Probabilités conditionnelles Terminale ST2S

Exercice 1 ST2S/Probabilités/exo-005/texte

Un centre communal d’action sociale gère un fichier de 450enfants (filles (F ) ou garçons (G)) inscrits aux activités deplein air (A), culturelles (C) ou manuelles (M).Les inscriptions se font chaque trimestre et une seule caté-gorie d’activités est permise.Pour le premier trimestre de cette année, on observe que :• 270 enfants sont inscrits pour les activités de plein air et

135 pour les activités manuelles ;• pour les activités de plein air, il y a autant de filles que

de garçons inscrits ;• 252 des enfants inscrits sont des garçons ;• 9 des enfants inscrits pour les activités culturelles sont

des filles.

Partie A

1. Compléter le tableau d’effectifs ci-dessous.

XX

XX

XX

XX

XX

SexeActivité

A C M Total

F

G

Total

2. Compléter les tableaux de fréquences ci-dessous.

XX

XX

XX

XX

XX

SexeActivité

A C M

F

G

Total 100 % 100 % 100 %

XX

XX

XX

XX

XX

SexeActivité

A C M Total

F 100 %

G 100 %

Les fréquences seront données sous forme de pourcen-tages, éventuellement arrondies à 0,01 % près.

3. Déduire de la question précédente la fréquence, notéefM (G), des garçons parmi les enfants pratiquant les ac-tivités manuelles.

4. À quoi correspond fG(A) ? Quelle est sa valeur ?

Partie B

On choisit au hasard un enfant parmi les 450 inscrits auCCAS et on considère les événements :• F : « L’enfant choisi est une fille. »• G : « L’enfant choisi est un garçon. »• M : « L’enfant choisi pratique les activités manuelles. »• C : « L’enfant choisi pratique les activités culturelles. »• A : « L’enfant choisi pratique les activités de plein air. »

1. Déterminer les probabilités respectives des événementsG, A et M .

2. Déterminer la probabilité de l’événement : « L’enfantchoisi est un garçon qui pratique les activités ma-nuelles. »

3. L’enfant choisi pratique les activités manuelles. Quelleest la probabilité qu’il s’agisse d’un garçon ?

4. Quelle est la probabilité que l’enfant choisi pratique lesactivités manuelles sachant qu’il s’agit d’un garçon ?

Exercice 2 ST2S/Probabilités/exo-006/texte

Dans une population de 5000 familles, 60 % des famillesposssèdent une voiture, 65 % ont un téléviseur et 16,34 %n’ont ni l’un, ni l’autre.On choisit une famille au hasard et on considère les événe-ments suivants :

• V : « La famille possède une voiture » ;

• T : « La famille possède un téléviseur ».

1. Compléter le tableau ci-dessous :

V V Total

T

T

Total 5000

2. Donner les valeurs respectives de P (V ) et P (T ).

3. Calculer la probabilité que la famille ait une voiture etun téléviseur.

4. La famille choisie a un téléviseur. Calculer la probabilitéqu’elle ait une voiture.

5. La famille choisie a une voiture. Calculer la probabilitéqu’elle ait un téléviseur.

6. CalculerP (V ∩ T )

P (V )et

P (V ∩ T )

P (T ). Qu’observe-t-on ?

Exercice 3 ST2S/Probabilités/exo-008/texte

Dans un lycée de 1000 élèves, 350 élèves se sont fait vaccinercontre la grippe au début de l’année scolaire. Une épidémiede grippe a affecté la population scolaire au cours de l’hiveret 10 % des élèves ont contracté la maladie.Enfin, 2 % des élèves vaccinés ont eu la grippe.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Nombre d’élèves Vaccinés Non vaccinés Total

Ayant eu la

grippe

N’ayant pas eu

la grippe

Total

2. Au printemps, on choisit au hasard l’un des élèves dece lycée ; tous les élèves ont la même probabilité d’êtrechoisis. On considère les événements suivants :

• V : « L’élève choisi a été vacciné. »• G : « L’élève choisi a eu la grippe. »

Donner les valeurs de P (V ), P (G) et PV (G).

3. Définir par une phrase chacun des événements V , V ∩G

et V ∩ G puis calculer leurs probabilités respectives.

4. Calculer PG(V ). Interpréter le résultat.

5. Calculer, au millième près, la probabilité qu’un élève aiteu la grippe sachant qu’il n’avait pas été vacciné.

Probabilités conditionnelles Terminale ST2S

Exercice 4 ST2S/Probabilités/exo-010/texte

Une société comprend 40 % de cadres. De plus, 20 % descadres et 5 % des autres employés parlent anglais. On inter-roge au hasard un employé et on considère les événements :• A : « L’employé interrogé parle anglais. »• C : « L’employé interrogé est un cadre. »

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que l’employé interrogé soit uncadre qui parle anglais.

3. Calculer la probabilité que l’employé interrogé parle an-glais.

Exercice 5 ST2S/Probabilités/exo-011/texte

Dans un pays, on estime que 15 % de la population estcontaminée par un virus X. La stratégie de dépistage meten place un test. On a observé les résultats suivants :• Quand la personne est contaminée par le virus X, le test

est positif dans 99,6 % des cas ;• quand la personne n’est pas contaminée par ce virus, le

test est négatif dans 97,8 % des cas.On considère les événements suivants :• A : « La personne est contaminée par le virus X. »• B : « La personne a un test positif. »

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité de l’événement B.

3. Calculer la probabilité que le résultat du test soit exact.

Exercice 6 ST2S/Probabilités/exo-012/texte

Le test de dépistage d’une maladie est tel que :• 99 % des individus malades ont un test positif ;• 99 % des individus sains ont un test négatif ;Soit p la proportion de malades dans la population.On considère les événements suivants :• M : « La personne est malade. »• T : « La personne a un test positif. »

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Exprimer en fonction de p la probabilité qu’un individu,dont le test est positif, soit malade.

3. Quel problème cela pose-t-il en cas de maladie rare ?

Exercice 7 ST2S/Probabilités/exo-013/texte

On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant respective-ment cinq boules rouges, trois vertes et une rouge, quatrevertes. On choisit une urne au hasard puis on prélève, tou-jours au hasard, une boule dans cette urne.La boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu’elleprovienne de U1 ?On arrondira le résultat obtenu au millième.

Exercice 8 ST2S/Probabilités/exo-014/texte

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme

de fractions irréductibles.

Damien n’a pas de chance. Quand il passe sous une échelle,il reçoit un pot de peinture une fois sur trois. Quand il évitel’échelle, il met le pied dans un pot de peinture une fois surcinq. Il passe une fois sur quatre sous l’échelle des peintresqui peignent la façade de son immeuble. Il sort de chez lui.

1. Calculer la probabilité que son costume soit taché.

2. Son costume est taché, calculer la probabilité qu’il soitpassé sous l’échelle.

Exercice 9 ST2S/Probabilités/exo-021/texte

Une étude réalisée sur les étudiants d’une université a per-mis d’établir que 70 % des étudiants possèdent un ordina-teur et que, parmi ceux-ci, 40 % possèdent une automobile.On sait aussi que 55 % des étudiants de l’université ne pos-sèdent pas d’automobile.On choisit au hasard un étudiant de cette université et onnote O l’événement « l’étudiant possède un ordinateur » etA l’événement « l’étudiant possède une automobile ».

1. Calculer la probabilité de l’événement « l’étudiant pos-sède un ordinateur et une automobile ».

2. Montrer que la probabilité de l’événement « l’étudiantpossède un ordinateur mais pas d’automobile» est 0,42.

3. Calculer la probabilité de l’événement A ∩ O.

4. Calculer la probabilité que l’étudiant possède un ordi-nateur, sachant qu’il n’a pas d’automobile.

Exercice 10 ST2S/Probabilités/exo-001/texte

Lors d’une épidémie, une étude médicale a fourni les indi-cations suivantes :• lors de chaque consultation, un médecin prescrit un trai-

tement qui débute le jour même ;• on observe que 40 % des malades ont consulté un méde-

cin le jour de l’apparition des symptômes ; parmi ceux-ci,95 % ont été guéris dans la semaine qui a suivi cette ap-parition ;

• par ailleurs, 30 % des malades ont consulté un médecin lelendemain de l’apparition des symptômes ; 60 % d’entreeux ont été guéris dans la semaine ;

• les 30 % restants ont consulté un médecin au bout dedeux jours ; seuls 40 % d’entre eux ont été guéris dans lasemaine suivant l’apparition des symptômes.

Tous les malades ayant la même chance d’être interrogés,on en questionne un au hasard.On considère les événements suivants :• A : « Le malade a consulté le jour de l’apparition des

symptômes. »• B : « Le malade a attendu un jour avant de consulter. »• C : « Le malade a attendu deux jours avant de consul-

ter. »• G : « Le malade a été guéri dans la semaine qui a suivi

l’apparition des symptômes. »• G : l’événement contraire de G.

1. Traduire les données de l’énoncé par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le malade ait attendu 2 jourspour consulter un médecin et qu’il soit guéri dans la se-maine.

3. Calculer la probabilité que le malade ait consulté unmédecin dès l’apparition des symptômes et qu’il ne soitpas guéri dans la semaine.

4. Montrer que la probabilité que le malade soit guéri dansla semaine qui suit l’apparition des symptômes est égaleà 0,68.

5. Un malade n’a pas été guéri dans la semaine suivantl’apparition des symptômes. Quelle est la probabilitépour qu’il ait attendu exactement un jour avant deconsulter un médecin ?