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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Skrie I, p. 1009-1014, 1999 ProbabilitWProbability Theory Probabilit& neutres au risque et asymhtrie d’information Axe1 GRORUD a, Monique PONTIER b a LATP.,UniversitC de Provence, projet OMEGA INRIA, 39, rue Joliot-Curie, 13453 Marseille cedex 13, France Courriel : [email protected] LSP, UniversitC Paul-Sabatier; 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 04, France Courriel : pontierQcict.fr (Requ le 27 novembre 1998, accept6 aprhs &vision le 1”‘ octobre 1999) RCsumC. Cette Note Ctudie certains problkmes 1iCs a la prCsence d’un agent inform6 dans un march6 financier. La prCsence d’une connaissance anticipCe sur le march6 est modClisCe par le grossissement de filtration. Nous ttudions l’existence de probabilitCs neutres au risque, la complCtude des march&, la comparaison des prix des actifs contingents. 0 1999 AcadCmie des science&ditions scientifiques et mCdicales Elsevier SAS Risk neutral measures and asymmetrical information Abstract. This Note uses the enlargement offiltrations for modelling the observation of a$nancial market by an insider trader. We study risk-neutral probabilities existence, completeness of the market and we compare the contingent claims prices. 0 1999 AcadCmie des science&ditions scientifiques et mCdicales Elsevier SAS A bridged English Version This work is motivated by the existence of asymmetrical information in financial markets. Some insider trader has an anticipative private information. Several hypotheses H’, HJ, H3 allow to enlarge the filtration 3 of prices driving martingales, we study the link between them. The market prices are cadlag semi-martingales; Sf = Sg + Ji ,S’i dX,9. We denote y the enlarged filtration .F V 6. We study market completeness,the existence of risk-neutral probability measures and contingent claim prices which are computed according to the insider trader’s or non insider trader’s filtrations. Proposition 1 gives that hypothesis H3 (there exists a lP equivalent probability measureQ such that, V t < T, Ft and G are independent) implies (H’) : V&l E Ml&F’, IF’), 3 M’ E M,,,(Y, P) such that Mi = M, - At, b’t E [0, T[; Note prCsentCe par Marc YOR. 0764.4442/99/03291009 0 1999 Acadkmie des sciences&ditions scientifiques et mkdicales Elsevier SAS. Tous droits r&sew&. 1009

Probabilités neutres au risque et asymétrie d'information

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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Skrie I, p. 1009-1014, 1999

ProbabilitWProbability Theory

Probabilit& neutres au risque et asymhtrie d’information

Axe1 GRORUD a, Monique PONTIER b

a LATP.,UniversitC de Provence, projet OMEGA INRIA, 39, rue Joliot-Curie, 13453 Marseille cedex 13,

France

Courriel : [email protected]

’ LSP, UniversitC Paul-Sabatier; 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 04, France

Courriel : pontierQcict.fr

(Requ le 27 novembre 1998, accept6 aprhs &vision le 1”‘ octobre 1999)

RCsumC. Cette Note Ctudie certains problkmes 1iCs a la prCsence d’un agent inform6 dans un march6 financier. La prCsence d’une connaissance anticipCe sur le march6 est modClisCe par le grossissement de filtration. Nous ttudions l’existence de probabilitCs neutres au risque, la complCtude des march&, la comparaison des prix des actifs contingents. 0 1999 AcadCmie des science&ditions scientifiques et mCdicales Elsevier SAS

Risk neutral measures and asymmetrical information

Abstract. This Note uses the enlargement offiltrations for modelling the observation of a$nancial market by an insider trader. We study risk-neutral probabilities existence, completeness of the market and we compare the contingent claims prices. 0 1999 AcadCmie des science&ditions scientifiques et mCdicales Elsevier SAS

A bridged English Version

This work is motivated by the existence of asymmetrical information in financial markets. Some insider trader has an anticipative private information. Several hypotheses H’, HJ, H3 allow to enlarge the filtration 3 of prices driving martingales, we study the link between them. The market prices are cadlag semi-martingales; Sf = Sg + Ji ,S’i dX,9. We denote y the enlarged filtration .F V 6.

We study market completeness, the existence of risk-neutral probability measures and contingent

claim prices which are computed according to the insider trader’s or non insider trader’s filtrations. Proposition 1 gives that hypothesis H3 (there exists a lP equivalent probability measure Q such that,

V t < T, Ft and G are independent) implies (H’) : V&l E Ml&F’, IF’), 3 M’ E M,,,(Y, P) such that Mi = M, - At, b’t E [0, T[;

Note prCsentCe par Marc YOR.

0764.4442/99/03291009 0 1999 Acadkmie des sciences&ditions scientifiques et mkdicales Elsevier SAS.

Tous droits r&sew&.

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Proposition 4 is such a converse, giving conditions such that hypothesis H3 is satisfied. Proposition 3 gives a characterization of the set of risk-neutral probabilities in the informed agent space in a special case (complete market where the dynamics of prices have some jumps).

1. Introduction

Le but de ce travail est d’Ctudier les march& financiers en prCsence d’asymktrie d’information, c’est-h-dire que les agents peuvent avoir des connaissances differentes. On suppose done la prCsence d’un agent inform6 Nous faisons le lien entre les diffkrentes hypoth&ses qui permettent d’obtenir le grossissement de filtration, c’est-i-dire la comparaison entre les 3 et Y-martingales, lorsque 3 est la filtration des prix observCs et y la filtration grossie par l’information de l’agent inform6 Nous Ctudions la complCtude du march& l’existence de probabilitCs neutres au risque et le prix des actifs B atteindre du point de vue d’un agent inform6 ou d’un agent non inform@.

On considkre un espace de probabilitk filtr6 ((2. 3T. (3f> t E [O. T]), P) sur lequel sont dCfinies les

dynamiques des prix de a! actifs, semi-martingales chdlhg, 5’: = 5’6 + s,’ S,: tlX,s. On suppose que, en t = 0, un agent connait soit une variable L E L1(!‘2, 3~ ; Iw”), K E N (et on

note g = a(L)), soit plus gCntralement une sous-tribu G. On note Y la filtration sur [O. T[ continue h droite qui mod6lise la connaissance de l’agent inform6 sur le march6 :

( Yt = f-j (3, v G), t E [O,T[

s > t 1 Consid6ons les trois hypothkses ci-dessous, suffisantes pour utiliser la thCorie du grossissement de

filtration. En premier lieu, comme cela est not6 dans l’article de J. Jacod [9], notons :

(H’) : V’M E M1,,(3, P), 3174’ E M,,,.(Y.P) telle que M; = A,& - At, ‘d’t E [O,T[,

oti A est un processus a variations finies. Cette hypothkse est vraie, dans le cas oti G = a(L), d&s que la loi conditionnelle de L sachant (3t. t E [O. T[) est absolument continue par rapport i une mesure dkterministe. C’est l’objet des travaux de Jacod [9].

Puis, voici deux hypothkses, kquivalentes (cJ: [7]) d ans le cas oti G = a(L), et qui impliquent (H’) :

GM : il existe Q Cquivalente B $ sous laquelle, V’t < T, 3t est indkpendante de G : (H.7) : la loi conditionnelle de L sachant 3f est kquivalente j la loi de L, ‘d’t < T.

11 n’y a pas unicit6 de la probabilite Q sous ces deux hypothgses. On peut en construire une vCrifiant &l~~ = $1~~ pour tout t < T. C’est toujours celle-ci qui sera utilisCe par la suite.

Remarquons B ce propos que aussi bien dans sa thttse [1] que dans [2], Amendinger - bien qu’il suppose l’hypoth&se (HJ) - montre dans sa proposition 3.1 la propriM (H3) et c’est celle-ci qu’il utilisera par la suite dans la plupart de ses dt?monstrations. Notons de plus 5 la suite de Amendinger [2] que sous l’hypothkse (Hs), de fait, la filtration 3. V G est continue & droite si la filtration 3. l’est (sa proposition 3.4 qui utilise (H3) et non pas (H,I)).

De mCme que l’hypothkse HJ implique l’hypoth&se H’ (c$ [5]), on obtient assez simplement :

PROPOSITION 1. - L’hy~oth&e H3 implique l’hypofhiw (H’).

D&nonstrution. - Soit G) = H . $ la probabilitk de l’hypothkse oti H E L1(62, 3T: $). On note 2, = Ep[H/3t] : c’est une (3,: $)-martingale.

Soit M E M1,,(3, F’) ; d’aprks Protter ([I 11, thCor&me de Girsanov, page 109),

M’ = M - (2)-l [z, M] E M43. Q). (1)

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ProbabilitCs neutres au risque et asymCtrie d’information

D’aprbs l’hypothese Hs, l’indtpendance de G et 3t pour tout t < T, montre que M’ est aussi dans Mr,,(y,Q). Mais P = H-l&, et on pose 2; = E~[H-l/y,l : (Zi, t E [O,T[) est une (y, Q)-martingale. On applique encore la transformation de Girsanov a kf’ :

n/r” = M’ - (Z’)-’ . [Z’, M’] E Ml&J, P).

Puis, on utilise la definition de M’, on obtient

Ad” = A4 - (Z’)-’ . [Z’, Ad’] - 2-l [Z, M] E Ml&J, P),

c’est-a-dire l’hypothese (H’). 0

2. ProbabilitCs neutres au risque

On note Rr l’ensemble des probabilites R Cquivalentes a P telles que, les prix actualises soient des (3, R)-martingales locales. On note R2 l’ensemble des probabilites R equivalentes a P’ telles que, pour tout A < T, les prix actualises soient des (Y,, t E [0, A], R)-martingales locales. On se propose ici de faire le lien entre ces deux ensembles de probabilitts neutres au risque, sur le marche vu par l’agent inform6 ou par un agent non inform6 Dans ce paragraphe, chaque fois que l’on suppose l’hypothese (Hs), Q designe la probabilite de cette hypothese.

Sous l’hypothese Hs au lieu de H J, on retrouve des resultats analogues a ceux de Amendinger et al. [3] (theoreme 2.5 par exemple) ou encore le thtoreme 3.2 de [2] dont la preuve n’utilise strictement que (Hs) et pas (HJ).

PROPOSITION 2. - Sous Z’hypothdse (Hs) 012 consid& R E RI avec R = H . P, H E L1(sl, 3~, P), alors RI, d&inie sur Y,J, VA < T, par Ep(H/3*) . Q, appartient C? RP.

On voit ainsi que sous l’hypothese (H3) R2 n’est pas vide si Rr ne l’est pas et il n’y a done pas d’opportunite d’arbitrage pour l’agent inform6 (cJ: [8]).

Dkmonstration. - Par hypothese on sait que les prix actualises 5 sont des (3, R)-martingales locales. On note 2, = EP[H/~~]. P our s 5 t < A < T, pour toute fs fonction bomee et 3s-mesurable, pour g fonction bomee et 6-mesurable et pour la suite localisante de 3-temps d’art% T,, on a :

Les T,, &ant aussi des Y-temps d’arret, ,!? sont aussi des (y, R)-martingales locales sur [0, A], VA < T. Ainsi, R’ est-il Clement de Rs. 0

On peut preciser Rs, ou du moins un sous-ensemble :

COROLLAIRE 3. - Sous l’hypoth&e (Hs) et si ‘RI n’est pas vide, alors ‘Rz contient toute probabilite’ R” dkjinie sur Y,J, VA < T, par F 0. E~(H/~A)Q, 02 HP E RI, Fo E L:(yo, Q), EQ(F~) = 1.

Dkmonstration. - Soit un Clement de RI de la forme R = H . P et Fo E Li(&, Q) de Q esperance 1. On pose sur y,, VA < T, R” = FOZ~Q et on calcule pour s 5 t 5 A < T et une suite localisante de 3-temps d’arret T,,

ER@?/~s] = EQ[Fo ..z, ‘gF/Ys] = EQ['AS:"/Y~I

EQIFo.ZA/y ] s EQ [ZA/Ysl

puisque FO est ya-mesurable done sort de l’esperance conditionnelle. Puis, par la proposition 2, ZA . Q E R2 et on obtient pour tout n, ER” [8Yp/ys] = E,,.Q [gF/Ys] = g-p, c’est-a-dire que R” E Rz. q

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A. Grorud, M. Pontier

Lorsque le march6 est complet, c’est-h-dire si pour tout t 1. T, tout objectif borne’ 3Cmesurable H peut e^tre couvert par un Porte-feuille : il existe une constante a et r pre’visible stochastiqueme_nt intkgrable par rapport au vecteur des prix actualisb tel que H peut se reprksente’ par a + ,r,’ ~~ . cLS,~ (par exemple si 721 est un singleton), on obtient une rkiproque au r&z&at prCcCdent.

PROPOSITION 4. - Si I& contient une probabilite’ sous laquelle les prix actualis& sent, VA < T, des YA-martingales, et si le marche’ est complet, alors (Hs) est ve’ri$e’e : il existe Q e’quivalente ci P sous laquelle les tribus 3t et 4 sont indgpendantes.

Dkmonstration. - Soient R la probabilitk de l’hypothkse, t < T, H une variable alCatoire bornCe, 3t-mesurable, et Y une variable alkatoire bomCe G-mesurable ; le march6 est complet, done il existe un processus $, 3-prkvisible et stochastiquement integrable par rapport au vecteur des prix actualis& tel que H peut se rep&enter par H = a + s,” $s . d%. Par hypothtise,

et l’on obtient :

ER [ ,I' $3 . d%,‘Yo] = 0;

ce qui montre l’indkpendance de 3t et 6 pour tout t < T. 0

Si RI est non vide et si $* E RI, on obtient que a = E$* (H) et que R restreinte B 3t est $*. Notant 2; la dCrivCe de F’iFt p ar rapport 2 F’, sous la probabilitt Q dkfinie sur Yt par (Z,“)-’ . R, on a encore l’indkpendance de 3t et G et de plus QIF~ = $17~.

PROPOSITION 5. - Si Q* E 722 et si le marche’ est complet pour l’agent inform&, alors la famille des probabilitks de 722 est {Fo Q*, Fo E L:(&, Q), EQ- (Fo) = l}.

Dkmonstration. - Soit une autre probabilit& R de R 2, elle est kquivalente 2 Q* puisqu’elles sont toutes les deux kquivalentes 21 $ ; de fait, pour tout A < T, les prix sont des martingales locales sur [0, A] 2 la fois relativement aux probabilitks Q* et R. Alors, par le thkorkme de Girsanov ([ 111,

page 109>,

Vi=l,...,d, t E [&A] E M,,,(Yt. t E [O>A]).Q* > ) >

la (Y, Q*)-martingale 2. = E,. [g/y.] est orthogonale ?I tous les prix sur [O, A]. Par ailleurs, l’hypothkse donne que le march6 est complet pour l’agent inform6 au sens oti il

existe un processus T Y-prkvisible et stochastiquement intkgrable par rapport au vecteur des prix actualis& tel que :

La martingale 2 est orthogonale g tous les prix sur [0, A], done orthogonale B I’espace stable qu’elle engendre, done 21 elle-mCme. Elle est done constante sur cet intervalle : V t E [0, A], Zt = EQ- [$/&I. F 0 est done cette constante puisque A est arbitraire, de Q*-esptrance 1 pour tout t < T, EQ* [Z,] = 1. 0

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ProbabilitCs neutres au risque et asymCtrie d’information

On a un tel exemple de marcht complet pour les agents non inform& et pour les agents inform& au sens precedent. 11 s’agit d’un marche complet avec sauts tire de [6] : supposons l’hypothese (Hs) dans un modele 06 la dynamique des prix est don&e sur (0, F’, P) par

oti W est un n-mouvement brownien et M est le processus compense d’un processus de Poisson multivarie de dimension m. Si la matrice + = [a, ~$1 est inversible presque surement, et si la prime de risque cP-‘(b - rl) verifie une hypothese de type Novikov, alors sous ces hypotheses, le marche est complet saris arbitrage parce que Ri est un singleton et toute martingale locale de Hi (2~ . P) se represente ; a fortiori une martingale bomee se represente et l’hypothese 4.1 de [2] est verifiee. Puisque encore une fois Amendinger n’utilise que (Hz), on peut done appliquer son theoreme 4.3 et avoir la representation de tout objectif : le marche est complet pour l’agent inform6 : on obtient qu’il existe un processus vectoriel previsible cp tel que Fu = E,, (Fa/Yu) + &A(~s, dS,), ce qui est la completude au sens ci-dessus.

Neanmoins, ce n’est pas une definition classique, puisque l’ensemble Rz n’est pas un singleton. On peut done s’attendre a une fourchette de prix du point de vue de l’agent inform& Mais on obtient de fait le resultat suivant, au moins pour les actifs contingents YA-mesurables, pour tout A < T.

PROPOSITION 6. - Sous les hypotheses de la proposition 5, notant Q* un element de 22.

(a>

(b)

Cc)

Soit A < T, si H E nRERz L:(R, yl,, R), alors le prix de cet actif contingent est dejki. Pour tout R E 722, En[H/ya] = EQ. [H/&l < cc presque sfirement. Si, deplus, RI = {P*}, (P* = ZT.P, Q* E 722 restreinte a YA est ZA.Q) et que H E L1(.F~, P*), alors ce prix colitcide avec En* (H). S’il existe R E I&J telle que En[H] = +w, alors l’essentiel supremum sup, ER[H/&] est presque sfirement in&i et l’on ne peut determiner le prix de H.

Demonstration. - (a) D’apres la proposition 5, toute probabilitt R sur la tribu YA est de la forme Fa . Q*,

EQ* [PO . H/Y01 ERIH’yol = EQ* [Fo/yo] ’

Or, Fa est Ya-mesurable, sort de l’esperance conditionnelle et se simplifie. (b) De plus puisque, sous la probabilite Q, FA et ya sont independantes et que Q restreinte a 3~

est IF’, EQ* [H/J+] = ‘gz$$’ = EQ[Z,J . H/J’01 = En* [HI. 0

On peut donner quelques exemples de ces deux situations contradictoires : 1) si H est bornee, (a) est verifiee de man&e Cvidente ; 2) supposons que H est dans LP+(yo, Q*) mais pas dans LP,+‘(ya, Q’), ou Q* = 2~ . Q. Soit Fo = ~ EQ$IP) : cette variable par construction est yo-mesurable et de Q* esptrance 1. Done

1 = EQ*[FO] = EQ[ZA . Fo] = EQ[Fo], a cause de l’independance de 2,~ et Fo sous Q, et done R = FO . Q* E Ra et on voit facilement que En[H] = +cc.

3. Un contre-exemple

La question naturelle qui se pose est de savoir s’il n’est pas inevitable qu’un agent informe ait accbs a une politique d’arbitrage. Intuitivement, la reponse est oui, mais en pratique ce n’est pas si clair. Ainsi, on a vu que les hypotheses Ha et << Ri non vide >> impliquent que Rx est non vide, done dans

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ce cas il n’y a pas non plus d’arbitrage pour les agents inform& (proposition 2) ; reciproquement, le fait que R2 est non vide et la completude du march6 impliquent l’hypothese H3 (proposition 4). Ainsi, darts un marche complet oti RI est non vide, les hypotheses << RZ non vide D et Hs sont equivalentes.

Mais si on peut << grossir B la filtration, par exemple si H’ est vraie sans que H3 le soit (par exemple S = a(L) et la loi de L sachant .Ft est absolument continue par rapport a la loi de L saris &tre Cquivalente), un arbitrage semblerait possible. Mais il y a quelque chose de reellement plus fort dans (Hz) que dans (H’) comme le montrent le contre-exemple suivant qui infirme l’equivalence entre les hypotheses (Hs) et << ‘I& non vide D : il suffit de considtrer un march6 incomplet dSt = S, b, dt + St crt dWt + St dNt, 0 < t < A < T, avec une action et deux aleas : le mouvement brownien W et un processus de Poisson Nt d’intensite constante A, et tous les coefficients deterministes et born&. On suppose que L = N T, alors (H’) est vtrifiee et (HJ) (done Ha) ne I’est pas :

On peut grossir la filtration, et sur l’espace (Q, y, P), I’intensite du processus de Poisson est w, le mouvement brownien ne change pas car la densite conditionnelle, a cause de l’independance entre le mouvement brownien et le processus de Poisson, se represente uniquement sur le processus de Poisson. Sur la filtration grossie, le modele devient

NT - Nt- -

T-t dt+StctdWt+StdNt, O<t<A<T.

Une probabilite neutre au risque pour ce modele est par exemple obtenue en operant une transformation de Girsanov sur le mouvement brownien de translation Et = -a+’ (b, + q) .

Soit la martingale exponentielle definie par

dL, = Lt&dWt ; t 5 A; Lo = 1.

Ceci est une vraie martingale puisque le processus 5 est independant de W* et de carre integrable sur [O: A]. On a done une probabilite neutre au risque pour l’agent inform6 definie VA < T sur

YA par LA . $, et ‘Rz est non vide, done il n’y a pas d’arbitrage pour l’agent inform& sans que l’hypothese H3 soit verifiee.

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