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richaud-beaulieu
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Première Partie :
Deuxième partie :
Troisième partie :
Première Partie :
• Résultats théoriques• Loi uniforme• Loi de Bernoulli• Loi exponentielle• Loi Normale• Loi de Weibull• Construction d ’un histogramme avec Excel
Résultat théorique : Lorsque X suit une loi de probabilité quelconque et si Fest la fonction de répartition de X, alors F(X) suit une loi uniforme [0,1].
Exemple : La loi exponentielle
)()1()(
)( )(
],0[
],0[
1
1
xexF
xexfx
x
λ
-y))(Ln(-(y)F - 1
: alorsa on 1
Pour la loi normale : Le résultat de Box-MullerSi U1 et U2 sont deux lois uniformes[0,1] indépendantes,
Alors,
sont indépendantes de loi N (0,1).
) 2cos()(2 21 UULogX et in Y LogU s U 2 2 21 2 ( )
0,667668490,766219490,252970980,639363420,3994731
0,43662926
0,146181580,860661050,7634687
0,23747686
échantillon de taille 500 d ’une loi uniforme
obtenu avec EXCELà l ’aide de la commande : Ai=ALEA()
échantillon de taille 500d ’une loi de Bernoulli(0.7)
obtenu a partir de l ’échantillon précédentavec la commande :
Ci=SI(Ai<0,3;0;1)
0110
11011
His togram m e d 'un é cha ntillo n de loi un ifor me
0
10
20
30
40
50
60
70
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Histogramme d'un échantillon de loi de Bernoulli (0,7)
0
100
200
300
400
0 1
0,51076976-0,448188120,356722730,180440930,880275430,79989888
-1,15133988-0,03488533-0,18663869-0,93313818
0,087719560,0578234
0,298464640,097126110,199256230,17994358
0,417553670,032583930,058604380,31218935
échantillon de taille 500 d ’une loi normale (0,1)obtenu à partir de deux échantillons uniformes indépendants à l ’aidede la formule :
Ci=-RACINE(-2*LN(Ai))...
... *COS(2*PI()*Bi).
échantillon de taille 500 d ’une loi exponentielle (2)obtenu à partir d ’un échantillon uniforme à l ’aidede la formule :
Ci=-LN(Ai)/2.
Histogramme d'un échantillon de loi expone ntielle
0
50
100
150
200
250
0,2 0,5 0,7 1,0 1,2 1,5 1,7 2,0 2,2 2,4 2,7 2,9 3,2 3,4 3,7
His togramme d'un é ch an tillon d e loi Norma le (0,1 )
0
20
40
60
80
100
120
-1,9
9-1
,70
-1,4
2-1
,13
-0,8
5-0
,56
-0,2
80,0
10,2
90,5
80,8
61,1
51,4
31,7
12,0
0
échantillon de taille 500
d ’une loi de Weibull (alpha=3,bêta=1)obtenu à partir d ’un échantillon uniformeà l ’aide de la formule :
Di=beta*(-LN(Ai))^(1/alpha).0,583513721,213231780,95738653
0,547873560,875304191,224098060,804072220,97038813
Histogramme d'une loi de Weibull (alpha=3,beta=1)
0
1020
30
40
5060
70
80
0,30
0,42
0,54
0,66
0,79
0,91
1,03
1,15
1,28
1,40
1,52
1,64
1,76
1,89
2,01
Règle empirique de Sturges :exprime le nombre de classesen fonction de n (taille de l ’échantillon)
)(3
101 10 nLogk
=MIN(C1:C500)+(MAX(C1:C500)-MIN(C1:C500))/15
=«cellule précédente »+(MAX(C1:C500)-MIN(C1:C500))/15
0,087719560,0578234
0,298464640,097126110,199256230,17994358
0,417553670,032583930,058604380,31218935
Échantillon de loi exponentielleet de taille 500 : colonne C
On utilise la fonction histogramme d ’excelsur la dernière matrice obtenue.
étape
Histogramme d'un échantillon de loi exponentielle
0
50
100
150
200
250
0,2 0,5 0,7 1,0 1,2 1,5 1,7 2,0 2,2 2,4 2,7 2,9 3,2 3,4 3,7
0,24463053 2060,48909691 1170,73356329 690,97802968 361,22249606 231,46696244 151,71142882 131,9558952 6
2,20036158 42,44482796 42,68929435 32,93376073 13,17822711 13,42269349 03,66715987 2
=FREQUENCE(C1:C500;F42:F56)} ( appuyer sur ctrl-shift-entrée )
Deuxième partie :
• La loi forte des grands nombres• Le théorème central limite• Illustrations
.
a on Alors . que tellesloi même de
tes,indépendan réelles aléatoires variablesde suite une Soit
1
..1
1
1
Xmn
XX
X
X
sp
nn
nn
Loi exponentielle (2) Loi normale(0,1)
0,48075520,49892140,5027901
-0,13459717-0,08264021-0,0453118
n=50n=100n=500
Valeur théorique: 0,5 0.0
Soit une suite de variables aléatoires réellesindépendantes,
de meme loi, de moyenne , de variance On pose ,
on a alors :
2
X
m S X X
YS nm
nN
n n
n n
nn
n
1
1
0 1
.
( , ).
Conséquences
On construit réalisations de Y .Pour et "assez grand",
la moyenne empirique et variance empirique
= doivent "etre proche"de 0 et de 1 respectivement.
n
2
k Y Y Y k n
Yk
Y
Vk
Y Y
n n nk
n nk
j
k
n nk
nj
k
1 2
1
1
1
1
, , ,
Donne l ’équivalentd ’un échantillon de loi normale
((SOMME(A1:A500)-500*0,5)*RACINE(12))/RACINE(500)
On a généré 256 échantillons de taille 500 d ’une loi uniforme.Pour chaque échantillon on calcule :
500121
21500)...( 5001
XX Histogramme de l'échantillon obtenu
05
1015202530354045
-2,84
-2,46
-2,08
-1,70
-1,32
-0,94
-0,55
-0,17 0,2
10,5
90,9
71,3
51,7
42,1
22,5
0
0,5039713 0,936416840,71341621 0,761118890,67191562 0,159942960,09461964 0,011136690,47077965 0,58475283
0,26105595 0,64671424
0,7383185 0,068858640,80430729 0,997961050,31325564 0,186751140,6949687 0,29428275
0,292103140,607538420,846183320,57770439
0,187389470,563297920,360172370,464154660,67419892
-1,8264825
Moyenne=0.05 Variance=1,08
C ’est une procédure, pratique et simple, permettant de vérifier la présomption de normalité.
Ne constitue pas un test statistique.
Principe :Elle repose sur la liaison linéaire
UX m
entre une variable normale X (moyenne m, écart type sigma ) et la variable centrée réduite U.
Limite sup.de la classe i ni Fi
1,5 1 1
2,5 2 3
3,5 6 9
4,5 14 23
5,5 21 44
6,5 23 67
7,5 16 83
8,5 10 93
9,5 5 98
10,5 2 100
m=5.8 sigma=1,8
• plusieurs variables
• tests (d’adéquation, moyenne, variance)
• présentation des données
• estimations
Troisième partie :
ALGEBRE
0
5
10
15
20
25
30
0,7
2,2
3,8
5,3
6,8
8,4
9,9
11,4
12,9
14,5
16,0
ANALYSE
0
5
10
15
20
25
30
1,1
3,0
4,9
6,7
8,6
10,5
12,4
14,3
16,1
18,0
19,9
MECANIQUE
0
5
10
15
20
25
30
1,2
3,0
4,7
6,5
8,2
10,0
11,7
13,5
15,2
17,0
18,7
A B C
algèb re an alyse mécanique
1 10,6 14,5 10,12 11,2 14,8 13,93 7,3 12,8 10,44 12 16,5 11,45 10,1 9,2 10,16 10,2 13,5 5,67 8,3 9,2 14,18 12,9 15,1 13,89 12,2 10,2 13,1
10 3,8 4,1 4,9
191 4,9 3 9,8192 10,4 10,9 10,3193 9,5 13 9,4194 6,8 8 8,6195 7 7,7 8,8196 12,8 15,5 3,4197 9,5 11,8 14,7198 12,7 12,7 13,3199 5,6 8,5 8,2200 9,4 10,8 9,7
Notes d e 20 0 élèv es d an s 3 disc iplines
...
......
......
......
...
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Algèbre
An
alys
e
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
Algèbre
Méc
aniq
ue
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20 25
Analyse
Méc
aniq
ue Tableau des corrélations
analyse mécaniquealgèbre 0,82713536 0,39130214mécanique 0,37230872
= COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A200;B1:B200)= COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A200;C1:C200)= COEFFICIENT.CORRELATION(B1:B200;C1:C200)
algèbre analyse mécanique7,9042573 13,387988 11,56515
Moyenne:Commande EXCEL :
= moyenne(A1:A200)
algèbre analyse mécanique9,058 10,9985 10,574
Variance:Commande EXCEL :
= var(A1:A200)
n
1iiX
n
1X
n
1i
2
i2 XX
1-n
1σ
On veut tester H0: L=L0 contre H1: LL0 .
Dans notre cas, L0 est une loi normale:
- pour l’algèbre, L0= N(9.058, 7.905247),
- pour l’analyse, L0= N(10.9985, 13.38799),
- pour la mécanique, L0= N(10.574, 11.56515).
K
k k
kk
Np
NpZA
1
2A B C
1 Z1 p1
2 Z2 p2
| | |
K ZK pK
Commande EXCEL:
= (A1-N*B1)^2/(N*B1)
Pour l’algèbre, A=10,23
Pour l’analyse, A=12,45
Pour la mécanique, A=11,21
On accepte H0 dans les 3 cas.
On accepte H0 si A < ²K-3, 1-
On accepte H0 si A < ²K-3, 1-
A= somme(C1:CK)
²7, 0.95 14,1
A Bp rof 1 p rof 2
1 10,6 10,12 11,2 8,73 7,3 11,84 12 8,95 10,1 10,16 10,2 1,57 8,3 9,68 12,9 5,19 12,2 6,3
10 3,8 12,1
91 12,6 5,492 11,8 10,993 8,2 1094 12,4 7,395 8,6 7,596 3 13,397 7,6 1098 10,2 13,299 13,2 6,1
100 10 9,9
Notes de 200 élèv esen algèbre
...
......
......
...
Estimation de la moyenne pour le premier prof:
Estimation de la variance pour le second prof:
Estimation de la moyenne pour le second prof:
Estimation de la variance pour le premier prof:
845,8m1
77906566,8σ 21
271,10m2
01763535,7σ 22
Variances égales ou non ?
Hypothèse : on suppose que les étudiants de prof1 suivent une loi normale
et que les étudiants de prof2 suivent une loi
normale
) ,( 211 mN
). ,( 222 mN
On veut tester H0: 12 2
2 contre H1: 12 2
2 .
22
21
ˆ
ˆ
B On refuse H0 siB > Fn1-1, n2 -1, 1-/2
B < Fn1-1, n2 -1, /2
Commande EXCEL :
= var(A1:A100)/var(B1:B100)On accepte H0B=1,25
F99, 99, 0.975 1,48
F99, 99, 0.025 0,68
Moyennes égales ou non ?
Hypothèse : on suppose que les étudiants de prof1 suivent une loi normale
et que les étudiants de prof2 suivent une loi
normale
) ,( 211 mN
). ,( 222 mN
On veut tester H0: m1 m2 contre H1: m1
m2 .
.21
21
11nn
YXC
On accepte H0 si |C| < Stdn1+ n2 -2, 1-/2
Commande EXCEL :
= ( moyenne(A1:A100)-moyenne(B1:B100) )/ ...
… ( racine(1/n1+1/n2)*racine( ((n1-1)*var(A1:A100) …
… +(n2-1)*var(B1:B100))/(n1+n2-2) ) )
On refuse H0
|C|=2,33
Std198, 0.9751,97
FIN