22
Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

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Page 1: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Première Partie :

Deuxième partie :

Troisième partie :

Page 2: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Première Partie :

• Résultats théoriques• Loi uniforme• Loi de Bernoulli• Loi exponentielle• Loi Normale• Loi de Weibull• Construction d ’un histogramme avec Excel

Page 3: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Résultat théorique : Lorsque X suit une loi de probabilité quelconque et si Fest la fonction de répartition de X, alors F(X) suit une loi uniforme [0,1].

Exemple : La loi exponentielle

)()1()(

)( )(

],0[

],0[

1

1

xexF

xexfx

x

λ

-y))(Ln(-(y)F - 1

: alorsa on 1

Pour la loi normale : Le résultat de Box-MullerSi U1 et U2 sont deux lois uniformes[0,1] indépendantes,

Alors,

sont indépendantes de loi N (0,1).

) 2cos()(2 21 UULogX et in Y LogU s U 2 2 21 2 ( )

Page 4: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

0,667668490,766219490,252970980,639363420,3994731

0,43662926

0,146181580,860661050,7634687

0,23747686

échantillon de taille 500 d ’une loi uniforme

obtenu avec EXCELà l ’aide de la commande : Ai=ALEA()

échantillon de taille 500d ’une loi de Bernoulli(0.7)

obtenu a partir de l ’échantillon précédentavec la commande :

Ci=SI(Ai<0,3;0;1)

0110

11011

His togram m e d 'un é cha ntillo n de loi un ifor me

0

10

20

30

40

50

60

70

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Histogramme d'un échantillon de loi de Bernoulli (0,7)

0

100

200

300

400

0 1

Page 5: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

0,51076976-0,448188120,356722730,180440930,880275430,79989888

-1,15133988-0,03488533-0,18663869-0,93313818

0,087719560,0578234

0,298464640,097126110,199256230,17994358

0,417553670,032583930,058604380,31218935

échantillon de taille 500 d ’une loi normale (0,1)obtenu à partir de deux échantillons uniformes indépendants à l ’aidede la formule :

Ci=-RACINE(-2*LN(Ai))...

... *COS(2*PI()*Bi).

échantillon de taille 500 d ’une loi exponentielle (2)obtenu à partir d ’un échantillon uniforme à l ’aidede la formule :

Ci=-LN(Ai)/2.

Histogramme d'un échantillon de loi expone ntielle

0

50

100

150

200

250

0,2 0,5 0,7 1,0 1,2 1,5 1,7 2,0 2,2 2,4 2,7 2,9 3,2 3,4 3,7

His togramme d'un é ch an tillon d e loi Norma le (0,1 )

0

20

40

60

80

100

120

-1,9

9-1

,70

-1,4

2-1

,13

-0,8

5-0

,56

-0,2

80,0

10,2

90,5

80,8

61,1

51,4

31,7

12,0

0

Page 6: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

échantillon de taille 500

d ’une loi de Weibull (alpha=3,bêta=1)obtenu à partir d ’un échantillon uniformeà l ’aide de la formule :

Di=beta*(-LN(Ai))^(1/alpha).0,583513721,213231780,95738653

0,547873560,875304191,224098060,804072220,97038813

Histogramme d'une loi de Weibull (alpha=3,beta=1)

0

1020

30

40

5060

70

80

0,30

0,42

0,54

0,66

0,79

0,91

1,03

1,15

1,28

1,40

1,52

1,64

1,76

1,89

2,01

Règle empirique de Sturges :exprime le nombre de classesen fonction de n (taille de l ’échantillon)

)(3

101 10 nLogk

Page 7: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

=MIN(C1:C500)+(MAX(C1:C500)-MIN(C1:C500))/15

=«cellule précédente »+(MAX(C1:C500)-MIN(C1:C500))/15

0,087719560,0578234

0,298464640,097126110,199256230,17994358

0,417553670,032583930,058604380,31218935

Échantillon de loi exponentielleet de taille 500 : colonne C

On utilise la fonction histogramme d ’excelsur la dernière matrice obtenue.

étape

Histogramme d'un échantillon de loi exponentielle

0

50

100

150

200

250

0,2 0,5 0,7 1,0 1,2 1,5 1,7 2,0 2,2 2,4 2,7 2,9 3,2 3,4 3,7

0,24463053 2060,48909691 1170,73356329 690,97802968 361,22249606 231,46696244 151,71142882 131,9558952 6

2,20036158 42,44482796 42,68929435 32,93376073 13,17822711 13,42269349 03,66715987 2

=FREQUENCE(C1:C500;F42:F56)} ( appuyer sur ctrl-shift-entrée )

Page 8: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Deuxième partie :

• La loi forte des grands nombres• Le théorème central limite• Illustrations

Page 9: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

.

a on Alors . que tellesloi même de

tes,indépendan réelles aléatoires variablesde suite une Soit

1

..1

1

1

Xmn

XX

X

X

sp

nn

nn

Loi exponentielle (2) Loi normale(0,1)

0,48075520,49892140,5027901

-0,13459717-0,08264021-0,0453118

n=50n=100n=500

Valeur théorique: 0,5 0.0

Page 10: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Soit une suite de variables aléatoires réellesindépendantes,

de meme loi, de moyenne , de variance On pose ,

on a alors :

2

X

m S X X

YS nm

nN

n n

n n

nn

n

1

1

0 1

.

( , ).

Conséquences

On construit réalisations de Y .Pour et "assez grand",

la moyenne empirique et variance empirique

= doivent "etre proche"de 0 et de 1 respectivement.

n

2

k Y Y Y k n

Yk

Y

Vk

Y Y

n n nk

n nk

j

k

n nk

nj

k

1 2

1

1

1

1

, , ,

Page 11: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Donne l ’équivalentd ’un échantillon de loi normale

((SOMME(A1:A500)-500*0,5)*RACINE(12))/RACINE(500)

On a généré 256 échantillons de taille 500 d ’une loi uniforme.Pour chaque échantillon on calcule :

500121

21500)...( 5001

XX Histogramme de l'échantillon obtenu

05

1015202530354045

-2,84

-2,46

-2,08

-1,70

-1,32

-0,94

-0,55

-0,17 0,2

10,5

90,9

71,3

51,7

42,1

22,5

0

0,5039713 0,936416840,71341621 0,761118890,67191562 0,159942960,09461964 0,011136690,47077965 0,58475283

0,26105595 0,64671424

0,7383185 0,068858640,80430729 0,997961050,31325564 0,186751140,6949687 0,29428275

0,292103140,607538420,846183320,57770439

0,187389470,563297920,360172370,464154660,67419892

-1,8264825

Moyenne=0.05 Variance=1,08

Page 12: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

C ’est une procédure, pratique et simple, permettant de vérifier la présomption de normalité.

Ne constitue pas un test statistique.

Principe :Elle repose sur la liaison linéaire

UX m

entre une variable normale X (moyenne m, écart type sigma ) et la variable centrée réduite U.

Page 13: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Limite sup.de la classe i ni Fi

1,5 1 1

2,5 2 3

3,5 6 9

4,5 14 23

5,5 21 44

6,5 23 67

7,5 16 83

8,5 10 93

9,5 5 98

10,5 2 100

m=5.8 sigma=1,8

Page 14: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

• plusieurs variables

• tests (d’adéquation, moyenne, variance)

• présentation des données

• estimations

Troisième partie :

Page 15: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

ALGEBRE

0

5

10

15

20

25

30

0,7

2,2

3,8

5,3

6,8

8,4

9,9

11,4

12,9

14,5

16,0

ANALYSE

0

5

10

15

20

25

30

1,1

3,0

4,9

6,7

8,6

10,5

12,4

14,3

16,1

18,0

19,9

MECANIQUE

0

5

10

15

20

25

30

1,2

3,0

4,7

6,5

8,2

10,0

11,7

13,5

15,2

17,0

18,7

A B C

algèb re an alyse mécanique

1 10,6 14,5 10,12 11,2 14,8 13,93 7,3 12,8 10,44 12 16,5 11,45 10,1 9,2 10,16 10,2 13,5 5,67 8,3 9,2 14,18 12,9 15,1 13,89 12,2 10,2 13,1

10 3,8 4,1 4,9

191 4,9 3 9,8192 10,4 10,9 10,3193 9,5 13 9,4194 6,8 8 8,6195 7 7,7 8,8196 12,8 15,5 3,4197 9,5 11,8 14,7198 12,7 12,7 13,3199 5,6 8,5 8,2200 9,4 10,8 9,7

Notes d e 20 0 élèv es d an s 3 disc iplines

...

......

......

......

...

Page 16: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

Algèbre

An

alys

e

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20

Algèbre

Méc

aniq

ue

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25

Analyse

Méc

aniq

ue Tableau des corrélations

analyse mécaniquealgèbre 0,82713536 0,39130214mécanique 0,37230872

= COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A200;B1:B200)= COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A200;C1:C200)= COEFFICIENT.CORRELATION(B1:B200;C1:C200)

Page 17: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

algèbre analyse mécanique7,9042573 13,387988 11,56515

Moyenne:Commande EXCEL :

= moyenne(A1:A200)

algèbre analyse mécanique9,058 10,9985 10,574

Variance:Commande EXCEL :

= var(A1:A200)

n

1iiX

n

1X

n

1i

2

i2 XX

1-n

Page 18: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

On veut tester H0: L=L0 contre H1: LL0 .

Dans notre cas, L0 est une loi normale:

- pour l’algèbre, L0= N(9.058, 7.905247),

- pour l’analyse, L0= N(10.9985, 13.38799),

- pour la mécanique, L0= N(10.574, 11.56515).

K

k k

kk

Np

NpZA

1

2A B C

1 Z1 p1

2 Z2 p2

| | |

K ZK pK

Commande EXCEL:

= (A1-N*B1)^2/(N*B1)

Pour l’algèbre, A=10,23

Pour l’analyse, A=12,45

Pour la mécanique, A=11,21

On accepte H0 dans les 3 cas.

On accepte H0 si A < ²K-3, 1-

On accepte H0 si A < ²K-3, 1-

A= somme(C1:CK)

²7, 0.95 14,1

Page 19: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

A Bp rof 1 p rof 2

1 10,6 10,12 11,2 8,73 7,3 11,84 12 8,95 10,1 10,16 10,2 1,57 8,3 9,68 12,9 5,19 12,2 6,3

10 3,8 12,1

91 12,6 5,492 11,8 10,993 8,2 1094 12,4 7,395 8,6 7,596 3 13,397 7,6 1098 10,2 13,299 13,2 6,1

100 10 9,9

Notes de 200 élèv esen algèbre

...

......

......

...

Estimation de la moyenne pour le premier prof:

Estimation de la variance pour le second prof:

Estimation de la moyenne pour le second prof:

Estimation de la variance pour le premier prof:

845,8m1

77906566,8σ 21

271,10m2

01763535,7σ 22

Page 20: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Variances égales ou non ?

Hypothèse : on suppose que les étudiants de prof1 suivent une loi normale

et que les étudiants de prof2 suivent une loi

normale

) ,( 211 mN

). ,( 222 mN

On veut tester H0: 12 2

2 contre H1: 12 2

2 .

22

21

ˆ

ˆ

B On refuse H0 siB > Fn1-1, n2 -1, 1-/2

B < Fn1-1, n2 -1, /2

Commande EXCEL :

= var(A1:A100)/var(B1:B100)On accepte H0B=1,25

F99, 99, 0.975 1,48

F99, 99, 0.025 0,68

Page 21: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

Moyennes égales ou non ?

Hypothèse : on suppose que les étudiants de prof1 suivent une loi normale

et que les étudiants de prof2 suivent une loi

normale

) ,( 211 mN

). ,( 222 mN

On veut tester H0: m1 m2 contre H1: m1

m2 .

.21

21

11nn

YXC

On accepte H0 si |C| < Stdn1+ n2 -2, 1-/2

Commande EXCEL :

= ( moyenne(A1:A100)-moyenne(B1:B100) )/ ...

… ( racine(1/n1+1/n2)*racine( ((n1-1)*var(A1:A100) …

… +(n2-1)*var(B1:B100))/(n1+n2-2) ) )

On refuse H0

|C|=2,33

Std198, 0.9751,97

Page 22: Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

FIN