterme, ou function unit de deux variables chacun des quatre monmes de ces deux variables: Ceci se gnralise n variablesCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 46F2.8 = /A /BF2.4 = /A BF2.2 = A /BF2.1 = A BPortes logiques et algbre de Boole,Liste des mintermes d'une fonction Soit la TDV d'une fonction :Nous pouvons rsumer la TDV en donnant la liste des mintermes :F (C,B,A) = 0, 3, 5, 70 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 No C B A F Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 47Forme canonique dcimalePortes logiques et algbre de Boole,Notion de Systme Un systme est une collection organise d'objets qui interagissent pour former un tout Objets = composants du systme Interconnexions = liens entre les objets ncessaires pour les interactions Structure = organisation du systme(composants, interconnexions) Comportement = fonctionnement du systme(entres, sorties)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 48Portes logiques et algbre de Boole,entres sortiescomposantinterconnexionVue d'un systmeCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 49Portes logiques et algbre de Boole, Analyse: Dterminer le comportement d'un systme partir dune description textuelle Conception: Dterminer la structure ncessaire qui produit un comportement donn. Plusieurs structures sont possibles pour obtenir un mme comportement (entres sorties)Ralisation d'un systmeCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 50Portes logiques et algbre de Boole,Solution logicielle ou matrielle Tout traitement ralis par un programme peut tre ralis par un composant matriel Solution logicielle souplesse grande capacit de traitement (beaucoup de donnes) lent Solution matrielle rapide ncessite beaucoup de matriel (composants logiques) temps de dveloppement importantCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 51Portes logiques et algbre de Boole,Les niveaux d'abstraction L'abstraction se rfre la distinction entre les proprits externes d'un systme et les dtails de sa composition interne L'abstraction d'un systme comprend: la suppression de certains dtails pour montrer seulement l'essence du sujet (pour chaque niveau d'abstraction il faut pouvoir diffrencier ce qui est essentiel des dtails superflus) une structure une division en sous-systmes (composants)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 52Portes logiques et algbre de Boole,Ralit versus Abstraction L'abstraction est utile et ncessaire, mais il ne faut pas oublier la ralit Les abstractions possdent toujours des limites qu'il faut connatreCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 53Portes logiques et algbre de Boole,Exemples Les int (integer) ne sont pas des entiers et les float ne sont pas des rels Est-ce que x2 0 est toujours vrai? pour les float, oui pour les int (32 bits sign), pas toujours: 40'000 * 40'000 1'600'000'000 50'000 * 50'000 ?? Est-ce que (x+y)+z = x+(y+z) est toujours vrai? pour les integer, oui pour les float, pas toujours: (1e20 + -1e20) + 3.14 3.14 1e20 + (-1e20 + 3.14) ??Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 54Portes logiques et algbre de Boole,Conception de systmes logiques combinatoiresplusieurs quationssont possiblesplusieurs logigrammessont possiblesCahier des charges(souvent textuelle)Table de vritLogigrammeEquations logiques(simplification)Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 55Portes logiques et algbre de Boole, Equation canonique dcoule directement de la TDV. Mais il peut exister des solutions quivalentes. Exemple: la fonction OU Comment simplifi la fonction => deux mthodes: algbrique (algbre de Boole) graphique (table de Karnaugh)B A Z0 0 00 1 11 0 11 1 1Equation logiquesolution canonique:Z(B,A) = BA + BA + BAsolution simplifie:Z(B,A) = B + ACopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 56Portes logiques et algbre de Boole,Diagramme de VennReprsentation graphique dune fonction logiqueET: intersection OU: runionETA BOUA BCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 57Portes logiques et algbre de Boole,Table de Karnaugh Forme stylise dun diagramme de Venn Chaque case correspond une combinaison des valeurs des entres donc un minterme donc une ligne de la table de vrit N entres 2N cases Dans chaque case on indique la valeur de la fonction 0 1 - ou => tat indiffrentCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 58Portes logiques et algbre de Boole, table de Karnaugh Variables dentre indpendantes : chaque variable a une intersection avec toutes les autres variables et avec toutes les intersections des autres variables Fonction de 3 variables : 23 cases = 8AB CAC B00 01 11 1001Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 59Portes logiques et algbre de Boole, table de KarnaughAutre notation de la tableABCCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 60Portes logiques et algbre de Boole,Table de Karnaugh 4 variablesD C00 01 11 100001B A1110Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 61Portes logiques et algbre de Boole,Structure de la table de Karnaugh Une table de Karnaugh est similaire une table de vrit:tat des sorties pour toutes les combinaisons des entres Dans la table de vrit, chaque combinaison des entres correspond une ligne; dans la table de Karnaugh chaque combinaison des entres correspond une case. Le nombre de cases table de Karnaugh d'une fonction n variables est donc gal 2n Les cases de la table de Karnaugh sont arranges de telle faon qu'une seule variable change entre deux cases contigus Toute case d'une table de Karnaugh n variables est contigu n autres casesCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 62Portes logiques et algbre de Boole, Voici les 4 cases contigus pour la combinaison des entres DCBADCBAExemple table de Karnaugh 4 variablesCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 63Portes logiques et algbre de Boole,012301236745DBA0132457612131514891110BACABCf(B,A)f(D,C,B,A)f(C,B,A)00 01 11 1000011110DCBACopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 64Portes logiques et algbre de Boole,DBA0132457612131514891110Cf(E,D,C,B,A)D24252726282931302021232216171918CECopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 65Portes logiques et algbre de Boole,0 4 12 81 5 13 93 7 15 112 6 14 1032 36 44 4033 37 45 4135 39 47 4334 38 46 4216 20 28 2417 21 29 2519 23 31 2718 22 30 2648 52 60 5649 53 61 5751 55 63 5950 54 62 58FD DEBBAAC Cf(F,E,D,C,B,A)Ordre D inverser!Ordre B inverser!Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 66Portes logiques et algbre de Boole,Reprsentation d'une fonction Une fonction est reprsente l'aide d'une table de Karnaugh en mettant la valeur de la fonction l'intrieur de chaque case Exemple: Z(D,C,B,A) = (3,4,5,6,7,11,12,13,14,15)CDBA0 1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 00132457612131514891110Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 67Portes logiques et algbre de Boole, Exemple partir d'une table de vrit:01236745CA00 01 11 1001BC B A f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1f(C,B,A)1 1 11 reprsentation d'une fonctionCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 68Portes logiques et algbre de Boole,Simplification par Karnaugh Simplification base sur lapplication graphique de lalgbre de BooleAC B00 01 11 100111terme /C B /Aterme /C B Asomme des 2 termes:/C B /A + /C B A =/C B ( /A + A ) = /C Bgroupe /C BCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 69Portes logiques et algbre de Boole, simplification par Karnaugh Un groupe de deux '1' adjacents (ayant une frontire commune non rduite un point) sexprime sous la forme dun produit comportant N-1 variables Par analogie : le groupement de deux groupes adjacents de deux '1' sexprime sous la forme dun produit comportant N-2 variables, etcCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 70Portes logiques et algbre de Boole,AC B00 01 11 1001 Lexpression d'un groupe donne ses caractristiques Le groupe ci-dessous est caractris par le fait quil est contenu dans A mais lextrieur de C. Donc il sexprime par /C A simplification par Karnaugh 1 1Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 71Portes logiques et algbre de Boole,D C00 01 11 100001B A1110 simplification par Karnaugh Expression : groupe de quatre '1' produit de N-2 variables(4-2=2) caractristiques :dans A et lextrieur de D /D A 1 11 1Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 72Portes logiques et algbre de Boole, simplification par Karnaugh Rsum : groupe de deux '1' => produit de N - 1 variables groupe de quatre '1' => produit de N - 2 variables groupe de huit '1' => produit de N - 3 variablesfinalement : groupe de 2N '1' => 1 un groupe est nomm: Impliquant dune fonction il s'agit du produit des variables de la fonction.Chaque impliquant est reprsent dans la table de Karnaugh par un groupe de cases contigus, en un nombre gal une puissance de deuxCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 73Portes logiques et algbre de Boole, La table de Karnaugh permet l'obtention de l'quation minimale d'une fonction logique, sous la forme d'une somme de produits En effet, tout produit logique correspond un ensemble de cases contigus dont le nombre est une puissance de 2 Si le nombre de variables de la fonction est gal n et le nombre de cases contigus est gal 2m, le produit correspondant aura seulement n-m variables La somme de produits minimale d'une fonction correspond donc l'ensemble minimal de groupes de cases de la table de Karnaugh o la fonction est gale 1. Le nombre de cases de chaque groupe doit tre une puissance de 2 simplification par Karnaugh Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 74Portes logiques et algbre de Boole, Impliquant premier:impliquant qui n'est pas inclus dans un autre impliquant plus grand.La solution minimale d'une fonction est forme seulement d'impliquants premiers. Mais tous les impliquants premiers ne font ncessairement pas partie de la solution minimale. Impliquant premier essentiel:impliquant premier qui contient au moins un mintermequi n'est pas inclus dans un autre impliquant premier. Un impliquant premier essentiel fait toujours partie de la solution minimale.Marche suivre avec Karnaugh Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 75Portes logiques et algbre de Boole,Mthode de minimisation Dresser la liste de tous les impliquants premiers de la fonction Dresser la liste de tous les impliquants premiers essentiels Tous les impliquants premiers essentielsfont partie de la solution minimale Couvrir les mintermes restants avec un nombre minimal dimpliquants premiers marche suivre avec KarnaughCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 76Portes logiques et algbre de Boole,Marche suivre avec Karnaugh Pour trouver lexpression en somme de produits la plus simple rechercher les plus grands groupes possibles commencer par les groupes contenant des '1' isols '1' isol = '1' qui nentre que dans un seul groupe ajouter les groupes les plus grands qui incluent des '1' nayant pas encore t pris ajouter les '1' ne pouvant pas tre groups (= mintermes) jusqu ce que tous les '1' aient t pris un '1' peut faire partie de plusieurs groupes (1 ou 1 = 1), mais il suffit quil soit pris une seule foisRsumCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 77Portes logiques et algbre de Boole,Exercices Ecrivez la table de vrit, cherchez lexpression simplifie en somme de produits puis dessinez le logigramme de la fonction majorit 3 entres.MAJ = 1 si la majorit des 3 entres est 1. Dessinez le logigramme ci-dessus en utilisant un nombre minimum de NAND 2 entres ( lexclusion de toute autre fonction). Dessinez le logigramme ci-dessus en utilisant un nombre minimum de NOR 2 entres ( lexclusion de toute autre fonction).Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 78Portes logiques et algbre de Boole, exercices Dessinez le logigramme le plus simple dun encodeur de priorit 4 entres, In3, In2, In1, In0. Les 4 entres sont classes par ordre de priorit de 3 (la plus prioritaire) 0 (la moins prioritaire). Une sortie 2 bits donne le numro de lentre 1 la plus prioritaire. Une sortie supplmentaire indique si une des entres au moins est 1.Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 79Portes logiques et algbre de Boole, exercices Donner l'quation la plus simple pour la fonction Z donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:D C00 01 11 100001B A111000101 00 1 011 1 010 1ZCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 80Portes logiques et algbre de Boole, exercices Donner l'quation la plus simple pour la fonction Z donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:D C00 01 11 100001B A111000001 00 1 111 1 111 1ZCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 81Portes logiques et algbre de Boole, exercices Donner l'quation la plus simple pour la fonction Z donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:D C00 01 11 100001B A111011 111 01 0 010 1 011 1ZCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 82Portes logiques et algbre de Boole,Fonction incompltement dfinie Frquemment, il y a des combinaisons d'entrs qui ne sont pas utilises (inexistantes) Nous pouvons alors choisir l'tat de sortie de la fonction pour la combinaison d'entres correspondante Nous l'indiquerons par : - ou (tat indiffrent) Dans la table de Karnaugh, ltat indiffrent pourra tre considr comme 0 ou 1 Sert crer des impliquants les plus grands possiblesCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 83Portes logiques et algbre de Boole,Valeur impaire d'un nombre BCD La fonction de sortie Impaire nest dfinie que pour les combinaisons BCD Il y a 6 combinaisons o la fonction n'est pas spcifie=> choix tat de sortie => - Dterminer l'quation simplifie de la fonction ImpaireNombre BCD Impaire0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 -1 0 1 1 -1 1 0 0 -1 1 0 1 -1 1 1 0 -1 1 1 1 -Copyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 84Portes logiques et algbre de Boole,3, 200 01 11 1000011, 01110Nbr_BCD valeur impaire d'un nombre BCDCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 85Portes logiques et algbre de Boole,Exercices Donner l'quation la plus simple pour la fonction P donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:D C00 01 11 100001B A11101-001 01 - -0- 1 011 0PCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 86Portes logiques et algbre de Boole, exercices Donner l'quation la plus simple pour la fonction F donne dans la table de Karnaugh ci-dessous:D C00 01 11 100001B A1110000-1 00 0 -1- 1 111 -FCopyright 2013 EMI, REDS@HEIG-VD p 87