Travaux dirigsde mcanique du point Anne 2011-2012 Arnaud LE PADELLECalepadellec@irap.omp.eu Magali MOURGUESmagali.mourgues@univ-tlse3.fr Travaux dirigs de mcanique du point1/40 1 P r s e n t a t i o n Tous les exercices de mcanique du point qui seront abords en Travaux Dirigs cette anne sont regroups dans ce fascicule. Cesexercicessontregroupsparthme.Chacundesthmesestintroduitparunpersonnage historique,dontlestravauxontcontribul'avancementduthmeconsidr.Puis,les objectifs du thme sont noncs. Ontrouveensuiteunquestionnaire,typeQCM,comportantdesquestionsdecours:ilest ncessaire de le faire seul, chez soi, et avant de venir en TD. C'est un travail prparatoire, qui permet de s'assurer que les notions de base requises pour la rsolution des exercices sont bien comprises.Unecorrectionserafournieauthmesuivant,etl'tudiantpourraalorss'valuer selon le barme ci-dessous. Chaque question est note de 0 2 points :Pas de rponse : 0 pointAucune erreur : 2 points 1 erreur : 1 point 2 erreurs et plus : 0 point Le niveau dacquisition des connaissances est valu en fonction du nombre de total de points recueillis pour l'ensemble des questions :Total (par exemple, avec 5 questions, donc un maximum de 10 points) Connaissances acquisesSuprieur 7 Connaissances en voie dacquisitionDe 4 7 Connaissances non acquisesInfrieur 4 Travaux dirigs de mcanique du point2/40 2Ilestdemandauxtudiantsdeprparerlasancedetravauxdirigs,encherchantles diffrentsexercicesduthme,enparticulierceuxfaireavantleTD.Touslesexercicesdu thme ne seront pas traits en TD. Bien videmment, les mmes exercices seront traits dans tous les groupes. Tout exercice prpar l'avance pourra tre rendu l'enseignant, qui le corrigera, et le rendra lasemainesuivante.Demme,pourlesexercicesnontraitsenTD:aucunecorrectionne seradistribue.Ilestdonctrsvivementconseilldefairecesexercicesetdelesrendre l'enseignant de TD, titre d'entranement. L'quipe enseignante Travaux dirigs de mcanique du point3/40 3Thme 1 : Calcul vectoriel, systmes de coordonnes et drivation de vecteurs Nicolas Copernic (1473-1543) CopernicnoncelathorieselonlaquelleleSoleilse trouveaucentredel'univers,etlaTerre,quel'on croyait auparavant centrale, tourne autour de lui. Objectifs : Diffrencier une base et un repre. Calculer la norme dun vecteur, les produits scalaire et vectoriel entre deux vecteurs. Dfinir une base orthonorme. Calculer les projections dun vecteur sur les axes dun repre orthonorm. Dfinir les systmes de coordonnes cartsiennes, cylindriques, sphriques, intrinsques. Calculerlesdrivesdunvecteurdebaseetdunvecteurquelconquedansunrepre donn. Tangente et cercle de courbure en un point P de la courbe C Travaux dirigs de mcanique du point4/40 4Questionnaire : 1. Le produit scalaire de deux vecteurs 1eet 2e: Est un vecteur perpendiculaire au plan constitu par les deux vecteurs. Est un nombre sans dimensions. Est fonction de( )2 1, cos e e . Est fonction de( )2 1, sin e e . Aucune rponse nest correcte. 2. Le produit vectoriel de deux vecteurs 1eet 2e: Est un vecteur perpendiculaire au plan constitu par les deux vecteurs. Est un nombre sans dimensions. Est fonction de( )2 1, cos e e . Est fonction de( )2 1, sin e e . Aucune rponse nest correcte. 3. Les vecteurs norms 1e , 2eet 3econstituent une base( )3 2 1, , e e e Borthonorme directe si : 2 au moins des trois vecteurs sont perpendiculaires entre eux. 3 2 1e e e = . En amenant 1esur2e , on obtient3e , en tournant dans le sens horaire. En amenant 1esur2e , on obtient3e , en tournant dans le sens direct. Aucune rponse nest correcte. 4. Concernant le produit scalaire de deux vecteursaetb: Si0 = b a , alors les vecteursaetbsont colinaires. Si0 = b a , alors les vecteursaetbsont perpendiculaires. b a est caractristique du primtre du paralllogramme construit suraet b .b a est caractristique de la surface du paralllogramme construit suraet b . Aucune rponse nest correcte 5. Concernant le produit vectoriel de deux vecteursaetb: Si0 = b a , alors, les vecteursaetbsont colinaires. Si0 = b a , alors les vecteursaetbsont perpendiculaires. b a est caractristique du primtre du paralllogramme construit suraet b .b a est caractristique de la surface du paralllogramme construit suraet b . Aucune rponse nest correcte Travaux dirigs de mcanique du point5/40 5Exercices : Exercice 1 : Produits de vecteurs (A faire avant le TD) Soit les trois vecteurs:( ) 2 , 2 , 1 a ,( ) 2 , 2 2 , 2 bet( ) 2 , 2 , 0 c . a) Calculerc b a , , ,etendduirelesexpressionsdesvecteursunitairesae , be , ce des directions de a ,bet c . b) En considrant les angles a , bet ccompris entre 0 et , calculer :( )c b ae e , cos cos = ,( )c a be e , cos cos = et( )a b ce e , cos cos = . c) Calculer les composantes des vecteurs c b ae e u = , a c be e u =et b a ce e u = . d) En dduiresina ,sinbetsinc . Vrifier ces rsultats l'aide de la question b). e) Montrer que au , bu et cupeuvent constituer une base. Cette base est-elle norme? Exercice 2 : Systme de coordonnes (A faire avant le TD) Cetexercicetrsimportantestdavantageunequestiondecoursdguisequunvritable exercice. Il faut donc savoir le faire cours ferm ! Otantl'origined'unreprecartsien ( )z y xe e e O R , , , ,lapositiond'unpointMde l'espaceestdfinieparlevecteurposition OM r = . LapositiondecepointMpeuttre caractrise par diffrents triplets de nombres : -le triplet cartsien : x, y, z -le triplet cylindrique : , , z a) Positionner sur un schma semblable celui ci-dessus les vecteurs xe , ye , ze , eet e . b)Rajouterles6grandeursx,y,z,r, et.Prciserladimensionphysiquedechacune delles ainsi que leur domaine de variation respectif. c)DonnerlescomposantesduvecteurpositionOM enprojectionsurxe , ye et ze dune part, et en projection sure , eet ze dautre part. d)Exprimer , , r en fonction de x, y et z. e)Onconsidrelevecteurdplacementlmentaire dr .Donnerlescomposantesdece vecteurdanslereprecartsienlaidedesvariablesx,yetzetdanslerepre cylindrique laide des variables , et z. f)Endduirelaidedesvariablesx,yetzdunepartetdesvariables,etzdautre part,lesexpressionsdu volumelmentairedV etdutravaillmentaireW pourune force de type r k F = , o k est une constante. M O x y z Travaux dirigs de mcanique du point6/40 6Exercice 3 : Drivation des vecteurs unitaires Danslereprecartsien ( )z y xe e e O R , , , ,unpointPsedplacedansleplan( ) xOy .Ses coordonnes polaires sont et . a)Calculer Rde d(((

et Rde d(((

en projection dans la base cartsienne B lie R. b)En dduire les expressions de ces drivs vectorielles dans la base cylindrique Bcyl. c) tant fonction du temps, calculer laide de la question prcdente les expressions de Rdte d(((

et Rdte d(((

dans Bcyl en fonction dedtd. d)Dmontrerquedefaongnrale,ladrivedetoutvecteurunitairenapasde composante sur lui-mme. e)Montrer quil existe un vecteur tel que : edte dR =(((

, edte dR =(((

, zRzedte d =((

En dterminer les composantes. Ce vecteur est le vecteur rotation du repre cylindrique Rcyl par rapport R. f)Pourquoi0 =(((

cylRdte d et 0 =(((

cylRdte d ? g)Calculer cylRxdte d((

et cylRydte d(((

en projection sur Bcyl , puis en projection sur B. Exercice 4 : Vecteur vitesse LepointPestmobileparrapportaurfrentielcartsien( )z y xe e e O R , , , :sescoordonnes cartsiennes( ) , , x y zet cylindriques( ) , , z sont fonction du temps. a)ExprimerRdtOP d((

, en projection dans B lie R en fonction de x, y et z. b)A partir de cette expression, crire RdtOP d((

dans Bcyl en fonction de , dtd, , dtd et z.Pourcelaonexprimerax,yetzenfonctionde , etzpuis xe , ye et ze en fonction de e , eet ze . c)Retrouver ce rsultat directement partir de lexpression deOPdans Bcyl. d)Calculer directementcylRdtOP d((

dans Bcyl. Travaux dirigs de mcanique du point7/40 7Exercice 5 : Drivation- suite (A faire aprs le TD) Soit le repre orthonorm cartsien( )z y xe e e O R , , ,associ la base B, dans lequel la position d'unpointMdel'espaceestdfiniparlevecteurpositionOM .Ondfinitalorslerepre cylindrique Rcyl(O, Bcyl) associ la base orthonorme( )z cyle e e B , , . a)Exprimer le vecteur positionOMdans B. b)Exprimer le vecteur positionOMdans Bcyl. c)CalculerlavitessedupointMparrapportaurfrentielcartsienR : RdtOM d((

. Exprimer le rsultat dans B et dans Bcyl. d)CalculerlavitessedupointMparrapportaurfrentielcylindriqueRcyl : cylRdtOM d((

. Exprimer le rsultat dans B et dans Bcyl. Rsultats : ils sont dans les exercices qui prcdent et dans le cours. Travaux dirigs de mcanique du point8/40 8Thme 2 : Cinmatique du point Ren Descartes (1596-1650) Descartes dfinit ainsi le mouvement : "Mais si, au lieu de nousarrtercequin'apointd'autrefondementque l'usageordinaire,nousdsironssavoircequec'estquele mouvementselonlavrit,nousdirons[]qu'ilestle transportd'unepartiedelamatire,oud'uncorps,du voisinagedeceuxquiletouchentimmdiatement,etque nousconsidronscommeaurepos,danslevoisinagede quelques autres." Objectifs : Dfinir et identifier la nature dun mouvement (uniforme, acclr, retard). Dfinir et identifier un mouvement circulaire, en spirale, hlicodal. Reprsenterlesvecteursvitesseetacclrationencoordonnespolairesetcalculerleurs modules. Etablir lquation cartsienne dune trajectoire. Reprsenter et interprter la trajectoire. Connatre la relation entre vitesse linaire et vitesse angulaire. La table coussin d'air permet de dfinir le vecteur vitesse en un point. Travaux dirigs de mcanique du point9/40 9Questionnaire : 1. Un mouvement est uniforme si : Sa vitesse est constante. Son vecteur vitesse est constant. Son vecteur acclration est constant. Son acclration est nulle. Aucune rponse nest correcte. 2. Un mouvement est uniformment dclr si : La valeur algbrique de l'acclration tangentielle est constante. La valeur algbrique de l'acclration normale est constante. 0 < v a . aetvsont perpendiculaires. Aucune rponse nest correcte. 3. Le tridre de Frnet est compos des trois vecteurs ne , teet be , tels que( )b t ne e e , ,est une base orthonorme directe. ( )t n be e e , ,est une base orthonorme directe. ( )b n te e e , ,est une base orthonorme directe. ( )n b te e e , ,est une base orthonorme directe. Aucune rponse nest correcte. 4. Le vecteur unitaire neest : Constant. Dirig vers la concavit. Dirig vers l'extrieur de la trajectoire. Garde une direction fixe. Aucune rponse nest correcte. 5. Concernant l'acclration d'entranement :( )( )ReedtR R M v dR R M a(((

=/ ' ,/ ' ,( )( )'/ ' ,/ ' ,ReedtR R M v dR R M a(((

=( ) ( ) R R M v R R M ae e/ ' , 2 / ' , =( ) ( ) ' , 2 / ' , R M v R R M ae = Aucune rponse nest correcte. Travaux dirigs de mcanique du point10/40 10Exercices : Exercice 1 : Mouvement plan circulaire uniforme (A faire avant le TD) Dans le repre( )y xe e O R , , , un point P a pour coordonnes polaireset linstant t, tels que :cos sin A B = +avect = , o A, B, etsont des constantes positives. a) Dterminerlescomposantescylindriquesduvecteurvitesse R Pv/enfonctiondutemps. En dduire la nature du mouvement. b) Quellessontlescomposantescylindriquesduvecteuracclration R Pa/enfonctiondu temps ? c) Dterminer lquation cartsienne de la trajectoire. Montrer que celle-ci est un cercle. e) Dduire de l'expression de R Pa/ le rayon du cercle. Exercice 2 : Mouvement en spirale Dansleplan( ) xOy dunrepre ( )z y xe e e O R , , , ,lemouvementd'unpointPestdcritparla variation de ses coordonnes cartsiennes en fonction du temps t : e cosktx b kt=;e sinkty b kt= , o b et k sont deux constantes positives. a) 1- Dterminer en fonction de t les coordonnes polaireset de P. 2- En dduire l'quation polaire de la trajectoire de P. 3- Reprsenter la trajectoire. b) 1- Dterminer en fonction de t les composantes polaires du vecteur vitesse R Pv/. 2- En dduire l'angle( )R Pv OP/, = . 3- Indiquer la nature du mouvement (uniforme, acclr ou retard). c) 1- Dterminerenfonctiondetlescomposantespolairesduvecteuracclration R Pa/. 2- Prciser la direction de R Pa/ et reprsenter ce vecteur sur la figure. d) 1- Dterminer en fonction de t les composantes tangentielle et normale de R Pa/. 2- En dduire la valeur du rayon de courbure de la trajectoire. Travaux dirigs de mcanique du point11/40 11Exercice 3 : (A faire aprs le TD) Dans le plan (xOy) d'un repre( )z y xe e e O R , , , , un point P dcrit la parabole d'quation : ( )212=xy . Son mouvement est acclration centrale de centre O. 1. a.Tracer le graphe de la trajectoire. b.Calculer l'aire balaye par le vecteur espaceOPlorsque l'angle polaire de P varie de 2 2.Montrer que l'quation polaire de la trajectoire est: ( ) sin 11= r 3. a.Donner l'expression de la vitessevde P en fonction de C (constante des aires) et de r. On pourra utiliser la premire formule de Binet. b.EndduirelavaleurdelaconstantedesairesC,sachantquepour=3/2, v= 4 m s-1. c.CombiendetempsmetOP pourbalayerlasurfaceindiquedelapremire question ? 4.Donner l'expression de l'acclrationade P en fonction de r. Exercice 4 : Mouvement hlicodal (A faire aprs le TD) Un point matriel M dcrit, par rapport un repre ( )z y xe e e O R , , , , une trajectoire dfinie par les quations paramtriques : sin x b t = ,( ) 1 cos y b t = etz t = , o b etconstantes positives. a) Donner les coordonnes polaireset de H, projet orthogonal de M dans( ) xOy . b) Quels sont la trajectoire et le mouvement, par rapport R, de H ? c) Donnerlescomposantescartsiennes,cylindriquesetintrinsquesdesvecteursvitesseet acclration du point M par rapport R. Elments de rponse :a)mouvement circulaire uniforme (v=b) de centre (O, b) b)2 sin2tb =et 2t =c)1-z y x R Me b e t b e t b v + + = sin cos/ ; y x R Me t b e t b a cos sin2 2/+ =2-z R Me b etb etb v + + =2sin2cos/ ; etb etb aR M2cos2sin2 2/+ =3-( )t R Me b v 2/= ; n R Me b a2/ =Travaux dirigs de mcanique du point12/40 12 Thme 3 : Changement de rfrentiel Galileo Galilei dit Galile (1564 - 1642) ArdentdfenseurdusystmedeNicolasCopernic (hliocentrisme),ils'estheurtdevivescritiquesmanant despartisansdugocentrismeainsiqu'cellesdel'glise catholiqueromaine.Ilestconsidrcommeleprede l'observation astronomique et de la physique moderne. Sesralisationscomprennentleperfectionnementdela lunetteastronomiqueainsiqu'uneamliorationnotableau niveaudesobservationsastronomiquescommelapossibilit, parexemple,deconfirmerlesphasesdeVnus.Dansle domainedesmathmatiquesetdelaphysique,ilasurtout contribufaireavancerlesconnaissancesrelativesla cinmatique et la dynamique. Travaux dirigs de mcanique du point13/40 13Exercices : Exercice 1 : Mouvement d'une masselotte sur une tige UnemasselotteA,demassem,peutcoulisser sansfrottements,surunetige(T).Onnoterla distanceOAentrel'extrmitdelatigeetla masselotte A considre comme ponctuelle. Cettetige,inclinedel'angle o parrapport l'axeOzdurepred'observation ( ) xyz O R , , tourneuniformmentlavitesseangulaire oautour de Oz. Onnote( ) ' ' ' , ' z y x O R lerepreorthonorm directlilatige,etindiqusurlafigureci-contre. a) ExprimerlevecteurOAenfonctiondereto ,danslabaseBlieR.Endduirela vitesse de A dans R' / R Av , que l'on exprimera dans B. b) Caractriser le mouvement de R par rapport R (vitesse de l'origine, vecteur rotation). c) Dterminer l'expression de la vitesse d'entranement, de l'acclration d'entranement et de l'acclration de Coriolis, lies A, dans le mouvement de R par rapport R. d) Retrouver, par application des lois de composition des mouvements, les expressions de la vitesse et de l'acclration de A dans R. Exercice 2 : Mange du "service th" Sur le plateau (P) d'un mange (plateforme circulaire de centre O et de rayon R), on a install undisque(D),decentreCetderayonr < R,surlacirconfrenceduquelestfixunsige, repr par le point M. Le plateau (P) du mange tourne avec une vitesse angulaire constanteautour de son axe verticalascendantOz,parrapportsonbti,auquelestassocilerfrentiel galilen ( )z y xe e e O R , , , . Le disque (D)a, par rapport au plateau (P), unmouvement de rotationuniforme, de vitesse autour de l'axe de rvolution Cz. On dfinit alors les rfrentiels( )z y x Pe e e O R , , ,li (P), et( )z De e e C R , , ,2 1 li (D), avec ( ) t e ex x =',et( ) t e ex =1 ', . z x y x' y' A O ot g

(T) rTravaux dirigs de mcanique du point14/40 14 On pose'xe L OC =(L < R constant) et 1e r CM= . a) Dfinir les vecteurs rotation( ) R RP/ ,( )P DR R / et( ) R RD/ . b) Calculerindpendammentlesunesdesautres,lesvitesses( )PR M V / ,( ) R R M VPe/ , et ( ) R M V / . Vrifier la loi de composition des vitesses. c) Calculer indpendamment les unes des autres, les acclrations( )PR M a / ,( ) R R M aPe/ , , ( ) R R M aPc/ ,et( ) R M a / . Vrifier la loi de composition des acclrations. Travaux dirigs de mcanique du point15/40 15Thme 4 : Dynamique du point Isaac Newton (1642 - 1727) En1687,Newtonmetenvidencequedesforces universellesrgissentlesmouvementsdetoutemasse dansl'univers.Ilnoncelathoriedela gravitdans sonouvrageintitul"PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica". Il donne ainsi naissance la "mcaniquenewtonienne"diteaussi"mcanique classique". Pr-requis : Savoir rsoudre les quations diffrentielles du 1er et 2me ordre (1er semestre). Objectifs : Diffrencier repre galilens et non galilens. Enoncer et appliquer le principe de l'inertie (1re loi de Newton). Identifieretdfinirlesdiffrentesforcessappliquantsurunobjetouparticule(poids, forcederappel,forcedefrottementsvisqueux,forcelectrostatique,forcedeLorentz, forces d'inertie). Enoncer et appliquer la loi fondamentale de la dynamique (2me loi de Newton). Enoncer et appliquer le thorme du moment cintique. Enoncer et appliquer le principe de l'action et de la raction (3me loi de Newton). LesdeuxpremiresloisdeNewtonenlatindansl'dition originale du Principia Mathematica de 1687. Travaux dirigs de mcanique du point16/40 16Questionnaire : 1. Un rfrentiel est galilen s'il est en translation rectiligne uniforme par rapport : Au rfrentiel de Copernic. Au rfrentiel de Kpler. Au rfrentiel gocentrique. Au rfrentiel terrestre. Aucune rponse nest correcte. 2. Les forces suivantes sont des forces dites "fondamentales" : La force de gravitation. La force lectromagntique. La force lastique. La force de pesanteur. Aucune rponse nest correcte. 3. SoitdeuxrfrentielsRgalilenetR'nongalilen.Laloifondamentaledeladynamiqueappliqueune particule ponctuelle de masse m, s'nonce : ( ) ( ) R M a m R M F / /= ( ) ( ) ' / ' / R M a m R M F=( ) ( ) ( ) ( ) ' / , ' / , ' / / R R M a m R R M a m R M a m R M F c e + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ' / , ' / , ' / ' / R R M a m R R M a m R M a m R M F c e + + = Aucune rponse nest correcte. 4. Le thorme, en un point fixe A, du moment cintique s'crit : ( ) ( ) R M v AM m R M LA/ / =( ) ( ) = R M F AM R M MA/ /( ) ( ) =(((

R M F AM R MdtL dRA/ /( ) ( ) ( )=(((

R M F M R MdtL dARA/ / Aucune rponse nest correcte 5. La troisime loi de Newton : Est valable dans tout rfrentiel, galilen ou non. Prcise que 1 2 2 1 = F F Stipule que la force de raction est directement oppose l'action. S'applique pour toute force, comme par exemple la force de gravitation. Aucune rponse nest correcte Travaux dirigs de mcanique du point17/40 17 Exercices : Exercice 1 : Mouvement rectiligne (A faire avant le TD) Un point A, de masse m et repr par sa coordonne x, est astreint se dplacer sur l'axe Ox d'unrfrentielgalilen( ) xyz O R , .Ilestsoumis,dansladirection( ) Ox ,laforce xedtdxm F = ,o estuneconstantepositive.Al'instant0 t = ,AsetrouveenOet possde le vecteur vitesse x o oe v v =avec vo > 0.a) Dterminer l'quation horaire x(t) du mouvement. b) Tracer le graphe de x(t) et dcrire le mouvement. Rponse :( ) ( )t oevt x = 1 existence de ovx =lim. Exercice 2 : Glissement d'une bille sur un cylindre (A faire avant le TD) Suruncylindrefixe,decentreOetderayonR,unebilleM,assimilableunemasse ponctuelle m, est lche, sans vitesse initiale, du point A, situ sur la verticale ascendante Oz du rfrentiel galilen ( )z y xe e e O R , , , . Le mouvement de M s'effectue, sans frottement, dans le plan perpendiculaire l'axe Oy de rvolution du cylindre. On repre la position de M par l'angle

( ), OA OM =

. a) Raliserlebilandesforcess'exerantsurM.Quelestlerepred'tudeleplusadapt? Quelle est la base de projection la plus judicieuse ? b) Appliquer le thorme du moment cintique en O, et en dduire une intgrale premire du mouvement. c) Dduire du principe fondamental de la dynamique l'expression de la raction exerce par le cylindresurlabille,enfonctionde etdesadriveparrapportautemps

,puis uniquement en fonction de . d) Pour quelle valeur de la bille quitte-t-elle son support ? Travaux dirigs de mcanique du point18/40 18Exercice 3 : Mouvement sous l'action de la pesanteur Dansunrfrentielterrestre( )z y xe e e O R , , , supposgalilen,oOzestlaverticale ascendanteet( ) xOy lesol,ontudielemouvementd'unpointA,demassemetde coordonnes( ) , , x y z , sous la seule action de son poids. A l'instant0 t = , A se trouve en O et possde le vecteur vitesse( ) ( )z o y o oe v e v v sin cos + =avec((

2, 0 . a) Dterminer les expressions de x(t), y(t) et z(t). Montrer que la trajectoire est plane. b) On se place dans le cas gnral o2 . 1- Former lquation cartsienne de la trajectoire et identifier celle-ci. 2- Reprsenter le graphe de la trajectoire. Indiquer l'altitude maximale. 3- Dterminer la distance yc qui spare O du point d'impact C de A sur le sol (yc est la porte). Indiquer pour quelle valeur de la porte est maximale. c) Toujoursavecquelconque,lepointAestsoumisuneforcesupplmentairede frottement R A v k F / = , o k est une constante etR A v /le vecteur vitesse de A dans R. 1- i) Etablirlesquationsdiffrentiellesauxquellesobissentlescomposantesdu vecteur vitesse R A v / . ii) Dterminer alors ses composantes et montrer quil existe une vitesse limite dont on dterminera les caractristiques. 2- i) Dterminer les expressions de y(t) et de z(t). ii) Enadmettantquez(t)peutprendredesvaleursngatives,montrerquela trajectoire admet une asymptote que lon dterminera. iii) A quel instant laltitude est-elle maximale? iv) Quelle est alors labscisse du sommet de la trajectoire ? Comparer ce rsultat avec la valeur obtenue en b)2- en faisant tendre k vers 0. Exercice 4 : Influence de la force de Coriolis sur une particule en chute libre (A faire aprs le TD) Soit le rfrentiel terrestre local reprsent par le repre ( )z y xe e e O R , , ,o xeest orient vers l'est, ye estorientverslenord,et ze dsignelaverticaleascendante.Cerepreesten rotationparrapportaurfrentielgocentriquelavitesseangulaire T ,etonnote ze g g la pesanteur terrestre en O (on ngligera le faible cart la verticalit degassoci laforced'inertied'entranementdelarotationdelaTerresurelle-mme),et TR lerayon terrestre. Une bille est lche sans vitesse initiale depuis une hauteur Th R 0 ( ) cos21mgl E Ep m > 4.PardfinitiondeEm,Em Ep ;parailleurs,ici,( ) cos21mgl E Ep m > pourque le contact se maintienne. On a donc une double contrainte respecter pour quil ny aitpasdraillement.Or,en = (enC,pointleplushautolecontactdoittre maintenupourqueleloopingsoitrussi),lasecondeconditionestplusrestrictive que la premire et impose donc son rle. Ainsi,l h h25min= > . 5.vB = 24,5 ms-1 ; vC = 14,1 ms-1 ; RB = 24,5 kN ; RC = 3,5 kN. Exercice 6 : Mouvement dune masselotte sur une demi-boule (A faire aprs le TD) Dansunrfrentiellilasurfacedelaterre mais suppos galilen, un point M de masse m est plac au sommet M0 dune demi sphre de rayon r.Onluicommuniqueunevitesseangulaire initiale 0 . On suppose que le dplacement de M surlademisphreestreprparlangleet demeureexemptdetoutfrottement.g est lacclration de la pesanteur. 1-Quel est le mouvement ultrieur de M ? 2-Que peut-on dire du travail de la ractionRdu support ? 3-a)CalculerlnergiemcaniquedupointM.Onprendraloriginedesnergies potentielles au point O, centre de la sphre. b)Endduirelexpressiongnralede enfonctiondeg,r, 0 et.Apriori,M peut-il dcrire la totalit de la demi sphre ? 4- En appliquant la loi fondamentale de la dynamique, dterminer lexpression deR . 5-Lorsque 0 estngligeable,montrerquilexisteunevaleurde!pourlaquelleRsannule. Quel est alors le mouvement de M ? Travaux dirigs de mcanique du point27/40 27Quelques petits calculs non traits en TD (Autovaluation) 1-Une dpanneuse remorque une voiture en panne sur une cte 20. En supposant que le cble fait 30 avec le plan de la route et que la tension est constante et vaut 1600 N, quel est le travail effectu par la dpanneuse sur la voiture si elle la remorque sur une distance de 500 mtres ? (Rponse : W = 6,9.105 J) 2-Untambourde30 cmdediamtretourne10 toursparminuteautourdesonaxe horizontal. Un fil est enroul autour du tambour. Ce fil porte son extrmit une charge de200 N.Quelestletravaileffectuparlefilsurlacharge,sillahissevitesse constante pendant 2 minutes ? (Rponse : W = 3,8.103 J) 3-Enmarchantnormalementvitesseconstante,unepersonneexerceuneforcedenviron 0,3 Npoursurmonterlarsistancedelair.Quelestletravaildecettepersonnepour vaincrelarsistancedelairenparcourantdeuxfoisunepistecirculairederayon 0,25 km ? (Rponse : W = 9.102 J) 4-Lascenseur express de la tour Sears Chicago a une vitesse moyenne de 548,6 m.min-1, lors de sa monte au 103metage, 408,4 m au-dessus du sol. Supposant que la charge totale est de 1 tonne, quelle est la puissance moyenne de son moteur ? (Rponse : Pmoy = 90 kW) 5-La vitesse de dcollage dun avion de ligne Boeing 747, pesant 2,2.106 N, est de 268 m/s. Calculeralorssonnergiecintique.SachantquunkilodeTNTproduitunenergiede 4,6.106 J, quelle est la masse de TNT quivalent cette nergie cintique ? (Rponses : Ek = 8,0.109 J ; masseTNT = 1,7 tonnes) 6-Selon, le livre des records, Alexandre Zass (surnomm Samson ), quand il ne pliait pas des barreaux de fer, pouvait attraper une femme de 463 N tire dun canon une vitesse prochede72 km.h-1.EnsupposantqueSamsonstoppaitnotrehroneenlaralentissant uniformmentsurunedistancede1 mtre,calculerlaforcequilexeraitalors.On supposequelavitessedelafemmetaitde8,94 m/slorsqueSamsonlattrapait. (Rponse : F = 1,89 kN) 7-Quelle est la variation dnergie potentielle dun mtorite de 100 kg, sil tombe en chute libre de 1000 km jusqu la surface de la Terre. La Terre a une masse de 6,0.1024 kg et un diamtre de 1,28.107 m. (Rponse : Ep = -8,5.108 J) 8-Unsauteurportantsaperche(tubepaisdemasseenviron2 kgengraphiteetfibrede verre) se prpare franchir la barre. A quelle vitesse doit-il courir pour atteindre 6,10 m dehauteur ?Ngligeztoutepertednergieetsupposezquesoncentredegravitest 1 m du sol. (Rponse : v = 10 ms-1) 9-Une skieuse de 60 kg part de larrt au sommet dune pente de hauteur 60 m et descend sans utiliser ses btons. (a) Quelleestsonnergiepotentiellegravitationnelleinitialeparrapportaubasdela pente ? (Rponse : Epi = 3,5.104 J) (b) Enngligeantlesfrottements,calculezsavitessethoriqueaubasdelapente ? (Rponse :vf = 34 m.s-1) (c) Enfait,elleatteintlebasavecunevitessede25 m.s-1.Quelleestlnergietotale perdue par frottements ? (Rponse : Wf = -1,7.104 J) 10-SoituneplanteimmobilederayonRetdemasseM.Queltravaildoittreeffectusur une fuse de masse m, pour lloigner lentement de la surface de cette plante jusqu une distance infinie ? On ngligera tout frottement. (Rponse : W = GMm/R) Travaux dirigs de mcanique du point28/40 28Thme 6 : Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives Johannes Kpler ou Keppler (1571-1630) Kplerdcouvrequelesplantessuiventdes trajectoireselliptiquesautourdusoleiletnonceles relationsmathmatiquesquirgissentleur mouvement. Objectifs : Dfinir rfrentiel gocentrique, quantit de mouvement et moment cintique en un point Enoncer le thorme du moment cintique en un point Enoncer les lois gnrales de conservation (loi des aires, nergie mcanique) Enoncer les lois de Kepler Dfinir lexcentricit e et en dduire la trajectoire associe en fonction de la valeur de e Touslescorpsclestesquicomposentlesystmesolairegravitentautourdusoleilsuivantdesorbites elliptiques.Enpremireapproximationcesellipsessontassimilablesdescerclesayantpourcentrelecentre dusoleil,saufpourdeuxexceptions:PlutonetMercure.Lestrajectoiresdesplantesautourdusoleilsont toutescontenuesdansunmmeplan(l'cliptique) l'exceptiondeMercure(inclinaisonde9)etdePluton (inclinaisonde17,2).Lesplantesrocheusessont:Mercure,Vnus,laTerre,MarsetPluton.Lesplantes gantesessentiellementgazeusessont:Jupiter,Saturne,UranusetNeptune. Lescomtessecomposentde glace.Les mtorites sont faites de roches ou de mtal. Travaux dirigs de mcanique du point29/40 29Questionnaire : 1. La force dinteraction gravitationnelle est : Conservative. Non conservative. Centrale. Non centrale. Aucune rponse nest correcte. 2. LemoduledelaforcedinteractiongravitationnelleexerceparunpointAdemasseMsurunpointBde masse m distants de r est : Inversement proportionnel la distance r. Inversement proportionnel au carr de la distance r. Proportionnel au produit M par m. Proportionnel la constante de gravitation universelle. Aucune rponse nest correcte. 3. LnergiepotentielledinteractiongravitationnelleexerceparunpointAdemasseM,surunpointBde masse m, distants de r est : Inversement proportionnelle la distance r. Inversement proportionnelle au carr de la distance r. Proportionnelle au produit M par m. Proportionnelle la constante de gravitation universelle. Aucune rponse nest correcte. 4. La force dinteraction gravitationnelle exerce par un point A de masse M sur un point B de masse m, distants de r : Drive dun potentiel de gravitation. Drive dune nergie potentielle. Est attractive si son module est positif. Est attractive si son module est ngatif. Aucune rponse nest correcte. Travaux dirigs de mcanique du point30/40 30Exercices : Exercice 1 : Utilisation de la formule de Binet (A faire avant le TD) Un point matriel M de masse m est soumis une force centraleF

dirige vers O, point fixe et origine du rfrentiel galilen dans lequel est tudi le mouvement. On repre ce point par ses coordonnes polaires( ). , rOn dsigne par C la constante de la loi des aires, soit,2C r =

et on pose.1ru =On rappelle la seconde formule de Binet concernant l'acclration radiale de M :r rudu du u C a ((

+ =222 2 a)DterminerlexpressiondelaforceF

danslecasolepointdcritunespirale dquation : 1)K r = (K constante), 2)( ) = exp0r r ( constante positive) b)Mme question pour une trajectoire du type:.cos 1 epr+= Exercice 2 : Caractristiques d'un mouvement force centrale UneparticuleP,demassem,estattireparuneparticulefixeenO,demasseM,selonla force.3rrmMG F

=G reprsente la constante de gravitation, etOP r = . a)Soitpla quantit de mouvement de la particule P, etLson moment cintique. 1)Calculerlevecteur dtL d.Lemomentcintiqueest-iluneconstantedu mouvement ? 2)Evaluer la quantitr L b)On pose le vecteurRtel que rrM Gm L p R2 = . 1)EvaluerlaquantitR L etconclurequantlorientationdeL parrapport Ret celle deRpar rapport au plan de la trajectoire. 2)Alaideducalculde dtR d,montrerquelevecteurR estgalementune constante du mouvement. Travaux dirigs de mcanique du point31/40 31c)Soit langle que font les vecteursretRDterminer lquation de la trajectoire de P. La mettre sous la forme( ) , , R L f r = . Exercice 3 : Troisime loi de Kpler (A faire aprs le TD) OndsigneparMlamassedelaTerreetparmcelledunsatelliteartificiel( ) m M