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PROSPECTION GEOPHYSIQUE ET CERTITUDE D'INTERPRETATION DE SES DONNEES par M. MATSCrlINSKI (*) Summary- In Chapter I th~ outlines of the problem of the interpretation in geophysics are given, followed by an example of the linear interpretation: seismic mirror. The author differentiates between the algebric interpretation and the statis- tical one. Example s of application of the method of the least squares are mentioned too. Chapter II contains the ciassification of the problems of the interpretation in geophysics: the author points Out that there are four fundamental problems. The first one consists in choosing the hypothetical geologic structure and in describing it in mathematical forms having various parameters. The second problem is the de- termination of the numerical values of these parameters. Usually an engineer looks for the most probable numerical values; but these values are not the only possible ones. Therefore the third problem consists in determining the likelihood of all pos- sible values. This is to determine the likelihood of this or other geological structures entering in the outlines of the assumed hypothesis. The fourth and last problem is the determination of the likelihood of the hypothesis itselfl In Chapter IlI the author investigates the certitude of the geophysical calcula- tions, he indicates that it is necessary to accept some limitations for the variations of the parameters; the likelihood can correspond only to a group of these variations. He gives a detailed scheme for the numerical computation of the likelihood of the assumed geological structure. Chapter IV contains the application of the general theory to the determination of a fault from the gravimetric observations. This more complicated computation completes the simple examples from the seismic survey given in the preceding chapters. NOTE IMPORTA31TE: Pour avoir une id6e g6n6ra]e de ce qui est d6velopp6 dans le pr6sent essai, il suffit de life les w167 1 et 3 du Chapitre Iet w167 1, 2 et 3 du Chapitre III. (*) Prof. Dr. ~/~ATTHIAS ~r Centre National de la Recherche Scientl- s Paris.

Prospection géophysique et certitude d'interpretation de ses données

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PROSPECTION GEOPHYSIQUE ET CERTITUDE D'INTERPRETATION DE SES DONNEES

par M. MATSCrlINSKI (*)

S u m m a r y - In Chapter I th~ outlines of the problem of the interpretation in geophysics are given, followed by an example of the linear interpretation: seismic mirror. The author differentiates between the algebric interpretation and the statis- tical one. Example s of application of the method of the least squares are mentioned too.

Chapter I I contains the ciassification of the problems of the interpretation in geophysics: the author points Out that there are four fundamental problems. The first one consists in choosing the hypothetical geologic structure and in describing it in mathematical forms having various parameters. The second problem is the de- termination of the numerical values of these parameters. Usually an engineer looks for the most probable numerical values; but these values are not the only possible ones. Therefore the third problem consists in determining the likelihood of all pos- sible values. This is to determine the likelihood of this or other geological structures entering in the outlines of the assumed hypothesis. The fourth and last problem is the determination of the likelihood of the hypothesis itselfl

In Chapter I l I the author investigates the certitude of the geophysical calcula- tions, he indicates that it is necessary to accept some limitations for the variations of the parameters; the likelihood can correspond only to a group of these variations. He gives a detailed scheme for the numerical computation of the likelihood of the assumed geological structure.

Chapter IV contains the application of the general theory to the determination of a fault from the gravimetric observations. This more complicated computation completes the simple examples from the seismic survey given in the preceding chapters.

NOTE IMPORTA31TE: Pour avoir une id6e g6n6ra]e de ce qui est d6velopp6 dans le pr6sent essai, il suffit de life les w167 1 et 3 du Chapitre I e t w167 1, 2 et 3 du Chapitre I I I .

(*) Prof. Dr. ~/~ATTHIAS ~r Centre National de la Recherche Scientl- s Paris.

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CnAe~T~ I.

Introduction. Aper~u des probl~mes de l'interpr~tat~on. Exemple le plus simple: interprdtation par une ligne droite; miroir sismique.

1. Interpretation alg~bri~ue et interpr6tation statistique en g~ophysique - - Supposons qu 'une s6rie de donn6es num6riques nous est fournie pa r la prospection g6ophysique: des mesures du champ de gravi ta t ion ou magn~tique, des ondes sismiques, etc. On a l 'hab i tude de consid6rer la t~che de l ' in te rpr6 ta t ion g6ologique de cas donn6es comme une t~che purement alg~brique, c 'est-h-dire comme un probl~me d ' in terpolat ion. On imagine une s6rie de structures g6ologiques plus on moins vraisemblables, on les d@rit par des fonctions plus ou moins compliqu~es et on cherche enfin, ~ l ' a ide de l 'une ou de Fautre m6thode, h choisir parmi ces fonctions celle dont l 'existence hypoth6t ique co~nciderait le mieux possible avec les donn6es fournies par la prospection.

Mais, comme on l ' a dit , on n 'exige pas (et, d 'apr~s la nature des choses, on ne peut pas l 'exiger) que la coincidence des donn6es num6riques de la prospect ion avec la fonction repr~sentant la s tructure admise, soit compl~te. Pour des raisons tr~s nombrcuses et tr~s ~videntes, impr6cision des mesures, d6terminat ion tou jours un peu vague de la s tructure g6ologique, h6t6rog6n6it6 des roches, etc., dans le d6tail desquelles nous n 'entrons pas, les d6viations doivent exister et elles existent en fair toujours et pa r tou t entre les courbes th6oriques de la s tructure g~ologique et les donn6es num6riques d 'observat ion. On tente, naturel lement , d ' in te rpr6 te r les donn6es de la prospect ion de racoon que ces d~viations soient minimes; mais il est impossible de les supprimer.

Du fait de la pr6sence in6vitable de ces d6viations on peut en profiter pour juger de la r6ussite ou de la non-r6ussite de l ' in terpr6ta t ion faite : les d~,viations 6rant grandes, on juge l ' in terpr6ta t ion comme incomplete et imprecise, parfois m~me non satisfaisante ; au contraire, d ' au t an t moindres sont les d6viations, d ' a~ tan t on juge l ' in te rpr6 ta t ion plus pr6cise et plus satisfaisante.

Tout ceci est clair et ne n6cessite pas de longues explications. Mais sans diffi- cult6s math6mat iques et logiques, on peut aller beaucoup plus loin et approfondir cette m6thode d ' es t imat ion h premiere -cue, en d6veloppant les m6thodes stati- stiques les plus sfinples possible pour estimer le degr6 de r6ussite de l ' in terpr6ta t ion propos$e, ce qu 'on peut appeler le degr6 de cert i tude de l ' in te rpr6 ta t ion dont nous venons de parler. E t le bu t de cet essai est de d6velopper les m6thodes s ta t is t iques qui compl~teront chaque m6thode d ' in terpr6 ta t ion classique - - in terpr6ta t ion in terpola t ive et alg6brique (*) - - ~tant donn~ que ces derni~res sont d~jh suffi- samment d6velopp6es dans routes les branches de la g6ophysique.

(*) Qnand nous parlons des m6thodes ~ alg6briques ~, nous employons ce mot, parce que routes les m~thocles d' interpolation sont en princlpe alg6briques. I1 n'est rien ehang~ du fait ciue pour 6tablir les expr6ssions math6matiques, on a eonsid6r~ d'autres parties de math~matiques par exemple en appliquant les ~quations diff6ren-

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Nous ne commen~ous pas par un expos6 des m6thodes g~n~rales d 'est imation des r6sultats g6ophy-siques. Pour la clart6 il est pr6ferable d'expliquer les principes de l 'est imation h l 'aide d 'un exemple le plus simple d ' interpr6tat ion g~ophysique. Pour cela nous choisirons l 'exemple d 'un ~( miroir sismique ~, c'est-h-dire le cas de la d6termination d 'une couche inclin~e, suppos6e plane, en par tan t des donn~es enregistr6es par les sismographes.

Cet exemple repr~sente, du point de rue math~matique, le eas le plus simple: les structures hypoth~tiques donn6es par un syst~me de lignes droites (voir Fig. 1). I1 ne nous reste iei qu'h ehereher les valeurs num6riques des deux eonstantes d6ter- minan t une ligne. Nous esp6rons que toute la diversit6 des questions alg6briques et statistiques li6es en prospeetion g6ophysique, pourrait ~tre expliqu~e iei facile-

8urFoce SurP@ce

,Cur/'mce surt'~ce

Fig. 1

ment ainsi que diff~rentes possibilit~s d 'est imation et diff@ents stades du proc~d6, menan t au calcul du degr6 de certitude. Cependant nous ne nous bornerons pas

la consid6ration de ce seul exemple; darts le Chapitre. IV nous consid6rons un exemple beaucoup plus compliqu6, oh les donn6cs d 'observation seront interpr6t6es par une fonction tr~s compliqu~e mais non par une lignc droite, comme ce sera fait dans le paragraph6 auquel nous allons passer.

2. Exemple de rinterpr~tation par la ligne droite: miroir sismique. Applica- tion de la mgthode des moindres carr~s - Pour concr~tiser routes les considerations. g6n~rales concernant les diff~rents cas particuliers du pr~bl~me d'interpr6tation,. examinons d 'une fa~on aussi d6taill6e que possible un exemple particulier, suffi- samment simple, et eu m~me temps pr6sentant un int6r~t prat ique: d6terminat ion

tielles du magn6tisme et de la gravitation. ~VIais ce n'est qu'une cluestion de termino- logie. On peut, si l 'on veut, nommer ce que nous avons appel6 ici ~< alg6briques ~, (< alg6- ~ritiues diff6rentielles ~ ou c< alg6briciues int6grales ~. Cela ne change rien de l'essen- tiel, du fair que deux types de probl~mes existent: probl~me de l'interpolation et proM~me de i'estimation de l'interpolation faite.

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de la profondeur et de l'inclinaison de la couche r6fl6chissant les ondes sismiques ((~ miroir ~)). Soit une ligne A D D ' D ' . . . . . (Fig. 2) repr6sentant la surface du sol, on produit une explosion au point x0; les sismographes sont plac6s aux points x~, x 2, x 3 . . . . . . . x _ j , x _ 2 , x _ ~ ...... la ligne B C C ' C ' . . . . . donne la surface du miroir (voir aussi w 2 du Chapitre II). Si nous connaissons, d'apr~s les mesures effectu6es sur les bandes (fihns) des sismographes, les temps n6cessaires pour parcourir les di- stances (1) A B C D , A ' B ' C ' D ' , A " B " C " D " etc.

on peut passer h l 'interpr6tation. Le premier problbme consiste alors h exprimer math6matiquement l 'hypothbse

admise d 'un miroir plan, horizontal ou inclin6. Examinons la Fig. 2: Dans le plan vertical, d6fini par la ligne des points d 'emplacement des sismographes sur la sur- face du sol, nne telle structure g6ologique simple aura naturellement comme expres- sion math6matique une ligne droite caract6ris6e par deux param~tres non encore d6finis : y-angle d'inclinaison du miroir par rapport h l 'horizontale (voir Fig. 2) ; di-

/1' .4 O �9 O"

Fis. 2

stance de la surface du sol d 'un point quelconque on, pour fixer les id6es, le para- m~tre AE-longueur de la perpendiculaire abaiss4e du point d'explosion sur la surface du miroir. Bien entendu, ces param~tres peuvent 6tre choisis de plusieurs autres faqons. Ainsi, par exemple, on peut prendre comme parambtre la grandeur A'B' -profondeur de la couche de la ligne correspondant h x = 0 (voir Fig. 2), ou d'autres grandeurs g6om6triques quelconques. Mais il est bien 6vident que, si l 'on adopte l 'hypothbse de la couche plane, les param6tres peuvent ~tre d6termin6s d 'une fa~on simple lorsqu'an connait deux quelconques d 'entre eux.

Soient donc les grandeurs A et [3 les param~tres par lesquels nous allons carae- t6riser la structure g6otogique.

I1 est h peine n6cessaire de souligner que les temps:

(2) Yl, Y2, Y3 . . . . . .

mesur4s sur les films des sismographes, et qui correspondent h l'ensemble des distances (1), doivent 6tre tels que l 'hypoth~se de la ligne droite (couche plane) horizontale ou inclin6e ne soit pas absurde, c'est-h-dire que soient satisfaites diverges conditions 6videntes, telles que

(3) y, < y~ < y~ < .....

et d'autres analogues; nous ne nous y arr6tons pas non plus, la question 6tant universellement connue.

Passons au deuxibme probl~me de l ' interpr6tation math4matique, c'est-h-dire

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la d6terminat ion des valeurs num~riques des param~tres A et ~ caract~risant la s tructure g~ologique (dans le cadre de l 'hypoth~se du miroir plan) qui, comme on le dit souvent, correspondent le mieux aux donn~es exp~rimentales (1) ou, ce qui nous senlble plus correct, qui d6terminent la s t ructure g~ologique la plus probable . Pour d6finir cette s tructure la plus probable (ou, ce qui revient au m~me, pour d~termiuer les parambtres A et ~ les pills probables) , appl iquons la m6thode des moindres carr6s. Nous y avons recours, non pas parcc qu'elle est th6or iquement i r r6prochabie (du p o i n t de rue th6orique, on pourra i t employer la m~thode des moindres degr6s quatri~mes, sixi~mes, ou g6n6ralement des degr6s d 'ordre pair) , mais p o u r des raisons de pra t ique et d 'exp6rience, et pr ine ipalement pour les deux raisons suivantes : Premi~rement , pour la simplicit6 des calculs exig~s par l 'appl ica- t ion de la m6thode; en effet, seule la m~thode des moindres carr~s ne fait in tervenir que des 6quations lin~aires, tandis que routes les autres m~thodes exigent des calculs beaucoup plus compliqu6s. 15euxibmement, la raison la plus impor tan te est que la m6thode des moindres carr6s est justifi~e pa r son appl ica t ion safisfai- saute depuis prbs de 150 ans, dans les sciences les plus diverses, en commen~ant pa r la g~od6sie et jusqu 'h la biom6trie. Darts l '6norme majori t6 des cas, son ap- pl icat ion donne des r6sultats raisonnables et admissibles pour les exp~rimentateurs .

Pour appl iquer la m6thode des moindres carr~s, nous devons connaltre, outre les grandeurs (2), ~) les grandeurs

(4) xj, x~ . . . . . . etc.

distances entre les sismographes et le lieu d 'explosion, et ~) la grandeur

(5)

vitesse de propagat io n des ondes sismiques, dont nous ne connaissons pas les valeurs num6riques directement , mais qui peut ~tre d6termin6e par de nombreux proc~d~s bas6s t au t sur l 'exp~rience que sur des calculs indirects. Nous consid~rons ces m~thodes comme connues, et nous ne nous y arr~terons pas.

Admet tons doric que les grandeurs (1), (4) et (5) soient connues le probl~me se pose de la fagon suivante : Sur le graphique ~ distances des sismographes d 'un point f ix6 , - - ~ temps de parcours ~ on a l 'ensemble des points co:'ncidant plus ou moins avec une ligne droite. Trouver la pente la plus probable (en g6n~ral, t rouver la project ion de la pente : voir w 2 du Chapitre I I ) .

On suppose que le miroir dont les r6flexions sont exprim~es par les points dh graphique, est exactemeut plan et que toutes les d~viations sont provoqu6es pa r les causes sensiblement fortuites. Si, au contraire, les causes de d~viations ne sont pas fortuites, mais syst6matiques, le probl~me ne se pose pas: aucune pente proba- ble n 'existe , mais seule la pente ~oyenne . Cette derni~re peut fitre calcul6e comme la moyenne ar i thm~tique ou, h plus forte raison, comme la moyenne quad ra t i que des valeurs r~elles correspondant h chaque paire des valeurs de temps et de distances.

En supposant , comme nous l 'avons d6jh dit , que les d6viations sont fortuites, on applique la m6thode des moindres carr6s (voir Fig. 3). En suppr imant le calcul interm~diaire, tr~s connu (voir aussi l ' appendice I e t w 2 du Chapitre : I I ) , ' on tro- uve la formule g6n6rale

(6) b = 2 r162 Yk 1

oh sont: b -- tg ~ - - tangente de l 'angle de la dromochronique correspondant h la pente la plus probable ( tg~ = v tg ~ § v), y~. - - temps de parcours correspondant

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- - 4 0 - -

au s i smograpbe avec le num~ro k, x~ - - d i s tance de ce s i smographe d ' u n po in t fixe O, enfin ~t~ - - coefficients:

n X k - ~ xi 1 (7) ~k =

n Z x "~-+ (Z x~) ~ 1 1

P o u r les eas p lus d6tai l lds la formule (6) peu t ~tre ramen6e aux formes p lus faci tes h calculer .

~ ,)'- t emps

f ' ~ " I j ; - ~ ( , , i l i l

So~,+,,+T Ii t! ',',[I;":1

1 )

i i i i i ! i i

t i J i I I t I

Fig. 4

Fig. 3.

t j / �9 temp~

lgse

Fig. 5.

I) Sismographes dquidistants (voir Fig . 4).

Ic i on ob t i en t pou r les coefficients s;k l ' express ion plus s imple :

1 2 k - - 6 n - - 6 ( 8 ) ~ k = ,

A x . n (n 2 - 1 )

P o u r les cas de 2, 4, 6 et 12 s i smographes on a, pa r exemple , ]es express ions su ivan te s p o u r la pen te la 2plus p r o b a b l e :

1 1 (9) n = 2 , b = Ax ( Y 2 - - Y , ) = ~ - ( Y 2 - - Y ~ )

(10) n = 4 ,

(11)

n ~ 6 ~

1 b =

1 b = ~ [0.3000 (Y4 ~ Y~) -4- 0.1000 ( y ~ - - Y2)] =

1 - - [0.9000 (Y4-- Y~) + O.3O00 (y~- - Y2)] ;

L

, [0.1429 ( Y 6 - Yl) + 0.0857 (y~ - - Y2) + ~.0286 ( y a - Y3)] =

L = A x i

L = 3Ax i

1 [0.7143 (y~ - - Yl) q- 0.4286 (y~ Y2) + 0.1429 (Y4-- Y3) ]; L = 5Ax L

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. . . . I [ - - -

I (12) n = 12, [ L = l l A x

1 / .I b = [0.0385 ( y ~ e - y~) -k 0.0315 ( y ~ - y2) -- 0.0245 (Ylo-- Yz) -k

~ x + 0.0175 (Yg-- Y,) + 0.0105 ( y ~ - - y~) + 0.0035 ( y ~ - - y~)] =

1 - [0.4231 (y~, ~ y~) + 0.3462 (y~ - - y~) -k 0.2692 (Y~o - - Yz) A-

L -k 0.1923 ( y ~ y~) -k 0.1154 (Ys--- Y~) -t- 0.0385 (Y7 - - Y~)] ;

I I ) Deux groupes de six slsmographes (voi r F i g . 5).

P o u r les s i s m o g r a p h e s s i tu~s s y m 6 t r i q u e m e n t des d e u x cSt~s d ' u n p o i n t fix~, on t r o u v e , eu g~n~ral , la m ~ m e fo rmule (6) e t l ' e x p r e s s i o n p o u r les coeff ic ients :

Xk n/2 ; ( x k - - mesur~e p, e. du po in t de sym~trie) (13) z. k

2 E x / z 1

D a n s le cas tr~s r e p a n d u des 6 + 6 s i s m o g r a p h e s on a :

1 + kAx ( 1 ~ ) ~ 3 - ~ : = - - ~ k = =k

216/~ ,-k 30/Ax ,-k 55 (Ax) 2]

E n i n t r o d u i s a n t (vo i r Fig. 5) le r a p p o r t :

l (15) M --

Ax on a :

l

(16) b = Ax (12 M 2 -k 60 M q- 116.) [ (M § 5) (Y12-- Y~) -k ( M -k 4) ( y ~ - - ye) A-

§ + 3 ) ( y ~ o - - y a ) q - ( M § § § 1 ) ( y s - - y s ) ,'-k M(yT-- -Y6)] .

L a p r e m i e r e a p p r o x i m a t i o n - - M a une t r~s g r a n d e v a l e u r --- cs t

1 (17) b ~- (y~ -4- y~l q- Y~o A- y,~ + Ys -]- YT--- Yr Y~ - - Y~-- Y3 - - Y~ - - Y~)

12l

la deux i~me :

1 [ (y~-2 -k yl l -k y~o q- Y9 + v~ 4- y T - - Y6-- Y s - - Ya- - Y.~-- Y~-- Y~)

l 12

] (Yll ,-k 2ylo q- 3y,, ~ 4y~ -k 5y7 - - 5y6 - - 4y~ - - 3y 4 - - 2y3 - - Y2) ] etc. / M 12

Enf in , les exemples n u m ~ r i q u e s :

$1 $2 S~ ,S'~ $5 Ss Exp. S: Ss S. $10 '~11 812 ,, M = I , v v v v v v v v v v v v v Fig, 6 a

b -- [0.( 330 ( y , 2 - Yl) q- 0.C275 ( Y ~ I - Y2) -/- 0.0220 ( Y l o - Y~) -k (19) ' -- ~ § 0.0165 (y,~-- Y4) q- 0.0110 (Ys- - Ys) # 0.0055 (YT--Y6)] =

[0.231 ( y l ~ - y~) -k 0.192 (y~ - - y~) -? ( Y ~ o - Y3) 1

0.154 §

Yl -k 5Ax -k 0.115 (y,~-- Y4) § 0.0769 (Ys- - Ys) -k 0.0385 ( y ~ - - yr ;

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B 4 2 - -

i ~ 3 ,

1 b =

St S.. Sa S~ ,$5 $6 ]Exp. $7 Ss S~ Sta Stt S~. V V V V V V V V V V V V V Fig. 6 b

[0.0201 (Y12- Yz) + 0.0176 (y~ - - Y2) + 0.0151 (YJ0 - - Ya) + (20) Ax + 0.0126 ( Y 9 - Y4) + 0.0101 ( Y s - Ys) + 0.00754 (y7 - - Y6)] =

1 [0.221 (Y~2 - - Y~) + 0.194 (y~ - - Y2) + 0.166 (Yx0 - - Y3) +

21 + 5Ax + 0.139 ( Y 9 - Y4) + 0.111 ( Y s - Ys) + 0.0829 (Y7 - - Y6)] ;

S~ Sz Sa $4 $5 $6 Exp, $7 58 $9 Slo S11 812 M = I O , v v v v v v v v v v v v v Fig. 6 c

1 b = [0.00785 (Y~2 - - Y,) § 0.00733 (y,, - - Y2) + 0.00681 (YJ0 __ Y3) +

(21) ~ -? 0.00628 (y9 - - Y4) + 0.00576 ( y s - - Ys) + 0.00524 (YT-- Y6)] =

, 21 + 5Ax [0.196 (Y~2 - - Yl) -~ 0.183 (yxa - - Y2) + 0.170 ( Y , 0 - Ya) +

+ 0.]57 (y, - - y~) § 0.144 ( Y s - Ys) § 0.131 (y7 ~ Y6)] �9

i M = ~ , (22) 1

(1~) i b -- 21 § 5Ax [0.167 (Y12- Y11) -~ 0.167 ( Y i l - Y2) + 0.167 ( Y l 0 - Y3) § § 0.167 (Yt~-- Y,) + 0.167 ( Y s ~ Y~) § 0.167 ( Y 7 - - Ys)].

II est 6v ident que les Fig. 2 (coupe ver t ica le) et 3 (dromochronique) correspon- den t au m~me probl~me, mais ne sont pas ident iques . E n t r e les va leurs (1) et les va leurs (y~) ex is ten t 6 v i d e m m e n t les re la t ions :

(23) y l v = A B C D , y2v = A B C D ' , e t c .

ainsi quYn t r e tg ~ et t g , l ]a re la t ion d6jh ment ionn6e :

(23-a) v + v t g ~ = t g y

Enfin , conna issan t a et b, on pen t sans difficult6 calculer la p ro fondeur A E - (voir plus haut ) ou d ' au t re s valeurs co r respondan t h ce t te va leur .

Ainsi, on p e u t fo rmule r deux probl~mes d ' i n t e rp r6 t a t i on par lesquels on dol t commence r : 1) subs t i tuer h une s t ruc tu re g6ologique hypo th6 t ique une fonc t ion m a t h ~ m a t i q u e la d6cr ivan t et c o n t e n a n t cer ta ines cons tan tes h d6 te rminer ; dans not re cas ce t te fonct ion est la l igne droi te de 1~ d r o m o c h r o n i q u e ou de l a s t ruc tu re avec les cons tan tes a e t b, encore ind6termin6es ; 2) chercher pa rmi les l ignes droi tes celle qui correspond le m i e u x possible aux donn6es de la prospec t ion , - - ce qui rev ien t , darts no t re cas, h r6soudre les 6qua t ions :

I F = n a o § E x i b o i

(24) ~ �9 = E x i a o + E x i 2 b o , i i

(voir l ' append ice I h ce Chapitre) , Nous par lerons en d6tai l de ces d e u x problbmes dans les pa ragraphes snivants . Ic i no t re t ache est de d6mont re r que la recherche n ' es t pas achev6e et ne p e u t pas 6tre consid6r6e, du po in t de r u e t echn ique , c o m m e achev6e r an t que la ce r t i tude des r6sul ta ts ob tenus n ' e s t pas est im6e. I1 ne s 'agi t pas ici de la complexi t6 de la fonc t ion de l ' i n te rpo la t ion , fonc t ion in te rp r6 ta t ive , ni de la complexi t6 du problbme g6ophysique ou g6ologique. Ic i nous avons t ra i t6 un probl~me e x t r 6 m e m e n t s imple ; un au t re probl~me de la s ismique d6jh plu s

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- - 4 3 - -

,Y /

o J

o ~ B

3' Y

Fig. 7 Fig. 8 Fig. 8a

Lr

compliqu6, mais qui peut ~tre ramen6 ~ l ' in terpola t ion h l 'a ide d 'une ligne droite, est consicl6r6 dans l ' appendice I I de ce Chapitre. Les probl~mes li6s 5 l ' in terpola- t ion h l 'a ide des lignes non droites seront mentionn6s dans le Chapitre IV.

w 3. Exemple de l'interpr6tation par la ligne droite: miroir sismique. Les ddvia- tions des valeurs observdes de la ligne droite sur la dromochronlque. Consid6rons main tenan t plus eu d6tail la s6rie Yl,Y2, .....,Yn (temps d e parcours des ondes sis- miques entre le point d 'explosion et les sismographes) que nous avons d6crite darts le paragraphe pr6c6dent par une ligne droite et qui n 'es t repr6sent6e par une ligne droite que sommairement . On peut approx imat ivement choisir cette ligne droite en pa r t an t seulement des points extremes (volt Fig. 7); on proc~de de cet te mani~re souvent pour acc61erer le t ravai l . On peut , comme nous l 'avons fait dans le para- graphe pr6c6dent, choisir cette ligne de mani6re qu'elle repr6sente la s6rie Yl, Yl, Y~," ..... y~ te mieux possible. On obt ient alors quelque chose d 'analogue, h la Fig. 8. Mais toujours la ligne droite inclin6e ne repr6sentera y~ que sommaire- ment. Cette repr6sentat ion est la meilleure dans le cas oh les formules du para- graphe sont appliqu6es; elle sera beaucoup moins satisfaisante dans le cas oh on applique un autre proc4d6 diff4rant de celui susmentionn4. Or, les d6viations auront toujours lieu. Elles peuvent ~tre (( syst4matiques )) (Fig. 8-a) ou (~ non-sys- t~matiques ~ (Fig. 7, 8, 9). Commenq.ons par celles du premier type.

I1 est inuti le de nous 4tendre sur les causes provoquant ces d6viations ~( non- syst6matiques )). Toutefois dans t o u s l e s cas on peut 6tre stir qu'elles ne correspon- dent pas aux causes provenant des irr6gularit6s g6om6triques de la surface. Une repr6sentat ion de la dromochronique par ta ~ourbe de la Fig. 9 est to ta lement impossible parce q u e e n l ' adop tan t nous arrivons 5 la s t ruc ture g4ologique de la Fig. 9-a ce qui est possible du point de rue g4ologique, mais compl~tement impos- sible du point de r u e g6ophysique. La surface du ty~6e:9~a ne peut pas t ransmet t re des ondes sismiques superficielles dont la pr4sence est in6vitable pour cr6er le ph6 - nom6ne du re ta rdement des ondes (voir Fig. 2) sans r6flexion directe. Alors, en choisissant la ligne caract4rist ique, on doit n6gliger l 'existence in6vitable des d6viations et tenter seulement de t rouver une repr6sentat ion correspondante aux d6viations minima. Cepeudant, ce n 'es t que pour la descript ion globale de la s6rie donn6e xl, x2, ....., xn qu 'on peu t n6gliger l 'existenee des d6viations. Du point de r u e de la descript ion globale ces d6viations soni purement for tui tes; reals, 4 tant consid6r6es isol6ment, elles ont na ture l lement leurs causes. Ces causes agissent de fa~on qu'elles nous emp~chent d 'avoi r une id6e pr6cise sur la s tructure g6o- logique; l 'existence de ces causes fair entrer certaine incert i tude dans nos formules. C'est pourquoi on peut util iser ces d6viations pour est imer le degr6 de cert i tude - - ou, ce qui revient au m6me, d ' incer t i tude, - - iuh6rente aux probl~mes prat iques

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--- 44 m

Fig. 9

Fig. 9a

/

A ~

Fig. 11

que nous consid~rons. De ce fait, il est clair sans explication que les donn~es repr6sent~es sur lxF ig . I0 et celles reprgsent~es sur la Fig. 11, nous donnent des conceptions tr~s diff6rentes sur l 'exacti tude des r6sultats obtenus. Dans le premier cas (Fig. 10) on pent tirer des points exp6rimentaux une id6e trbs exacte sur la position de la dromochronique; au contraire, dans le deuxi~me cas (Fig. 11) l'id6e que nous pouvons av0ir sur ce sujet est trSs incertaine. En effet, quoique la ligne A B sur la Fig. 11 soit la plus proche, en moyenne, des points exp6rimen- taux, les lignes A ' B ' e t A " B " ne sont pas exclues. LYv~nement Ice'plus pr0bable ne se r6alise pas avec une certitude absolue: prenons un d6 dont quatre cgt~s sont bleus et deux sont verts; si nous le jetons, il est beaucoup plus probable que nous obtiendrons le c6t6 bleu, l 'appari t ion d 'un c6t6 vert nYtan t pas exclue. De m~me, les d6vlations 6rant f0rtuites comme le sont les r~sultats du lancement du d6, la relation entre ~ p robable , et r possible ~ est ici la m~me.

Supposons que nous avons appliqu~ les for- nmles du paragraphe pr6c~dent. Ainsi, la s t ruc t : re g~ologique la plus probable est d~termin~e. Mais, comme nous l 'avons d6jh dit, m~me si on admet le caract~re indiscutable de la m~thode des moindres carr6s, les formules ne permettent pas de conclure la certitude de la structure ainsi obtenue, ni m~me d'affirmer qu'elle poss~de un degr6 de probabilit6 suffisant. On ne peut mSme pas p%tendre qu ' i l n'existe pas d'autres structures g6ologiques suffi- samment probables, correspondant aux donn~es ex- p~rimentales relatives aux coordonn6es des sismo- graphes x~, x~, ..... , xn et aux duties de retardement des ondes r6fl~chies y~,y~, .....,yn. D'ailleurs, cette ind6termination et ce manque de certitude sont fon- ctions, non seulement de l 'impr6cision des mesures

- - qui, bien entendu, joue ~galement un r61e - - mais encore du complexe des donn6es dans son ensemble, question que nous allons aborder maintenant .

Ainsi, nous nous trouvons en face de ce qu'on peut appeler le troisi~me pro- blame de l ' in terp%tat ion mathgmatique, c'est h dire l 'est imation du degr6 de certitude. En par lant de la certitude, nous sous entendrons la certitude qu 'on peut avoir sur les valeurs num~riques trouv~es des param~tres caractgrlsant la structure. A partir d'ici, nous abandonnons les m6thodes classiques et passons h l 'application de la th6orie des probabilit6s proprement dite.

Commen~ons par un exemple, choisi tellement simple, q u e e n premiere appro- ximation le calcul alg~brique puisse ~tre 61imin6. Consid6rons la Fig. 12 oh une

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s6rie de 15 valeurs Yi est repr6sent6e g r aph iquemen t . A v e c i n t e n t i o n eet te s6rie est cons t ru i te de tel le manibre que les d6via t ions soient tr~s exag6r6es e t puissent 6tre c l a i r ement dist ingu6es sur le g raphique . Na tu re l ! emen t , le cas des d6via t ions aussi consid6rables n ' a pas d ' in t6r~t p r a t i q u e ; en p r a t i q u e il sera i t sans dou te rejet6, h cause des mesures insuf f i samment exactes . Nous ne le consid6rons que c o m m e un exemple qua l i t a t i f et expl icat i f , off les angles d ' inc l ina i son y sont choisis de sorte qu ' i l s diff6rent sens ib lement les uns des autres et sont fac i l ement visibles (voir Fig. 2). Ensu i te , dans le Chapi t re I I I , nous ci tons aussi des exemples num6- r iques ou les probabi l i t6s seront calcul6es avec pr6cision, ici nous nous bornerons

les es t imer grossi~rement. Quinze valeurs de y,~ sont repr6sent6es sur la Fig. 12. El les a p p a r t i e n n e n t aux

5 classes: 6 va leurs se t r o u v e n t ent re les droi tes co r respondan t aux angles 45 ~ et 48 ~ 4 va leurs se t r o u v e n t sur le secteur en t re les droi tes co r respondan t aux 45 ~ et 30 ~ 3 va leurs sont entre les dro i tes : 480 et 60 ~ enfin on vo l t 2 va leurs en dehors des l imi tes 30o-60 o. Les donn6es a p p a r t e n a n t aux differentes classes sont marqu6es pa r les signes respeet ifs sp6ciaux: pa r v , x , ~ , ~ -~ et IZI. On vo i t le t ab l eau s t a t i s t ique des donn6es par classes au-dessous de la Fig. 12.

Supposons de plus que les mesures on t 6t6 effectu6es le plus consciencieuse- m e n t et que, pour chaque donn6e, le degr6 de coincidence avec la r6alit6 est le m6me. Cet te hypothbse s imple nous p e r m e t d ' e s t imer gross i~rement la probabi l i t6 de r6al isat ion de chaque sec teur : 6rant donn6 que 6 po in ts (sur 15) a p p a r t i e n n e n t au seczeur v , on es t ime la probabi l i t6 de ce secteur 6gale h 6/15, c 'es t -h-dire , 40 % . Dans la m6me vole on es t ime les probabi l i t6s des autres secteurs comlne su i t : secteur x - 26,66. %, secteur r %, sec teur r--~ - - 6 , 6 6 . % , enfin sec teur I - i - - 6,66. %. A son tour , c h a q u e secteur r6uni t les va leu r s de l ' angle y ( inclinaison des d romochron iques passan t pa r le po in t 0) qui lui sont p ropres ; on les vo i t sur la Fig. 12 et elles sont c i t ies plus haut .

C'est pourquo i on p e u t dresser le t ab l eau s u i v a n t :

Limites de l 'angle

y > 60 ~ 6f. o > y > 48 ~ 48 ~ > Y > 42 ~ 42 ~ > Y > 30 ~ 30 ~ > Y

Valeurs moyenn es

m

y = 54 ~ ~ 60 y ~ 45 ~ • 3 ~ y =~ 36 ~ i 6o

Probabilit6s de ces valeurs

6 2/3 % 26 2/3 % 40 % 20 %

6 2/3 o/ / O

E n outre , en app l i quan t le th6or~me d ' add i t i on des probabi l i t6s , on peu t ob ten i r encore les r~sultats su ivan t s (qui d6coulent d u reste, 6vide~r_ment, de la Fig. 12) :

60 ~ > y > 4 2 ~ y = 51o • 9 ~ ] 66 2/3 % 60~ > Y > 30~ Y = 45~ • 15~ t 86 2/3 %

"48 ~ > y > 3 0 ~ y = 39 ~ ~: 9 ~ 60 %

Bien, que ces r6sul ta ts soient grossiers et bas~s sur la condi t ion que les dromo- chroniques c o m m e n e e n t au po in t O, ils sont tr~s ins t ruc t i f s : on v o l t p remi~remen t que la ligne cor respondant h l ' angle 45 o co"nclde le m i e u x possible avec les donn~es de la prospect ion . Ce r~sul ta t d~coule, it est vra i , aussi de l ' app l i ca t ion de la m~- rhode des moindres carr~s et on p e u t m~nle Fob ten i r ?a premibre vue et sans calcul.

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Mais maintenant nous en savons beaucoup plus: nous pouvons estimer la certi- tude de telle ou telle autre affirmation. N-ous voyons que si l'on affirme la r6ali- sation de l'angle "l sur la dromochronique avec la pr6cision • 3 o, la probabilit~ d'une telle affirmation ne serait pas plus grande que 40 ~ C'est-h-dire, si nous passons de la dromochronique h la situation de la couche gtudi6e dans la nature et si nous prenons, pour fixer les idles , que h l'angle T = 45~ sur la dromochronique correspond la pente ~ = 19 ~ de la couche 6tndi6e (ce qui revient au choix special

/ / |

/ V j / 0 , / / i

/, 0 7/" V i~ X / i j" ~ v / "

i.., / z

/ ,.J"

1 / / /~" X

I I Q / I i i # ~

/ / / / / 0 8 ~ 3 I 0 60 m - " I

>.- 15

Fig. 12

des unit~s de temps et de longueur), la valeur de ~ qui repr6sente le mieux les donn6es de la Fig. 12, est ~gale h 1 9 ~ l'affirmation que la pente de la couche r~elle est 6gale h 19 o • 4 ~ n'a qu'une probabilit6 de 40 ~o, ce qui est repr6sent6 sur la Fig. 13. Pour obtenir la probabilit6 de l'affirmation ~gale h 86 %-87 ~o, oil doit attribuer aux variations de la position possible de la pente 6tudi6e une am- pleur beaucoup plus grande. Comme le montre ce simple calcul, on doit affirmer la possibilit6 de routes les positions de la pente h tous les angles entre 0 o et 45 ~ autour

proPondeur

/

,,,'"% p -~ 87 ~

�9 f~/d j/'f jl" ~ ~ . f o

Fig. 13

de la moyenne 19 o. Ce r6sultat est aussi apport6 sur la Fig. 13 oh par la lettre P nous avons indiqu~ la probabilit~ correspondante.

De plus, on peut m8me affirmer (voir tableau ei-dessus) que la pente de la dromochronique n'est pas ~gale h 45 o, rnais atteint 51 ~ ~ 9 o. [Nous omettrons

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de recalculer ce r~sultat pour l 'angle ~ de la couche, ce qui ne cr~erait en principe aucune difficult6].

Cette affirmation a une probabili t~ ~gale h 66 0/o-67 %, c'est-h-dire, plus gran- de que celle de l 'af t l rmation qne cet angle est ~gal h 4 5 o i 3 o.

De tout cela on voit facilement quelle importance a l e calcul de la probabil i t~ (de la cert i tude) de telle ou de telle autre affirmation sur les vaieurs caract6risant la s tructure g~ologique, qui sera la pente, clans notre cas. La courbe d'interprfi- ta t ion s ' approchant le mieux possible des donn6es de prospection, est toujours la plus probable dans le sens oh sa probabil i t6 est plus grande que la probabil i t~ des-autres eourbes correspondant h l 'hypoth~se admise, - - clans notre ca sh d 'au t res valeurs de la, pente dans le cadre de l 'admission d 'une couchc plane inclin6e. Mais cette courbe peut ~tre moins probable que routes les autres courbes p6ssibles dans le cadre dc notre hypoth~se. Dans ce dernier cas le r6sultat tir6 de l ' appl ica t ion de la m~thode des moindres carr6s, reste nature l lement vrai en qualit~ de moyen; mais comme affirmation, il a u n e Certitude insuffisante. Parf~0is on peut am61iorer ce r~sultat en adop tan t les l imites plus larges des variat ions de la valeur caract6- ristique. Cependant cet 61argissement des limites fai t que l 'aff i rmation construite de telle mani~re, perd tout int6r~t dans la prat ique.

Nature l lement tous les r~sultats num6riques cit6s ici, sont plus qu 'approxi- matifs ; le d6veloppement de la th6orie exacte qui r~sout ce troisi~me probl~me de l ' in terpr~tat ion, est donn6 dans le Chapitre I I I . Les considerations de ce para- graphe ne sont qu 'une in t roduct ion h ce problbme.

Mais la cert i tude des valeurs num~riques caract~risant la s t ructure, 6rant ~valu~e, la cert i tude de l 'hypoth~se m~mc, - - de la s tructure m~me, n 'es t ni r~solue, ni m~me touch~e. En effet, toutes les considerations donn~es ci-dessus au sujet de la Fig. 12 et dans le Chapitre I I I au sujet du troisi~me probl~me en g~n6ral, sont bas6s sur l 'admission que l 'hypoth~se de la s tructure est la seule possible. Par exemple, en consid6rant la Fig. 12 nous av6ns calcul~ les probabil i t~s des diff~rents secteurs en supposant qu'ils n ' appar t i ennen t qu ' aux lignes droites. Mais cette admission pourra i t ~tre vraie et pourra i t ne pas l '~tre; on dolt mainte- nan t ~stimer la cert i tude de cette hypoth~se de la couche plane inclin~e. Pour cela consid~rons la Fig. 14 off, comme sur la Fig. 12, quinze valeurs de y~ sont repr~sent~es par les signes: o , • et ~-I �9 Les d~viations sont (de m~me que dans la Fig. 12) exag6r6es dans leur trac~ de sorte que les points soient aussi 61oign~s que possible les uns des autres, pour facili ter les explications. Sur la Fig. 14 nous voyons 9 points marqu i s par • qui correspondent plus ou moins h une dromo- chronique droite, c 'est-h-dire, h la s tructure semblable h celle de la Fig. 13. Les 7 points (marquis pa r o) dont 3 coincident avec les precedents (marquis par + cercl~), correspondent plus ou moins h une couche non plane; la s t ructure gfio- logique correspondante est sch~matis~e sur la Fig. 15. Enfin, 2 points (marquis par E l ) se t rouvent en dehors des deux domaines indiqu~s. On voit au-dessous de la Fig. 14 le tab leau s ta t is t ique des donn~es pa r domaines.

De m~me, comme nous l 'avons fai t en consid6rant la Fig. 12, on peut a t t r ibuer h chaqne donnfie exp~rimentale (chaque p o i n t de ,la Fig. 14) jus te la m~me pro- babilit~, en supposant que tous les sismographes donnent jus te le m~me degr~ de precision et que t o u s l e s observateurs font de leur mieux. Et , comme il a ~t~ fair plus haut , on peut calculer de m~me les probabil i t~s correspondant aux~ domaines; clans cette vole on t rouve la probabil i t6 de l 'hypoth~se que la couche prospect6e

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est plane, 6gale h 9/15 = 60 )o ou m~me 7.5/15 = 50 O/~o, selon la faqon dont seront compt6s les trois points ~ cercl6s.

r3 ~

0 0 D

~ a . . 2

tS /s~c/j=Z+ & 4*6

Fig. 14

Nous esperons que les Fig. 14 et 15 sont snffisamment claires et nous n 'entrons pas dans le d6tail, d ' au t an t plus que nous avons d6jh expliqu6 largement les Fig. 12 e t 13 qui sont en principe tout-h-fai t analogues aux Fig. 14 et 15. La seule diff6rence im- por tan te entre la Fig. 12 et la Fig. 14 est que sur la premibre les d6viations sont non-syst6matiques , tandis que sur la Fig. 14 elles sont en pa t t i e sy- st6matiques (les points marqu6s par O ). Revenant h la Fig. 14 nous vo-

yons quelle impor tance a l 'es t ima- t ion de la cert i tude de l 'hypothgse admise et pourquoi on ne peut p a s s e borner h l ' es t imat ion de la cert i tude des valeurs des parambtres ( - - dans notre cas: pour- quo i on ne peut se borner h est imer la seule inclinaison). De fait, si, en consid6rant la Fig. 14, on se borne h est imer la cert i tude de l ' iuclinaison obtenue, on trouve, e n adoptan t une marge suffisamment large des va- r iat ions de l ' inclinaison, la eert i tude jusqn 'h 80 % on m~me cent pour cent. Cela peut faire penser que les r6sultats sont bons et que la d6- te rminat ion a u n e eert i tude trgs grand e. Cepeu- dan t la s i tuat ion r~elle est dans ee eas beaueoup moins favorable qu' i l ne semble. E t a n t donn6 que la probabil i t6 de l 'hypothbse d 'une eouehe plane n ' es t que de 50 %, on voit que la probabilit6~ r6elle d 'une eouehe inelin4e (avee l ' inelinaison eorrespondant h la probabil i t6 6gale par exemple h 80~ ) n ' a t t e in t que 5 0 % • 8 0 % = 4 0 %, ee qu 'on peut a t tendre h premiere rue .

S

Fig. 15

c 'est-h-dire beaucoup moins de

Au sujet de la Fig. 14, on peut faire encore beaucoup de remarques analogues h celles qui sont donn~es au sujet de la Fig. 12. Nous les omettrons, croyant que le sens de ce problbme de l ' in terpr6ta t ion g6ophysique est d6jh suffisamment expliqu6, ainsi que l ' impor tance de ce problbme. Nous l ' indiquerons comme ~< qua- tri~me p rob l~me , d ' interpr~tat ion. Les exemples simples cit6s ici, nYtan t que l ' in t roduct ion , nous passons dans le Chapitre s u i v a n t (Chapitre I I ) h l 'expos6 g6n6ral de ces quatre probl~mes fondamentaux de l ' in terpr6ta t ion.

APPENDICE I AU CHAPITRE I

Opdrations de la mdthode des moindres carr6s appliqude au calcul de l'inclinalson d'une couche (prospection sismiTte ).

Soient: J(xd une fonction donn6e, Yl, Y2, Y3 ....... y• une s6rie de valeurs ob- serv6es. Les diff6rences: j ( x d - - y i sont consid~r6es ordinairement comme des d6viations sans pr6ciser si les donn6es exp6rimentales sont d6vi~es de la fonction

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ou si cette derni~re est d6vi6e des donn6es Yi. Pour chercher la meilleure repr6- sentat ion J(x~) de y~ ont dolt teuter de diminuer cette d6viation. Mais 6videmment en d iminuant les unes, nous faisons augmenter les autres. Cette circonstance cr6e nne certaine, 6quivoque dont l '6cartement introdui t quelque chose d 'arbi traire parce qu 'on peut proposer une infinit6 de m6thodes pour estimer l ' augmenta t ion des unes en corr61ation avec la diminuat ion des autres. Pour les raisons ment ion- Ii6es darts le Chapitre I, on choisit ordinairement la m6thode des moindres carr6s.

L ' interpr6tat ion d 'une s6rie d e valeurs exp6rimentales, par exemple d 'une s6rie (2) par une fonction choisie d 'une famille donn6e de fonctions, consiste, comme on le sait, h chercher une telle fonction parmi les fonctions donn6es pour laquelle la s o m m e des carr ie s des d6viations soit minimum.

Dans le cas g6n6ral cela revient h exiger que l 'expression suivante soit mi- n in inm :

i

Dans notre cas nous avons d6jh fait l'hypoth&se de genre g6ologique que la couche repr6sent6e par la fonction J(xi) est plane et inclin6e. Math6mat iquement cela s'exprime par:

(26) f ( x i ) = a + bxi,

off a et b sont des constantes ind6termin6es. Dans la famille des fonctions (26) nous devons choisir celle dont les d6viations sont minima dans le sens de la m6th0de des moindres carr6s. Choisir une fonction, c'est d6terminer les valeurs num6riques des constantes a et b la caract6risant. Appliquant la m6thode des moin- dres carr6s (25) h (26), nous trouvons:

(27) Y~ [a + bxi - - yi] 2 ---+ rain i

- - expression qui doit 8tre minimum. En diff6renciant (27) par rapport aux a et b, comme on proc~de toujours dans la recherche du mininmm, nous arrivons h

i F = na o + E xib o , of 1 F ~- E Yi i

(24) i (I)= Exia0 + E x i 2 b o , o h r I i i

- - formules, cit6es d6jh dans le Chapitre I. a 0 et b 0 sont les valeurs num6riques de a et b correspondant h la fonction cherch6e, fonction qui d6crit la position la plus probable de la couche.

Les 6quations (24) sont deux 6quations h deux inconnues et il ne reste qu'h r6soudre ces 6quations lin6aires. Nous l 'avons fait dans le w 2 du Chapitre I. Toutes ]es formules (24) - (27) sont 616mentaires et ne sont donn6es avec t an t de d6tail que pour pouvoir les citer plus commod6ment le cas 6ch6ant.

APPENDICE I I AU CHAPITRE I

D r o m o c h r o u i q u e c o r r e s p o n d a n t it la lol l i n6a i re de la d i s t r i b u t i o n des v i tesses .

Les r6sultats qu 'on obtient en appl iquant la m6thode des moindres carr6s ne sont simples que dans les cas oh la fonctlon J(x~) est lin6aire par rapport aux param~tres la caract6risant. C'est le cas oh nous employons la formule (26) <voir l 'Appendice I). Les 6quations (24) pour dfterminer les param&res a e t b

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sont lin6aires et faciles ~ r~soudre. Dans le cas g~n~ral o5 les parambtres caract~- r i sant la famille des fonctions entrent dans l 'expression de j ( x i ) de fa~on non- lin6aire, le probl~me de d6terminat ion des parambtres peut ~tre p ra t iquement insoluble. Mais se souvenant de l ' a rb i t ra i re inh6rent h l ' in t roduct ion de la m~thode des moindres carr6s (voir plus hau l w 2), on peut quelquefois introduire dans l 'expres- sion du minimum (25) ou (26) non pas la fonction J(x~) e t l a s~rie y~ m~mes, mais quelques fonctions de ceux-ci. On peut s 'opposer ~ une tetle op@ation du point de rue abst ra i t , cependant ta pra t ique n ' a quelquefois aucune autre issue. Citons l 'exemple d 'un tel mode d 'appl ica t lon qui sera en m~me temps le deuxi~me exem- pie, exemple plus cornpliqu~, de l ' appl ica t ion des consid6rations sur le deuxi~me probl~me aux cas concrets de la prospection.

Le probl~me est te l : Sur le graphique (( distances des sismographes d 'un poin t fix6)) - - ((temps de parcours)~ on a l 'ensemble des points correspondant h une ligne non-droite. On fait l 'hypoth~se que la d i s t r ibu t ion des vitesses sous le sol est lin6aire :

V = V0(~ + ~ y ) ,

o5 sont: V - - vitesse ~ la profondeur y, V 0 - - vitesse correspondant h y = 0, - - constante caract~risant l ' augmenta t ion des vitesses avec l ' augmcnta t ion de

la profondeur. Trouvez les valeurs de V 0 et ~ les plus probables. La profondeur y est dans ce qui suit la profondeur relat ive (la profondeur correspondant h x = 1 prise pour z6ro).

On suppose, comme toujours, que la d is t r ibut ion V = V 0 (1 + ~y) se r6alise ne t tement et que toutes les d~viations sur l a dromochronique sont dries aux causes sensiblement fortnites. Si, au contraire, les causes de d6viation sont syst6mat iques (cr6es par Fact ion syst~matique de quelque facteur naturel ou par les fautes syst6- mat iques des appareils) le probl~me des valeurs plus probables ne se pose pas; - - seules les valeurs moyennes existent.

Les valeurs fortuites des d6viations suppos~es, on peut appliquer la m~thode des moindres carr6s. Mais cette appl icat ion n 'es t pas ici te l lement simple que dans le cas de la dromochronique, - - l i g n e droite. En fail, la dromochronique th6orique pour notre cas peut ~tre exprim6e, comme on salt , sous la forme:

(28) t = - - - ~ 0 l O g \ z X A- A-

ou, ce qui revient au m&ne, sous la forme:

e 'est-~-dire, la dromoebroniclue est une chai~nette avec deux paramgtres ~ / 2 et

~ v0/2. Soit : t l , t 2, t 8, ..... va leurs d u t e m p s tir~es de la dromoehronique, valeurs eorre-

spondant aux d i s tances : x j , x 2 , x3, ..... , enfin t ' l , t ' 2 , t'3, ..... va leurs d u t e m p s eorre- spondant , de nouveau, aux xl, x~, x3, ..... eependant ees valeurs ne sont pas mesu- r~es, mais ealcul~es ~ l 'a ide de (28). On voit faeilement qne formant d 'apr~s les. r~gles de la th~orie de la probabil i t~ la somme:

(30) E ( t i - t'i) ~, i

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qui doit ~tre min ima , nous ob t iendrons , comme toujours , deux 6quat ions pour d~terminer les param~tres V 0 et ~, mais des 6quat ions n o n lin6aires, de formes t e l l ement compliqu6es qu 'el les sont compl~ tement inappl icables . C'est pourquoi on doit t rouver une m6thode artificielle.

Le plus simple, est de consid6rer au l ieu dc la courbe (28) sa d6riv~e:

/ dt 1 1

4 (31) ~ ou

- - _ _ X 2 " ~ - v 0 1 +

E n i n t r o d u i s a n t les valeurs t ransform~es des var iables x i e t t~, ~ savoi r :

~,i ~ x~i

(32) ~= T, c'est-h-dire, en cons id6rant

et

(33)

X21 ~ X22 ~ X23 ~ . . . . .

2

~ t \ ~ t ] ' \ dt J . . . . . . "1 ' 3

au lieu de :

(34) t x1 ' x2 ' xs . . . . . . ( t l ~ t 2 ~ t3 ~ . . . . .

on ((lin6arise)) l ' 6qua t ion (31) et on t rouve :

(35) ~( = A + B'~,i �9

La condi t ion pr incipale peu t ~tre 6crite m a i n t e n a n t sous la forme:

~i ) ---+ rain. (36) E ( 4 i - - ~ ' ~

et on ob t ien t , en a p p l i q u a n t les m6thodes usuelles, les coefficients ~i,7~ dans les expressions g6n6rales :

(37) I B = Eyi~.~. i

(38)

Les valeurs h d6 te rminer : V 0 et ~ sont li6es aux A et B pa r :

i ~ = 2 -)7

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Pour les cas concrets les formules (31)-(38) peuvent ~tre ramen6es h des for- mes plus faciles h calculer. Comme un tel exemple consid6rons avec tous l e s d~tails le cas de six sismographes ~quidistants. Soit Ax cette distance. Calculons donc V 0 et ~ pour ce cas.

La par t ie la plus difficile de cette op6ration, est la d6terminat ion des valeurs (dx/dt)~ On peut p roc~der ou en les mesurant di rectement sur le graphique, ou eu les calculant.

I) Les valeurs (dx/dt)i sont mesurdes directement sur le graphique. En appli- quant cette m6thode h pa r t i r des mesures directes on calcule six valeurs ~ et six valeurs (dx/dt)~. Aprgs cette operat ion pr61iminaire, on proc~de comme sui t :

(39) A = - - 0.187f6 -b 0.000f5 § 0.153fa -~ 0.271f3 -t- 0.356f2 -f- 0.407f~ ;

(40) B = 0.0233f6 A- 0.0110f5 § 0.00093f~-- 0.00689f3-- 0.0125f2-- 0.0158fl ;

(41) Y0 = Ax ~/--- 0.187f6 A- 0.153f4 § 0.271f3 A- 0.356f2 -I- 0.407Jl ;

2 ]/0.0233f~ -f- 0.0110f5 + 0.00093f4-- 0.00689f.~-- 0.0125f2-- 0.0158fl (42) ~3 = - ~ x

- - 0.187f' + 0.153fa -t- 0.271f3 + 0.356f2 + 0.407fl

Dans toutes ces formules: l ( d x ~ 2

(43) J~-- (Ax) ~ \ dt /r

I I ) Les valeurs (dx/dt)i sont calcul~es it l' aide de la formule (dx/dt)i = x/(ti - - ti-1). Dans ce cas l 'ensemble de six valeurs est r~duite seulement h cinq. Ici les J} sont :

( 1 )~. (44) f l = " t i - - ti-1

Les formules h appl iquer sont:

(45) A : - - 0.212f 5 + 0.0532f4 A- 0.259fa + 0.406f2 A- 0.494fl ;

( 4 6 ) B = 0 . 0 3 7 4 f s + O.O134f~--O.OO535f3--O.O187f2--O.O~68fl ;

(47) Y0 = Ax ~ 0.212f~ -t- 0.0532Ja A- 0.259f3 A- 0.406f2 + 0.494f~ ;

!

2 V 0"0374f5 -4- 0.0134]~-- 0.00535f3-- 0.0187f2-- 0.0268fj (48) f3 = ~ - - 0.212f5 -t- 0.0532f4 ~- 0.259f3 -t- 0.406f2 A- 0.494fl

I I I ) Les valeurs (dx/dt)~ sont calculdes ~t raide de la formule p lus exacte:

provenant de:

(dx)= / )

dt 1 ! ti+1 - - tl t l - - ti--1 \ ~ _ _ ~ ~- ") �9

dx 2 A A

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Ici les J} sont :

- - - 53 - -

Les formules h appliquer sont:

(50) A = - - 1.23fa-- 0.012f3 -4- 0.86f2 + 1.38fl ;

(51) B = 0.0659f4 A- 0.0116fa-- 0.0271f~-- 0.0504f~ ;

(52) V0 = Ax ~ 1.23f4-- 0.012fa ~- o.a6f2 q- 1.3aJ] ;

2 1/0.0659f4 A- 0.0116f3-- 0.0271f2-- 0.0504]'1

(53) '~ = ~ [ - - 1.23f 4 - 0.012f3 -4- o.s6f2 A- 1.38f~

CHAPITRE II .

Probl~mes d'interpr6tation g6ologique consid&~ en g6n&aL

w 1. Classification des probl~mes d'interpr6tation g6ophysique - - Nous avons vU que lc probl6me de l ' in te rpr6 ta t ien en g4ophysique et pour la prospect ion g6ophysique et g6ologique est un probl~me extr~mement complexe. Comme nous avons d6jh dit, pour ne pas introduire dans la pra t ique des m6thodes compliqu~es et de tr~s longs calculs, on se borne g6n6ralement h ne consid4rer clans ce pro- blame complexe g6n6ral que la par t ie p ra t iquement n4cessaire, mais aussi la plus simple: la d6terminat ion, d 'apr~s les donn6es de la prospection, de la s tructure g6ologique plus ou moins correspondante h ces donn6es. Et , comme nous l 'avons soulign6, il se pose nature l lement la question de la cert i tude de tels r6sultats. G6n6- ra lement , on s'efforce d 'obteni r des donn6es sur cette cert i tude - - ou p lu t6 t sur le degr6 de cette cert i tude - - en comparant les r6sultats obtenus par diff6rentes m~thodes de prospection, en pa r t an t des consid6rations g4ologiques g6n6rales, de forages d'essai, etc. I1 existe 6galement un syst&ne d 'es t imat ion de la cert i tude h pa r t i r des donn4es m6mes de l 'exp4rience. Ainsi, dans la prospect ion sismique, on applique habi tuel lement un syst6me de quatre let tres caract6risant la certi- tude : B (B0nne), A (Admissible), M (Manvaise) et D (D0ntense), suivant le ca- ract~re de la r6flexion des ondes sismiques. Cet exemple suffit pour montrer qu 'on a besoin darts la pra t ique d 'une est imat ion de la cert i tude des r6sultats. Si les methodes math6mat iques g6n6rales n 'ont presque jamais 6t6 appliqu6es jusqu' ici , ce n 'es t pas parce que ces r6sultats ne sont pas n6cessaires pour la prat ique, mais seulement parce qu 'on craignait , con, me nous l 'avons di t plus haut , des calculs t rop longs et compliqu4s et des r6sultats d 'une lecture difficile. Or, il n 'ex is ta i t pas jusqu' ici , h notre connaissance, de th4orie applicable dans la pra t ique et plus ou moins simple. Darts le pr4sent t ravai l , l ' au teur s'efforce, en prenant d ' abord un exemple simple de la prospect ion sismique, et ensuite en posant le probl~me d 'une fa~on g6n6rale, de montrer qu' i l existe des moyens re la t ivement simples et faciles

appl iquer pour r6soudre les probl~mes d ' in te rpr6 ta t ion sur un plan un peu plus g6n6ral qu 'on ne le fait habi tuel lement , c 'est-h-dire en ne l imi tan t pas sa t~che h t rouver une certaine s tructure ( - - forme) th6orique d'aprb, s les donn6es de l 'exp6- rience, mais en s'effor~ant en outre d 'obteni r , d 'apr~s ces m4mes exp6riences, une es t imat ion du degr6 de cert i tude des r6sultats trouv6s.

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Pour 6viter tout malentendu, faisons quelques remarques sur les termes em- ploy6s. Tout d 'abord, l 'expression ~ interpr6tat ion ~ a re~u dans la science un sens double. Aussi bien, nous n'allons pas l 'employer isol6ment, mais en y accolant toujours un adjectif explicatif. Sans entrer dans les d6tails, on peut dire que, dans les sciences exp6rimentales et surtout dans la pratique de la g6ophysique et de la prospection g4ophysique, l ' interpr6tat ion des donn6es num6riques consiste h tr0uver une structure qui correspond h ces donn6es (structure g6ologique pour l ' interpr6tat ion th6orique en mati~re g6ologique et g6ophysique). Par contre, en math6matique, l ' interpr6tation des donn4es num4riques consiste h trouver une fonction dont ces donn6es repr6sentent une valeur particuli~re ou, ce qui re- vient au m6me, h trouver une courbe par laquelle passent ces donn6es lorsqu'elles sont repr6sent6es graphiquement (interpr6tation math6matique). Puisque la struc- ture th6orique, elle aussi, est finalement repr4sent6e graphiquement, le processus d ' interpr6tat ion math6matique est la premi6re et n6cessaire 6tape du processus d ' in- terpr6tation g6ologique. Cependant, il est 6vident que l ' interpr6tat ion g6ologique ne se limite pas aux seules op4rations math6matiques et, par cons4quent, il appa- rai t absolument n6cessaire de souligner cette distinction, comme nous l 'avons fait plus haut, parce que, malgr6 son 6vidence, elle est souvent oubli6e, ce qui conduit h des confusion f~cheuses.

Le second malentendu relatif h la terminologie est d 'un caract6re tout h falt oppos6. I1 s'agit des mots ~ certitude ~ et ~ probabilit6 ~. En effet, si le terme ~ in- terpr6tation ~ a des sens diff6rents, les termes ~ certitude ~ et ~ probabilit6 ~ ont par contre, en faisant abstraction de distinctions subtiles, la m~me signification. Cela est particuli6rement 6vident dans l 'application de ces termes avec le mot ~ degr4 ~. Ce qui, pour la pratique, est le ~ degr6 de certitude ~ est, pour la th6orie math6matique, le ~ degr6 de probabitlt6 ~ (ou ~ probabilit6 ~ tout court); une cer- t i tude absolue est une probabilit4 6gale h l 'unit6, etc., ce qni est 6vident. Par con- s6quent, nous allons employer, dans ce qni suit, les termes ~ certitude ~, ~ degr6 de certitude ~ et r ~ comme 6quivalents.

Faisons main tenan t quelques remarques pr61imina'res au sujet des probl~lnes particuliers dont l 'ensemble constitue le probl~me de l ' interpr6tat ion math6matique. Le premier consiste h exprimer, par des sch6mas math6matiques ~ simples ~ quelcon- ques, la structure g6ologique hypoth6tique que nous cherchons h d6terminer ou h confirmer par des donn4es exp6rimentales. Cette ~ simplicit6 ~ est 6videmment toute relative - - elle d6pend du probl~me math6matique consid6r6. Dans le problbme de la couche - - miroir s'ismique, par exemple, cette ~ simplicit6 ~ consiste d a n s l 'hypoth6se d 'une couche plane qui s'exprime math6mat iquement par une ligne droite horizontale ou inclin6e; dans les probl6mes de g4ophysique i m p l i q u a n t la solution des equations diff~rentielles, cette ~ simplicit6 ~ peut exiger l ' in t roduct ion de syst6mes de fonctions orthogonales commodes pour le problbme donn6 (fon- ctions trigonom6triques, de B~ssEL, d'HERMITE, etc.). I1 importe d'observer qu 'une telle expression (( simple ~) ne dolt pas 6tre compl~tement d6termin6e, mais doit contenir des param~tres non d6termin6s, dont la recherche, sur la base de donn6es exp6rimentales, repr4sente pr6cis6ment le deuxiSme probl~me de l'interpr(tation math6matique. En laissant de c6t6 les cas oa cette d6termination s'effectue par des proc6d6s 616mentaires, on fait le plus souvent appel h la m6thode des moin- dres carr6s.

Sans entrer dans les d6tails de l 'application de cette m6thode, qne nons con-

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sid6rons comme universellement connue (volt aussi l 'Appendice I au Chap. I), il convient d'observer ce qu'elle revient, en fin de compte, h d6terminer la valeur la plus probable des param~tres qui caract6risent notre structure hypoth6tique, conform6ment au premier probl~me de l ' interpr6tation. Aussit6t qu 'on a admis cette remarque simple, il devient 6vident qu'une telle d6finition, tout en dormant des r6sultats bien d~termin6s du point de rue math6matique, est loin d'6tre tou- jours la seule possible pratiquement. Le plus probable ne signifie p s le seul pro- bable. Quelquefois, ces deux notions coincident, mais pas toujours. Nous avons d6jh cit6 quelques exemples dans le Chapitre pr4c6dent. Voici encore un exemple, un des plus simples; si trois valeurs possibles ont respectivement des probabilit6s 97 %, 2 % et 1 % , la premiere sera en m6me temps la plus probable et pratique- ment la seule probable; mais si ces trois valeurs ont des probabilit6s estim6es h 34 %, 33 ~ et 33 %, la premiere, tout en 6tant th6oriquement la plus probable n'h cependant en fait aucune sup6riorit6 sur les deux autres. Cet exemple repr6- sente, bien entendu, un cas extreme; le plus souvent, on rencontre des probabilit6s moins r6gulibrement distribu6es. Mais nous croyons que le sens de cet exemple est suffisamment clair. Pour ta pratique, il importe de trouver non seulement les valeurs les plus probables des param~tres caract6risant la structure g6ologique th6orique, mais encore de d6terlniner leurs probabilit6s ce que nons indiquons comme le ~troisi~me prob l~me de l ' i n t e rp r~ ta t i on math6matique. Les valeurs num6- riques de ces probabilit6s doivent pr6cis6ment r6pondre 'h la question du degr6 de certitude qu'il convient d 'at tr ibuer h la structure g6ologique th6orique trouv6e, rant que nous restons dans le cadre de l'hypothb~se admise. Enfin, cette dernibre limitation (~ dans le cadre de l 'hypothbse admise ~), nous conduit h l'id6e du qua- t r i~me et dern ie r p rob l~me de l ' i n t e r p r e t a t i o n math6matique: la d6termination de la probabilit6 de l 'hypoth~se elle-m6me relative h la structure g4ologique th4orique, probl6me plus facile h expliquer h l'aide d 'un exemple (volt w 3 du Chapitre I). I1 ne faut pas oublier en outre qu 'ayant franchi ainsi les diff6rentes Stapes du pro- cessus d' interpr6tation math6matique, on peut obtenir une nonvelle augmenta- tion ou r6duction du degr6 de certitude, cette fois non plus du point de rue pure- ment math6matique, mais par les m6thodes d'interpr6tation th6orique mentionn6e au d6but.

w 2. C lass i f i ca t ion des prob lbmes d ' in t e rprCta t ion a p p l i q u 6 e ~ u n exernple. - - Pour concr6tiser routes ces consid6rations g6n6rales concernant les diff4rents cas particuliers du probl6me g4n6ral d' interpr6tation , examinons encore une fois un exemple particulier, suffisamment simple, et en m6me temps pr6sentant un int6r~t pratique: la d6termination de la pente de la ligne droite repr6sentative ( - - l 'hypo- th~se de la proportionnaiit6 simple). Si nous connaisons, d'apr6s les mesures,

(2) Yl, Y2, Y3 . . . . . . . Yi . . . . . . . yn

- - valeurs fix6es d 'nn param~tre, et

(4) xj , x2, x~ . . . . . . . xi . . . . . . , Xn

- - valeurs correspondantes d 'un autre param~tre (volt le Chapitre I), le premier et le deuxi~me probl~me d'interpr4tation math6matique ne pr6sentent aucune difficult6: l 'expression math6matique pour la ligne droite nous est connue, c'est l 'expression (26), la d6termination des param6tres h l'aide de la m6thode des m o i n -

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dres carr6s est aussi 616mentaire, - - nous l 'avons largement d6velopp~ dans le Chapitre pr6@dent et dans deux Appendices (*).

Le troisi~me probl~me sera dans ce cas l ' es t imat ion de la cert i tude des valeurs num6rique s trouv~es pour les constantes a et b de la repr~,sentation (26), c 'est-h- dire des valeurs num~riques de a 0 et b 0. Enfin, le quatri~me problgme sera l 'est i- m a t i o n ' d e la probabil i t6 de l 'hypoth~se admise, c 'est-h-dire de l 'hypothgse que la couche prospect6e est en fait plane. Nous avons d6jh donn6 l ' id6e principale com- ment les deux probl~mes peuvent ~tre r~solus dans le cas de l 'hypoth~se exprim~e par une ligne droite, - - v o i r w 3 du Chapitre I. Reprenons ma in tenan t ces deux probl~mes dans tout le d~tail.

CHAPITRE I I I .

Certitude (probabilitY) des r6sultats de l'interprgtation g6ophysique.

w 1. Troisi~me probl~me de l'interpr6tation. Limltes de la variation des para- m~tres - - Au Chapitre I , nous avons d~jh d6fini le troisi~me probl~me de l ' in ter- prorat ion math6mat ique ; c 'est le probl~me ayan t comme bu t la recherche de la probabil i t~ (darts le cadre de l 'hypoth~se admise) des valeurs num6riques les plus probables des param~tres A et ~. Mais cette d6finition 6tai t tr~s g6n6rale et vague, e t nous devons main tenant la pr6ciser. En effet, pour d~crire une certaine s t ructure g6ologique th6orique admise pa r hypoth~se, nous employons une fonction caract6- ris~e par une des valeurs (ou par plusieurs valeurs) d 'un ou de plusieurs param~tres cont inuel lement variables. Or, comme il existe un nombre infini de valeurs (par exemple des valeurs num6riques de l 'angle d ' incl inat ion ou pendage) de la couche consid~r~e, et comme la somme de routes les probabil i t6s dolt ~tre ~gale h l 'unit6, il est 6vident que la probabil i t6 de chaque valeur est 6gale h un hombre infiniment pet i t , soit p ra t iquement ~ z~ro (**). Ainsi, on pcut p ra t iquement parler, non de la probabil i t~ d 'une valeur quelconque donn6e des parambtres A et ,5, mals seule- ment de la probabil i t6 que leur valeur num6rique est limit6e par certains hombres pr~alablement fix6s, qui sont proches Fun de l 'autre , mais non infiniment proches, Ou, en passant h l 'exemple des Fig. l -a , l -b , 1-c et l -d , la probabil i t6 de ce q u e l e pendage (param~tre ~) soit exactement 6gal h 20 ~ ou h 30 ~ par exemple, sera tou- jours 6gale h z~ro, quelles que soient les donn~es obtenues pa r l 'exp6ri6nce. On ne peu t donc par ler que de la probabil i t6 d 'un pendage se t rouvant entre 11 ~ 12 o, ou entre 28o et 320, ou entre 29040 ' et 30o20 ' , etc. Ces probabili t~s peuvent ~tre plus fortes ou plus faibles, mais elles auront toujours des valeurs finies ayan t un int~r~t prat ique. De in ,me, il est absolument impossibl~ de parler de la proba- hilit6 d 'une structure g6ologique th~orique exactement d6finie graphiqucment . II f au t consid6rer en m~me temps d 'autres structures qui en different peu, et a t t r i -

(*) Si les valeurs (2) et (4) correspondent aux sismographes install6s le long d'une ligne droite, on d6terrnine de cette faqon la projection de la pente, mais pas la pente elle-m~me. Pour passer de la d~termination de la projection h la d6terrnination de la pente m~rne, il suffit d'utiliser sauf (2) et (4) eneore nne autre s6rie d'observations faites ou le long d'une antre ligne, ou sur un ccrcle, etc.

(**) /~n falsant ahstraetion du cas des fonctions pouvant fitre repr~sentfies par des syst~rnes de points, qui n'offre aucun int6r~t pratique.

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buer h tout ce groupe de structures une probabil i t6 exprim6 par un nombre fini diff4rent de z4ro.

Ainsi, en revenant au troisi~me probl~me de l ' in terpr6ta t ion math6mat ique , il faut, apr~s avoir calcul6 des valeurs les plus probables des pa ram&res A et ~, 6tablir certaines l imites de l eur variat ion.

d4terminant le groupe de structures g4ologiques qui, bien que diff6rant entre elles par la fonction math6mat ique qui les caract6rise, puissent cependant ~tre consi- d6r6es p ra t iquement comme identiques.

Ainsi, par exemple si les calcules out donn6 un pendage de 1].5 ~ nous pouvons par fa i tement admet t re comme tel groupe de structures eonsid6r6es comme iden- t iques toutes les structures dont les couches ont des pendages de 11 o h 12 o. Le probl6me consiste pr6cis6ment ~ d6terminer la probabil i t6 d 'un tel groupe de struc- tures. Bien entendu, tes l imites d '6car t peuvent 6tre fix4es, non pas ~ 0.5 ~ comme nous venous de le faire, mais ~tre sensiblement plus larges, D 'une fa~on g6n6rale, la d6terminat ion des grandeurs (54) n 'es t pas un problbme math6mat ique , mais un probl6me technique et prat ique, d6pendant de tr6s nombreuses circonstances pra t iques : de la pr6cision des appareils (sismographes, gravim6tres etc.) utilis6s, de la precision d6sir6e des r6sultats, du caract~re g6n6ral et de la plus ou moins grande complexit6 de la s tructure g4ologique tb4orique, etc. Quoi qu' i l en soit, nous consid6rons, dans la suite ces nolnbres (54) comme 6tablis.

En outre, il est facile de voir que la Fig. 16-d donne, h l 'a ide de t ransformat ions ti'es 616mentaires, les relat ions:

(55) Ab = A(tg ~) ; Aa = A A - - x00 A(tg ~) ;

qui permet ten t de calculer, les grandeurs (54) 6taut donn6e, les linfites d '6cart (les fluctuations) des para- mbtres auxiliaires a, b de notre probl6me.

De la m4me faqon on peut donner les formules d4- t e rminan t les variat ions des param&res de la dromo- chroniqne par les variat ions des parant~tres d6jh con- sid6r6s: A e t ~ ou a e t b. Mais nous ne le raisons pas, pr6f6rant dans tout ce qui suit consid4rer imm6diate- ment la courbe d6ternfinant la couche, mais non la dromochronique.

II est vrai , que l 'osage de la dromochronique est beaucoup plus r6pandu que l 'usage imm6diat de la courbe de la couche; cependant pour notre bu t l'~- tude de cette dernibre courbe est te l lement plus simple qu' i l n ' y a aucune raison d ' insister sur l ' appl ica t ion de la dromochronique.

I1 n 'exis te aucune difficult6 emp~chant de con- struire h l 'a ide des donn6es des sismographes les points exp6rimentau X de la eourbe expr imant la l imite de la couche. Pour simplifier la langage indiquons eette der- ni t re courbe par la le t t re . / , en coincidence avec les Fig. 9-a, 13, 15 et autres.

"[Y, a)

(a)

"x * /

d (A) J /z

/ r /

o Fig. 16.

0)

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Ce passage des donn6es exp~rimentales, points sur la dromochronique, aux points sur l a courbe J est repr6sent6 par les Fig. 16. Sur la premiere de ces figures - - 16-a - - sont repr~,sent~s les temps y,~ tir~s des s ismogrammes; les x,~ sont comme toujours les distances des sismographes d 'un point quelconque arbi traire . Ces don- n6es pourra ient donner lieu h une in terpr6 ta t ion bas~e sur l 'hypothbse d 'une ligne droite et, comme toutes les dromochroniques, h l ' in terpr6ta t ion g6ologique post~- rieure. Mais au lieu de ceci nous proc6derons de la manibre suivante. Multiplions les temps yj par la vitesse correspondante (5) - - voir Chapitre I, w 2 - - passant de nouveau h des valeurs (1). Les points correspondants sont repor t , s sur la Fig. 16-b, o~t les grandeurs repr6sent6es par les ordonn6es et les abscisses sont de la m~rne dimension ( - - longueur). Enfin, nous t ransformons ce graplfique en celui de la Fig. 16-c, off les positions relat ives des points d6termin6s par les coordonn~es x,~ et Yi sont les m6mes que ]eurs positions sur les Fig. ] 6-a et 16-b, tandis que les posit ions absolues (locales) sont chang6es h l 'a ide de la ro ta t ion t ransposant les axes de fa~on que l 'axe horizontal co~'nciderait avec l 'horizontale de la nature , c 'est- a-dire h l 'a ide d 'une rota t ion de 45 o. Les nouvelles coord0nn6es J~' et xi' sont ap- p rox imat ivement proportionnelles aux profondeurs locales ~ et aux coordonn6es des sismographes x~. Pour simplifier l '@ri ture nous emploierons le let tres .~' et ./~ sans les dist inguer; de m~me nous emploierons dans ce qui suit, x~ au lieu de x~'. Dans tons les exemples suivants cette simple op6ration approximat ive est sup- pos6e d 'avance accomplie. E t an t approximatif , le graphique de la Fig. 16-c a Favantage d'6tre plus proche de la r~alit6: l 'horizontale dans la nature est une horizontale sur celui-ci.

Mais il est i m p o r t a n t de souligner que cette t ransformat ion graphique bien que commode n 'es t pas indispensable; routes les considerations th6oriques, d6- velopp6es ci-dessous, sont enti~rement applicables h la dromochronique donn6e sous la forme ordinaire exacte, aussi bien qu'h n ' impor te quelle courbe exp~- r imentale.

w 2. Principes fondameutau~: permettant de rgsoudre les probl~mes troisi~me et qttatri~me d'interpr6tation. Formules du calcul - - A la fin du Chapitre I nous avons d6jh indiqu6 comment on peut grossibrement estimer les probabil i t6s des para- m~tres et des hypothSses en d is t r ibuant les points exp6rimentaux entre des classes convenablement choisies. Mais le bu t de l ' i l lus t ra t ion de w 3 (Chapitre I) a 6t~ de d6montrer la ngcessitd de prendre en considgration des probabilit6s plutSt que de donner un proc6,d6 pra t iquement applicable. NYtan t pas en sol math~matique- merit faux, ce proc6d~ n~cessite des points en quantl t6 tr~s 61ev6~e pour donner des r6ponses suffisamment d~taill6es sur les questions d 'es t imat ion. Cependant il est tr~s facile de comprendre le sens de ce proc6d~, et c 'est pourquoi nous l 'avons cit6 h t i t re d 'exemple explicatif.

Or, pour la prat ique, sp6cialement en sismique oh le nombre des points est d 'environ une dizaine et surpasse rarement vingt, on dolt chercher une m6thode qui, n '6 tant pas tel lement claire, ne demande que pen d 'observat ions. La stati- stique connalt d6jh quelques m6thodes qui pourra ient ~tre en principe appliqu~es; mais, 61abor6es pour des buts plus biologiques, ces m6thodes ne conviennent pas pour les cas off on cherche une fonction pr incipalement continue, Comme c 'est le cas en g6ophysique oh on cherche, par exemple, la l imite entre des couches super- pos6es. Pour cette raison, il faut ~tablir une m6thode plus convenable aux appli- cations g~ophysiques. Voici les principes fondamentaux d 'une telle m~thode per-

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- - 5 9

met t an t de r6soudre les probl~mes pos~s dans les cas de l ' in terpr~ta t ion g~ophy- sique (*) (**).

On suppose premi~rement que toutes les d~viations sont dues h des causes purement fortuites. De plus, on admet que la dis t r ibut ion gaussienne des proba- bilit~s :

2 ~hA (56) ~(hA) = ~ } :-P~ dp

est toujours p ra t iquement applicable, m~me dans les cas d 'une dizaine ou d 'une douzaine d 'observat ions. C'est-h-dire, qu 'on pourra 1/econstruire une courbe con- t inue des probabil i t6s en p a r t a n t d 'une courbe en paliers donn~e.

On suppose encore que cette loi de probabil i t6 (56) ne varie que d 'un ter ra in h l 'aut re , d 'une coucbe prospect~e h l ' au t re et qu'elle est sensiblement la m~me pour les diff~rentes mesures de prospect ion effcctu~es sur un seul terrain, sur une seule couche.

Troisi~mement, on admet que le principe de l 'unifbrmitg (***) est 6galement appl icable; ce que nous expliquerons tout de suite.

D~crivons main tenant l ' appl ica t ion d e ce principe au troisi~me probl~me d ' in terpr~ta t ion. On commence comme toujours par chercher la representa t ion la meilleure possible.

Soit fo(xi) cette r~presentat ion. Les diff6rences

(57) yx - - fo(x~), y.~ - - f0(x2), ya - - fo(xa) . . . . . .

forment la s~rie des d6,viations, s~rie qu 'on peut met t re en co~ncidence~ d'apr~s ce qui a ~t~ admis pins haut , avec la forme ganssienne (56), en choisissant con- venablement la valeur de la constante h. Cette valeur de h d6termin~c, on salt la loi de probabil i t~ des d~viations pour le cas de la couche 6~tudi~e. En supposant routes les d6viations fortuites et l 'uniformit6 dans les dis tr ibut ions probabil is tes de ces d~viations, on obt ient le r~sultat impor t an t que les probabil i t6s de toutes formes de differences sont connues: non seulement pour la s6rie (57), mais aussi pour n ' impor te quelle autre s6rie:

(58) ~/E [ y i - - f ( x i ) a ~ , ~/E[yi--f(xi)a2b2] 2 , ~ /~ [yi--f(Xi)a~ba] 2 . . . . . .

oh f(x~) sont les autres repr6sentants quelconques de la famille des fonctions expr imant l 'hypoth~se g6ologique (par exemple, la plan6it~ de la couche). Les s6ries du type (58) correspondent pa r cons6quent non seulement aux valeurs a0, b0, ..... , etc., des parambtres, mais h n ' impor te quelles valeurs de ces parambtres . De fait, in t roduisant le symbole F(x, a, b)=.[~x) qui repr6sente Jo(x) pour les valenrs %, b 0 IF(x, %, b0) = ]0(x)], on obt ient (57) pour F(x, a~, bo) et (58) pour F(x, a, b). Mais la loi de probabil i t6 6tablie pour la s6rie (57) est valable - - c 'est le sens du principe de l 'uniformit6 - - 6galement pour les s6ries (58). Sachant ainsi

(r ~[. 'I~[ATSCI-IINSKI, Sur la probabilit6 des hypotheses. Comptes rendus des S~ances de l'Acad6mie des Sciences, t. 234, p. 1192 (1952).

(**) M. MAa'scniNsI~I: Sur les compositions servant ?t estimer la probabilit~ etc. Com- ptes rendus des S~ances de l 'Acad6mie Sciences. t.-236, p. 1921 (1953).

(***) ]~[. -'~ATSGI-II2gSKI-" Sur les probabilit~s inverses. Comptes rendus des S~ances de l'Acad~mie des Sciences, t. 231, p. 1282 (1950).

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- - 6 0 - -

les probabilit6s de chaque difference des (58), nous savons, en m6me temps, les probabilit~s des param~tres et il ne reste qu'h les calculer.

Nous n'entrons pas dans ce calcul qui ne coutient aucune difficult6 de prin- cipe; le d6tail est donn6 dans l 'Appendice h ce Chapitre. Les formules de calcul pour deux cas concrets sont cit@s ~ la fin de ce paragraphe.

Les simples principes expos6s ci-dessus peuvent ~tre ~galement appliqu6s pour r6soudre le probl~me, que nous avons appel6 le ~ quatri~me probl~me ~ d ' in- terpr6tation, e'est-h-dire de d6terminer la certitude de l 'hypoth~se faite.

Si notre hypoth~se g~otogique est exprim6e math6matiquement par Ia famille des fonctions f ( x~) - - contenant aussi des param~tres - - une hypoth~se plus large peut 8tre h son tour exprim6e h l 'aide d'une famflle des fonctions 6galement plus large. Si, enfin, on se borne h ne faire que des hypotheses bien fond6es, c'est-h-dire pas tr~s 61oign6es de la r6alit6, on peut donner ~ cette famille de fonctions expri- mant une hypoth~se plus large, plus exacte, la forme:

(59) f ( x i ) + ~g(x i ) .

Etant donn6 qu'il n ' y a aucun int6rSt d'estimer des hypotheses absurdes, 61oi- gn~es de la r6alit~, le fait que nous nous limitons h la consid6ration de la forme (59), n 'apporte prat iquement aucune restriction dans la g6n6ralit6 du probl~me ainsi pos~.

Comme nous l 'avons expliqu~ dans ]e w 1 de ce Chapitre0 o~t nous avons tralt6 en g6n6ral la question des param~tres, le nouveau parambtre 8 ne dolt pas ~tre pris obligatoirement pour z6ro, afin que l 'hypoth~se f ( x , ) s o i t consid6r6e comme exaete; le param~tre 8 peut varier daus certaines limites d6termin6es par le degr6 de l 'exactitude exig6e.

Cette simple consid6ration permet de ramener la d6termination de la proba- bilit6 d'une hypoth~se ( - - quatri~me problbme d'interpr6tation) h ]a df terminat ion de la probabilit6 des valeurs d 'un nouveau param~tre, valeurs adopt6es n6cessaires. du point de vue de l 'exactitude.

Ainsi, pour r6soudre le quatri~me probl~me d' interpr6tation: 1) on d6termine les param~tres de f(x.~) et 8 "~ l'aide de rn6thode des moindres carr6s (soit 80 une valeur trouv6e); 2) on construit la sdrie des d6viations

(60) Y l - - f o f x ~ ) - 8og(xl), Y2 fo(x2) - 8og(x2), Y 3 - - f o ( x 3 ) - 8og(xa),

3) on d6termine la constaute h de la loi gaussienne (56); 4 ) o n postule l 'applica- bilit6 de ce h h n ' importe quelle autre s6rie

(61) VE [yr 8ig(xi)] ~, VE [yi--f(xi)-- $~,g(x~)] 2, VE [yi--f(x~)-- 83g(x,i)]-' ;

5) on obtient de cette mani~re ies probabilit6s de diff~rentes valeurs de 8, et 6) on trouve, enfin, la probabilit6 de l 'hypoth~se faite comme la probabilit6 des valeurs de 8 jug~es convenables pour l 'affirmation de notre hypoth~se.

Comme dans ]e cas du troisi~me problbme, nous n'entrons pas daus le d6tail du calcul - - voir l 'Appendiee h ce Chapitre. Nous ne donnons pas les r6sultats du calcul issu de l 'applieation des principes expos6s anx probl~mes troisi~me et qua- tri~me de l ' interpr6tation sous leurs formes g~n6.rales. Pour simplifier ces r~sultats nous les donnons sous la forme d6jh adopt6e aux deux cas: de l 'hypoth~se d 'une couche horizontale, et de l 'hypoth~se d'une eouche inclin6e. Egalement, pour les

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- - 6 1 m

zimplifier et en rue de l 'app]ication aux exemples du w 3 de ce Chapitre (off le nom- bre d 'observations est suppos6 6gal h 10), nous introduisons ici le m~me hombre d 'observations.

Avec ces simplifications nos r~sultats peuvent 6tre ~crits comme suit: Pour v6rifier l 'hypoth~se d 'un param~tre constant, nous obtenons successi-

vemen t les formules: pour d~terminer le parambtre le plus probable:

F (62) a 0 = - -

10

pour d6terminer Ie parambtre caract6ristique

2.12 (63) ~ -- o~l: G = Ey~ 2

: ~ / G - - 10 a20

pour d6terminer les limites d ' int6gration dans l 'int~grale de la probabilit~ W~

(64) 5 /~ - . Aa = 3.16 Aa = 3.16ra 0

pour la probabilit~ des in6galit~s a 0 - A a ~ a < a 0 § Aa,

( 6.71Aa )

(65) II~ "-- ~ V G 10 a20

- - probabilit6 des valeurs les plus probables [Vest la fonction de Gauss - - voir (99)]; ensuite: la formule g~n~rale de la probabilit6 de l 'hypothbse (hypoth~se d 'un para- m~tre c o n s t a n t )

(66) W 4 ~ N 4 exp G - - 0.467F 2 -b 0.133F(I)-- 0.0121(I) 2" d~

pour d6terminer le param~tre auxiliaire -r, 'h par t i r des param~,tres a et b:

(67) ~ = 9.08b + const

pour les limites de probabilit6 W~:

(68) Al~=9"OS(b~ ' A2"~ = 9"08 ( b~ ;~ax') et enfin pour cette probabilit6 elle-m~me, qui est une est imation de la vraisemblance de l 'hypoth~se (hypoth~se d 'un parambtre constant):

(69) 1 / ( ~19"3(b~ a~ tXmaz/_ I--~ o,( 19"3(b~ x~a rz ) ) ]

W4= 2 - [ ~ ~/G 0.467F 2 § 0.133F(I)-- 0.0121(I)2/ ~ r '

aor si: b0" > - - ;

X~ax

1 aoF IV, = ~ - [q~(simile) -~ 9 (simile),], si: b0" < ~ ;

X~'~g x

G - - 0.467F 2 A- 0 .133Fq) - 0.0121(I) 2 = G - - 10a20- ll0a0b 0 - - 385b~0.

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m 6 2 - -

De m~me, nous t rouvons , h pa r t i r des formules d 'Append ice pour le cas de l ' hypoth~se de la l igne droi te inclin6e, les formules simplifi6es (n = 10): pour d6 te rminer (*) les va]eurs Ies plus probables des param~tres a e t b

7F r - - 5.5F + (70) a 0 - - - , b0-- ,

15 82,5

a 0 ~ 0.467F - - 0.0667~P ; b o ' = b 0 ~_ 0 . 0 1 2 1 ~ - - 0 .0667F.

Les coefficients exprim~s sous ce t te derni~re forme sont ce r t a inemen t beau- coup plus commodes pour les appl icat ions . Toutefois , 6.tant donn6 les tr~s pe t i t e s differences ent re les tr~s grands hombres en t r an t darts nos formules , on est oblig6 souven t d ' accompl i r tous les calculs - - quoique ce soit beaucoup plus long - - h l ' a ide des formules du p remier type , ce que nous avons fai t darts les exemples suivants . Mais cont inuous la liste des formules s implif i@s: pour d~terminer le pa ram~t re caract~r is t ique ~:

2.12 2.12 ( 7 1 ) o: . . . .

%/-G-- 0.467F 2 + 0.133FCP-- 0.0121(]52 ~ / G - - 10a~o - l l0a0b 0 - - 385b2o

pour d6 te rminer les l imi tes d ' in t6gra t ion dans l ' in t~grale de la probabilit6, W a

A~ = 3.16An + 17.4Ab (72) A~ 9.08 Ab

pour la probabi l i t6 de r~al isat ion des 6quat ions (probabi l i t5 de r6al isa t ion des valeurs numgr iqnes t rouv6es des param~tres a e t b)

( 6.7lAg § 36.9Ab ) /19.3Ab /

(73) IV'3 = ~ ~ / G - - 0.467F 2 + 0 . 1 3 3 F ~ - - 0.0121q) 2 " 9 \ ~ !

ensui te : la formule g~n6rale pour la probabi l i t~ de l ' hypoth~se de la l igne droi te inclin6e [ P e s t de te rmin6e par la fonnu le (109)]:

, E ( f ~ - - a o - box~-- CoXO') 2 i = I

3 3 . 2 F - - 12.6alp § P a' 0 ~ ; a' 0 ~ 1 . 3 8 F - - 0.525d9 § 0.0417P

24

(74) - - (126F + 5P) 11 § 637F b' 0 = ; b'0 ~ - - 0.525F + 0.241~P-- 0.0208P

2640

, 2 2 F - - l lq) + P Co"' ~ 0 . 0 4 1 7 F - - 0.0208r q- 0.00189P CO' = 528

pour d~te rminer le pa ram~t re auxi l ia i re ~ (en p a r t a n t des param~t res a, b, etc.)

(75) ~ = 22.5c A- const.

(*) Ces formules sont donn6es en deux var iantes : 1) avec les coefficients exacts mais avec les op6rations arithm6tiques non achev6es et 2) avec" les coefficients calculSs ar i thm6tiquement , mais seulement ju~tIu'~ h ]a troisi~me d~cimale.

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- - - 63 - -

pour les linfites de la probabili t~ ~'~

(76) Ax~ = 23.0 co"' + § A2~ = 23.0 e0'" - -

et enfin, pour cette probabil i t~ elle-mfime (probabil i t6 de la concordance de l 'hypo- th~se de la ligne droitc" inclin6e (area les donn6es f d

48.8 co'" + ' ~ ~ / 8.8

(77 "= . . . . . . --

bo~/. ao~lr s i : Co"' > -~- - - -

\ .~max Xgmax

] bol t aoPi - IV~ = --~ [9 (simile) § q~ (simile)], si: co'" < + x2-7----

~ma35 ~(zz

Schema du calcuL Exemples de l'application du proc~d~ d&rit --- L'expos6 w d6taill6 du processus de calcul donn6 dens les paragraphes pr6c6dents et les for- mules que nous venons de citer, peuvent c r ie r l ' impression que ces calculs sont longs et fast idieux; or, seules les explications sont longues, mais elles sont indispen- sables pour la compr6hension. D'ai l leurs, certains stades de ce processus ne deman- dent pas de calculs du tout , et d 'aut res peuvent ~tre p ra t iquement supprim6s.

Parmi les premiers, se t rouve tout ce que nous avons appel6 le (~ premier pro- blame ).'; en effet, c 'est l 'affaire de l ' ing~nieur-praticien, et non du math6matic ien- calculateur, de d~terminer l 'hypoth~se qu' i l dolt choisir, la s t ructure g6ologique qu' i l doit supposer pour la concr6tiser et la v~rifier num~riquement par les r6sul- ta ts des mesures. Parmi les stades qui peuvent ~tre p ra t iquement supprim~s, se t rouvc le processus de la v6rification de la dis t r ibut ion normale de GAUSS des hombres (57) et (60). En effet, avec des hypotheses raisonnables, pas t rop ~loigu6es de la r~alit6, la dis t r ibut ion est toujours normale et sa v~rification est inutile. Quant aux hypotheses absnrdes, il vau t mieux ne pas les confronter avec les donn~es exp~rimentales. Ainsi, pour les buts prat iques; on peut proposer le schema de calcul suivant :

S C H E M A DE CALCUL

(dans l 'hypothbse d 'une couche plane inclin~e)

I) D~terminat ion du miroir (deuxi~me probl~me de t ' in t~rpr~tat ion math~- matique) :

1) Calculer les param~tres auxil iaires: F = ~ J } et qb =2x~j~ . 2) D~terminer a 0 et b 0 [h par t i r de (70)]. ~ 3) D6terminer les parambtres caract~ristiques ~ (angle d ' incl inaison de la

couche) et A (voir Fig. 16-d).

I I ) D~terminat ion de la probabil i t6 des valeurs obtenues de A et de sin (troisi~me probl~me de l ' in terpr6ta t ion math6mat ique) :

1) F ixer les erreurs admissibles de A et de sin ~, et calculer les d~viat ions- ~ a et Ab.

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64

2) Calculer h partir de (72)A~ et A~. 3) Former la somme correspondante et calculer h (voir l 'Appendice): 4) D~terminer, au moyen des tables de l'int~grale de Gauss, la probabilitY,

cherch~e, h l'aide de (73).

I I I ) D6termination de la probabilit6 de l 'hypoth~se d 'une couche plane in- clin6e (quatri~me probl~me de ! ' interpretation math~mhtique):

1) D6termiuer a'0, b'0, c' 0 h partir de (74). 2) Former la somme h l'aide de laquelle on calculera h (voir l 'Appendice). 3) Calculer les grandeurs (75) et (76). 4) A l'aide des tables de l'int6grale de Gauss, d6terminer, h partir de (77)

la probabilit~ cherch6e.

Nous voyons ainsi que les calculs sont assez simples et les formules tout h fair ~16mentaires. Le seul calcul compliqu6 exig6 par la th6orie correspondan~ h (56) est supprim6 grace h la transformation lin6aire (102) (voir l 'Appendice) et h l'utili- sation des tables de GAuss ce qui ne pr6sente aucune difficult6. Nous donnerons ici quatre exemples uum~riques de l 'application de la m6thode expos~e, de sorte que nous laissons pour le moment de c6t6 la qnestion des calculs num6riques con- sidfr6e en g6n~ral. Nous faisons senlement remarquer que la probabilit6 r~sultante de l 'hypoth~se de r6alisation de la structure g6ologique th6orique obtenue sera d~tern:fin~e par le produit de quatre probabilit~s: deux sont donn6es plus haut, (73) et (77) et deux autres, dont la d6termination ne constitue pas un problbme purement math~matique, mais une question d'erreurs d'instrumeuts, d 'une part, et un problb, me g6ologique de l 'autre, seront examinees ailleurs. Toutes les proba- bilit6s 6tant exprim6es par des nombres inf~rieurs h l'unit~: ieur produit sera tou- jours inf6rieur h chacune d'elles. Par cons6quent, si le caleul d'apr6s le point I I .4 du schema ci-dessus a donn~ des r6sultats non-satisfaisants, ou m~me des r6sultats h peine satisfaisants, il n ' y aura pas lieu de continuer le calcul d'apr~s le point I I I du sch6ma. Cette consideration r6duit encore les calculs h faire dans les cas oh l 'hypoth~se ne s'est pas r6alis6e.

Les quatre exemples num~riques dont nous commen~ons l'expos6 out 6t6 choisis de fa~on h pr6senter, avec un ensemble de donn~es aussi r6duit que pos- sible, des exemples de calcul pratique d'apr~s routes les fornmles cit6es plus haut : et de fa~on h obtenir des r6sultats faciles h comparer entre eux. Aussi bien, on a choisi un nombre 6gal de donn6es exp~rimentales pour chacun des exemples, soit n = 10. Les exemples 1 et 2, tout en ~tant compos6s de nombres trbs diff6rents, sont construits de faq~on telle que la valeur la plus probable du param~tre a soit la m~me daus les deux cas (dans l 'hypoth~se d 'un param~tre constant). De m6me, les exemples 3 et 4, compos~s, eux aussi, de nombres trbs diff6rents, donnent (dans l ' hypoth~se de la ligne droite inclin6e) les mSmes valeurs les plus probables des param~tres a et b. Enfin, les exemples 2 et 3 sont num~riquement identiques; ils ne diff6rent que par l 'hypoth~se examinee.

Supposons que les donn6es cxp~rimentales sont:

1-er exemple (Fig. 17a)

(78) x~ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f l 15 21 17 16 15 18 12 17 19 20 ~"fi = F = 170

Z f i x i = ' ~ = 946

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- - 6 5

Elles sont repr~sent~es sur la Fig. 17-a. On examine l 'hypoth~se du param~tre constant. A l 'aide de (62), on d@ermine la valeur la plus probable du param~tre; on trouve a o - - 170/10 = 17.0, ce qui est aussi sur la Fig. 17-a. En re t ranchant cette valeur de (78), on obtient les chiffres:

(79i F ( a o b o . . . . . x ) = a o 172 17 17 17 17 17 17 17. 17 17 - - +4 0 - - 1 - - 2 + 1 - - 5 0 +2 +3 F,G~-= 64

l~re c l . ( 0 e t l ) - - u I = 4; 2bme cl. (2 et 3 ) - - u 2 = 4; 3~me c]. (4 et 5 ) - - u 3 = 2, u 1 + u~ + u ~ = n = 10.

qui peuvent 8tre subdivis~s, p a r exemple, en 3 classes, repr~sent6es Fig. 18a. Nous voyons que l 'hypoth~se de la distr ibution de Gauss n'est pas exclue et que, par suite, on peut appliquer les autres formules de la th6orie d~velopp6e. D'apr~s (63) et (64), d@erminons le param~tre carac- t6,risticlue ~ ct les limites d'int~gra- tion, ce qui permet d 'exprimer la probabilit6 de la valeur trouv6e du param~tre a.

f ,

22

ZO

18 =

~o' o

sl

(80) { :~ = 90.265(0.839Aa)

En admet tan t divers degr6s de pr6cision relative, nous obtenons les valeurs num6riques suivantes pour la probabilit~ de ce nombre a:

Fig. 17 a e t b

x . . . . . . . . . x . . . . - - . . . . .

, . . . . . . . . . ) x Z 3 ~ 5 6 ~ # 3 tO

~+. +o 2 - ~o 2

f

/,~~ ~ / //; ' ; '~ / ~ /,;;;"~ /\,-=,o~ ~2

/4Z / / / ,,"4% . / , ' , . ' ,4 / �9 / .,m' / ~o

. % 0 " ~ / =

t2 / : /0

4.//~2. a

:' Z 3 ~ S G ; ' 8 9 / ~

L ~

/ / /

//2:7"/ / / 4 / 1 \ ~ - , o 2

/ / ; o / " / ..S>~ ~>

/o/X/ / / / / / / 4 / / /

X/A';')"

//.b'oh

Fig. 17c e t d

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66

i r = 2 % ; 16.66_< a 0 < 17.34 ; W.~= 33 % (81) r = 5 % ; 16.15 < a 0 < 17.85 ; W 3 = 6 9 %

i r = 7 % ; 15.71 _< a 0 ~ 18.29 ; W a = 85 % r = 10 % ; 15.30 ~< a 0~< 18.70 ; W a = 9 6 %

ce qui r~sout le ((troisi~me probl~me )). E n a b o r d a n t m a i n t e n a n t la d~termi- n a t i o n de la probabi l i t6 de l 'hypoth~se elle-m~me, nous ob tenons success ivement : pa ram~t res auxi l ia i res

(82) a' 0 = 16.3 ; b' 0 = 0.133 ; ~ = 0.268 ; ~ = 9.08b + const.

l imites de l ' in t~grale correspondante , en fonct ion de l ' e r reur admise dans la d~ter- ru ina t ion de a

1 1 (83) - - A x ~ = 0.327 + 4.16r, A ~ = 0 .327- - 4.16r

et enfin, la probabi l i tg de l 'hypoth~se elle-m~me p o u r ces cas:

1 W 4 = -~ - [~ (0.327 § 4 .16r ) - - 9 (0 .327- - 4.16r)], si: 0.327 > 4.16r

1 W4 = 7 [q~ (0.327 + 4.16r) A- ~ (4 .16r - - 0.327)], si: 0.327 < 4.16r

17 (84) , = 10 % , 9/10 < < 11/10, W~ = 40 %

fo•ction existante (1)

17 r = 15 % , 17/20 < < 23/20, W 4 = 55 %

fonction existante (1)

17 " r = 2 0 % , 4/5 < < 6 /5 , W 4 = 70 %

fonction 'existante (1)

Lots de l ' i n te rp r~ ta t ion , on a t ou t n a t u r e l l em en t t endance h consid~rer tes va leurs (81), don t la d6 t e rmina t ion est si simple, comme la probabi l i t6 de l ' hypo : th~se elle-m~me. Or, ce nYs t pas a ins i ; en c o m p a r a n t (81) et (84), nous voy0ns que ces deux s6ries n o n seu lement ne coi 'ncident pas exac tement , mais ne se rappro- chent m~me pas app rox ima t ivemen t .

2-~me exemple (Fig. 17b)

A d m e t t o n s m a i n t e n a n t que les donn6es exp~rimentales son t :

xl] 2 3 4 1~ 16878911072Zfixi=~=1112 (85),F(ao, bo, fi 16 14 13 11 19 25 26 24 Z j ~ = F = 172 . . . . . X ) ! =

a0 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 i7.2 1712 17.2 17.2 AJ l l . 2 3.2 4.2 6.2 1.2 0.8 1.8 7.8 8.8 6 1 8 Z G ~ = 3 8 1 . 6

1-~re cl . ( 0 . 0 - - 3 . 5 ) - - u 1 = 4 , 2-~me cl. ( 3 . 5 - - 7 .0 ) - - u 2 = 3 , 3-~me cl. ( 7 . 0 - - 10 .5 ) - - u a = 2 , 4-~me cl. (10 .5 - - 14 .0 ) - - u 4 = t ,

u 1 + u 2 + u 3 + u 4 = 10. (Fig. 18b)

E x a m i n o n s encore une lois l 'hypoth~se dn p a r a m ~ t r e cons tan t , d~termin~ h l 'a ide de (62). Comme nous l ' avons d6j?a di t plus hau t , la va leur de ce param~t re

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- - - 6 7 - -

est h peu pros la m~me que pour r e x e m p l e 1: a 0 172/10 = 17.2 ~ 17. En cal- culant les ~carts de cette valeur, nous obtenons une courbe de dis t r ibut ion repr~- sent6e Fig. 18-b. l c i encore, la d is t r ibut ion de Gauss n 'es t pas exclue, et pa r con- s~quent en u t i l i sant (63) et (64), nous obtenons la probabil i t~ de ce param~tre a o sous la forme

(86) { W3 == 70.109.(0.344 Aa)

En a d m e t t a n t les m~mes degr6s de precision relat ive, nous obtenons pour cette probabil i t6 les valeurs num6riques:

I r = 2 % , 16 .86~ a 0 < 17.54 ; W 5 = 1 3 % ; , r 5 % , 16 .34~ a 0 < 18.06 ; W 3 = 3 3 % ;

(87) i r = 7 % , 16.00 ~< a 0 < 18.40 ; IT/" 3 = 4 4 % ; ! r 10 % , 15.48 ~< a o <~ 18.92 ; W" 3 = 60 % ;

qui sont inf6rieures aux nombres correspondants pour r e x e m p l e pr@6dent (81). Ce r6sul tat n 'es t pas surprenant , parce que rhypoth~se d 'un param&tre constant

r . . . . . 7

. . . . . . . [ .J .3 L -~7 . . . . . . ,~1

i-t j ._2 . . . . . \ .

....... d) 72 7~ 10 ~ 8 7 6 5 ~ 3 Z z O t 2 3 ~ 5 w 7 8 ~ 70 17 7w ~3 74

Fig. 18.

6tai t bien naturel le pour le groupe de hombres (78), alors qu'elle ~tait plus artifi- cielle pour le groupe de nombres (85). Les nombres obtenus (81) et (87) i l lustrent 6galement l ' id6e exprim~e au Chapitre I , h savoir que la m~me valeur la plus pro- bable dn param~tre de l 'hypoth~se peut avoir des probabil i t6s tr&s diff6rentes pour deux groupes diff~rents de donn~es exp~rimentales.

En ce qui concerne le probl~me 4 dans son appl ica t ion h cet exemple, les cal- culs donnent les l imites ci-apr~s de l ' int~grale de probabilitY, suivant l ' e r reur admise dans la d6terminat ion de a:

(88) l a'o ~ 6.0 ; b'o ~-~ 2.0 ;

1 -~ -AI~ = 5.50 + 4.79r ;

= 0.306 ; ~ = 9 .0 8 b + const.

1 - - Az~ = 5.50 - - 4.79r

9~

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68

h quoi correspond la probabi l i t6 de l 'hypothbse el le-m~me:

(89)

/ 1 i B ~ = - ~ - [ , ~ ( 5 . 5 0 ~ - 4 . 7 9 r ) - - ~ ( 5 . 5 0 - - 4 . 7 9 r ) ] , si: 5 . 5 0 > 4 . 7 9 r

g~ = -~- [~ (5.50 + 4.79r) + q~ (4.79r 5.50)1 , si: 5.50 < 4.79r

\ 17.2 r = 10 %, i 9/10 < lone. exist. (2) ~ 11/10,

! 17.2 r = 15 %, it 17/20 < fonc. exist. (2) < 23/20,

17.2 r = 2 0 % , / 4/5 < < 6/5,

/ fonc. exist. (2)

ce qui v e u t dire que l 'hypoth&se de la va leur cons tan te est tr~s peu p robab le pou r les donn6es (85). On vol t que ces pr0babi l i t~ sont 6galement beaucoup plus faibles que (84), r6sul ta t q u ' u n simple coup d 'oei l sur les s6ries (78) et (85) suffit h me t t r e en 6videncel I1 ne faut pas croire cependan t q u ' o n t ob t i en t tou jours les r6sul ta ts 6vidents : les deux exemples d6velopp~s on t ~t~ choisis de facon h m on t r e r que le r~sul ta t th~orique ne eont redi t pas lYvidence dans les cas ou cette ~vidence existe. l l est cer ta in que les cas les plus in t6ressants sont pr6cis6ment ceux (qui se ren- con t r en t souven t dans la pra t ique) off r ien n%st ~vldent h priori et o5 seule la th6o- tie pe rme t d ' es t imer la p robab i l i t6 .

3,~me exemple (Fig. 17c)

Pa t rons des m~mes donnees exp6r imentales (85), mais en essayan t de les in- te rpre ter non pas h l ' a ide de l 'hypotb~se f~ = const , mais h l ' a ide de l 'hypoth~se f i = a -? bx i. Les param~tres a 0 et b 0 do ivent ~tre m a i n t e n a n t d6termin~s d 'apr~s ]es formules (70); ils sont ~gaux h env i ron 6.0 et 2.0 respec t ivement . Calculant d'apr&s la formule f i = ao § boxi, la va leur de la fonct ion prise comme hypoth~se, on ob t i en t : 6 + 2x~, nombres qui do iven t ~tre m a i n t e n a n t d~duits des donnfies correspondantes (85) :

x i [ 1 2 3 4 f~ I 6 14 13 Ii

F(ao, bo. . .x )=a o-bbo x 8 10 12 14 A 2 4 1 3

5 6 16 18

16 18 0 0

7 8 9 10 19 25 26 24

20 22 24 26 1 3 2 2

Z J ~ = F = 1 7 2 ; Z j~x~=~= 1112 Z)%i2 = P = 8440

Z A 2 = 48

(90) 1-~re c]. ( 0 ) - - u 1 : 2 ; 2-~me cl. ( 1 ) - - u 2 : 2 ; 3-~me cl. ( 2 ) - - u~ ~ 3 ; 4-~me cl. ( 3 ) - - u~ = 2 ;

5-~me cl. ( 4 ) - - u 5 = 1 .

u l + u s A-ua § u~ § u 5 = 10.

Les diff6rences obtenues , d i s t r ibu tes pa r classes, son t repr6sent6es Fig. 18-c,

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- - - 6 9 - -

qui est, une fois de plus, en raison du petit hombre de classes, comparable avec l 'hypoth~se de la distribution de GAuss. Par consequent, en appliquant (71) et (72), on peut d6terminer la probabilit~ correspondante:

(91) W~ = ? (5.81rAa § 10.64rAb ) . ?(5.50rAb ) ; = 0.306,

dont le calcul donne, suivant la precision relative admise, les r6sultats

(92)

.' l 1 .96~ b0~ 2.04 1 / r = 2 %, 5 .88~ a 0 < 6.12 W.3~ 4 %

I I 1"90~< b~ I r = 5 %, 5.70 ~< a 0 ~ 6.30 Wa= 23 %

i l 1"86~ b~ 2"14 } r = 7 % , 5.58~< a o ~ 6.42 W 3 = 36%

{ ]-80--~ bo--~ 2-20 l ~\ r = 10 %, 5.40 < a 0~< 6.60 �9 W ~ 55%

Ces probabilit6s ne sont pas plus fortes que les probabilit6s correspondantes (87), ce qui est 6vident; en effet, quoique la s~rie de nombre (85) corresponde bien mieux h l 'hypoth~se de la ligne inclin~e qu'h celle de la ligne horizontale (volt 6galement plus loin) , les nombres (92) d~terminent non pas la vraisemblance de l 'hypoth~se, mais la vraisembtance des valeurs num~riques a = 6, b = 2. Cela montre, une lois de plus, qu'il faut distinguer net tement entre la probabilit~ des parambtres et la probabilit~ de l 'hypotbbse.

Pour r6soudre le quatribme problbme, dans le cas de l 'application de l 'hypo- th~se f l = a § bx~ ~t la s6rie (85), partons des formules (74), (75) et (76), qui per- met tent de d~terminer les param~tres auxiliaires et les limites de l'int6grale de la probabilit6. S u i v a n t la formule (77) la probabilit6 de l 'hypoth~se j~ = a ~, bxl elle-m~me prendra la forme

(93)

/ 1 I W4~- ~ - [9 (0 .107 -t- 1 .83r ) - -~(0 .107- -1 .83r ) ] ; si: 0.107 > 1.83r

! (~ ' -~c 0 ; (c'0~-0.0152) 1

IV, ~--~- [q~ (0.107 -}- 1.83r) A- ~ (-- 0.107 -? 1.83r)J; si: 0.107 < 1.83r

h quoi correspondent les valeurs num~riques

' 6 § L r = 10 %, 9#0 < f o n c . exist.(3) < 11/10, W 4 ~ 2 0 % ;

< 23/20, W4~ 30 % ;

< 6:5 , W4~40 % ;

(94) 6 §

,~ r = 15 %, 17/20 < I fonc. exist. (3)

6 § r = 20 %, 4/5 <

', lone. exist. (3)

qui sont, bien entendu, beaucoup plus grandes que (89).

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- - 7 0 - -

Si 1'on pa r t des nombres (85), la probabil i t6 de l 'hypothbse f i = a § bxi est incomparab lcment plus grande que la probabil i t6 de l 'hypoth~se J~ = const. Cela est 6vident, mais comme dans l 'exemple pr6c6dent, cet te 6vidence, concordant avec le r6sultat th6orique, pr6sente un cas exceptionnel, sp6cialement choisi pour i l lustrer la th6orie; l ' impor tance de la th6orie d6passe de beaucoup la simple con- f i rmation de l '6vidence.

4-~me exemple (Fig. 17d)

Comme dernier exemple, examinons la s6rie de hombres

x i l 1 2 3 4 f i [ 7 13 12 13

(95) F ( a o , b o . . . x ) = a o + b o x 8 10 12 14

1 3 0 1

5 6 14 19

16 18

2 1

7 8 9 10 20 24 25 25

20 22 24 26

0 2 1 1

Z j ~ = F = 172 ; Y.fixi = r = ] 112 Zfix~i = P = 8450

ZA 2 = 22

1-~re (0 et 1 ) - - u 1 = 7 ;

a o ~ 6 . 0 ;

2-~me cl. (2 et 3 ) - - u o = 3 ; u 1 + u 2 = 10 .

b 0 ~- 2.0 ; ~ = 0.452.

hombres, qui, eux aussi, doivent ~tre interpr6t6s pa r l 'hypoth~se f~ = a + bx~. La d6terminat ion des valeurs les plus probables des param6tres a o et b 0 donne des hombres approx imat ivement 6gaux ?~ a = 6, b = 2. Les 6carts correspondants , distribu6s par classes, sont repr6sent~s Fig. 18-d. On peut , lh aussi, consid6rer qu'i ls n ' inf i rment pas l 'hypothbse de la dis t r ibut ion de Gauss.

La solution du troisi~me probl~me est donn6e, comme dans l 'exemple pr6c6- " dent, pa r les formules (71), (72) et (73). Les valeurs num6riques, suivant la pr6ci- sion adopt6e dans la d6terminat ion des param~tres , ont la forme

Wa = 9 (8.58rAa + 15"74rAb) �9 ~ (8"17rAb)

(96)

I 5.88_< a 0 ~ 6.12 l r = 2 % 1.96 < b0 < 2.04 , W a = 9 %

5.70 < a0 ~< 6.30 l r = 5 % { 1.90 <_ b0 ~< 2.10 W a = 40 %

r = 7i% { 5.58 < a 0 < 6.42 } Wa = 57 % 1.86 ~< b 0 _< 2.14

{ 5.40--< a 0 ~ 6.60 } IVy= 75 % r = 10 % 1.80 _< b0 < 2.20

Ces hombres sont plus grands que ceux de la s6rie (90), ce qui n 'es t pas sur- prenant , parce que la s6rie (95) est beaucoup plus 4troi tement group6e autour de la ligne droite 6 + 2x que la s6rie (90).

Enfin, pour la probabil i t6 de l 'hypoth~se f~ = a + b x ( e l l e - m ~ m e , dans le cas de la s6rie (95), on t rouve (h FaMe de ealculs analogues h ceux de l 'exemple pr6- c6dent) les valeurs num6riques:

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7 1 m

(97)

(~' = ~) , (c' 0 -~ 0.0038)

1 lVa ~ -~- [~ (0.040 -b 2.71r) -{- ~ ( - - 0.040 -? 2.71r)]

6 -[-2x r = 10 %, 9[10 < < 11~10,

fonc. exist. (4)

6 § r = 15 %, 17/20 < < 23/20,

fonc. exist. (4)

6 § r = 20 %, 4/5 < < 6/5,

fonc. exist. (4)

IVy= 30 % ;

r~'~ = 45 % ;

~ = 55 % .

ce qui correspond pr6cis~ment h une d i s t r ibu t ion plus serr6e des nombres (95) au tour de la ligne 6 § 2x. En ce qui concerne ces valeUrs, on pourra i t r~p~ter ce qui a ~t~ di t au sujet de la s6rie (96), ainsi que les remarclues faites au sujet de l 'exem- ple pr6c6dent. Nous croyons inuti le de le faire, l ' exemple ~tant suffisamment clair.

Pour achever ce Chapitre, i l lustrons h l ' a ide des exemples donn6es ci-dessus, i ' id~e fondamentale de l ' in terd~pendance entre l ' ineer t i tude des var ia t ions d 'un param~.tre et la cert i tude de sa valeur moyenne, - - l ' id6e sur laquelle se base la r6solution du troisi~me probl~me.

Sur l a Fig. 17-a repr~sentant l ' exemple 1, le domaine marqu~ par o - o - o cor- respond h l ' incer t i tude 2 % du param~tre a; tandis que le degr5 de la cer t i tude de la valeur moyenne correspondant h ce domaine n 'es t que 33 ~ Les domaines marqu i s par ~-~ ~-~ correspondent ~ l ' incer t i tude 5 % des variat ions du parambtre a; l 'aff irmation de l 'existence de la valeur moyenne correspondant h ces domaines a d6jh la cert i tude 69 %'. Enfin, les domaines l imi t , s pa r la ligne ..... correspon- dan t h l ' incer t i tude I0 % de a, a t te iguent la cert i tude pour la valcur moyenne ~gale h 96 %. Les Fig. 17b, 17c et 17d li~es aux exemple 2, 3 et 4, repr6sentent le m~me ph~nom~ne. Pa r t ou t l ' incer t i tude des var ia t ions des param~tres est marqu6e h gauche; tandis qu'h idroite est indiqu6, le degr6 de la cert i tude des domaines correspondants. Pa r t ou t on volt que l ' incer t i tudc croissante des va- r iat ions des param~tres est accompagn6e par la croissance de la cert i tude de l 'existence de ces domaines, c 'est-h-dire par la croissance de la cert i tude de ]eurs valeurs moyeunes. En fixant les var ia t ions permises des param~tres , nous d6ter- minons le degr~ de la cer t i tude de leur appar i t ion : c 'est l ' id6e de la r~solution du troisi~me probl~me.

Les m~mes domaines sont construites pour i l lustrer le quatri~me probl~me; (voir les Figs. 17a, 17b, 17c et 17d). Mais ils ne donnent rien de nouveau et nous ne les decrivons pas en detail . L'id~e de la r~solution du quatri~me probl~me est la m~me: l ' incer t i tude des variat ions du param~tre ~ (l 'hypoth~se faite plus ou moins vague) correspond h la cert i tude de l 'existence des domaines correspondants (de l 'hypoth~se m~me). Plus uue hypothbse est vague, plus la cer t i tude de la r~alisa- t ion est grande. En fixant les l imites des d6viations acceptables d 'une hypothbse, nous d6terminons la probabil i t6 (le degr6 de la certi tude) de celle-ci. Enfin, on dolt encore Une fois souligner, que les m~thodes consid~r~es ne sont pas li~es seule- ment aux 6tudes d 'hypoth~ses simples que celles consid6r6es dans les exemples ci- dessus; ces m6thodes sont en principe applicables aux h y p o t h b s e s de n ' impor te quelle complexitY. Dans le Chapitre suivant nous considfirons de tels exemples.

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- - 7 2 - -

APPE.~DICE AU CItAPITI~E I I I .

Calcul correspondant ~t la thgorie exposge dans le w 2.

w 1. Caicul darts le cas de l'hypoth~se ~( lin~aire ~) - - Si l 'on connait la fonction expr imant la probabil i t6 de cbaque 6cart possible de z6ro de la grandeur

(9a) ~ / r ( ~ _ ao - - b0x~) 2 i

le calcul des valeurs num6riques sp6ciales de cette grandeur permet de d6terminer la probabil i t6 des r6sultats obtenus. Or. la difficult6 r6side jus tement dans le fair que, non seulement la probabil i t6 de lu de zdro de l a grandeur (98) nous est inconnue, mais que - - conform6ment aux lois d u calcul des probabil i t6s - - elle n ' a pas de forme unique, mais prend des formes toujours nouvelles pour chaque cas par t icul ier donn6, Comme ]e montre la th6orie g6n6rale (volt w 2 de cet Appen- dice), dans le cas off le principe des moindres carr6s est applicable, toute cette diversit6 des valeurs et des formes est simplifi6e jusqu 'h la diversit6 des formes que peut prendre la fonction de la dis t r ibut ion de GAuss (distr ibut ion normale, courbe en cloche)

2 f hA (99) ? (hA) = ~ - o e-p~ dp

avec diff6rentes valeurs du param~tre h. I l s~agit donc de d6terminer ce dcrnier paramStre , ce qui est possible en se basant sur ]e postula t de l 'uniformit6 de distri- but ion 6tablie par l ' au teur (*). I1 d6coule de ce post,Aat que ]a grandeur h peut 8tre d6termin~e h par t i r de ]a dis t r ibut ion des grandeurs

(100) ( f l - a o - boxx), ( f 2 - ao--" box2), ( f 3 - - a o - boxa) . . . . . . etc.

On dolt souligner que la dis t r ibut ion (100) (que nous indiquons D(co)) ne coincide pas en g6n6ral avec la dis t r ibut ion de diff6rentes valeurs de chaque 616- ment , par exemple ( . ~ - - a o - - boxi) (i = const . ) , si elies peuvent 6tre diff6rentes; indiquons cette dernibre par Di. Pour les sciences physiques et part icul i~rement en g6ophysique, la dis t r ibut ion D i est r6duite h u n seu] nombre; au contraire, en biologic la pluralit6 des composantes de D~ est un fait essentiel. Connaissant D z, on calcule Ia dis t r ibut ion Dx [ - - d is t r ibut ion des valeurs (98)] h l 'a ide du th6orbme de mult ipl icat ion des probabili t6s. En pa r t an t de D~ gaussiennes [du type (99)], on obt ient pour Dx les formes de PEARSo~-FIsI~ER, tr~s connues et toujours employ6es dans les applicat ions biologiques. Mais en g6ophysique, ce n 'es t pas D i mais D(100 ) qui est donn6e. La dis t r ibut ion Dx, facilement calculable en par- t a u t de D,~, ne l 'est pas en pa r t an t de D(J00); il n 'es t possible que de recourir aux principes g6n6raux.

Cette dist inct ion entre D i et D(:oo ) est pr imordiale pour la th6orie de l 'est i- mar ion des hypothbses, mais nous nous bornons aux courtes remarques que nous venons de faire; on peut t rouver le d6tail dans la note mentionn6e de l ' au teur (**).

(*) M. MATSCI~I~'SKI, lOC. cit., Comptes rendus des S6ances de l'Acad6mic des Sciences, t. 231, p. 1282 (1950).

(**) M. "VIATSCrlII~SKI, 1oc. cit., Comptes rendus des S6ances de l'Acad6mie des Sciences, t. 236, p. 1521 (1953).

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73 - -

Revenons donc h la distribution D(~00); routes les grandeurs (100) 6tant dans les c a s q u e nous consid6rons facilement calculables. En calculant ces grandeurs, on dolt avant tout s'assurer que leur distribution peut ~tre exprim6e avec une pr6cision suffisante par la courbe de GAuss. S'il n 'en est pas ainsi, non seulement la m~thode propos~e, mais le pl"incipe m~me des moindres carr~s ne sont pas appli- cables, et l 'hypoth~se que nous avons faite est tellement inacceptable qu'il n ' y a pas lieu de proc6der aux calculs. Si, par contre, il est possible de repr6senter la distribution des hombres (57) sous forme de distribution normale, on pourra cal- culer ~galement la grandeur h correspondant h cette distribution. Bien entendu, si 1'on connaissait une s~rie infiniment grande de valeurs (57), ou prat iquement un tr~s grand hombre de ces valeurs, on pourrait calculer la valeur exacte de h. Mais 6tant donn~ qu'il s 'agit dans la pratique d 'un petit hombre de valeurs (dans ]e cas @h~ant, dix ou vlngt valeurs donn~es par les sismographes), il faut avoir recours h la formule connue

] / n - - 1 1 (101.) h V 2 E ( f i - a o - boxi) 2

i

qui, d'apr~s FISHER, repr6sente la meilleure estinmtion de h pour les valeurs donn6es de (57). Ce h doit ~tre introduit dans la formule (99). Mais, malheureuse- ment, cette expression s 'obtient h l'aide d'une fonction h deux variables pour lesquelles il n'existe pas de tableaux. Pour pouvoir appliquer les tableaux de l'int6- grale de GAUSS, il faut passer des variables a e t b aux variables

2 (102)

= V ; r - - I ab \

qui en d~coulent d 'une fagon tr~s glgmentaire. Ainsi, la probabilit5 des valcurs les plus probables des param~tres ou, plus exactement, la probabi!itg de routes les structures dgfinies par l'inggalitg

(103) t A ~ A < A 0 § ~o--A~ < ~ < ~ o +A~,

ou:

t a - - A a < a < a 0 ~ A a (].04) b 0 - - A b < b < b0 -bAb

sera donn6e par la formule (~o5) ~ = ~ (h a~). ~ (h A~)

ce qui r~sout le troisi~me probl~me de l ' interpr6tation math6matique. Nous don- nerons plus loin, au w 2, quelques d6tails ult~rieurs concernant ce troisi~me pro- blame.

Passons maintenant au quatri~me et dernier probl~mc de l ' interpr~tation math~matique. Au w 2 du Chapitre I I I , nous avons d6fini ce probl~me c0mme celui de la d~termination de la probabilit6 de l 'hypoth~se elle-m~me faite au Sujet de la structure g~ologique, on pourrait dire de l 'estimation de sa vraisemblance. Ainsi,

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- - 7 4 - -

dans le cas particulier qui nous int6resse, celui de ]a couche plane inclinfie, ce qua- tri~me probl~me ne consiste pas h estimer la probabilit6 d 'une valeur num~rique donn6e de l 'angle d'inclinaison, ou de telle ou telle profondeur de cette couche, il consiste simplement ~ estimer dans quelle mesure les donnfies exp~rimentales obtenues permet tent de conclure h une couche plane inclin~e, plutSt que de cher- cher un pli souterrain du type anticlinal ou synclinal, sans parler de structures plus complexes.

L'id~e de l 'est imation d 'une probabilit~ est assez simple. Tout d 'abord, on admet qu 'on n 'avance pas d'hypothbses absurdes. C'est-h-dire qui si l ' on cherche une couche plane inclin~e, c'est que l 'hypoth~se faite est vraisemblable. En d 'autres termes, si la couche s'~carte de la plan~it~, ces 6carts ne sont pas grands, et l 'on peut en tenir compte par un membre quadrat ique additionnel. Cela signifie que nous ponvons ajouter h l '6quation de la courbe th~orique un membre quadratique, on, ce qui revient au m~me, que le coefficient de x ~ n 'est pas ~gal h l 'unit~, mais est un nombre quelconque, encore non d~termin~ (*). La d~termination de la pro- babilit~ de l 'hypoth~se que nous avons ~mise ~quivaut alors ~ la v~rification du fair que, dans lYquation

(106) Yi = a -? bxi A- cxi ~

c est 6gal h z~ro, ou, plus exactement, se trouve entre des limites suffisamment rapprochfies de z6ro. Ce n 'est pas un probl~me nouveau h proprement parler, mais un cas particulier du probl~me que nous venons d'examiner. Comme plus haut , on forme la somme

(107) ~' ( y l - - a ~ - b~x i - - c~xi ~) i

et l 'on recherche son min imum d'apr~s les param~trcs a~, bx, c~. Ce m~nimum cor- respond indiscutablement aux conditions

' F ~ na~ +b~ ~ x i ~c c ~ x ~ ~ i i

i (P a ~ Z x i § 2 - ~ c l ~ x i 3 (lO8) I i i i P : a~ ~ xi 2 q- b~ E xi 8 q- c~ ~ xi r

i i i

oh F et r sont d6termin6es d'aprbs les formules (24) donn6es plus haut, tandis que P, est egale h: (t09) P - - ~ Yi xi 2.

i

Calculons a 1, b 1, c~ de (108) et formons les expressions

(110) ( f l - - a l - - b l x l - clx2l) , (]'2-- a l - b l x 2 - - clx~2), ( f a - - a l - - b l x a - - clxez)

(*) La possibilit~ du point de vue thfiorique de se limiter aux degrfis voisius de celul que nous Studions, ainsi que la question de savoir dans quelle mesure les degr~s conserves compensent eeux omis (le fai-t que eette compensation ne se rfialise que clans nne eertaine mesure, d~coule avec certitude de I'in~gaiitfi ~(c) =fi: 1 pour c-+ O) seront examin6es dans unc fitudc uh6rieure. Nous nous bornerons ici ~ la remarque que, d u point de rue pratique~ pour une hypoth~se pas tr~s arbltraire et correspondant aux falts r~els le dernier terme eonserv~ compense tous eeux qui ont fitfi oral.s,

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- - 75 - -

analogues aux expressions ('60) ci-dessus. II faut s'assurer qu'elles peuvent ~tre distribu4es d'aprbs la courbe de GAvss. S'il n 'en est pas ainsi, le principe des moin- dres carr6s est, encore une fois, inapplicable, et l 'hypoth~se 6raise est absurde, comme c'6tait d6jh le cas dans l 'exemple cit6 plus haut. Si, par contre, comme dans l '6ventualit6 d 'une hypothbse raisonnable, les grandeurs (110) satisfont h la courbe de GAuss, la meilleure estimation de h sera donn6e, d'apr~s F I S t l E I ~ , par la formule :

(111) h i = l / n - I 1 2 Z ( y l - - a l - blx~-- clxi2)~

i

et la probabilit6 de l 'hypothbse d 'une couehe plane inclin6e sera estim6e par la formule :

(112)

OU :

' 1 ~ I I V 4 = - - ~ [ 9 ( h l A ~ l ) + q ~ ( h l A ~ 2 ) ] , si: c o < A c

W4= ~ [9(h~A~)-- ,~(hlA~2)] , si: c 0 > A c ;

i (113) i V n ( n 2 - ]) ( n 2 - 4)

A~ = (Co - - A~). ,, 180

La diff6rence apparente entre (]05) et (112) s'explique par le fait que (105) donne la probabilit6 des valeurs d 'un param~tre uniform6ment distribu6 des deux c6t6s d 'une valeur centrale [cf. (103) et (t04)], tandis que (112) d6termlne la pro- babilit6 d 'un groupe de valeurs du param~tre c autour de z6ro, groupe qui est situ6 6vidcmment d 'un seul c6t6 de la valeur la plus probable c = cp Une autre diff6- fence entre la formule (104) et la formule (112) est que cettc dernib, re ne contient qu 'un seul param6tre, l ' int6gration par rapport aux autres param~tres ayant 6t6 enti6rement effectu6e (parce que l 'hypothbse de Ia couche pIane inclin6e ne fixe pas les valeurs a et b); cette op6ration donne naturellement pour r6sultat l 'unit6.

w 2. Calcul correspondant au cas g~n&aL Exemple pour le cas : Yi ~ const - - Apr~s avoir termin6 l 'examen d6taill6 du cas particulier de la couche plane inclin6e, revenons au problbme de l ' interpr6tation math6matique danS sa g6n6ralit6.

Comme nous l 'avons d6jh fait observer au paragraphe pr6c6dent, route l 'ap- plication de la th6orie des probabilit~s aux probl~mes d' interpr6tation math4ma- tiquc nYtait possible qu 'en se basant sur deux postulats fondamentaux: 1) le po- stulat de l'applicabilit6 de la m6thode des moindres carr6s et 2) le postulat de l'uni- formit6 (M. MATSCNINSKI, 1OC. cit.). Sans entrer dans les d6tails que nous avons ex- pos6sailleurs, nous nous bornons h 6noncer les principaux r6sultats obtcnus au su- je t de ces deux postulats et des conclusions qui en d6coulent.

Premier postulat ~ Sans s'arr4ter sur l 'expos6 de sou contenu, parce que nous le supposons suffisamment clair apr~s ce qui a 6t6 (tit au w 2 du Chapitre I I I et en w i de cet Appendice, mentionnons seulement qu 'on peut en tirer une conclusion importante, qui peut ~tre expos6e comme suit:

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- - 7 6

Soient: j'~ les donn~es exp@imentales (soit sous la forme donn~e plus hau t , soit sons une forme gSn~rale guelcollque),

x t , x 2 , . .... les valeurs des coordonn6es correspondant aux donn6es exp~ri- mentales ]~,

Q(a, b . . . . . . . x) l 'expression math~mat ique de l 'hypoth~se admise,

a, b, ..... les param~tres de cette hypoth~se, soit des nombres h d6terminer faisant l 'ob je t du deuxiSme problb, me de l ' in te rpr~ta t ion math~- matique.

Enfin so~t

la densit~ de probabil i t~ correspondant h l 'hypoth~se Q et h l 'ensemble de routes les donn~es exp6rimentales .[):

(114) E = ~. [ f t , f2 , . " . - , fn , Q (a, b . . . . . . . Xl), Q (a, b . . . . . . . x2), Q (a, b . . . . . . . x3) 1

D 'au t re par t , d6signons par ~ la densit~ de probabil i t6 correspondant h la forme particuli~re de l 'hypoth~se Q pour les valeurs les pills probables des para - m~tres :

(115) a = a 0, b = b0, c = c o ..... tc.

Cette densit6 s 'exprime 6videmment par la fonction

(116) Z, = ~z I [f~, Q (a0, b 0 . . . . . . . x i ) ] .

Les densit~s (|es distr ibutions) ~ et "z correspondent ~videmment aux s6ries de la forme D(lc0 ) (voir w 1 de cet Appendice) et non pas h celles de la forme D~.

Revenons main tenant au postula t 1, appl icat ion du principe des moindres carr~s, et h son inxportante cons6quence h laquelle nous avons fai t allusion plus haut . On pent formuler cette conclusion de la fa~on suivante: l 'hypoth~se que les valeurs des param~tres a, b les plus rapproch@s de la r6a]it~ sont celles qui corre- spondent aux minima de la forme quadra t ique (98), diminue la diversit~ des formes possibles des fonctions ~ jusqu 'h une fonction arbi t ra i re h une seule variable

(117) E~ D = V ( E [ f ~ - - Q. (a, b . . . . . . . xi)~ 2) i

05 7~ 2 est la forme de ~ dans laqnelle les variables de (]]4) sont remplac6es p a r un nouveau syst~me, compos6 de (98) et d 'un hombre suffisant de fonctions ind6- pendantes de (98), prises comme nouvelles variables, et D est la t r ans format ion de l'616ment infinit6simal de Fespace des probabi l i t6s aprbs cette op6ration.

R6unissant le r6sultat obtenu avec les conditions d6terminant la possibili t6 de l ' in t6grat ion cons6cutive dans l ' int6grale de W - - voir par exemple les t ransfor- mations entre (99) et (]05) - - nons restreignons encore davantage le champ des possibilit6s, parce que de toutes les formes de (117), une seule

(118) v (x) = ~ jx~

satisfai t h cette derni~re condition. De plus, cette integrat ion cons@utive exige les constantes caract~ristiques ent rant dans Q soit l in6airemcnt, soit de sorte qu 'on puisse les t ransformer en constantes auxiliaires, constantes lin6aires par r appor t a Q .

Pa rmi les constantes f ignrant darts (118), seule g est arbi traire , tandis que l ' au t re est d6finie par la condit ion ~vidente que la somme de toutes les probabil i t~s

Page 43: Prospection géophysique et certitude d'interpretation de ses données

- - 7 7

possibles est 6gale h l'unit6. Ainsi, cette m~thode d~montre qu'il est possible d'ap- Fdiquer le distribution de Gauss aux questions qui nous int~ressent.

Bien entendu, l'expos6 qui pr~c6de ne donne que la sch6ma g6n6ral du raison- n ement. Nous avous publi~ aillenrs un expos6 plus d6taill~ des transformations cor- respondante~.

Deuxi~me pos tu la t (postulat de Funiformit~):

En appiiquant les expressions abr6viatives que nous venons d~ ce postulat peut ~tre exprim6 sous la forme suivante: les Junct ions (114) et (116) ont la m~me forme h des multiplicateurs pros: Or, puisque la function (114) est d6jh limit~e par le premier postulat et la condition, sus-mentionn~e jusqu'h la forme (118), l 'expression (116) doit, elle aussi, avoir la m6me forme, suit ~tre une function exponentielle, repr6sentant la densit6 de probabilit6, et une int6grale de G~tuss (99) repr6sentant les probabilit6s elles m6mcs. Lh encore, nous n'allons si- gnaler que les grands traits de la conclusion~ cn omettant tous les calcnls.

Continuons le raisonnement g6n6ral. La probabilit 6 correspondant h (114), dont la connaissance est n6cessaire pour estimer la probabilit6 des param~tres les plus probables, ainsi que pour estimer la probabilit6 de l 'hypoth~se admise elle- m~me, ne nous est pas donnde sous sa forme g6n6rale par l'exp6rience, et l'exp6- rience ne peut pan nous la faire connaltre, puisque dans chaque cas particulier, elle est toujours plus ou moins diff6rente. Par contre, la probabilit6 correspondant

(116), qui n 'est pas directement applicable pour trouver les probabilit6s n6ces- saires, est tr~s facile h d6terminer par l'exp6rience. Cette probabilit6 (116) repr~- sente pr~cis6ment la courbe de distribution des hombres (57) (pour le troisibme probl~me du cas de la couche plane inclin6e), des hombres (60) (quatribme probl~me du m~me cas), etc. La d6termination de la function (118) revient donc h trouver une constante h caract~risant la distribution de la s6rie de ces nombres correspon- dant an cas examine.

Le deuxi~me postulat 6tablissant l 'uniformit~ et m6me l'identit6 des expres- sions (114) et (116) permet d'utiliser les r6sultats exp~rimentaux de lYtude de la distribution des nombres (57), (60), ou des hombres analogues, pour la d6termina- ~ion de la forme de la function (114). Or, lorsque cette function est d6termin6e, le reste revient h appliquer les r~gles g~n~rales de la th6orie des probabilit6s, et faire des calculs assez ~16mentaires. Pour le cas particulier de la function Q consi- d6r6e par hypoth~se comme function lin~aire

(119) Q ~. a -~ bx

ees calculs et les r6suhats correspondants ont 6t6 expos6s au paragraphe pr6c6dcnt. Bien entendu, la m~thode,expos6e ne se limite p a s h cette forme simple (119). Des calculs analogues peuvent ~tre effectu~s aussi pour toute autre function Q (repr~sentant notre hypoth~se), par exemple sous forme d'une s6rie de puissance, .ou d'une autre forme encore plus compliqu6e, h condition que les param~tres arbi- traires a, b, c, ..... , y figurent lin6airement, ou puissent ~tre ~,, lin6aris6s )), par exem- pie, dans le sens d 'un passage de A, ,~ h a, b, consid6r6 d~jh dans le Chapitre I.

Sans nuns arr~ter sur les diverses formes possibles de la function Q, donnons encore les r~sultats pour la function Q constante, suit:

(120) Q = a

Page 44: Prospection géophysique et certitude d'interpretation de ses données

78

Voici ces rdsul ta ts :

i

Axb = b' 0 " ---a~ , A~b = b' 0 ~ ~ ,

).

1 [ ( e l f t - - 1 V n ( n 2 - - 1 ) . Alb ~__ w~=-~- ~ " 2 12 ~ - ]

i

( i 2 Y 12 " oo,

- - ' 7 _ _ _ = , , , s i : > - - v x ~ / ]

i

1 nor (t21) W~ = --~ [9 (simile) + 9 (simile)], si: b'0 < " �9

~a~

CI-IAPITRE IV.

Estimations de la certitude dans les cas des fonctions d'interpr~tation non-lin~aires.

w 1. Dgtermination d'une faille de donMes gravim6triques. - - L'exemple d 'une fonction lin6aire ayan t servie ~ l ' in terpr6ta t ion, n 'es t n i l e seul, ni le plus impor t an t parmi diff6rents cas off l ' es t imat ion de cert i tudes a la valeur pra t ique ou l ' int6r~t de principe. Mais les difficuk6s de calcul augmentent nature l lement h mesure que la fonction d ' in te rpr6 ta t ion devient de plus en plus compliqu6e, de plus en plus ~loi- gn~e de la lin6arit6. I1 a 6t6 compl~tement impossible d 'expl iquer les principes du calcul de la cert i tude ~ l 'a ide d 'exemple aussi compliqu~s que ceux li6s aux fonctions d ' in te rpr6 ta t ion non-lin6aires. C'est pourquoi nous commen~ons seulement mainte- nan t cette 6rude ayan t d~jh expos6 les principales id6es de l ' ex t imat ion de cert i tude. Th6oriquement, tous ces exemples compliqu6s et d6velopp~s ne changent rien dans les principes de la m6thode. Seuls les calculs sont beaucoup plus 6tendus. Pour ne pas t ra iner en lougucur notre expos6 et d tant donn6 que tous ces calculs ne pr~sentent aucun int6r~t special, nous les omettrons dans ce qui suit enti~rement et n 'exposerons que les points essentiels de l ' appl ica t ion de la m6thode et que les r~sultats prin- cipaux.

Commenqons par un ex6mple de l ' es t imat ion de la cer t i tude dans Ia prospec- t ion gravim~triques, Soient les points marqu6s par ,9 (Fig. 19 et 20) les donn6es fournies par les mesures gravim6triqucs sur le te r ra in . [Les points | co inc ident sur les Fig. 19 et 20 ; ces deux figures ne dis t inguent que par les points x , points , correspondant h deux eas de l ' in terpr6ta t ion] . Supposons encore, pour fixer les id6es, que les donn6es g6ologiques ou autres nous obligent h consid6rer l 'hypoth~se d 'une faille attteurante comme celle qui dolt ~tre compar~e avec les mesures g6ophy- siques. La courl~e th6orlque correspoudant h une telle hypoth~se est bien connue:

(122) Ag = f~ h q- x log x ~ q- 2 h aretg .

Page 45: Prospection géophysique et certitude d'interpretation de ses données

i '9

l, RepPe'senk~hon /a plus

probable correspondent /a /~ne ~ ,sup la ~.~ 2J

/n z500 1000 500 I~ 500 1000 ,.500 2000/'/I

-2

t-3 Fig. 19.

Elle est d6termin6e par deux constantes: h - - profondeur (voir Fig. 21) et z ~ - exc~dent de densit6. Pour appliquer cette courbe th6orique (122) aux donn6es

11770 Represenfahbn e x t r e m e I L 3 correspondan? eu point Q t su r /a F,j . 23

COOp 6 t I e /4eb

x t-

\ i . 1500 7000 500 ~! 500 1000 1500 2000

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - ~ ; ~ . . . . . . . . . . . . . . . . ,,-~- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -~-~-~es

i \ 1"

2

Fig. 20.

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- - 8 0 - -

d'observation, supposons enfin que les valeurs de l 'anomalie r6gionale, si elle a lieu sont d6jh soustraites des valeurs observ6es h l 'a ide des gravim~tres et que les cour- bes (Fig. 19 et 20) sont les courbes r6duites qui ne correspondent qu'~ l 'anomalie locale due h l 'existence de la faille susmentionn6e.

Chaque paire de valeurs num6riques de h et ~ repr6sente un cas concret plus ou moins possible de l 'hypoth~se admise; chacun de ces cas a sa probabilit6 propre, probabilit4 plus ou moins 616v4e. La probabilit6 max imum appart ient naturelle- ment au cas oh les points de la courbe th4orique coincident le mieux avec les points de la courbe exp6rimentale. Cette courbe th~orique, co~ncidant le mieux avec les donn6es des mesures, est donn6e darts la Fig. 19; ses points sont marqu6s par • Cet te courbe est trouv6e h l 'aide de la m6thode des moiadres carr6s, dont nous

. . . . . . . . . j

I \ \ \ \ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ~ \ \

6- Fig. 21.

avons suffisament parl6 ci-dessus. Les valeurs de h e t a caract6risant la courbe • de la Fig. 19 sont:

(123) h = 2000-- 2300 ; ~ = 0 .8 - - 0.9

E tan t donn6 que les 6quations correspondantes sontes loin d'4tre lin6aires, pour calculer ces valeurs on dolt appliquer les m6thodes num6riques pour resoudre ces 6quations. Pour obtenir les r6sultats de la fagon la plus rapide, il faut commencer par le simple t~ tonnement et am61iorer les r6sultats approximatifs h l 'aide d' inter- polation 616mentaire ou h l 'aide d 'un proc6d6 quelconque du type de ~ regula falsa ,, etc. Pour des raisons que nous avons expliqu6es au commencement du pa- ragraphe, nous n 'entrons pas dans le d6tail de ce calcul. Les r6sultats sont visibles dans la Fig. 19.

w 2. Estimation de la certitude de l'interpretation donnge dans le w 1 - - Pour ne pas nous occuper de la double infinit6 des valeurs des param~tres h et z nous nous limitons h ne consid6rer que ]a cr~te de la topographie des p robab i l i t 6 s - - voir Fig. 22. Cette cr~te, - - cette s6rie des probabilit6s relat ivement plus 616v6es, correspond 6videmment dans le section A B (h = valeur donn6e) h la valeur de ]a plus probable ou, ce qui revient au m4me, correspond dans la section CD (~ = = valeur donn6e) h la valeur de h la plus probable. Comme on voit dans la Fig. 22, cette cr6te des possibiflit6s est caract6ris6e par une fonction h(~); cette derni6re est repr6sent6e dans le plan (h, G) sur la pattie sup6rieure de la Fig. 23. Cette fone- t ion a un p61e 6vident pour ~ = 0; elle n'existe pas, pour des raisons physiques, pour les valeurs ff < 0; mais elle n'existe pas non plus pour les valeurs de a > 0.14, comme il est facile de le d6montrer.

Ce point limite est indiqu6 par le signe �9 sur la Fig. 23. Les valeurs de h e t lui correspondant, sont:

(124) �9 h = 800, ~ = 0.14

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- - 8 1 - -

la courbe th~orique repr~sentant ce cas est apport~e sur la Fig. 20 par les signes x ; on volt, ce qui est 6vident aussi sans calcul, que cette courbe est beaucoup plus ~]oign~e de la courbe exp~rimentale | que la courbe caract~ris~e par (123) et apport~e sur la Fig. ] 9. Enfin, routes les valeurs h entre: 800 < h < 2000 se pla- cent dans le domaine des ~ : 0.09 < ~ < 0.14, tandis que les valeurs: 2500 < h < < ~ correspondent h: 0.00 _< cr < 0.08.

Alors les probl~mes d ' interpr6tat ion dans la gravim~trie sont en principe les m~mes que dans le sismique. Si une hypothbse g6ologique (dans le cas consid6r6 c'est l 'hypoth~se de la faille) est admise et si elle est posse de sorte que son expres- sion math6matique contient des param~tres h d6terminer les donn6s d 'observation nous fournisseut non pas une seule mais une infinit6 de solutions.

La valeur pratique de ces solutions est d6termin6e par leurs probabilit~s, ou,

h

/

~c

6- Fig. 22.

comme nous l 'avons souvent dit et ce qui revient au m6me, par la certitude qu 'on peut at t r ibuer h l'afiqrmation que pr~cis6ment l 'hypothbse correspondant aux valeurs d5nn~es des paramb.tres, est r6alise et non les autres, ces probabilit6s, ces certitudes sont repr~sent~es pour le cas consider6 - - faille - - sur les Fig. 22 et 23b. La premiere de ces deux figures - - Figure 22 - - repr6sente les probabilit~s pour t o u s l e s valeurs possible de h et ~. Cette forme ~tant tridimensionelle (W, h et ~) est donn~e par la perspective et de faqon purement sch~matique. La courbe des probabiht~s correspondant h la cr~te de (W, h, ~) - - dont nous avons d~jh parl~ - - est donn6e sur la Fig. 23b au dessous de la courbe d6terminant g6om~triquement la position de cette cr~te, et de fa~on que les points correspondants sont les uns exactement sous les autres. E t an t une forme plane (W, ~), cette courbe donn6e avec plus de d~tails quantitatifs.

Au moyen de cette courbe on volt facilement que l 'hypoth~se correspondant aux valeurs h e t cr les plus probables (repr~sent~e par x sur la Fig. 19), est loin d 'etre la seule probable. Toutes les relations sont en principe les m~mes que celles longuement d6crites dans les chapitres precedents. Pour avoir des certitudes suf- fisantes, on ne doit pas insister sur une hypoth~se trop d6termin~e. On voit de la Fig. 23a, que m~me en adoptaut les variations de h et de ~, par exemple celles de

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- - 8 2 - -

(123), on t rouve que la probabil i t~ d 'uue telle affirmation n 'es t qu'h peu pros ~gale 50 ~/o. La probabil i t~ de l 'aff i rmation: h = 2 2 0 0 - - 2 3 0 0 n 'es t que 15 0/0-20 ~o

environ, etc. Les donn~es apportdes sur la Fig. 23 peuvent nous servir dans les cas les plus

diff6rents pour choisir les hypotheses plus ou moins exactes~ plus ou moins 6troites

~0o

h

Fo,~ctlon h/6)

\ \

\ h f 6 ) \

X X

\ \

�9 , , a )

500

0.0~ ,6

0.0~ O.iO ' 0.'12 0.~ 0.~6

~86 O.~e OJO 01~ 0.~4 0.76

Fig. 23.

selon l a cert i tude que nous exigeons de nos pronostics g~ophysiques. C'est p lu tSt la t~che de l ' ing6nieur et non du math6mat ic ien de d6cider h l ' a ide de la Fig. 23 quelles hypotheses sur h et ~ sont admissibles et jusqu 'h qnel point on peut aller en pr~cisant leurs valeurs. Nous ne n.ous occupons pas ici de toutes ces questions qui ne sont pas sans importance mais qui d~passent le cadre de cet essai.

Mais une autre question est ~troi tement li~e an problbme d 'es t imat ion pos6 en g~n6ral. C'est la question des causes, autres que les valenrs des variat ions admissibles des param&res ; agissant dans le sens d ' augmenta t ion ou de diminut ion de la cert i tude de l 'hypothbse 6tudi6e. Nous l ' exami- nons maintenant , sans trop l 'approfondir .

En comparant les courbes des Fig. 19 et 20 et d 'aut res courbes de ce genre, on trouve h pre- miere rue que la valeur de la d6viation globale:

(125) ~ /Z (d6viation) 2

d~pend largement de la longuenr du segment en- t r an t en jeu. Sur la Fig. 24 la courbe exp6rimentale (dont un segment est les | sur les Figs. 19 et 20) est apport~e (~ entibrement )> c'est-h-dire, dans une extension plus large. I1 est ~videmment beaueoup plus difficile de la comparer avec l 'hypothbse d 'une faille. Sans calculer minut ieusement la courbe des probabil i t6s correspondant h ce cas 61argi, nous la donnons sch~matiquement sur la Fig. 27 (qui

correspond h Fig. 23a). On t rouve qu 'aucune est imat ion valable du point de vue prat ique, ne pourra ~tre pr~cis~e, te l lement la courbe des probabil i t~s est aplat ie . E t ce n 'es t pas difficile h comprendre, parce que l 'hypoth~se d 'une faille est une hypoth~se sur l ' expl ica t ion d 'une anomalie locale et en d6passant les l imites, entre lesquelles une anomalie peut 6tre trai t~e comme (~ locale )), nous ne raisons qu 'une seule hypoth~se lh, off on devrai t en faire plusieurs.

Le cas contraire est repr6sent~ par la courbe des probabil i t~s de la Fig. 25 et 26. Ces probabil i t~s correspondent aux cas off nons n 'avons compar6 qu 'un seul segment de la courbe | avee les • mais non tout le complexe des valeurs. Evi- demment il est ma in tenan t beaucoup plus facile de faire co~'ncider une pa t t i e des @ avec les x correspondants que de la faire pour tous le | Mais on ne dolt pas penser qu 'une courbe des probabili t~s ayan t un max imum plus marqu6 en r6sulte. Pour des hypothb.ses exprim~es math~mat iquement pa r une ligne uon-droi te c 'es t

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- - 8 3

rarement le cas. Ce fair est illustr~ par les Figs. 25 et 26. La Fig. 25 correspond au segment des valeurs d'observation de la m~me courbe que la courbe des Figs. 19 et 20, segment non n6gligeable. La Fig. 26 repr6sente un cas extreme off on ne con-

0%

~J%%j %

r r ~ i ~ooo Jooo zoo6 ~o~o

~m9

3

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k ! No

2

5

2ooo 3000 ~-ooo metres i . , f t ),

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Fig. 24.

sid~re qu'un seul point (E) et la pente de la courbe. La Fig. 25 repr~sente un cas pratique proche de cette l imite, mais ne co~ncidant pas entibrement avec elle.

Fig. 25.

Fig. 26.

Fig. 27.

0 Off 0,08 alO 0.r

,9 W

8

7

G

5

014" 0.76

La lilnite math6matique n'est pas une courbe continue, mais un point isol6 (IF = : co pour E) et une ligne droite avec une lacune (W = 0 pour tous points'qui ne'sont pas E).

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14. 076

2

7 : i .1~

0.06 0.08 0.70 0.12 0.~'4` 0.I6

Page 50: Prospection géophysique et certitude d'interpretation de ses données

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Ce n 'es t que pour les hypotheses exprim6es par une ligne droite et les hypo- theses proches de celles-ci oh ]a Fig. 25 n 'exis te pas. I1 existe en g~n6ral uu opti- mum des llmites suppos6es celles d 'une anomalie locale. En ce sens la m6thode d 'es t imat ion de cert i tudes donne un r6sultat suppl6mentaire: la possibilit~ de d6tlmiter les anomalies locales. Nous consid6rons cet te question en d6tail plus ta rd .

Pour achever la consid6ration du cas d 'une faille, il est n6cessaire de souligner que la th6orie de probabil i t4 ne peut depasser l 'hypoth~se faite. Si t 'hypothbse admise ne coincide pas en r6alit6 avec des observations, la th6orie des probabil i t6s donnera des chiffres tr~s pet i ts de cert i tude en signalant ainsi l ' insuffisance de l 'hypoth~se consid6r6e. Mais la th6orie des probabili t6s ne construi t pas au tomat i - quement une hypothbse plus exacte. C'est la tache d 'un g6ologue de le faire: dans le cas d6crit au lieu d 'une simple faille, en consid6rer une double ou d 'au t res struc- tures g6ologiques et les comparer avec la r6alit6, en calculant, d 'apr~s les m6thodes donn6es ci-dessus les cert i tudes de ces nouvelles hypotheses.