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COLE D'INGNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.)SECTION DE MCANIQUEG.R. Nicolet, revu en 2005QUELQUES EXERCICES SUR LESLMENTS DE MACHINESVolume 1Tribologie, assemblages vis, ressorts, jointsVolume 2Organes de transmission directeVolume 3Organes de transmission indirecteCopyright Gaston Nicolet CH-1700 Fribourg tout droit rserv- Exercices E.M. 1 -Volume 1Tribologie, assemblages vis, ressorts, jointsCHAPITRES 1 3 : BASES ET TRIBOLOGIERecommandations :Tous les exercices sont rsoudre :- l'encre sur feuille au format A4 avec criture des donnes du problme,- dessin de la figure, quilibre analytique et/ou graphique,- solution du problme et remarques ventuelles sur les rsultats obtenus dans la solution propose.- justification dtaille de chaque rponse aux questions poses.Les rsultats dpendent dans de nombreux cas des hypothses introduites, les quilibres statiques oudynamiques ne devant jamais tre mis en dfaut.1.1 Un frein sabot est constitu par un levier rectiligne, articul au point C, quip d'un sabotappliqu sur un tambour en fonte grise. Le coefficient de frottement de glissement entre le sabot et letambour est mu, la force active sur le levier F . Le poids du levier est ngligeable vis vis des effortsdonns.Calculez :1. le couple de frottement sur le tambour lorsque le sens de rotation est dans le sens horaire.2. le couple de frottement sur le tambour lorsque le sens de rotation est dans le sens antihoraire.3. la position imposer l'articulation C pour obtenir mme couple de freinage dans les deux sensde rotation.Application numrique :Dimensions : a = 920 mm, b = 160 mm, c = 180 mm, d = 250 mm.Force applique F = 200 N et coefficient de frottement de glissement mu = 32 %.1.2 Un frein sabot est constitu par un levier coud, articul au point C, quip d'un sabotappliqu sur un tambour en fonte grise. Le coefficient de frottement de glissement entre le sabot et letambour vaut mu, le coefficient de frottement d'adhrence mu0. Le poids total de la partie mobilearticule sans frottement sur le point C vaut G, la ligne d'action de cette force passant exactement parle centre de rotation du tambour.Calculez :1. le couple produire sur l'arbre de commande du tambour lorsque le sens de rotation est dans lesens horaire.2. le couple produire sur l'arbre de commande du tambour lorsque le sens de rotation est dans lesens antihoraire.3. les conditions gomtriques et mcaniques remplir par ce mcanisme pour que la rotation dansle sens antihoraire soit rendue impossible.Application numrique :- Exercices E.M. 2 -Dimensions : a = 750 mm, b = 180 mm, d = 280 mm, poids de la partie mobile G = 120 N, coefficientde frottement de glissement mu = 34 %, coefficient de frottement d'adhrence mu0 = 40 %.Quelles sont alors les couples sur le tambour dans le deux sens de rotation et pour les deuxcoefficients de frottement ?1.3 Un frein tambour est constitu principalement par un tambour de diamtre intrieur d, dedeux mchoires appuyes sans frottement sur l'articulation fixe C, quipes de garniture antifriction aucoefficient de frottement de glissement mu. Un cylindre hydraulique, non reprsent sur la figure,produit sur les extrmits suprieures des mchoires des forces F gales et directement opposes.Calculez :1. l'quilibre de chaque mchoire en supposant le sens de rotation reprsent pour le tambour.2. le couple de frottement sur le tambour.3. l'effort total produit par les deux mchoires sur le point d'articulation fixe C.Application numrique :Dimensions : d = 260 mm, a = 100 mm, b = 90 mm, mu = 36 %.Pousse du vrin F = 800 N . Indiquez si le couple de frottement dpend du sens de rotation dutambour. Si cest le cas, calculez les deux couples.1.4 Un frein tambour est constitu par un tambour au diamtre intrieur d, de deux mchoiresappuyes sans frottement sur les articulations fixes C1 et C2, quipes de garniture antifriction aucoefficient de frottement de glissement mu. Un systme mcanique, non reprsent sur la figure,produit sur les extrmits libres des mchoires des forces F d'intensit gale, mais de sens opposs.Calculez :1. le couple de frottement sur le tambour.2. l'effort sur chacun des points fixes C1 et C2.Application numrique :Dimensions : d = 300 mm, a = 115 mm, b = 105 mm, mu = 34 % et force produite F = 1000 N.Indiquez si le couple de frottement dpend du sens de rotation du tambour. Si c'est le cas, donnez lesdeux expressions du couple de frottement en fonction des grandeurs connues.1.5 Un frein tambour est constitu par un tambour de diamtre intrieur d, de deux mchoiresarticules au point flottant commun C, la seconde mchoire tant appuye sans frottement surl'articulation fixe B. Ces deux pices sont quipes d'une garniture antifriction au coefficient defrottement de glissement mu. Un cylindre hydraulique, non reprsent sur la figure, exerce unepousse F sur la mchoire de droite.Calculez :1. l'quilibre des deux mchoires, en particulier l'effort dans l'articulation commune C.2. le couple de frottement sur le tambour du frein.3. l'effort sur l'articulation fixe B.Application numrique :Dimensions : d = 320 mm, a = c = 140 mm, b = 125 mm, u = 32 % et pousse du vrin F = 630 N.Indiquez si le couple de frottement dpend du sens de rotation du tambour. Si c'est le cas, donnez lesdeux expressions de ce couple en fonction des grandeurs connues.- Exercices E.M. 3 -1.6 Une plaque rigide, largeur b, profondeur l, hauteur h, de poids pratiquement ngligeable, estplace dans un v symtrique rugueux, l'angle d'ouverture valant 90. Quelles sont les positionsextrmes que peut occuper la force verticale F sur la plaque horizontale avant que cette dernirecommence glisser, le coefficient de frottement d'adhrence tant mu0 ? Quelles sont alors lesvaleurs des ractions d'appui sur la plaque ?Application numrique :Dimensions : b = 160 mm, h = 12 mm, force verticale F = 500 N et mu0 = 18 %.Calculez le coefficient de scurit au glissement lorsque la force est dplace de 10 mm par rapport l'axe de symtrie de la structure.1.7 Un axe en acier, diamtre 50 mm, est guid avec jeu dans une pice en fonte grise, longueurtotale de guidage 100 mm, partie ajoure au centre sur 40 mm. La force applique sur l'axe, l'extrieur du guidage, vaut F = 4 kN. Le coefficient de frottement d'adhrence vaut mu0 = 24 %, deglissement mu = 15 %.Dterminez :1. l'intensit de la force axiale Fa produire au dmarrage et vitesse constante en supposant toutd'abord des pressions rparties uniformment.2. l'intensit de la force axiale Fa produire au dmarrage et vitesse constante en supposant despressions rparties linairement entre l'axe et son guidage.3. la valeur des pressions maximales et minimale dans ce dernier cas.1.8 Un coulisseau en fonte grise est mont sur un rail en acier, section transversale rectangulaire100 mm x 60 mm, le poids de la pice mobile tant 180 N. Les coefficients de frottement sur toutesles surfaces en contact sont :- au repos : 23 %,- en glissement : 14 %.Calculez les intensits de la force F pour dplacer la pice sur le rail, la pression entre les deux picestant suppose rpartie linairement.1.9 Un mcanisme came avec tige excentre se compose d'une came de forme approprie,permettant de transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne oscillatoire, d'une tigecylindrique guide avec jeu dans deux appuis. La charge axiale sur la tige est F = 1600 N. La came- Exercices E.M. 4 -est entrane en rotation dans un palier lisses, diamtre 25 mm. Toutes les surfaces en contactprsentent du frottement au coefficient de glissement mu = 13 %.Calculez le couple moteur produire sur l'arbre de commande de la came pour dplacer la tige dansles deux sens, la charge axiale sur la tige restant constante.1.10 Un systme de serrage simple est constitu par deux coins guids avec frottement, lesdimensions tant donnes sur la figure. La force motrice, applique horizontalement sur le coininfrieur, vaut F = 5 kN. Le coefficient de frottement de glissement pour toutes les surfaces en contactest mu = 0,14 .Dterminez :1. la force normale produite sur la face bombe du second coin de serrage.2. le rendement du mcanisme au serrage.3. les conditions de libration du coin sollicit par la force motrice de sens oppos.4. Le rsultat du calcul dpend-il des hypothses introduites dans la rpartition de la pression sur lessurfaces glissantes ?1.11 Un accouplement trois dents prsente une partie gauche fixe sur l'arbre moteur et unepartie droite pouvant coulisser sur l'arbre entran. La puissance transmettre vaut 5 kW lafrquence de rotation de 5 t/s. Toutes les surfaces en glissement possdent un coefficient defrottement mu = 14 %. Les diverses dimensions gomtriques sont donnes sur la figure. On dsirelibrer l'entranement entre l'arbre moteur gauche et l'arbre entran de droite en dplaant la partiemobile coulissant sur l'arbre.Dterminez :1. la force axiale Fa produire sur l'anneau de commande pour dplacer la partie mobile vers ladroite, toutes les faces des trois dents transmettant des forces normales gales.2. la force axiale Fa produire si la fabrication des pices est telle que seule une seule face transmetentirement le couple.3. la condition la plus dfavorable de transmission du couple entre l'arbre, sa clavette facesparallles et la denture de l'accouplement.1.12 Un frein automatique de scurit, constitu par un segment mtallique, est mont sur la janted'un tambour cble. La charge dans le cble vaut 25 kN, le diamtre moyen d'enroulementdu cble sur le tambour tant d1 = 320 mm. Le diamtre d'action du frein sur le tambour vautd2 = 400 mm.La masse du secteur, formant le frein, est ngligeable vis vis des forces en prsence. Le coefficientde frottement entre le frein et la jante du tambour vaut mu = 25 %, le coefficient de scurit auglissement devant tre au moins Sgl >= 1,6. Le rayon de contact du frein est choisi R = 200 mm.Dterminez :1. la position donner au centre de courbure du rayon de contact du frein afin de satisfaire lesconditions imposes.2. les ractions d'appui totales sur le tambour et sur le segment de frein lorsque ce dernier est enfonction.- Exercices E.M. 5 -1.13 Un entranement encliquetage se compose d'une pice intrieure en croix, de trois rouleauxcylindriques, diamtre 4,5 mm, d'une pice extrieure en forme ce cloche cylindrique, diamtreintrieur 28 mm. Les rouleaux cylindriques sont maintenus en contact avec la cloche par des ressortshlicodaux force axiale pratiquement ngligeable.Dterminez :1. le principe de l'quilibre statique des rouleaux cylindriques.2. l'angle compris entre la normale et la raction d'appui totale au point C si les rouleaux ne glissentpas.3. le coefficient de frottement minimal possible entre les rouleaux et les deux pices intrieure ouextrieure si le coefficient de scurit au glissement doit tre au moins 1,4.4. les forces totale, normale et de frottement sur les rouleaux si le couple appliqu entre la croixintrieure et la cloche vaut 32 m.N.1.14 Un systme de serrage, reprsent sur la figure, se compose essentiellement des picessuivantes : un poussoir cylindrique au diamtre 16 mm, deux poussoirs latraux au diamtre 12 mmguids dans des appuis avec frottement, trois rouleaux cylindriques intermdiaires galement audiamtre 12 mm, longueur 10 mm. Toutes les pices en mouvement peuvent tre affectes defrottement au coefficient mu = 12 %. On applique sur le poussoir vertical une force axiale F = 2000 N.Dterminez :1. l'quilibre de chacune des pices de ce mcanisme en exprimant les hypothses introduites pourla rpartition de la pression..2. la valeur des forces horizontales de serrage.3. la pression superficielle entre le poussoir, les rouleaux cylindriques et les pices de serrage.4. le rendement mcanique total de ce mcanisme.1.15 Un systme de serrage selon figure est command par un vrin pneumatique qui produit uneforce axiale Fa = 1,6 kN. Le levier B est centr sur l'axe A sans frottement. Toutes les autres surfacesen dplacement des pices B, C, D, E1 et E2, sont soumises au frottement de glissement mu = 14 %.L'effort produit par le ressort de rappel peut tre nglig.Dterminez :1. l'quilibre de la pice B.2. l'quilibre de la pice C.3. l'quilibre de la pice D.- Exercices E.M. 6 -4. l'quilibre des deux pices symtriques E1 et E2.5. les efforts normaux produits sur la pice serrer.6. le rendement mcanique du systme.1.16 Une pince est constitue par les pices mcaniques donnes sur la figure. Elle se composeessentiellement d'un systme de barres articules sans frottement, de deux sabots appliqus sur unbloc de marbre et d'un cble de traction. Le bloc de marbre soulever possde les dimensions : 1 m x0,8 m x 0,45 m , la masse volumique du marbre tant 2,65 t/m3.Dterminez :1. le coefficient de frottement minimal entre les sabots et le bloc pour que le coefficient de scuritau glissement soit au moins 1,6.2. les tensions et efforts dans toutes les barres du mcanisme.3. l'aire de la surface de contact entre les sabots et le bloc si la pression moyenne de doit pasdpasser 5 N/mm2.1.17 Un coulisseau plan doit tre dplac sur un plan inclin rugueux 30 dans les deux sens. Lasurface d'appui est forme par un rectangle, largeur 200 mm, longueur 300 mm. La charge verticaleapplique dans la position reprsente vaut Fv = 75 kN. Le coefficient de frottement de glissemententre le coulisseau et le plan vaut mu = 15 %.Dterminez :1. pour une force de traction parallle au plan, la position donner la force de traction F, la valeurde la pression maximale dans les mouvements de monte et de descente.2. pour une force de traction horizontale, la position imposer la force de traction Fh de telle sorteque la pression maximale la monte et la descente ait mme valeur, la valeur de cettepression.Quelle sont alors les charges liniques maximale et minimale sur le corps ?1.18 Un systme de serrage se compose principalement de deux leviers articuls sans frottementaux points fixes B et D. On applique sur le levier DE une force normale F = 250 N 90 mm del'articulation.Dterminez :1. la valeur des forces agissant aux points E et D si le coefficient de frottement entre les deux leviersau point E vaut 12 % .2. La valeur des forces agissant aux points B et C sur le levier horizontal.- Exercices E.M. 7 -1.19 Un frein deux sabots est constitu principalement par les pices suivantes : un tambourdiamtre 250 mm, deux leviers CDE et CHI, quips de sabots fixes au coefficient de frottement mu =35 %, deux biellettes parallles EK et IJ, un levier horizontal JLKM quip d'une masse m = 25 kg. Lesens de rotation du tambour est donn sur la figure.Dterminez :1. l'quilibre du levier horizontal JLKM, sa masse tant ngligeable vis vis de m.2. les tensions axiales dans les biellettes IJ et EK.3. l'quilibre des leviers CDE et CHI.4. l'quilibre du tambour et la valeur du couple de frottement.1.20 Un pivot ajour en fonte grise, appel crapaudine, est fix l'extrmit d'un arbre vertical. Lesdimensions de cette bute sont : diamtre extrieur 80 mm, diamtre intrieur 50 mm. La chargeaxiale vaut Fa = 3 200 N et la frquence de rotation est 4 t/s .Calculez :1. la pression moyenne sur la bute et la pression maximale en supposant une rpartition depression hyperbolique.2. le couple de frottement pour les deux hypothses de rpartition de pression, le coefficient defrottement valant mu = 8 % .3. le facteur d'chauffement maximal dans les deux cas, la puissance perdue et la quantit dechaleur dgage par heure.Esquissez la conception d'une bute de ce type en introduisant un appui articul sous la bute afin decompenser les dformations des pices et les dfauts de perpendicularit des surfaces.1.21 Un palier lisse cylindrique radial, quip d'une bute axiale, est sollicit par une force obliquedont les composantes rectangulaires sont :- composante radiale : Fr = 4200 N,- composante axiale : Fa = 850 N.Les dimensions adoptes pour ce palier sont : diamtre D = 50 mm, longueur portante B = 40 mm,celles de la bute tant : diamtre extrieur 72 mm, diamtre intrieur 56 mm. En admettant uncoefficient de frottement mu = 6 % pour toutes les surfaces portantes.Calculez :1. les pressions moyennes dans le palier cylindrique et sur la bute plane,2. les couples de frottement dans les deux appuis et le couple total,3. la puissance perdue pour une frquence de rotation 3,5 t/s ,4. le dbit d'huile prvoir pour une lvation maximale de temprature de 8 K, la masse volumiquede l'huile tant 0,875 kg/dm3.1.22 La surface de contact entre un corps glissant et un plan rugueux horizontale est un cercle dediamtre d. Quel est le dcalage maximal de la force normale rsultante si la pression est supposerpartie linairement et si la pression devient nulle en un seul point, do une pression rpartietriangulairement sur la pice ?Application numrique :Dimension : d = 320 mm, force applique 40 000 N. Calculez la pression moyenne, la pressionmaximale et le dcalage maximal de la force normale par rapport au centre du cercle.- Exercices E.M. 8 -1.23 La transmission de mouvement entre deux leviers s'effectue au moyen de deux cames dontles dimensions sont donnes sur la figure. Le couple moteur, appliqu sur l'arbre infrieur, vaut M1 =32 m.N, le coefficient de frottement d'adhrence entre les deux leviers et dans les paliers cylindriquesde guidage des arbres vaut mu0 = 25 % au moment du dmarrage.Dterminez :1. l'efforts normal entre les deux cames, la force de frottement limite FR0 et la force totale FB.2. l'quilibre du levier infrieur.3. l'quilibre du levier suprieur.4. le rendement mcanique de cette transmission au moment du dmarrage.5. la pression superficielle entre les deux cames, la largeur de contact est b = 12 mm, la relation deHertz tant applicable. Les deux cames sont en acier au module d'lasticit E = 21.104 N/mm2.Faut-il prvoir un traitement de surface dans ce cas si les pices sont prvues primitivement en Ac50 ?1.24 Un systme de serrage selon figure est command par un vrin pneumatique qui produit uneforce axiale Fa = 2 250 N. Le levier B est centr sur un axe A frottement ngligeable. Par contre,toutes les autres surfaces des pices B, C, D, sont affectes de frottement au coefficient deglissement mu = 13 %. L'effort produit par le ressort de rappel peut tre nglig dans la recherche desquilibres des diverses pices du mcanisme.Dterminez :1. l'quilibre de la pice B.2. l'quilibre de la pice C.3. l'quilibre de la pice D.4. l'effort normal produit sur le pice serre G.5. le rendement mcanique total de ce mcanisme.1.25 Un frein disque peut se reprsenter schmatiquement par les pices de la figure ci-aprs. Ilse compose essentiellement d'un disque mont sur l'arbre moteur tournant la frquence de rotationde 18 t/s, d'une tringlerie articule sans frottement sur des appuis intermdiaires, de deux frotteursquips de garniture au coefficient de frottement de glissement mu = 32 %, d'un vrin hydraulique,diamtre 32 mm, aliment en huile sous la pression de 90 bar, le rendement du vrin tant estim 90 % par suite des pertes dans les joints et les racleurs.Calculez :1. l'effort normal sur les frotteurs.2. le couple de freinage.3. la puissance freine.4. l'nergie calorifique dgage en admettent une dclration constante jusqu' l'arrt complet, letemps de freinage tant 1,35 seconde.- Exercices E.M. 9 -1.26 Un coulisseau section constante selon figure, poids total G = m g, doit tre dplac vitesseconstante sur une glissire deux pans. Les pans sont perpendiculaires, inclins de 30 et 60 parrapport l'horizontal. Le coefficient de frottement est mu et la longueur du coulisseau l .Dterminez :1. la valeur de la force de traction F pour maintenir la vitesse constante.2. la position donner cette force pour obtenir une pression rpartie si possible uniformmententre le coulisseau et la glissire.1.27 La puissance produite par un moteur lectrique peut se mesurer en freinant une poulie,diamtre 200 mm, monte sur l'arbre du moteur, au moyen d'une corde suppose parfaitementsouple, mais rugueuse. Cette corde est fixe l'une de ses extrmits un dynamomtre indiquantune tension suprieure de 22 N, la partie infrieure tant quipe d'un plateau et d'une masse totalemtot = 19 kg. La frquence de rotation pendant la mesure est 23,6 t/s. L'instrument lectrique demesure de la puissance indique 3 160 W.Calculez :1. le coefficient de frottement entre la corde et la poulie.2. le couple de freinage.3. la puissance freine.4. le rendement du moteur lectrique.1.28 Un frein plusieurs sabots se compose essentiellement d'un tambour de diamtre d, tournant la frquence de rotation n, les six sabots placs sur le tambour sont disposs de telle manire quel'intervalle angulaire entre deux sabots soit 30. Le sabot de gauche est maintenu en position par unearticulation fixe au point B. Tous les sabots sont relis par une tringlerie articule sans frottement ausommet des sabots, le dernier sabot de droite est sollicit par une force verticale F. Chaque sabot estquip de garniture au coefficient de frottement mu.Calculez :- Exercices E.M. 10 -1. l'quilibre de chaque sabot compte tenu du frottement et de l'action de la tringlerie.Reprsentez lquilibre de chacune des sabots sollicits par la force de contact sur le cylindre etleffet de la tringlerie.2. le rapport entre les forces appliques aux deux extrmits de la tringlerie. Comparez le rsultatobtenu l'application de la relation gnrale du frottement d'un lien souple sur un cylindre sous unangle de 150.3. le couple et la puissance freine.Application numrique :Diamtre du tambour : d = 325 mm, coefficient de frottement de glissement mu = 35 %, frquence derotation 8 t/s.1.29 Un frein ruban d'acier, quip d'une garniture antifriction au coefficient de frottement mu =35 %, entoure une poulie, diamtre 450 mm, tournant la frquence de rotation de 16 t/s. Le rubanmtallique est reli au levier horizontal et articul au point C. La force applique sur le levier vaut F =260 N, voir figure.Dterminez :1. le couple de frottement produit dans le sens horaire de rotation.2. le couple de frottement produit dans le sens antihoraire de rotation.3. la puissance freine dans les deux sens de rotation.4. l'quilibre de la poulie, en particulier la raction d'appui au point B en ngligeant les pertes dansles paliers de guidage de l'arbre (paliers roulements).1.30 Une transmission par friction se compose principalement d'une roue motrice 1, diamtreextrieur 40 mm, monte sur un arbre guid dans des paliers roulements, d'une roue intermdiaire2, diamtre extrieur 60 mm, coulissant dans un guidage levier BC et d'une roue cloche monte surl'arbre de sortie, diamtre intrieur 150 mm. La largeur de contact vaut 20 mm pour tous les contactsde roues cylindriques.La puissance transmise par la roue motrice 1 vaut 300 W, la frquence de rotation tant 29 t/s. Lecoefficient de frottement entre les roues vaut mu = 18 % et le coefficient de scurit au glissement doittre au moins 1,4.Dterminez :1. les couples sur chacune des roues.2. l'quilibre de la roue 1.3. l'quilibre de la roue intermdiaire 2 et la tension axiale dans le ressort Fres afin d'assurercorrectement les conditions de transmission.4. l'quilibre de la roue cloche 3.5. la pression superficielle entre les diverses roues sur les deux lignes de contact si E1 = E3 = 21.104N/mm2 et E2 = 11.104 N/mm2.1.31 Une plaque prismatique, masse 2,5 kg, est place entre un plan horizontal rugueux et unguidage, quip dans sa partie centrale d'un rouleau cylindrique libre. Les coefficients de frottementde glissement entre les diverses pices valent mu = 12 %, celui d'adhrence mu0 = 18 %.Dterminez :1. la force horizontale Fh produire pour dplacer la plaque vers la droite.- Exercices E.M. 11 -2. les efforts appliqus sur la plaque si la force horizontale Fh = 2 000 N est dirige vers la gauche.3. la longueur imposer au rouleau cylindrique si la plaque est en acier de la nuance Ac 60-2, lerouleau en acier roulement et le guidage en fonte grise GG 20, dplacement gauche.1.32 Le guidage d'un coulisseau s'effectue sur une glissire trois pans : une face plane gauche,un v 90 droite. La force appliqu sur la pice mobile est son poids G = m g. Pour simplifierl'tude du comportement du coulisseau sur la glissire, il est admis que ce dernier frotte sur quatretronons de guidage approximativement ponctuels selon figure.Dterminez :1. en admettant un coefficient de frottement indpendant de l'tendue des surfaces et des forcesnormales, les dimensions l et d entre les composantes normales et le point de rotation, le rapport choisir entre ces deux dimensions pour que le coulisseau se remette de lui-mme sur la glissiresous l'effet du poids G seulement.2. la reprsentation graphique des domaines de centrage automatique et de non centrage enfonction des coefficients de frottement pouvant varier de 0 50 %. Quel est le coefficient defrottement maximal prvoir lorsque le rapport l / d = 1.5 ?Dfinition du centrage automatique : le coulisseau doit reprendre sa position primitive sous leffetde son poids propre, compte tenu des frottements sur les surfaces de contact.1.33 Le problme prcdent est une simplification du problme rel. Etudiez les conditionsgnrales de centrage automatique d'un coulisseau trois pans, profil selon figure 1.32, la longueurde guidage tant gale la longueur du coulisseau dsigne ici par L .Dterminez :1. en admettant un coefficient de frottement indpendant de l'tendue de la surface et des forcesnormales, les dimensions L et d entre les composantes normales, le rapport prvoir L / d pourque le coulisseau se remette de lui-mme sur la glissire sous l'effet du poids G seulement.2. la reprsentation graphique des domaines de centrage automatique et de non centrage enfonction de coefficients de frottement pouvant varier de 0 50 %. Comparez les rsultats obtenusdans les solutions des problmes 1.32 et 1.33.1.34 Un roulement rouleaux cylindriques, diamtre intrieur du roulement 50 mm, diamtreextrieur 90 mm, se compose de bagues extrieure et intrieure, de rouleaux cylindriques, diamtre10 mm, longueur en contact avec les bagues 12 mm, nombre total de rouleaux : 12 pices, et d'unecage retenant les lments roulants distance convenable.La charge radiale applique vaut 9 000 N. Pour trouver la charge supporte par chacun desrouleaux, il est admis que chaque rouleau, plac dans le demi cylindre infrieur, est charg par uneforce radiale proportionnelle au cosinus de l'angle de positionnement du rouleau par rapport ladirection de la charge.Dterminez :1. l'effort normal sur chacun des rouleaux dans la position adopte pour les rouleaux sur la figure.- Exercices E.M. 12 -2. les rayons rduits pour les contacts entre rouleaux et bagues intrieure et extrieure.3. le couple produire sur la bague intrieure si le paramtre de rsistance de roulement vaut 0,01mm, le coefficient de frottement quivalent rapport au diamtre de l'arbre.3. la pression superficielle maximale, calcule par la relation de Hertz, et la largeur totale de ladformation, toutes les pices tant en acier avec E = 20,5.104 N/mm2.Les surfaces cylindriques des bagues en contact avec les rouleaux sont parfaitement cylindriqueset les axes des bagues et rouleaux sont parallles.1.35 Une bille en acier, diamtre 30 mm, est place entre une pice sphrique pleine, rayon decourbure 40 mm, et une pice sphrique creuse, rayon de courbure 20 mm, en fonte grise, moduled'lasticit 10.104 N/mm2, coefficient de contraction 0,25. La pice suprieure et la bille sont en acier roulements.Dterminez :1. les rayons rduits et les modules d'lasticit rsultants pour les deux contacts.2. la pression maximale entre la bille et les deux autres pices, la force applique valant :F = 28 000 N.3. le rayon, l'aire des surfaces de contact entre les diverses pices, la pression moyenne.1.36 Le roulement billes, une range de billes et gorges profondes, diamtre d'arbre 50 mm,dsignation 6210, peut supporter une charge radiale statique C0 = 19 600 N. En admettant lesdimensions gomtriques suivantes, non fournies par le fabricant de roulements :- diamtre de la bille : d = 12 mm,- diamtre moyen de placement des billes dans le roulement : D = 70 mm,- rayon de courbure des gorges dans les bagues : Rc = 6,25 mm,- charge supporte par une bille dans la position la plus dfavorable : 50 % de C0,Dterminez :1. les rayons de courbure dans les plans principaux,2. les dimensions de la surface de contact entre ces pices.3. les pressions superficielles entre la bille et les bagues intrieure et extrieure,1.37 Un systme articul est constitu par une bielle, quipe de deux paliers lisses cylindriques,d'une manivelle motrice et d'un coulisseau. Les dimensions intervenant dans le calcul sont donnessur la figure. Le couple moteur sur l'arbre de la manivelle, diamtre 80 mm, vaut 1900 m.N. Lecoefficient de frottement d'adhrence vaut mu = 24 % dans les conditions les plus dfavorables aumoment du dmarrage.Dterminez :1. la valeur de la force axiale Fa applicable sans tenir compte des frottements, afin de mettre lesystme en quilibre.2. la valeur de la force axiale relle Fa, compte tenu des frottements sur toutes les pices enmouvement : paliers cylindriques et glissires.3. le rendement mcanique de l'ensemble.- Exercices E.M. 13 -1.38 Un coulisseau doit pouvoir se dplacer sur une glissire rectiligne, la charge applique F =125 kN tant lgrement oblique par rapport la verticale. Pour diminuer les pertes par frottement deglissement et viter surtout le coefficient de frottement d'adhrence au dmarrage, on prvoitd'intercaler des rouleaux cylindriques entre la glissire et le coulisseau. Les dimensions adoptes sontles suivantes :- diamtre du rouleau : d = 10 mm,- longueur de contact : l = 8 mm,- nombre de rouleaux : z = 32 pour chacun des cts.Ces rouleaux circulent sur des rails en acier durci superficiellement, la duret des pices tantapproximativement HV = 600. Les rouleaux de droite sont disposs en quinconce pour pouvoirsupporter des charges direction quelconque.Dterminez :1. les efforts sur chaque range de rouleaux et le pressions superficielles correspondantes.2. l'efforts produire sur le coulisseau pour le dplacer vitesse constante.3. la pression superficielle pour chacun des contacts et la dformation des rouleaux sur les lignes decontact.1.39 Le transformateur de mouvement motoris TURNLINE se compose essentiellement d'unarbre moteur sur lequel est mont une articulation contenant un roulement billes bague intrieurespciale orientable fonctionnant comme un crou, d'une tige cylindrique quipe d'une rainurehlicodale double ferme, profil en v, sens des hlices droite et gauche. Le profil normal de larainure prsente les caractristiques gomtriques suivantes :- rayon R = 15 mm : angle de pression 15,48,- rayon R = 10,9 mm : angle de pression 15,25,- rayon R = 9,84 mm : angle de pression 15,16.La bague intrieure prsente un profil rectiligne en contact avec la rainure au rayon R = 10,9 mm, lerayon du point de contact valant 17,5 mm cet endroit. L'effort normal transmis entre ces deux picesvaut 2 000 N, les deux pices tant en acier durci superficiellement (acier roulements) (voir dtail ducontact sur la figure).Dterminez :1. les divers rayons de courbure intervenant dans le calcul de la pression,2. la pression superficielle maximale,3. les dimensions de la surface d contact entre les deux pices.- Exercices E.M. 14 -1.40 Pour transmettre le mouvement de rotation vitesse rduite, on prvoit la conception d'unmcanisme constitu par deux roues friction. Le couple transmettre vaut 6,3 m.N sur la petite roue.Les diamtres adopts sont :petite roue d1 = 38 mm, grande roue entrane d2 = 78 mm,largeur de contact b = 16 mm,diamtre des arbres est 20 mm, ces derniers tant centrs par des paliers roulements pertesngligeables.Dterminez :1. la force normale Fn produire entre les roues si les coefficient de frottement pour des surfacessches vaut 12 % , le coefficient de scurit au glissement valant 1,5.2. la petite roue tant en acier, la grande en fonte graphite sphrodal, la valeur de la pressionsuperficielle si toute la largeur de roues supporte la charge.3. la largeur de la surface dforme, le rendement de cette transmission.1.41 Une roue de pont roulant, en fonte d'acier, est quipe de deux douilles en bronze commepalier lisse lubrifies par de la graisse, coefficient de frottement mu = 8 %. La charge radiale sur laroue vaut 42 kN rpartie sur les deux paliers lisses.En admettant une pression moyenne dans les paliers infrieure 4 N/mm2, un rapport B / D = environ0,7 , dterminez :1. les dimensions gomtriques prvoir pour les douilles.2. le couple de frottement total et le couple de roulement,3. la puissance perdue si la frquence de rotation est 3,2 t/s.4. l'lvation de temprature probable si les coefficient global de transmission de chaleur vaut 20W/m2K, l'aire d'change dans la zone des paliers tant 0,31 m2.1.42 Un coulisseau de machine-outil est guid par 24 rouleaux en acier cment tremp, diamtre10 mm, longueur portante 11,5 mm. La charge normale applique vaut Fn 26 500 N , les surfacesd'appui tant constitues par des rails d'acier traits thermiquement.Dterminez :1. l'effort produire pour dplacer le coulisseau sur trajectoire rectiligne horizontale.2. la pression superficielle en supposant que la charge propose est rpartie uniformment sur tousles lments roulants.3. la largeur de contact entre rouleaux et rails.1.43 Un coulisseau de machine outil est dplac vitesse constante le long d'une glissire. Lasurface de contact est constitue par deux bandes planes, largeur 20 mm, longueur 420 mm. Lapression de contact rpartie linairement varie de 7,6 N/mm2 l'avant 0,72 N/mm2 l'arrire.Dterminez :1. l'intensit de la force normale totale sur chacune des surfaces.2. la distance entre le centre de gravit de la surface de contact et la position du point d'applicationde Fn.3. l'nergie calorifique dgage par heure si le coefficient de frottement vaut mu = 0,07 et la vitessemoyenne de glissement 0,8 m/s.1.44 Les caractristiques physiques d'une famille d'huiles minrales pures, employes pour legraissage par bain ou pour circulation, sont donnes dans le tableau.HUILE POUR LUBRIFICATION GNRALEDsignationShellVitrea OilDensitA15CViscosit cinmatiqueen mm2/s 40 C 100 C 20 C 50 CConstantesDe calcula b- Exercices E.M. 15 -Oil 9223246680,8690,8700,8720,8760,8829,022,032,046,068,02,34,25,46,78,81001502203204600,8900,8910,8920,8960,897100,0150,0220,0320,0460,011,515,219,724,730,6Les caractristiques donnes sont la dsignation selon Shell, la densit 15C, les viscositscinmatiques 40C et 100C selon recommandation ISO.Dterminez pour chacune de ces huiles :1. les constantes m (a)et n (b) de la droite de Mac Coull et Walther.Appliquer dans ce but la relation donne dans le cours et rsoudre le systme deux inconnues.2. les viscosits cinmatiques et dynamiques de ces huiles aux tempratures : 20 C et 50 C, encompltant ce tableau.1.45 Dterminez le paramtre de rsistance au roulement sur les roues d'un rouleau compresseur,masse totale 5 800 kg, diamtre des roues 1,72 m, si pour dplacer cet engin de chantier vitesseconstante, un tracteur doit exercer une force de traction valant 4,25 kN.1.46 Une voiture de chemin de fer prsente une masse totale de 45 tonnes. Les quatre axes avecroues formant deux boggies possdent chacun une masse de 1 200 kg. Le diamtre des roues est1150 mm. Le coefficient de frottement dans les paliers lisses, diamtre 110 mm, vaut mu = 3,5 % et leparamtre de rsistance au roulement est 0,4 mm.Calculez l'intensit de la force de traction dans le crochet d'attelage pour dplacer cette voiture et lapuissance perdue 80 km/h.1.47 Un arbre d'autoclave, diamtre 60 mm, traverse un presse-toupe dont la longueur de contactest 90 mm. Le coefficient de frottement entre la garniture et l'arbre vaut mu = 11 %, la pressionproduite par le fouloir, suppose rpartie uniformment, vaut 40 bar.Calculez le couple de frottement entre l'arbre et la garniture, la puissance perdue pour une frquencede rotation de 4,2 t/s.1.48 Un coulisseau plan repose sur une glissire par l'intermdiaire d'une couche d'huile de 0,016mm, la viscosit cinmatique de cette huile tant 30 mm2/s et la masse volumique 0,885 kg/dm3. Lasurface mouille est constitue par trois surfaces rectangulaires parallles, largeur 32 mm, longueur800 mm. Dterminez la force produire sur le coulisseau pour le dplacer la vitesse constante de1,4 m/s.1.49 En vous servant de l'expression gnrale de la chaleur massique pour les huiles minrales,calculez la quantit de chaleur ncessaire pour lever 125 litres d'huile, gamme Shell Vitrea Oil 68, dela temprature de 20C la temprature de 70C (voir problme 1.44 pour les caractristiques).Exprimez la valeur de la chaleur massique vraie en fonction de la temprature et utilisezl'expression gnrale de cette grandeur physique. Quelle est la chaleur spcifique moyenne dans ledomaine de temprature pour cette huile ?1.50 La figure du cours sur le comportement des huiles montre sur deux figures la variation dumodule de compressibilit isentropique d'une huile classe ISO VG 32 et en dessous le modulemoyen de compressibilit isentropique de la mme huile. Exprimez la valeur du module vrai decompressibilit en fonction de la pression pour une temprature de 65C. A partir de cette relation,contrlez la compressibilit de l'huile 250, 500, 750 bar et comparez les rsultats avec les valeursreprsentes droite.- Exercices E.M. 16 -1.51 Un vrin hydraulique est constitu par un cylindre en acier, suppos indformable, dans lequelcoulisse sans frottement un piston plongeur, diamtre 125 mm. Le vrin est rempli d'huile sur unelongueur de 250 mm. Une force extrieure de compression produit un effort axial sur le pistoncroissant progressivement de 0 la valeur maximale, la pousse produite valant 392,7 kN. L'huile est la temprature de 40C et sa compressibilit correspond celle de la figure du cours.Dterminez :1. l'expression du module de compressibilit de cette huile en fonction de la pression.2. la pression maximale atteinte.3. le dplacement du piston sous l'action de la force maximale.4. le travail produit par la force compressive compte tenu de la non linarit de l'huile.1.52 Une bute hydrostatique est alimente en huile sous pression alors qu'elle supporte unecharge axiale Fa la frquence de rotation n t/s . La forme de la bute est semblable celle de la fig.1.22 ou fig. 1.23 du cours, l'alimentation en huile sous pression s'effectuant suivant l'axe Oy dans lapartie ajoure de la bute. La bute est spare de son appui par une couche liquide constante,l'paisseur tant dsigne par h0. A partir de la relation de Newton pour les fluides visqueux, dmon-trez la valeur du couple produire pour cisailler la couche liquide, soit : Mmot = 0,5 v (re4 - ri4) / h0v tant la viscosit du lubrifiant.1.53 Dmontrez la relation de Poiseuille pour l'coulement d'un fluide visqueux transitant dans unefente d'paisseur constante s , la largeur constante de la fente tant b, sa longueur tant l , ladiffrence de pression entre l'entre et la sortie tant p . Cette relation est :V = p b s3 /12 v l .La figure montre le principe de la mise en quation : dcoupage d'une couche liquide d'paisseur 2 zet dtermination de l'quilibre de cette couche sous l'effet de la diffrence de pression et des forces decisaillement engendres par le fluide visqueux.1.54 Un cas particulier d'coulement est l'coulement dans le sens axial entre deux surfacescylindriques, la premire tant creuse, la seconde pleine.Appliquez le rsultat obtenu l'exercice 1.53 pour trouver le dbit dans la fente :1. lorsque les deux cylindres sont parfaitement centrs,2. lorsque les deux cylindres sont tout fait excentrs. Dans ce dernier cas, le dbit dans la fentevaut 2,5 fois les dbit obtenu pour la position centre.- Exercices E.M. 17 -1.55 Un palier de guidage d'un arbre de machine thermique prsente les caractristiquesgomtriques suivantes :- diamtre de l'arbre : d = 630 mm, jeu diamtral relatif : 0,17 % .- longueur du coussinet : B = 320 mm,- huile de lubrification ISO VG 46 la temprature de 55C,- frquence de rotation : 60 t/s.Calculez :1. la force radiale maximale applicable de telle sorte que le nombre de Sommerfeld soit 1,0 .2. la puissance perdue,3. le dbit d'huile dans le palier,4. le coefficient de frottement quivalent charge radiale maximale selon question 1.1.56 Une pompe volumtrique utilise dans un circuit de commande olohydraulique se composede trois pistons cylindriques disposs en parallle, dcals angulairement de 120, diamtre dechaque piston 12 mm. La course effectue est 40 mm et la frquence vaut 5 courses par seconde,chaque piston tant anim d'un mouvement harmonique de va et vient. Le jeu diamtral entre lespistons et leur guidage vaut 0,009 mm, la viscosit de l'huile tant 64 mm2/s.Dterminez :1. les lois cinmatiques pour le mouvement harmonique des pistons,2. le volume par mouvement et le dbit maximal sur chaque piston engendr par le dplacement dupiston dans les guidages si ces derniers prsentent une longueur de 32 mm.3. la puissance maximale et minimale produire par l'entranement pour mouiller pleinement lespistons et leur guidage si le dphasage entre les mouvements des pistons vaut 120 et 240.4. Appliquez la loi de Newton pour les fluides visqueux :- la fente parfaitement centre ,- la fente totalement excentre.1.57 Le coefficient de forme d'une section entaill peut se trouver par des formules en fonction desdimensions adoptes. La relation gnrale pour les entailles symtriques (selon Dubbel) est :k = 1 + 1 / { P + Q + R }0,5,avec :P = A / ( t / )k , Q = B [(1 + a / ) / ( a / )1,5]l , R = C ( a / ) / [( a / + t / ) (t / )m] . Les valeurs A , B , C , k , l , m sont donnes dans le tableau ci-dessous en fonction de la forme del'entaille et du genre de sollicitation.Relations pour calculer le coefficient de forme d'entailles symtriquesSection rectangulaireentaille paulementSection circulaireentaille paulement- Exercices E.M. 18 -trac flex Trac flex trac flex tors trac flex torsABCklm0,101,700,131,002,001,250,082,200,200,662,251,330,551,100,200,802,201,330,403,800,200,662,251,330,101,600,110,552,501,500,124,000,100,452,661,200,4015,00,100,352,751,500,442,000,300,602,201,600,406,000,800,402,751,500,4025,00,200,452,252,00 Sollicitations : trac pice en traction flex pice en flexion tors pice en torsionEcrivez un programme informatique permettant de calculer les coefficients de forme en fonction dugenre d'entaille et du type de sollicitation.1.58 Le tourillon d'un engin de levage doit supporter une charge combine constitue par :- une composante horizontale dans la direction radiale : Fr = 65 000 N,- une composante verticale dans la direction axiale : Fa = 75 000 N.Les dimensions adoptes sont : diamtre de l'arbre d = 70 mm, diamtre de l'appui D = 100 mm,raccordement au rayon R = 4 mm, acier de la nuance Ac 50-2.Dterminez :1. les efforts dans la section de contrle,2. les coefficients de forme et d'entaille pour un usinage surface N6 ,3. les contraintes simples,4. les contraintes composantes et idale si les composantes de la charge totale varient entre 40 et100 % de la charge propose, les coefficients de scurit. Le taux de travail est 50 % pour cegenre de machine.1.59 Une grue est maintenue en quilibre par un rouleau mont sur un axe dont les dimensionssont donnes sur la figure. Les efforts appliqus se superposant dans la direction radiale sont :- composante statique : Fstatique = 12 500 N ,- composante dynamique : Fdynamique = 0 60 000 N.Dterminez :1. les efforts dans la section dangereuse,2. les coefficients de forme et d'effet d'entaille pour un usinage surface N7,3. les contrainte statique et dynamique de flexion,4. les coefficients de scurit pour un axe fabriqu dans la nuance Ac 60-2.- Exercices E.M. 19 -1.60 L'arbre d'un monte charge selon figure simplifie a prsent une rupture aprs environ 106tours. Cette pice supporte une roue chane sollicite par des forces telles que la rsultante radialereprsente Fr = 45 000 N. Le taux de travail est estim 60 % pour ce genre de machine. L'axe est enacier de la nuance Ac 50-2 avec un tat de surface N8 .Dterminez :1. l'quilibre de l'axe et les efforts dans la section dangereuse,2. les coefficients de forme et d'effet d'entaille dans le raccordement aux diamtres 100 / 150 mm,avec un rayon R = 2 mm,3. les contraintes dans la section et le coefficient de scurit.4. des propositions de modification de la pice sans en augmenter le volume.1.61 Au moyen de la mthode des lments finis, modlisez et dterminez les divers coefficientsde forme de pices entaille dans les conditions suivantes :1. Pice section rectangulaire entaille symtrique :dimensions : 2 a = 30 mm t = 10 mm r = 5 mmSollicitation : 1.1 Traction simple 1.2 Flexion simple2. Pice section rectangulaire paulement :dimensions : 2a = 25 mm t = 12,5 mm r = 3,2 mmSollicitation : 2.1 Traction simple 2.2 Flexion simpleComparez les rsultats obtenus avec le calcul par formules selon tableau de l'exercice 1.57.1.62 Au moyen de la mthode des lments finis, modlisez et dterminez les coefficients deforme de pices entailles dans les conditions suivantes :1. Pice section circulaire entaille circonfrentielle :dimensions : 2 a = 40 mm t = 5 mm r = 4 mmSollicitation : 1.1 Traction simple 1.2 Flexion simple 1.3 Torsion simple2. Pice section circulaire avec paulementdimensions :Sollicitation : 2.1 Traction simple 2.2 Flexion simple 2.3 Torsion simpleComparez les rsultats obtenus avec le calcul par formules selon tableau de l'exercice 1.57.1.63 L'articulation d'un systme levier se compose principalement des pices reprsentes sur lafigure du cours, en particulier d'un tourillon au diamtre 20 mm. La charge applique varie entre F = 0et F = 5 000 N , le taux de travail tant pratiquement 1,0.Dterminez :1. les efforts dans le tourillon en dessinant les diagrammes en ademttant une rpartition uniforme dela pression dans les appuis,2. les contraintes dans les sections les plus sollicites,3. le ou les coefficients de scurit.- Exercices E.M. 20 -CHAPITRES 4 8 : LMENTS GNRAUX1.66 Une goupille cannele, diamtre 8 mm, norme DIN 1469, sert de point d'ancrage un petitressort hlicodal produisant une force axiale F = 160 N . La longueur encastre vaut 20 mm dans unepice en acier Ac 37.Dterminez :1. les pressions maximale et minimale entre la goupille et l'encastrement,2. les contraintes maximale et minimale de cisaillement et de flexion aprs avoir construit lesdiagrammes des efforts tranchants et moments flchissants,3. le dplacement du point d'application de la force active en supposant l'encastrement parfaitementrigide.1.67 Une bague cylindrique, diamtres extrieur 40 mm / intrieur 25 mm, est fixe sur un axe enacier Ac 50-2 au moyen d'une goupille cannele, diamtre 8 mm, selon norme DIN 1475.Quelle est la pousse axiale admissible sur l'assemblage si la charge est pulsante ?Contrlez les diverses pressions, contraintes dans la goupille et les pices.1.68 Pour transmettre un couple de torsion pulsant de 125 m.N entre un arbre en Ac 42 et unmoyeu en fonte grise, on prvoit le montage d'une goupille cylindrique transversale. La contraintedans l'arbre non entaill ne doit pas dpasser 30 N/mm2.Dterminez :1. le diamtre de l'arbre, celui de la goupille et ceux du moyeu,2. les pressions et contraintes dans la goupille aprs construction des diagrammes de tous lesefforts.1.69 Une articulation doit pouvoir transmettre une force F = 6 000 N en charge statique. La picecentrale est quipe d'un palier radial chemis d'une douille en bronze.Dterminez :1. les dimensions gomtriques prvoir si le rapport L/d = environ 1,5 ; Le = environ 0,5 d selonfigure du cours,2. les diverses pressions et contraintes dans le tourillon fabriqu en Ac 70-2 ,3. la dformation transversale du tourillon sous charge si les points fixes de rfrence sont situs auxextrmits portantes du tourillon.1.70 Une articulation est constitue par une fourche et un levier intrieur en fonte graphitenodulaire, relis par un tourillon cylindrique, diamtre 16 mm, en acier tremp et rectifi. Lesdimensions sont donnes sur la figure ci-dessus. La charge axiale vaut F = 2 500 N.Contrlez :1. les pressions entre le tourillon et les deux pices,2. les contrainte de cisaillement et de flexion dans le tourillon aprs construction des diagrammesdes divers efforts,3. la dformation du tourillon par rapport aux points milieux de la fourche, supposs fixes, les pres-sions tant admises rparties uniformment.- Exercices E.M. 21 -1.71 Un accouplement doit transmettre un couple de torsion de 800 m.N par l'intermdiaire de sixcylindres en caoutchouc servant aussi d'amortisseur d'-coups et de vibrations, voir figure. Ces picessont glisses et centres sur des doigts cylindriques, diamtre 16 mm, en acier amlior. La longueurfonctionnelle des doigts est 58 mm.En supposant une pression rpartie uniformment entre les tampons en caoutchouc et les doigtsmoteurs, dterminez :1. la pression entre ces pices et dans l'encastrement,2. les contraintes de cisaillement et de flexion dans les doigts aprs la construction des diagrammesdes efforts.1.72 Une roue chane doit transmettre un couple de torsion de 45 m.N . Cette pice est fixe surun arbre, diamtre 30 mm, au moyen d'une goupille cylindrique, diamtre 8 mm, monte obliquement 30 par rapport au plan de symtrie de la roue. La goupille est chasse dans l'arbre.Dterminez :1. les charges liniques, les pressions, les efforts dans la goupille aprs la construction de tous lesdiagrammes des efforts correspondants,2. les sections dangereuses, les contraintes de cisaillement et de flexion dans la goupille.1.73 L'axe d'un piston est form par un tourillon tubulaire, diamtre extrieur 22 mm, diamtreintrieur 14 mm, les longueurs portantes tant :- longueur intrieure : 30 mm,- longueur extrieure : de chaque ct 14 mm.La charge alterne applique vaut 24 kN et la bielle est quipe d'un coussinet en bronze au plombnuance CuPb20Sn.Contrlez :1. les pressions et les efforts dans le tourillon,2. les contraintes maximales de cisaillement et de flexion aprs construction des diagrammes.1.74 Une articulation selon figure doit supporter une charge alterne de 55 kN applique sur lapice centrale quipe d'une genouillre. Les dimensions adoptes sont :- longueur intrieure : 100 mm,- longueur extrieure : de chaque ct 30 mm,- diamtre du tourillon : 70 mm.Le tourillon est en acier alli, cment tremp et rectifi. Dimensions de l'articulation sphrique : voircatalogue des fabricants. Dterminez :1. les pressions, supposes uniformes, les efforts et les diagrammes correspondants,2. les contraintes maximales de cisaillement et de flexion dans l'axe.1.75 La bielle d'une machine textile doit supporter une charge alterne Fmax = 6 300 N . Cette piceest centre sur un tourillon par l'intermdiaire d'une articulation sphrique. Les dimensions adoptessont :- longueur intrieure de la fourche : 40 mm, jeu axial 2 mm de chaque ct,- longueur de lappui extrieur : de chaque ct 20 mm,- Exercices E.M. 22 -- diamtre du tourillon : 30 mm, tolrance g6.Le tourillon est en acier cment tremp et rectifi. Dimensions de l'articulation sphrique : voir dansle catalogue des fabricants. Contrlez la cote propose.Dterminez :1. les pressions, les efforts appliqus et les diagrammes correspondants,2. les contraintes maximales de cisaillement et flexion dans l'axe.1.76 Un levier de commande en Ac 37 est fix sur un arbre, diamtre 80 mm, par une goupilleconique avec trou taraud, selon DIN 7978A ou VSM 12782A. Le couple de torsion transmettreentre les deux pices vaut 2 800 m.N.Dterminez :1. L'expression de la pression et de la contrainte de cisaillement en fonction du diamtre de l'arbre,du couple appliqu et des dimensions de la goupille.2. les dimensions prvoir pour la ou les goupilles coniques placer dans ce montage,3. les pressions entre les diverses pices sous l'effet du couple.1.77 Un petit levier en acier est mont sur un arbre en Ac 50, diamtre 25 mm. Cette pice estsollicite par une force F = 250 N place 65 mm de l'axe de rotation. Le levier est assur contre larotation par une goupille conique, diamtre 6 mm.Dterminez :1. la pression entre l'arbre, la goupille et le moyeu,2. la contrainte de cisaillement dans la goupille et de torsion dans l'arbre entaill.1.78 Pour dterminer la pression entre une goupille en porte--faux et son encastrement, il a tadmis que la pression entre ces deux pices tait rpartie linairement. Cette pression est calculepar projection des surfaces cylindriques selon la mthode propose par Stribeck. En utilisant lamthode des lments finis, essayez de trouver la rpartition exacte entre la goupille et lappuicompte tenu des conditions de montage, cest--dire du serrage initial.- Exercices E.M. 23 -1.79 L'accouplement reprsent sur la figure, type Kado K856, fabricant Kauermann, doittransmettre un couple de torsion M = 2 500 m.N d'un arbre moteur vers un arbre entran. Pouramortir partiellement les -coups et compenser les erreurs d'alignement, cet accouplement est munid'un systme de 8 doigts venant se placer dans des cavits munis de tampons en caoutchouc. Cetaccouplement est quip d'un embrayage de scurit limitant le couple la valeur propose. Lediamtre adopt pour l'arbre est 80 mm.Dterminez :1. les dimensions correspondantes pour les doigts en recherchant l'chelle de la reprsentation surla figure,2. les efforts sur les doigts sous le couple nominal,3. les pressions et contraintes dans les diverses pices calculables.1.80 Le contrle de l'assemblage goupille transversale sollicit par une force axiale ou destourillons cylindriques supposent une rpartition uniforme de la pression entre ces lments et lespices voisines. La dformation correspondante n'est pas discute en dtail mais joue certainementun rle primordial dans le comportement de cet assemblage.En utilisant la figure du cours comme base de calcul et en admettant un jeu symtrique entre piceintrieure et fourche, dterminez :1. les expressions de la pression uniforme, de l'effort tranchant et du moment flchissant sous formelittrale,2. les expressions des dformations angulaire et linaire du tourillon en admettant deux points fixesde rfrence situs au milieu des portes de la fourche.1.81 L'extrait de normes VSM l'usage des coles techniques donne une table contenant lescirclips pour arbre selon DIN 471. Les valeurs proposes pour les segments d'arbre sont :d s b d2 n Fax16 1 2,2 15,2 2 4 900 N30 1.5 3.5 28.6 3 16 200 N50 2 5.1 47 5 57 000 NDterminez pour chacun de ces lments :1. Les coefficients de forme en traction, flexion et torsion de l'arbre entaill,2. La capacit de charge de la gorge fabrique en acier Ac 50-2,3. La constante d'lasticit du segment K selon cours,4. La capacit portante relle de ces segments.1.82 Un segment d'arrt selon DIN 1471, feuille 1, prsente les dimensions suivantes : Axe enacier nuance Ac 50-2, pice de guidage en fonte grise, diamtre de l'axe 50 mm, force axialeapplique 20 000 N retenue par un segment d'arrt extrieur A 50 x 2. Les dimensions prvues sont :m = 2,2 mm, n = 5 mm. angles vifs.Contrlez :1. la rsistance de l'axe et de l'appui,2. le comportement du segment d'arrt sous la charge axialle,3. la frquence de rotation limite.- Exercices E.M. 24 -1.83 Quelle charge axiale peut-on prvoir sur un axe et quel est le comportement de l'assemblage,diamtre 65 mm, en acier Ac 60-2, guid dans une pice en acier amlior, nuance C 45, parl'intermdiaire d'un segment intrieur J 65 x 2,5, DIN 472 ? Vrifiez la constante d'lasticit proposesur la figure.Les dimensions adoptes sont : d2 = 68 mm, m = 2,8 mm, n = 5 mm, angles vifs.1.84 L'extrait des normes VSM l'usage des coles techniques donne une table contenant lescirclips pour alsage selon DIN 472. Les valeurs proposes pour les segments d'alsage sont :d s b d2 n Fax22 1 2,5 23 2 8 350 N45 1,75 4,3 47,5 4 43 100 N80 2,5 7 83,5 6 112 000 NDterminez :1. La capacit de charge de la gorge fabrique en acier Ac 42-2 ,2. La constante d'lasticit du segment K selon cours,3. Le comportement de l'assemblage sous l'effet de la charge.1.85 On dsire connatre le comportement d'un anneau ferm dans une rainure de segment d'arrt.Dans ce but, on choisit les dimensions du segment extrieur A 100 pour un arbre de 100 mm. Lesdimensions donnes dans le catalogue sont :- diamtre de l'arbre : d = 100 mm, - diamtre de la rainure : d2 = 96,5 mm,- paisseur du segment : s = 3 mm, - largeur de la rainure : m = 3,2 mm- largeur moyenne du segment : b m = 8 mm - extrmit d'arbre : n = 6 mm,- Force axiale applique : F = 90 000 N, - coefficient de frottement ; m = 20 %.Modlisez en lments finis cet ensemble et chargez le moyeu, diamtre extrieur 150 mm, longueur100 mm, d'une pression rpartie uniformment croissant de zro la pression maximale en adoptantau moins 10 incrments de charge. Toutes les pices sont en acier, donc mme module dlasticitet coefficient de Poisson.1.86 Un arbre d'entranement en Ac 50-2, mont dans une machine agricole, diamtre 60 mm, doittransmettre un couple pulsant de 630 m.N par l'intermdiaire d'une clavette incline talon vers unepoulie en fonte, nuance GG 15 selon DIN. Contrlez :1. la pression sur la clavette,2. la contrainte de torsion dans l'arbre.1.87 La commande d'une scie verticale lames multiples s'effectue par l'intermdiaire d'unetransmission par courroie plate. La puissance transmettre vaut 21 kW partir dun moteur tournant 48 tours par seconde, une poulie au diamtre 125 mm, monte sur l'arbre moteur plac en porte--faux selon figure. Le diamtre de l'arbre est 50 mm, la clavette faces parallles ayant une longueurde 63 mm et une forme C.Contrlez :1. la pression entre la clavette, l'arbre en Ac 60-2, la poulie en fonte nodulaire GGG 42,2. la contrainte de torsion dans l'arbre entaill,- Exercices E.M. 25 -3. la contrainte de flexion dans la section n si la tension rsultante des deux brins de la courroie setraduit par une force valant 3,5 fois la force tangentielle ncessaire la transmission du couple.1.88 La transmission d'un mouvement rectiligne oscillatoire est obtenue par une came constituepar un disque cylindrique mont sur un arbre, diamtre 25 mm. Pour positionner la came par rapport l'arbre, cette pice est fixe par l'intermdiaire d'une clavette incline creuse, pente 1 %. L'effortproduit par le galet est F = 400 N.Si le coefficient de frottement entre les pices montes dans l'assemblage vaut mu = 25 %, lecoefficient de scurit au glissement 1,6 , dterminez :1. la contrainte de torsion dans l'arbre dans la position propose sur la figure,2. les conditions d'quilibre du disque compte tenu de la prsence de la clavette incline,3. le serrage prvoir au montage de la clavette et la force axiale de montage.1.89 Une roue aubes d'une pompe centrifuge, puissance sur l'arbre moteur 50 kW, frquence derotation 16,4 tours par seconde, est centre sur un arbre en acier Ac 50-2. La transmission du couples'effectue par une clavette parallle.Dterminez :1. le diamtre de l'arbre plein en supposant une contrainte de torsion admissible de calcul 5 % dela contrainte de rupture,2. la longueur de la clavette si le couple est pulsant,3. la pression sur les faces portantes de la clavette,4. la contrainte de torsion dans l'arbre entaill.1.90 Le pignon d'un rducteur motoris doit transmettre une puissance de 18 kW la frquence de48,3 tours par seconde. Le diamtre adopt pour l'arbre moteur est 28 mm, la transmission du coupletant assure par une clavette parallle selon figure.Dterminez :1. la pression sur les faces portantes de la clavette,2. la contrainte de torsion dans l'arbre entaill,3. les amliorations apporter l'assemblage si les conditions de fonctionnement ne sont passatisfaisantes.1.91 Pour stabiliser la vitesse angulaire d'une machine rceptrice, l'extrmit de l'arbre est quipd'un volant, centr sur un diamtre de 100 mm. Le couple transmettre sur ce volant peut varier entre- 3200 m.N et + 3200 m.N donc dans les deux sens de rotation. Cet effort est transmis de l'arbre versle volant par une paire de clavettes inclines tangentielles, la longueur portante tant 140 mm.Dterminez :1. la pression sur les deux clavettes,2. la contrainte de torsion dans l'arbre entaill.1.92 Une petite poulie gorge, en alliage d'aluminium, est monte sur un arbre, diamtre 25 mm,et entrane par l'intermdiaire d'une clavette disque selon figure. La puissance transmettre vaut 1,4kW la frquence de rotation est 24,3 t/s.Dterminez :1. la pression sur la clavette selon norme,2. la contrainte de torsion dans l'arbre en supposant une rpartition uniforme de la pression sur laclavette, la section de contrle tant situe au droit de l'entaille maximale.1.93 Pour transmettre un couple moteur, engendr par une force tangentielle de 160 N place surun diamtre de 100 mm, l'entranement est constitu par un profil carr taill dans un arbre audiamtre d = 20 mm.Trouvez les dimensions imposer ce carr fabriqu dans un arbre en acier de nuance Ac 42-2 .Contrlez la pression maximale sur les faces et la contrainte de torsion.- Exercices E.M. 26 -1.94 Une manivelle, bras de levier 225 mm, est sollicite par une force tangentielle maximale F =250 N. Cette pice est monte sur un arbre en acier de nuance Ac 50-2.Trouvez les dimensions imposer au carr d'embotement et au diamtre de l'arbre en supposant despressions rparties triangulairement dans la section frontale, uniformment dans la section axiale, unecontrainte idale ne dpassant pas 120 N/mm2.1.95 Pour serrer une vis tte hexagonale, dimension nominale M16, classe de qualit 8.8,coefficient de frottement 14 %, contrainte idale dans la partie filete 90 % de la limite convention-nelle d'lasticit, il faut produire un couple de 215 m.N selon le tableau de la recommandation VDI. Lapression maximale admissible sur la tte de vis vaut approximativement 600 N/mm2.Contrlez :1. la pression maximale sur les flancs de la tte hexagonale de la tte de la vis :1.1 pour un serrage effectu au moyen d'une clef fourche,1.2 pour un serrage effectu au moyen d'une clef canon.1.96 On se propose de transmettre un couple de torsion par l'intermdiaire d'un embotementconstitu par un profil triangulaire cts gaux, les dimensions tant : largeur de la face a, longueurportante lu.Dterminez :En supposant une pression rpartie triangulairement :1. soit sur la face complte,2. soit sur la demi face,l'expression de la pression maximale et de la contrainte de torsion en fonction des dimensionslittrales proposes.1.97 Un accouplement rigide plateaux selon catalogue d'un fabricant, prvu pour un arbre audiamtre d = 60 mm, doit transmettre le couple de torsion par l'intermdiaire d'une clavette parallledans chaque partie de l'accouplement. L'accouplement est en fonte grise, nuance GG15 ou GG20 etl'arbre est prvu en acier Ac 50-2.Dterminez :1. l'ajustement prvoir entre les deux tronons d'arbre et les parties de l'accouplement,2. la longueur des clavettes,3. le couple transmissible compte tenu des valeurs admissibles pour l'arbre et les clavettes.- Exercices E.M. 27 -1.98 Une poulie en fonte grise est monte sur un arbre, diamtre nominal d = 90 mm, pour trans-mettre une puissance P = 27,5 kW la frquence de n = 6,5 t/s.Dterminez :1. les dimensions de la clavette incline et les pressions partir du dessin de l'ensemble,2. la contrainte de torsion dans l'arbre. Indiquez si les valeurs contrles sont admissibles.1.99 Selon norme ISO 14, dition 1982, Cannelures cylindriques flancs parallles centrageintrieur, les dimensions normes sont les suivantes (voir la figure dans le cours) :Srie lgre Srie moyennedSymbole N D B Symbole N D B1316216 x 13 x 166 x 16 x 206 x 21 x 256661620253,5452326286 x 23 x 266 x 26 x 306 x 28 x 326662630326676 x 23 x 286 x 26 x 326 x 28 x 34666283234667323642468 x 32 x 368 x 36 x 408 x 42 x 468 x 46 x 5088883640465067898 x 32 x 388 x 36 x 428 x 42 x 488 x 46 x 5488883842485467895256628 x 52 x 588 x 56 x 628 x 62 x 688885862681010128 x 52 x 608 x 56 x 658 x 62 x 7288860657210101272829210 x 72 x 7810 x 82 x 8810 x 92 x 9888878889812121410 x 72 x 8210 x 82 x 9210 x 92 x 102101010829210212121410211210 x 102 x 10810 x 112 x 1201010108120161810 x 102 x 11210 x 112 x 12510101121251618Dterminez : 1. le couple nominal de torsion transmissible pour un arbre cannel fabriqu en acier d'amliorationfaiblement alli (choisir la nuance correspondante).Dimensions en srie lgre : 23 28 36 46 56 62 112Dimensions en srie moyenne : 13 21 26 32 52 72 1022. la pression sur les flancs en se servant des relations proposes dans les normes VSM.3. la contrainte de cisaillement dans le pied de la cannelure.1.100 Un moteur explosion produit un couple de Mt = 180 m.N sur l'arbre d'entre de la botede vitesse. Le couple de sortie de la bote est transmis par l'intermdiaire d'un accouplement rigidegliss sur un arbre cannel, le diamtre extrieur disposition tant 32 mm. Le rapport de vitesse leplus dfavorable entre le moteur et l'arbre de transmission est i = 4,274.Choisissez les dimensions pour l'arbre cannel (selon normes VSM). Contrlez la pression moyenne,le cisaillement et la contrainte de torsion dans l'arbre selon ces normes.1.101 Les assemblages denture rectiligne selon la norme DIN 5481, feuille 1, ou selon figuredu cours, gauche, angle 60, comprennent les dimensions suivantes donnes dans le tableau :Etablissez pour ce genre de transmission :1. Une hypothses pour la rpartition de la pression entre les dents de l'arbre et celles du moyeulorsque l'assemblage est sollicit par un couple de torsion pur.2. l'expression de la valeur de la contrainte de torsion dans l'arbre.Appliquez les rsultats de vos hypothses au cas suivant :1. Taille nominale : 50 x 55,2. Quel couple de torsion pur entre larbre et le moyeu ?- Exercices E.M. 28 -3. Arbre en acier damlioration au carbone,4. Frquence de rotation : 25 tours par seconde.Taille Dimensions nominales PasNominale d1 d2 d3 d4 d5 P z7x88x1010x1212x146,98,110,112,08,219,9012,014,188,110,112,014,26,918,2610,212,067,59,011,013,00,8421,0101,1521,3172828303115x1717x2021x2426x3014,917,320,826,517,2820,023,7630,0617,220,023,930,014,9117,3720,7626,4016,018,522,028,01,5711,7612,0332,5133233343530x3436x4040x4445x5030,536,040,045,034,1740,1644,4250,234,039,944,050,030,3835,9539,7244,9732,038,042,047,52,7923,2263,4723,8263637383950x5555x6050,055,055,2560,3954,960,049,7254,7652,557,54,1234,30140421.102 On doit transmettre un couple de torsion Mt = 125 m.N au moyen d'un assemblage denture rectiligne selon tableau de l'exercice 1.101. En utilisant les principes admis dans cet exercice,trouvez la dimension prvoir pour cet assemblage, la longueur portante tant 1,2 fois le diamtreintrieur de la denture sur l'arbre.1.103 Les dimensions gnrales d'un assemblage arbre et moyeu dent en dveloppante selonDIN 5480, Partie 10, taills au module m = 5 mm sont donnes dans la table partielle suivante (voiraussi la figure du cours) : Dimensions nominales Moyeu ArbreDB z db da2 df2 da1 dc x1m e2=s14042485067783035354025.98130.31830.31834.64130.032.035.038.041.042.046.048.039.041.044.047.028.030.033.036.0+2.25+0.75+2.25+1.2510.4528.72010.4529.2975560657091011124550556038.97143.30147.63151.96245.050.055.060.056.061.066.071.054.059.064.069.043.048.053.058.0+2.25+2.25+2.25+2.2510.45210.45210.45210.452Dterminez :1. le couple nominal de torsion transmissible pour une contrainte de torsion constante dans le noyaude l'arbre de 80 N/mm2 si cette pice est en acier amlior faiblement alli.- Exercices E.M. 29 -Diamtre dB = 40 45 50 55 60 65 mm2. la pression superficielle aprs calcul de la rpartition de la charge au moyen des divers facteursde correction.3. la contrainte de flexion dans la dent.1.104 La transmission du couple de torsion Mt = 150 m.N d'un arbre cannel vers une paire deroues dentes mobiles dans une bote de vitesse s'effectue par l'intermdiaire d'un profil dent selontableau de l'exercice prcdent. La longueur portante est 40 mm et la taille adopte est 60 x 50 x 10.Dterminez :1. la pression superficielle aprs calcul de la rpartition de la charge au moyen des divers facteursde calcul,2. la contrainte de flexion dans la dent si les pices sont fabriques en acier amlior faiblementalli.1.105 La transmission d'un couple de torsion Mt = 1000 m.N dans un embrayage lamellesmultiples s'effectue par un moyeu quip d'une denture extrieure selon DIN 5480, Partie 8, module =3 mm. La dimension adopte est : 100 x 3 avec z = 32 dents. Le couple se transmet sur 4 disques entle d'acier, paisseur 3 mm.Contrlez les conditions de transmission entre ce moyeu et la denture intrieure des disques.1.106 Les dimensions du profil P3G, selon norme DIN 32 711, sont donnes dans le tableaupartiel ci-aprs :Taille Arbre / Moyeu FormeD1/d4 d2/d5 d3/d6 e1/e2 r1 r2 d72025303521,2626,632,037,018,7423,428,032,50,630,801,001,2514,117,721,525,635,97,38,59,376,38,010,010,04050607042,852,664,575,637,246,455,564,41,41,82,252,829,136,744,6353,210,913,315,3716,813,016,016,020,0809010086,798,0109,073,382,091,03,354,04,561,7871,079,2518,2219,020,7520,020,020,0Dterminez :1. les couples transmissibles pour les tailles nominales suivantes :20 30 40 50 60 80 1002. le contrle des pressions et des contraintes pour la dimensions tudie.1.107 L'entranement de la broche principale dans un tour revolver s'effectue par l'intermdiaired'un assemblage profil polygonal P3G . La puissance transmettre vaut P = 16 kW la frquencede rotation de 18 t/s. La longueur portante dans la poulie en fonte, nuance GG 20, est 40 mm.Trouvez la dimension nominale prvoir de telle sorte que les contraintes et pressions soientadmissibles.- Exercices E.M. 30 -1.108 Les dimensions du profil P4C selon norme DIN 32 712, sont donnes dans le tableaupartiel ci-aprs :Arbre Moyeu FormeTailleNominale d1 d2 e1 d3 d4 e2 r20253035202530351721253035552025303517212530355556,590,592,595,0405060704050607035435360666640506070354353606666113,5117,5122,5126,0809010080901007080908888090100708090888163,0168,0173,0Dterminez :1. les couples transmissibles pour les tailles nominales suivantes :25 35 50 70 902. le contrle des pressions et des contraintes pour la dimension tudie.1.109 La roue mobile d'une bote de vitesses engrenages commande manuelle est centresur un arbre quip d'un profil P4C 30 DIN 32 712. Le couple transmettre vaut 380 m.N et lalongueur portante prvue sur le dessin est 28 mm. L'arbre est fabriqu en acier de cmentation C15.Contrlez :1. la pression entre l'arbre et la roue dente;2. les contraintes dans l'assemblage. Proposez ventuellement une modification de l'assemblage siles valeurs trouves sont inadmissibles.1.110 Les dentures frontales Hirth trouvent emploi dans les assemblages fabriqus par la maisonVoith. Ces lments sont constitus par deux couronnes s'embotant l'une dans l'autre, les dents tanttrempes et rectifies. Le fabricant indique que la pousse axiale due l'inclinaison des dents, avecun angle 30, se trouve par l'expression :Fa = 2,31 Mt / (D+d),avec : Mt le couple transmis par l'assemblage.Justifiez la formule propose et essayez de dterminer le coefficient de frottement de calcul.1.111 Une douille en bronze, diamtres intrieur 50 mm, extrieur 65 mm, est chasse dans unsupport de palier, diamtre extrieur 110 mm, la longueur d'assemblage tant 60 mm. Les champs detolrance adopts sont H7 / s6 , la qualit de la surface tant N7 / N6 pour les deux surfaces.Dterminez :1. l'effort maximal produire pendant l'assemblage si le coefficient de frottement de montage vautmu = 13 %, le calcul s'effectuant au serrage maximal.2. la pression maximale, minimale et probable de fonctionnement obtenue aprs montage.3. les contraintes dans les diverses pices.1.112 Pour transmettre un couple de torsion entre un arbre creux en acier Ac 50-2 et un moyeuen fonte grise, nuance GG 25, on prvoit un assemblage emmanch. Les dimensions adoptes sont :diamtre commun de serrage 65 mm, diamtre intrieur de l'arbre 30 mm, diamtre extrieur dumoyeu 120 mm, longueur d'emmanchement 80 mm, contrainte nominale de torsion dans l'arbre 40N/mm2, champ de tolrance de l'alsage : 65 H7 .Dterminez :- Exercices E.M. 31 -1. la pression prvoir pour transmettre l'effort propos, la contrainte idale ne devant pas dpasser65 % de la rsistance de rupture.2. la pression prvoir rellement pour un coefficient de scurit au glissement de 1,6 .3. les champs de tolrance des pices si les tats de surface sont N6 - N7 .4. le contrle des diverses pices, pressions de calcul et contraintes.1.113 Un maneton en acier forg, nuance Ac 42, Re = 250 N/mm2, est mont sur un arbre enacier Ac 50-2, Re = 310 N/mm2, par dilatation thermique du maneton. Le diamtre de serrage est 80mm, la longueur frette 120 mm. Le couple de torsion transmis entre les deux pices vaut 4 000 m.N,l'alsage du maneton tant prvu avec un champ de tolrance H7.Dterminez :1. la pression de serrage minimale pour un coefficient de scurit au glissement de 1,6 .2. le champ de tolrance prvoir pour l'arbre, compte tenu de la rugosit des pices.3. les contraintes principales et idale dans les deux pices.4. la temprature prvoir pour le chauffage de la pice extrieure au moment du frettage.1.114 Un arbre creux de machine prsente les dimensions diamtrales suivantes : diamtreintrieur 80 mm, diamtre extrieur 150 mm, cette pice tant fabrique dans la nuance Ac 70-2.L'arbre tourne la frquence de 125 t/s.Dterminez :1. les contraintes principales aux rayons intrieur, extrieur et moyen, les cercles de Mohr cor-respondants pour ltat des contraintes.2. les dformations radiales intrieure et extrieure.1.115 Un tube pais, dimensions diamtre intrieur 120 mm, diamtre extrieur 200 mm, en acier60-2, est en quilibre thermique la temprature ambiante de 20C, sans contraintes internes. Cettepice est soumise ensuite l'effet thermique : temprature intrieure 60C, temprature extrieure210 C.1. Construisez dans la direction de l'paisseur de ce tube l'allure des contraintes radiale, tangentiel-le et maximale de cisaillement.2. Calculez la dformation diamtrale intrieure, extrieure en supposant un coefficient de dilatationthermique constant sur toute lpaisseur de la paroi.1.116 Le tiroir d'un lment de commande hydraulique coulisse dans un douille dont les dimen-sions sont : diamtre intrieur 25 mm, diamtre extrieur 40 mm, la pression intrieure tant 310 bar,extrieure gale la pression atmosphrique. L'coulement de l'huile et les pertes qui en rsultentprovoquent un chauffement intrieur de t = 80 K.Dterminez :1. les diverses contraintes engendres par la pression intrieure,2. les diverses contraintes engendres par l'effet thermique,3. la variation du jeu entre le tiroir de distribution, assimilable un cylindre plein, et la douille deguidage, sous les deux effets combins, toutes ces pices tant en acier.- Exercices E.M. 32 -1.117 Un arbre de transmission, en acier Ac 50-2, diamtre 80 mm, est quip son extrmitd'un cne long, conicit 10 %, longueur portante 130 mm, filetage en bout M 56x4. Le moyeu, en fontenodulaire GGG 42, diamtre extrieur 150 mm, est centr par cet assemblage. Les coefficients defrottement sont : au repos mu0 = 18 %, en glissement mu = 13 %. Le couple est transmis seulementpar frottement.Dterminez :1. le couple maximal transmissible dans les conditions suivantes :- contrainte de torsion 0,1 Rm - contrainte de flexion 0,2 Rm ,- contrainte normale engendre par la pression de montage 0,9 Re ,- contrainte normale dans le filetage : 150 N/mm2,- coefficient de scurit au glissement 1,6 .2. partir d'une de ces limites, les diverses pressions et contraintes.1.118 Un accouplement lastique doit transmettre un couple de 6 300 m.N entre deux arbres.Cet organe est mont gauche sur un arbre en acier Ac 50-2 extrmit tronconique selon figure dela page suivante. Le coefficient de scurit dans la transmission doit tre au moins 1,5, le coefficientde frottement entre cnes est estim mu = 14 %.Dterminez :1. la pression prvoir entre les cnes pour obtenir la scurit ncessaire.2. la force axiale produire par le systme crou.3. les contraintes dans les diverses pices, le moyeu tant en acier moul.1.119 Les dimensions et les charges appliquer ou supportes par l'lment Anobloc RfN 8006de la maison RINGFEDER sont donnes dans la table partielle ci-aprs. Les valeurs des forces Fa' etFax ainsi que le couple transmissible Mt sont valables pour une pression p = env. 100 N/mm2 entrel'arbre et l'lment. La pression entre l'alsage du moyeu et la bague extrieure de l'Anobloc secalcule par : p' = p d/D. d x D L l A F0 FA' Mt Fax mm mm mm mm2 N N m.N N 7 x 10 4,5 3,7 70 - 3780 2,94 840 10 x 13 4,5 3,7 113 6950 6300 7,0 1400 15 x 19 6,3 5,3 250 10750 13500 22,5 3000 16 x 20 6,3 5,3 266 10100 14400 25,5 3190 20 x 25 6,3 5,3 333 12050 18000 40,0 4000 25 x 30 6,3 5,3 416 9900 22500 62 5 30 x 35 6,3 5,3 499 8500 27000 90 6000 35 x 40 7 6 659 10100 35600 138 7900 40 x 45 8 6,6 829 13800 45000 199 9950 45 x 52 10 8,6 1215 28200 66000 328 14600 50 x 57 10 8,6 1350 23500 73000 405 16200 55 x 62 10 8,6 1485 21800 80000 490 17800 60 x 68 12 10,4 1959 27400 106000 705 23500 65 x 73 12 10,4 2123 25400 115000 830 25600 70 x 79 14 12,2 2682 31000 145000 1120 32000 80 x 91 17 15 3768 48000 203000 1810 45000 90 x 101 17 15 4239 43400 229000 2290 51000100 x 114 21 18,7 5872 60700 317000 3520 70000Dterminez ou contrlez :1. Pour les diamtres d'arbre : 15 25 40 55 70 90 mm- l'aire de la surface de contact entre la bague intrieure et l'arbre,- la force axiale totale produire,- l'effort normal sur les surfaces cylindriques.2. pour les mmes dimensions :- le couple transmissible seul,- Exercices E.M. 33 -- l'effort axial transmissible seul,- le coefficient de scurit admis par le fabricant dans les deux cas de charge.1.120 Le montage de plusieurs lments Anoblocs en srie est possible avec une diminution del'effet de serrage. D'aprs le catalogue du fabricant, pour un coefficient de frottement mu = 12 % et unangle du cne tel que tangente alpha = 0,3, le rapport des pressions entre deux lments successifsvaut 0,555. A partir de la figure du cours, dterminez pour l'angle et le coefficient de frottementproposs le rapport entre la force Fdroite et la force Fgauche reprsentant l'quilibre des deux anneaux.Le rsultat de l'investigation confirme-t-il les indications du catalogue ?1.121 Un petit arbre de machine, diamtre 45 mm, doit transmettre un couple de torsion statiquede 500 m.N par l'intermdiaire d'un systme Anobloc de la maison RINGFEDER. Le moyeu centrsur l'arbre prsente un diamtre extrieur de 80 mm.Dterminez :1. la force axiale produire pour obtenir la transmission du couple.2. le nombre de vis et le type de vis prvoir.3. le contrles des contraintes dans l'arbre et dans le moyeu, les deux pices tant en acier, enpartant des relations proposes.1.122 Pour transmettre un couple de torsion entre un arbre, diamtre 60 mm, en acier nuanceC60, et un moyeu constitu par une pice tubulaire, diamtre extrieur 110 mm, en acier Ac 50-2, onintercale deux Anobloc monts en srie comme reprsent sur la figure. En admettant une pressionsuperficielle telle que les contraintes idales atteignent les valeurs proposes par les relations ducours, fonction de la contrainte la limite d'lasticit, calculez :1. les pressions admissibles entre les lments de l'assemblage,2. le couple transmissible seul, la force axiale transmissible seule,les contraintes correspondantes dans l'arbre ou l'axe.3. les dimensions des vis de serrage et leur nombre.1.123 L'assemblage Dynanobloc RINGFEDER, type RfN 7013, permet de transmettre soit uncouple, soit un effort axial par serrage d'un cne. D'aprs le catalogue, un tel lment, dimensions 60x 90 permet de transmettre soit un couple de 2 770 m.N, soit une force axiale de 90 000 N, grce l'action du serrage de 10 vis M 8 x 25, classe de qualit 12.9. La pression sur l'arbre est 247 N/mm2.Dessinez cet lment sachant que la longueur conique en contact est approximativement 22 mm. Sile coefficient de frottement vaut mu = 12 % pour des surfaces huiles :1. quel est l'effort axial provoqu par les vis de serrage ?2. quelle conicit faut-il prvoir de manire gnrer la pression propose ?3. quelles sont la pression entre l'lment et le moyeu, et toutes les contraintes dans l'arbre et lemoyeu.1.124 On dsire transmettre un couple de 12 500 m.N entre un arbre, diamtre 120 mm, et unmoyeu faisant partie d'un volant selon figure. Dans ce but, on intercale un Dynanobloc RINGFEDER,type RfN 7012, dimensions 120 x 165 . D'aprs catalogue, la pression entre cet lment et l'arbre vaut- Exercices E.M. 34 -185 N/mm2 et le couple transmissible vaut 13 100 m.N , la force axiale tant 218 kN. Cet lment estserr par 16 vis M 12 x 30, classe de qualit 12.9, le couple de serrage tant 125 m.N. L'angle dudouble cne est environ 28 selon indication du fabricant.Dterminez :1. l'effort axial provoqu par le serrage des vis,2. en admettant l'angle des cnes selon indication du fabricant, quel est le coefficient de frottementde calcul pour obtenir la pression propose ?3. les contraintes simples et idales dans l'arbre et le moyeu,Arbre en Ac 60-2, moyeu en acier moul.1.125 Le principe des assemblages cnes est galement introduit dans les accouplementsrigides pour deux arbres. Selon catalogue, l'accouplement RINGFEDER RfN 7020, diamtre de l'arbre65 mm, est capable de transmettre un couple de torsion de 4 970 m.N grce au serrage de 8 vis M12 x 80, classe de qualit 12.9 , serres sous un couple de 145 m.N. Le coefficient de frottement entrecnes est admis mu = 12 % . La longueur totale de la pice intrieure est L = 222 mm, le diamtreextrieur D = 145 mm .En appliquant les relations des assemblages cnes, vrifiez :1. l'effort axial total engendr par le serrage des vis,2. la pression sur l'arbre (selon catalogue 125 N/mm2),3. les contraintes dans l'arbre sous la charge propose.1.126 Un levier deux branches en fonte grise, en deux parties, est serr sur un arbre en acierau moyen de quatre vis M6 x 60, classe de qualit 8.8 . Les efforts gauche et droite sont donnssur la figure. Le coefficient de scurit au glissement doit tre au moins 1,6 , le coefficient de frotte-ment de repos tant admis mu0 = 14 % .Calculez le serrage minimal prvoir pour les vis et indiquez si cette solution est acceptable.- Exercices E.M. 35 -1.127 On doit pouvoir transmettre une force F = 300 N variable dans les deux sens par l'inter-mdiaire d'un assemblage pinc constitu par un arbre en acier nuance Ac 50-2 et un levier enconstruction soude, acier Ac 42, selon figure, la longueur du bras de levier tant 200 mm.Dterminez :1. la classe de qualit prvoir pour la vis de serrage prvue en M8 .2. les pressions et les contraintes dans les diverses pices.1.128 Soit un choix de filetages norms selon ISO ou selon DIN :M12 M30 M42 M10 x 1,25 M24 x 2G 1" G 2" Tr 16 x 4 Tr 40 x 7 Tr 70 x 10Dterminez pour chacun de ces filetages :1. les angles alphaa et alphan, angle du filet gamma,2. la surface projete pour un contact entre vis et crou si la longueur de l'crou est 1,5 fois le dia-mtre nominal de la vis.1.129 Un tau pour pices cylindriques se compose essentiellement des lments suivants : unbti en fonte grise avec guidages, une vis profil trapzodal en acier Tr 24 x 5, deux morssymtriques coulissant dans des glissires rectangulaires. Le coefficient de frottement entre la vis etl'crou vaut mu = 10 %, entre les mors et le bti mu = 12 %, la pression entre ces dernires picestant suppose rpartie triangulairement. On applique sur le levier, plac l'extrmit de la vis, uneforce tangentielle de 250 N 225 mm de l'axe de rotation de la vis.Dterminez :1. les couples moteur et dans les deux crous,2. la force axiale produite dans la vis si les filetages sont l'un droite et l'autre gauche, le frotte-ment dans le palier de guidage tant nglig,3. les forces normales entre la glissire et les mors,4. les forces normales de serrage sur les pices au diamtre 50 mm, l'angle d'ouverture des deuxvs tant 120,5. les contraintes normales et de torsion dans le noyau de la vis dans la section situe entre les deuxcrous.1.130 Un systme mcanique se compose des lments reprsents sur la figure : un moteurlectrique, puissance 3 kW, frquence de rotation 12 t/s, un rducteur de vitesse roues dentescylindriques droites, deux tages, axes d'entre et de sortie coaxiaux, premier tage z1 = 16, z2 = 47,deuxime tage z3 = 15 et z4 = 27, rendement de chaque tage 98 %, un arbre intermdiaire quipd'un joint cardan, rendement 95 %, d'une vis profil trapzodal Tr 40 x 7 avec filetage gauched'un ct, filetage droite de l'autre ct, coefficient de frottement entre la vis et les crous mu = 12%, d'un systme articul, fixe au point B, mobile au point C, produisant une force verticale vers lehaut, les pertes pouvant tre simules par un rendement global de 96 % pour ce dernier mcanismearticul.Dterminez :- Exercices E.M. 36 -1. le couple sur l'arbre moteur, le couple sur l'arbre de sortie du rducteur, les couples moteur sur lavis et les deux crous,2. la force axiale produite au point C,3. les diagrammes des efforts dans la vis, la longueur des crous tant 60 mm, les contraintescorrespondantes dans le noyau de la vis,4. les contraintes dans le filetage de la vis,5. le rendement total de l'installation.1.131 Un petit systme de serrage se compose d'une tige filete avec M 12, quipe sonextrmit libre d'un volant main, diamtre 60 mm, fix au moyen d'une goupille transversaleencoche, diamtre 4 mm, l'autre extrmit d'une partie sphrique creuse durcie superficiellement,rayon de la sphre 6 mm. On applique sur le volant main un couple de torsion de 16 m.N .Dterminez :1. les pressions entre la goupille et le volant main, la tige tant cylindrique au diamtre 10 mm.2. l'effort axial produit par la vis si toutes les pices glissantes prsentent un coefficient de frotte-ment mu = 14 %.3. la pression entre la calotte sphrique creuse et la bille au diamtre 10 mm.4. la force axiale produite vers l'extrieur par la pice de pousse verticale, le coefficient de frotte-ment sur cette dernire valant mu = 12 %.1.132 Un mcanisme de serrage se compose essentiellement des pices suivantes : une vis profil trapzodal Tr 20 x 4, une bute plane au diamtre moyen 24 mm, un coin infrieur pos sur leplan horizontal, masse ngligeable, pente de la face suprieure 25 %, un coin suprieur guid dansdes appuis parallles. Toutes les surfaces en glissement prsentent un frottement au coefficient demu = 14 %. La vis, sous l'effet du couple moteur sur la tte de vis, produit une force axiale de 8 000 N.Dterminez :1. le couple de frottement sur la bute et la couple entre la vis et l'crou, le moment moteur.2. l'quilibre du coin infrieur, la valeur des charges liniques en supposant une rpartition triangu-laire de la pression.3. l'quilibre de la pice suprieure, compte tenu du frottement dans les guidages.4. le rendement global du mcanisme.5. les contraintes dans la vis : noyau et filetage.1.133 Une presse colonnes, reprsente schmatiquement sur la figure, est prvue poursupporter une charge axiale de 5 000 kN produite par une installation hydraulique constitue par unvrin aliment en huile sous haute pression. La traverse mobile suprieure est entrane par unmoteur lectrique coupl un rducteur de vitesse vis sans fin. Le dplacement de cette traverse sefait vide c'est--dire seulement sous l'effet de son poids propre, donc sans la charge du vrin. Lamasse de la traverse mobile est 2 500 kg. Les dimensions des deux colonnes filetes, l'une avecfiletage gauche, l'autre avec filetage droite, sont :- diamtre extrieur : 220 mm, diamtre intrieur : 170 mm, filetage rectangulaire au pas P = 60 mm,- distance entre les deux colonnes : 1600 mm, diamtre moyeu des butes sur les deux crous : 260mm, hauteur de chaque crou : 400 mm.Dterminez :1. l'angle de filet des deux colonnes filetes, la pression moyenne entre vis et crous lors du dpla-cement motoris de la traverse mobile.- Exercices E.M. 37 -2. le couple produire sur chaque crou si le coefficient de frottement vaut mu = 10 % la monteet la descente de la traverse.3. la puissance prvoir pour le moteur d'entranement si ce dernier tourne 24 t/s et si le rende-ment du mcanisme vis sans fin vaut 74 %, la vitesse de monte de la traverse tant 1 m/min.5. les contraintes dans le noyau de la vis et dans le filetage pendant l'application de la charge axialeau moyen du vrin hydraulique.La charge axiale, produite par le vrin vers le haut vaut 5 000 kN. Elle se rpartit sur les deuxcolonnes.1.134 Une vanne coin, prvue pour un diamtre nominal de passage DN = 100 mm,temprature de vapeur 320C, est commande par un moteur et un mcanisme vis, avec rducteurde vitesse engrenages plac entre ces deux composants. L'quilibre des coins articuls pendant laphase de serrage et le contrle de l'tanchit des obturateurs ont permis de trouver que la vis devaitproduire une force axiale de 16 000 N compte tenu de tous les frottements. Le filetage adopt entre lavis en acier inoxydable et l'crou en bronze est Tr 24 x 5 , la bute axiale sur l'crou prsentant unrayon moyen de contact de 55 mm. Les coefficients de frottement intervenant dans le calcul de la vissont : entre la vis et l'crou mu = 12 %, sur la bute mu = 14 % et dans le carr d'entranement, ct 24 mm, mu = 15 %. Au moment de l'ouverture de la vanne, tous les coefficients d'adhrence valentmu0 = 20 %.Dterminez :1. le couple de serrage introduire dans le carr d'entranement au moment de la fermeture et del'ouverture de la vanne.2. les valeurs de la pression et des contraintes dans le carr d'entranement,3. les valeurs de la pression et des contraintes dans le filetage.4. les efforts et les contraintes dans la vis.1.135 Une presse motorise se compose essentiellement des lments suivants : un moteurlectrique asynchrone tournant 24,2 t/s, un rducteur engrenages deux tages avec z1 = 15, z2= 67, z3 = 14 et z4 = 43, le principe de la disposition des roues dentes tant visible sur la figure, uncrou en bronze guid dans deux paliers, le palier B supportant seulement la charge radiale, une vis profil trapzodal Tr 80 x 10 engendrant son extrmit infrieure une force axiale de 80 000 N, unbti en fonte grise supportant le tout.Le coefficient de frottement entre la vis et l'crou, dans les deux paliers de guidage B et C, vaut mu =8 %. Ces paliers sont alss au diamtre 120 mm, la bute axiale en C ayant les dimensions intrieur86 / extrieur 118 mm.Dterminez :1. la vitesse d'avance de la vis, le couple produire entre la vis et l'crou.2. l'quilibre de l'crou si l'entranement s'effectue par l'intermdiaire d'une roue taille au module 6mm, diamtre primitif 258 mm, angle de pression 20 .3. le couple et la puissance du moteur d'entranement si le rendement du rducteur roues dentesest estim 94 %.- Exercices E.M. 38 -4. le rendement total de ce mcanisme.5. les contraintes dans le noyau de la vis aprs la construction des diagrammes des efforts.6. la pression et les contraintes dans le filetage si la longueur portante de l'crou est 120 mm.1.136 Un systme de serrage se compose essentiellement des pices suivantes :- une vis, filetage M 16, caractristiques de calcul : diamtre sur flancs 14,7 mm, pas P = 2 mm,- bute l'extrmit droite diamtre moyen 20 mm;- deux coins avec une pente de 20;- un appui en v, angle total d'ouverture 120;- une pice cylindrique serrer, diamtre 100 mm.Les dimensions principales sont donnes sur la figure. Toutes les surfaces en dplacement prsen-tent du frottement, le coefficient mu valant 14 %.Dterminez successivement :1. le moment de frottement sur la bute si la force axiale produite dans la vis vaut 15 kN,2. le moment de frottement entre la vis et l'crou, taill dans le coin gauche.3. l'quilibre du coin de gauche ou de droite au serrage de la pice.4. l'quilibre du cylindre sous l'action des diverses forces de serrage.5. le couple de torsion applicable sur la pice aprs serrage si le coefficient de scurit au glisse-ment doit tre 1,6.6. les diverses contraintes dans la vis.1.137 Le serrage d'un fouloir, agissant sur un presse-toupe selon figure, ncessite la productiond'une force axiale de 25 kN, cet effort tant obtenu par deux crous visss sur des goujons fabriqusen acier, nuance 4.6. Comme les crous s'appuient sur la bride du fouloir, la contrainte idale dans lasection rsistante des goujons ne devrait pas dpasser les 3/4 de la contrainte la limite d'lasticit.Dterminez :1. le couple prvoir sur la clef de serrage pour un coefficient de frottement mu = 14 % sur toutesles surfaces en dplacement.2. les contraintes simples et idale dans les goujons.3. la forme donner au fouloir, fabriqu en acier Ac37, afin que les contraintes soient admissibles.4. les diverses pressions atteintes dans l'assemblage :- entre crous et fouloir, - entre fouloir et garniture- Exercices E.M. 39 -1.138 La liaison entre deux conduites, diamtre intrieur 125 mm, pression intrieure 18 bar, estralise au moyen de brides soudes sur les tubes. L'tanchit est assure par un joint plat et unassemblage vis : 8 vis M 16, classe de qualit 5.6 . Le serrage est effectu de telle manire que lacontrainte idale dans les vis ne dpasse pas 80 % de la contrainte la limite d'lasticit, cette op-ration tant effectue au moyen d'une clef dynamomtrique.Dterminez :1. le couple de serrage sur les crous, coefficient de frottement de toutes les surfaces mu = 13 %.2. la pression minimale produite sur le joint plat sans l'action de la pression intrieure.3. le rapport existant entre la force axiale totale de serrage et la pousse due la pression intrieu-re.1.139 Une roue dente conique, en acier d'amlioration, est fixe sur un moyeu en fonte graphite sphrodal par 6 vis de taille M 10 . Le couple transmettre entre l'arbre et la denture vaut1250 m.N, le coefficient de scurit au glissement devant tre au moins 1,6.Dterminez :1. les efforts sur la denture si la force de calcul est suppose place au milieu de la largeur de ladent et si l'angle du cne vaut delta = 60, l'angle de pression alpha = 20.2. la classe de qualit adopter pour les vis si le serrage s'effectue au moyen d'une clef dynamo-mtrique.3. les pressions entre les diverses pices aprs montage et application de la force sur la dent.1.140 La transmission d'un couple M = 500 m.N entre deux arbres est assure par un embrayage disque unique dont une partie est dessine sur la figure. La fixation du plateau d'embrayage sur lemoyeu d'un des arbres est assure par 6 vis M 12 montes au diamtre 320 mm. Le coefficient defrottement entre les pices et les feuilles intercalaires vaut mu0 = 14 % au repos, le coefficient descurit au glissement devant tre au moins 2, les vis tant serres par clef dynamomtrique.Dterminez :1. la classe de qualit prvoir pour les vis.2. la valeur de la contrainte idale dans les vis.3. les diverses pressions maximale et minimale.1.141 Un arrache poulie (Abziehvorrichtung) se compose des pices reprsentes schmatique-ment sur la figure, soit :- une vis Tr 28 x 5, actionne par un levier deux bras, forces horizontales Fh = 300 N formant uncouple, places 320 mm l'une de l'autre.- une bute, rayon moyen de contact rm = 10 mm.- un systme de commande comprenant en particulier l'crou du mcanisme vis, longueur del'crou 45 mm.Le coefficient de frottement de toutes les surfaces en dplacement vaut mu = 16 %.Dterminez :1. le couple moteur et la diamtre prvoir pour la tige du levier si la contrainte de flexion ne doit pasdpasser 140 N/mm2.2. la force axiale produite par la vis sur la bute.3. tous les diagrammes des efforts dans la vis.- Exercices E.M. 40 -4. toutes les contraintes simples dans le noyau de la vis dans la (les) section la plus sollicite.1.142 Une pompe engrenage se compose essentiellement d'un carter en fonte d'aluminiumavec pieds, d'une platine intermdiaire, d'un couvercle et de deux roues dentes en prise. La pressionde refoulement vaut 80 bar et les diverses pices sont serres par des vis de fixation disposes selonfigure. La pression d'aspiration est gale la pression atmosphrique, la pression passantprogressivement 80 bar sur la surface circonfrentielle des roues dentes. Pour contrler lapousse, il est possible d'admettre que cette pousse agit seulement sur la moiti totale de la surfaceintrieure limite par des joints toriques.Dterminez :1. la pousses sur les deux fonds de la pompe.2. l'augmentation de tension axiale dans les vis due la pousse, le serrage s'effectuant au moyend'une clef dynamomtrique.1.143 La figure montre la construction interne d'un vrin hydraulique avec ses divers joints et lespices mtalliques (conception : HUNGER DFE GmbH Wrzburg). L'assemblage des fonds estassur par un systme vis filet sur les tubes, des crous et des vis de fixation venant s'accrocherdans les fonds. Pour le modle reprsent sur la figure, le diamtre du piston est 63 mm, les autresdimensions tant prendre proportionnellement sur la figure.Dterminez :1. la pousse sur les fonds pour une pression d'alimentation d'un seul ct de 200 bar.2. la taille du filetage mtrique prvoir sur le tube de fixation des crous.3. la taille pour les vis de fixation des fonds et la classe de qualit pour assurer une scurit de 5.4. le couple de serrage sur les vis mtrique de fixation prvoir si ce serrage s'effectue avec uneclef dynamomtrique et si le coefficient de frottement vaut mu = 14 %.1.144 La figure montre le palier d'une bielle de moteur Diesel, le diamtre du maneton du vilebre-quin tant 125 mm. La force extrieure applique sur la bielle varie de 0 72 kN pendant la rotationde l'arbre. La bielle est acier matric et les vis d'extension sont fabriques en acier dans la classe dequalit 10.9.Dterminez :1. les conditions de serrage de ces vis si la tension axiale produite et le couple de serrage sur lescrous limitent la contrainte idale dans les vis 75 % de Rp0,2 .- Exercices E.M. 41 -2. les sections de calcul, les rigidits correspondantes et le triangle de prcontrainte lors du montagede l'ensemble.3. les divers contrles des pices : valeur des diverses charges, contraintes, pressions et scuritdynamique.1.145 Le crochet d'un engin de levage en acier nuance C22N avec : Rm = 420 .. 530 N/mm2,Rp0,2 = 240 N/mm2, doit supporter une charge maximale F = 100 kN. L'extrmit du crochet mobile estfix au moyen d'un filetage M 64.Contrlez : 1. les contraintes dans le noyau et dans le profil du filetage.2. les modifications apporter cet ensemble pour en augmenter la capacit portante.1.146 Un problme difficile rsoudre dans les mcanismes vis est la rpartition de la chargeentre la vis et l'crou. Plusieurs auteurs ont essay de trouver les pression en adoptant plusieursmodles de substitution. La modlisation d'une structure par la mthode des lments finis devraitpermettre de trouver ces grandeurs, d'o ce problme : trouvez la rpartition de la charge axiale entreune vis mtrique M 20 et son crou six-pans pour une charge axiale dans la vis de 100 kN.Dans ce but :1. Modlisez la profil de la vis en introduisant une structure axisymtrique,2. Modlisez l'crou en supposant un diamtre extrieur cylindrique gal 0,5 (s + e),3. Introduisez des lments interface entre ces deux parties avec un frottement mu = 15 %,4. Appliquez la charge progressivement en 10 incrments, cette charge tant suppose rpartieuniformment dans le noyau de la vis,5. Admettez l'appui de l'crou indformable,6. Reprsentez graphiquement la rpartition de la charge totale en fonction du nombre de filetsporteurs.1.147 Le profil des filetages en dents de scie selon DIN 513 est reprsent sur la figure droitedu cours. Les relations gnrales pour ce profil sont, P tant le pas axial :t = 1,73205 P t1 = t2 + b t2 = 0,75 Pe = 0,26384 P i = 0,52507 P i1 = 0,45698 Pb = 0,11777 P R = 0,12427 P avec : t hauteur thorique du profil dans la vis ( l'intersection des segments rectilignes),t1 hauteur totale du profil sur la vis,t2 profondeur du profil dans l'crou,b jeu radial.En admettant le filetage S 30x6 dont le noyau est sollicit par une contrainte normale de 100 N/mm2,modlisez en lment finis 4 filets porteurs dans une structure axisymtrique et supposez que chacundes filets supporte exactement le quart de la charge, dterminez les coefficients de forme en traction chacun des appuis.- Exercices E.M. 42 -Filetages en dents de scie selon norme DIN 513VIS ECROUToutes les dimensions en mm sauf A en cm2Diamtreextrieurd x pas d3 A(cm2) t1 R e D1 d2 t2S 22x5S 24x5S 25x5S 28x5S 30x613,32215,32217,32219,32219,5861,391,842,362,933,014,3394,3394,3394,3395,2070,6210,6210,6210,6210,7461,3191,3191,3191,3191,58314,516,518,520,521,018,59020,59022,59024,59028,9093,753,753,753,754,5S 32x6S 36x6S 40x7S 44x7S 48x821,58625,58627,85231,85234,1163,705,146,097,979,145,2075,2076,0746,0746,9420,7460,7460,8700,8700,9941,5831,5831,8471,8472,11123,027,029,533,536,027,90931,90935,22739,22742,5454,54,55,255,256,05 50x8S 52x8S 55x9S 60x9S 65x1036,11638,11639,38044,38047,64410,2411,4112,1815,4717,096,9426,9427,8107,8108,6780,9940,9941,1181,1181,2432,1112,1112,3752,3752,63838,040,041,546,550,044,54546,54548,86353,86358,1816,06,06,756,757,5S 70x10S 75x10S 80x10S 85x12S 90x1252,64457,64462,64464,17459,17421,7726,1030,8232,3537,588,6788,6788,67810,41310,4131,2431,2431,2431,4911,4912,6382,6382,6383,1663,16655,060,065,067,072,063,18168,18173,18176,81781,8177,57,57,59,09,0S 95x12S 100x12S 110x12S 120x14S 130x1474,17479,17489,17495,702105,70243,2149,2362,4671,9387,7510,41310,41310,41312,14912,1491,4911,4911,4911,7401,7403,1663,1663,1663,6943,69477,082,092,099,0109,086,81791,817101,817110,453120,4739,09,09,010,510,5S 140x14S 150x16S 160x16115,702122,232132,232105,14117,34137,3312,14913,88413,8841,7401,9881,9883,6944,2214,221119,0126,0136,0130,453139,089149,08910,512,012,01.148 Une variante au problme 1.146 est reprsente par une charge axiale sur un assemblagevis - crou dont le filetage est en dents de scie norm selon DIN 513, voir figure du cours droite ettableau de dimensions ci-dessus. L'crou est constitu par un crou de traction selon figure et lesdimensions de l'crou sont donnes sur la figure correspondante. La dimension adopte pour lefiletage est S 80x10, la charge axiale pulsante variant de 40 kN 160 kN raison de 5 amplitudes parseconde.Dterminez :1. Toutes les dimensions complmentaires ncessaires au trac de la vis et de l'crou de traction.2. La modlisation de la vis en utilisant une structure axisymtrique.3. La modlisation de l'crou en utilisant aussi une structure axisymtrique.4. L'introduction d'lments interface entre les filetages de la vis et de l'crou :- coefficient de frottement mu = 12 % ,- contrle de la convergence du problme non linaire.5. L'application de la charge minimale Fax = 40 000 N par incrment de 8 000 N .6. L'application de la charge maximale Fax = 160 000 N partir de la charge minimale par incrmentde 12 000 N.7. La reprsentation graphique de la rpartition des contraintes composantes dans la vis et l'crou :- contraintes radiale, axiale et tangentielle et dformations correspondantes,- contraintes principales 1, 2 et 3 ,- contraintes idales selon Mohr et von Mises ,- le ou les coefficients de scurit en charge dynamique.- Exercices E.M. 43 -1.149 Un assemblage vis, dimension M 20, permet de serrer les brides en acier moul d'unorgane pour fluide. La classe de qualit adopte pour les vis est 8.8 et la charge applique par visvarie entre 0 et 60 kN .Dterminez :1. les dimensions de la vis normale selon norme ou catalogue.2. l'lasticit de la vis et des pices serres selon tableau du cours pour un coefficient de frottementde mu = 14 %.3. l'tat de contrainte aprs application de la charge.4. les autres contrles usuels des assemblages vis fortement sollicits.1.150 Un assemblage vis d'extension serre deux pices en fonte graphite sphrodal selonfigure, la longueur totale de serrage tant 120 mm. La charge applique sur cet assemblage varieentre 12 kN et 32 kN la frquence de 8 Hz.Dterminez :1. toutes les dimensions manquantes de la vis fabriques en acier de la nuance 10.9.2. le couple de serrage prvoir sur l'crou si le coefficient de frottement de toutes les surfacesmobiles vaut mu = 15 %, la contrainte idale ne devant pas dpasser 75 % de la rsistance Rp0,2.3. l'lasticit de la vis et des pices serres, de l'ensemble, les parois infrieures fixant le niveaud'introduction des efforts extrieurs.4. les contraintes dans la vis sous l'effet de la variation de la charge, le serrage rsiduel minimal.5. les autres contrles usuels des assemblages vis en particulier la scurit en charge dynamiquesur la vis.1.151 Un accouplement lastique plateau selon figure doit transmettre une puissance de 25 kW la frquence de rotation 2,1 tours par seconde. Les lments lastiques sont monts dans undouble disque intermdiaire fix au moyen de 6 vis M 14 de classe 8.8.Dterminez :1. le couple transmettre, la force tangentielle sur chaque vis,2. le coefficient de scurit au glissement si le frottement entre les pices serres vaut 14 %,3. les efforts dans la vis pendant la transmission du couple.1.152 La fixation d'un volant au moyen d'un systme vis est reprsente sur la figure. L'assem-blage doit transmettre un couple de torsion de 110 m.N par frottement. Les dimensions adoptes pourcet assemblage sont (selon recommandation VDI 2230) :dw min = 36 mm dha max = 30 mm k = 10 mmdo = 24 mm db = 16 mmd = 27 mm d2 = 15,7 mm P = 2 mm l5 = 10 mmDha max = 30 mm Dw min = 48 mm- Exercices E.M. 44 -dh = 29 mm l2 = 1,5 mm l3 = 7,0 mm l4 = 7,5 mmAdopt : une vis six pans M 27 x 2 , classe 8.8, facteur de serrage A = 1,6 , coefficient de frottemententre les pices mu0 = 15 % , coefficient de scurit au glissement Sgl = 1,4.Contrlez cet assemblage en suivant scrupuleusement les points cits dans la recommandation VDI2130 et le cours.1.153 Contrle d'une fixation d'un couvercle de rcipient sous pression constitu par un cylindrehydraulique avec disposition excentre des vis (exemple donn dans la recommandation VDI 2230).Les dimensions des diverses pices sont donnes directement sur la figure. Le cylindre est fabriquen acier de la nuance Ac 50-2, le couvercle en C 45 V. La pression hydraulique varie entre pmin = 6N/mm2 et pmax = 20 N/mm2. Les grandeurs suivantes sont donnes en complment :diamtre intrieur du cylindre : Di = 140 mm,diamtre extrieur maximal Da = 210 mm, nombre de vis 15 ( bizarre ? ).Lorsque la pression maximale est atteinte, la force de serrage rsiduelle doit tre au moins FKR = 3000N. Les vis sont serres avec une clef dynamomtrique quipe d'un indicateur de couple. La positiondes vis et des trous de passage est donne dans les coupes complmentaires de la figure.Contrlez l'assemblage vis en adoptant la dimension correcte des vis suivant les points de larecommandation VDI 2230 et le cours.Cet exemple de la recommandation fait apparatre les rsultats suivants :Force de serrage ncessaire : FKerf = 56 400 N avec alphaA = 1,6.- Exercices E.M. 45 -Rapport des dformations : = 0,12 .Pression maximale : pmax = 315 N/mm2.1.154 La dformation d'un ressort s'exprime par la relation suivante o F est la force exprime ennewtons et x la dformation en mm : la charge du ressort : F = (25 - 0.125 x) x, la dcharge du ressort : F = - 50 + (20 + x/32) x (pour F > 0)Dterminez pour une dformation de x = 40 mm :1. le travail produit par la force la charge et la raideur pendant cette opration.2. le travail fourni par le ressort la dcharge et la raideur pendant ce mouvement.3. le rendement de ce ressort.4. le facteur d'amortissement.1.155 Un ressort sollicit par un effort extrieur se dforme dans la direction de l'effort selon lesdeux lois quadratiques :- la charge du ressort : x = a x + b x2 ,- la dcharge du ressort : x = c x2.La force maximale applique vaut : F = Fmax et la dformation maximale : x = xmax. A force nulle, ladformation est nulle comme propose par les relations. Dterminez le rendement mcanique duressort, l'nergie dtruite et appliquez les rsultats au ressort :force maximale : Fmax = 12 500 N, dformation maximale : xmax = 80 mm.1.156 Le ressort anneaux tronconique RINGFEDER type 1208 prsente les caractristiquessuivantes :- dimensions gomtriques : de = 63 mm, di = 52 mm, h0 = 7,7 mm,- dformation 1,4 mm par lment, surface dappui usine.- Charge applicable 54 kN.Contrlez ce ressort possdant 12 lments placs en srie :1. Contrainte maximale et minimale,2. Dformation sous l'effet de la charge.3. Energies la charge et la dcharge, rendement mcanique.1.157 Un systme mcanique se compose de quatre coins placs entre deux parois supposesparfaitement rigides, distantes de 20 mm. L'angle des coins vaut 15 et le coefficient de frottementpour toutes les surfaces en contact vaut mu = 14%.Dterminez :1. l'quilibre de chacun des coins, la force de gauche F0 valant 25 kN,2. la force normale Fn23 entre les coins 2 et 3,3. le rapport entre la force F n23 et F0 .- Exercices E.M. 46 -1.158 Soit amortir un mouvement horizontal d'une masse au moyen d'un empilage d'un ressort anneaux tronconiques dans les conditions suivantes :- masse en mouvement : 10 000 kg ,- vitesse au dbut de l'impact : 2 m/s- rapport entre force maximale et force limite sur le ressort : 0,7,- dplacement totale jusqu' l'arrt : 100 mm .On choisit le ressort RINGFEDER 1318 dont les caractristiques donnes dans la table sont les sui-vantes :excution roule, force F = 590 kN , se = 4,0 mm, he = 23,0 mm, D1 = 196 mm, d1 = 154 mm,b = 38,0 mm, D2 = 200 mm, d2 = 150 mm.Dterminez et contrlez :1. le nombre d'lments ncessaire pour remplir les conditions imposes,2. Les caractristiques proposes par le catalogue du fabricant,3. les contraintes et les diverses nergies intervenant lors du choc.1.159 Dans des conditions particulires d'utilisation, il est intressant de pouvoir crer desressorts travaillant en flexion de formes diffrentes de celles prsentes dans le cours. La figure 1.159montre trois variantes de ressort lame cintre et tronons rectilignes, section rectangulaire, largeurb, paisseur h :1. lame cintre sur 3/4 de tour,2. lame cintre sur 240 avec extrmit en partie rectiligne de longueur L inclines 30,3. lame cintre en forme de deux demi cercles.Dterminez pour chaque ressort :1. le diagramme des moments flchissants dans les lames,2. l'expression de la contrainte maximale de flexion et la position de la section correspondante,3. l'expression de la dformation sur la ligne d'action de la force F en ne tenant compte que desdformations dues la flexion.1.160 La figure 1.160 montre deux ressorts de flexion constitus de parties rectilignes et cintres.Le premier ressort se compose d'une partie rectiligne suivie de deux tronons cintrs, la sectiontransversale tant rectangulaire b x h. Le second ressort utilis dans l'appareillage lectrique secompose de deux tronons rectilignes relis par une partie cintre, section circulaire au diamtre d. Letroisime ressort se compose d'un tronon en porte--faux, la section transversale tant rectangulaireb x h .Dterminez pour chaque ressort :1. le diagramme des moments flchissants,2. l'expression de la contrainte maximale de flexion,3. pour le premier ressort : le dplacement du point d'application de la force dans sa propre direction,pour le second ressort : le dplacement du point M milieu du tronon B-C ,pour le troisime ressort toutes les dformations au point G .1.161 Un petit ressort double lame est constitu par deux profils section gale, largeur 10mm, paisseur 0,8 mm, longueur entre parties encastres 80 mm.Dterminez :1. Quelle force peut-on appliquer sur cet lment si ce ressort est fabriqu en acier Ck 75 et si laflche ne doit pas dpasser 15% de la longueur libre ?- Exercices E.M. 47 -2. L'nergie accumule dans le ressort sous la charge maximale.1.162 Dans un petit mcanisme, on prvoit de monter un ressort lame simple et paisseurconstante, forme trapzodale avec b/b' = 2, de telle sorte que sous l'action d'une force de 2 N ladformation soit de 4 mm. La longueur libre ne doit pas dpasser 50 mm.Dterminez :1. les dimensions du ressort fabriqu en acier de la nuance Ck 60, de volume si possible minimal.2. les contraintes et dformations dans cet lment.1.163 Un ressort lames superposes se compose de 7 lames dont la section transversale est :largeur 60 mm, paisseur 8 mm, acier nuance 50 CrV 4, contrainte de rupture 1350 N/mm2. Les deuxlames suprieures possdent la longueur totale entre appuis, soit 1200 mm. Ce ressort doit supporterune masse en mouvement produisant au repos une force F = 4 kN au centre, cette force pouvantvarier jusqu' 6,5 kN.Dterminez :1. la dformation thorique maximale et pratique en supposant une perte de 2,5% par surface frot-tante.2. les contraintes statiques et dynamiques.3. la frquence propre de l'ensemble.1.164 Le problme rsoudre consiste contrler le comportement d'un ressort double lameau moyen de la mthode des lments finis. Les dimensions du ressort sont reprsentes sur lafigure, la partie gauche montrant l'attache fixe, la partie droite le tronon mobile sous la charge. Leressort est fabriqu en acier avec E = 21.104 N/mm2, l'paisseur pouvant tre admise unitaire.L'extrmit libre est soumise une pression uniforme p = 5 N/mm2.Dterminez :1. la modlisation de l'attache, des deux lames et de la partie mobile au moyen d'lments rectan-gulaires formulation quadratique.2. la fixation du pourtour de l'attache et la mise en place de la charge.3. le contrle du modle, la solution et l'exploitation des rsultats.Un modle avec 166 lments et 1245 degrs de libert a donn une dformation y = 4,35 mmalors que la dformation calcule par la relation du cours est f = 3,86 mm !1.165 Le calcul des pices en flexion, en particulier des ressorts lames, nglige l'effet ducisaillement dans la section. En admettant une section rectangulaire constante pour le ressort lameencastre, calculez l'erreur commise en ngligeant l'effort tranchant, en fonction du rapport l/h etreprsentez cette erreur graphiquement pour un rapport compris entre 0 et 10.1.166 Pour dterminer la dformation d'un ressort lame simple, paisseur constante, de formetrapzodale, ou un ressort lames superposes, le cours propose un calcul simplifi en introduisantun coefficient de correction c dans la recherche du comportement. Le calcul exact consisterait exprimer la largeur de la lame bx en fonction de l'abscisse x pour une largeur variant de b b1.Exprimez le moment quadratique de la section et cherchez la relation gnrale de dformation pource genre de ressort de flexion.- Exercices E.M. 48 -1.167 Un ressort hlicodal, fabriqu en fil d'acier de classe B, doit supporter deux forces F1 = F2= 30 N en charge statique, la distance R = 45 mm selon figure du cours, en provoquant unedformation angulaire de 120 pour la variation totale de la charge, le diamtre moyen d'enroulementdu fil tant D = 30 mm.Dterminez :1. les dimensions de ce ressort compte tenu des dformations des attaches,2. les contraintes dans les parties sollicites et les dformations.1.168 Un ressort mcanique doit produire un couple de 2 m.N , le nombre de tours total pourarmer le ressort devant tre de 12. Ce ressort est constitu par un profil enroul en spirale plane. Lacontrainte maximale admise dans la conception ne devrait pas dpasser 1500 N/mm2.Dterminez :1. les dimensions du ressort de telle manire que son volume soit si possible minimal, la largeur nepouvant tre qu'un multiple de 2 mm ou 5 mm.2. la contrainte maximale de flexion.3. l'nergie rellement utilisable si le ressort s'emploie entre 5 et 12 tours seulement.1.169 Un ressort hlicodal, fabriqu en fil d'acier de classe C, est sollicit par une chargedynamique variable dont il s'agit de trouver la force maximale F2 et la variation de charge F = F2 - F1admissible, les caractristiques adoptes tant les suivantes :Diamtre du fil : d = 2 mm, Diamtre moyen d'enroulement : D = 25 mm,Forces appliques un rayon R = 60 mm, Une extrmit du ressort encastre,Nombre de spires : if = 4 , Distance entre les spires a = 4 mm.1.170 Une application trs particulire du ressort hlicodal sollicit en flexion est reprsente parl'accouplement ressort. Cet lment de transmission est constitu par un ressort hlicodal,gnralement section carre ou rectangulaire, rectifi et ajust sur la pice entraner. Lorsque lemouvement relatif entre les pices motrice et rceptrice tend ouvrir le ressort, l'entranement n'estplus possible car le ressort glisse. Par contre, lorsque la rotation provoque plutt la fermeture duressort, ce dernier vient se plaquer contre la pice rceptrice et l'entrane. (clich Baumann & Cie,8630 Rti ZH).Etudiez le comportement d'un entranement de ce genre en trouvant :1. les conditions remplir pour que le systme fonctionne correctement,2. les efforts appliqus lorsque l'entranement est actif.1.171 Le tableau ci-aprs donne les dimensions des ressorts rondelle norms selon DIN 2093.Cette norme comprend trois sries dont la srie moyenne est reproduite ici. Contrlez laide desrelations du cours la force, la flche et la contrainte, pour une flche 75% de la valeur maximale,pour un ressort de chacun des trois groupes.- Exercices E.M. 49 -R E S S O R T S R O N D E L L E L A S T I Q U ESelon norme DIN 2093 - Srie BDe/s environ 28 , h0/s environ 0,75Diamtres Dimensions Flche 0,75 h0Groupe DeMmDimmSMmh0mml0mmForceenNflchemmmaxN/mm281012,514164,25,26,27,28,20,30,40,50,50,60,250,300,350,400,450,550,700,850,901,051182092932794100,190,230,260,300,34132012901120111011201182022,5259,210,211,212,20,70,80,80,90,500,550,650,701,201,351,451,605667487078620,380,410,490,5311201130109010302831,535,5404514,216,318,320,422,41,01,251,251,51,750,800,901,01,151,301,802,152,252,653,05111019101700262036500,600,680,750,860,9810901200108011501150505693718025,428,53136412,02,02,52,53,01,401,601,752,02,33,43,64,254,55,34760444071906730105001,051,201,311,501,73115011001100106011509010011212514046515764723,53,54,05,05,02,52,83,23,54,05,06,37,28,59,014200131001780029900279001,882,12,42,633,011201060113011601110216018082926,06,04,55,110,511,141000375003,383,8311201040112125140160576472824,05,05,06,03,23,54,04,57,28,59,010,5178002990027900410002,42,633,03,3811301190114011503180200225250921021121276,08,08,010,05,15,66,57,011,113,614,517,03750076400707001190003,834,24,885,2510701190112011901.172 Les relations pour le calcul des ressorts rondelle ont t proposes par J.O. Allmen et A.Lazlo. Elles sont une premire approximation du calcul des dformations et contraintes. On dsirecontrler le comportement d'un ressort rondelle au moyen de la mthode des lments finis enintroduisant une solution tenant compte des grandes dformations. L'tude porte sur le ressort C 56dont les dimensions sont :- diamtre intrieur : Di = 28,5- diamtre extrieur : De = 56- paisseur : s = 1,5- hauteur libre : h0 = 1,5 .Dterminez :1. le modle en adoptant deux couches d'lments formulation quadratique dans l'paisseur.2. la charge progressive sur cette pice entre 0 et 2750 N en dix incrments.3. la caractristique de la charge en fonction de la dformation sous forme graphique.4. la rpartition des contraintes dans la pice sous la charge maximale.- Exercices E.M. 50 -5. une comparaison avec les rsultats obtenus par les formules du cours.1.173 Une modification du ressort rondelle est reprsent par le ressorts diaphragme utilisactuellement dans les embrayages de voiture. La figure montre le principe d'un ressort de ce genre.Les dimensions adoptes sont (voir figure) :- diamtre intrieur : Di = 60- diamtre extrieur : De = 120- paisseur : s = 2- Hauteur libre : h0 = 5- fentes tous les 30, largeur 2 mm, profondeur 15 mm.Dterminez :1. le modle en lment finis en adoptant deux couches d'lments formulation linaire ou qua-dratique.2. la charge progressive sur cette pice en adoptant dix incrments jusqu' la charge ou dforma-tion maximale et un calcul non linaire en grandes dformations.3. la caractristique de la charge en fonction de la dformation sous forme graphique.4. la rpartition des contraintes dans la pice.1.174 Un ressort rondelle en acier 50 CrV 4, dsignation DIN C 25, selon catalogue Schnorr,prsente les dimensions suivantes :- diamtre intrieur : Di = 12,2 mm,- diamtre extrieur De = 25 mm,- paisseur 0,7 mm,- flche maximale 0,8 mm.Contrlez ce ressort en appliquant les relations du cours :1. force applicable pour 25 %, 50 %, 75 % et 100 % de la dformation maximale2. contraintes correspondantes en chacun des points de contrle.Pour une dformation de 75%, le catalogue donne F = 600 N et sigma = 1270 N/mm2.1.175 Un limiteur de pression plac dans un circuit de commande hydraulique est constituprincipalement par un obturateur bille press contre son appui par une colonne de rondelles ressort. Le diamtre de la colonne intrieure de guidage est 12 mm, la force produire l'ouverture800 N, la force maximale 1500 N aprs une course de 3,6 mm.Dterminez :1. le type de rondelles prvoir et leur nombre en adoptant des dimensions de catalogue, les di-mensions inconnues proposes sur la figure.2. les contraintes aux points de contrle sous la charge maximale.3. le comportement du ressort en fonction de la dformation.1.176 Un systme de serrage se compose de 12 ressorts rondelle, diamtre nominal 40 mmselon table. La colonne est comprime de 8 mm au maximum sous l'effet de la vis.Dterminez :1. la force axiale produite par les ressorts.2. le couple de serrage donner sur l'crou pour un coefficient mu = 14%.3. les contraintes aux divers points de contrle.- Exercices E.M. 51 -4. l'nergie emmagasine dans l'empilage.5. la cote de contrle L compte tenu des tolrances de fabrication (voir catalogue Schnorr).1.177 Un ressort rondelle, hors catalogue ou norme DIN, prsente les dimensions suivantes :diamtre intrieur : Di = 25,4 mm , diamtre extrieur : De = 50 mm, paisseur 2 mm, flche maximale3 mm.Calculez :1. la charge maximale sur le ressort pour le comprimer entirement, les charges intermdiaires pour25 %, 50 %, 75 % de la dformation maximale.2. les contraintes correspondantes aux points de contrle.3. la raideur et l'nergie accumule dans le ressorts 60% de la dformation maximale.1.178 On dsire construire une clef dynamomtrique en acier 50 CrV4, contrainte statiqueadmissible en torsion 650 N/mm2, permettant de transmettre un couple de 100 m.N, la dformationangulaire devant tre 25. Cette clef consiste principalement en une barre cylindrique sollicite pardeux couples opposs placs aux extrmits de la clef.Dterminez :1. le diamtre pratique, arrondi au mm, adopter pour cette clef.2. la longueur de dformation.1.179 Une barre de torsion possde les dimensions suivantes : diamtre 12 mm, longueur dedformation 1320 mm. Cette pice est encastre d'un ct, libre l'autre mais guide radialementsans frottement et quipe d'un levier, bras de levier 160 mm. L'inclinaison initiale du levier parrapport l'horizontale vaut 30. Cette pice est soumise l'action d'une force verticale F progressi-vement croissante, mais toujours direction verticale, intensit variant de 0 2000 N.Dterminez :1. l'expression de la dformation angulaire de la barre en fonction de la charge.2. les dformations angulaire et linaire maximales sous la charge de 2000 N, le module deglissement valant 82 000 N/mm2.3. la contrainte maximale de torsion et l'amplitude de la contrainte dynamique si la charge peut varierentre 40 et 60% de la charge maximale.1.180 Un ressort hlicodal en acier de classe B, extrieurement comprim, est fabriqu dans lesdimensions suivantes : diamtre moyen d'enroulement 60 mm, diamtre du fil 8 mm, nombre despires efficaces 6,5 .Dterminez :1. la charge axiale applicable si la contrainte maximale de torsion vaut 440 N/mm2.2. toutes les dimensions gomtriques de ce ressort.3. la raideur et l'nergie totale accumule.1.181 Un ressort hlicodal en acier de classe C, extrieurement comprim, prsente lesdimensions suivantes : Diamtre du fil d = 4 mm, diamtre moyen d'enroulement D = 22 mm, nombrede spires efficaces 7,5, tat grenaill. La contrainte maximale de torsion peut atteindre 800 N/mm2sous la charge dynamique suprieure.Dterminez :1. toutes les dimensions gomtriques.2. les charges dynamiques minimale et maximale applicable sur ce ressort.- Exercices E.M. 52 -3. le contrle des contraintes, dformations et stabilit.1.182 Un ressort hlicodal en acier de classe B, extrieurement comprim, prsente les dimen-sions suivantes : Diamtre du fil d = 5 mm, diamtre moyen d'enroulement D = 30 mm, nombre despires efficaces 4,5 , longueur de fabrication L0 = 80 mm.Dterminez :1. la charge statique maximale applicable sur ce ressort, charge limite soit par la contrainte, soit parla gomtrie.2. la raideur du ressort et l'nergie emmagasine sous charge maximale.1.183 Soit trouver toutes les dimensions d'un ressort hlicodal comprim dans les conditionssuivantes :1. charge statique maximale de 1850 N .2. dformation axiale sous cette charge f = 52 mm.3. ressort devant se placer dans un alsage ayant 72 mm de diamtre.4. Contrlez les contraintes, la stabilit et les dformations pour un fil en classe B.1.184 Soit trouver toutes les dimensions d'un ressort hlicodal comprim dans les conditionssuivantes :1. charge axiale pratiquement statique de F2 = Fn = 26500 N.2. dformation f2 = fn = 120 mm.3. diamtre moyen d'enroulement doit tre 130 mm, le ressort tant form chaud.4. contrainte admissible de dimensionnement peut tre estime 700 N/mm2.5. Contrle des diverses dformations, la stabilit et les contraintes en admettant FBl = 1,2 F2.1.185 Soit trouver les dimensions d'un ressort sollicit par une charge compressive variabledans les conditions suivantes :1. charge variant de : F1 = 300 N F2 = 650 N.2. dformation de f12 = 14 mm sous la variation de la charge axiale.3. le ressort est mont dans un alsage de 37 mm de diamtre.4. contrle des dformations et des contraintes, le nombre de charges appliqu tant 6 cycles parseconde.1.186 Deux ressorts hlicodaux comprims sont monts concentriquement et appuys sur lamme base fixe. Les dimensions de ces lments sont :ressort 1 ressort 2Diamtre moyen d'enroulement D : 80 mm 60 mmDiamtre du fil d : 10 mm 7,5 mmNombre de spires efficaces if : 5,5 10,5Longueur de fabrication L0 : 120 mm 150 mm.Ces deux ressorts sont comprims de telle sorte que la longueur entre les appuis soit 100 mm.Dterminez :1. la raideur des deux ressorts, la reprsentation de la force applique en fonction de la dforma-tion.2. les diverses contraintes dans les fils.3. l'nergie potentielle lastique accumule dans ces ressorts.1.187 Soit trouver toutes les caractristiques manquantes d'un ressort comprim dont lescaractristiques connues sont :- Diamtre du fil : d = 4,5 mm,- Diamtre d'enroulement D = 31,0 mm ,- longueur de fabrication L0 = 74 mm,- nombre de spires if = 8,5, extrmits planes.Les mesures effectues ont donn : pour F1 = 100 N, f1 = 6 mm et pour F2 = 334 N, f2 = 20 mm.- Exercices E.M. 53 -1.188 Un ressort hlicodal tir doit pouvoir supporter une charge axiale F1 = 250 N sous unedformation f1 = 30 mm alors que la distance entre crochets est L1 = 180 mm. Ce ressort doit encorepouvoir se dformer de 65 mm sous une charge ne devant pas dpasser F2 = Fn = 550 N. Le diamtreextrieur du ressort ne doit pas dpasser 40 mm.Dterminez :1. toutes les dimensions gomtriques.2. les diverses contraintes et dformations.3. les possibilits de prformer ce ressort.1.189 Deux ressorts hlicodaux sont fabriqus dans les mmes conditions, l'un avec un fil audiamtre 6 mm, l'autre avec un fil au diamtre 5 mm. Les dimensions communes sont : diamtremoyen d'enroulement 55 mm, nombre de spires efficaces 5,5 , longueur de fabrication 120 mm. Cesdeux lments sont monts l'un la suite de l'autre entre deux appuis rigides distants de 160 mm, lapice intermdiaire ayant 10 mm d'paisseur.Dterminez :1. l'effort axial dans les deux ressorts aprs montage.2. l'intensit de la force produire pour dplacer l'appui commun de 10 mm vers la gauche.3. les diverses contraintes dans les deux ressorts.- Exercices E.M. 54 -- Exercices E.M. 55 -Volume 2Organes de transmission directeCHAPITRES 9 10 : DYNAMIQUE, AXES, ARBRES2.1 Le facteur de service d'un organe de transmission pourrait se dfinir comme le rapport entre lecouple maximal en service et le couple nominal gal au couple moyen. Calculez ce facteur de servicepour les couples reprsents sur la figure, couples donns en fonction de l'angle de rotation ou dunombre de tours. Types de charge :1. triangulaire avec charge minimale nulle.2. triangulaire entre une charge minimale 16 % et une charge maximale 100%.3. en sinusode entre une charge minimale 16% et une charge maximale 100%.2.2 Le facteur de service d'un organe de transmission pourrait se dfinir comme le rapport entre lecouple maximal en service et le couple nominal gal au couple moyen. Calculez ce facteur de servicepour les couples reprsents sur la figure, couples donns en fonction de l'angle de rotation ou dunombre de tours. Types de charge :1. en arc de cercle concave entre une charge minimale 67% et une charge maximale 100%.2. en arc de cercle convexe entre une charge minimale 67% et une charge maximale 100%.3. en arc de cercle partiel avec une charge minimale 50% constante pendant 20% de la priodesuivie d'une charge en arc de cercle sur 80% de la priode, voir figure.2.3 Un systme mcanique se compose d'un moteur d'entranement, moment d'inertie de masseJm = 0,085 kg.m2, d'une machine rceptrice quipe d'un rducteur de vitesse un tage, rapport detransmission i = 3,85. Le moment d'inertie des autres pices sur l'arbre moteur vaut 0,124 kg.m2, surl'arbre de sortie 0,268 kg.m2.Dterminez :1. le moment d'inertie de masse total rduit sur l'arbre moteur,2. le couple produire par le moteur au dmarrage en supposant des couples constants, un couplersistant de 125 m.N et un dmarrage durant 1 seconde pour atteindre 30 t/s.2.4 Les couples du moteur et du rcepteur d'un entranement direct peuvent dpendre de lafrquence de rotation, voir la figure du cours.Dterminez l'expression de la frquence de rotation n = n(t) dans les conditions suivantes :- Exercices E.M. 56 -1. couple du moteur constant, couple rcepteur constant reprsentant 70% du couple moteur,2. couple moteur constant, couple du rcepteur variant linairement de 20% 80% du couple mo-teur,3. couple moteur constant, couple du rcepteur variant linairement de 80% 20% du couple mo-teur.Les conditions imposes chacun de ces entranements sont : vitesse initiale nulle, moment d'inertiede masse de l'ensemble Jtot.2.5 Une transmission directe se compose d'un moteur et d'un rcepteur relis par un accouple-ment, le moment d'inertie de masse de l'ensemble valant 0,47 kg.m2. Le moteur prsente une puis-sance nominale de 12,5 kW la frquence de rotation de 16,3 t/s. La variation des couples du moteuret du rcepteur est donne sur la figure :- couple moteur : variation linaire de 1,6 fois 1,0 fois le couple nominal,- couple rcepteur : variation selon une loi du second degr de zro 0,9 fois le couple nominal.Le systme mcanique est initialement au repos.Dterminez :1. le couple nominal de cet entranement.2. la valeur de la frquence de rotation en fonction du temps.3. l'intervalle de temps ncessaire pour atteindre 95% de la frquence de rotation nominale.2.6 Un entranement direct se compose d'un moteur asynchrone produisant une puissance de P1= 30 kW la frquence de rotation de n1 = 29 t/s, d'une machine rceptrice dont le couple rsistantest donn par l'expression :Mrcepteur = Mnom (0,2 + 0,8 (n/nnom)2).Le moment d'inertie de masse de l'ensemble vaut J = 0,285 kg.m2. Le couple du moteur prsente lamme allure que celui de l'exemple du cours traitant du dmarrage en commande directe. Ce dernierdonne le rapport du couple du moteur au couple nominal avec un incrment de 0,05.Dterminez :1. le couple nominal de cet entranement.2. la valeur du couple utile produisant l'acclration sur cet entranement.3. les valeurs de la vitesse et de l'acclration en fonction du temps.4. la puissance instantane en fonction du temps.2.7 Un entranement se compose d'un moteur produisant une puissance de P1 = 125 kW la fr-quence de rotation n1 = 24,2 t/s, d'une machine rceptrice, d'un arbre de liaison directe avec accou-plement, le moment d'inertie de masse de toutes les parties tournantes tant 7,35 kg.m2. Les couplesdes deux composants sont :Mmoteur = Mnominal (2 - n/nnom - sin(2 n/nnom),Mrcepteur = Mnominal (0,1 + 0,9 (n/nnom)3).Dterminez au dmarrage :1. la frquence de rotation de l'ensemble en fonction du temps.2. l'acclration angulaire en fonction du temps.- Exercices E.M. 57 -3. la reprsentation graphique de toutes les grandeurs cinmatiques intervenant dans ce dmarrage.2.8 Un rducteur de vitesse roues dentes se compose d'un arbre d'entre quip d'un pignon,d'un arbre de sortie quip d'une roue clavete sur l'arbre. La puissance transmise vaut 6200 kW et lafrquence de rotation n1 = 50 tours par seconde. Dterminez le moment d'inertie de masse, rduit surl'arbre moteur, en supposant toutes les pices en acier constitues par des cylindres, dans les condi-tions suivantes :1. Largeur des roues : b1 = b2 = 160 mm, arbres avec une contrainte de torsion 60 N/mm2, dis-tance entre les deux paliers de chaque arbre 630 mm, rendement total 94%.2. Transmission en rducteur, diamtres primitifs : pignon moteur 173 mm, roue mene 1027 mm;3. Transmission en multiplicateur : de la roue vers le pignon.2.9 Un palan est prvu pour soulever une masse de 2 500 kg la vitesse de levage de 6 mtrespar minute, le rendement mcanique total tant 88%. Le dmarrage s'effectue en 0,6 seconde ensupposant un mouvement uniformment vari. Le moment d'inertie de masse de toutes les pices enrotation, rduit sur l'arbre moteur, vaut 0,23 kg.m2. La frquence de rotation nominale du moteur est24 tours par seconde.Dterminer :1. le moment d'inertie de masse total rduit sur l'arbre moteur, la puissance produire par le moteur vitesse de levage constante;2. le couple produire au dmarrage en levage et vitesse constante;3. l'intervalle de temps ncessaire pour atteindre la frquence de rotation nominale partir de la vi-tesse nulle lorsque la charge applique agit comme lment moteur, ce dernier n'tant pas ali-ment.2.10 Un engin de levage, prvu pour soulever une charge de 4 000 kg, est constitu par un cblepassant autour d'une poulie au diamtre 325 mm, d'un tambour cble, diamtre moyen d'enroule-ment 400 mm, d'un rducteur engrenages, rendement global 91%, et d'un moteur lectrique dont lafrquence de rotation nominale est 24 tours par seconde. Les caractristiques du rducteur sont :- engrenage 1 : nombres de dents z1/z2 = 16/63.- engrenage 2 : nombres de dents z3/z4 = 15/61.- engrenage 3 : nombres de dents z5/z6 = 14/71.L'inertie des masses en rotation vaut :- moteur + accouplement + arbre d'entre du rducteur : J = 0,12 kg.m2.- autres lments du rducteur : inertie rduite sur l'arbre moteur : J = 0,08 kg.m2.- tambour : J = 2,25 kg.m2.Le couple du moteur en fonction de la frquence de rotation est donn sur le graphique par une carac-tristique linaire. La graduation concerne le facteur de multiplication du couple nominal. Ce dernierest le couple au levage de la masse vitesse constante.Dterminez :1. la frquence de rotation du tambour en marche continue et la vitesse de levage de la charge.2. L'inertie totale du systme rduit sur l'arbre moteur.- Exercices E.M. 58 -3. la puissance du moteur, exprime en kW, en marche continue au levage de la charge.4. l'expression de l'acclration en fonction de la vitesse angulaire pendant la priode de dmarrage.5. l'expression de la vitesse et de l'acclration angulaires en fonction du temps.2.11 Dans une transmission directe entre un moteur et une machine mene, les caractristiquesdes couples sont les suivantes :- puissance nominale : P1 = 42 kW .- frquences de rotation du moteur : n1 nom = 16 t/s n10 = 0 t/s.- couple variable du moteur = n1/n1 nom : Mt1 = Mt1nom [1,8 - 0,8 ( + 0,5 sin(2 0,7)).- couple de la machine rceptrice : Mt2 = 0,7 . Mt1nom = constant.- moments d'inertie de masse : J1 = 0,45 kg.m2 J2 = 2,25 kg.m2.Dterminez :1. la reprsentation des couples moteur et men au dmarrage de l'ensemble.2. l'expression du couple d'acclration en fonction du rapport n1/n1 nom.3. les conditions de dmarrage entre le moteur et la partie mene :acclration et vitesse angulaires en fonction du temps.4. l'intervalle de temps et le nombre de tours effectus pour atteindre la frquence nominale du mo-teur.2.12 Un entranement se compose d'un moteur et d'une machine mene en accouplement direct.Les composantes sont :- un moteur lectrique, puissance P = 36 kW, frquence de rotation nnom = 24,4 tours par seconde,moment d'inertie de masse Jmot = 0,38 kg.m2.- un rcepteur, moment d'inertie de masse n = 0 t/s : Jrc-0 = 1,85 kg.m2, n = 24,4 t/s : Jrc-n = 3,2kg.m2, donc variable. L'inertie varie de 1,85 kg.m2 3,2 kg.m2 proportionnellement au carr de la fr-quence de rotation.Les couples du moteur et de la machine mene dpendent de la frquence de rotation.- moteur : Mt1 = Mnom {1 + 0,8 cos[ n/(2 nnom)]},- machine mene : 0 n 0,5 nnom : Mt2 = 0,25 Mnom,0,5 nom n nnom : Mt2 varie quadratiquement jusqu' Mnom.Dterminez :1. la reprsentation des couples moteur et men au dmarrage de l'ensemble.2. l'expression du couple d'acclration en fonction du rapport n1/n1 nom.3. les conditions de dmarrage entre le moteur et la partie mene :acclration et vitesse angulaires en fonction du temps.4. l'intervalle de temps et le nombre de tours effectus pour atteindre 95% de la frquence nominaledu moteur.2.13 Un systme mcanique se compose essentiellement de trois masses et de trois ensemblesressort + amortisseur. Ce systme scolaire se dplace seulement suivant l'axe horizontal Ox. Les ca-ractristiques des composants sont :- masses : m1 = 50 kg m2 = 100 kg m3 = 200 kg.- ensembles ressort + amortisseur :- Exercices E.M. 59 -entre les masses m1 et m2 : k1 = 200 N/m c1 = 200 Ns/m.entre les masses m2 et m3 : k2 = 400 N/m c2 = 400 Ns/m.entre la masse m3 et l'appui fixe : k3 = 800 N/m c3 = 800 Ns/m.Dterminez :1. les frquences propres de ce systme selon l'axe Ox.2. la reprsentation graphique du dplacement des trois masses pendant les dix premires secondessi la masse m1 est sollicite par une force Fx = 100 N variant selon une loi trapzodale enfonction du temps.2.14 Un systme mcanique simulant d'une faon trs simplifie une machine-outil se compose dedeux blocs et d'appuis constitus par des lments combins ressort + amortisseur. L'tude s'effectueseulement dans le plan du dessin. Les caractristiques principales sont :- bloc 1 : 1100 mm x 600 mm, paisseur 800 mm, masse volumique moyenne 4 kg/dm3.- bloc 2 : 750 mm x 100 mm, paisseur 500 mm, masse volumique 7,85 kg/dm3.- amortisseurs axe vertical : raideur k = 5.103 N/mm, amortissement c = 200 Ns/m.- amortisseurs axe horizontal : raideur k = 2,5.103 N/mm, amortissement c = 200 Ns/m.Une force F = 2500 N sous 200 est place progressivement en 0,1 seconde au point 5 et se dplaceensuite vers la gauche la vitesse v = 0,5 m/s sur la surface suprieure du bloc 2.Dterminez :1. le modle de calcul.2. les six premiers modes propres de l'ensemble.3. le dplacement horizontal des points 1, 5 et 7 pendant la premire seconde.4. le dplacement vertical des points 1 et 5 pendant la premire seconde.2.16 L'axe supportant les roues d'un chariot de pont roulant, diamtre nominal 65 mm, est sollicitpar les forces radiales des rails sur les roues. Ces forces valent 16 000 N. Le moyeu des roues pos-sde une porte de 100 mm pour un diamtre de 60 mm. Les axes tournent dans des appuis, lon-gueur du palier lisse 60 mm, diamtre 50 mm.Dterminez :1. les charges rparties, les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissants.2. les contraintes simples dans les sections dangereuses aprs avoir choisi les rayons de raccorde-ment aux paulements.2. le coefficient de scurit pour un axe en acier Ac50-2, tat de surface N8 au = 65, N6 aux =60 et 50, taux de charge 25%.4. la ligne lastique de l'axe et la dformation maximale en flexion.2.17 L'extrmit de l'axe supportant les roues d'un wagon, diamtre 950 mm, prsente les dimen-sions donnes sur la figure. Sur le bandage de la roue de gauche sont appliques les forces compo-santes suivantes, voir figure ci-aprs :- force radiale 95 000 N, - force axiale 32 000 N.- taux de charge : 50%.- Exercices E.M. 60 -Sur la roue de droite, seule la force radiale de 95 000 N agit. Le palier C compense la force axiale surle bandage de la roue gauche.Dterminez :1. l'quilibre de l'axe, les diagrammes des efforts tranchants, des moments flchissants.2. les efforts dans les sections contrler et les contraintes simples correspondantes.3. les coefficients de scurit pour un tat de surface N8 sur les surfaces libres, N6 sur les portesde paliers et de roues, acier nuance Ac 70-2.4. la ligne lastique de l'axe et la dformation maximale en flexion.2.18 Un arbre de rducteur supporte un accouplement l'extrieur de la porte des paliers rou-lements 6311 et une roue dente droite, module m = 6 mm, nombre de dents z1 = 18, donc un dia-mtre primitif d1 = z1 . m = 108 mm. La puissance nominale transmise vaut P1 = 60 kW la frquencede rotation n1 = 12,5 tours par seconde. Le taux de charge est admis 100% et la matire de l'arbreest la nuance 34 CrMo 4. L'angle de pression de la denture vaut alpha = 20. Les composantes de laforce totale sur la denture se calculent par les expressions :- composante tangentielle : Ft = Mt1/(0,5 d1).- composante radiale : Fr = Ft . tan alpha .Dterminez :1. l'quilibre de l'arbre, les diagrammes de tous les efforts. L'tude peut se simplifier en utilisant leplan dfini par la rsultante des composantes tangentielle et radiale.2. les contraintes simples dans les sections dangereuses.3. les coefficients de scurit correspondants, les tats de surface tant N6 dans les portes despaliers, N7 dans les autres parties.4. la dformation en flexion de l'arbre et la dformation maximale.2.19 L'avant dernier arbre d'un rducteur engrenages cylindriques supporte deux roues dentes,la premire au diamtre primitif d4 = 500 mm, la seconde au diamtre primitif d5 = 190 mm. Le coupletransmis entre les deux roues vaut 2 950 m.N. Les deux roues sont emmanches par dilatation ther-mique sur l'arbre. Les distances le long de l'arbre valent :a = 120 mm b = 480 mm c = 130 mm.Les composantes tangentielles des forces sur la denture sont dans le plan vertical, celle de la pre-mire roue dans le plan avant, celle de la seconde roue dans le plan arrire. Les composantes se cal-culent par les relations :- composante tangentielle : Ft = Mt1/(0,5 d1).- composante radiale : Fr = Ft . tan alpha , avec alpha = 20.- Exercices E.M. 61 -Dterminez :1. l'quilibre de l'arbre et les diagrammes de tous les efforts dans l'espace 3D.2. le diamtre constant prvoir entre les deux roues si l'arbre est fabriqu en Ac 60-2.3. le contrle des contraintes et des coefficients de scurit dans les sections dangereuses.4. la dformation en flexion totale, la dformation en torsion.2.20 L'axe d'un wagon auxiliaire est centr dans deux paliers roulements, diamtre nominal 60mm, longueur de contact entre les roulements et l'axe 26 mm. Les roues, chasses sur l'axe au dia-mtre 50 mm, supportent chacune une charge radiale de Froue = 18 500 N. Le diamtre de l'axe entreles deux paliers vaut 70 mm.Dterminez :1. l'quilibre de l'axe, les diagrammes des efforts pour des charges concentres.2. la forme donner l'axe vers les paulements, les contraintes simples dans les sections les plussollicites, les tats de surface prvoir pour Ac 50-2.3. la ligne lastique, la dformation maximale en flexion.2.21 Un arbre de sortie d'un rducteur engrenages cylindriques droits est centr dans deux pa-liers lisses hydrodynamiques, distants de 350 mm. La force normale sur la denture droite, rsultantedes composantes tangentielle et radiale, vaut : Fb = 2 950 N incline de l'angle alpha = 22 par rapport la tangente. Le diamtre primitif de la roue dente vaut d = 316 mm.Dterminez :1. l'quilibre de l'arbre, la pression moyenne dans les paliers.2. les diagrammes des efforts en supposant des charges uniformment rparties.3. les contraintes simples dans les sections les plus sollicites et les coefficients de scurit pour unarbre fabriqu en acier Ac 70-2.4. la ligne lastique et la dformation maximale en flexion.2.22 Un arbre de machine, plac sur deux paliers roulements, longueur de contact entre roule-ment et arbre 20 mm, est sollicit par une force rsultante valant F = 3 450 N. Le couple produit parcette force vaut Mt = 96,5 m.N.Dterminez :1. l'quilibre de l'arbre en supposant tout d'abord des forces concentres.2. la charge rpartie par tronons dans les paliers et entre le moyeu et l'arbre.3. les contraintes simples dans les sections les plus sollicites.4. la ligne lastique et la dformation maximale en flexion.2.23 Un axe de machine, centr sur deux paliers lisses hydrodynamiques, diamtres et longueursportantes selon figure, supporte deux charges rparties uniformment sur des tronons cylindriques diamtre constant :- Exercices E.M. 62 -- premire charge : F1 = 1 850 N rpartie sur 240 mm.- seconde charge : F2 = 4 280 N rpartie sur 200 mm.Dterminez :1. l'quilibre de l'arbre, les diagrammes des efforts compte tenu des charges rparties.2. les contraintes simples et la forme donner dans les raccordements aux paulements.3. les coefficients de scurit pour un arbre en acier alli 25 CrMo 4.4. la ligne lastique et la dformation maximale en flexion.2.24 Dans le cours sur les lments de base, le calcul de la contrainte de torsion dans une sectionentaille par une rainure de clavette est trs simple mais aussi trs approximative. T.Jger(Konstruktion 1970, Pages 188-193) a essay de donner des relations analytiques pour lescoefficients de forme dans ce type de section. Les dfinitions de base sont :- coefficient de forme : k = maxnomContrainte maximale dans la rainureContrainte nominale dans le cylindre= ,- facteur de torsion : = IItpMoment quadratique section rainureMoment quadratique section circulaire= .Les dimensions de l'arbre et de la rainure sont :D Diamtre de l'arbre, t profondeur de la rainure dans l'arbre,b largeur de la rainure, r arrondi au fond de la rainure.Le calcul a t effectu sur 32 sections diffrentes. Les rsultats de l'tude donnent :1. Facteur de torsion : = It/Ip = [-1145 (b/D)3 + 931,4 (b/D)2 - 213,4 (b/D) + 17,78] . (t/D)3 ++ [477,1 (b/D)3 - 385,3 (b/D)2 + 88,2 (b/D) - 9,37] . (t/D)2 ++ [-33,94 (b/D)3 + 31,37 (b/D)2 - 9,58 (b/D) + 0,47] . (t/D) + 0,6895 (r/D)0,0223 + 0,345 .2. Coefficient de forme :Domaine 0,000625 r/D 0,05 :kt = a . (t/D)b . lg(D/20 r) + c . (t/D) + d,avec : a = 1263 (b/D)3 - 854,65 (b/D)2 + 201,74 (b/D) - 8,19,b = 81 (b/D)3 - 61,83 (b/D)2 + 17,2 (b/D) - 0,863,c = 133,4 (b/D)3 - 120 (b/D)2 + 38,17 (b/D) + 1,9,d = - 76,7 (b/D)3 + 63 (b/D)2 - 18,73 (b/D) + 3,32.Domaine 0,05 r/D b/2 :kt = [-2 (b/D) + 1,5] . lg [0,5 (b/D)/(r/D)] . (t/D)0,4 + [2,5 (b/D) + 5] . (t/D) - 2,5 (b/D) + 1,9.L'article cit donne deux nomogrammes pour trouver graphiquement les coefficients de forme. Contr-lez l'exemple propos : t/D = 0,25 , b/D = 0,2 , r/D = 0,07 kt = 2,85 !2.25 L'arbre de la vis d'un mcanisme vis sans fin selon figure transmet une puissance P1 = 38kW la frquence n1 = 20 tours par seconde. Le diamtre moyen de la vis vaut dm1 = 80 mm. La forcespatiale transmise entre la vis et la roue peut tre admise, dans l'tude de l'quilibre, concentre surce diamtre au centre de la longueur 113 mm. Elle comporte trois composantes rectangulaires :- composante tangentielle : Ft1 = Mt1/(0,5 dm1),- composante axiale : Fx1 = 3,2 Ft1,- composante radiale : Fr1 = 1,2 Ft1.- Exercices E.M. 63 -Le fabricant de ce type d'lment de transmission propose des paliers roulements :- solution 1 : roulement billes contact oblique 73138, disposition en O,- solution 2 : roulement galets coniques 31313, disposition en O.Dterminez successivement pour les solutions 1 et 2 :1. les valeurs des trois composantes rectangulaires et leur rsultante.2. la position et les valeurs des ractions des appuis en B et C.3. la valeur des charges rparties sur l'arbre si la roue globique agit sur une longueur de 40 mm.4. les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissants.5. la ligne lastique en flexion et la dformation angulaire le long de l'arbre.2.26 L'tude du comportement d'un arbre de machine comprend la recherche des dformationssous charge et des diverses caractristiques dynamiques. M. Savci a expos la thorie du comporte-ment et tudi les vitesses critiques de flexion d'un arbre de rectifieuse portant une meule(Konstruktion 23., Pages 41 45). Cet exercice a pour objet de trouver la dformation maximale enflexion de l'arbre reprsent sur la figure sous l'effet de son poids propre, la masse volumique valant = 7,85 kg/dm3.Dterminez :1. la dformation en flexion de l'arbre sous son poids propre.2. la vitesse critique de flexion partir de la dformation maximale.2.27 Une poulie cble est centre sur un axe qui se compose de cinq tronons cylindriques selonfigure. La rsultante radiale des tensions dans le cble sur l'axe se traduit par une force radiale valantF = 6 600 N, taux de charge 75%.Dterminez :1. l'quilibre de l'axe, les diagrammes des efforts.2. la forme donner aux raccordements vers les paulements et les contraintes nominales dans lessections les plus sollicites.3. les coefficients de scurit pour un axe fabriqu en Ac 50-2.4. la dformation en flexion sous la charge.2.28 Un axe de machine est centr dans deux paliers lisses hydrodynamiques et sollicit par deuxforces perpendiculaires l'axe. Les forces valent :- force gauche du palier B : F1 = 11 300 N.- force droite du palier C : F2 = 7 500 N, taux de charge 50%.Dterminez :1. la longueur portante des forces si la pression moyenne admissible vaut 10 N/mm2.2. l'quilibre de l'axe et les diagrammes des efforts pour des charges rparties.3. les diamtres prvoir pour un axe en acier de la nuance C35.4. la forme des raccordements aux paulements, les tats de surface, les contraintes simples, lescoefficients de scurit.5. la dformation en flexion de cet axe.2.29 Un arbre d'un rducteur engrenage, centr dans deux paliers B et C, supporte deux rouesdentes, la premire denture hlicodale au diamtre primitif d5 = 152 mm, la seconde denturedroite au diamtre d4 = 496 mm. Le couple de torsion transmis entre les deux roues vaut Mt = 435m.N, taux de charge 100%. (voir la figure la page 64).- Exercices E.M. 64 -Dterminez :1. les composantes des forces sur les roues dentes si :- roue hlicodale : Ft1 = Mt/(0,5 d5) Fx1 = 0,25 Ft1 Fr1 = 0,37 Ft1.- roue droite : Ft2 = Mt/(0,5 d4) 150 du plan horizontal Fr2 = 0,38 Ft2.2. l'quilibre de l'arbre, les diagrammes des efforts dans l'espace 3D.3. la recherche des diamtres et de la forme pour cet arbre fabriqu en acier de la nuance C45.4. les contraintes simples et les coefficients de scurit aprs le choix des tats de surface.5. la ligne lastique rsultante dans l'espace 3D.2.30 Les turbomachines se composent gnralement de plusieurs tronons relis par des accou-plements. Cet exercice a pour objet de trouver la dformation d'une petite turbomachine centre surquatre paliers lisses : B, C, D et E. Les longueurs des traves sont :- trave BC : 4 mtres,- trave CD : 4,5 mtres,- trave DE : 4 mtres.Les dimensions principales sont donnes sur la figure, les dimensions manquantes sont lire et in-troduire proportionnellement sur le dessin.Dterminez :1. les charges rparties calcules partir du poids propre des divers cylindres, masse volumique del'acier = 7 850 kg/m3 .(Rponse : FB = 27,4 kN; FC = 94,6 kN; FD = 120,6 kN; FE = 44,2 kN).2. l'quilibre et les ractions des appuis.3. les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissants.4. la ligne lastique provoque par la flexion dans les trois traves.Le diagramme des moments flchissants est donn ici afin de confirmer votre calcul. Les accouple-ments devraient se placer dans les sections moments flchissants nuls.2.31 La recherche des vibrations propres en torsion peut s'effectuer en crivant pour chaque tron-on la matrice de tronon correspondante. La figure du cours montre trois systmes mcaniquespouvant tre activs en torsion.Dterminez les frquences propres pour des pices en acier :1. Systme fondamental : arbre d = 40 mm, l = 450 mm, disque = 400 mm, l = 30 mm.2. Modle de calcul :- disque 1 : = 450 mm, longueur l = 36 mm, arbre d1 = 28 mm, l1 = 320 mm,- disque 2 : = 300 mm, longueur l = 40 mm, arbre d2 = 45 mm, l2 = 280 mm,- disque 3 : = 400 mm, longueur l = 50 mm.3. Cas particulier : disque 1 : = 600 mm, longueur l = 50 mm,arbre d = 80 mm, l = 1 200 mm, disque 2 : = 800 mm, longueur l = 75 mm.- Exercices E.M. 65 -2.32 Le modle d'un arbre de machine compos d'un moteur et de plusieurs rcepteurs peut sereprsenter par des tronons cylindriques de divers diamtres et diverses longueurs. La figure donneles dimensions principales de cet ensemble. Toutes les parties de chaque tronon sont en acier,masse volumique = 7,85 kg/dm3. Les deux tableaux, donns ci-aprs, facilitent le choix des relations introduire dans les calculs.Dterminez :1. les moments d'inertie de masse et les diverses matrices de tronon pour ce modle.2. le calcul de la valeur de l'lment caractristique en fonction de la pulsation.3. les frquences propres du modle.Moments dinertie de masse de corps simplesTronons en torsion et position de llment nul dans la matrice rsultante- Exercices E.M. 66 -2.33 L'arbre de sortie d'un rducteur engrenage de puissance moyenne prsente les dimensionsprincipales donnes sur la figure. La puissance transmise vaut P = 10 kW et la frquence de rotationde cet lment vaut n = 1,5 tour par seconde. La force tangentielle Ft est la seule force qui produit uncouple de torsion dans l'arbre. Les deux autres composantes se dduisent de cette force par :- composante axiale : Fx = 0,268 Ft.- composante radiale : Fr = 0,377 Ft.L'arbre est centr sur deux roulements galets coniques de la srie 322 monts en disposition O :- roulement de gauche : diamtre de l'arbre 55 mm.- roulement de droite : diamtre de l'arbre 60 mm.Dterminez :1. la position des points d'appui de calcul et l'quilibre de cet arbre.2. les diagrammes des efforts dans l'espace 3D.3. les dimensions diamtrales de l'arbre en Ac 50-2 et les contraintes simples correspondantes.4. la forme exacte des paulements, l'tat de surface et le coefficient de scurit.5. la dformation en flexion de l'arbre.2.34 L'arbre intermdiaire d'un rducteur de vitesse engrenages supporte les roues de deux en-grenages denture hlicodale :- roue 2 : diamtre primitif d2 = 225 mm.- pignon 3 : diamtre primitif d3 = 72 mm.Les composantes des forces appliques sur les dentures correspondent celles reprsentes sur lafigure. Les milieux des appuis, constitus par des paliers roulements, sont galement donns sur lafigure. Les composantes des forces totales sur la dent sont :- engrenage I : roue 2 :tangentielle Ft2 = 2 Mt/d2 axiale Fx2 = 0,29 Ft2 radiale Fr2 = 0,38 Ft2.- engrenage II : pignon 3 :tangentielle Ft3 = 2 Mt/d3 axiale Fx3 = 0,18 Ft3 radiale Fr3 = 0,37 Ft3.La puissance transmise vaut P = 12,5 kW et la frquence de rotation de l'arbre n = 9,2 t/s.Dterminez :1. l'quilibre de l'arbre.2. les diagrammes des efforts dans l'espace 3D.3. les dimensions diamtrales de l'arbre en Ac 60-2 et les contraintes simples correspondantes.4. la forme exacte des paulements, des tats de surface et les coefficients de scurit.5. la dformation totale en flexion de l'arbre.2.35 L'exercice 2.26 a permis de trouver la dformation statique d'un arbre de machine-outil sousl'effet du poids propre.Dterminez au moyen d'un logiciel appropri, par exemple un logiciel d'lments finis :1. le dcoupage de l'arbre et ses caractristiques mcaniques.2. l'introduction de masses partielles de substitution (degrs principaux de libert).3. les trois premires valeurs critiques par analyse modale.Recherche complmentaire :- Exercices E.M. 67 -Dans tous les calculs ordinaires, il est admis des appuis indformables, constitus par des paliers lis-ses ou roulements. Or ces lments de machines se dforment sous l'effet des ractions d'appui.En adoptant des paliers roulements par cet arbre, dterminez :4. la rigidit des paliers roulements (voir tableau des formules dans le cours).5. le modle de calcul avec appuis lastiques.6. les trois premires valeurs critiques par analyse modale.2.36 L'ensemble des arbres de la turbomachine selon exercice 2.30 tourne la frquence de rota-tion n = 50 tours par seconde. Il est trs important que cette machine fonctionne une frquence dif-frente d'une des vitesses critiques de flexion.Dterminez au moyen d'un logiciel appropri, par exemple un logiciel d'lments finis :1. le dcoupage de l'arbre et ses caractristiques mcaniques.2. l'introduction de masses partielles de substitution (degrs principaux de libert).3. les six premires vitesses critiques de flexion.Recherche complmentaire :Dans tous les calculs ordinaires, il est admis des appuis indformables, constitus par des paliers lis-ses ou roulements. Or ces lments de machines se dforment sous l'effet des ractions d'appui.En adoptant des paliers cylindriques lisses pour tous ces arbres, dterminez :4. la rigidit des paliers lisses aux diamtres 160 mm et 320 mm la frquence de rotation nominale.Adopter une rigidit moyenne pour tous les paliers.5. le modle de calcul avec appuis lastiques.6. les vitesses critiques de flexion.2.37 Le modle d'un systme mcanique se compose de sept tronons : quatre tronons arbre,trois tronons disque. La figure donne la disposition des encastrements et les dimensions principalesde cet ensemble : diamtres et longueurs. Toutes les parties de chaque tronon sont en acier, massevolumique = 7,85 kg/dm3.Dterminez :1. les moments d'inertie de masse et les diverses matrices de tronon pour ce modle.2. le calcul de la valeur de l'lment caractristique en fonction de la pulsation.3. les frquences propres de torsion du modle.4. les frquences propres en flexion.2.38 L'arbre d'une pompe centrifuge, fabriqu en acier de la nuance Ac 60-2, prsente des paliers roulements distants de 500 mm et un porte--faux de 320 mm. La puissance transmise sur cet arbrevaut P = 140 kW la frquence de rotation n = 24,3 tours par seconde. Les composantes de la forcemoyenne appliques sur la roue aubes sont :- composante radiale : 10 000 N.- composante axiale : 16 000 N.La composante axiale et le couple de torsion prsentent une amplitude valant 60% de la valeurmoyenne ou nominale. La masse de la roue vaut m = 450 kg. La scurit doit se contrler dans lasection situe 305 mm du point d'application de la force totale.Dterminez :1. l'quilibre de l'arbre et les diagrammes des efforts.- Exercices E.M. 68 -2. les coefficients de forme et d'effet d'entaille dans la section de contrle.3. les contraintes simples dans la section de contrle.4. le ou les coefficients de scurit correspondants.5. la dformation de cet arbre aprs avoir choisi les autres dimensions diamtrales.6. la premire vitesse critique de flexion dduite soit de la dformation, soit d'un calcul plus volu,2.39 L'arbre de commande des deux roues motrices de translation longitudinale d'un pont-roulantest activ par un moteur - rducteur plac au centre de la porte. Les caractristiques principales dupont-roulant sont :- charge de levage : masse 20 000 kg.- porte entre les rails : 15 000 mm.- charge totale sur les 4 roues : 266 kN- distance entre les roues : f = 2 800 mm.- diamtre des roues : d = 400 mm.Dterminez :1. les pertes par roulement sur les quatre roues.2. la puissance du moteur d'entranement des deux roues motrices pour une vitesse de 20 m/minavec un rendement du rducteur = 92% et de la commande des roues = 88%.3. le couple de torsion nominal dans l'arbre de commande si ce dernier transmet le mouvement parun engrenage roues cylindriques droites au rapport i = 4,68.4. le diamtre de l'arbre en supposant une contrainte maximale de torsion de 25 N/mm2 lors du d-marrage sous un couple valant 2,2 fois le couple nominal et la dformation en torsion.2.40 L'axe supportant une poulie cble tendu par une force F = 65 kN prsente les dimensionsdonnes sur la figure. La poulie est frette chaud sur le diamtre maximal de l'axe.Dterminez :1. les contraintes simples dans les sections places aux paulements.2. les coefficients de forme et de scurit dans les mmes sections pour un arbre en Ac 70-2.3. la dformation maximale de flexion.- Exercices E.M. 69 -CHAPITRES 11 13 : BUTES, PALIERS, GUIDAGES LISSES2.41 L'utilisation des relations gnrales simples pour le calcul des paliers cylindriques ou des bu-tes planes en matires synthtiques est une approximation trs grossire des conditions relles desollicitation. Sous l'effet des pressions locales, ces matires se dforment considrablement et fluentavec le temps. Le module d'lasticit varie avec la dure de la charge et la temprature moyenne del'lment. La figure ci-dessous montre cette grandeur pour les thermoplastiques courants.Soit trouver les conditions de fonctionnement d'une bute simple en polyamide PA 66, tat sec dontles dimensions gomtriques sont :- diamtres : intrieur di = 30 mm, extrieur de = 40 mm.- paisseur : s = 2,5 mm, temprature = 30C.- charge : force Fa = 250 N frquence n = 3 tours par seconde.Dterminez :1. la pression moyenne, la vitesse de glissement, le coefficient de frottement adopter, les pertesdans la bute.2. la dformation axiale sous charge partir des valeurs des graphiques ci-aprs pour Lh = 1000heures.Les dsignations correspondent aux normes DIN : GF = fibre de verre, 35Gew-% = 35% en poids, trocken = sec,feucht = humide, mittlere Lagertemperatur = temprature moyenne du palier, Kurzzeit-Rechenmodul = module decalcul pour courte dure, 1000-Stunden-Rechenmodul = Module de calcul pour 1000 heures (voir galementl'Extrait des normes).2.42 Le calcul du palier radial cylindrique en matire plastique doit tenir compte de la dformationdes composants. Les relations de Hertz pour la recherche de la pression superficielle n'est applicableque si la largeur de la dformation ne dpasse pas le sixime du diamtre du coussinet.La largeur projete de la dformation peut s'exprimer par :2b = da 112 1102 +LNMMOQPP +( / ) ( )h h ,avec : = h0/da jeu relatif du palier avec un arbre de diamtre da.En admettant une rpartition sinusodale de la pression sur la surface dforme, la pression maximales'exprime alors par :pmax = Fr (n2 - 1) / (da B n cos),o : n = 0,5 /.- Exercices E.M. 70 -Cette pression maximale peut se trouver approximativement partir de la dformation et de la loi deHooke pour un tat de contrainte uniaxial par :pmax = E h/sc admavec : sc paisseur du coussinet,adm contrainte admissible, soit 0,8 fois la contrainte produisant une dformation de 2%.Dterminez :1. la justification des relations proposes pour la dformation, la pression maximale et la force ra-diale.2. la charge radiale admissible sur un coussinet cylindrique en PA 66 humide, selon norme DIN1850-6, dans les conditions suivantes, voir figure :diamtres du coussinet : intrieur D = d1 = 30 mm, extrieur De = d2 = 38 mm.longueur du coussinet : B = b1 = 20 mm, jeu relatif = 0,5%.temprature de service = 45C.service continu et dure de vie d'au moins 1000 heures.3. l'angle d'action de la pression dans le coussinet et le dplacement radial de l'arbre en acier.2.43 Un patin rectangulaire servant d'appui, dimensions largeur b =120 mm, longueur l = 160 mm,est spar du guidage par une couche de lubrifiant h = 0,12 mm d'paisseur. Le liquide est de l'huileISO VG 100 la temprature de 20C. Le patin est quip de joints en caoutchouc sur la face longi-tudinale.Dterminez :1. les viscosits cinmatique et dynamique du liquide la temprature propose.2. l'expression de la rpartition de la pression pour un coulement uniaxial sous l'effet d'une chargeFz et d'une vitesse vz.3. les conditions de dplacement pour une force Fz = 40 kN et le temps ncessaire pour se dplacerde z = 0,08 mm.2.44 Une articulation de chanon se compose d'un coussinet cylindrique en bronze, diamtre 40mm, longueur portante 32 mm, d'un tourillon en acier tournant avec un jeu relatif de 0,2%. La lubrifi-cation de ces deux pices en mouvement relatif est assure par de l'huile ISO VG 46 la tempraturede 50C. Dans la position d'tude, les axes du coussinet et du tourillon concident exactement. Onapplique alors une charge radiale Fr = 3 600 N pendant t = 0,1 seconde.Dterminez :1. la pression moyenne sous la charge et les conditions de dplacement du tourillon.2. le dplacement maximal du tourillon aprs l'intervalle de temps propos.2.45 La figure 11.20 du cours montre le facteur de pression Cp en fonction de l'abscisse relative dupatin de largeur infiniment grande et du rapport gomtrique m des fentes. Un des problmes nontrait dans le cours est la recherche de la position du point d'appui ou du centre de pousse d'une bu-te hydrodynamique patins rectangulaires de manire obtenir l'inclinaison correcte sous charge.La figure 13.2 reprsente deux hypothses simples de rpartition transversale de cette pression : r-partition sinusodale et rpartition parabolique.Dterminez :- Exercices E.M. 71 -1. en admettant une rpartition transversale de pression selon une loi sinusodale, l'expression de laposition du centre de pousse.2. la reprsentation graphique de la position de ce centre de pousse pour 0,5 m 2,0.2.46 Une bute hydrostatique seuils intrieur et extrieur doit supporter une charge axiale Fa =40000 N la frquence de rotation n = 16,6 tours par seconde. Le diamtre maximal de cet lmentne doit pas dpasser 200 mm. Le lubrifiant est constitu par une huile ISO VG 68, la pression relativemaximale disposition 80 bar, le rendement mcanique de la pompe 92% et la temprature probablede calcul 50C.Dterminez :1. la dimensions gomtriques de cette bute, les seuils ayant 5 mm.2. l'paisseur optimale du film pertes minimales.3. le coefficient de frottement quivalent, les puissances perdues dans la pompe et la bute.2.47 L'exemple de calcul d'une bute hydrostatique simple effet deux seuils comporte l'tude frquence de rotation constante et charge constante. Les dimensions proposes taient d1i = 240; d1e= 250; d2i = 290 et d2e = 300, force axiale Fa = 100 kN. Dveloppez la suite de cet exemple en :1. traant les courbes des divers puissances en fonction de la hauteur de la fente selon cet exemple,2. traant la courbe de la rigidit de la bute pour les valeurs calcules dans l'exemple.3. en dterminant les hauteurs de fentes optimales pour des frquences de rotation comprises entre5 25 t/s,4. en dterminant les hauteurs de fentes optimales pour des charges axiales de 10% 100% de lacharge nominale.2.48 Une bute axiale double effet et seuils intrieur et extrieur doit supporter une charge axialeFa = 32 000 N la frquence de rotation n = 20 tours par seconde. Les dimensions et caractristiquesproposes sont :- seuil intrieur : d1i = 100 mm, d1e = 108 mm.- seuil extrieur : d2i = 132 mm, d2e = 140 mm.- capillaire infrieur : dci = 1,5 mm, lci = 20 mm.- capillaire suprieur : dcs = 1,25 mm, lcs = 80 mm.- lubrifiant : ISO VG 46 temprature de calcul : 45C.- pompe volumtrique: pp max = 60 bars, rendement mcanique : 90%.- somme des distances entre les deux appuis fixes et le pivot : 0,1 mm.Dterminez :1. la position du pivot charge axiale nulle et la pression correspondante dans les chambres.2. les pressions dans les deux chambres et la force axiale applicable en fonction du dplacement dupivot.3. le dbit de la pompe et la puissance perdue correspondante en fonction du dplacement du pivot.4. la perte dans la bute et le coefficient de frottement quivalent en fonction du dplacement du pi-vot.5. les conditions de fonctionnement de cette bute sous la charge propose, soit :- les paisseurs des films infrieur et suprieur.- le dbit total de la pompe et la puissance d'entranement ncessaire.- la puissance perdue sur les quatre seuils.- le coefficient de frottement quivalent et la raideur de la bute.- l'augmentation de temprature du lubrifiant.2.49 Un palier radial hydrostatique seuils sans canaux d'vacuation doit supporter une charge Fr= 40 000 N la frquence de rotation de n = 16,66 tours par seconde. La temprature d'entre vaut41C et la pression d'alimentation 116 bars (exemple cit dans la norme DIN 31 655 - 1). Les autrescaractristiques adoptes dans cet exemple sont :- diamtre nominal : D = 120 mm, largeur du coussinet : B = 120 mm.- seuils latraux : lax = 18 mm, seuils priphriques : lp = 18 mm.- capillaires : dc = 2,38 mm, lc = 740 mm (?).- nombre de poches : 4. jeu relatif : = 0,16%.- Exercices E.M. 72 -- viscosit du lubrifiant : ISO VG 46.- pression d'alimentation de la pompe : pp = 116 bars avec un rendement de 100% (?).Dterminez (les valeurs entre parenthses sont les rsultats publis par DIN) :1. les expression des pertes dans les capillaires.2. les conditions d'coulement dans les poches.3. le dbit total de la pompe et les pressions dans les poches (Q = 563 cm3/s).4. le dplacement de l'arbre dans le coussinet ( = 0,4).5. les pertes par frottement, dans la pompe et le coefficient de frottement quivalent.(Pf = 320 W, Pp = 6533 W, Ptot = 6853 W, = 3,6 K).2.50 Les normes DIN 31 655, parties 1 et 2, traitent les paliers hydrostatiques dans des conditionsstationnaires, lubrifis par huile sans canaux de drainage. Elles donnent plusieurs courbes permettantd'optimiser les dimensions et la pression dans le palier radial hydrostatique seuils sans canauxd'vacuation. La figure ci-aprs donne un graphique pour le rapport gomtrique B* = B/D = 1,0 sanstenir compte du frottement dans les poches. Un exemple est aussi cit dans cette norme. Soit trou-ver les dimensions gomtriques manquantes et les conditions d'utilisation d'un palier radial hydrosta-tique sans canaux d'vacuation dans les conditions suivantes :- charge radiale : Fr = 15 00'0 N, frquence de rotation : n = 31,88 t/s.- rapport : B* = B/D = 1, 4 poches.- seuils : lax/B = 0,15, lc/B = 0,15.- lubrifiant : ISO VG 68, temprature d'entre : 44C.- pression de la pompe : pp max = 120 bars.Dans cette expression, P* = Pf/Pp rapport des puissances Pf puissance de frottement, Pp puissance dela pompe,Pf* = Pf jr/(B vu2 B D). Les courbes sont valables pour = 0,4, z = 4, P* = 2, hp = 40 jr, sansfrottement dans les poches et diverses valeurs de lax/B. La perte de puissance dans les poches peutse trouver approximativement par : Ppoches = 4 B vu2 ( D B - Aseuils)/hp, avec hp profondeur despoches. Avec ces relations et aprs itrations, l'exemple propose : D = 71 mm, pp = 113 bars, = 2jr/D = 0,11%, temprature de calcul 49C, capillaires diamtre 1,73 mm, longueur 450 mm.Dterminez :1. les pressions dans les 4 poches.2. le dbit de la pompe et la puissance perdue.3. le dplacement de l'arbre dans le coussinet.4. le coefficient de frottement quivalent et la puissance totale dissipe.5. la justesse des propositions d'optimisation de cet lment (?) et des propositions ventuellesd'amliorations des conditions de fonctionnement2.51 Les normes DIN 31 651, parties 1 et 2, donnent les mthodes de calcul des paliers lisses ra-diaux dans des conditions stationnaires, lubrifis par huile avec canaux de drainage. La figure ducours sur les types de paliers radiaux hydrostatiques donne droite la rpartition de la pression dans- Exercices E.M. 73 -les poches en position centre et le sens de l'coulement vers l'extrieur. Cet exercice consiste tudier ce type de palier.Dterminez :1. les expressions de hauteurs de fentes de calcul entre le coussinet et l'arbre.2. les coulements dans le palier : axial et tangentiel.3. la mise en quation des pressions dans les poches.4. la pousse rsultante et l'quilibre de l'arbre.5. les pertes dans le palier et dans la pompe d'alimentation.2.52 Une bute axiale hydrostatique plusieurs poches selon expos correspondant du sous-chapitre du cours doit supporter une charge Fa = 35 000 N la frquence de rotation n = 20 tours parseconde. Elle prsente les caractristiques gomtriques suivantes :- seuil intrieur : d1i = 100 mm, d1e = 108 mm.- seuil extrieur : d2i = 132 mm, d2e = 140 mm.- nombre de poches : z = 8.- pas circonfrentiel : p = dm/z = 47,12 mm, longueur du seuil : 7,12 mm.- capillaires : dcs = 1,25 mm, lcs = 40 mm.- lubrifiant : ISO VG 46 temprature de calcul : 45C.- pompe volumtrique: pp max = 60 bars, rendement mcanique : 90%.Dterminez :1. la pression dans les poches et le dbit total de la pompe.2. la pousse totale sur la bute pour un pivot parallle et une paisseur de fluide comprise entre0,002 mm et 0,052 mm.3. le couple de frottement sur la bute, les pertes et le coefficient de frottement quivalent dans lamme gamme d'paisseurs.4. les reprsentations graphiques suivantes en fonction de la hauteur h0 de la fente :- le dbit total de la pompe.- la pousse sur le pivot.- le couple de frottement sur la bute.- les puissances sur les seuils, dans le pompe et totale.- le coefficient de frottement quivalent.2.53 Une bute axiale hydrostatique plusieurs poches selon expos au sous-chapitre du coursdoit supporter une charge Fa = 35 000 N la frquence de rotation n = 20 tours par seconde. Elleprsente les caractristiques gomtriques suivantes :- seuil intrieur : d1i = 100 mm, d1e = 108 mm.- seuil extrieur : d2i = 132 mm, d2e = 140 mm.- nombre de poches : z = 8.- pas circonfrentiel : p = dm/z = 47,12 mm, longueur du seuil : 7,12 mm.- capillaires : dcs = 1,25 mm, lcs = 40 mm.- lubrifiant : ISO VG 46 temprature de calcul : 45C.- pompe volumtrique: pp max = 60 bars, rendement mcanique : 90%.- excentricit : e = 0,02 mm selon figure du cours.Dterminez :1. la pression dans les poches et le dbit total de la pompe.2. la pousse totale sur la bute pour un pivot inclin et une paisseur moyenne de fluide compriseentre 0,002 mm et 0,062 mm.3. le couple de frottement sur la bute, les pertes et le coefficient de frottement quivalent dans lamme gamme d'paisseurs.4. les reprsentations graphiques suivantes en fonction de la hauteur moyenne h0 de la fente :- le dbit total de la pompe.- la pousse sur le pivot.- le couple de frottement sur la bute.- les puissances sur les seuils, dans le pompe et totale.- le coefficient de frottement quivalent.- Exercices E.M. 74 -2.54 Une bute axiale hydrodynamique doit supporter une charge de 800 000 N la frquence derotation de 9 tours par seconde. La viscosit de l'huile en circulation vaut 0,040 Ns/m2 avec unemasse volumique = 0,88 kg/dm3. Cette bute est quipe de dix patins dont les caractristiquesprincipales sont :- largeur du patin : 180 mm.- longueur du patin : 160 mm.- position du rayon moyen sur les patins : 340 mm.Dterminez :1. les diamtres intrieur et extrieur de la bute, l'aire totale de calcul, la vitesse angulaire de l'ar-bre.2. la pression moyenne, la vitesse moyenne de glissement du pivot sur les patins, la viscosit dy-namique du lubrifiant.3. les hauteurs de la fente liquide pente constante si les patins travaillent dans les conditions deportance maximale.4. le dbit de lubrifiant dans la bute, le coefficient de frottement quivalent, la perte de puissance,l'chauffement du lubrifiant en supposant que l'vacuation de l'nergie thermique produite s'effec-tue seulement par le lubrifiant de chaleur massique moyenne 1 700 J/kgK.2.55 Une bute hydrodynamique patins plans orientables supporte une charge Fa = 32 000 N lafrquence de rotation n = 3,333 tours par seconde. Le diamtre moyen de glissement du pivot vaut250 mm, les autres caractristiques tant :- largeur des patins : 80 mm.- longueur moyenne : 78 mm.- nombre de patins : 8.- viscosit du lubrifiant : 0,032 Ns/m2.Dterminez :1. la hauteur de la fente minimale dans les conditions optimales de portance.2. le coefficient de frottement quivalent et la puissance perdue.3. l'lvation de temprature de l'huile si le dbit entre le pivot et les patins peut se trouver approxi-mativement par :Q = 0,65 z b vu h0 , chaleur massique 1 650 J/kgK , masse volumique 0,87 kg/dm3.2.56 Une bute hydrodynamique patins plans orientables supporte une charge axiale constanteFa = 25 000 N la frquence de rotation n = 10 tours par seconde. Les dimensions connues et condi-tions de service sont :- diamtre intrieur : di = 280 mm, diamtre extrieur : de = 340 mm.- longueur portante : L = 30 mm, rapport B/L = 1.- nombre de patins : z = 24.- tempratures : ambiante = 20C, entre du lubrifiant = 40C.limite admissible lim 90C.- aire extrieure : A = 1,25 m2, coefficient de transmission = 20 W/m2K.- lubrifiant : ISO VG 68.Dterminez :- Exercices E.M. 75 -1. les paisseurs de lubrifiant sur les patins sous la charge donne.2. l'expression des pertes et la recherche de la temprature d'quilibre.3. le coefficient de frottement quivalent et la puissance perdue.4. les amliorations apporter la gomtrie pour diminuer les pertes trop leves.2.57 Une bute hydrodynamique patins plans orientables, monte dans un rducteur plantaire,doit supporter une charge axiale constante Fa = 125 000 N la frquence de rotation n = 2,5 tours parseconde. Les dimensions connues et conditions de service sont :- pression admissible : padm 2,5 N/mm2.- rapport gomtrique : B/L 1. nombre de patins z = 12.- degr de remplissage : 80%.- tempratures : ambiante = 20C, entre du lubrifiant = 40C.limite admissible lim 90C pour ISO VG 46.Dterminez :1. les dimensions des patins et la pression moyenne.2. la temprature d'quilibre dans la bute.3. les paisseurs de lubrifiant sur les patins sous la charge donne.4. le coefficient de frottement quivalent et la puissance perdue.2.58 Un palier radial doit supporter une charge Fr = 40 000 N la frquence n = 20 tours parseconde. La lubrification est assure par une bague fixe sur l'arbre et servant ventuellement debute axiale. Les dimensions adoptes sont :- diamtre nominal : D = 125 mm, longueur du coussinet : B/2 = 50 mm,- lubrifiant : ISO VG 68. temprature maximale : 70C.Dterminez :1. le jeu relatif, les viscosits du lubrifiant en supposant la temprature d'quilibre dans le coussinet 50C.2. le nombre de Sommerfeld, le coefficient de frottement relatif.3. la position exacte de l'arbre dans le coussinet, la puissance perdue.4. le contrle de l'chauffement.- Exercices E.M. 76 -2.59 L'exercice 2.54 traite le comportement d'une bute hydrodynamique segments orientablessous une charge de 800 kN. L'tude du comportement global de la machine ncessite la connais-sance de la rigidit des appuis. Tout en conservant les dimensions gomtriques et cinmatiques, enadmettant une viscosit constante pour le lubrifiant :Dterminez :1. le dplacement du pivot pour des charges axiales variant de Fa = 100 kN Fa = 1000 kN par in-crment de Fa = 100 kN.2. la reprsentation graphique de ces dplacements en fonction de la charge.3. la reprsentation graphique de la raideur de cette bute.2.60 Un palier radial doit supporter une charge Fr = 12 500 N la frquence de rotation de 16,2tours par seconde. Le palier est plac dans un carter spar de la machine. L'huile de lubrificationprsente les caractristiques suivantes :- viscosit : 40C v = 32 mm2/s, 100C v = 5,4 mm2/s.- masse volumique : = 0,872 kg/dm3 15C.L'aire extrieure d'change du carter du palier vaut A = 0,28 m2.Dterminez :1. les dimensions du palier pour une pression moyenne comprise entre 2 et 4 N/mm2.2. aprs adoption des dimensions, la pression moyenne et le jeu relatif.3. le coefficient de convection du carter pour une vitesse de l'air de 2,5 m/s.4. la temprature d'quilibre du palier.5. le nombre de Sommerfeld et la viscosit du lubrifiant cette temprature.6. l'excentricit relative, la position angulaire de la fente minimale, l'paisseur minimale du film.7. le coefficient de frottement quivalent, le couple et la puissance perdue.2.61 Un palier radial doit supporter une charge radiale Fr = 10 000 N la frquence de rotation de12,5 tours par seconde. Le palier est mont dans un carter spar. Lhuile de lubrification est la Turbo46 de Shell dont les caractristiques sont :- viscosits : 40C v = 46 mm2/s 100C v = 7,0 mm2/s.- masse volumique : 15C = 0,872 kg/dm3,- aire extrieure : A = 0,17 m2, vitesse de lair sur le carter : 1 m/s.- temprature ambiante : 24C.- Exercices E.M. 77 -Le palier se compose de deux coussinets pour charge radiale, spars par une bute axiale. Lesdimensions adoptes sont :- diamtre de larbre : d = 80 mm,- demi largeur : B/2 = 34 mm,- coussinet revtu : SnSb12Cu6Pb,- arbre : Ac 70-2,- jeu relatif : 1%oDterminer :1. la pression et la dformation entre larbre et le coussinet au repos sous la charge radiale,2. toutes les caractristiques du lubrifiant la temprature de calcul de 47,5C,3. le nombre de Sommerfeld et le coefficient de frottement quivalent,4. lexcentricit relative, la position angulaire de la fente minimale, lpaisseur minimale du film,5. le couple et la puissance perdue dans le palier,6. lchange de chaleur entre le carter et le milieu ambiant.2.62 Un palier radial cylindrique lisse, angle d'action 180, doit supporter une charge radiale cons-tante Fr = 50 000 N la frquence de rotation n = 25 tours par seconde. Le diamtre de l'arbre vaut160 mm, la longueur portante du coussinet B = 125 mm. Le jeu relatif est choisi pour un coussinet ar-ticul sur appui sphrique. L'huile adopte possde une viscosit de 24 mm2/s la tempratured'quilibre de 60C, la masse volumique valant 0,865 kg/dm3.Dterminez :1. la pression moyenne, la vitesse de glissement, le jeu relatif retenu, le jeu diamtral moyen et leschamps de tolrances adopter.2. le nombre de Sommerfeld la temprature d'quilibre.3. le coefficient de frottement quivalent dans le palier ainsi que la puissance perdue.4. la surface extrieure du palier valant 0,72 m2, la quantit de chaleur ou la puissance thermiquevacue par le carter pour une vitesse de l'air de 1,5 m/s et une temprature ambiante de 25C.5. le dbit d'huile prvoir pour le refroidissement de ce palier si la temprature d'entre du liquideen circulation est 35C.6. la hauteur minimale du film de lubrifiant et la position exacte occupe par le centre de l'arbre parrapport au centre du coussinet.2.63 L'exercice 2.30 traitait la dformation d'une ligne d'arbre d'une turbomachine. La charge surles appuis est reprsente essentiellement par le poids propre des pices en rotation. L'appui D pro-voque une raction radiale FD = 120 600 N sur l'arbre au diamtre 320 mm, frquence de rotation n =50 t/s. L'exercice 2.36 tudiait le comportement de ce mme arbre, en particulier la recherche des sixpremires vitesses critiques. Le palier radial prsente un coussinet semblable celui de la figure ci-avant Exer. 2.62 avec :- coussinet en deux parties 1 et 2 avec appui articul sphrique 11.- cales intercalaires 21 pour ajuster la position du coussinet dans le carter.- alimentation en lubrifiant par une canalisation circulaire complte.- chicanes de retenue 14 et 15.- Exercices E.M. 78 -- alimentation en haute pression 16 pour soulever l'arbre au moment du dmarrage.Dterminez :1. les dimensions gomtriques manquantes du coussinet : longueur et jeux.2. la vitesse circonfrentielle de l'arbre et le choix du lubrifiant.3. la temprature de calcul si l'huile entre dans le canal circulaire la temprature de 40C.4. le nombre de Sommerfeld, le coefficient de frottement quivalent l'quilibre thermique.5. la position de l'arbre dans le coussinet.6. la rigidit verticale et horizontale de l'arbre sous la charge propose.2.64 Une broche de machine-outil, reprsente schmatiquement sur la figure, supporte son ex-trmit libre une force spatiale dont les composantes sont :- composante tangentielle : Ft = 13 500 N.- composante radiale : Fr = 4 500 N.- composante axiale : Fx = 6 000 N.La frquence de rotation de cet arbre est n = 25 tours par seconde.Dterminez :1. les ractions des appuis : radial en B, radial et axial en C.2. les dimensions gomtriques pour le palier radial en C si : B/D 1,2 et p 3 N/mm2.3. les dimensions gomtriques pour le palier radial en B si : B/D 0,8 et p 3 N/mm2.4. le nombre de Sommerfeld pour les deux paliers radiaux lisses si le jeu relatif adopt par le cons-tructeur vaut 0,07% et si la viscosit de l'huile utilise la temprature de service est 14 mm2/s, lamasse volumique valant 0,88 kg/dm3.5. les coefficients de frottement quivalent dans les deux paliers lisses ainsi que les couples de frot-tement.6. la puissance perdue dans les paliers de cette broche sachant que la charge axiale est compensepar une bute billes dont le diamtre de contact des billes vaut 1,5 fois le diamtre du palier C.2.65 L'arbre de sortie d'un rducteur engrenages transmet une puissance P = 830 kW la fr-quence de rotation n = 12,3 tours par seconde. Il est quip d'une roue denture hlicodale, diam-tre primitif de fonctionnement d2' = 486 mm, sollicite par une force dont les composantes valent :- composante tangentielle : Ft = 2 Mt/d2'.- composante radiale : Fr = 0,367 Ft.- composante axiale : Fx = 0,22 Ft.Cet arbre est centr dans deux paliers cylindriques lisses et s'appuie contre une bute hydrostatique double seuil selon figure du cours.La viscosit du lubrifiant vaut 40 mm2/s la temprature d'quilibre, la masse volumique 0,88 kg/dm3.Le jeu relatif adopter des paliers radiaux est la limite infrieur du domaine recommand.Dterminez :1. les forces composantes sur la denture, les ractions des appuis B et C, ce dernier tant quip dela bute hydrostatique.2. les dimensions des paliers cylindriques, multiples de 10 mm, pour une pression moyenne p 3N/mm2 et un rapport B/D 0,8.3. le jeu relatif, le nombre de Sommerfeld des deux paliers.- Exercices E.M. 79 -4. la puissance perdue dans chacun des paliers radiaux et les couples correspondants.5. les paisseurs minimales du lubrifiant dans les deux paliers radiaux.6. les dimensions de la bute hydrostatique en C dans les conditions suivantes :largeur des seuils intrieur et extrieur : r1e - r1i = r2e - r2i = 5 mm.largeur radiale de la poche : r2i - r1e = 8 mm.7. la pression d'alimentation dans la bute axiale, la puissance perdue dans cette bute pour unecouche de lubrifiant minimale de 0,03 mm.2.66 L'exercice 2.45 propose de trouver le centre de pousse sur un segment de bute penteconstante en admettant une rpartition sinusodale de la pression dans le sens transversal, une r-partition semblable celle du patin infiniment large dans le sens longitudinal. La norme DIN 31654,parties 1 3, traite le calcul des butes segments hydrodynamiques sous charge stationnaire. Dansla partie 2, page 7, elle donne une formule permettant de trouver la position relative du centre depousse aF* = xF/L. La relation approximative prend la forme suivante :aF* = 0,5 + [a + b /(B/L)] . tanh {[c + d /(B/L)].1/m' },valable pour 0,2 m' = h0/(h1-h0) < 2,0.Les coefficients a,b,c,d valent respectivement :a = 0,138107909, b = 0,0351209709,c = 0,476542662, d = 0,0109568021.Dterminez :1. les valeurs numriques de cette position relative pour les rapports B/L des figures du cours :0,5 0,7 1,0 1,4 2,0 .2. la reprsentation graphique aF* = aF*(m' ) pour 0,1 m' 2,0.3. l'erreur commise dans l'exercice 2.45 pour un rapport B/L = 1,0.2.67 Soit rechercher le comportement d'un palier radial cylindrique sur 360 dont les dimensionssont (mmes dimensions et charges que l'exemple dans la norme DIN 31 652, partie I) :- diamtre nominal du palier : D = 120 mm.- longueur du coussinet B = 60 mm, mtal blanc.- charge radiale : Fr = 36 000 N la frquence n = 33,3 tours par seconde.- surface extrieure : A = 0,3 m2, coefficient global = 20 W/m2K.- lubrifiant : ISO VG 100.- tempratures : ambiante 40C, maximale admissible 70C.Si la temprature admissible est dpasse, le palier sera aliment en huile la temprature d'entrede 58C.Dterminez :1. les dimensions gomtriques complmentaires, la pression au repos et la dformation.2. la temprature de 70C : le nombre de Sommerfeld, le coefficient de frottement quivalent,l'paisseur minimale du film. la puissance produite dans le palier et la puissance vacue par lecarter.3. la temprature d'quilibre sans circulation complmentaire de lubrifiant.. le dbit de lubrifiant prvoir pour ne pas dpasser la temprature limite de 70C.- Exercices E.M. 80 -2.68 Un palier cylindrique sur 180 doit supporter une charge radiale Fr = 1 000 kN la frquencede rotation n = 1,4283 tours par seconde. La pression moyenne limite doit tre p < 10 N/mm2 et latemprature maximale admissible ne doit pas dpasser 70C. Les dimensions adoptes dans ce se-cond exemple tir de la norme DIN 31 652 sont :- diamtre nominal du palier : D = 1010 mm.- rapport gomtrique B/D 0,75 .- surface extrieure : A dterminer, coefficient global = 20 W/m2K.- lubrifiant : ISO VG 46.- tempratures : ambiante 20C.Dterminez :1. la pression moyenne et la pression au repos sous mme charge radiale.2. la temprature d'quilibre.3. les conditions de fonctionnement cette temprature, soit : nombre de Sommerfeld, coefficient defrottement quivalent, paisseur minimale du film, puissance produite entre l'arbre et le coussinet,puissance vacue par le carter.4. les conditions de passage au frottement hydrodynamique.La figure montre un exemple de carter et coussinet avec nervures de refroidissement, conceptionRenk.2.69 Un palier cylindrique sur 180 doit supporter une charge radiale Fr = 50 000 N la frquencede rotation n = 10 tours par seconde. La pression moyenne limite doit rester p 3 N/mm2 et la temp-rature maximale admissible ne doit pas dpasser 75C. L'alimentation en huile dans le palier est assu-re par une bague selon figure.Dterminez :1. les dimensions gomtriques du coussinet en admettant B/D < 0,8.2. le choix du lubrifiant dans la gamme des huiles normes ISO VG.3. les conditions de fonctionnement la temprature limite, soit :nombre de Sommerfeld, coefficient de frottement quivalent, paisseur minimale du film,position de l'arbre dans le coussinet, passage au rgime hydrodynamique,puissance produite entre l'arbre et le coussinet, puissance vacue par le carter.L'aire extrieure du carter de coussinet peut se calculer par la relation :A = H (BH + 0,5 H), avec :BH : largeur du support dans le sens axial,H : hauteur totale du carter.2.70 Le calcul de la viscosit d'un liquide obissant la loi de Newton peut s'effectuer au moyen dediverses formules. La recommandation VDI 2204, Feuille 1, propose deux relations dans ce but :1. Relation de H. Vogel (relation 2, page 28) : = Kv,1 . exp[Kv,2/( + Kv,3)],avec : Kv,1, Kv,2, Kv,3 des constantes dpendantes du lubrifiant.2. Relation simplifie de U. Rost (relation 3, page 28):ln(/x) = [159.56C/( + 95C) - 0,181913] ln(nom/x),avec : x = 1,8.10-4 Pa s, et nom = (ISO VG)./106 et en kg/m3.Dterminez :1. les constantes Kv,1, Kv,2, Kv,3 pour l'huile Shell Vitrea 220 selon H. Vogel.2. l'expression numrique selon U. Rost pour la mme huile.3. un tableau de valeurs de viscosits cinmatiques pour la mme huile dans le domaine des temp-ratures comprises entre 20C et 100C par incrment de 10K. Ce tableau doit contenir : les tem-pratures, les viscosits calcules au moyen des relations de Mac Coull, Vogel et Rost.2.71 Un palier radial cylindrique sur 180 sert supporter un arbre de turbomachine et les pous-ses axiales ventuelles. Il se compose d'un coussinet en deux parties, assembles par des vis d'ex-tension et deux butes annulaires hydrodynamiques avec canaux d'alimentation en lubrifiant, voirfigure ci-aprs. La gomtrie et les conditions d'utilisation sont les suivantes :- Exercices E.M. 81 -- diamtre nominal : D = 250 mm. largeur du coussinet : B = 200 mm.- jeu relatif : = entre la valeur moyenne et la limite infrieure.- butes : di = 270 mm; de = 380 mm.- lasticit de l'arbre : E =21.104 N/mm2. lasticit du coussinet : E = 3.104 N/mm2.- frquence de rotation :n = 30 t/s. lubrifiant : ISO VG 46.- force radiale au repos : Fr0 = 110 000 N. force en rotation : Fr = 110 000 N.- force axiale maximale : Fa = 32 000 N.- temprature ambiante : = 25C.- refroidissement seulement par circulation d'huile avec une temprature d'entre de 40C.- augmentation maximale de temprature : max = 20 K.Dterminez :1. la pression hertzienne et la dformation du coussinet au repos.2. la pression moyenne sur la bute en tenant compte des canaux d'alimentation.3. la vitesse de glissement et le jeu prvoir entre l'arbre et le coussinet.4. les caractristiques de fonctionnement du palier radial, soit :le nombre de Sommerfeld, le coefficient de frottement quivalent, l'paisseur minimale du film,la position de l'arbre dans le coussinet, le passage au rgime hydrodynamique,la puissance produite entre l'arbre et le coussinet, le dbit de lubrifiant.La temprature de calcul sera pondre 2/3 de l'lvation de temprature.5. les caractristiques de fonctionnement des butes axiales sous la charge propose, soit :la pente et la gomtrie des faces inclines pour obtenir les conditions optimales de fonctionne-ment, l'paisseur minimale du lubrifiant la mme temprature que celle du palier radial, le dbitde lubrifiant prvoir, les pertes sur le pivot.6. les pertes et dbits totaux dans ce palier combin.2.72 Un palier radial cylindrique sur 360 sert supporter la partie motrice d'un laminoir. Le rev-tement du coussinet est un alliage base de plomb PbSb10Sn6. Les conditions imposes selonl'exemple cit dans la recommandation VDI 2204, feuille 3, sont les suivantes :- diamtre nominal : D = 400 mm. largeur du coussinet : B = 320 mm.- jeu relatif : = 0,1125%. aire extrieure : A = 2,56 m2.- lasticit de l'arbre : E =21.104 N/mm2. lasticit du coussinet : E = 3.104 N/mm2.- frquence de rotation :n = 3 t/s. lubrifiant : ISO VG 46.- force radiale au repos : Fr = 200 000 N. force en rotation : Fr = 200 000 N.- temprature ambiante : = 20C. coefficient de transm. : = 20 W/m2K.- transmission intrieure : i = 2000 W/m2K.- temprature maximale admissible : max = 80C.La recommandation VDI 2204 traite le calcul des paliers et butes hydrodynamiques. Elle essaie dechiffrer la temprature du lubrifiant dans le coussinet du palier radial en dcomposant l'coulement entrois parties :- dbit d'entre dans le palier V1,- Exercices E.M. 82 -- dbit dans la fente minimale de sortie V2,- dbit de fuite dans le sens perpendiculaire V3.L'vacuation de l'nergie produite dans le coussinet vers le bain d'huile, le carter et l'extrieur s'ex-prime par la relation :Pfr = Pcl + i B D (cal - ca) + 2 c Cc {3}0,5 (cal - ca) = Pcl + A (ca - a).Dans ces expressions :Pcl = puissance vacue par une circulation vers l'extrieur ou dans un radiateur,cal = temprature de calcul = moyenne arithmtique entre les tempratures d'entre et de sortie,i = coefficient global de transmission entre le lubrifiant et la surface du coussinet.Les autres symboles correspondent ceux du cours. Le facteur 2 provient de la faon de trouver latemprature de calcul (sans explication !). Aprs transformation, il est possible d'crire :cal aca a i c c= ++12 3ABD C V& .La vitesse de glissement maximale la limite du frottement mixte se trouve par une formule proposepar G. Noack :vu lim = 1 / { 1 - (3/vu) + (3/vu)2 }0,5 .Dans cette expression, les vitesses vu lim et vu s'expriment en m/s.Dterminez :1. la pression moyenne, le jeu diamtral, le module d'lasticit rsultant.2. la pression hertzienne et la dformation du coussinet sous la charge au repos.3. la temprature d'quilibre en se servant de la mthode expose dans le cours.4. les conditions de fonctionnement cette temprature d'quilibre, soit :le nombre de Sommerfeld, le coefficient de frottement quivalent, l'paisseur minimale du film,la position de l'arbre dans le coussinet, le passage au rgime hydrodynamique,la puissance produite entre l'arbre et le coussinet, le dbit de lubrifiant.5. la vitesse de glissement maximale la limite du frottement mixte selon G. Noak.la temprature du lubrifiant dans le coussinet en se servant de la relation propose ici.Comparez ces rsultats avec ceux proposs dans le cours.2.73 Un palier radial demi cylindrique sur 180 sert supporter un four rotatif de cimenterie. Le re-vtement du coussinet est un alliage base de plomb dont la composition correspond peu prs PbSb15Sn10. Les conditions imposes selon l'exemple cit dans VDI 2204, feuille 3, sont les suivan-tes :- diamtre nominal : D = 1300 mm (?). largeur du coussinet : B = 450 mm.- jeu relatif : = 0,079%. aire extrieure : A = 8 m2.- lasticit de l'arbre : E =21.104 N/mm2. lasticit du coussinet : E = 3.104 N/mm2.- frquence de rotation :n = 0,233 t/s. lubrifiant : ISO VG 320- force radiale au repos : Fr = 1 460 000 N. force en rotation : Fr = 1 460 000 N.- temprature ambiante : = 40C. coefficient de convec. : = 20 W/m2K.- convection intrieure : i = 2000 W/m2K.- temprature maximale admissible : max = 75C.Dterminez :1. la pression moyenne, le jeu diamtral, le module d'lasticit rsultant.2. la pression hertzienne et la dformation du coussinet sous la charge au repos.3. la temprature d'quilibre en se servant de la mthode expose dans le cours.4. les conditions de fonctionnement cette temprature d'quilibre, soit :le nombre de Sommerfeld, le coefficient de frottement quivalent, l'paisseur minimale du film,la position de l'arbre dans le coussinet, le passage au rgime hydrodynamique,la puissance produite entre l'arbre et le coussinet, le dbit de lubrifiant.5. la vitesse de glissement maximale la limite du frottement mixte selon G. Noak.la temprature du lubrifiant dans le coussinet en se servant de la relation propose sous 4.71.Comparez ces rsultats avec ceux proposs dans le cours.- Exercices E.M. 83 -2.74 Une turbine Francis axe vertical des Forces motrices bernoise, centrale de Spiez, fabriquepar les ACMV (Ateliers de constructions mcaniques ACMV, Vevey Suisse), prsente les carac-tristiques suivantes :- chute nette : 65 mtres dbit maximal 16 m3/s.- puissance : 9330 kW. frquence de rotation : 8,333 tours par seconde.La roue aubes est guide dans sa partie infrieure par un palier radial reprsent sur la figure. Lesgrandeurs gomtriques sont :- diamtre nominal : 335 mm longueur portante : 180 mm.- jeu diamtral moyen : 0,26 mm.- lubrification par circulation en circuit ferm : lubrifiant Shell Turbo T78 ou quivalent.La temprature de calcul est estime 50C.Dterminez :1. la vitesse de glissement, les viscosits du lubrifiant la temprature de calcul.2. la charge radiale sur le coussinet pour un nombre de Sommerfeld = 1.3. la position de l'arbre dans le coussinet dans cette condition : excentricit et angle.4. les pertes dans ce guidage.2.75 Une turbine Francis axe vertical de la S.N.E.C, centrale de Song Loulou au Cameroun, fa-brique par les ACMV, prsente les caractristiques suivantes :- chute nette : 39,2 mtres dbit maximal 135,7 m3/s.- puissance : 49 500 kW. frquence de rotation : 2 tours par seconde.La roue aubes est soutenue et guide, dans sa partie infrieure, par un palier combin radial et unebute, tous deux segments, reprsent sur la figure. Les grandeurs gomtriques du palier radialsont :- diamtre nominal : 1420 mm, nombre de segments : z = 8.- largeur des segments : B = 350 mm, longueur des segments : L = 360 mm.- jeu diamtral moyen : 0,70 mm obtenu par dplacement radial des patins.- temprature de calcul estime 55C.- lubrification par circulation en circuit ferm : lubrifiant Shell Turbo T78 ou quivalent.Le point de basculement relatif des patins se trouve aF* = 0,6.Le rapport m' = h0/(h1-h0) en fonction de B/L et de aF* se trouve par l'expression (DIN 32654-2) :m hh hc d B La b B L aa b B L a' / ( / )ln / ( / ) ,/ ( / ) ,**== ++ + + +LNMOQP01 020 50 5FFCette expression est valable pour 0,333 m' 1,0.Les coefficients a, b, c, d valent respectivement :- Exercices E.M. 84 -a = 0,138107909, b = 0,0351209709,c = 0,476542662, d = 0,0109568021.Cet exercice consiste tudier le comportement du guidage radial partir des notions lmentairessur les segments pente constante.Dterminez :1. la vitesse de glissement, les viscosits du lubrifiant la temprature de calcul.2. le couple de frottement en position centre et la puissance perdue.3. la portance radiale de ce guidage en introduisant les hypothses suivantes :- dplacement de l'arbre de 0 mm 0,30 mm par incrments de 0,05 mm.- dplacement radial vers un point de basculement d'un segment.- les rsultats des patins pente constante sont applicables ces patins surfaces cylindriquescreuses.- la pousse sur chacun des patins passe par le point de basculement.4. les pertes dans ce guidage pour les 6 positions complmentaires :- couple total sur l'arbre.- puissance de frottement.centrale de Song Loulou2.76 Un arbre de machines est centr dans deux paliers radiaux 1 et 2, aliments sur 360, dontles caractristiques sont :- diamtre nominal : D = 80 mm, longueur du coussinet : B = 60 mm,- forces radiales : Fr1 = 8 600 N (32), Fr2 = 10 200 N (296).- frquence de rotation :n = 12,5 tours par seconde.- jeu relatif selon relation gnrale.- viscosit du lubrifiant : v = 55 mm2/s, masse volumique : = 0,885 kg/dm3.Dterminez :1. le jeu radial, les nombres de Sommerfeld pour les deux paliers.2. la position de l'arbre dans les paliers sous les charges proposes en intensit et direction.3. la position de l'arbre dans les paliers sous des charges augmentes de 10% et les variations x ety correspondantes.4. les coefficients relatifs de raideur et d'amortissement selon figure du cours.5. les raideurs kij correspondantes.6. les coefficients d'amortissement bij correspondants.CARACTRISTIQUES DES HUILES DE LUBRIFICATIONpour paliers et butes hydrodynamiquesProvenance : SHELL SWITZERLANDTypeIdentifica-teurDsignationselonSHELLMassevolumique 15CTempratures Viscosit cinmatique- Exercices E.M. 85 -dclairCde figeageCmm2/s40Cmm2/s100CVitrea Oil : pour transmission et systmes ferms, sans additifsABCDEVitrea 9Vitrea 22Vitrea 32Vitrea 46Vitrea 680.8690.8700.8720.8760.882163171229243249-45-24-18-12-129223246682.34.25.46.78.8FGHIJVitrea 100Vitrea 150Vitrea 220Vitrea 320Vitrea 4600.8900.8910.8920.8960.897268268271288310-12-12-12-12-1210015022032046011.515.219.724.730.6Turbo Oil : pour systmes ferms avec additifs et dsmulsibilitKLMNOTurbo T32Turbo T46Turbo T68Turbo T78Turbo T1000.8710.8740.8760.8790.881216221227232252-12-12-12-12-12324668781005.36.88.69.411.1Macoma : huiles pour engrenages haute pression et vis sans finPQRSTMacoma R150Macoma R220Macoma R460Macoma R680Macoma R10000.9460.9460.9470.9480.948177177185195196-21-21-18-18-15150220460680100012.515.924.831.342.0Omala : pour engrenages performances levesUVWXYZOmala 68Omala 100Omala 150Omala 220Omala 320Omala 6800.8870.8910.8970.8990.9030.912224229238238238246-30-30-24-21-18-12681001502203206808.711.415.019.425.038.0 La masse volumique est donne en kg/dm3 15 C- Exercices E.M. 86 -CHAPITRES 14 15 : BUTES , PALIERS ET GUIDAGES ROULEMENTS2.77 La dure de vie d'un roulement sollicit par une charge variable en fonction du temps ou enfonction de la rotation se calcule en transformant la charge relle en une charge constante au moyende la relation donne dans le cours. L'exercice montrait plusieurs charges variables en fonction del'angle de rotation.Dterminez :1. la charge constante sur un roulement contact ponctuel sollicit par une charge variable triangu-lairement avec charge minimale nulle, premire figure.2. la charge constante sur un roulement contact linique sollicit par une charge variable triangulai-rement avec charge minimale 16%, seconde figure.3. la charge constante sur un roulement contact ponctuel sollicit par une charge variant sinuso-dalement entre une charge minimale 16% et une charge maximale 100%, troisime figure.2.78 Une poulie cble, diamtre 250 mm selon figure, est sollicite par une force oblique dont lescomposantes sont : composante radiale Fr = 5 kN, composante axiale Fx = 2 kN. La vitesse du cbleest 3,2 m/s et la dure de vie dsire 50 000 heures. La poulie est supporte et guide par deuxroulements billes 6 308, la distance entre les milieux des roulements tant 60 mm.Dterminez :1. la frquence de rotation de la poulie cble;2. la charge sur chacun des roulements et la charge quivalente selon ISO;3. la dure de vie nominale en heures selon ISO;4. la dure de vie corrige selon SKF.2.79 La vis d'un mcanisme vis sans fin selon figure transmet une puissance P = 38 kW la fr-quence de 20 tours par seconde. Le diamtre moyen de la vis vaut dm1 = 80 mm. La force spatialetransmise entre la vis et la roue peut tre admise concentre sur ce diamtre. Elle prsente trois com-posantes (voir galement exercice 2.25) :- une composante tangentielle : Ft1 = M1 /(0,5 dm1),- une composante axiale : Fx1 = 3,2 Ft1,- une composante radiale : Fr1 = 1,2 Ft1.Le fabricant de ce type de transmission propose les solutions suivantes pour les paliers roulement :Palier B Palier C Disposition- Solution 1 : billes contact oblique 7313B 7313B O- Solution 2 : billes contact oblique 7313B 7313B X- Solution 3 : galets coniques 31313 31313 O- Solution 4 : galets coniques 31313 31313 XDterminez pour lune des variantes retenues :1. la valeur des trois composantes rectangulaires sur la denture et leur rsultante;- Exercices E.M. 87 -2. la position et les ractions des appuis FB et FC : composantes radiale et axiale;3. les charges quivalentes sur chacun des roulements;4. la dure de vie nominale selon ISO pour la solution tudier;5. la dure de vie corrige si l'huile utilise et propose par le fabricant possde une viscosit de :40 = 320 mm2/s la temprature de 40C et si la temprature de service est 80C.2.80 Un arbre de machine est centr gauche par un roulement rotule sur billes pour compenserles erreurs d'alignement. Ce roulement, avec manchon de serrage, est mont dans un palier quipdun joint diamtral. Les caractristiques imposes sont les suivantes :- diamtre de l'arbre : d = 60 mm.- frquence de rotation : n = 29 tours par seconde.- raction radiale sur l'arbre : Fr = 9 300 N- charge axiale : occasionnelle jusqu' 10% de Fr.- dure de vie avant fatigue : Lh > 12 000 heures.- lubrification par de la graisse.Dterminez :1. le modle adopter.2. la dure de vie probable selon ISO.3. si un roulement rotule sur rouleaux serait plus favorable au point de vue conomique.2.81 Le crochet de suspension d'un engin de levage est prvu pour une charge axiale engendrepar une masse de 5 tonnes. Le diamtre du crochet prs du roulement possde un diamtre de 52mm. On prvoit d'appuyer ce crochet sur un roulement de bute rouleaux cylindriques, modle seloncatalogue 81112. La charge axiale est variable et il faut compter avec une variation de charge de 15% en service.Indiquez si le choix du roulement est judicieux ou proposez ventuellement une autre solution deconception.2.82 L'arbre de sortie d'un rducteur engrenage de puissance moyenne prsente les dimensionsprincipales donnes sur la figure. La puissance transmise vaut P = 10 kW et la frquence de rotationde cet lment vaut n = 1,5 tour par seconde. La force tangentielle Ft est la seule force qui produit uncouple de torsion dans l'arbre. Les deux autres composantes se dduisent de cette force par :- composante axiale : Fx = 0,268 Ft.- composante radiale : Fr = 0,377 Ft.L'arbre est centr par deux roulements galets coniques de la srie 322 monts en disposition O :- roulement de gauche : diamtre de l'arbre 55 mm.- roulement de droite : diamtre de l'arbre 60 mm.Cet arbre est aussi reprsent sur la figure de l'exercice 2.33.Dterminez :1. l'intensit des composantes de la force totale applique sur la denture de la roue.2. la position des points d'appui et l'quilibre de cet arbre : ractions en B et C.3. la charge quivalente sur les deux roulements.4. la dure de vie avant fatigue selon ISO et la puissance perdue dans les paliers.- Exercices E.M. 88 -Remarque :L'exercice 2.33 a permis de trouver la dformation en flexion de cet arbre. Le catalogue desroulements donne la dformation angulaire limite des roulements galets coniques. Contrler le choixdes roulements ou le choix des dimensions de l'arbre.2.83 Un rducteur de vitesse un engrenage comprend deux roues cylindriques denture hlico-dale. Les caractristiques mcaniques et gomtriques sont :- puissance transmettre : P1 = 40 kW, frquence de rotation : n1 = 24 t/s.- diamtres primitifs de fonct. : d1' = 74,96 mm, d2' = 229,04 mm.- largeur des dents : b1 = b2 = 50 mm, entraxe de fonctionnement : a' = 152 mm.- angle d'hlice : ' = 15,08,- dure de vie minimale : Lh = 16 000 heures.- distance entre les axes de symtrie des paliers roulements : lpaliers = 180 mm.Le calcul des composantes rectangulaires de la force rsultante sur la denture donne :Ft' = 7077 N, Fr' = 2785 N, Fx' = 1907 N.La lubrification des roues dentes et des roulements est assure par une huile ISO VG 68.Dterminez :1. les ractions d'appui sur les paliers B, C, D et E des deux arbres.2. le choix des diamtres des arbres et des roulements rigides billes.3. la dure de vie des roulements selon ISO.4. la dure de vie corrige selon SKF.5. la puissance perdue dans les appuis roulements.2.84 La broche de machine-outil de l'exercice 2.64 possde une bute roulement servant rece-voir la composante axiale de la force produite l'extrieur des deux appuis. Cette composante axialevaut Fa = 6 000 N et la frquence de rotation 25 tours par seconde.Dterminez :1. le type de bute roulement prvoir dans une machine-outil.2. le modle pour un diamtre d'arbre de 80 mm.3. la dure de vie avant fatigue L10 selon ISO.4. la dure de vie corrige selon SKF, les roulements tant lubrifis l'huile ISO VG 46 la temp-rature maximale de 50C.2.85 Le rotor du moteur de traction d'une locomotive est centr dans deux paliers roulements rouleaux cylindriques, voir FAG 00200-9. Les caractristiques du moteur de traction sont :- puissance maximale : P = 600 kW.- frquence de rotation : n = 32,5 t/s.- entranement unilatral par un pignon denture hlicodale.- diamtre primitif : d1 = 250 mm.Le centrage de l'arbre est assur par :- roulement de gauche : NU 424.- roulement de droite : NJ 417 + bague d'paulement HJ 417.Les composantes de la force spatiale sur la denture du pignon peuvent se trouver par :- Exercices E.M. 89 -- composante tangentielle : Ft = 2 Mt/d1.- composante radiale : Fr = 0,38 Ft.- composante axiale : Fx = 0,22 Ft.Dterminez :1. les composantes rectangulaires de la force totale sur le pignon.2. les ractions d'appui sur les roulements.3. la dure de vie avant fatigue L10 de chaque roulement selon ISO.4. la perte de puissance dans les paliers roulement.5. le contrle de la dure de vie corrige selon FAG.2.86 L'arbre intermdiaire d'un rducteur de vitesse engrenages supporte les roues de deux en-grenages parallles denture hlicodale (voir aussi l'exercice 2.34) :- roue 2 : diamtre primitif d2 = 225 mm.- pignon 3 : diamtre primitif d3 = 72 mm.Les composantes des forces appliques sur les dentures correspondent celles reprsentes sur lafigure. Les milieux des appuis, constitus par des paliers roulements, sont galement donns sur lafigure. Les composantes des forces totales sur la dent sont :- engrenage I : roue 2 :tangentielle Ft2 = 2 Mt/d2 axiale Fx2 = 0,29 Ft2 radiale Fr2 = 0,38 Ft2.- engrenage II : pignon 3 :tangentielle Ft3 = 2 Mt/d3 axiale Fx3 = 0,18 Ft3 radiale Fr3 = 0,37 Ft3.La puissance transmise vaut P = 12,5 kW et la frquence de rotation de l'arbre n = 9,2 t/s.Dterminez :1. l'quilibre de cet arbre.2. le choix des roulements et la charge quivalente sur les deux lments.3. la dure de vie avant fatigue selon ISO.4. la dure de vie corrige selon SKF, l'huile de lubrification des roulements tant ISO VG 68 latemprature de 50C.5. la puissance perdue dans les paliers.2.87 Un arbre de machine, diamtre au point d'appui d = 40 mm, doit supporter une charge axialedans un seul sens Fa = 4 300 N. La frquence de rotation est n = 20 tours par seconde. La dure devie avant fatigue doit tre L10 = 25 000 heures. Le roulement adopt est une bute billes simpleeffet, rondelle - logement sphrique pour compenser les erreurs d'alignement.Quel modle faut-il introduire et quelles sont les pertes probables dans cet appui ?2.88 La roue d'un vhicule routier est centre sur deux roulements galets coniques monts dansla disposition en O. Les modles et charges appliques sont :Palier B Palier C- charge radiale : FrB = 8 800 N, FrC = 6 200 N.- charge axiale : FaB = 2 000 N, FaC = 0 N.- modle : 302 10 302 08.- diamtre de la roue : D = 600 mm.- lubrification la graisse consistance NLG 2.Dterminez :- Exercices E.M. 90 -1. les charges radiales et axiales de calcul sur les roulements.2. le nombre de tours et la distance parcourue par le roulement du palier B, calcul ISO.3. le nombre de tours et la distance parcourue par le roulement du palier C, calcul ISO.4. l'augmentation de parcours en km pour un calcul corrig selon SKF.2.89 L'arbre d'un rducteur de vitesse vis sans fin, comprenant la vis, est centr sur deux paliers roulements. Le palier fixe axialement est constitu par un roulement deux ranges de billes, srie32. Le palier mobile est un roulement rigide billes de la srie 62. Le diamtre nominal de l'arbre cen-trant les deux roulements vaut 30 mm. Cet arbre tourne la frquence de rotation n = 16 tours parseconde. La composante tangentielle de la force totale sur la dent vaut Ft = 480 N. Les deux autrescomposantes se trouvent par les expressions :- composante axiale : Fx = 7,92 Ft.- composante radiale : Fr = 2,92 Ft.Le diamtre primitif de la vis vaut dm1 = 63 mm.Dterminez :1. les ractions des appuis en supposant la raction radiale sur le palier fixe, la force tant placeexactement au milieu du roulement.2. les efforts dans la section m - m.3. les contraintes simples dans cette mme section.4. les champs de tolrance adopter pour monter les deux roulements sur l'arbre et dans les loge-ments.5. la dure de vie avant fatigue L10 de ces deux roulements.6. la dure de vie corrige selon SKF si l'huile utilise est ISO VG 100 45C.2.90 La roue dente d'un rducteur de vitesse est monte sur deux roulements rotule sur rou-leaux, diamtre nominal 120 mm, type 23124. La direction de la charge peut tre selon deux direc-tions du fait de l'inversion de marche possible. Le choix des tolrances sont :arbre : n6 logement : M7Il faut compter avec une diffrence de temprature de 10 K entre les deux bagues.Vrifiez la valeur du jeu radial en admettant :1. froid, les cotes relles situes au milieu des champs de tolrance,2. froid, les cotes relles situes 1/3 des champs de tolrance.3. chaud, les cotes relles situes au milieu des champs de tolrance,4. chaud, les cotes relles situes 1/3 des champs de tolrance.5. Faut-il utiliser un roulement avec jeu diffrent du jeu normal ? ( justifiez votre rponse ).2.91 Un roulement rouleaux cylindriques, diamtre nominal 40 mm, type NU 208, supporte unecharge radiale valant 0,3 C . En service, la charge est tournante sur la bague extrieure et fixe sur labague intrieure. La diffrence de temprature entre les bagues intrieure et extrieure est estime 8 K.Dterminez :1. les champs de tolrance prvoir pour l'arbre et le logement,2. le jeu radial rsiduel compte tenu des valeurs adoptes.2.92 Un roulement billes gorges profondes 6310 est mont sur l'arbre portant les roues dentesdans une bote de vitesses d'un vhicule routier. Comme la charge sur les roues est variable, lescomposantes radiale et axiale sur le roulement prennent les valeurs suivantes :Condition de charge 1 2 3Pourcentage 15% 35% 50%Frquence de rotation 8 14 20 tours/secondeComposante radiale 11 500 8 000 5 000 NComposante axiale 5 000 3 500 2 200 NDterminez :1. les charges quivalentes pour chaque condition de charge.2. la charge de calcul.- Exercices E.M. 91 -3. la dure de vie en heures selon ISO : dure exige L10 = 12 000 heures.4. la dure de vie corrige selon SKF pour une lubrification l'huile ISO VG 68 la temprature60C.2.93 Dans un rducteur engrenages, l'arbre d'entre est centr sur deux roulements galetsconiques selon figure. Les caractristiques des paliers sont :- palier B : charge radiale : FrB = 12 400 N, type 32 207.- palier C : charge radiale : FrC = 4 350 N, type 32 305.- charge axiale : Fx = 6 850 N sur la roue dente conique.- montage : en O.- frquence de rotation :14,5 tours par seconde.Dterminez :1. les charges de calcul sur les deux roulements.2. la dure de vie des roulements en heures selon ISO.3. la puissance perdue probable dans ces paliers.2.94 La broche d'un tour est centre dans un palier deux ranges de rouleaux cylindriques, dia-mtre de la broche 100 mm, modle NN 3020 K, diamtre extrieur 150 mm. La charge de base dy-namique de ce roulement vaut C = 132 kN. La conicit de l'alsage du roulement permet d'adapter lejeu interne du palier. La lubrification est assure par de l'huile ISO VG 46. La frquence de rotationpeut varier de 0,5 50 tours par seconde et la charge radiale sur le roulement de 3 10 kN.Condition de charge 1 2 3Pourcentage 20% 40% 50%Frquence de rotation 50 30 10 tours/secondeForce radiale sur le roulement 10 000 6 300 3 000 N.Dterminez :1. les charges quivalentes pour chaque condition de charge.2. la charge de calcul.3. la dure de vie en heures selon ISO.4. la dure de vie corrige selon SKF pour une huile ISO VG 46 50C.2.95 L'arbre d'une pompe centrifuge est centr et retenu axialement par une paire de roulements billes contact oblique une range, diamtre de l'arbre 60 mm, modle 7312 BECB selon catalogueSKF, disposition du montage en X. Les conditions d'utilisation sont :- raction radiale sur la paire : Fr = 6 500 N.- raction axiale sur la paire : Fa = 9 200 N.- lubrification : huile ISO VG 46 60C.- frquence de rotation : n = 24 tours par seconde.Dterminez :1. la charge quivalente et la dure de vie nominale du palier roulements.2. la dure de vie en heure selon ISO.3. la dure de vie corrige selon SKF.2.96 La roue d'un rducteur vis sans fin est centre sur deux paliers roulements :- palier B : roulement rotule sur deux ranges de rouleaux, type 22 209.- Exercices E.M. 92 -- palier C : roulement rouleaux cylindriques : NU 2210.L'arbre tourne la frquence de rotation de 2,5 tours par seconde. Les composantes rectangulairesde la force totale sur la denture valent :- composante tangentielle : Ft = 24 750 N.- composante radiale : Fr = 6 350 N.- composante axiale : Fx = 2 750 N.La position des centres des paliers roulements est indique sur la figure.Dterminez :1. les ractions des appuis FB et FC, le couple de sortie sur l'arbre.2. les diagrammes de tous les efforts dans l'arbre.3. la dure de vie avant fatigue des roulements.2.97 Un rducteur de vitesse engrenages doit transmettre une puissance P = 92 kW par l'inter-mdiaire d'engrenages roues coniques et cylindriques. L'tude porte sur l'arbre intermdiaire com-prenant une roue conique et une roue cylindrique. La frquence de rotation de cet arbre est n = 10,8tours par seconde.L'arbre est centr dans deux roulements galets coniques de modle identique : diamtre d'arbre 55mm, type 31311. La disposition adopte est en X et la distance entre les appuis des bagues intrieu-res des roulements est 225 mm. Les forces appliques valent :- Roue conique menante sur cet arbre :- composante tangentielle : Ft2 place sur le diamtre moyen dm2 = 215 mm.- composante radiale : Fr2 = 0,185 . Ft2.- composante axiale : Fx2 = 0,358 . Ft2.- Roue cylindrique mene denture droite :- composante tangentielle : Ft3 place sur un diamtre primitif d3 = 105 mm.- composante radiale : Fr3 = 0,376 Ft3.La lubrification est assure par un bain d'huile ISO VG 68 la temprature de 60C.Dterminez :1. la position des appuis de palier compte tenu de la construction interne des roulements galetsconiques et les composantes de forces sur les deux roues dentes.2. les ractions d'appui en B et C.3. les charges introduire dans le calcul des roulements.4. la dure de vie avant fatigue des deux roulements.5. la dure de vie corrige selon SKF.2.98 Sous l'effet de charges radiale ou axiale, les roulements se dforment et les arbres modifientainsi leur position dans les appuis. L'exercice 2.33 recherche la dformation d'un arbre de rducteursous l'effet d'une force spatiale applique sur une roue dente et l'exercice 2.82 contrle les paliers roulement de ce mme arbre. partir des informations figurant dans le cours au tableau du cours, dterminez :1. les caractristiques internes des deux roulements galets coniques.2. la dformation radiale du palier B au diamtre 55 mm.3. la dformation radiale du palier C au diamtre 60 mm.- Exercices E.M. 93 -2.99 Un arbre intermdiaire de rducteur roues dentes est centr dans deux paliers roule-ments billes contact oblique. L'angle de contact est 40. La frquence de rotation de cet arbre estn = 18,5 tours par seconde. Les efforts appliqus sur les roues sont :- roue 2 : composante tangentielle : Ft2 = 4 200 N au diamtre d2 = 240 mm.composante radiale : Fr2 = 1 600 N.composante axiale : Fx2 = 1 250 N.- pignon 3 : composante tangentielle : Ft3 = ???? N au diamtre d3 = 145 mm.composante radiale : Fr3 = 0,32 Ft3.La position des roues et des appuis B, C est reprsente sur la figure. La distance entre appui cor-respond celle des milieux des roulements. Les roulements sont monts dans la disposition en O.Les roulements adopts sont :- palier B : roulement 7310BE.- palier C : roulement 7312BE.Dterminez :1. la distance entre appuis intervenant dans le calcul des ractions, la puissance transmise.2. les composantes rectangulaires des ractions d'appui.3. les charges quivalentes pour les deux roulements.4. la dure de vie avant fatigue selon ISO.5. la dure de vie corrige selon SKF si l'huile utilise est ISO VG 100 60C.2.100 Le centrage d'une toupie de gyroscope s'effectue sur deux roulements miniatures RMB, mo-dle RA prcontraints, formant une paire duplex dos dos. Les charges appliques sont :- composante radiale : Fr = 6 N.- composante axiale : Fa = 18 N.- frquence de rotation : n = 400 tours par seconde.- dure de vie souhaite : L10 = 5000 heures.Dterminez :1. la prcontrainte prvoir.Selon catalogue RMB, pour un montage dos dos ou face face avec prcontrainte, la chargeaxiale effective se calcule par : Fa = 0,8 (Fap + Fa1) o Fap est la prcontrainte et Fa1 la chargeaxiale sur la paire de roulements..Le choix de la prcontrainte doit viter la dcharge d'un des roulements : Fap 0,35 Fa1.2. le choix du roulement dans la srie des roulements obliques dmontables. Cette srie comprenddes roulements pour des diamtres de 2 12 mm et des capacits de charge de 147 1786 N.2.101 Un roulement miniature RMB une range de billes en acier inoxydable, modle R 3080X,est sollicit par les conditions de charge suivantes :- composante radiale : Fr = 9,8 N.- composante axiale : Fa = 5,3 N.- frquence de rotation : n = 150 tours par seconde.Les dimensions gomtriques du roulement sont : d = 3 mm, D = 8 mm, B = 3 mm, 7 billes 1,45mm, capacit de charge C = 261 N, C0 = 100 N.- Exercices E.M. 94 -La recherche de la charge quivalente passe par la dtermination du produit : z.Dw2 et des coefficientsX et Y (consulter le catalogue RMB).Dterminez :1. la dure de vie de ce roulement.2. la dformation radiale de ce roulement sous une charge radiale pure Fr = 50 N ?2.102 Un petit chariot porte-pice est centr sur un double guidage linaire constitu par quatredouilles billes fermes et deux axes cylindriques. Les axes, diamtre 20 mm, longueur 500 mm, sontencastrs aux deux extrmits afin d'en augmenter la rigidit. La distance entre les axes vaut 160mm. Le mouvement de va et vient de 235 mm, raison de 20 courses par minute, est command parun vrin pneumatique. La masse propre du systme vaut 16 kg. Ce mcanisme est sollicit par unecharge reprsent sur la figure par une force concentre verticale F = 400 N. Cette force agitseulement dans le mouvement d'aller. Les charges de base des douilles billes INA, type gnral KB2045, sont :- charge de base dynamique : C = 1 360 N.- charge de base statique : C0 = 1 230 N.Dterminez :1. la rpartition des charges sur les douilles billes.2. la dure nominale de chaque douille selon la relation du cours.3. la dformation des axes sous la charge lorsque le chariot se trouve exactement mi distance desappuis.4. la rigidit de cet ensemble si la courbe de rigidit est dfinie par les points :F/C0 = 0,1 0,2 04 0,6d en mm 2,5 5,5 8,5 12 (voir la figure dans le catalogue)2.103 Un petit chariot mont dans une machine automatique est centr sur un double guidage li-naire constitu par quatre douilles billes ouvertes et deux axes cylindriques. Les axes, diamtre 25mm, longueur 600 mm, sont soutenus par des rails supports selon figure. La distance entre les axesvaut 200 mm. Le mouvement de va et vient de 280 mm, raison de 25 courses par minute, est com-mand par une vis bille place au mme niveau que les axes. La masse propre du systme vaut 32kg. Ce mcanisme est sollicit par une charge oblique reprsente par ses trois composantes sur lafigure :- composante axiale : Fx = 1 400 N.- composante perpendiculaire : Fy = 450 N.- composante verticale : Fz = 650 N.Les charges de base des douilles billes INA, type gnral KBO 2558, sont :- charge de base dynamique : C = 2 480 N.- charge de base statique : C0 = 2 330 N.Dterminez :1. la rpartition des charges sur les douilles billes.2. la dure nominale de chaque douille selon la relation du cours.3. la dure de vie corrige en tenant compte des divers facteurs proposs par le fabricant.4. la rigidit de cet ensemble si la courbe de rigidit est dfinie par les points :F/C0 = 0,1 0,2 04 0,6d en mm 4 7 11 14 (voir la figure dans le catalogue)- Exercices E.M. 95 -2.104 Un chariot de machine-outil, quip de patins recirculation de rouleaux, est sollicit par lesefforts suivants :- composante sur le patin les plus sollicit : Fpatin = 20 000 N.- prcharge adopte : FV = 10 000 N.- course de la table : x = 800 mm.- frquence de va-et-vient : n = 10 courses par minute.- montage des patins : en opposition, voir la figure du cours.Ce chariot est mont sur des patins rouleaux INA, modle RUS 26 126. La capacit de charge de cepatin est :- charge dynamique de base : C = 122 000 N.- charge statique de base : C0 = 103 000 N.Selon catalogue, la courbe de rigidit pour ce patin est dfinie par les points suivants :F 9,5 26 43 60 79 kNd = 10 20 30 40 50 mm.Dterminez :1. le diagramme de prcharge du guidage2. la distance admissible et le nombre d'heures de service.3. la rigidit du guidage.4. la scurit statique.5. la pression superficielle sur 8 rouleaux porteurs, Lw = 14 mm, selon figure du catalogue.2.105 Un chariot de machine-outil est mont sur un guidage compos de deux glissires en v.Ces glissires comporte des rails de guidage, positions 1, 3, 4 et des cages aiguilles INA-HYDRELde type HW, position 2. La prcision de rglage doit atteindre 0,5 mm. La prcharge est assure pardes lardons afin d'obtenir une rigidit suffisante. Les caractristiques imposes sont :- charge de travail : F = 12 000 N.- course : x = 160 mm.- nombre d'oscillations : n = 20 par minutes.- type de cages aiguilles : INA HW 20, longueur LK = 360 mm.- capacit de base pour 10 aiguilles : C = 25 500 N, C0 = 73 000 N.- longueur de contact : Lw = 9,8 mm.Dterminez :1. le nombre d'lments roulants par range.2. les capacits de charge effectives et la charge sur les ranges.3. la dure de vie en heures.4. la dformation lastique et la rigidit du guidage dans le sens de la charge :Selon catalogue INA, la dformation lastique d'un patin aiguilles se trouve par :d = K (F/z) 0,838/Lw0,605, en mm,avec : K = 0,092 pour charge symtrique sur cages en querre.K = 0,087 pour charge surr une range d'aiguilles.F la force et z le nombre d'lments roulants.La rigidit k est donnes par la formule :k = (1/K) . F0,162 . z0,838 . Lw0,605 en N/mm.- Exercices E.M. 96 -- Exercices E.M. 97 -Volume 3Organes de transmission indirecteCHAPITRES 18 et 19 : GOMTRIE DES DENTURES DROITES3.1 Construire graphiquement, l'chelle 10 : 1, le profil d'une denture en dveloppante de cercledont les caractristiques sont :- nombre de dents : 11 dents,- module : 3 mm,- profil B selon ISO / SN 215 520,- nombre de dents : dessin de 2 dents un profil complet de la dent + deux entredents,- coefficient de dport : x = 0.Dterminez analytiquement les paisseurs curvilignes sur les cercles de base, primitif et de tte. Quelest l'angle de pression de tte ? Le profil est-il entaill par linterfrence de loutil de taillage ?3.2 Construire graphiquement, l'chelle 10 : 1, le profil d'une denture en dveloppante de cercledont les caractristiques sont :- nombre de dents : 11 dents,- module : 3 mm,- profil A selon ISO / SN 215 520,- nombre de dents : dessin de 2 dents un profil complet de la dent + deux entredents,- coefficient de dport : x = 0,5.Dterminez analytiquement les paisseurs curvilignes sur les cercles de base, primitif et de tte. Quelest l'angle de pression de tte ? Le profil est-il entaill par linterfrence de loutil de taillage ?3.3 Construire graphiquement, l'chelle 10 : 1, le profil en dveloppante de cercle des dentsd'un engrenage cylindrique droit dont les caractristiques sont :- nombre de dents : z1 = 12, z2 = 29,- module nominal : 3,5 mm,- profil A selon ISO / SN 215 520,. nombre de dents sur le dessin : pignon : 2 dents un profil complet + deux entredents,roue : 2 dents de chaque ct de la dent du pignon,- coefficients de dport : x = 0.Dterminez analytiquement les paisseurs curvilignes sur les cercles de base, primitif et de tte pourles deux dentures. Le profil est-il entaill par linterfrence de loutil de taillage ?Su oui, reprez le dbut de l'interfrence sur la denture du pignon et vrifiez la position au moyen durapport de conduite partiel donn dans le cours.3.4 Une roue dente comportant 17 dents est taille au moyen d'un outil conforme au profil derfrence C de la norme SN 215 520.Dterminez analytiquement :1. le coefficient de dport prvoir pour obtenir une denture en pointe sur le cercle de tte,2. le coefficient de dport prvoir pour obtenir une denture dont la longueur curviligne de tte vaut0,2 fois le module,2. le coefficient de dport prvoir pour obtenir une denture dont la longueur curviligne de tte vaut0,4 fois le module,3.5 Pour quel nombre de dents d'une denture droite, non dporte, taille au moyen du profil B, lecercle de pied correspond-il exactement au cercle de base de la dveloppante ?Calculez pour cette denture relle, le nombre de dents tant arrondi un nombre entier, l'paisseurcurviligne de tte et la cote de contrle si le module adopt est unitaire.3.6 Une transmission par leviers se compose de deux pices selon figure. Dans la position repr-sente, la vitesse circonfrentielle du point de contact P, appartenant au levier infrieur, vaut 1,6 m/s.Les dimensions gomtriques sont donnes en mm.- Exercices E.M. 98 -Dterminez :1 les vitesses angulaires du levier 1 et du levier 2 dans cette position,2. la vitesse de glissement au point de l'tude,3. les rapports de transmission entre les deux leviers si la frquence de rotation du levier 1 resteconstante sur les 10 suivants de rotation. Reprsenter graphiquement ces valeurs.3.7 Dans le taillage d'une roue 19 dents, on dsire utiliser un profil de rfrence hors normedont les caractristiques sont : module m = 7,5 mm, angle de pression p = 17,5, saillie de la cr-maillre haP* = 1,25, rayon de raccordement de tte aP* = 0,3. Le coefficient de dport adopt lors dutaillage est : x = 0,5 m.Dterminez pour cette denture droite :1. la hauteur rectiligne ka selon figure du cours,2. le nombre de dents limite l'interfrence sans dport de denture pour le profil de rfrence intro-duit dans la dfinition de la denture,3. pour la denture de la roue 19 dents avec un coefficient de dport de 0,5 :- l'angle de pression (d'incidence) au dbut de la dveloppante et sur le cercle de tte,- la longueur de l'arc en dveloppante,- le rapport de conduite partiel 1, le diamtre de tte n'tant pas corrig.3.8 Un engrenage cylindrique extrieur droit, non dport, doit tre conu dans les conditions sui-vantes :- entraxe a = 200 mm,- rapport de transmission u 3,78,- module m = 4 mm.Dterminez :1. le pas primitif, les nombres de dents du pignon et de la roue,2. les diamtres primitifs, de pied et de tte des deux roues,3. les diamtres de base pour une denture en dveloppante taille 20,4. les angles de pression sur les diamtres de tte.3.9 Un engrenage cylindrique intrieur droit, non dport, doit tre conu dans les conditions sui-vantes :- entraxe a = 182 mm,- rapport de transmission u 5,23,- module m = 3,5 mm.Dterminez :1. le pas primitif, les nombres de dents du pignon et de la couronne,2. les diamtres primitifs, de pied et de tte des deux roues,3. les diamtres de base pour une denture en dveloppante taille 20,4. les angles de pression sur les diamtres de tte.- Exercices E.M. 99 -3.10 On dsire tudier les possibilits d'implantation d'un rducteur de vitesse se composant detrois engrenages extrieurs droit, sans dport, monts en srie. Les premires caractristiques fon-damentales retenues sont (voir la reprsentation schmatique sur la figure) :a. Engrenage 1 :- pignon z1 = 19 dents, module m = 3 mm, rapport d'engrenage u 4,6 ;b. Engrenage 2 :- pignon z3 = 17 dents, module m = 4 mm, rapport d'engrenage u 3,45 ;c. Engrenage 3 :- pignon z5 = 15 dents, module m = 5 mm, rapport d'engrenage u 2,75.Dterminez pour le rducteur complet :1. les nombres de dents de chacune des roues,2. les rapports d'engrenage et le rapport de transmission,3. sous forme d'un tableau :- tous les diamtres des roues : primitif, de tte, de pied, de base,- les angles de pression de tte, l'paisseur curviligne de tte.3.11 Un engrenage cylindrique droit se compose d'un pignon 15 dents et d'une roue 53 dentstaills au module m = 4,25 mm, profil D selon norme SN 215 520. L'entraxe de fonctionnement prvuvaut a' = 146 mm.Dterminez :1. l'entraxe nominal, l'angle de pression de fonctionnement, la somme des coefficients de dport,2. la rpartition des coefficients de dport sur les deux roues en acier de cmentation,3. les diamtres : primitif, primitif de fonctionnement, de base, de tte, de pied,4. les longueurs d'approche et de retraite, les cotes de contrle,5. le rapport de conduite.3.12 Pour la transmission d'un mouvement relativement lent entre deux arbres, on prvoit un en-grenage denture droite dont les caractristiques retenues sont :- nombre de dents : pignon z1 = 13, roue z2 = 31,- module nominal : m = 2,5 mm, profil de rfrence : B selon SN 215 520,- entraxe de fonctionnement = entraxe nominal.La denture est dporte de telle sorte que le pignon ne prsente plus d'interfrence de profil sur le pi-gnon.Dterminez :1. les coefficients de dport sur les deux roues,2. les dimensions gomtriques des dents, soit :- les diamtres primitifs nominaux et de fonctionnement, de base, de tte, de pied,- les angles de pression de tte, les longueurs curvilignes primitive et de tte,- les longueurs partielles et totale de conduite,- le rapport de conduite.3.13 Un engrenage cylindrique denture droite est taill au module 3,5 mm, les nombres de dentstant : pignon 16 dents, roue 79 dents. L'entraxe de fonctionnement vaut 170 mm. L'angle de pressionde gnration vaut 20, profil de rfrence C. Le coefficient de dport du pignon est approximative-ment 1,5 fois celui de la roue, sa valeur tant arrondie 0,1 prs.Dterminez :1. le rapport d'engrenage, l'entraxe nominal, le pas primitif et de base,2. la somme des coefficients de dport, la rpartition des coefficients entre les deux roues,3. les diamtres : primitifs, primitifs de fonctionnement, de base, de pied et de tte, ces dernierstant arrondis 0,1 mm prs,4. les angles de pression de tte, les rapports de conduite partiels et total,5. les cotes de contrle pour k1 = 3 et k2 = 10,6. les paisseurs curvilignes de la denture :- sur les cercles primitifs nominaux,- sur les cercles primitifs de fonctionnement,- sur les cercles de tte,7. les rayons de courbure des profils de dent et rduit des deux dentures sur la ligne des centres.- Exercices E.M. 100 -3.14 Un engrenage roues cylindriques droites se compose d'un pignon 14 dents, d'une roue 61 dents, taills au module m = 2,25 mm. Les coefficients de dport adopts pour ces deux roues sont: x1 = 0,38 , x2 = 0,12 .Dterminez :1. les entraxes nominal et de fonctionnement, l'angle de pression de fonctionnement,2. les diamtres primitif, primitif de fonctionnement, de base, de tte et de pied,3. les longueurs de conduite et les rapports de conduite partiels et total,4. la vitesse de glissement des profils sur les deux cercles de tte sachant que le pignon tourne lafrquence de 50 tours par seconde.3.15 Dans une transmission deux engrenages cylindriques denture droite placs en parallleentre les mmes arbre menant et men, on prvoit un module m = 3 mm et un profil C. Les caract-ristiques de ces deux mcanismes, monts dans une bote de vitesse de machine-outil, sont :a. Engrenage 1 :Nombre de dents : pignon z1 = 18 roue z2 = 51,mme entraxe que l'engrenage 2 au moyen de dport de denture,coefficients de dport : valeur proportionnelle linverse du nombre de dents,b. Engrenage 2 :Nombre de dents : pignon z3 = 27 roue z4 = 43.denture non dporte.Dterminez :1. l'entraxe de ces deux engrenages, les angles de pression de fonctionnement,2. les diamtres primitif, primitif de fonctionnement, de tte, de base et de pied,3. les longueurs curvilignes primitives et de tte,4. les longueurs de conduite et les rapports de conduite.3.16 Un rducteur plantaire se compose de trois sortes de roues et forme deux engrenages, lepremier extrieur, le second intrieur.- un pignon solaire avec z1 = 17 dents fix sur l'arbre menant,- trois roues plantaires avec z2 = 37 dents,- une couronne fixe avec z3 = 91 dents, coaxiale avec l'axe de l'arbre menant.Toutes les roues sont denture droite tailles au module m = 4 mm, sans dport. Le pignon solaireest l'lment moteur. Les trois roues plantaires, centres sur des tourillons sans frottement, sont so-lidaires de l'arbre men, voir sur la figure la reprsentation schmatique de la chane cinmatique d'unrducteur de ce type.Dterminez :1. les entraxes des deux engrenages, les rapports d'engrenage,2. le rapport de transmission totale entre l'arbre menant et l'arbre men,3. les diamtres primitif, de base, de tte, de pied de toutes les roues,4. les longueurs curvilignes sur les cercles de tte,5. les longueurs de conduite et les rapports de conduite correspondants.Remarque : contrlez si le profil de la roue plantaire interfre avec le profil de la couronne.- Exercices E.M. 101 -3.17 Le plantaire prcdent est taill sans dport de denture. On dsire amliorer la capacit por-tante de ce mcanisme en prvoyant un dport sur toutes les roues. Ce dport reprsente 0,5 fois lemodule nominal.Les nombres de dents tant inchangs, dterminez :1. les entraxes des deux engrenages, les rapports d'engrenage,2. le rapport de transmission totale entre l'arbre menant et l'arbre men,3. les diamtres primitif, de base, de tte, de pied de toutes les roues,4. les longueurs curvilignes sur les cercles de tte,5. les longueurs de conduite et les rapports de conduite correspondants.Remarque : contrlez si le profil de la roue plantaire interfre avec le profil de la couronne :si oui, corrigez en consquence le diamtre de tte de la couronne.3.18 Si la fonction involute alpha se calcule trs facilement partir de l'angle connu, la fonction in-verse permettant de retrouver l'angle de pression, si la valeur numrique de cette fonction est initiale-ment donne, ncessite un calcul itratif. Le cours donne l'algorithme de la mthode bas sur undveloppement en srie de la fonction trigonomtrique tangente et sur la mthode d'approximation deNewton. Programmez sur votre calculette ces oprations et vrifiez les rsultats pour des anglescompris entre 10 et 60. Quelles sont les erreurs relatives commises sur la fonction inverse.Remarque : ces erreurs dpendent aussi du nombre de chiffres significatifs utilis par la calculette.3.19 La longueur d'action thorique d'un engrenage cylindrique droit est donne par les deux lon-gueurs composantes : CN1 = 50 mm, CN2 = 65 mm. Exprimez sous forme littrale, en adoptant unsystme de coordonnes dont l'origine est en C et la direction tangente aux deux cercles de base, lavaleur des rayons de courbure de chacune des dents et celle du rayon rduit. Reprsentez graphi-quement cette grandeur le long du tronon N1N2.3.20 La transformation d'un mouvement de rotation en un mouvement rectiligne s'effectue par unengrenage crmaillre. Les dimensions adoptes sont les suivantes :- pignon z1 = 12 dents,- module m = 6 mm,- coefficient de dport de telle sorte qu'il n'y ait srement pas d'interfrence au taillage ou l'engrnement,- profil de rfrence C,- crmaillre : largeur de la denture b = 50 mm.Dterminez :1. toutes les dimensions gomtriques du pignon,2. les conditions de fonctionnement : longueurs d'approche et de retraite, rapports de conduite,3. la variation du rayon de courbure rduit sur les dentures du point E0 au point E1.3.21 Pour transmettre une puissance de 12 000 kW la frquence de rotation d'entre de 25 tourspar seconde, on prvoit de concevoir un rducteur un tage roues cylindriques droites dont les ca-ractristiques sont :- pignon moteur : z1 = 21 dents, module m = 10 mm,- roue mene : z2 = 90 dents, largeur de la dent b = 250 mm.Cette denture est prvue avec un dport de profil, profil D, de telle sorte que l'entraxe de fonctionne-ment soit a' = a + m.Dterminez :1. l'angle de pression de fonctionnement, la rpartition des coefficients de dport de telle manireque les facteurs de forme YFa soient identiques pour les deux roues (voir le graphique du cours).2. toutes les dimensions diamtrales des deux roues,3. toutes les dimensions de la forme de dent : paisseurs et angles,4. les grandeurs de fonctionnement : longueurs de conduite, rapports de conduite,5. les facteurs de contrle et le glissement spcifique sur les cercles de tte,6. les vitesses composantes aux points E1 et E2 :vitesses relatives vr et vitesses d'entranement ve.- Exercices E.M. 102 -3.22 Un rducteur motoris doit transmettre une puissance nominale P = 25 kW la frquence derotation n = 47,8 tours par seconde. La frquence de sortie doit tre 12 tours par seconde obtenue parun engrenage droit. Le module adopt vaut m = 3 mm, le profil de rfrence selon norme SN 215 520est le profil B.Dterminez ou proposez :1. les nombres de dents pour le pignon et la roue,2. l'entraxe de fonctionnement, les coefficients de dport,3. toutes les dimensions diamtrales,4. toutes les grandeurs de fonctionnement.3.23 Un rducteur de vitesse deux tages doit pouvoir transmettre une puissance nominaled'environ 32 kW transmise depuis un moteur asynchrone aliment la frquence de 60 Hz. Le choixde la conception des dentures cylindriques dportes est le suivant :a. Engrenage du premier tage denture hlicodale :Nombre de dents : pignon z1 = 19, roue z2 = 66,module nominal : m = 3,5 mm, angle d'hlice = 12,5,b. Engrenage du second tage denture droite :Nombre de dents : pignon z3 = 17 roue z4 = 48,module nominal : m = 5 mm.Pour le second tage denture droite, dterminez sous forme d'un tableau de valeurs semblable celui du cours, toutes les grandeurs gomtriques si le dport adopt vaut 3,5 mm. Toutes les rouessont traites thermiquement et rectifies aprs traitement. Choisir le profil de rfrence adquat.3.24 Les anciennes roues dentes taient fabriques au moyen d'un outillage onreux donnantnaissance au profil cyclodal. Afin de faciliter la fabrication, le diamtre du cercle gnrateur intrieurtait choisi gal au rayon primitif de la roue. Le profil intrieur tait alors rectiligne et directionradiale. Dessinez l'chelle 5 : 1 , voir la figure correspondante dans le cours, un engrenage de cetype dont les caractristiques sont :- nombre de dents : pignon z1 = 6 dents roue z2 = 13 dents,- module de taillage : m = 4 mm.Calculez toutes les dimensions de cet engrenage et tablir un tableau de valeurs.3.25 Dterminez les dimensions gomtriques prvoir pour un engrenage crmaillre fu-seaux dans les conditions suivantes (voir la figure et les relations dans le cours) :- module environ 24 mm diamtre simple pour les fuseaux,- nombre de dents de la roue z1 = 16.Dessinez la vue de face de cette transmission.3.26 Afin d'viter l'interfrence et le calcul du dport de denture, certains fabricants de roues den-tes ont utilis pendant de nombreuses annes une denture en dveloppante de cercle taille sous unangle de 28 et avec un vide fond de dent de 1/6 du module. Etudiez le profil que vous proposeriezdans ces conditions soit :1. la forme exacte du profil : saillie, creux, arrondi de pied sur le profil de rfrence,2. le nombre de dents minimal la limite de l'interfrence,3. en arrondissant ce nombre de dents, l'paisseur curviligne sur le cercle de tte.Choisir un module unitaire.3.27 Un engrenage cylindrique denture hlicodale prsente les caractristiques suivantes :- nombre de dents : pignon z1 = 11 roue z2 = 29 ,- module rel : m = 6 mm profil de rfrence B,L'angle d'hlice = ? est choisir de telle manire qu'il n'y ait pas d'interfrence ni au taillage, ni l'engrnement, la denture n'tant pas dporte.Dterminez :1. l'angle d'hlice primitive, l'angle d'hlice de base,2. l'angle de pression apparent, l'entraxe nominal,3. les diamtres primitif, de tte, de pied et de base apparent,- Exercices E.M. 103 -4. les longueurs de conduite dans la section apparente, le rapport de conduite,5. la largeur de la denture de telle sorte que le rapport de recouvrement soit = 2 .3.28 Un engrenage cylindrique denture hlicodale doit possder les caractristiques gnralessuivantes :- nombre de dents : pignon z1 = 15 roue z2 = 59,- module rel : m = 4 mm, angle d'hlice primitive = 14.Dterminez :1. les pas primitifs, les angles de pression, l'entraxe nominal,2. les diamtres primitif, de base, de tte et de pied,3. le nombre de dents virtuel pour les deux roues,4. les longueurs de conduite apparente, la largeur de denture pour un rapport de recouvrement = 1.3.29 Un engrenage cylindrique denture hlicodale doit prsenter les caractristiques gnralessuivantes :- nombre de dents : pignon z1 = 16 roue z2 = 67,- module rel : m = 5 mm, angle d'hlice primitive = 12,5.Dport : approximativement 3 mm avec un entraxe de fonctionnement entier, exprim en mm.Dterminez :1. les pas primitifs, les angles de pression, les entraxes nominal et de fonctionnement,2. les nombres de dents virtuels,3. les coefficients de dport de telle sorte que les facteurs de forme YFa , figure du cours, soient peu prs identiques pour les deux roues,4. les diamtres primitif, primitif de fonctionnement, de base, de tte et de pied,5. la largeur minimale des roues pour obtenir = 1,6. les longueurs de conduite apparente, les divers rapports de conduite.3.30 Les normes allemandes DIN et les livres sur les lments de machines allemands calculentles longueurs de conduite dans la section apparente des dentures droites ou hlicodales au moyendu thorme de Pythagore. Dmontrez que les rapports de conduite partiels d'un engrenage droit roues cylindriques non dportes peuvent s'exprimer alors par les relations suivantes :. pour le pignon : 1 = 122 1212FHGIKJ rmzacos ,2. et pour la roue : 2 = 122 2222FHGIKJ rmzacos ,la somme donnant le rapport de conduite total. Donnez l'expression du rapport de conduite apparentd'un engrenage cylindrique extrieur denture hlicodal.3.31 L'engrenage de l'exercice 3.29, voir ci-dessus, avec z1 = 16 et z2 = 67 est complt par unecouronne dont l'axe de rotation concide exactement avec celui du pignon. Le contact des flancs a lieuentre la roue et la couronne.Dterminez :1. le coefficient de dport pour la couronne,2. le nombre de dents virtuel de la couronne,3. le diamtre primitif, primitif de fonctionnement, de base, de tte et de pied,4. les conditions d'engrnement entre la couronne et la roue. En cas d'interfrence, corrigez le dia-mtre de tte de la couronne,5. les longueurs de conduite apparente et les divers rapports de conduite.3.32 Dans l'exercice 3.23, le premier engrenage est prvu avec denture hlicodale dont les carac-tristiques sont :a. Engrenage du premier tage denture hlicodale :Nombre de dents : pignon z1 = 19, roue z2 = 66,- Exercices E.M. 104 -module nominal : m = 3,5 mm, angle d'hlice = 12,5.Cet engrenage est prvu avec un dport gal approximativement le module rel, l'entraxe tant unnombre de mm entier.Dterminez :1. l'entraxe nominal, l'entraxe de fonctionnement, les angles de pression correspondants,2. le dport de denture et les coefficients de dport de manire obtenir peu prs mme rsis-tance en flexion,3. les diamtres primitif, primitif de fonctionnement, de base, de tte et de pied,4. les conditions d'engrnement entre les deux roues aprs avoir adopt la largeur,5. les longueurs de conduite et les divers rapports de conduite.3.33 Un rducteur de vitesse se compose de deux arbres quips de roues cylindriques avec den-ture hlicodale en chevrons. Les grandeurs donnes primitivement sont :- nombre de dents : pignon z1 = 29 roue z2 = 124,- module rel : m = 6 mm, profil D angle d'hlice primitive = 22,5 ,- entraxe de fonctionnement : a' = 500 mm.- frquence de rotation du pignon moteur : n1 = 50 t/s.Dterminez :1. l'entraxe nominal, les angles de pression correspondants,2. le dport de denture et sa rpartition entre les deux roues,3. les diamtres primitif, primitif de fonctionnement, de base, de tte et de pied,4. les conditions d'engrnement entre les deux roues aprs avoir adopt une largeur de telle sorteque le rapport de recouvrement de chaque denture composante soit b = 1,5. les longueurs de conduite et les divers rapports de conduite.3.34 On dsire construire un engrenage parallle denture hlicodale dans les conditions suivan-tes :nombre de dents : pignon = 20 dents, roue = 73 dents,module : 6 mm, profil B selon SN 215520 angle d'hlice de 12,5entraxe de fonctionnement arrondi au 10 mm suprieur.Les coefficients de dport sont dans le rapport : x1 / x2 = 1,41 .Dterminez :1. l'entraxe nominal, l'angle d'hlice de fonctionnement, les coefficients de dport, les diamtres dette arrondis au dixime de mm infrieur,2. sous forme d'un tableau :- toutes les dimensions selon tableau du cours,- la largeur des roues, multiple de 10 mm,- toutes les grandeurs de conduites,- les paisseurs curvilignes dans la section apparente,- le glissement spcifique sur les diamtres de tte.3.35 Un rducteur de grandes dimensions et grande vitesse circonfrentielle doit possder les ca-ractristiques prliminaires suivantes :- nombre de dents : Pignon z1 = 31 Roue z2 = 190 ,- entraxe de fonctionnement : a' = 500 mm,- profil de rfrence : D selon SN 215 520,- angle d'hlice primitive : = entre 10 et 12,- largeur portante de la denture : b = 200 mm.Dterminez :1. le module rel prvoir,2. l'angle d'hlice primitive et la somme des coefficients de dport,3. la rpartition des coefficients de dport pour obtenir approximativement mme facteur de forme dedent selon figure du cours. Contrlez la position du point sur l'un des graphiques de la figure encalculant les grandeurs cu1 et cu2,4. toutes les dimensions diamtrales, le nombre de dents de contrle et la cote correspondante,5. toutes les grandeurs de conduite.- Exercices E.M. 105 -3.36 Le dplacement d'une table de raboteuse est assur par un mcanisme vis, filetage trap-zodal Tr 48 x 8, commande par un moteur lectrique et un rducteur de vitesse deux tages. Lafrquence de rotation du moteur est 23,8 tours par seconde. La masse de la table et de la pice usiner est mtot = 2 000 kg. L'effort de coupe sur le burin, suppos parallle au dplacement de la ta-ble, vaut Fburin = 5 000 N, voir figure.Recherche de la gomtrie du rducteur engrenageLes caractristiques adoptes pour les deux engrenages sont :a. Engrenage denture hlicodale non dporte du premier tagenombre de dents : pignon z1 = 19 roue z2 = 65module rel m = 2,5 mm profil de rfrence : B selon SNV 215 520angle d'hlice : trouver largeur telle que = 1.b. Engrenage denture droite non dporte du second tagenombre de dents : pignon z3 = 17 roue z4 = 58module rel m = 3 mm profil de rfrence : B selon SNV 215 520largeur portante de la denture b = 35 mm.Dterminer :1. Les entraxes des deux engrenages avec la condition a12 = a34,2. l'angle d'hlice prvoir sur le premier engrenage,3. toutes les dimensions gomtriques du premier engrenage,4. toutes les dimensions gomtriques du second engrenage.5. toutes les grandeurs de fonctionnement des deux engrenages.3.37 Une bote deux vitesses se compose de deux engrenages cylindriques denture hlicodaledporte. Les caractristiques principales sont :- module rel : m = 4 mm profil D selon SN 215 520, angle d'hlice primitive = 15.- rapport d'engrenage souhait : i1 = z2/z1 1,6 i2 = z4/z3 2,5.- entraxe de fonctionnement pour les deux engrenages : a' = 160 mm.Dterminez :1. les nombres de dents de chacune des quatre roues,2. la somme des coefficients de dport, la rpartition de ces coefficients sur chacune des roues,3. toutes les grandeurs gomtriques des deux engrenages,4. toutes les grandeurs de fonctionnement aprs avoir adopt une largeur de roue telle que le rap-port de recouvrement soit gal un.- Exercices E.M. 106 -3.38 La transmission d'une puissance nominale de 25 kW la frquence de rotation de 19,4 tourspar seconde s'effectue au moyen d'un rducteur engrenage intrieur reprsent sur la figure. Lescaractristiques adoptes sont :- nombre de dents : pignon z1 = 19 roue z2 = 71- module nominal : m = 4 mm profil C angle d'hlice primitive : 14,- somme des coefficients de dport : x1 + x3 0 , avec un entraxe entier.- coefficient de dport sur le pignon : x1 = environ 0,5 .- largeur de la denture telle que le rapport de recouvrement soit gal un.Dterminez :1. les coefficients de dport pour les deux roues, l'angle d'hlice de fonctionnement,2. les diamtres primitif, primitif de fonctionnement, de tte, de pied et de base,3. les rapports de conduite et de recouvrement,4. les conditions de glissement des profils.3.39 Un rducteur engrenages roues cylindriques, denture hlicodale, se compose d'un en-grenage extrieur et d'un engrenage intrieur monts en srie. Les caractristiques de ces deux en-grenages sont :- nombre de dents : pignon z1 = 17 roue z2 = 59 couronne z3 = ?- module nominal : m = 4,5 mm profil B angle d'hlice primitive : = 12,5,- entraxes des deux engrenages : a'12 = a'23 = 178 mm- axes du pignon et de la couronne : dans le prolongement l'un de l'autre.- largeur des roues : rapport de recouvrement = 1 .Dterminez :1. les angles d'hlice de base et de fonctionnement,2. les coefficients de dport pour les trois roues,3. les diamtres primitif, primitif de fonctionnement, de tte, de pied et de base,4. les rapports de conduite et de recouvrement,5. les conditions de glissement sur les profils.3.40 La conception astucieuse d'un ensemble de vrins hydrauliques comprend un systme de pis-tons et cylindres quips de rampes hlicodales afin d'obtenir sur la sortie, suivant les conditionsd'alimentation en huile sous pression, soit une translation pure, soit une rotation pure, soit une combi-naison de translation et de rotation. Sans entrer dans les dtails sur toutes les pices de ces mca-nismes, la rotation des pistons est obtenue par des dentures hlicodales extrieure et intrieure grand angle d'hlice et mme nombre de dents. La figure ci-aprs reprsente une coupe dans le pis-ton principal double denture hlicodale et, en vue clate des pices s'engrenant avec lui. Les di-mensions principales du piston, du cylindre et de la tige de commande sont donnes.Les caractristiques des "roues dentes" sont :a. "Engrenage" mont entre la tige et dans le piston :- nombre de dents z1 = 9 et z2 = -9 module rel m = 3 mm- angle de l'hlice primitive = 43,3b. "Engrenage" mont entre le cylindre et le piston :- Exercices E.M. 107 -- nombre de dents z3 = 14 et z4 = -14 module rel m = 2,5 mm- angle de l'hlice primitive = 58,8Dterminez :1. toutes les dimensions gomtriques de l'engrenage a ,2. toutes les dimensions gomtriques de l'engrenage b ,3. la tige de piston, quipe de la denture extrieure z1 = 9, tant sollicite par une pousse axialeFa1, le coefficient de frottement entre les flancs tant 4 %, calculez le couple produit pendant ledplacement axial de la tige en fonction de la pousse et des grandeurs gomtriques, le pistonrestant immobile,4. le piston, quip de la denture extrieure z3 = 14, tant sollicit par une pousse axiale Fa3, la tigede piston restant solidaire du piston, le coefficient de frottement tant 4 %, calculez le coupleproduit pendant le dplacement axial du piston, en fonction de la pousse et des grandeurs go-mtriques, dans la denture du cylindre.5. le rendement des mcanismes aux points 3 et 4.CHAPITRE 20 : GOMTRIE DES ENGRENAGES ROUESCONIQUES3.41 Un engrenage conique droit se compose de deux roues coniques denture droite non corri-ge ou non dporte dont les caractristiques sont :- nombre de dents : pignon z1 = 15 roue z2 = 43- module nominal dfini sur les cercles primitifs extrieurs : m = 4 mm- Angle des axes : = 90Dterminez :1. les angles des cnes primitifs,2. les diamtres extrieurs primitifs, de tte et de pied,3. les angles des cnes de tte et de pied,4. la largeur de la denture,5. les autres dimensions gomtriques des deux roues.3.42 Un engrenage conique denture droite se compose de deux roues identiques se coupantsous un angle de 75. Les caractristiques adoptes sont :- nombre de dents : pignon et roue z1 = z2 = 19 dents,- module nominal dfini sur les cercles primitifs extrieurs : m = 3 mm ,- vide fond de dent : c = 0,2 m .Dterminez :1. les angles de cnes primitifs, de tte et de pied,2. les diamtres extrieurs primitif, de tte, de pied,3. la largeur de la denture,4. les cotes extrieures de fabrication,- Exercices E.M. 108 -5. les autres dimensions gomtriques des deux roues.6. Est-il possible de prvoir une correction de denture dans cet engrenage ?Justifiez votre rponse et proposez une solution acceptable.3.43 L'angle des axes des engrenages coniques peut varier thoriquement de 0, l'engrenage tantcylindrique extrieur, 180, l'engrenage tant cylindrique intrieur. Pour un engrenage conique droit,sans correction ni dport, dterminez toutes les dimensions gomtriques figurant sur le tableau ducours pour des angles :1. Engrenage axes sous = 60,2. Engrenage axes sous = 90,3. Engrenage axes sous = 145,4. Engrenage axes sous = tel que l'angle 2 = 90.Les dimensions fondamentales imposes toutes les roues sont :- nombre de dents : pignon z1 = 17 roue z2 = 49- module nominal dfini sur les cercles primitifs extrieurs : m = 3,5 mm- vide fond de dent : c = 0,2 m3.44 L'exercice 3.41 comprend un engrenage axes concourants, denture non dporte et noncorrige. Les caractristiques retenues taient :- nombre de dents : pignon z1 = 15 roue z2 = 43- module nominal dfini sur les cercles primitifs extrieurs : m = 4 mm- Angle des axes : = 90.Cet engrenage est modifi en un engrenage denture incline, l'angle d'inclinaison extrieur adopttant e = 20. Les dimensions extrieures ne doivent pas tre plus grandes que celles de l'engrenagenon dport.Dterminez :1. les divers coefficients de dport et de correction pour cet engrenage,2. toutes les dimensions gomtriques de la denture,3. les rapports de conduite partiels et total,4. les amliorations apportes l'engrenage par ces nouvelles dimensions.- Exercices E.M. 109 -3.45 Un rducteur de vitesse comprend deux engrenages, l'axe de l'arbre moteur d'entre tantperpendiculaire aux deux autres axes. Les caractristiques retenues pour le premier engrenage coni-que denture droite dporte sont :- nombre de dents : pignon z1 = 17 roue z2 = 71- angle des axes : = 90 module nominal extrieur : m = 3 mm,- vide fond de dent : c = 1/6 m.Le second engrenage est roues cylindriques.Dterminez :1. les coefficients de dport et de correction donner cet engrenage,2. les angles des cnes primitif, de tte et de pied,3. tous les diamtres de fabrication,4. toutes les grandeurs de fonctionnement.3.46 Un engrenage conique denture incline prsente les proprits gomtriques suivantes :- nombre de dents : pignon z1 = 19 roue z2 = 37- angle des axes : = 100 module rel central : mnm = 3 mm,- inclinaison sur le diamtre moyen : m = 30,- vide fond de dent : cm = 1/6 mnm.- largeur de la denture : b = 22 mm.Dterminez :1. les angles des cnes primitifs, la longueur de la gnratrice moyenne,2. les grandeurs sur les diamtres extrieurs,3. les coefficients de dport et de correction donner cet engrenage,4. les divers diamtres de fabrication,5. les grandeurs de fonctionnement.3.47 Pour entraner les roues du chariot d'un pont roulant, on prvoit de monter un rducteur de vi-tesse dont le premier tage est constitu par un engrenage roues coniques, denture incline dpor-te. Les caractristiques retenues sont :- nombre de dents : pignon z1 = 21 roue z2 = 59- module apparent : m = 8 mm,- inclinaison de la denture : e = 20, angle des axes = 90.Dterminez :1. les coefficients de dport,2. les angles des cnes primitifs, de tte et de pied,3. les diamtres primitifs, de tte et de pied sur les deux roues,4. la largeur de la denture et les cotes de fabrication,5. les grandeurs de fonctionnement.3.48 Un rducteur engrenages se compose de deux engrenages, le premier tage roues coni-ques, le second tage roues cylindriques. Les caractristiques de ces deux mcanismes sont :a. Engrenage conique denture incline et dporte :pignon z1 = 15 dents roue z2 = 47 dents angle des axes = 90denture incline au module m = 4 mm, largeur de la denture b = 28 mm,inclinaison e = 22,5, vide fond de dent : c = 0,2 m.b. Engrenage cylindrique denture hlicodale avec dport :rapport d'engrenage u = 3,5625 somme des nombres de dents z3 + z4 = 73largeur des roues b = 60 mm. module rel : mn = 5 mm,La frquence de rotation sur l'arbre moteur est 24 tours par seconde.Dterminez :1. pour l'engrenage conique :1.1 les angles des cnes primitifs,1.2 les coefficients de dport et les corrections adopter,1.3 les angles des cnes de tte et de pied,1.4 les diamtres primitif, de tte et de pied,1.5 le nombre de dents de la roue plate zp, les nombres de dents virtuels,- Exercices E.M. 110 -1.6 les diamtres primitifs moyens.2. pour l'engrenage cylindrique :2.1 les nombres de dents, les coefficients de dport si la somme des dport vaut 3,5 mm,2.2 l'angle de pression de fonctionnement, les angles de pression de tte,2.3 les diamtres primitifs, primitifs de fonctionnement, de tte, de base et de pied,2.4 les longueurs de conduite et les rapports de conduite,3. les rapports d'engrenage et de transmission, les frquences de rotation des arbres.3.49 Les engrenages coniques de diffrentiel se fabriquent seulement avec des dentures droites.Les nombres de dents sont trs faibles. Ces dentures sont fabriques avec une correction permettantd'viter l'interfrence de pied de dent et d'amliorer les proprits de roulement. Le choix d'un anglede pression de gnration de 22,5 ou 25 permet normalement d'viter les dports de denture et sur-tout la modification de l'entraxe modification de l'angle des axes. Le tableau ci-aprs donne les cor-rections recommandes pour ce genre d'engrenages.Corrections d'engrenages coniques de diffrentiel avec = 90 et m = 1(selon G. Apitz : Engrenages denture droite et incline)z1 z2 Xh Xs K1 K2 z1 z2 Xh Xs K1 K2 7777777777777789101112131415161718192525252525252522.522.522.522.522.522.5-0.150.250.330.350.370.400.520.530.540.540.540.54-0.030.070.100.110.120.130.150.160.160.170.170.17-0.10-0.05------------0.10-0.05---------0.03-0.04-0.051.171.231.281.281.271.271.271.281.281.281.251.251.249999999999910109101112131415161718191011252525252522.522.522.522.5202022.522.5-0.100.150.200.260.350.400.430.450.500.54-0.09--0.020.030.050.050.060.070.080.080.09----------------------------1.331.331.341.341.331.371.361.361.351.401.391.401.41- Exercices E.M. 111 -8888888888888910111213141516171819252525252522.522.522.522.522.522.520-0.100.150.200.240.270.400.430.450.470.480.52-0.020.030.050.060.070.080.100.100.110.120.11---------------0.05-0.05-0.05-0.06-0.05-0.05-0.05-0.05-0.05-0.081.301.311.291.291.281.271.301.301.291.291.281.30101010101010101011111111111213141516171819111213141522.522.522.522.522.520202022.522.522.522.522.50.170.240.290.330.360.440.470.48-0.080.150.200.24--0.010.020.030.030.040.05-------------------------------1.411.411.401.401.401.441.431.431.421.431.431.431.43Symboles :Xh = dplacement de hauteur de profil K = facteur de rduction de tteXs = dplacement latral de profil = rapport de conduite = angle de pression de gnrationDterminez toutes les dimensions gomtriques d'un engrenage de diffrentiel dans les conditionssuivantes :- nombre de dents : pignon z1 = 8 roue z2 = 15,- module nominal extrieur : m = 4 mm.3.50 Pour transmettre une puissance P1 = 16 kW , frquence de rotation n1 = 15 1/6 tours par se-conde, entre deux arbres se coupant sous 90, on prvoit un engrenage roues coniques denturespiro-conique, type Oerlikon Elode EN. Cette denture, reprsente sur la figure ci-aprs, possdeune hauteur de dent constante le long de la gnratrice primitive. Le calcul des dimensions gomtri-ques s'effectue partir du nombre de dents des deux roues et du diamtre primitif extrieur de lagrande roue. Le taillage se fait au moyen d'un outillage norm par le fabricant. La tte de taillage et laroue tailler s'engrne l'une dans l'autre, la forme gnrale de la dent dans le sens radial tant unepicyclode allonge. Dans la section normale, la denture est incline 20 ou ventuellement corri-ge pour viter une interfrence entre l'outil et la roue tailler.Dans le cas particulier, les dimensions gnrales retenues sont les suivantes :- nombre de dents : pignon z1 = 13 roue z2 = 36- diamtres primitifs extrieurs : d1 = 160 . 13/36 d2 = 160 mm- dport de denture : x1 mt = 0,5 mm x2 mt = - 0,5 mm- coefficients de dport : x1 = 0,159 x2 = - 0,159- largeur de la denture : b = 25 mm,- gnratrice de calcul : Rp = 74,700 mm,- module de calcul : mp = 3,1560 mm.- angles des spirales : e = 46,886 sur Re i = 19,854 sur Rim = 33,777 sur Rm p = 36,046 sur Rp- saillie des dents : ha1 = 3,5 mm ha2 = 2,5 mm- creux : hf1 = 3,3 mm hf2 = 4,3 mm- hauteur de dent : h1 = 6,8 mm h2 = 6,8 mm.Les dimensions ncessaires l'picyclode allonge sont :- cercle fixe de rayon Ey = 0,5 mp zp = 60,398 mm- cercle mobile de rayon Eb = 4,734 mm- position du point gnrateur : point P sur la circonfrence de rayon Rp.Dessinez :1. les angles des cnes primitifs, les diamtres primitif, de tte et de pied,2. les dimensions de la roue plate avec zp = { z12 + z22 }0,5,3. une coupe travers les deux roues comme reprsent sur la figure,4. la forme longitudinale des dents sur la roue plate (trois cinq dents).- Exercices E.M. 112 -CHAPITRE 21 : CONTRLE DES ENGRENAGES PARALLLESET CONCOURANTS3.51 Le contrle d'un engrenage cylindrique droit ou hlicodal selon les diverses propositions denormalisation ne peut plus gure s'effectuer manuellement car le nombre de paramtres prendre enconsidration est excessivement grand. De plus, la plupart de ces paramtres ncessitent l'introduc-tion de nombreux facteurs numriques. Actuellement, des logiciels adquats permettent de trouverrapidement les rsultats escompts.Dans une version prcdente du cours sur les lments de machines, la recherche du module ap-proximatif d'une denture, sollicite principalement par la contrainte de flexion dans le pied de dent,pouvait se trouver par la relation suivante :m MzS Y Y K K RSTUVW213 t FFlimFa A v ,avec : Mt couple nominal sur le pignon, rapport largeur / module rel : b/m 8 12SF coefficient de scurit la flexion : SF 1,6 3 selon les exigences imposes,Flim contrainte de flexion limite admissible,YFa facteur de forme de dent lu sur la figure du cours profil B,Y facteur d'angle d'hlice : Y 1 pour denture droite, plus faible pour hlicodal,KA facteur d'application de la charge selon tableau du cours,Kv facteur de charge dynamique : Kv 1 1,6 selon la vitesse et la qualit retenue.Calculez les modules et les diamtres primitifs de roues pour les transmissions suivantes :Nombre de Puissance Frquence Facteur Matire Scurit Denturedents en kW en t/s KA Acier15 5 25 1,25 amlior 2,25 droite17 10 19,2 1,5 cment 1,8 hlicodale19 20 50 1,3 cment 2,6 droite21 50 30 2,0 cment 3,0 hlicodaleQuelles sont les forces tangentielles sur les roues ?3.52 Le contrle d'un engrenage cylindrique droit ou hlicodal selon les diverses propositions denormalisation ne peut plus gure s'effectuer manuellement car le nombre de paramtres prendre enconsidration est excessivement grand. De plus, la plupart de ces paramtres ncessitent l'introduc-tion de nombreux facteurs numriques. Actuellement, des logiciels adquats permettent de trouverrapidement les rsultats escompts.Dans une version prcdente du cours sur les lments de machines, la recherche du module ap-proximatif d'une denture, sollicite principalement par la pression hertzienne sur les flancs, pouvait setrouver par la relation suivante :- Exercices E.M. 113 -m MzuuK K S Z Zp FHGIKJRSTUVW2 1123tA vH H MH limavec : Mt couple nominal sur le pignon, rapport largeur / module rel : b/m 8 12,u rapport d'engrenage pour rducteur de vitesse,SH coefficient de scurit la pression : SH 1,2 1,5 selon les exigences,pHlim pression hertzienne limite admissible,ZH facteur de pression superficielle : ZH = { 1/(sina'.cosa') }0,5ZM facteur des matriaux : ZH = { 2/{(1-12)/E1+(1-22)/E2 }0,5,KA facteur d'application de la charge selon tableau du cours,Kv facteur de charge dynamique : Kv 1 1,6 selon la vitesse et la qualit.Calculez les modules et les diamtres primitifs de roues pour les transmissions suivantes :Nombres de Puissance Frquence Facteur Matire Scurit Denturedents en kW en t/s KA des flancs15/53 2,5 30 1,25 amlior 1,25 droite17/61 15 60 1,35 amlior 1,4 hlicodale19/67 40 20 1,8 amlior 1,35 droite21/83 100 16,67 1,15 amlior 1,45 hlicodaleQuelles sont les forces tangentielles appliques sur les roues ?3.53 Sous le paragraphe correspondant du cours, le rendement d'un engrenage cylindrique droitest recherch en supposant un coefficient de frottement constant sur les flancs et une rpartition de lacharge sur une paire ou sur deux paires de dents. Le travail de frottement se dtermine par le produitde la force de frottement par la vitesse de glissement des flancs, soit partir de la puissance localePfr = FR . vgl. Intgrez l'expression du travail et vrifiez la formule publie dans le cours.Recommandation gnrale :Il est toujours recommand de vrifier toutes les formules donnes dans les divers manuels.3.54 Un motorducteur engrenage, selon figure, se compose de deux engrenages denture h-licodale. Les roues sont fabriques en acier de cmentation et les dentures sont durcies superficiel-lement. La puissance nominale transmettre vaut P = 4 kW par moteur asynchrone tournant vide 25 tours par seconde. Le rapport de transmission total vaut u = 12,5 .Dterminez :1. les nombres de dents des deux engrenages au moyen d'une des mthodes approximatives citesdans les problmes prcdents,2. le module de l'engrenage du premier tage,3. le module de l'engrenage du second tage, la direction des hlices sur les roues,4. toutes les dimensions gomtriques du premier tage,5. toutes les dimensions gomtriques du second tage,6. l'quilibre de chacun des arbres en adoptant des dimensions proportionnelles celles de la figure,7. le choix des roulements et le contrle de la dure de vie.Les rducteurs ordinaires sont trs souvent prvus pour une dure de vie dau moins 12000heures.- Exercices E.M. 114 -3.55 L'exercice 3.36 traite du rducteur deux tages prvu pour la commande d'une raboteuse.Cet exercice sert au contrle des efforts appliqus et des dentures, voir figure de l'exercice 3.36. Lecoefficient de frottement entre le coulisseau et la glissire trois pans vaut 8 %, entre la vis et soncrou 12 %. Les pertes dans la bute roulement, monte sur le carter du rducteur, peuvent trengliges dans une premire tude.Dterminez :1. la vitesse de translation du coulisseau,2. l'quilibre du coulisseau dans la premire vue afin de simplifier les calculs. Tenir compte des deuxpans inclins 45 sur l'horizontale afin de trouver les forces de frottement.3. le couple de torsion sur l'arbre III de sortie du rducteur,4. les couples sur les arbres II et I du rducteur en ngligeant les pertes sur les flancs et dans lespaliers, mais en admettant un facteur d'application de la charge KA = 1,25 .5. les forces composantes sur toutes les dentures et les forces rsultantes,6. la valeur de la pression hertzienne sur la ligne des centres dans l'engrenage droit,7. les ractions aux appuis B et C de l'arbre II.3.56 L'engrenage cylindrique denture droite, taill au module 3,5 mm, pignon 16 dents, roue 79 dents selon exercice 3.13 doit transmettre une puissance nominale de 20 kW la frquence d'en-tre de 20 t/s.Dterminez :1. la force normale sur la denture pour une puissance P1 = 20 kW la frquence de rotation n1 = 20t/s sur le pignon, le produit des divers facteurs de correction tant gal 1 pour simplifier.2. la raideur de chacune des dents, de l'engrenage et la frquence propre,3. la pression hertzienne sur les flancs aprs dtermination des deux rayons de courbure, la largueurde la dformation.3.57 Un engrenage denture cylindrique droite doit tre plac entre deux arbres distants exacte-ment de 285 mm. Les dimensions fondamentales de cet engrenage sont :- nombre de dents : pignon 21 dents roue 73 dents- module nominal : 6 mm vide fond de dent c* = 0,25- dport de profil pour la roue : x2 = 0,150- profil de rfrence A selon SN 215 520 avec un angle de pression P = 20.Dterminez :1. l'angle de pression de fonctionnement, la somme des coefficients de dport, le coefficient de d-port pour le pignon,2. tous les diamtres des deux roues : d, d', db, da, df,3. les rapports de conduite partiels et total,4. les cotes de contrle pour le pignon W3 et la pour la roue W9,5. les paisseurs curvilignes de dent : sur le primitif de fonctionnement, sur le diamtre de tte,6. le glissement spcifique aux points extrieurs E1 et E2.7. la puissance transmise tant P1 = 65 kW la frquence de rotation n1 = 28,6 t/s, le facteur d'appli-cation de la charge KA = 1,35, largeur des roues b = 11 . m :7.1 les forces composantes et totales sur les flancs,7.2 la raideur des dents et la raideur de l'engrenage, la frquence propre,- Exercices E.M. 115 -7.3 la contrainte de flexion dans le pied de dent,7.4 la pression hertzienne.Toutes les dimensions gomtriques doivent se justifier par un calcul dtaill.3.58 Le profil d'une crmaillre normale est donne par deux segments rectilignes inclins de 20raccords la ligne de pied par un arrondi au rayon R = 0,3 m. La saillie vaut ha = m et le creux hf =1,25 m. Reprsentez trois dents de cette crmaillre en adoptant un module m = 20 mm.Dterminez analytiquement :1. la hauteur totale de la partie rectiligne sur le profil inclin 20,2. les cotes ncessaires la dtermination du facteur de forme de dent, soit :- la longueur du bras de levier lF,- la section de contrle sF,- contrle de ces dimensions sur la reprsentation graphique,3. le facteur de forme de dent : YF = (6 lF m / sF2) (cos F / cos ).3.59 Le profil d'une crmaillre ne correspond pas aux dimensions proposes dans la normalisa-tion usuelle. Les caractristiques de cette crmaillre denture dite haute sont : saillie ha = 1,25 m,creux hf = 1,5 m, inclinaison des flancs 17,5, arrondi de raccordement au pied de dent R = 0,25 m.Dessiner trois dents de cette crmaillre en adoptant un module m = 30 mm.Dterminez analytiquement :1. la hauteur totale de la partie rectiligne sur le profil inclin 17,5,2. les cotes ncessaires la dtermination du facteur de forme de dent, soit :- la longueur du bras de levier lF,- la section de contrle sF,- contrle de ces dimensions sur la reprsentation graphique,3. le facteur de forme de dent : YF = (6 lF m / sF2) (cos F / cos ).3.60 La table d'une grande raboteuse est dplace en mouvement de va et vient par un mca-nisme constitu par un engrenage crmaillre. Les forces de frottement et d'usinage vaincre va-lent au total 25 000 N et la vitesse de la table est 20 m/min. Le module adopt pour la crmaillre estm = 6 mm. La frquence de rotation du pignon, mont sur l'arbre de sortie d'un rducteur, est 0,84 t/s.Dterminez :1. les diamtres primitif, de tte, de pied et de base du pignon,2. le nombre de dents du pignon,3. les rapports partiels et total de conduite de l'engrenage,4. l'effort normal sur la denture et l'quilibre du pignon,5. la pression superficielle pour une largeur de contact b = 60 mm.3.61 Un systme mcanique se compose d'une crmaillre en acier selon figure, section rectangu-laire, hauteur 32 mm, profondeur 22 mm, guide dans un bti en fonte grise, coefficient de frottemententre le bti et la crmaillre = 15%. La crmaillre est sollicite gauche par une force oblique F =1 500 N , incline 240. Elle est dplace vers la droite par l'action des dents d'une roue en acier,nombre de dents 18, module 3 mm, denture droite selon norme SN, largeur de la denture 25 mm.Dterminez :1. les dimensions de la roue dente : diamtre primitif, de tte, de pied, de base, rayon de courburede la dent au point primitif C,2. l'effort normal sur la denture de la roue motrice, les efforts dans les guidages de la crmaillre auxpoints B et C,- Exercices E.M. 116 -3. le contrle de la pression superficielle selon la relation de Hertz,4. le diamtre prvoir pour l'arbre moteur supportant la roue dente si la contrainte de torsionadmissible vaut 20 N/mm2 dans un premier calcul.3.62 Un cric commande manuelle se compose des lments suivants :- une manivelle, bras de levier 220 mm, force toujours perpendiculaire au levier,- un premier engrenage droit extrieur, taill au module m = 2 mm, z1 = 14, z2 = 43, a' = a + 1 mm,- un second engrenage crmaillre, taill au module m = 3 mm, z3 = 14, x3 = 0,5 .La charge axiale applique sur le cric l'extrmit suprieure de la crmaillre vaut 12 500 N. Lecoefficient de frottement entre la crmaillre et les guidages est estim 12%. Le dplacement de lacrmaillre sous charge s'effectue en monte et en descente.Dterminez :1. l'entraxe et les diamtres primitif, de tte, de pied, de base du premier engrenage, les angles depression de fonctionnement,2. l'quilibre de la crmaillre compte tenu des frottements dans les guidages et du sens du dpla-cement,3. les couples sur les deux arbres des roues dentes,4 la force tangentielle produire sur la manivelle et la position angulaire de la manivelle pour obtenir- l'effort minimal dans les paliers,- l'effort maximal dans les paliers du pignon,5. la pression hertzienne entre la crmaillre et le pignon si la largeur de la denture du second en-grenage vaut 24 mm.3.63 Un couple-mtre mcanique, reprsent schmatiquement sur la figure, se compose essen-tiellement des lments suivants :- un pignon dent clavet sur l'arbre moteur, z1 = 19 dents,- Exercices E.M. 117 -- une roue dente intermdiaire permettant d'obtenir un rapport d'engrenage u = 4,5789.. , centresans frottement sur un levier,- une couronne fixe sur l'arbre de sortie, axe coaxial avec le pignon d'entre.Le module de taillage vaut m = 3,5 mm, la largeur des dents b = 40 mm, denture non dporte.Dterminez successivement :1. les nombres de dents de toutes les roues,2. les couples sur chacune des roues si la puissance transmise vaut P = 6 kW la frquence de ro-tation n1 = 20 tours par seconde,3. les composantes et les forces totales sur chacune des dentures,4. la masse m prvoir l'extrmit du levier si :- la longueur entre les centres vaut l = 360 mm,- l'angle du levier dans la position d'quilibre vaut = 30,5. la pression hertzienne entre les dents dans les deux engrenages.3.64 L'exercice 3.48 traite la gomtrie d'un rducteur deux tages compos d'un engrenageconique denture incline et d'un engrenage cylindrique denture hlicodale dporte. La frquencede rotation sur l'arbre d'entre, supportant le pignon conique, vaut 24 tours par seconde, la puissance transmettre P = 20 kW. Les trois arbres sont supports par des paliers roulement :- arbre I : palier B radial palier C radial - axial- arbre II : palier D radial palier E radial - axial- arbre III : palier F radial palier G radial - axialLe facteur d'application de la charge vaut KA = 1,25 .Dterminez :1. pour l'engrenage conique, compte tenu du facteur d'application de la charge :1.1 les forces composantes sur la denture,1.2 la contrainte simple de flexion dans les pieds de dent,1.3 la pression superficielle sur les flancs au point central.2. pour l'engrenage cylindrique, compte tenu du facteur d'application de la charge :2.1 les forces composantes sur la denture,2.2 la contrainte simple de flexion dans les pieds de dent,2.3 la pression superficielle sur les flancs au point central.3. pour les arbres :3.1 l'quilibre de l'arbre I ,3.2 l'quilibre de l'arbre II ,3.3 l'quilibre de l'arbre III .3.65 Un rducteur de vitesse doit transmettre une puissance de 28 kW la frquence d'entre de23 tours par seconde. Le rducteur se compose de deux engrenages denture droite, de mme en-traxe. Les caractristiques gomtriques gnrales sont :Engrenage 1 :pignon : 16 dents roue : 81 dents, module 3 mm,entraxe de fonctionnement 148 mm.Engrenage 2 :pignon : 15 dents roue : 43 dents, module 5 mmentraxe de fonctionnement 148 mm.- Exercices E.M. 118 -Les coefficients de dport adopter dans les deux engrenages sont inversement proportionnels auxnombres de dents. Ils sont calculer avec une prcision de 0,001 . La chane cinmatique de ce r-ducteur est reprsente sur la figure.Dterminez :1. le rapport d'engrenage de chaque paire de roues, le rapport de transmission du rducteur, les fr-quences de rotation de chacun des arbres,2. les couples sur chacun des arbres, les forces tangentielles correspondantes sur toutes les roues,3. l'angle de pression de fonctionnement des deux engrenages, les coefficients de dport de cha-cune des roues,4. les diamtres : primitifs nominaux, primitifs de fonctionnement, de base, de pied et de tte,5. les composantes des forces normales sur la denture des deux engrenages; la valeur de ces for-ces normales,6. les ractions des appuis B et C sur l'arbre II intermdiaire.3.66 Un rducteur roues dentes cylindriques se compose de deux engrenages. Il transmet unepuissance P = 38 kW avec une frquence de rotation sur l'arbre d'entre de 47,5 t/s. Les caractristi-ques des deux engrenages sont :Engrenage 1 :pignon : 16 dents rapport d'engrenage u 4,19, module 3 mm,denture hlicodale,denture dporte, profil de rfrence C selon SN 215 520Engrenage 2:pignon : 17 dents module 5 mm, entraxe 132 mmdenture droite, denture dportes. profil de rfrence C selon SN 215 520Les arbres d'entre et de sortie sont coaxiaux.Dterminez :1. les nombres de dents de toutes les roues, les couples nominaux sur chacun des arbres, l'angled'hlice prvoir sur le premier engrenage,2. sous forme de tableau et pour toutes les roues :- les diamtres primitifs, primitifs de fonctionnement, de pied, de tte, de base,- le pas primitif apparent, l'angle de pression apparent,3. les composantes de toutes les forces :- sur les roues du premier engrenage,- sur les roues du deuxime engrenage,4. l'quilibre de l'arbre intermdiaire II en supposant que le palier de gauche supporte la composanteaxiale, le palier de droite seulement une raction radiale,5. la capacit de charge que doit possder le palier roulement billes de droite si la dure de vieavant fatigue doit tre au moins 20 000 heures.6. la contrainte de flexion dans le pied de dent des roues sir le facteur d'application de la charge vautKA = 1,0 , le contrle s'effectuant au moyen de la relation du cours, le facteur YF tant lu sur lafigure du cours.- Exercices E.M. 119 -3.67 La transmission d'une puissance P = 20 kW la frquence de rotation de 19,6 tours par se-conde s'effectue au moyen d'un rducteur engrenage intrieur denture droite. Le module adoptpour cette transmission vaut m = 4 mm. Les nombres de dents sont :- pignon : 19 dents couronne : 75 dents,- profil de rfrence : profil A selon SN 215 520- largeur de la denture : 10 fois le module.- dport : x1 = m/2Dterminez :1. dans un tableau de valeurs :- les diamtres primitifs, de tte, de pied, de base des deux roues,- le pas primitif, l'angle de pression de tte, l'entraxe,2. les rapports de conduite partiel et total,3. les couples sur l'arbre moteur et sur l'arbre de sortie en ngligeant les pertes,4. les efforts sur la denture : composantes et rsultante,5. le schma d'quilibre de l'arbre d'entre en admettant un couple pur produit par le moteur et l'ac-couplement, conception et dessin de cet arbre avec ses paliers,6. les rayons de courbure des dents sur la ligne des centres et la pression hertzienne nominale si lefacteur d'application de la charge vaut KA = 1,2 .3.68 L'exercice 3.39 traite la gomtrie d'un rducteur compos de deux engrenages roues cy-lindriques, denture hlicodale, le premier extrieur, le second intrieur, les axes d'entre et de sortietant coaxiaux. Ce rducteur transmet sur le pignon d'entre une puissance P1 = 45 kW la fr-quence n = 19.3 tours par seconde. Le facteur d'application de la charge vaut KA = 1,4 et la dure devie exige est 20 000 heures. La lubrification est assure par une huile possdant une viscosit de40 = 68 mm2/s. La distance entre les paliers guidant l'arbre d'entre est 254 mm. La qualit de fabri-cation des flancs est ISO 7.Dterminez :1. les couples transmis par chacune des roues, les vitesses angulaires des arbres.2. les composantes de la force totale sur chacun des flancs porteurs des trois roues.3. le choix des matires pour les roues, les dentures extrieures tant durcies, la couronne en acieramlior (voir tableaux avec les matires pour roues dentes).4. la rigidit des dentures, la frquence de rsonance.5. le contrle de la contrainte de flexion dans les pieds de dent du pignon et de la roue, compte tenude tous les facteurs de correction selon ISO.6. le contrle de la pression hertzienne sur les flancs porteurs du pignon et de la roue, compte tenude tous les facteurs de correction selon ISO.7. l'quilibre de la roue 2 sur son arbre et les ractions d'appui dans les paliers de guidage, aprsdessin de sa conception.8. la pression hertzienne nominale entre la roue et la couronne.3.69 L'entranement d'un tambour d'un engin de levage s'effectue par un moteur lectrique et unrducteur de vitesse deux tages selon figure. Le moteur produit une puissance P1 = 3,2 kW lafrquence n1 = 23,8 tours par seconde. Le diamtre du tambour est 315 mm, sa longueur 500 mm.La vitesse du cble sur le tambour est 1,31 m/s. Le premier engrenage, compos du pignon 1 et de laroue 2, est cylindrique denture hlicodale. Le second engrenage se compose d'un pignon 3 et d'uneroue 4 denture droite. Les dentures sont prvoir avec un dport. La roue 4 est fixe sur l'axe sup-portant le tambour.Dterminez :1. les frquences de rotation des roues dentes et du tambour,adoptez des rapports d'engrenage proportionnels aux dimensions reprsentes sur la figure.2. les nombres de dents de chacune des roues, le facteur d'application de la charge valant KA = 1,4,3. les dimensions gomtriques principales des quatre roues dentes,4. les efforts sur les dentures en admettant :- un rendement de 98 % pour chaque engrenage,- un rendement de 96 % pour le mcanisme du tambour,5. la force nominale dans le cble s'enroulant sur le tambour.- Exercices E.M. 120 -3.70 Un rducteur de vitesse plantaire se compose d'une roue solaire denture droite, de troissatellites monts dans un support formant la partie intrieure d'un accouplement dents, d'une cou-ronne fixe dans le carter. L'accouplement dents est prvu pour compenser les erreurs de fabrica-tion et les dformations des pices sous charge. C'est un des problmes les plus difficiles rsoudredans ce genre de rducteurs. Les caractristiques adoptes sont :- nombre de dents : roue solaire z1 = 19 dents satellites z2 = 56- module nominal : m = 3,5 mm profil de rfrence D selon SN 215 520- entraxe de fonctionnement : a' = 134 mm,- puissance nominale sur l'arbre d'entre : P1 = 80 kW,- frquence de rotation sur l'arbre moteur : n1 = 30 tours par seconde,- facteur de service : KA = 1,2 ,- roues denture extrieure en acier durci superficiellement, couronne en acier d'amlioration,- dure de vie exige : 25 000 heures, viscosit du lubrifiant VG 68,- calcul en admettant la charge rpartie uniformment sur les trois roues satellites.Dterminez :1. les coefficients de dport x1 et x2 pour l'engrenage extrieur,les coefficients de dport x2 et x3 pour l'engrenage intrieur. Le coefficient de dport de la cou-ronne d'un plantaire simple (couronne nombre de dents ngatif) se calcule par l'expression :x3 = - (x1 + 2 x2) .2. toutes les grandeurs gomtriques des deux engrenages,3. toutes les grandeurs de fonctionnement,4. les efforts sur les dentures et l'quilibre de toutes les roues,5. le contrle de la scurit en flexion,6. le contrle de la scurit en pression superficielle.3.71 Un rducteur de vitesse plantaire se compose d'une roue solaire denture droite, d'unepaire de roues satellites monte sur un levier coud attach l'arbre de sortie I, d'une couronne fixe etd'une couronne mobile clavete sur l'arbre de sortie II. Les caractristiques adoptes pour cettetransmission sont :- denture droite non dporte : module m = 2,5 mm profil A selon SN 215 520- nombre de dents : pignon z1 = 17- paire de roues satellites : roue z2 = 21 roue z4 = 19- axes : couronne sur arbre II coaxiale avec l'arbre du pignon.Le couple introduit sur l'arbre d'entre supportant le pignon I vaut 20 m.N la frquence de rotation de2 tours par seconde. Le facteur d'application de la charge vaut KA = 1,0 .Dterminez :1. la rpartition des vitesses sur toutes les roues au moyen du diagramme cartsien,les frquences de rotation des arbres de sortie I et II .2. les forces composantes et normales sur les roues du premier engrenage extrieur (roues 1 et 2)et du premier engrenage extrieur (roues 2 et 3),3. l'quilibre de la paire de roues satellites,- Exercices E.M. 121 -4. l'quilibre de la couronne de sortie 5,5. les couples de sortie sur les arbres,6. s'il est vraiment possible de rpartir les couples de sortie entre les deux arbres I et II ? justifiezvotre rponse !3.72 La transmission du couple moteur vers les roues motrices d'une voiture s'effectue travers labote de vitesses et le diffrentiel. Dans le cas tudier, le couple moteur vaut 120 m.N, la bote devitesse prvoyant une marche arrire avec un rapport i = 3,9 et un tage rducteur i = 1,73 entrel'arbre supportant les roues cylindriques hlicodales et l'arbre de sortie de la bote. Un arbre deuxjoints de Cardan transmet alors le couple modifi sur le diffrentiel reprsent sur la figure. Ce mca-nisme est quip d'un couple hypode Gleason Revacycle et d'un engrenage de diffrentiel dentureconique droite. En admettant un facteur de service KA = 1,5 et aucun patinage des roues ou diffrencede vitesse angulaire sur les arbres moteurs, dterminez partir de la figure :1. les couples dans l'arbre joint de Cardan et sur la roue conique de l'engrenage hypode,2. les efforts sur les roues coniques droites,3. la contrainte de flexion dans le pied de la denture droite, les roues tant fabriques en fonte sph-rodale perlitique.3.73 La gomtrie de l'engrenage cylindrique denture hlicodale de l'exercice 3.35 fait partie desexemples exposs par la maison MAAG. Les coefficients de dport proposs sont diffrents de ceuxcalculs au point 3 de l'exercice. Les grandeurs complmentaires et les coefficients valent :- coefficient de dport pour le pignon : x1 = 0,27,- coefficient de dport pour la roue : x2 = 0,3823- angle d'hlice primitive : = 11.- module nominal : mn = 4,416667 mm ??- denture corrige dans le sens axial : charge trapzodale.Cet engrenage doit transmettre une puissance P1 = 1 600 kW la frquence de rotation n1 = 50 tourspar seconde, la dure de vie minimale tant 50 000 heures. Le facteur d'application de la charge vautKA = 1,1.Dterminez :1. toutes les grandeurs gomtriques de cet engrenage2. toutes les grandeurs de fonctionnement,3. les couples et composantes force sur les deux roues,4. la frquence propre et le domaine de calcul,5. les facteurs de correction complmentaires si l'huile est une VG 68, la qualit de denture ISO 5,6. la scurit en flexion, calcul ISO-MAAG7. la scurit en pression superficielle, calcul ISO-MAAG.3.74 Le problme 3.50 traite la gomtrie d'un engrenage spiro-conique axes concourants, typeOerlikon Elode EN. La puissance propose transmettre tait P1 = 16 kW la frquence sur le pi-gnon moteur n1 = 15 1/6 tours par seconde. Le contrle des efforts, de la contrainte de flexion dans lepied de dent et de la pression hertzienne s'effectue, en principe, comme pour les engrenages coni-ques denture incline, soit sur le diamtre moyen. Le pignon est fabriqu en acier de la nuance 16- Exercices E.M. 122 -MnCr 5, la roue en 34 Cr 4. La gnratrice moyenne possde une longueur Rm = 72,556 mm et l'anglemoyen de spirale vaut m = 33,777. Les coefficients de correction proposs sont trouvs au moyendes formules recommandes par le fabricant.Dterminez :1. les couples nominaux sur chacune des roues, les composantes rectangulaires de la force totalesur les flancs porteurs,2. le facteur d'application de la charge valant KA = 1,25, le facteur de charge dynamique Kv = 1,26 etle facteur d'engrnement Ya = 0,69, calculez la contrainte de flexion dans le pied de dent desdeux roues,3. la pression superficielle entre les flancs, la demi largeur de contact de la dformation sur les flancsporteurs.3.75 Une bote de vitesses 4 DS-10, prvue pour tre mont dans un vhicule utilitaire, fabricationZF, quatre vitesses synchronises, est reprsente sur la figure. Sur l'arbre reli au moteur, lesroues des vitesses 4 et 3 sont accouples par la bague de synchronisation. Les roues des vitesses 2,marche arrire et 1 font partie de l'arbre moteur. La bague de synchronisation est place sur l'arbre desortie pour les vitesses 2 et 1.Les caractristiques des roues dentes utilises sont donnes dans le tableau.Vitesse z1 z2 mn n sens1234R1018303810/2241414133392.91672.52.02.02.916720202020.201517.525250g/dg/dg/dg/d Les dsignations d/g et g/d indiquent les sens des h- lices sur les roues : roue menante, roue meneL'entraxe de fonctionnement adopt vaut : a'' = 79 mm.L'arbre de sortie de la bote de vitesses attaque un diffrentiel comprenant un engrenage spiro-coni-que Klingelnberg, nombre de dents 7/21 module rel 3,5 mm, angle de spirale 36.98. Le couplemaximal sur l'arbre d'entre vaut 180 m.N la frquence de 45 t/s.Dterminez :- Exercices E.M. 123 -1. toutes les dimensions gomtriques de toutes les dentures hlicodales : angles de pression,diamtres, largeur selon figure.2. toutes les grandeurs de fonctionnement.3. les efforts sur l'arbre moteur de la bote lorsque la premire vitesse est enclenche.4. les efforts sur l'arbre moteur de la bote lorsque la marche arrire est enclenche.5. les contraintes de flexion dans le pied de dent, les coefficients de scurit.6. la pression superficielle correspondante, la dure de vie exige tant 4 000 heures.L'arbre de sortie est sollicit non seulement par les efforts sur les roues dentes de la bote, maisaussi par l'engrenage spiro-conique du diffrentiel. La pousse axiale sur le roulement quatre pointsde contact dpend du sens de l'entranement : couple moteur ou couple de retenue.CHAPITRE 22 : ENGRENAGES AXES GAUCHES3.76 Un engrenage vis sans fin, dont les dimensions sont donnes dans le catalogue de picesnormalises Mdler, possde les caractristiques suivantes :1. Dimensions de la vis en acier C 45, filetage droite :- module axial : mA = 3 mm, nombre de dents z1 = 2- diamtres : moyen dm1 = 38 de tte da1 = 44- longueur de la vis : b1 = 46 diamtre de l'arbre : darbre = 30- type ZA : angle du profil A = 20.2. Roue tangente en fonte grise GG 26 :- module axial : m = 3 mm, nombre de dents z2 = 65- diamtres : dm2 = 195 extrieur de2 = 204- entraxe : a = 116,5- largeurs : de la roue broue = 24 nervure lnerv = 12- moyeu : longueur L = 51 arbre darbre = 35- couple transmissible selon catalogue : Mt1 = 1,45 m.N avec KA = 1,25.Dterminez :1. la reprsentation en coupe de l'engrenage, perpendiculaire l'axe de la vis.2. les dimensions gomtriques manquantes ou complmentaires,3. les efforts appliqus sur l'engrenage si la lubrification est assure par de la graisse.4. les ractions sur les appuis de la vis et le rendement de la transmission.3.77 Un engrenage vis sans fin, dont les dimensions sont donnes dans le catalogue CAVEX dela maison Flender, possde les caractristiques suivantes :1. Dimensions de la vis en acier de cmentation 16 MnCr S 5, filetage droite- module : mn = ? nombre de dents z1 = 4- diamtres : da1 = 50,9 porte de roulement d = 35 k6- longueur de la vis : b1 = 65 faces appui roulement lroul't = 142- raccordement : diamtre : darbre = 28 m6 longueur 50, clavette 45- type ZI : angle du profil n = 20 angle de filet m 232. Roue vis sans fin en bronze centrifug GZ-CuSn 12 Ni- module mn = ? nombre de de0nts z2 = 35- diamtres : de2 = 170- entraxe : a = 100- largeurs : b2 = 33 longueur du moyeu 60- moyeu : longueur L = 60 diamtre alsage 55 H7- conception : couronne avec centrage au diamtre D3 = 130 K7/n6fixation par 8 vis ajustes M 8 x 35 sur diamtre 1123. Performances- frquence de rotation :vis n1 = 30 t/s roue n2 = 3,43 t/s- puissance transmissible : P1 = 12,6 kW avec KA = 1,0- couples : Mt2 = 550 m.N Mt2 max = 830 m.N .Dterminez :1. le module rel en contrlant les proportions obtenues,2. les autres dimensions gomtriques manquantes ou complmentaires,- Exercices E.M. 124 -3. la reprsentation de l'engrenage par une coupe perpendiculaire l'axe de la vis,4. les efforts appliqus sur l'engrenage si la lubrification est assure par de l'huile dont la viscositrecommande vaut VG 460, le coefficient de frottement de calcul.5. les ractions sur les appuis de la vis avec des roulements contact oblique,le rendement global de la transmission.6. la pression superficielle et la scurit la formation de piqres.Remarque :Les engrenages vis sans fin CAVEX sont fabriqus avec le profil ZH et non ZI comme proposici dans cet exemple !3.78 Un engrenage vis sans fin doit transmettre une puissance P1 = 3,25 kW la frquence derotation n1 = 25 t/s. Le rapport d'engrenage doit atteindre i 20, le facteur d'application de la chargetant KA = 1,25. Le principe de la conception de ce rducteur de vitesse est donn sur la figure ci-aprs d'une ancienne excution. L'entraxe adopt dans l'implantation vaut a = 80 mm.Dterminez :1. le type de profil adopter,2. les dimensions gomtriques principales de la vis et de la roue.3. le choix des matires et la recherche des forces composantes sur la denture.4. le contrle du rendement du rducteur.3.79 Les dimensions principales de l'engrenage vis sans fin de l'exercice 3.78 tant connues, ils'agit de vrifier ici le choix des roulements et la dformation de la vis.Dterminez :1. les efforts sur le roulement billes gorge profonde, sur le roulement deux ranges de billes.2. les dimensions des roulements si la dure de vie exige est 12 000 heures.3. la dformation en flexion de la vis en supposant des charges rparties uniformment par trononsentre la vis et la roue, entre la vis et les portes des roulements.3.80 Un engrenage vis sans fin se monte directement sur l'arbre men grce une roue quiped'un alsage. Les conditions de transmission sont les suivantes :- puissance en entre : P1 = 15 kW,- frquence de rotation : n1 = 25 t/s ,- rapport d'engrenage : i 43- facteur de service : KA = 1,2- entraxe dans l'implantation : a =200 mm- vis en acier de cmentation, - roue en bronze- rducteur avec ventilateur, - vis place sous la roue- lubrification par barbotage.Dterminez :- Exercices E.M. 125 -1. les nombres de dents pour la vis, la roue.2. les diamtres moyens des deux composants.3. le profil adopter et les divers pas.4. toutes les autres dimensions gomtriques.5. les efforts sur la denture.6. les ractions d'appui sur les paliers.7. le contrle de la pression hertzienne.8. la scurit contre les piqres.9. la scurit la rupture de la denture.10. la dformation en flexion de la vis.3.81 Soit trouver les dimensions gomtriques d'une transmission par vis sans fin utilise dans lacommande de la rotation d'une grue. Les grandeurs imposes sont :- type de vis et roue : ZK avec un angle de pression sur l'outil de 20- rapport de transmission : i = 47,- module rel : mn = 10 mm- diamtre moyen de la vis : dm1 (10 12) mn- entraxe : multiple de 10 mm- autres dimensions selon propositions du cours.Dterminez :1. les dimensions gomtriques de la vis : pas, angle de filet, diamtres.2. les dimensions de la couronne dente fabrique en fonte, nuance GG20.3. la conception de la vis avec ses paliers roulement.- Exercices E.M. 126 -3.82 L'engrenage vis sans fin de l'exercice prcdent 3.81 transmet un couple sur la structuretournante en rgime discontinu. Le facteur d'application de la charge vaut KA = 1,5 . Un premier con-trle mcanique se limite la charge de rupture sur la denture. En adoptant un coefficient de scuritSF = 2,5, dterminez :1. la force tangentielle nominale admissible sur la denture et le couple sur la roue,2. toutes les composantes de la force totale sur la denture, la lubrification s'effectuant avec une huileminrale VG 680.3. le couple produire sur la vis et le rendement mcanique de l'engrenage.4. les contraintes de flexion et de torsion dans la vis.3.83 Un engrenage gauche roues cylindriques hlicodales et axes gauches possde lescaractristiques gomtriques suivantes :- module rel : mn = 3 mm profil C selon SN 215 520- angle des axes : = 90- nombre de dents : pignon moteur z1 = 15 roue z2 = 26- largeur des roues : b1 = b2 = 10 mn- denture non dporte.Dterminez :1. les angles d'hlice primitive et les angles de pression.2. l'entraxe et les divers diamtres de fabrication.3. les grandeurs de conduite.3.84 Dans l'engrenage prcdent, le pignon moteur transmet une puissance P1 = 1,2 kW la fr-quence de rotation n1 = 20 tours par seconde. Le facteur d'application de la charge vaut KA = 1,15.Dterminez :1. les composantes de la force totale entre les deux dentures sur les roues.2. les pertes et le rendement de la transmission, les roues tant en acier et lubrifies par de l'huileminrale.3. la pression hertzienne sur les flancs.4. la valeur de la temprature clair.3.85 On dsire transmettre une puissance en entre P1 = 320 W la frquence de rotation n1 = 60tours par seconde entre deux arbres se croisant sous un angle de 75. Le rapport de transmission en-tre les deux arbres vaut i 1,65 avec un nombre de dents premier entre eux. Le facteur d'applicationde la charge vaut KA = 1,35 .La solution adopte consiste prvoir un engrenage gauche roues cylindriques hlicodales.Dterminez :1. les nombres de dents des deux roues, les coefficients de dport pour obtenir un entraxe entier.2. les divers angles de l'engrenage.3. les dimensions diamtrales en supposant tout d'abord un module rel de 2 mm.4. les grandeurs de fonctionnement.3.86 Cet exercice comprend la confirmation ou la modification du module adopt dans l'engrenagegauche prcdent de l'exercice 3.85.Dterminez :1. les composantes de la force totale entre les deux dentures sur les roues.2. les pertes et le rendement de la transmission, les roues tant en acier et lubrifies par de l'huileminrale.3. la pression hertzienne sur les flancs.Si la pression hertzienne n'est pas admissible ou trop faible, modifiez le module adopt et repre-nez l'exercice 3.85.4. la valeur de la temprature clair.- Exercices E.M. 127 -CARACTRISTIQUES MCANIQUES DES MATIRES POUR ROUES DENTES(Selon Niemann,Winter, Maschinenelemente II)(Contraintes de flexion et pression limites en N/mm2)NoMatireDsignationVSM ou DINTraitementoustructureDuretCur/flancHB/HV,HRCPression limiteStatique dynamiqueen N/mm2Contrainte de flexionStatique dynamiqueen N/mm2 Fonte grise12Ft 20Ft 25GraphiteLamellaire18022045052030036032041080110 Fonte mallable cur noir34GTS 35GTS 65FerritiquePerlitique150220320460520880330410 Fonte graphite sphrodal567FGS 42FGS 60FGS 100FerritiqueFerrit.-perlit.amliore1802503503704907005908401300370450520 Acier de moulage non alli89GS 52GS 60160180680800320380690730280320 Acier de construction mcanique au carbone101112Ac 50-2Ac 60-2Ac 70-2160190210370430460560650710320350410 Acier damlioration13141516Ck 4534 CrMo 442 CrMo 434 CrNiMo 6NormalisAmliorAmliorAmlior190270300310750..950750..950750..950530530600630740121014901580410520570610 Acier damlioration, durci superficiellement la flamme ou par induction17181920Ck 4534 CrMo 442 CrMo 434 CrNiMo 6NormalisAmlioramlioramlior19027028025056059061059010301070117012701400180019002000540860720760 Acier damlioration ou de cmentation, nitrur2122232442 CrMo 416 MnCr 531 CrMoV 914 CrMoV 6.9Amlioramlioramlioramlior18028032036055055070077010701110123012701000105011701250770810840860 Acier damlioration ou de cmentation, nitrocarbur252627C 4516 MnCr 542 CrMo 4Normalisnormalisamlior220230280420560610710770830680710750620650680 Acier carbonitrur28 34 Cr 4 amlior 450 650 1350 1400 900 Acier de cmentation29303116 MnCr 515 CrNi 617 CrNiMo 6Cmentettremp270310400720730740190024001470149015102150230028008609201000 Alliage de titane32 Ti 6 Al 4 V Trait 280 420 660 340 Alliage daluminium33 AlZnCu 0,5 160 240 600 230 Mtal fritt base de fer34 1,5%Cu+0,4%C 80 100 400 950 500- Exercices E.M. 128 -CARACTRISTIQUES MCANIQUES DES MATIRES POUR ROUES DENTES(Selon ISO - MAAG)(Contraintes de flexion et pression limites en N/mm2)NoMatire selondsignationpersonnelleTraitementoustructureDuretCur flancHB/HV,HRCPression limiteStatique dynamiqueen N/mm2Contrainte de flexionStatique dynamiqueen N/mm2 Aciers damlioration (selon ISO-MAAG)3637383940AcAM - HB 200AcAM - HB 250AcAM - HB 300AcAM - HB 350AcAM - HB 400amlioramlioramlioramlioramlior200250300350400650730810890970275293310328345 Aciers de moulage (selon ISO-MAAG)4142434445AcMo - HB 200AcMo - HB 250AcMo - HB 300AcMo - HB 350AcMo - HB 400moulmoulmoulmoulmoul200250300350400520595670745760240255270285295 Aciers allis de cmentation, denture cmente trempe (selon ISO-MAAG)4647484950AcC - HRC 55AcC - HRC 57AcC - HRC 59AcC - HRC 61AcC - HRC 63cment trempcment trempcment555759616314001480156016001600407469500500500 Aciers allis de nitruration, denture nitrure (selon ISO-MAAG)5152535455AcNi HRC 55AcNi HRC 57AcNi HRC 59AcNi HRC 61AcNi HRC 63nitrurnitrurnitrurnitrurnitrur555759616312701302133413661398400428456470470 Remarques : La dsignation personnelle des aciers pour roues dentes selon ISO-MAAG permet didentifier immdiatement la nature de la matire et son tat : Am amlior Mo moul C cment Ni nitrur La valeur numrique reprsente la duret Brinell ou Rockwell CCHOIX DE LA VISCOSIT DU LUBRIFIANT POUR LES ENGRENAGESLa viscosit est donne en mm2/s(Les valeurs proposes sont des moyennes utilises dans la pratique)Vitesse Viscosit propose pour l'huilecirconfrentielle en Charge de l'engrenagem/s Continue Temporairejusqu' 0,5 m/s 150 250de > 0,5 1,5 m/s 120 200de > 1,5 2,5 m/s 80 150de > 2,5 5,0 m/s 60 100de > 5,0 12,5 m/s 40 70de > 12,5 25,0 m/s 30 55en dessus de 25,0 m/s 20 30- Exercices E.M. 129 -CHAPITRE 23 : EMBRAYAGES, COUPLEURS, FREINS3.91 Les conditions de dmarrage d'une transmission, compose d'un moteur et d'une machinemene relis par un embrayage friction monodisque, sont les suivantes :- puissance nominale transmettre : P1 = 32 kW frquence n1 = 20 t/s = constante.- couple moteur au dmarrage : Mt1 = 1,4 Mt1nom = 1,4 P1/1 = constant.- couple machine mene : Mt2 = 0,65 Mt1nom.- frquence de rotation de la machine : n2 varie de 0 n1.- moments d'inertie de masse : J1 = 0,8 kg.m2 J2 = 4,75 kg.m2.Les couples moteur et du rcepteur sont constants. La frquence de rotation du moteur est supposerester constante pendant la priode de dmarrage afin de simplifier l'tude. Le couple de l'embrayageest gal celui du moteur.Dterminez :1. le couple nominal, le couple du moteur et celui du rcepteur.2. l'expression de l'acclration angulaire 2 de la machine.3. la frquence de rotation de la machine entrane en fonction du temps.4. le glissement dans l'embrayage : temps, nombre de tours effectus, puissance et nergie produi-tes.5. la reprsentation graphique des vitesses et acclrations angulaires en fonction du temps.3.92 Les conditions de dmarrage d'une transmission, compose d'un moteur et d'une machinemene relis par un embrayage friction monodisque, sont les suivantes :- puissance nominale transmettre : P1 = 32 kW frquence n1 = 20 t/s = constante.- couple moteur au dmarrage : Mt1 = 1,4 Mt1nom = 1,4 P1/1 = constant.- couple machine mene : Mt2 = Mt1nom . (0,3 + 0.7 n2/n1).- frquence de rotation de la machine : n2 varie de 0 n1.- moments d'inertie de masse : J1 = 0,8 kg.m2 J2 = 4,75 kg.m2.Le couple moteur et sa frquence de rotation sont supposs rester constant pendant la priode dedmarrage afin de simplifier l'tude. Le couple de l'embrayage est gal celui du moteur.Dterminez :1. le couple nominal, le couple du moteur et celui du rcepteur.2. l'expression de l'acclration angulaire 2 de la machine.3. la frquence de rotation de la machine entrane en fonction du temps.4. le glissement dans l'embrayage : temps, nombre de tours effectus, puissance et nergie produi-tes.5. la reprsentation graphique des vitesses et acclrations angulaires en fonction du temps.Comparez les rsultats de cet exercice avec ceux de l'exercice 3.91.3.93 Afin de comparer les rsultats des deux exercices prcdents avec la thorie expose dans lecours, les conditions de dmarrage d'une transmission, compose d'un moteur et d'une machinemene relis par un embrayage friction monodisque, sont les suivantes :- puissance nominale transmettre : P1 = 32 kW frquence n1 = 20 t/s = constante.- Exercices E.M. 130 -- couple moteur au dmarrage : Mt1 = MA = 1,2 Mt1nom = 1,2 P1/1 = constant.- couple machine mene : Mt2 = ML = 0,6 Mt1nom.- couple caractristique de l'embrayage : MK = 1,4 Mt1nom.- frquence de rotation de la machine : n2 varie de 0 n1.- moments d'inertie de masse : J1 = 0,8 kg.m2 J2 = 4,75 kg.m2.Les couples moteur et du rcepteur sont constants. Le couple de glissement dans l'embrayage estsuppos rester constant pendant toute la priode de dmarrage afin de simplifier l'tude.Dterminez :1. les acclrations angulaires du moteur et de la machine.2. le temps de glissement t3 et son contrle.3. la vitesse angulaire au synchronisme.4. la charge thermique : puissance et nergie perdue totale par frottement.3.94 Dans les relations gnrales des entranements par embrayages entre les parties menante etmene, il est admis que le couple transmis reste constant vitesse de glissement diffrente de zro.Si l'on introduit un coefficient de frottement dpendant de la vitesse de glissement comme c'est rel-lement le cas dans un embrayage mcanique force normale constante sur les faces frottantes, lesrsultats diffrent du cas fondamental simple. Soit traiter un dmarrage d'une transmission par unembrayage au moyen d'un disque en acier dans les conditions suivantes :- puissance nominale transmettre : P1 = 32 kW- frquence n1 = 20 t/s = constante.- couple moteur au dmarrage : Mt1 = MA = 1,2 Mt1nom = 1,2 P1/1 = constant.- couple machine mene : Mt2 = ML = 0,6 Mt1nom.- frquence de rotation de la machine : n2 varie de 0 n1.- moments d'inertie de masse : J1 = 0,8 kg.m2 J2 = 4,75 kg.m2.- coefficient de frottement en fonction de la vitesse : voir figure ci-aprs.Dimensions et efforts sur l'embrayage deux faces frottantes :- couple caractristique de l'embrayage : MK = 2,0 Mt1nom lorsque vgl = 0 sinon variable.- matriaux en contact : acier sur acier,- diamtre moyen de frottement : dm = MK/(vgl=0 Fn)- effort normal sur les deux faces frottantes : Fn = constante.Dterminez :1. les dimensions de l'embrayage : diamtre extrieur et diamtre intrieur, multiples de 10 mm, si :padm 0,7 N/mm2; vgl=0 = 0,13; di 0,7 de.2. l'effort normal sur les faces du disque d'embrayage dans ces conditions .3. la table des coefficients de frottement de calcul pour 0 < vgl < 20 m/s relevs sur le figure.4. les acclrations angulaires du moteur et de la machine mene.5. le temps ncessaire au synchronisme si la frquence de rotation du moteur ne peut pas tre su-prieure la valeur nominale.6. le nombre de tours de glissement jusqu'au synchronisme et l'nergie perdue.- Exercices E.M. 131 -3.95 Dans la recherche des conditions de glissement dans un embrayage plac entre des machi-nes menante et mene, le couple moteur MA et le couple de charge ML sont supposs constantspendant l'intervalle de temps t3. La variation des couples du moteur et de la machine mene est sup-pose varier suivant une loi du second degr, voir figure. Les caractristiques de la transmission sontdonnes par :- puissance nominale transmettre : P1 = 32 kW frquence n1 = 20 t/s = constante.- couple moteur au dmarrage : Mt1 = MA = (1,4 1,2) Mt1nom variable.- couple machine mene : Mt2 = ML = (0,3 0,9) Mt1nom variable.- frquence de rotation de la machine : n2 varie de 0 n1.- moments d'inertie de masse : J1 = 0,8 kg.m2 J2 = 4,75 kg.m2.- couple caractristique de l'embrayage : MK = 1,4 Mt1nom .Dterminez :1. l'expression de l'acclration angulaire du moteur et de la machine en fonction de leur vitesse an-gulaire.2. le temps ncessaire au synchronisme des deux composants.3. le nombre de tours de glissement et l'nergie perdue.3.96 Les embrayages monodisques utilisent trs souvent des ressorts membrane comme l-ments de production de l'effort normal. L'exprience a dmontr que le calcul des caractristiques parles relations de von Almen/Lsl donnent des rsultats non conformes la ralit par suite de simpli-fications dans la mise en quation. Une tude non linaire permet de retrouver la force applique enfonction de la dformation du ressort. Dans un article de W.Wagner et M.Wetzel, Kons. 1967, pages147 150, ces deux auteurs recalculent les ressorts cits par von Almen/Lsl, soit :Ressort 1 : di = 118,57 de = 198,42 s = 6,58 h0 = 4,29 h = 5Ressort 2 : di = 76,20 de = 324,82 s = 3,53 h0 = 6,05 h = 10Ressort 3 : di = 142,88 de = 260,35 s = 2,49 h0 = 6,35 h = 10Les dformations maximales prvues h sont ici plus grandes que la hauteur initiale h0. Modlisez cesressorts au moyen de 16 32 lments axisymtriques, introduisez un calcul non linaire grandesdformations et reprsentez graphiquement les deux caractristiques force en fonction de la dforma-tion du ressort : pour la relation de von Almen/Lsl et pour le calcul non linaire. Quelles sont les er-reurs commises sur les rsultats ? (voir aussi lexercice sur le ressort diaphragme)3.97 W. Steinhilper a tudi la transmission du couple dans un embrayage disques multiples entenant compte du frottement des dentures extrieures sur la cloche et intrieure sur le moyeu. L'tudesupposera un coefficient de frottement constant sur tous les disques de la pile. Les dimensionsintervenant dans l'tude sont (voir la figure) :- diamtre extrieur de contact de, - diamtre intrieur de contact di,- rayon de contact denture ext. Re, - rayon de contact denture int. Ri,- force normale sur le premier disque Fax.Dterminez :1. l'expression du couple transmis par la premire surface active sous l'effet de Fax,2. l'expression du couple transmis par les deux surfaces actives du premier disque en tenant comptedes forces de frottement sur les crans,3. le couple transmissible par n surfaces actives apparetenant m disques.- Exercices E.M. 132 -Admettre un guidage intrieur pour le premier disque.La figure reprsente le rsultat du calcul.3.98 Transmission d'un couple de 800 m.N au moyen d'un embrayage lamelles multiples dans lesconditions suivantes :- lment de catalogue.- frquences de rotation de 0 16,67 t/s, frquence d'embrayage : un chaque minute,- couple rsistant sur l'arbre men : 450 m.N,- moments d'inertie de masse : Jmot = 0,135 kg.m2, Jrc = 0,86 kg.m2,- dimensions des disques : di = 140 mm, de = 190 mm, milieu lubrifi.Dterminez :1. Le nombre de surfaces et le nombre de disques ncessaire la transmission du couple, la forcenormale produire sur les disques en acier.2. Le temps de glissement des disques en embrayage et l'nergie perdue pour chaque embrayage,en introduisant les hypothses simples de calcul.3. La temprature probable des disques pour une vitesse circonfrentielle de 11 m/s et une aired'change Aext = 0,21 m2.3.99 Lors de l'achat d'un accouplement de scurit placer entre un moteur produisant une puis-sance P1 = 160 kW n1 = 20 tours par seconde et une machine rceptrice, le fournisseur a remis undessin d'ensemble d'un accouplement de scurit comprenant essentiellement :- un arbre moteur gauche avec un moyeu 1 et disque d'entranement,- deux plateaux coniques 2 avec garniture antifriction entrans par trois tourillons cylindriques 4,- six ressorts hlicodaux comprims 3,- une cloche en deux parties 5 fixes sur l'arbre de la machine mene.Dterminez :1. sur l'arbre moteur : le couple moteur, les pressions moyennes entre la clavette et l'arbre, entre laclavette et le moyeu,2. l'effort axial et la contrainte dans chacun des six ressorts hlicodaux si :Dm = 52 mm, dfil = 8 mm, nombre de spires efficaces if = 4,5 , longueur l'tat dtendu L0 = 95mm, longueur monte L = 70 mm, module de glissement G = 80 000 N/mm2.Relations : t = 8 F D/( d3), f = 8 F D3/(G d4).3. l'effort normal sur les garnitures antifriction engendr par les ressorts, le coefficient de frottementtant 35% si la pression moyenne se trouve par : p = Fax/(Ap(1+/tan)), Ap tant la surface pro-jete axialement de la garniture.4. le couple de glissement et le coefficient de scurit au glissement,5. les pressions moyennes et la contrainte maximale de flexion dans les tourillons 4 sous l'effet ducouple nominal, en supposant une pression rpartie uniformment sur toutes les portes,6. les couples maximal et minimal de glissement si l'on admet que les garnitures peuvent prsenterune variation d'paisseur de 1,5 mm par rapport la valeur moyenne reprsente sur la figureci-aprs.- Exercices E.M. 133 -3.100 Un embrayage fonction unidirectionnel doit transmettre une puissance P1 = 50 kW la fr-quence de rotation n1 = 15 tours par seconde. Il prsente principalement les divers composants don-ns en coupe sur le dessin :- un arbre moteur 1 quip d'une roue denture hlicodale, module m = 2 mm, nombre de dents z1 =20, angle d'hlice = 45, angle de pression rel n = 20.- un moyeu formant crou 2 avec denture intrieure hlicodale, nombre de dents z2 = 20, angle d'h-lice = 45, angle de pression rel n = 20, servant de disque d'appui,- un moyeu de sortie 4, clavet sur l'arbre 6, sur lequel coulisse librement un disque d'embrayage 5,grce aux cannelures intrieures.- une cloche de retenue 3.Dterminez :1. le couple de torsion sur les deux arbres, la contrainte de torsion dans l'arbre moteur 1, diamtrenominal 50 mm.2. la force de calcul sur la clavette quipant l'arbre de sortie 6, diamtre nominal 60 mm, forme Aavec b = 18 mm, h = 11 mm, t1 = 7 mm, L = 63 mm. Calculez la pression entre la clavette et l'ar-bre, entre la clavette et le moyeu.3. les dimensions diamtrales de la denture hlicodale extrieure taille sur l'arbre d'entre : diam-tres primitif, de tte et de pied avec c* = 0,25 m, le module apparent, les pas primitif apparent etrel.4. les composantes axiale, tangentielle et radiale de la force totale entre les deux dentures en intro-duisant un coefficient de frottement de 14% entre les deux flancs. La figure montre la force nor-male Fn et la force de frottement FR sur la denture de l'arbre menant. Calculez tout d'abord la va-leur de la force tangentielle partir du couple et tirez la grandeur de la force normale Fn et desprojections axiales et radiale de la rsultante F = Fn + FR.5. le disque d'embrayage est en contact sur une surface plane annulaire limite par di = 130 mm etde = 190 mm., quipe sur les deux faces d'une garniture antifriction au coefficient de frottementde 34%. Quelle est la pression moyenne atteinte sur les faces et quel est le coefficient de scuritau glissement de cet embrayage de scurit ?3.101 La transmission d'un couple nominal Mnom = 320 m.N la frquence de rotation n = 32 tourspar seconde sur une roue dente selon figure s'effectue au moyen d'un embrayage multidisque sansbague collectrice dont les caractristiques donnes dans le catalogue sont :- type : ZF - 2LET - 440- couples transmissibles : dynamique 400 m.Nstatique 800 m.N- disques : acier durci par trempe, 6 intrieurs, 5 extrieurs- moments d'inertie : ct culasse J = 190 kg.cm2 ct entranement J = 145 kg.cm2- masse de l'embrayage : m = 14,8 kg .- diamtre de l'arbre : d = 65 mm longueur du moyeu L = 83,5 mm- temps caractristiques : retard : t11 = 150 ms monte : t12 = 450 msdclenchement : t2 = 250 ms .- moment d'inertie de masse rduit sur le pignon dent :Jrd = 0,72 kg.m2.- nombre d'enclenchements : 50 par heure.- Exercices E.M. 134 -- capacit de travail par manoeuvre : 34 kJ avec Sh = 60 par heure.Dterminez :1. en admettant le couple rsistant nul pendant la priode d'embrayage :- l'acclration sur le pignon, le temps d'embrayage, la charge thermique.2. en admettant le couple rsistant prsent pendant la priode d'embrayage :- l'acclration sur le pignon, le temps d'embrayage, la charge thermique.3.102 L'exemple du cours sur le calcul d'un embrayage pour moulin-broyeur suppose un seul en-clenchement pendant le service et dtermine l'chauffement du disque presseur pendant les 10 pre-mires secondes. Le temps de dmarrage calcul vaut t3 = 2,35 secondes. Si la mise en marche nes'effectue pas correctement, il est ncessaire de relancer le mode de dmarrage. Cet exercice a pourobjet de trouver la variation de la temprature aux points de calcul 1 4 dans les nouvelles conditionsde service, soit :- premier dmarrage selon l'exemple du cours.- second dmarrage dans les conditions suivantes :- libration des pices du temps t = 10 t = 15 secondes,- nouveau dmarrage.Dterminez :1. la reprsentation du couple de l'embrayage pour les temps compris entre 0 et 25 secondes,2. la valeur de la temprature aux points 1, 2, 3 et 4 en fonction du temps, toutes les conditions am-biantes tant conserves.3.103 Un frein tambour, type deux joues sur une articulation fixe commune en C, est quipde deux garnitures antifriction. Ces revtements possdent un coefficient de frottement de 34%. Lapression sur les joues est obtenue par un cble tendu par une force de traction F = 200 N. Un levierintermdiaire articul sans frottement sur l'appui B transmet l'effort sur deux biellettes C1D1 et C2D2selon figure de principe.Les dimensions des diverses pices sont donnes en mm.- Exercices E.M. 135 -Dterminez :1. l'quilibre du levier de commande.2. les tensions dans les deux biellettes C1D1 et C2D2.3. l'quilibre des deux joues articules sur le point C.4. le couple de freinage sur le tambour surface frottante intrieure.5. la puissance freine 25 tours par seconde.3.104 Un frein tambour cylindrique, reprsent schmatiquement sur la figure la page prc-dente, se compose principalement :- d'un tambour, diamtre extrieur de = 320 mm,- de deux leviers parallles B1C1, B2C2, quips de sabots et garniture au coefficient de frottement de34%,- de deux biellettes C1D1, C2D2, articules sur un levier en forme de croix, EF, appuy en E et sollicitpar une force vers le bas F = 180 N.Le tambour tourne la frquence de rotation de 8 tours par seconde.Dterminez :1. l'quilibre des leviers verticaux B1C1 et B2C2, le sens de rotation du tambour tant droite.2. l'quilibre des biellettes C1D1 et C2D2.3. l'quilibre du levier en croix EF : force au point E.4. le couple de freinage.5. la puissance freine.3.105 Un accouplement commande hydraulique multidisque doit transmettre une puissance P =16 kW la frquence de rotation n = 16,2 tours par seconde vers un agitateur. Le facteur de serviceest estim fs = 2,0. Le couple se transmet sur un engrenage droit par l'intermdiaire d'une roue den-te. Le moment d'inertie de masse rduit sur la partie entrane vaut Jred = 0,27 kg.m2. La pressionhydraulique de service vaut p = 20 bar.Dterminez :1. la taille de l'embrayage partir d'un catalogue de fabricant, par exemple Ortlinghaus.2. l'acclration angulaire sur le pignon.3. le temps d'embrayage et la charge thermique.3.106 Combien de disques faut-il prvoir dans un embrayage disques multiples, command ma-nuellement, si le couple transmettre vaut 500 m.N ? Les dimensions proposes sont les suivantes :- diamtre extrieur de contact : dext e = 164,5 dint e = 162,- diamtre intrieur de contact : dext i = 118 dint i = 112,2.- disque en acier durci, coefficient de frottement de calcul = 0,08.- pression moyenne admissible : p = 0,8 N/mm2.Dterminez dans les conditions suivantes :1. le temps d'embrayage si : frquence n2 = 0 16,2 tours par seconde,couple machine MA = 300 m.N ; moment d'inertie de masse Jred = 2,1 kg.m2.2. l'augmentation probable de temprature si :aire d'change Achange = 0,2 m2; = 40 W/m2K; 80 enclenchements par heure.3. l'usure des lamelles aprs 12 000 heures de service si :- Exercices E.M. 136 -nergie d'usure Eusure = 20.104 J/mm3.4. la force de commande pour un coefficient de frottement = 0,12 et des dimensions :l1 = 100 mm, l2 = 28 mm pour le levier coud.3.107 Dans les freins ressort, ces mcanismes sont monts sur l'arbre moteur et sont actifs dsque l'alimentation lectrique est coupe. Des ressorts hlicodaux pressent sur le disque de freinageet ce dernier est libr par l'action d'une force magntique seulement lors de l'enclenchement du mo-teur. Le dimensionnement d'un frein de ce type s'effectue en fonction du couple de freinage nces-saire. Dans le catalogue B1 de ZF , le fournisseur propose de calculer le couple dynamique par laformule suivante :Ma = 1,046.102 . Jadd . n/(t - t2),avec : Ma couple de freinage en m.N ,Jadd moment d'inertie de masse additionnelle en kg.m2,n frquence de rotation en tours par minute,t temps de freinage,t2 temps de mise hors circuit.Justifiez cette formule pratique en crivant la relation fondamentale.3.108 Les limiteurs de couple RIMOSTAT de la maison Ringspann rduisent le couple transmis enparticulier pendant la priode de dmarrage ou sont utiliss en coupleurs de scurit. Ils sont compl-ts par des contrleurs de glissement. Soit monter un coupleur de ce genre entre un moteur et unepartie mene dans les conditions suivantes :- puissance nominale : P1 = 42 kW .- frquence de rotation nominale : n1 nom = 16 t/s n20 = 0 t/s- couple du moteur = n1/n1 nom : Mt1 = Mt1nom [1,8 - 0,8 ( + sin(2 n))] = variable.- couple de la machine rceptrice : Mt2 = 0,7 . Mt1nom = constant.- moments d'inertie de masse : J1 = 0,45 kg.m2 J2 = 2,25 kg.m2.- couple limite rgl sur : Mcoupleur = 1,6 Mt1nom .- Exercices E.M. 137 -Dterminez :1. la reprsentation des couples moteur, men et du limiteur en fonction de n1 nom.2. la valeur du couple d'acclration en fonction du rapport n1/n1 nom.3. les conditions de dmarrage entre le moteur et la partie mene.4. le glissement du coupleur pendant le dmarrage : temps de glissement et nombre de tours diff-rentiels.5. la vrification thermique : nergie produite par le frottement du disque (voir le graphique ci-avant).3.109 Soit dimensionner l'entranement et surtout le frein sur les moteurs d'un chariot de transla-tion une seule vitesse pour pont roulant. Les caractristiques connues ou imposes, selon exempleSEW, sont :- masse vide : mv = 5 000 kg - masse totale en charge : mtot = 16 000 kg.- vitesse de translation : v = 20 m/min - quatre roues motrices.- diamtre des roues : droue = 400 mm - diamtre des arbres : darbre = 80 mm.- matires roue/rail : acier/acier - rendement de la transmission : = 85%.- service : 60 dmarrages par heure, 8 heures par jour, service intermittent 60%.- acclration maximale admissible : a = 0,6 m/s2.- deux moteurs asynchrones deux ples avec rducteur engrenages parallles.Dterminez en utilisant les relations fondamentales et non des formules numriques :1. la taille des moteurs en calculant : la rsistance au roulement, la puissance, le couple du moteur, vide et en charge avec : palier = 0,005 , er = 0,5 mm, nmoteur = 45 t/s, c facteur pertes latrales.Rsistance au roulement : Froul = m.g [(2/droue).(palier.0,5 darbre + er) + c] avec c = 0,002.2. l'inertie rduite sur l'arbre moteur, le temps de dmarrage, l'acclration, la distance parcourue,avec : Jmoteur = 0,0006 kg.m2, inertie additionnelle J+ = 0,002 kg.m2, Mmoteur = 3,5 m.N.3. le couple de freinage, la dclration, la distance de freinage, l'nergie correspondante.Couples de freinage disposition : 5 4 2,5 1,6 1,2 en m.N .Temps de retard du frein : t21 = 35 ms.4. le choix du rducteur : frquence de sortie, rapport de transmission, couple de sortie, charge radialesur l'arbre si :- facteur d'application de la charge : KA = 1,5;- pignon de commande sur le rducteur fabriqu en denture droite avec un diamtre primitif defonctionnement d1' = 130 mm, angle de pression 22 et une roue au diamtre de fonctionnementd2' = 360 mm clavete sur l'arbre des roues.Les relations doivent tenir compte du rendement mcanique de la transmission !- Exercices E.M. 138 -3.110 Le limiteur de couple SIKUMAT de la maison Ringspann utilise une denture frontale pourdceler la valeur du moment transmis. Le modle SC 45 est prvu pour un moment maximal de 125m.N. Les dimensions principales, donnes dans le catalogue, sont :- diamtre de l'arbre avec clavette : darbre max = 32 mm.- diamtre extrieur : D = 100 mm.- longueur totale : L = 71 mm.- raccordement par 6 vis 60 : Diamtre de perage 90 mm, taille M 6 .- denture frontale au pas angulaire de 30.La figure du catalogue montre une coupe travers cet lment et le principe du fonctionnement. Lesdents trempes supportent des encliquetages rptitifs.Dterminez :1. la coupe travers le limiteur pour les dimensions extrieures proposes.2. les efforts sur les dents en supposant un coefficient de frottement de 12% entre surfaces.3. le dimensionnement des ressorts hlicodaux de pression et le contrle des vis.4. le contrle des autres pices du mcanisme.3.111 Le mcanisme roue libre de la maison Ringspann, liaison frontale par vis, srie FB, per-met de transmettre un couple de 320 m.N en version standard. Les dimensions principales donnesdans le catalogue sont les suivantes :- diamtre extrieur : D = 90 mm.- diamtre de l'arbre : darbre = 20, 22 ou 25 mm.- longueur totale : L = 50 mm.- transmission du couple par : 6 vis M 6 places sur un diamtre de perage dT = 75 mm.La figure montre une coupe dans la roue libre et le principe des corps prismatiques utiliss dans cemcanisme.Dterminez :1. la coupe travers la roue libre pour les dimensions extrieures proposes.2. la forme donner aux corps prismatiques pour remplir les conditions proposes dans le cours.3. les efforts sur les corps prismatiques en supposant une charge gale sur tous les corps.4. la pression superficielle entre les bagues et les corps.5. la transmission du couple par les vis en montage frontal.Remarque :Les mesures effectues sur des roues libres de ce genre ont montres que le dplacement dupoint d'application des forces sur les surfaces dformes reprsentait 0,15 0,22 mm, donc unevaleur diffrente du paramtre de rsistance de roulement er = 0,001 mm !3.112 Un frein disque industriel sert de maintien et empche le dmarrage inopin d'un arbre. Ilest quip d'une pince manoeuvre par manque de pression pneumatique, serrage par ressorts etdesserrage pneumatique. L'alimentation en air s'effectue par des pressions comprises entre minimum5 bar, maximum 7 bar. Le coefficient de frottement de la garniture sur le disque en fonte GGG-50 vaut = 0,32. Ce frein est mont sur l'arbre moteur, puissance P1 = 6,3 kW, frquence de rotation n1 =14,2 t/s, moment d'inertie de masse sur cet arbre J = 0,11 kg.m2. L'entranement se compose en plusd'un rducteur de vitesse roues dentes, d'un mcanisme pignon dent, d'une crmaillre relie une table, masse totale en mouvement rectiligne horizontal m = 1400 kg. La masse se dplace lavitesse v = 0,4 m/s et le rendement mcanique entre le moteur et la masse vaut 85%.- Exercices E.M. 139 -Diamtre du disque d2 : 200 250 300 355 430 520 mmCouple maximum de freinage : 180 250 320 390 490 610 m.NDterminez :1. la position de la pince sur le disque de freinage, l'effort normal produit :le couple de frottement peut s'exprimer par : Mfr = 0,5 (d2-2r) Fn,avec : r distance du bord du disque au centre de gravit de la garniture.2. le choix du disque monter sur l'arbre pour une scurit de 2 et le rglage du couple.3. la distance parcourue par la masse lors d'une coupure du courant d'alimentation du moteur.4. l'nergie absorbe par le disque et la puissance thermique vacue pour ED = 50%.3.113 La conception de roues libres fait l'objet de nombreux brevets et les ralisations pratiquesdiffrent d'un fabricant l'autre. La roue libre "Millam", invente par William. Miller et Harold Lame,comprend en principe deux rouleaux, un patin glissant l'intrieur de la surface cylindrique de la ba-gue extrieure, les deux rouleaux tant guids dans une entaille radiale, voir figure. Le but de cettedisposition est d'obtenir un effet immdiat du coincement et de compenser facilement l'usure entre lespices.Les deux rouleaux sont guids avec du jeu. Le but de l'exercice est d'tudier les quilibres des picesdans les conditions suivantes :1. le jeu dans l'entaille assure la position radiale exacte des deux axes des rouleaux.2. le jeu dans l'entaille n'est pas ngligeable et les rouleaux se dplacent l'un par rapport l'autre.Application numrique :Calculez le couple transmissible par une roue libre de ce type si les dimensions adoptes sont :- dimensions des rouleaux RC-12x18 : dr = 12 mm, longueur Lutile = 17 mm.- nombre de paire de rouleaux : 6. jeu ngligeable dans les guidages.- diamtre intrieur de la bague extrieure : d2i = 108 mm.- diamtre extrieur de la bague intrieure : d1e = 42 mm.- pression hertzienne admissible : p 1000 N/mm2.3.114 Un frein disque, forme A2 selon DIN 15 433, Partie 1, doit tre mont dans un pont-roulant bipoutre dont les caractristiques sont (type STEPHAN, Givisiez - Fribourg) :- masse dplacer verticalement : m = 25 000 kg,- course du crochet : h = 6 000 mm,- porte du pont : de 10 m 30 mtres,- vitesse de levage : v = 5 m/min et 0,5 m/min,- vitesse du chariot : vch = 20 m/min et 5 m/min,- vitesse du pont : vpont = 20 m/min.- entranement de levage : moteur lectrique, frein, rducteur, tambour cble,cble 4 brins et crochet de levage sur poulie.Inertie de masse moteur + rducteur J = 1,16 kg.m2.Rendement mcanique global : 84%.Lors d'une panne de courant, le frein disque doit viter une descente intempestive de la charge.Dterminez :1. la puissance minimale du moteur de levage la grande vitesse de levage.- Exercices E.M. 140 -2. la vitesse d'enroulement ou de droulement du cble sur le tambour.3. la taille du frein tambour pour une scurit de 2 au repos.La norme DIN donne les couples de freinage suivant pour un disque au diamtre 630 mm :Force de serrage sur la pince : 4 000 8 600 11 200 NCouple : 1 050 2 200 2 750 m.N4. le contrle thermique du frein pour 120 cycles par heure dont :- 60 cycles la monte de la charge,- 60 cycles la descente de la charge.5. le dplacement vertical de la charge en monte et descente lors de l'action du frein.Dimensions normes selon DIN 15 433 des freins disques industrielsDisque Aire Dimensionsd2 A1cm2d3 d4 h1 h2 2)minh1 3) h2min3154005006308001000108177270434710710141818222733M 12M 16M 16M 20M 24M 30160200250315400500555101010225270330410560-510101010- A1 aire de contact d'une garniture antifriction1) Nombre minimal de vis : 42) Hauteur d'axe conforme celle des machines selon DIN 7473) Hauteur d'axe correspondant celle des freins tambour3.115 L'exercice 3.99 traitait d'une manire simplifie le problme d'un accouplement de scuritprvu pour une puissance P1 = 160 kW n1 = 20 tours par seconde entre un moteur et une machinerceptrice. Cet exercice montre la version industrielle du mme coupleur Elsi-Hydrostar fabriqu parHochreuter & Baum Ansbach (RFA). La commande de la pression sur les garnitures tronconiquesest assure par pression hydraulique. L'accouplement de scurit, en nouvelle version, comprend es-sentiellement :- un arbre moteur gauche avec un moyeu 1 clavet sur lui, une toile d'entranement avec garnitureantifriction tronconique 2.- trois vrins hydrauliques 6, aliments depuis l'arbre moteur par une conduite souple et dformable.- trois tourillons intermdiaires 7 supportant des ressorts hlicodaux.- un second plateau avec garniture antifriction tronconique 3 entran par trois tourillons cylindriques 4solidaires du premier plateau,- trois ensembles ressort + bute amliorant le comportement de l'accouplement.- une cloche en deux parties 5 fixes sur l'arbre de la machine mene.Dterminez :- Exercices E.M. 141 -1. l'effort normal sur les garnitures antifriction dans les conditions suivantes :- scurit au glissement Sgl = 2,0 avec un coefficient de frottement = 35%.- la pression moyenne se trouve par : p = Fax/(Ap(1+/tan)), Ap tant la surface projete axiale-ment de la garniture.2. la pression hydraulique prvoir pour les trois vrins si le rendement vaut 90%.EXERCICES DIVERS SUR LES LMENTS DE MACHINES3.116 Un moteur lectrique, puissance nominale 8,5 kW, frquence de rotation 23,8 t/s, est quipd'une poulie d = 200 mm sur laquelle passe une courroie plate qui entrane un arbre muni d'une poulieD = 1260 mm. La transmission est quipe d'un galet tendeur, comme reprsent dans le cours. Lecoefficient de frottement entre la courroie et la poulie vaut 35 %.Dterminez :1. le rapport de transmission, les frquences de rotation de l'arbre men et le tendeur,2. la valeur de la masse du contre-poids placer sur le levier du galet tendeur,3. les dimensions de la courroie plate, suivant les donnes de la maison Habasit,4. les ractions d'appui sur les paliers des trois poulies,5. la reprsentation graphique de l'intensit de la raction d'appui sur la poulie motrice en fonction ducouple moteur.3.117 La liaison entre un moteur lectrique et une machine rceptrice s'effectue au moyen d'unetransmission par courroie plate avec enrouleur. La puissance du moteur est 63 kW et la frquence derotation 16,2 t/s. Les diamtres des poulies sont :- poulie motrice : 250 mm,- poulie de l'enrouleur : 200 mm,- poulie sur la machine mene : 1200 mm,- entraxe entre les poulies : 2500 mm,- entraxe entre les poulie motrice et de l'enrouleur : 450 mm.Les caractristiques de la courroie synthtique sont :- paisseur s = 2,8 mm, - masse volumique : = 1,1 kg/dm3,- largeur b = 200 mm, - coefficient de frottement de calcul = 0,45- modules d'lasticits : en flexion Efl = 250 N/mm2, en traction E = 450 N/mm2.Dterminez :1. les angles d'enroulement sur toutes les poulies et la longueur de la courroie,2. les couples moteur et rcepteur en ngligeant les pertes, les tensions dans les brins de la cour-roie,3. la vitesse de la courroie et le nombre de flexions par seconde,4. l'quilibre de la poulie de l'enrouleur,5. l'quilibre de la poulie motrice,6. les contraintes normale, de flexion, centrifuge et totale dans la courroie lors de son passage sur lapoulie motrice.3.118 Le systme autotendeur SESPA est utilis dans la commande d'une machine au moyend'une transmission par courroie plate. La puissance du moteur lectrique vaut P = 8 kW, la frquencede l'arbre moteur est 24 t/s. L'engrenage roues cylindriques, denture droite non dporte, prsenteles caractristiques suivantes :- nombre de dents du pignon mont sur l'arbre moteur z1 = 19 dents,- nombre de dents de la roue solidaire de la poulie z2 = 43 dents,- module m = 3 mm, largeur de la denture b = 38 mm.Dterminez :1. les dimensions gomtriques des roues : d , da , df , db , p,2. le rapport de conduite de la denture,3. les frquences de rotation des deux poulies si le diamtre de la poulie motrice est 280 mm, cellede la poulie rceptrice 1250 mm,4. les composantes et les rsultantes des forces appliques sur la denture des deux roues,- Exercices E.M. 142 -5. l'effort sur le levier articul sans frottement AB ainsi que les tensions dans les deux brins de lacourroie plate,6. le coefficient de frottement minimal entre la poulie et la courroie, la largeur de la courroie pour unecontrainte normale maximale de 8 N/mm2 si l'paisseur prvue est s = 2 mm.3.119 Un ruban transporteur est entran par un tambour cylindrique command par un moto-rducteur dont le rendement mcanique est 93%. La vitesse de la bande est 0,5 m/s et la diffrencede tension entre le brin infrieur et le brin suprieur vaut F = 3 700 N. Le coefficient de frottement decalcul entre le ruban et le tambour est estim 12,5%.Les tensions dans le ruban sont obtenue par un mcanisme reprsent schmatiquement sur lafigure. L'trier, solidaire des paliers sans frottement, est quip d'un crou et d'une vis au profiltrapzodal Tr 24x5, diamtre sur flancs 21,5 mm. Le volant de manoeuvre est centr dans un palier -bute, rayon moyen de contact 15 mm. Le coefficient de frottement entre la vis et l'crou entre levolant et la bute, vaut 10%.Dterminez :1. la puissance d'entranement du moteur lectrique mont sur le rducteur engrenages,2. les tensions dans les deux brins du ruban transporteur,3. le couple produire entre l'crou et la vis afin d'obtenir une tension correcte dans le ruban,4. le couple fournir sur le volant de manoeuvre pour raliser la dite tension.3.120 Un moteur lectrique, puissance 12,5 kW, frquence de rotation 24,2 t/s, masse totale 115kg avec son support, est mont sur un rail pour obtenir la tension prliminaire dans la courroie. L'arbredu moteur est quip d'une poulie supportant une courroie plate de transmission. Le coefficient defrottement entre le support du moteur et le rail, entre les vis et son crou, sur la bute, vaut 10%.Dterminez :1. le couple moteur et la "force tangentielle" sur la poulie prvue au diamtre 160 mm,2. les tensions dans les brins de la courroie si le coefficient de frottement de calcul vaut 32%,3. l'quilibre complet de la poulie,4. la force axiale produire par les deux vis de rglage en tenant compte du frottement entre lesupport du moteur et le rail de prcontrainte,5. le couple sur la vis si les caractristiques de cette dernire sont :- rayon moyen de la bute : 10 mm,- filetage mtrique M16, pas 2 mm, diamtre sur flancs 14,701 mm.3.121 Une transmission par courroie plate doit permettre de transmettre une puissance de 90 kW.La frquence de rotation du moteur est 16,4 t/s et les dimensions adoptes pour les poulies sont :- poulie sur l'arbre moteur : 400 mm,- poulie sur l'arbre men : 250 mm.Les caractristiques de la courroie sont :- paisseur s = 4 mm, - masse spcifique = 1,15 kg/dm3,- module d'lasticit en flexion Efl = 120 N/mm2,- contrainte normale admissible n = 13 N/mm2,- coefficient de frottement de calcul entre poulies et courroie = 0,35.Dterminez :1. lesfrquences de rotation des poulies, les couples moteur et rcepteur, le rapport de transmission,2. les contraintes de flexion et la contrainte centrifuge dans la courroie,3. la largeur thorique de la courroie et la largeur relle si le produit des facteurs de correction vaut1,45 ,4. les quilibres des poulies motrice et rceptrice,5. la masse m prvoir sur le levier du galet tendeur et l'quilibre de ce levier,6. la reprsentation graphique des forces dans la courroie et de la raction d'appui sur la poulie mo-trice en fonction de la puissance transmise. Reprsenter en abscisses la puissance en kW, en or-donnes les forces en N.3.122 Un transporteur bande ncessite une puissance P = 0,48 kW la frquence de rotation de0,25 t/s, l'arbre moteur du rducteur tournant 1,32 t/s. On prvoit une transmission chanes,l'entraxe approximatif tant 630 mm. Le milieu ambiant est propre et la lubrification peut s'effectuer pargouttes ou graisse.- Exercices E.M. 143 -Dterminez :1. les couples sur les deux arbres, les facteurs de correction,2. la taille de la chane prvoir : dimension nominale, nombre de dents des roues,3. la vitesse de la chane, la force normale de calcul, les coefficients de scurit,4. l'entraxe et les tolrances de rglage.3.123 Une transmission par chane est prvue pour une puissance P = 12,5 kW la frquence derotation de 6 t/s depuis un moteur asynchrone tournant 24,3 t/s. L'entraxe approximatif vaut 1250mm et les conditions de lubrification sont choisir entre une circulation d'huile et de l'huile souspressions.Dterminez :1. les couples sur les deux arbres, le facteur d'application de la charge tant 1,15 ,2. la taille de la chane prvoir : dimension nominale, nombre de dents des roues,3. la vitesse de la chane, la force normale de calcul, les coefficients de scurit,4. l'entraxe nominal et les tolrances de rglage.3.124 L'entranement d'un ruban transporteur s'effectue par un tambour command par unechane depuis un rducteur motoris. La puissance ncessaire est P = 22 kW. La vitesse du rubanvaut 0,6 m/s, le diamtre du tambour tant 425 mm. L'entraxe entre les deux roues dentes vautapproximativement 1000 mm et peut se rgler au moyen d'un systme tendeur.Dterminer :1. les couples sur les deux arbres, les facteurs de correction ventuels,2. la taille de la chane : dimension nominale, nombre de dents des deux roues si la frquence derotation de sortie du rducteur vaut 6,3 t/s,3. la vitesse de la chane, la force normale de calcul, les coefficients de scurit,4. l'entraxe nominal et les tolrances de rglage.3.125 Une tige section rectangulaire, largeur 25 mm, profondeur 16 mm, est guide dans deuxappuis rugueux et charge son extrmit suprieure par une force axiale F = 1 250 N. Cette piceest dplace par une came en dveloppante de cercle, paisseur 20 mm, rayon de base 40 mm. Ledplacement depuis le rayon de base est prvu sur 60 mm. Le coefficient de frottement entre la cameet l'extrmit de la tige, entre la tige et ses guidages, vaut 18%.Dterminez :1. l'quilibre de la tige en mouvement dans les position infrieure et suprieure,2. la pression superficielle entre la tige et la came dans les positions infrieure et suprieure,3. la valeur du couple produire sur l'arbre moteur de la came en fonction de la position de la tige.Reprsentez la fonction Mcame = fonction du dplacement de la tige.3.126 Une transmission par friction se compose d'une roue motrice 1, diamtre extrieur 40 mm,monte sur un arbre guid dans des paliers fixes, d'une roue intermdiaire 2, diamtre extrieur 60mm, coulissante dans le levier BC et d'une roue en cloche monte sur l'arbre de sortie, diamtreintrieur 150 mm. La largeur de contact entre les diverses roues vaut 20 mm.La puissance transmise par la roue motrice 1 vaut 300 W, la frquence de rotation tant 29 t/s. Lecoefficient de frottement entre les roues vaut 15% et le coefficient de scurit au glissement devraitatteindre au moins 1,8.Dterminez :1. les couples sur chacune des roues,2. l'quilibre de la roue 1,3. l'quilibre de la roue intermdiaire 2 et la force produire par le ressort Fres,4. l'quilibre de la roue cloche 3,4. la pression superficielle entre les diverses roues si : E1 = E3 = 21.104 N/mm2, E2 = 11.104 N/mm2.3.127 Une transmission par friction se compose essentiellement des pices reprsentesschmatiquement sur la figure. Elle permet de transmettre une puissance P1 = 200 W la frquencede rotation n1 = 20 tours par seconde. Ce sont :- une roue motrice en acier, diamtre 30 mm.- une roue mene en acier, diamtre 80 mm.- Exercices E.M. 144 -- un galet intermdiaire en laiton, diamtre 40 mm.La roue intermdiaire est press entre les deux autres roues par un systme articul compos d'unebiellette et d'un levier articul sur le point fixe B. Le levier est charg par un ressort hlicodal produi-sant la force ncessaire l'entranement de l'ensemble. Le coefficient de frottement de calcul est es-tim 15% et vaut ' = 0/Sgl .Dterminez :1. les couples sur chacune des roues sachant que les pertes dans les paliers de centrage sont ngliger.2. l'quilibre de la roue intermdiaire, compte tenu des conditions de frottement entre les surfacescylindriques des roues.3. la force produire par le ressort hlicodal pour que le mcanisme remplisse srement et correc-tement les fonctions demandes.4. les efforts dans l'axe de la roue intermdiaire et les contraintes dans la section dangereuse enadmettant une pression rpartie uniformment sur les portes.5. la pression hertzienne sur la roue intermdiaire.3.128 Pour transmettre une puissance P = 250 kW la frquence de rotation n = 9,5 tours parseconde, l'accouplement rigide est mont par frettage chaud. Le diamtre de l'arbre plein est 135mm, la longueur de contact 160 mm. Le plateau d'accouplement prsente les dimensions donnes surla figure.Les champs de tolrance de l'assemblage sont :- arbre : 135 u8.- alsage : 135 H8.La perte de serrage engendre par la rugosit des surfaces est estim 5 mm.Dterminez :1. la pression de serrage et le coefficient de scurit au glissement pour un coefficient de frottementde 14%.2. les contraintes simples et rsultantes dans les diverses pices de l'assemblage.3. la temprature de montage du plateau d'accouplement si la temprature de l'arbre est 25C.- Exercices E.M. 145 -TABLE DES MATIRESEXERCICES SUR LES LMENTS DE MACHINESVolume 1Tribologie, assemblages vis, ressorts, jointsCHAPITRES 1 3 : BASES ET TRIBOLOGIE 1Exercices 1.1 1.19 : Frottement de glissement 1Exercices 1.20 1.43 : Frottement de roulement et pression 7Exercices 1.44 1.56 : Tribologie 14Exercices 1.57 1.63 17CHAPITRES 4 8 : LMENTS GNRAUX 20Exercices 1.66 1.80 : Goupilles et tourillons 20Exercices 1.81 1.127 : Circlips, clavettes, arbre moyeu 23Exercices 1.128 1.153 : Assemblage vis 35Exercices 1.154 1.189 : Ressorts 45Volume 2Organes de transmission directeCHAPITRES 9 10 : DYNAMIQUE, AXES, ARBRES 55Exercices 2.1 2.14 : Dynamique de la transmission 55Exercices 2.16 2.40 : Axes et arbres 59CHAPITRES 9 10 : BUTES, PALIERS, GUIDAGES LISSES 69Exercices 2.41 2.76 : Axes et arbres 59CHAPITRES 14 15 : BUTES , PALIERS ET GUIDAGES ROULEMENTS 86Exercices 2.77 2.105 : Butes, paliers et guidages roulement 86Volume 3Organes de transmission indirecteCHAPITRES 18 et 19 : GOMTRIE DES DENTURES DROITES 97Exercices 3.1 3.26 : Engrenages denture droite 97Exercices 3.27 3.40 : Engrenages denture hlicodale 102CHAPITRE 20 : GOMTRIE DES ENGRENAGES ROUES CONIQUES 107Exercices 3.41 3.50 : Engrenages roues coniques 107CHAPITRE 21 : CONTRLE DES ENGRENAGES PARALLLESET CONCOURANTS 112Exercices 3.51 3.75 : Contrle des engrenages 112CHAPITRE 22 : ENGRENAGES AXES GAUCHES 123Exercices 3.76 3.86 : Vis sans fin et engrenages gauches 123CHAPITRE 23 : EMBRAYAGES, COUPLEURS, FREINS 129Exercices 3.91 3.115 : Embrayages et freins 129EXERCICES DIVERS SUR LES ELEMENTS DE MACHINES 141Exercices 3.116 3.128 : Divers exercices 141Tribologie, assemblages vis, ressorts, jointsVolume 2Organes de transmission directeVolume 3Copyright \( Gaston Nicolet CH-1700 Fribourg tTribologie, assemblages vis, ressorts, jointsCHAPITRES 1 3 : BASES ET TRIBOLOGIEACHAPITRES 4 8 : LMENTS GNRAUXSrie lgreSrie moyenneNDBNDBRVolume 2Organes de transmission directeCHAPITRES 9 10 : DYNAMIQUE, AXES, ARBRESMoments dinertie de masse de corps simplesVolume 3Organes de transmission indirecteCHAPITRES 18 et 19 : GOMTRIE DES DENTURES CHAPITRE 20 : GOMTRIE DES ENGRENAGES RCONIQUESCHAPITRE 21 : CONTRLE DES ENGRENAGES PARALLET CONCOURANTSCHAPITRE 22 : ENGRENAGES AXES GAUCHESCHAPITRE 23 : EMBRAYAGES, COUPLEURS, FREINSTABLE DES MATIRESEXERCICES SUR LES LMENTS DE MACHINESOrganes de transmission directeOrganes de transmission indirecteCHAPITRES 18 et 19 : GOMTRIE DES DENTURES CHAPITRE 20 : GOMTRIE DES ENGRENAGES RCHAPITRE 21 : CONTRLE DES ENGRENAGES PARALLET CONCOURANTS112CHAPITRE 22 : ENGRENAGES AXES GAUCHES123CHAPITRE 23 : EMBRAYAGES, COUPLEURS, FREINS129

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