2
Pr´ eparation au CAPES de Math´ ematiques 29 Probl` emes d’aires et de longueurs. 1. L’exercice propos´ e au candidat. L’Arbelos ou « tranchet de cordonnier » d’Archim` ede L’Arbelos est le domaine colori´ e de la figure ci-apr` es, d´ elimit´ e par les demi-cercles de diam` etre [A, B], [A, C ] et [C, B], o` u C est un point quelconque du segment [A, B] (distinct de A et de B). (Les points D, E et F interviennent dans les questions 2 ` a4 ) A C B D E F Nous allons ´ etudier quelques propri´ et´ es simples de l’Arbelos. 1 erim` etre. Montrer que le p´ erim` etre de l’Arbelos est ´ egal au p´ erim` etre du cercle de diam` etre [A, B]. 2 Aire. Montrer que l’aire de l’Arbelos est ´ egale ` a celle du cercle de diam` etre [C, D]. (Utiliser les trois triangles rectangles CAD, CBD et DAB et, pour chacun, le th´ eor` eme de Pythagore.) 3 Le rectangle de l’Arbelos. Montrer que CEDF est un rectangle. 4 La tangente commune. Montrer que (EF ) est une droite qui est tangente ` a la fois au cercle de diam` etre [A, C ] et au cercle de diam` etre [C, B]. (En appelant O le milieu de [A, C ] et I le centre du rectangle CEDF , on pourra utiliser la sym´ etrie orthogonale par rapport ` a (OI ), ou utiliser des ´ egalit´ es angulaires issues de la pr´ esence de triangles isoc` eles.) 2. Travail demand´ e au candidat. En aucun cas, le candidat ne doit r´ ediger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra n´ eanmoins lui ˆ etre demand´ ee partiellement ou en totalit´ e lors de l’entretien avec le jury. Apr` es avoir r´ esolu et analys´ e cet exercice, le candidat r´ esumera son analyse sur la fiche tout en epondant aux questions suivantes : 1. Pr´ eciser le ou les niveaux au(x)quel(s) on peut poser ce probl` eme. U .F .R. S ciences et Techniques de Besan¸ con UFR

Préparation au CAPES de Mathématiques 29 Probl`emes d'aires et

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Préparation au CAPES de Mathématiques 29 Probl`emes d'aires et

Preparation au CAPES de Mathematiques 29

Problemes d’aires et de longueurs.

1. L’exercice propose au candidat.

L’Arbelos ou « tranchet de cordonnier » d’ArchimedeL’Arbelos est le domaine colorie de la figure ci-apres, delimite par les demi-cercles de diametre[A, B], [A, C] et [C, B], ou C est un point quelconque du segment [A, B] (distinct de A et deB).(Les points D, E et F interviennent dans les questions 2◦ a 4◦ )

A C B

D

E

F

Nous allons etudier quelques proprietes simples de l’Arbelos.

1◦ Perimetre.

Montrer que le perimetre de l’Arbelos est egal au perimetre du cercle de diametre [A, B].

2◦ Aire.

Montrer que l’aire de l’Arbelos est egale a celle du cercle de diametre [C, D].(Utiliser les trois triangles rectangles CAD, CBD et DAB et, pour chacun, le theoreme dePythagore.)

3◦ Le rectangle de l’Arbelos.

Montrer que CEDF est un rectangle.

4◦ La tangente commune.

Montrer que (EF ) est une droite qui est tangente a la fois au cercle de diametre [A, C] et aucercle de diametre [C, B].(En appelant O le milieu de [A, C] et I le centre du rectangle CEDF , on pourra utiliser lasymetrie orthogonale par rapport a (OI), ou utiliser des egalites angulaires issues de la presencede triangles isoceles.)

2. Travail demande au candidat.

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-cipourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors de l’entretienavec le jury.

Apres avoir resolu et analyse cet exercice, le candidat resumera son analyse sur la fiche tout enrepondant aux questions suivantes :

1. Preciser le ou les niveaux au(x)quel(s) on peut poser ce probleme.

U .F .R. Sciences et Techniques de Besancon UFRS.T .

Page 2: Préparation au CAPES de Mathématiques 29 Probl`emes d'aires et

Preparation au CAPES de Mathematiques 30

2. Il y a en fait quatre resultats differents dans cet exercice. Pour chacun de ces quatre resultats,determiner un niveau le plus bas possible ou on pourrait faire obtenir ce resultat, et proposerun enonce adapte a ce niveau dont le but est d’etablir ce resultat.

3. Les points D, E et F ne sont pas definis dans le texte de l’exercice, mais uniquement a l’aide dela figure. Proposer un texte introductif (precedant les questions 1◦ a 4◦ , qui elles resteraientinchangees) permettant de donner toutes les hypotheses de cet exercice sans recourir a unefigure.

4. Realiser sur l’ecran de la calculatrice la figure de l’exercice, et illustrer quelques uns desresultats de cet exercice en faisant varier le point C. On pourra prevoir une animation.

5. Quelle question d’optimisation serait-il assez logique de poser autour de la question 2◦ ?

6. Proposer quelques autres exercices a differents niveaux faisant calculer des aires ou deslongueurs.

U .F .R. Sciences et Techniques de Besancon UFRS.T .