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NOTES

PROBLGMES MATHEMATIQUES SOULEVBS PAR LES MODELES ECONOMIQUES.

John C. Nash*

1. Introduction

Dans sa recherche de solutions aux probltmes rtels, par exernple le changement de production de lait par vache. l’analyste s’applique il la construction de modtles adtquats.

On peut concevoir les stades dans la construction d’un modkle de la facon suivante: 1) I’analyste construit un modtle hypothttique inttgrant habituellement tquations et

intgalitts, employant sa “thtorie” du systtme, 2) il estime les paramttres de ses tquations, puis, 3) met le modtle il l’essai, voit comment se comporte le systtme et apport les

modifications ntcessaires. Actuellement, des efforts sont fournis pour construire des modtles tconomiques.

Mtme si cette etude recoupe les modtles que l’on bltit en gtnie et en sciences pures, la nature particulitre des phtnomtnes tconomiques c r k des difficultts qui genent et, de temps en temps, empechent certains progrts dans ce domaine de l’tconometrie.

Premitrement, nous devons nous contenter d’extraire toutes nos donntes des collections imparfaites de statistiques, souvent recueillies de facon non-systtmatique et un peu au hasard en pleine course contre les aiguilles d’une montre. On ne peut pas faire d’exptriences contr8ltes.

Deuxitmement, les donnkes recueilles mesurent surtout des effets bruts, mais ce dont on a besoin en construisant un modtle ce sont les causes, les facons de rtagir aux Cvtnements, et les modes de production et de consommation, d’achat et de vente. Ainsi, on dispose de donnkes maladaptkes pour accomplir la t%che que Yon s’est donnke, i.e. de la construction d’un modtle, et souvent on doit employer une variable comme approximation plus ou moins efficace d’une autre.

Pour contourner la difficultt, je propose qu’on emploie ce que j’appelle des mtthodes “stables” pour estimer ou rtsoudre les tquations d’un modkle. (A la suite, je vais employer “tquation” comme terme gtntrique qui inclue aussi les contraintes et les intgalitts qui appartiennent au modtle.) Par le mot “stable” j’entends d’une mtthode,

Agriculture Canada. PrCsentC au 9itme Colloque des Mathkmaticiens du QuCbec, le 18 mars, 1978.

C’est un plaisir de remercier Marie-France Champagne, Danielle Karamchandani et Francine Tremblay pour leur aide en corrigant le brouillon de ce rapport. Des discussions avec Claude Falgon et GCrard Lussier ont clarifik quelques paragraphes.

Canadian Journal of Agricultural Economics 28(3), 1980

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habituellement numtrique, qui devrait dttecter la sensibilitk des rksultats aux perturbations des donntes, ou, au moins, donner des indications qui nous permettent de I’observer. Malheureusement, mSme si on emploie de telles mtthodes A chaque stade, il nous restera les cas o~ nos hypothtses seront fausses. Enfin, ce que je propose n’est qu’une minimisation des hasards d’une route dtjA dangereuse.

Les trois exemples qui suivent montrent quelques tentatives plus ou moins efficaces pour surmonter ces difficultks. Chaque exemple prksente une schtmatisation d’un des trois stades dans la construction d’un modtle.

2. Une courbe de croissance

Les progrts technologiques dans I’industrie laititre sont dQs A plusieurs influences - entre autres, I’adoption des races supkrieures, les avances de la science vtttrinaire, et I’amtlioration de la gestion A la ferme. Si on prenait une vue simpliste, I’effet observe serait simplement une augmentation du taux de la production par vache v(t) en fonction de temps t. Donc, il est Cvident que la production par vache est une statistique importante si on veut prkvoir le besoin de fourrage, de grains de provende, etc., ntcessaires pour un niveau donnk de production totale. Cependant, la mise en graphique des donnkes nous permet d’observer un diagramme de croissance qui n’tpouse la courbe classique en S que sur la partie basse (Figure 1). On emploie souvent [ l l ] la fonction logistique afin de dkcrire cette forme-ci. Cela peut Stre exprimk par I’equation:

v(t) = h/(l + exp(p + qt)). (1)

1 -

0” . 9 -.

. 8 - -

.7 - -

. 6 ..

.5 -.

. 4 - -

. 3 .-

0 , 0 5 10 15 20 25

igure 1 Les modHes hypoth&tiques de croissance (1) (ligne solide) et (2) (+) pour q = -0.3.

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Tandis qu’une telle fonction peut prendre la forme recherchte, la fonction logistique n’est pas en mesure d’expliquer les progrts technologiques, et il est difficile d’attribuer une signification immtdiate aux paramttres p et q.

Prenons par exemple la situation ou se trouvent beaucoup de producteurs qui emploient l’un ou l’autre des deux rtgimes de production: 1’“ancien” ou le “nouveau”. Supposons que le niveau de production est 0 ou h respectivement. (Ou plutdt g et g + h). A un moment donnt, la proportion des producteurs du nouveau rtgime est u(t)/h, oh u(t) est la production moyenne par producteur. I1 est B prtvoir que les avantages du nouveau rtgime empechent des transitions rttrogrades, rnais la probabilitt des transitions de l’ancien au nouveau rtgime doit Stre sptcifik. Une probabilitt fiie nous rntne B un processus de Markov stationaire, mais cela ne peut pas se prtsenter SOUS

la forrne attendue, i.e. en S. Cependant, une probabilite de transition (dans une ptriode dtfinie) proportionnelle B la fraction des producteurs qui suivent le nouveau rtgime donne la forme attendue. Bien plus, nous pouvons admettre que les progrts de productivitt seraient la suite logique des investissements rtguliers. Aussi nos donntes ne sont-elles pas continues mais discrttes. On exprime ce rnodtle [7]:

[u(t + 1) - u(t)]/h = -q[~(t)/h][l - u(t)/hl (2)

ou les pararnttres A dtterminer sont h, q et u(0). Ici, on peut montrer en employant l’algtbre [7] que h et qu ont la meme signification que dans la fonction logistique. Mais maintenant il est kident que h est la limite suptrieure de la croissance et que q donne une mesure de la vitesse d’approche B cette asymptote. De plus, la dtpendance de la fonction de u(0) - le point de dtpart - est maintenant plus Claire.

La facon d‘estirner ces paramttres exige un programme des moindres carrts non- lintaire [8, 91. Ntanmoins, le modtle discret propost plus haut en guise d’alternative au modtle logistique peut nous aider parce que les paramttres afftrents ont une signification precise. Cela permet aux gens dans l’industrie de nous donner des approximations initiales des paramttres bastes sur leurs exptriences pratiques [4]. Dans cet exemple, c’est une transformation de la forme du modtle qui nous perrnet d’ajouter des informations en ce qui concerne le systtme et ainsi “stabilise” notre proctde de la construction d’un modtle. Bien sar, il nous reste A vtrifier que ce modtle est un approximation adtquate B la situation rklle.

3. Calculs des moindres carrbs

Les modtles tconomiques doivent s’occuper des prix. Malheureusement, si on s’inttresse, par exemple, aux effets de substitution bastes sur les diffhrences relatives des prix, on devra tenir compte de la multicollinhitt. Cela n’est ni plus ni moins que la corrtlation entre deux ou plusieurs variables d’un modtle, qui pour les besoins de notre exposition ne sera trait6 qu’au niveau d’une seul tquation lintaire:

y = X b + g (3)

ou y est le vecteur (m Cltments) des valeurs de la variable expliqute, X est la matrice (m par n) des variables explicatives, b est le vecteur (n) des paramttres, et, - eest un vecteur (rn) des perturbations suppostes distribukes d’une facon altatoire.

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D’habitude, on trouve les valeurs des paramttres par la mtthode de moindres c a d s en minimisant la somme des carrts

On le fait habituellement par la rtsolution des kqquations normafes

X T X b - = XTy - ( 5 )

(oh le T implique la transposition). Or, il est tvident qu’on ne peut specifier totalement les paramttres si XT X a un rang inftrieur A n. Cela ne signifie pas que le modtle est faux mais seulement qu’il n’est pas parfaitement prtcist. Les cas ou le rang de XT X est infkrieur A n sont rares. PlutBt. XT X a “presque” une dtficience de rang. Selon Harvey [2], c’est un probltme de degrt plus que de genre.

Afin d’estimer le degrt de singularitt on peut trouver les valeurs caracttristiques de XT X. Mieux, parce que la formation de XT X entraihe une perte d’information [12], on peut calculer les valeurs singulitres de X. Ces valeurs donnent la grandeur de chaque composante principale de la variation totale des variables explicatives. S’il y a multicollintaritt, au moins une des composantes principales va disparaitre.

Maintenant on a besoin d’une mesure du degrt de collintaritt en termes de valeurs singulitres et c’est A ce point-ci qu’on ne peut pas rester objectif. D’aprts moi, si le rapport de la plus grande valeur singulitre A la plus petite dtpasse 1O00, on devra faire attention aux rtsultats des calculs. (Un des autres avantages d’un tel traitement des donntes est que l‘on peut trouver des solutions des moindres carrts, quoiqu’elles ne soient pas toujours uniques, quelque soit le rang de X.)

Ce chiffre lo00 est le fruit de mes experiences. I1 est certain que, si je travaillais sur des donntes plus prtcises, je choisirais une valeur beaucoup plus grande. Par exemple, les techniques num6riques employant les valeurs singulitres sont en partie dtvelopptes pour ttudier les trajets des fustes oh on a quelquefois une prtcision allant jusqu’8 plus de 6 chiffres. Mais A part Fa, le nombre lo00 sert bien; la limite de rtsolution de l’oeil humain est A peu prts un millitme de la largeur d’une feuille de papier (8 1/2 par 11) lorsque on met les valeurs singulitres en graphique

Encore une fois, je dois renoncer A dtcrire le dttail des mtthodes. Les rapports de Golub et Reinsch [l], Nash [3], et de Nash et Lefkovitch [q prtsentent quelques proctdts numtriques pour trouver les valeurs singuli&es et les solutions des moindres carrts. Ces idtes sont aussi recouptes au niveau des petits ordinateurs dans mon livre

Afin de mettre ces idtes en pratique, on peut considtrer les valeurs singulitres calcultes d’une matrice X formte de quatre variables reprtsentmt des aptgations de prix des produits agricoles et une colonne d’tltments tous tgaux A 1. Les priX sont disponibles pour 26 ptriodes de temps. Les valeurs singulitres sont Cjusqu’au 4 dtcimales)

La proportion de la plus grande sur la plus petite est 305.73, ce qui est tout A fait normal dans ce domaine selon mes exptriences.

Dans cet exemple, c’est la mtthode de calcul des solutions qui nous aide B dttecter les instabilitts. I1 est certain qu’il existe plusieurs techniques pour contourner la difficult6 de la multicollinkaritt, celle-ci n’en est qu’une parmi tout d’autres.

[91.

9.5998, 0.7573, 0.1370, 0.0919, 0.0314.

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4. RCsolution des systemes “creux” d’kquations

Les deux exemples prtctdents traitaient de la formation et de l’estimation des modtles. M&me si les difficultts n’ttaient pas complttement surmonttes, elles ttaient B tout le moins rtduites. Le troisitme cas est une ouverture pour de nouvelles recherches. Le probltme est de rtsoudre les grands ensembles d’tquations que I’on emploie dans les modtles Cconomiques. Frtquemment ces tquations sont en partie non-lintaires, c’est-A- dire que dans au moins une des tquations les paramttres apparaissent sous forme d’un produit ou d’un quotient ou dans I’argument d’une fonction (par exemple sin, cos, exp, log). Souvent, aussi, chaque tquation ne contient que quelques paramttres, malgrt que I’ensemble puisse en contenir A peu prts mille. Ainsi, on dtcrit I’ensemble comme “creux”. (Notez: n equations A n inconnues.) De temps en temps on a aussi des contraintes. D’habitude on essaie d’tchapper A ces contraintes par des substitutions, des fonctions de “ptnalitt” ou des multiplicateurs de Lagrange.

Je ne connais aucun travail systkmatique dans ce domaine-ci. Ce que I’on fait souvent pour rtsoudre ces ensembles d’tquations se prtsentant sous la forme:

c’est de les rttcrire comme suit:

- X =&). (7)

On peut maintenant ittrer suivant un algorithme semblable A celui de Gauss-Seidel, c’est-A-dire, qu’on peut commencer par une approximation de vecteur 5 et calculer xi en ernployant la premiere equation. De la nouvelle valeur de x i , ainsi que de 5, on peut obtenir x2. puis x3, et ainsi de suite jusqu’B xn. On rtptte ce cycle majeur aussi longtemps qu’on le veut. D’habitude on termine I’ittration si une mesure de grandeur des changements de,K ,pendant un cycle majeur devient inftrieure A la toltrance sptcifite B I’avance.

Malheursement, cette approche ne garantit pas la convergence. La mtthode de Newton donne une telle garantie, rnais seulement si on commence a un point de dtpart assez prts du rtsultat attendu. De plus, cette mtthode exige de cdculer la matrice Jacobienne,

B chaque ittration. Cette matrice est d’ordre &lev&, et la mtthode de Newton entrahe beaucoup de travail, et pour le programmeur et pour I’ordinateur. Mes colltgues m’ont rapport6 qu’une solution par la mtthode “Gauss-Seidel”, dans les cas od cela a rtussi, coirte A peu prts la moitiC de ce que coirte une solution trouvke avec un programme “Newton”.

Ces approaches ignorent les faits suivants: 1) l’ensemble est souvent “presque” lintaire; 2) il est toujours difficile de trouver un bon point de depart.

Donc on cherche une mtthode qui a la simplicitt de celle de “Gauss-Seidel”, mais qui assure une meilleure convergence. Malheursement, je ne peux pas vous offrir de recette pour la solution de ce probkme. Cependant, je suis en train de vkrifier l’efficacitt des

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mtthodes bastes sur I’algorithme de gradients conjuguts, mais seulement pour les probltmes des equations et moindres carrts lintaires, et pour des valeurs et vecteurs caracttristiques des matrices symttriques. Ce proctdt peut Ctre applique aussi aux probltmes visant A minimiser les fonctions non-lintaires mais selon moi (et d’aprts mon exptrience sur des problkmes de petite dimension mais difficiles) on ne peut pas se fier aux rtsultats. (Cependant, on est en train de faire des ttudes dans ce domaine.) Ntanmoins, il est possible que les solutions des tquations d’un modtle tconomique soient “proches” de celles des equations lintaires approximant l’ensemble original.

En somme, il reste du travail il faire. Cependant, les Cconomistes doivent employer des mtthodes imparfaites. La construction des modkles tels que FARM, couramment utilist par les agro-tconomistes d’ Agriculture Canada, restera handicapte par ce manque, et on extend souvent la phrase, “le modtle n’a pas convergt”, qui signifie dam la plupart des cas que la mtthode employte pour la rtsolution des tquations du modtle n’est pas adtquate.

5. Conclusions

Cette prtsentation n’a pas trait6 d’idkes nouvelles en soi. C’est plut6t un compte-rendu des travaux en mathtmatiques appliqutes dans un domaine ou les probltmes ne sont pas ntcessairement difficiles il tnoncer mais ou souvent on n’a pas assez d’informations pour rtpondre ti toutes les questions qu’on se pose. J’esptre que cet expost aura servi ti encourager les chercheurs en mathtmatiques A s’engager sur le chemin difficile A la frontitre des phtnomtnes du monde r k l et des modtles que nous en faisons, et ti encourager les agro-tconomistes A prtsenter leurs probltmes aux mathtmaticiens.

REFERENCES

1 Golub G.H. et Reinsch C. “Singular value decomposition and least squares solution.” Numerische Mathematik, 14 (1970), 403-420.

2 Harvey A.C. “Some comments on multicollinearity in regression.” Applied Statistics, 26

3 Nash J.C. “A one-sided transformation method for the singular value decomposition and algebraic eigenproblem.” Computer Journal, 18 (1975), 74-76.

4 Nash J.C. et Teeter N.J. “Building models: an example from the Canadian dairy industry.” Canadian Farm Economics, 10 (1975), no. 2, 17-24.

5 Nash J.C. “An annotated bibliography on methods for non-linear least squares computations including test problems.” Mary Nash Information Services, Vanier, Ontario (microfiche).

6 Nash J.C. et Lefkovitch L.P. “Principal components and regression by singular value decomposition on a small computer.” Applied Statistics, 25 (1976), 210-216.

7 Nash J.C. “A discrete alternative to the logistic growth function.” Applied Statistics, 26

8 Nash J.C. “Minimizing a non-linear sum of squares function on a small computer.” Journal of the Institute for Mathematics and its Applications, 19, (1977). 231-237.

9 Nash J.C. Compact numerical methods for computers: linear algebra and function minimisation. Bristol, Adam Hilger. 1979 (Wiley: Halsted. New York aux E-U.)

10 Nash J.C. “Accuracy of least squares computer programs: another reminder: comment.”

(1977), 188-191.

(1977), 9-14.

American Journal of Agricultural Economics, 61 (1979), 703-709. 11 Oliver F.R. “Methods of estimating the logistic growth function.” Applied Statistics, 13

12 Stewart G.W. Introduction to matrix computations. New York, Academic Press, 1973. (1964), 57-66.