Projet soutenu par le FNRS (No. 21-62003.00)

6.10.20046.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFLJ. Cugnoni, LMAF / EPFL 11

Identification par recalage modal et Identification par recalage modal et fréquentiel des propriétés constitutives de fréquentiel des propriétés constitutives de

coques en matériaux compositescoques en matériaux composites

Thèse EPFL n°3106Thèse EPFL n°3106

Joël Cugnoni Joël Cugnoni LMAF / I2S / STI / EPFLLMAF / I2S / STI / EPFL

Projet soutenu par le FNRS (No. 21-62003.00)Projet soutenu par le FNRS (No. 21-62003.00)

226.10.20046.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFLJ. Cugnoni, LMAF / EPFL

LMAF / EPFLLMAF / EPFLStructure de la présentationStructure de la présentation

1. Introduction Motivations Etat de l’art (caractérisation de composites) Nouveaux développements et objectifs

2. Analyse modale expérimentale Objectifs et dispositif de mesure Excitation acoustique optimisée Extraction modale par curve fitting MDOF

3. Modèle d’éléments finis de coque stratifiée en matériaux composites Objectifs et théories ESL Formulation de l’élément de coque d’ordre p Validation

4. Identification modale mixte numérique - expérimentale Objectifs et démarche de développement Normes et fonctionnelles d’erreur: définition, sensibilité, pondération, calcul des gradients Problème de minimisation et algorithme d’optimisation

5. Validation Spécimens et tests statiques de référence Mesures modales et identification mixte Paramètres identifiés

6. Conclusions et perspectives


LMAF / EPFLLMAF / EPFL1.1 Motivations1.1 Motivations

Techniques de caractérisation classiques de composites Au moins 6 paramètres constitutifs sont nécessaires:

E1, E2, G12, G13, G23, 12 Généralement 5 tests statiques requis Un nombre important de spécimens doivent être utilisés pour

réduire la dispersion inhérente aux méthodes de test traditionnelles (effets locaux, défauts de géométrie / alignement)

Une série de spécimens différents pour chaque type de test Caractérisation longue et coûteuse

Identification mixte numérique - expérimentale Les techniques basées sur l’identification des grandeurs

modales ont le potentiel de caractériser, rapidement et à moindre coût, en un seul test non destructif les 6 paramètres élastiques de composites stratifiés


LMAF / EPFLLMAF / EPFL1.2 Principe de caractérisation1.2 Principe de caractérisation

Caractérisation de matériaux

Définition d’un test• géométrie• paramètres physiques• type de chargement

Expérience• chargement et supports• capteurs et acquisition• post-traitement

Identification• directe ou itérative• exacte ou approchée• surdéterminée ou non• linéaire ou non linéaire

Modèle théorique• hypothèses• exact ou approché• inversible ou non• analytique or numérique

Consistance


LMAF / EPFLLMAF / EPFL1.3 Classification des méthodes de caractérisation1.3 Classification des méthodes de caractérisation

Type de chargement Plage de mesure Famille de modèles Exemple

Chargement statique

Mesure ponctuelle / moyenne

Analytique et inversible Tests standardisés ASTM D3039, D3518

Numérique / non inversible Validation modèle

Mesure de champ

Analytique et inversible Méthodes des champs virtuels

Numérique / non inversibleIdentification mixte num. / exp. par ex. par

minimisation de type moindres carrés

Dynamique

Mesure ponctuelle / moyenne

Analytique et inversibleCaractérisation par ultrasons ou par

identification des fréquences propres de spécimens de poutres minces

Numérique / non inversibleIdentification mixte num. / exp. des fréquences propres de spécimens de poutres épaisses ou

de plaques/coques

Mesure de champ

Analytique et inversible Méthodes des champs virtuels

Numérique / non inversibleIdentification mixte num. / exp. des fréquences

et modes propres de spécimens de plaques/coques épaisses

Les méthodes de caractérisation de matériaux composites peuvent être classées de la manière suivante:


LMAF / EPFLLMAF / EPFL1.4 Identification mixte en dynamique: historique1.4 Identification mixte en dynamique: historique

Année Modèle NumériqueThéorie utilisée Méthode d'identification Résultats

1985- Rayleigh-Ritz : Approximation polynomiale, en fonctions de poutres à 1-3 termes ou de Lagrange

CLPT Etude de sensibilité et résolution analytique directe, par moindres carrés ou estimation Bayes

E1, E2, G12, ~12

1990- Rayleigh-Ritz à 3-6 termes de poutres, Eléments finis

FSDT Sensibilité et méthode des moindres carrés, estimation Bayesienne

E1, E2, G12, ~G13, ~G23, ~12

1995- Eléments finis et modèles d'amortissement

HSDT Sensibilité et méthode des moindres carrés, estimation Bayesienne, champs virtuels

E1, E2, G12, ~G13, ~G23, ~12

2000- Eléments finis et modèles d'amortissement, d'endommagement ou pièzo.

HSDT Moindres carrés, champs virtuels, algo. génétique, filtres de Kalmann

E1, E2, G12, ~G13, ~G23, ~12

Identification mixte numérique expérimentale des constantes de matériaux composites basée sur l'analyse modale des plaques

Critère d'identification : les n premières fréquences propres

A partir de 2000, extension à la détermination de l’endommagement ou des propriétés de structures actives, mais détermination toujours peu fiable des modules de cisaillement transverse


LMAF / EPFLLMAF / EPFL1.5 Objectifs et nouveaux développements1.5 Objectifs et nouveaux développements

ButButDéveloppement d’une méthode Développement d’une méthode efficaceefficace, basée sur , basée sur l’analyse modale l’analyse modale numérique et expérimentalenumérique et expérimentale, pour la caractérisation des , pour la caractérisation des propriétés propriétés élastiquesélastiques constitutives de composites stratifiés constitutives de composites stratifiés

Nouveaux développementsNouveaux développementsMéthode de mesure modale de haute qualité des Méthode de mesure modale de haute qualité des fréquencesfréquences et et modes modes proprespropres de coques stratifiées de coques stratifiéesModèle d’éléments finis de coque précis avec Modèle d’éléments finis de coque précis avec déformations en déformations en cisaillement d’ordre élevécisaillement d’ordre élevé dans l’épaisseur ( dans l’épaisseur (HSDTHSDT) ) Fonctionnelles d’erreur Fonctionnelles d’erreur sensiblessensibles et et robustesrobustes basées sur les basées sur les fréquences fréquences et les formes propreset les formes propres des modes mesurés et simulés des modes mesurés et simulésAlgorithme d’identification mixte num. – exp. Algorithme d’identification mixte num. – exp. génériquegénérique, , robusterobuste et et efficaceefficace

Err

OptExp

Num

Identification mixte num. / exp. des paramètres constitutifs

Estimation initiale x = x0

Solution numérique Snum(x)

Paramètres identifiés x

Analyse modale exp. Sexp

Normesd’erreur modales

(Snum,Sexp)

Correction des paramètres x( minimisation de )

> min

< min


LMAF / EPFLLMAF / EPFL2.1 Analyse modale expérimentale2.1 Analyse modale expérimentale

HypothèsesHypothèses

Problème Problème linéaire élastiquelinéaire élastique en petites déformations et petits déplacements en petites déformations et petits déplacements

AvantagesAvantages

Mesures de nombreux modes en un seul test Mesures de nombreux modes en un seul test

Test réalisable sans aucun contact ni appuiTest réalisable sans aucun contact ni appui

Les grandeurs modales représentent les propriétés élastiques et massiques Les grandeurs modales représentent les propriétés élastiques et massiques globales du spécimenglobales du spécimen

Essai non destructif, réalisable Essai non destructif, réalisable in situin situ

ObjectifObjectif

Mesure de haute qualité et modélisable précisément par éléments finis, d’un Mesure de haute qualité et modélisable précisément par éléments finis, d’un grand nombre de modes propres d’un stratifié compositegrand nombre de modes propres d’un stratifié composite

DémarcheDémarche

Maximiser la corrélation avec le modèle numériqueMaximiser la corrélation avec le modèle numérique

Minimiser les effets de bords / d’environnementMinimiser les effets de bords / d’environnement

Réduire au maximum les rigidités et masses externes au spécimenRéduire au maximum les rigidités et masses externes au spécimen

Méthode d’analyse modale Méthode d’analyse modale “Sans Contact”“Sans Contact”

Exp


LMAF / EPFLLMAF / EPFL2.2 Conditions aux limites et système de mesure2.2 Conditions aux limites et système de mesure

Mesure modale sans contactMesure modale sans contactConditions aux limites libres-libresConditions aux limites libres-libresMesure de la réponse dynamique par Mesure de la réponse dynamique par interféromètre laser Doppler à interféromètre laser Doppler à balayage balayage Excitation par ondes acoustiquesExcitation par ondes acoustiques

Système Polytec PSV200Système Polytec PSV200de 1 Hz à plus de 20 kHz, sensibilité de 1 Hz à plus de 20 kHz, sensibilité élevée (résolution < 1 élevée (résolution < 1 m/s )m/s )Mesure automatique des fonctions Mesure automatique des fonctions de transfert sur une grille de mesurede transfert sur une grille de mesureGénération des signaux d’excitation Génération des signaux d’excitation et acquisition des donnéeset acquisition des donnéesFilm rétro-réflecteur sur la surface de Film rétro-réflecteur sur la surface de mesure pour augmenter le rapport mesure pour augmenter le rapport signal / bruit à hautes fréquences et signal / bruit à hautes fréquences et très faibles amplitudestrès faibles amplitudes

Exp

])2

(2cos(1[2/1

])2

(2cos(1[2/1

22

21

tv

fAI

tv

fAI

b

b

])2

(2cos[ tv

fKV bout

Interféromètre laser à effet Doppler


LMAF / EPFLLMAF / EPFL2.3 Schéma de l’expérience2.3 Schéma de l’expérience

Exp


LMAF / EPFLLMAF / EPFL2.4 Excitation acoustique2.4 Excitation acoustique

AvantagesAvantagesMasse ajoutée et rigidité Masse ajoutée et rigidité négligeablenégligeablePlage de fréquence étendue Plage de fréquence étendue (grand nombre de modes)(grand nombre de modes)

InconvénientsInconvénientsFaibles pressionsFaibles pressionsDispersion et interférences des Dispersion et interférences des ondes acoustiquesondes acoustiquesExcitation modale sélective Excitation modale sélective (effets des symétries)(effets des symétries)

PossibilitésPossibilitésCombiner plusieurs sourcesCombiner plusieurs sourcesOptimiser la position et les Optimiser la position et les caractéristiques d’une source caractéristiques d’une source uniqueunique

Exp


LMAF / EPFLLMAF / EPFL2.5 Excitation acoustique: optimisation2.5 Excitation acoustique: optimisation

DémarcheDémarcheChoix d’un haut parleur adéquat:Choix d’un haut parleur adéquat:

LinéaritéLinéarité Plage de fréquencePlage de fréquence Petite taillePetite taille Fortement directionnelFortement directionnel

Caractérisation spatiale et Caractérisation spatiale et fréquentielle du HP choisifréquentielle du HP choisiDéfinition de critères d’optimalité, Définition de critères d’optimalité, p.ex:p.ex:

Puissance d’excitation modale Puissance d’excitation modale minimale sur un ensemble de minimale sur un ensemble de modesmodes

Optimisation de la position (cx,cy) de Optimisation de la position (cx,cy) de la sourcela source

Evaluation approx. des formes et Evaluation approx. des formes et fréquences propres du spécimenfréquences propres du spécimen

Calcul des puissances et forces Calcul des puissances et forces d’excitation modales pour chaque d’excitation modales pour chaque position (cx,cy) de la sourceposition (cx,cy) de la source

Recherche manuelle des optimumsRecherche manuelle des optimums

Exp

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

log amplitude moyenne entre 1.001 et 1482 Hz

x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

log amplitude moyenne entre 1482 et 2964 Hz

x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

log amplitude moyenne entre 8889 et 1.037e+004 Hz

x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

log amplitude moyenne entre 1.037e+004 et 1.185e+004 Hz

x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

log amplitude moyenne entre 1.001 et 1482 Hz

x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

log amplitude moyenne entre 8889 et 1.037e+004 Hz

x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

¼ de spécimen

Position optimale

750 Hz 2250Hz 3750Hz

5250 Hz 6750Hz 8250Hz

9750 Hz 11250Hz 12750Hz


LMAF / EPFLLMAF / EPFL2.6 Extraction modale par curve fitting MDOF2.6 Extraction modale par curve fitting MDOF

Système de mesure et d’excitation optimiséSystème de mesure et d’excitation optimiséMesure possible d’un grand nombre de modes propres (environ 10 à 25) Mesure possible d’un grand nombre de modes propres (environ 10 à 25) dans une plage de fréquences de 50 Hz à 15 kHz.dans une plage de fréquences de 50 Hz à 15 kHz.

Densité modale élevée => modes proches et difficiles à extraire Densité modale élevée => modes proches et difficiles à extraire précisémentprécisément

Utilisation d’une technique d’extraction modale par curve fitting MDOFUtilisation d’une technique d’extraction modale par curve fitting MDOF

Modes proches => « couplage » des formes propres

)( jhrs

)( jhrs

n

k kkkk

ks

kr

rstionidentifica

s

rrs jm

jhjF

jXjh

122 )2(

)()(

)()(

Mesures Modèle modal à n DDL

Exp


LMAF / EPFLLMAF / EPFL3. Modèle d’éléments finis de coque HSDT3. Modèle d’éléments finis de coque HSDT

ObjectifObjectif

Développer un modèle numérique aussi Développer un modèle numérique aussi sensiblesensible et et précisprécis que que possible pour possible pour l’analyse modale numériquel’analyse modale numérique de stratifiés en de stratifiés en matériaux composites, tout en offrant un matériaux composites, tout en offrant un rapport précision / temps rapport précision / temps de calcul avantageuxde calcul avantageux

Déformations en cisaillement transverse:Déformations en cisaillement transverse: Modélisation précise des effets de cisaillement transverseModélisation précise des effets de cisaillement transverse Sensibilité élevée aux modules de cisaillement pour des coques Sensibilité élevée aux modules de cisaillement pour des coques

épaissesépaisses

Relaxer au maximum les hypothèses sur les champs de Relaxer au maximum les hypothèses sur les champs de déformations et contraintes pour se rapprocher d’une formulation déformations et contraintes pour se rapprocher d’une formulation d’élasticité 3Dd’élasticité 3D

Représentation de stratifiés quelconques de composites orthotropes Représentation de stratifiés quelconques de composites orthotropes

Num


LMAF / EPFLLMAF / EPFL3.1 Théories des stratifiés composites3.1 Théories des stratifiés composites

Théories ESL des stratifiés compositesThéories ESL des stratifiés composites

Num

),,(),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

0

00

00

tyxwtzyxw

ywztyxvtzyxv

xwztyxutzyxu

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0

0

0

tyxwtzyxw

tyxztyxvtzyxv

tyxztyxutzyxu

y

x

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0

320

320

tyxwtzyxw

tyxztyxztyxztyxvtzyxv

tyxztyxztyxztyxutzyxu

yyy

xxx

pp

pp

pp

ztyxwp

ztyxwztyxwtyxwtzyxw

ztyxvp

ztyxvztyxvtyxvtzyxv

ztyxup

ztyxuztyxutyxutzyxu

),,(!

1...),,(

2

1),,(),,(),,,(

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2

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2

1),,(),,(),,,(

2210

2210

2210


LMAF / EPFLLMAF / EPFL3.2 Eléments finis de coque d’ordre 3.2 Eléments finis de coque d’ordre pp variable variable

Elément fini de coque d’ordre pElément fini de coque d’ordre pGénéralisation et extension à la dynamique Généralisation et extension à la dynamique de l’élément fini de Surana & Sorem (1990)de l’élément fini de Surana & Sorem (1990)

Nouvelle formulation avec Nouvelle formulation avec conditionnement numérique amélioréconditionnement numérique amélioré

Calcul des matrices de masse Calcul des matrices de masse consistantes ou diagonales consistantes ou diagonales

Intégration numérique par couche Intégration numérique par couche exacte, réduite ou sélectiveexacte, réduite ou sélective

Géométrie triangulaire ou Géométrie triangulaire ou quadrangulaire avec interpolations quadrangulaire avec interpolations linéaire, quadratique ou cubique linéaire, quadratique ou cubique complète ou noncomplète ou non

SpécificitésSpécificitésBasé sur un développement limité de Taylor Basé sur un développement limité de Taylor à un ordre à un ordre pp variable du déplacement dans variable du déplacement dans l’épaisseur de la coquel’épaisseur de la coqueModèle le plus général des théories ESLModèle le plus général des théories ESL3 (3 (pp+1) DDL par nœud+1) DDL par nœudModélisation précise des déformations en Modélisation précise des déformations en cisaillement transverse cisaillement transverse Précision / coût opératoire ajustable en Précision / coût opératoire ajustable en fonction des besoins et des moyensfonction des besoins et des moyens

Modélisation de stratifiés compositesModélisation de stratifiés compositesIntégration numérique par coucheIntégration numérique par coucheLoi linéaire élastique orthotrope 3D dans Loi linéaire élastique orthotrope 3D dans chaque couchechaque couche

n

i

p

j

ji

ei

ahe

e

tj

htj

1 0

)( )(!

),(),( 321 qu

Champ des déplacements approchés

ieieiep

ii

ae thTe

33321

1 2

1),()(: vxξx

Interpolation géométrique

Num


LMAF / EPFLLMAF / EPFL3.3 Validation semi - analytique3.3 Validation semi - analytique

Validation analytiqueValidation analytiqueModèles semi-analytiques de plaques Modèles semi-analytiques de plaques carrées (0°,90°)carrées (0°,90°)ss Rapports a/h variant de 4 à 100Rapports a/h variant de 4 à 100Différentes classes de formulationDifférentes classes de formulation

ESL + zigzag (EDZ1, EDZ3) avec ESL + zigzag (EDZ1, EDZ3) avec compressibilité transversecompressibilité transverse

ESL + zigzag (EDZ1d, EDZ3d) sans ESL + zigzag (EDZ1d, EDZ3d) sans compressibilité transversecompressibilité transverse

Layerwise d’ordre 1 et 3 (LD1, LD3)Layerwise d’ordre 1 et 3 (LD1, LD3)Comparaison de la première Comparaison de la première pulsation propre adimensionnelle pulsation propre adimensionnelle

RésultatsRésultatsExcellente précision PSDT p.r. aux Excellente précision PSDT p.r. aux théories layerwise même pour a/h<10théories layerwise même pour a/h<10Convergence lorsque Convergence lorsque pp augmente augmente

pp=3 apporte un important gain p.r au =3 apporte un important gain p.r au FSDTFSDT

À partir de À partir de pp=5 la première pulsation =5 la première pulsation propre a convergé même pour a/h=4propre a convergé même pour a/h=4

Effet élevé du facteur de correction de Effet élevé du facteur de correction de cisaillement (FSDT) et peu d’effet cisaillement (FSDT) et peu d’effet notable des termes zigzag et de la notable des termes zigzag et de la compressibilité transversecompressibilité transverse

Num

Propriété E 1/E 2 E 3/E 2 G 23/E 2G 31/E 2=

G 12/E 2

12 = 13

23

Valeur 40 1 0.6 0.5 0.25

Propriétés physiques

22

41 h/Ea Pulsation propre adim.

Résultats

Ecart relatif 1ère pulsation propre adim p.r LD3 en fonction de a/h

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

4 10 20 100

a/h

LD1 EDZ3 EDZ1 EDZ3d EDZ1d P1 (K=0.833) P1 (K=1) P3 P5 P7 P9 P11


LMAF / EPFLLMAF / EPFL

Num3.4 Validation numérique3.4 Validation numérique

Validation numériqueValidation numériqueComparaison avec un modèle Comparaison avec un modèle d’éléments finis solides (Abaqus d’éléments finis solides (Abaqus C3D20R), maillage 3D: 20 x 13 x 16 C3D20R), maillage 3D: 20 x 13 x 16 (57’000 DDL)(57’000 DDL)Modèle PSDT d’ordre 1 à 9, 15 x 10 Modèle PSDT d’ordre 1 à 9, 15 x 10 éléments sérendipiens (de 3000 à éléments sérendipiens (de 3000 à 15’000 DDL)15’000 DDL)Stratifié (0°,90°)Stratifié (0°,90°)2s2s de dimensions de dimensions 150x100x10, 150x100x20 et 150x100x10, 150x100x20 et 150x100x40 mm en composite 150x100x40 mm en composite carbone - époxycarbone - époxy

RésultatsRésultatsExcellente précision p.r. au modèle EF Excellente précision p.r. au modèle EF 3D, moins de 1% d’erreur pour 3D, moins de 1% d’erreur pour pp ≥≥ 3 3ConvergenceConvergence

pp=3 suffisant pour les coques =3 suffisant pour les coques modérément épaisses (15 < a/h < 25)modérément épaisses (15 < a/h < 25)

pp=5 nécessaire pour les coques très =5 nécessaire pour les coques très épaisses (a/h<15)épaisses (a/h<15)

Efficacité opératoire bien plus Efficacité opératoire bien plus intéressante que les modèles 3D pour intéressante que les modèles 3D pour une précision identiqueune précision identique

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

N° du mode

Ec

art

re

lati

f d

e f

réq

ue

nc

e p

rop

re

P1 K=5/6

P1 K=1

P3

P5

P7

P9

Plaque 150x100x40 mm

0%

1%

1%

2%

2%

3%

3%

4%

P1 K=5/6 P1 K=1 P3 P5 P7 P9

Ordre p d'approximation

Ec

art

re

lati

f m

oy

en

p.r

so

lid

e 3

D

10mm (a/h=15)

20mm (a/h=7.5)

40mm (a/h=3.75)

Convergence


LMAF / EPFLLMAF / EPFL

Err

4. Identification mixte numérique-expérimentale 4. Identification mixte numérique-expérimentale

ObjectifsObjectifs

Développer une procédure d’identification mixte des paramètres Développer une procédure d’identification mixte des paramètres élastiques se basant sur les pulsations et modes propres de élastiques se basant sur les pulsations et modes propres de stratifiés compositesstratifiés composites

Paramètres recherchésParamètres recherchés Modules de Young dans le plan Modules de Young dans le plan EE11, , EE22

Module de cisaillement dans le plan Module de cisaillement dans le plan GG1212

Coefficient de Poisson dans le plan Coefficient de Poisson dans le plan 1212

Modules de cisaillement transverse Modules de cisaillement transverse GG1313, , GG2323

DéveloppementsDéveloppementsFonctionnelle d’erreurFonctionnelle d’erreur

Sensible à l’ensemble des paramètres élastiquesSensible à l’ensemble des paramètres élastiques Robuste (convexe) dans une large plage de paramètresRobuste (convexe) dans une large plage de paramètres

Algorithme d’optimisation efficace, précis et robusteAlgorithme d’optimisation efficace, précis et robuste


LMAF / EPFLLMAF / EPFL4.1 Normes d’erreur modales 4.1 Normes d’erreur modales

Normes d’erreur modales basées sur:Normes d’erreur modales basées sur:

Pulsations propres mesurées et Pulsations propres mesurées et calculéescalculées

Termes diagonaux et hors diagonale Termes diagonaux et hors diagonale de la matrice MAC de la matrice MAC MMjljl des formes des formes

propres numériques et expérimentalespropres numériques et expérimentales

Une mesure de corrélation des lignes Une mesure de corrélation des lignes nodales basée sur un principe de nodales basée sur un principe de traitement et corrélation d’image traitement et corrélation d’image (interpolation bicubique et filtres) (interpolation bicubique et filtres)

La somme des écarts des La somme des écarts des composantes des formes proprescomposantes des formes propres

k

kikifrq

kF

~)(x

))((

)(),(

2

bl

bl

aj

aj

bl

ajb

lajjl MAC

φφφφ

φφφφM

),~(1)(1k

ik

imack MACF φφx

m

kjjk

ij

imack MACF

,1

2 ),~()( φφx

r

j lkl

jk

lik

l

jikiecm

kF1

))(max

)(

)~(max

)~(()(

φ

φ

φ

φx

δIsiδ

IδIsi

)Ig(rs

krsk

rsk

rsk

1

0

a

r

a

srs

kirs

kinodk JJ

aF

1 1

22

)~

(1

)(x

Err


LMAF / EPFLLMAF / EPFL4.2 Etude de sensibilité: fréquences propres4.2 Etude de sensibilité: fréquences propres

Err

Plaque carbone – époxy UD 150 x 100 x 10 mm

E1, E2, E3, 12, 23, 31, G12, G23, G31Sensibilité des fréquences propres p.r aux paramètres

La sensibilité des fréquences propres est très sélective en fonction des paramètres et des types de

mode. Sensibilité aux cisaillements transverses clairement augmentée avec la fréquence et pas d’effet sensible du coefficient de Poisson.


LMAF / EPFLLMAF / EPFL4.3 Sensibilité: norme MAC diag. et corr. nodale4.3 Sensibilité: norme MAC diag. et corr. nodale

Err


Sensibilité des normes MAC diagonale et de corrélation des lignes nodales

en fonction des paramètres E1, E2, E3, 12, 23, 31, G12, G23, G31

La sensibilité est assez homogène p.r. au coefficient de Poisson dans le plan et p.r. aux modules de cisaillement. Sensibilité aux cisaillements transverses clairement augmentée avec la fréquence.


LMAF / EPFLLMAF / EPFL4.4 Sensibilité: MAC hors diag. et écart des composantes4.4 Sensibilité: MAC hors diag. et écart des composantes

Err


Sensibilité des normes MAC hors diagonale et de la somme des écarts des composantes modales en fonction des paramètres E1, E2, E3, 12, 23, 31, G12, G23, G31

La sensibilité est très homogène par rapport aux différents paramètres, notamment p.r au coefficient de Poisson et aux modules de cisaillement.


LMAF / EPFLLMAF / EPFL4.5 Fonctionnelle d’erreur et dérivées modales 4.5 Fonctionnelle d’erreur et dérivées modales

Fonctionnelle d’erreur totaleFonctionnelle d’erreur totale

Combinaison pondérée des normes d’erreur modalesCombinaison pondérée des normes d’erreur modales

Facteurs de pondération:Facteurs de pondération: Doivent représenter les incertitudes expérimentalesDoivent représenter les incertitudes expérimentales Modélisation des incertitudes très difficile Modélisation des incertitudes très difficile Détermination empirique: erreurs résiduelles équilibréesDétermination empirique: erreurs résiduelles équilibrées

Err

Tiecmecminodnodibmacmacimacmacifrqfrqitot )(),(),(),(),()( 2211 xFxFxFxFxFxF

Facteur frq mac1 mac2 nod ecm

Poids 1 1 0.05 0.1 1 x 10-6 0.1

Poids 2 1 0.05 0.025 1 x 10-6 0.01


LMAF / EPFLLMAF / EPFL4.6 Problème d’optimisation4.6 Problème d’optimisation

IdentificationIdentificationParamètres d’identification Paramètres d’identification xxii

Minimisation aux moindres carrés Minimisation aux moindres carrés de la fonctionnelle d’erreur modalede la fonctionnelle d’erreur modale

OptimisationOptimisationAlgorithme de minimisation aux Algorithme de minimisation aux moindres carrés non linéaires de moindres carrés non linéaires de type Levenberg-Marquardt :type Levenberg-Marquardt :

Robuste et stable Robuste et stable Convergence super-linéaire lorsque Convergence super-linéaire lorsque

le résidu est faiblele résidu est faible

Nécessite le calcul du gradient Nécessite le calcul du gradient JJ((xxii)) Plusieurs méthodes testées Plusieurs méthodes testées

(Nelson, base modale, différences (Nelson, base modale, différences finies)finies)

Différences finies directes restent Différences finies directes restent préférables p.r précision / temps préférables p.r précision / temps calculcalcul

Opt

Levenberg-MarquardtLevenberg-Marquardt

Avec le gradient:Avec le gradient:

Direction de descente Direction de descente hhii ::

Avec Avec hhii donné par : donné par :

i

itoti

x

xFxJ

)(

)(

)()()()()( itotTiiii

iTi xFxJxhIxJxJ

ii1i hxx

2)(

2

1)()(argmin

i

itotii favecfn

xFxxx

Méthode de calcul

Temps de calcul

Ecart relatif moyen

Méthode de Nelson (exacte)

339 s 0 (référence)

Différences Finies 125 s 2.31 x 10-5

Modal (base de 36 modes)

89 s 1.02 x 10-1


LMAF / EPFLLMAF / EPFL5.1 Validation: caractérisation statique5.1 Validation: caractérisation statique

SpécimensSpécimensTirés de plaques UD / CP carbone Tirés de plaques UD / CP carbone – époxy (~50%vol fibre), de 3.7 à – époxy (~50%vol fibre), de 3.7 à 13 mm d’épaisseur13 mm d’épaisseur

Caractérisation statiqueCaractérisation statiqueTest de traction ASTM D3039Test de traction ASTM D3039Flexion quatre points Flexion quatre points Torsion d’un coupon rectangulaire Torsion d’un coupon rectangulaire (seul. plaque P2 de 8mm, test selon (seul. plaque P2 de 8mm, test selon Tsai & Daniel, 1990)Tsai & Daniel, 1990)

Tests statiques de caractérisationTests statiques de caractérisation

test traction (jauges de déformation) traction (extensomètre biaxial) Plaque E1 (GPa) E2 (GPa) 12 (-) E1 (GPa) E2 (GPa) 12 (-)

P1 101.7 7.43 0.34 103.0 6.97 0.34 écart type 3.3% 1.7% 9.9% 0.4% 0.8% 3.6%

P2 95.3 6.75 0.26 99.4 6.52 0.36 écart type 4.3% 0.5% 11.0% 1.0% 0.8% 4.4%

test flexion 4 pts torsion (jauges extensométriques) Plaque E1 (GPa) E2(GPa) G12

a (GPa) G12b (GPa) G13 (GPa) G23 (GPa)

P1 95.2 7.67 - - - - écart type 3.0% 5.3% - - - -

P2 89.7 7.42 3.56 3.49 3.28 2.11 écart type 6.7% 5.9% 9.1% 2.1% 1.0% 3.1%

Err

OptExp

Num


LMAF / EPFLLMAF / EPFL5.2 Validation: Spécimens et mesures dynamiques5.2 Validation: Spécimens et mesures dynamiques

Spécimens de tests dynamiquesSpécimens de tests dynamiquesErr

OptExp

Num

spécimen plaque dimensions épaisseur rapport

d’épaisseur orientation des fibres

masse volumique

P1V1 P1 214x79 mm 3.77 mm 57 90° 1482 kg/m3 P1V2 P1 135x135 mm 3.90 mm 34 0° 1482 kg/m3 P1V3 P1 135x79 mm 3.76 mm 36 0° 1482 kg/m3 P2V1 P2 214x79 mm 8.2 mm 26 90° 1440 kg/m3 P2V2 P2 135x134 mm 8.3 mm 16 0° 1440 kg/m3 P2V3 P2 135x79 mm 8.2 mm 16 0° 1441 kg/m3

P3V2b P3 135x70 mm 13.0 mm 10 0° 1440 kg/m3 P6V1 P6 215x80 mm 13.0 mm 16 0° 1440 kg/m3

Analyse modale expérimentaleAnalyse modale expérimentale


LMAF / EPFLLMAF / EPFL5.3 Validation: identification mixte5.3 Validation: identification mixte

Convergence et robustesseConvergence et robustesseConvergence rapide en 3 à 6 Convergence rapide en 3 à 6 itérationsitérations Convergence des modules de Convergence des modules de

Young et de cisaillement lors Young et de cisaillement lors des premières itérationsdes premières itérations

Évolution plus lente du coeff. Évolution plus lente du coeff. de Poisson après stabilisation de Poisson après stabilisation des modulesdes modules

Possibilité d’identifier les Possibilité d’identifier les paramètres en deux tempsparamètres en deux temps

Reproductibilité de env. 2%Reproductibilité de env. 2%Robustesse: Robustesse: Converge même avec +/- 40% Converge même avec +/- 40%

d’erreur initiale sur chaque d’erreur initiale sur chaque paramètreparamètre

Stratifiés épais (a/h < 15)Stratifiés épais (a/h < 15) Gain important lors du Gain important lors du

passage au modèle PSDT passage au modèle PSDT d’ordre d’ordre pp=5=5

Err

OptExp

Num

Graphe de convergence des paramètres

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

0 1 2 3 4 5Itérations

Pa

ram

ètr

es

(R

ela

tifs

)

0.0001

0.001

0.01

0.1

Ré

sid

u d

'err

eu

r

E1 E2 Nu12 G12 G23 G31 Résidu

Plaque 8 mm, p=3Plaque 8 mm, p=3

Graphe de convergence des paramètres (modèle d'ordre p=5)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1 2 3 4 5 6 7

Itérations

Par

amèt

re (

rela

tif)

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

Rés

idu

d'e

rreu

r

E1 E2 Nu12 G12 G23 G13 résidu

Plaque 13 mm, p=5Plaque 13 mm, p=5


LMAF / EPFLLMAF / EPFL5.4 Validation: grandeurs modales identifiées5.4 Validation: grandeurs modales identifiées

Comparaison des données modales mesurées et identifiéesComparaison des données modales mesurées et identifiéesExcellente identification des fréquences propres avec une erreur moyenne Excellente identification des fréquences propres avec une erreur moyenne inférieure à 1% (inférieure à l’incertitude de mesure)inférieure à 1% (inférieure à l’incertitude de mesure)Très bonne corrélation des formes propres calculées et mesurées dans la Très bonne corrélation des formes propres calculées et mesurées dans la grande majorité des cas (mesures de bonne qualité)grande majorité des cas (mesures de bonne qualité)

Termes MAC diagonaux > 0.9 et hors diagonale < 0.15Termes MAC diagonaux > 0.9 et hors diagonale < 0.15 L’orthogonalité et la correspondance des modes propres sont donc vérifiéesL’orthogonalité et la correspondance des modes propres sont donc vérifiées

Err

OptExp

Num

P2V2, Ecarts relatifs des fréquences propres mesurés et identifiées

-0.60%

-0.40%

-0.20%

0.00%

0.20%

0.40%

0.60%

0.80%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

No Mode

% é

cart


LMAF / EPFLLMAF / EPFL5.5 Validation: paramètres constitutifs identifiés 1/25.5 Validation: paramètres constitutifs identifiés 1/2

Plaques UD minces (3.7 mm, a/h entre 35 et 60)Plaques UD minces (3.7 mm, a/h entre 35 et 60)

Err

OptExp

Num

Test E1

(GPa) E2

(Gpa) 12

(-) G12

(GPa) G23

(GPa) G31

(GPa)

statique 95.2 7.67 0.36 3.56 2.11 3.28 écart type % 6.7% 5.3% 4.4% 9.1% 1.0% 3.1%

P1V1 94.6 7.19 0.31 4.05 1.36 5.59 % écart -0.6% -6.3% -13.6% 13.8% -35.4% 70.6%

P1V2 92.5 7.27 0.37 3.87 2.55 3.46 % écart -2.8% -5.3% 4.0% 8.6% 21.0% 5.6%

P1V3 96.0 7.40 0.35 4.10 1.27 4.24 % écart 0.8% -3.6% -2.4% 15.1% -39.7% 29.5%

moyenne 94.3 7.28 0.34 4.01 1.73 4.43 écart type 1.4 0.09 0.03 0.10 0.58 0.88

écart type % 1.5% 1.2% 7.6% 2.5% 33.7% 19.9% % erreur moy. -1.0% -4.7% -0.8% 12.0% -12.2% 23.4%

Bonne identification des modules de Young et du coefficient de Poisson Bonne identification des modules de Young et du coefficient de Poisson pour les plaques avec fibres dans le sens de la longueur (P1V2 et P1V3)pour les plaques avec fibres dans le sens de la longueur (P1V2 et P1V3)

Pas de valeur de référence pour les modules de cisaillement sur ces plaquesPas de valeur de référence pour les modules de cisaillement sur ces plaques


LMAF / EPFLLMAF / EPFL5.6 Validation: paramètres constitutifs identifiés 2/25.6 Validation: paramètres constitutifs identifiés 2/2

Plaques UD modérément épaisses (8.2 mm, a/h entre 16 et 30)Plaques UD modérément épaisses (8.2 mm, a/h entre 16 et 30)

Err

OptExp

Num

Très bonne identification des modules de Young, du coefficient de Poisson Très bonne identification des modules de Young, du coefficient de Poisson et des modules de cisaillement dans le plan et transverses pour les plaques et des modules de cisaillement dans le plan et transverses pour les plaques avec fibres dans le sens de la longueur (P2V2 et P2V3)avec fibres dans le sens de la longueur (P2V2 et P2V3)

Test E1

(GPa) E2

(GPa) 12 (-)

G12 (GPa)

G23 (GPa)

G31 (GPa)

statique 89.7 7.42 0.36 3.56 2.11 3.28 écart type % 6.7% 5.9% 4.4% 9.1% 1.0% 3.1%

P2V1 89.3 7.04 0.35 3.74 2.43 4.08 % écart -0.5% -5.2% -1.3% 4.9% 15.3% 24.4% P2V2 89.4 7.26 0.37 3.70 2.25 3.36

% écart -0.4% -2.2% 3.4% 3.7% 6.7% 2.6%

P2V3 93.6 7.14 0.36 3.74 2.15 3.53 % écart 4.3% -3.7% 0.8% 5.1% 2.0% 7.6%

moyenne 90.8 7.15 0.36 3.73 2.27 3.66 écart type 2.0 0.09 0.01 0.02 0.12 0.31

écart type % 2.2% 1.3% 1.9% 0.6% 5.1% 8.3% % erreur moy. 1.1% -3.7% 1.0% 4.6% 8.0% 11.5%


LMAF / EPFLLMAF / EPFL5.7 Validation: stratifié épais à plis croisés5.7 Validation: stratifié épais à plis croisés

Plaque (0°,90°)Plaque (0°,90°)4s4s fortement épaisse (13 mm, a/h = 16) fortement épaisse (13 mm, a/h = 16)

Err

OptExp

Num

Non-unicité de la solution d’identification par couche du matériau, car les Non-unicité de la solution d’identification par couche du matériau, car les rigidités de flexion dépendent à la fois de rigidités de flexion dépendent à la fois de EE11 et et EE22. Existe visiblement un lieu . Existe visiblement un lieu

des optimums en (des optimums en (EE11, , EE22). ).

Identification orthotrope « homogénéisée » par contre possible sans difficulté.Identification orthotrope « homogénéisée » par contre possible sans difficulté.

Plaque à plis croisés P6V1: lieu des optimums (E1,E2)

E2r = -8.3919 x E1r + 10.346

0.5

1

1.5

2

2.5

0.5 0.75 1 1.25 1.5E1 (relatif)

E2

(rel

atif

)

cas 1

cas 2

cas 3

cas 4

cas 5

Optimums

Mesurestatique P2

Linéaire(Optimums)


LMAF / EPFLLMAF / EPFL6.1 Conclusions 1/26.1 Conclusions 1/2

Analyse modale expérimentaleAnalyse modale expérimentaleL’utilisation conjointe d’un système de mesure par interférométrie L’utilisation conjointe d’un système de mesure par interférométrie laser Doppler à balayage, d’une source d’excitation acoustique laser Doppler à balayage, d’une source d’excitation acoustique optimisée et d’une technique d’extraction modale par curve fitting optimisée et d’une technique d’extraction modale par curve fitting MDOF permet une mesure non invasive de haute qualité des MDOF permet une mesure non invasive de haute qualité des fréquences propres et modes propres de stratifiés compositesfréquences propres et modes propres de stratifiés composites

Modèles d’éléments finisModèles d’éléments finisLe modèle d’élément fini de coque d’ordre Le modèle d’élément fini de coque d’ordre pp variable développé est variable développé est général, précis et efficace (précision / coût opératoire) pour général, précis et efficace (précision / coût opératoire) pour l’analyse modale numérique de structures stratifiées en composites l’analyse modale numérique de structures stratifiées en composites minces à très épaisminces à très épais

Fonctionnelle d’erreur modaleFonctionnelle d’erreur modaleLes normes d’erreur modales basées à la fois sur les fréquences et Les normes d’erreur modales basées à la fois sur les fréquences et les formes propres s’avèrent sensibles et robustes par rapport à les formes propres s’avèrent sensibles et robustes par rapport à l’ensemble des paramètres constitutifs à identifier l’ensemble des paramètres constitutifs à identifier

Procédure d’optimisation mixteProcédure d’optimisation mixteL’algorithme de Levenberg-Marquardt de minimisation non linéaire L’algorithme de Levenberg-Marquardt de minimisation non linéaire aux moindres carrés permet une identification rapide, robuste et aux moindres carrés permet une identification rapide, robuste et précise des paramètres d’identificationprécise des paramètres d’identification

Err

OptExp

Num


LMAF / EPFLLMAF / EPFL6.2 Conclusions 2/26.2 Conclusions 2/2

Err

OptExp

Num

La méthode d’identification proposée fournit une estimation La méthode d’identification proposée fournit une estimation préciseprécise des des 6 propriétés élastiques6 propriétés élastiques constitutives de stratifiés composites à constitutives de stratifiés composites à l’aide d’l’aide d’un seul test vibratoire un seul test vibratoire non destructifnon destructif

La précision obtenue pour les modules de Young et de cisaillement est La précision obtenue pour les modules de Young et de cisaillement est au moins aussi bonne que pour les tests statiques standardsau moins aussi bonne que pour les tests statiques standards

Le coefficient de Poisson est généralement déterminé précisément, Le coefficient de Poisson est généralement déterminé précisément, mais reste sensible à la qualité des mesures de formes propresmais reste sensible à la qualité des mesures de formes propres

Les modules de cisaillement transverse peuvent être identifiés Les modules de cisaillement transverse peuvent être identifiés précisément pour des plaques modérément épaisses (10<a/h<15)précisément pour des plaques modérément épaisses (10<a/h<15)

Méthode d’identification modale mixte numérique-expérimentale Méthode d’identification modale mixte numérique-expérimentale des propriétés élastiques de stratifiés compositesdes propriétés élastiques de stratifiés composites


LMAF / EPFLLMAF / EPFL6.3 Développements futurs et perspectives6.3 Développements futurs et perspectives

Err

OptExp

Num

Qualité d’identificationQualité d’identification Validation et étude de fiabilité (sources d’erreur) plus pousséeValidation et étude de fiabilité (sources d’erreur) plus poussée Définition des dimensions optimales des spécimens de tests vibratoiresDéfinition des dimensions optimales des spécimens de tests vibratoires Validation de la méthode pour des structures gauches de type coqueValidation de la méthode pour des structures gauches de type coque Résolution des difficultés d’identification de stratifiés non UDRésolution des difficultés d’identification de stratifiés non UD

PerformancesPerformances Optimisation du modèle EF PSDT en supprimant les termes d’ordre Optimisation du modèle EF PSDT en supprimant les termes d’ordre

impair et les effets de compressibilité transverse (réduction du nombre impair et les effets de compressibilité transverse (réduction du nombre de DDL par nœud)de DDL par nœud)

Parallélisation de l’algorithme de minimisationParallélisation de l’algorithme de minimisationExtensionsExtensions Extension à l’identification simultanée / séquentielle de plusieurs Extension à l’identification simultanée / séquentielle de plusieurs

matériaux (sandwich, patch composites, renforts)matériaux (sandwich, patch composites, renforts) Identification de structures complexes (géométrie et modes 3D) et Identification de structures complexes (géométrie et modes 3D) et

d’éléments d’assemblage (rigidités de liaisons p.ex)d’éléments d’assemblage (rigidités de liaisons p.ex) Extension à la mesure de paramètres dissipatifs et/ou aux effets Extension à la mesure de paramètres dissipatifs et/ou aux effets

d’environnement (humidité, température, amplitude d’excitation)d’environnement (humidité, température, amplitude d’excitation) Identification de l’endommagement et de la délamination de structures Identification de l’endommagement et de la délamination de structures

composites stratifiéescomposites stratifiées


LMAF / EPFLLMAF / EPFL6.4 Publications6.4 Publications

Err

OptExp

Num

Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A., Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A., Modal validation of a set of C0-compatible composite shell finite elementsModal validation of a set of C0-compatible composite shell finite elements , Composites science and technology, 2004, v64(13-14), pp. 2039-2050, Composites science and technology, 2004, v64(13-14), pp. 2039-2050

Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A., Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A., Identification by modal analysis of composite structures modelled with Identification by modal analysis of composite structures modelled with FSDT and HSDT laminated shell finite elementsFSDT and HSDT laminated shell finite elements , Composites Part A, 2004, v35(7-8), pp.977-987, Composites Part A, 2004, v35(7-8), pp.977-987

Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A.Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A. , Numerical-experimental identification of the elastic properties in , Numerical-experimental identification of the elastic properties in composite shells, (2004) submitted to composite shells, (2004) submitted to Computers & StructuresComputers & Structures

PublicationsPublications

ConférencesConférencesCugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A.,Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A.,Modal identification of composite structures modelled with FSDT and HSDT laminated shell Modal identification of composite structures modelled with FSDT and HSDT laminated shell finite elementsfinite elements, Proceedings of the International Conference on Composites Testing and Model Identification CompTest 2003, Proceedings of the International Conference on Composites Testing and Model Identification CompTest 2003 (Eds. (Eds. F. Pierron, M. Wisnom), Châlons-en-Champagne, France, January 28-31, 2003F. Pierron, M. Wisnom), Châlons-en-Champagne, France, January 28-31, 2003, ENSAM, Châlons-en-Champagne, Paper P11, ENSAM, Châlons-en-Champagne, Paper P11

Cugnoni, J., Gmür, Th., and Schorderet, A., Cugnoni, J., Gmür, Th., and Schorderet, A., Numerical-experimental identifica tion of the elastic properties in composite shellsNumerical-experimental identifica tion of the elastic properties in composite shells, , Proceedings of the 7th International Conference on Computational Structures TechnologyProceedings of the 7th International Conference on Computational Structures Technology (Eds. B. H. V. Topping, C. A. Mota (Eds. B. H. V. Topping, C. A. Mota Soares), Lisbon, Portugal, September 7-9, 2004Soares), Lisbon, Portugal, September 7-9, 2004, Civil-Comp Press, Stirling, pp. Paper 239, 18 p., Civil-Comp Press, Stirling, pp. Paper 239, 18 p.

Cugnoni, J., Gmür, Th., and Schorderet, A., Cugnoni, J., Gmür, Th., and Schorderet, A., A mixed numerical-experimental identification method for evaluating the constitutive A mixed numerical-experimental identification method for evaluating the constitutive parameters of composite lami nated shellsparameters of composite lami nated shells, Proceedings of the 2nd International Conference on Composites Testing and Model , Proceedings of the 2nd International Conference on Composites Testing and Model Identification CompTest 2004Identification CompTest 2004 (Eds. F. Pierron, M. Wisnom), Bristol, United Kingdom, September 21-23, 2004 (Eds. F. Pierron, M. Wisnom), Bristol, United Kingdom, September 21-23, 2004. Paper P58, pp. 85-86. Paper P58, pp. 85-86

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