ISRAEL JOURNAL OF MATHEMATICS, Vol. 26, No. 2, 1977

QUELQUES PROPRII TI S DES OPI RATEURS ANGLE-BORN] S ET

n-CYCLIQUEMENT MONOTONES

PAR

JEAN-BERNARD BAILLON ET GEORGES HADDAD

ABSTRACT

The paper deals with properties of tr-angle bounded linear and nonlinear operators. In particular it is proved that if A is a tr-angle bounded linear maximal monotone operator in a real Hilbert space then - A is the infinitesi- mal generator of an analytic semi-group.

O. Introduction

Soient E un espace vec tor ie l sur R, E* son dual a lg6br ique et ( . , - ) la dual i t6

en t re E et E* . On dit q u ' u n e app l i ca t ion A de D ( A ) C E dans E * est o'-angle

bornde (avec o" > 0) si Vx, y, z E D ( A )

( A x - A z , z - y)_<- t r ( A x - A y, x - y).

On dira qu ' une app l ica t ion A de D ( A ) C E dans E * est n - c y c l i q u e m e n t

m o n o t o n e si Vx, E D ( A ) i = 1 , . . . , n on a:

( A x , , x , - x , + O = > O avec x . + l = x l . i = l

La p remi6 re not ion a 6t6 in t rodu i t e dans l ' a r t ic le B r e z i s - B r o w d e r [2] et la

seconde pa r Rocka fe l l a r [4].

Le p a r a g r a p h e I est consacr6 au cas l in6aire. On y p r6sen te d ' a b o r d des

d6fini t ions 6quiva len tes de la no t ion d ' o p 6 r a t e u r o ' -angle born6. On y met en

6v idence le lien avec les op6 ra t eu r s m -sector ie ls d6finis dans le cas c o m p l e x e (cf.

Ka to [3]). On y expose ensui te une d6mons t r a t i on s imple du th6or6me d ' A s p -

lurid [1] dans le cas r6el. Ce th6or6me affirme que A, l in6aire, est n-

cyc l iquement m o n o t o n e si et s eu l emen t si A est o , - a n g l e - b o r n 6 avec o-, =

� 8 8 On d o n n e enfin une d6mons t r a t i on d i rec te pa r une t echn ique

Received January 27, 1976

137

138 J . B . B A I L L O N A N D G. H A D D A D Israel J. Math.

r6elle du r6sultat suivant: tout op6rateur lin6aire maximal monotone o--angle-

born6 d'un espace de Hilbert r6el engendre un semi-groupe analytique. Ce

r6sultat correspond au th6or6me de Kato [3] (p. 490) pour les op6rateurs

m-sectoriels, ofa il est d6montr6 par une m6thode de variable complexe

totalement diff6rente de la n6tre.

Le paragraphe II est consacr6 aux op6rateurs non-lin6aires. On y d6montre

que si T e s t un op6rateur non lin6aire n-cycliquement monotone, L-lipschitzien

de E, espace vectoriel norm6, darts E ' (dual topologique), alors:

V u, v E E ( Tu - Tv, u - v)>= 4-~,L II Tu - Tv Jr.

En particulier, si T = grad ~, q~ fonction convexe de classe C ' sur E, et si T e s t

L-lipschitzien, alors on a l'in6galit6:

V u, v E E ( Tu - Tv, u - v)-> ~-II Tu - Tv I[ 5.

Le plan est le suivant:

I. Le cas lin6aire

1.1) D6finitions 6quivalentes des op6rateurs lin6aires ~r-angle-born6

1.2) Le th6or~me d'Asplund

1.3) Analycit6 du semi-groupe engendr6 par un op6rateur lin6aire maximal

monotone o--angle-born6

II. Le cas non lin6aire

Chapitre I. Cas lin6aire

1. D6finitions ~quivalentes des op6rateurs lin6aires o'-angle-born6s

Soit E un espace vectoriel sur R, E* son dual alg6brique. On consid6re A

lin6aire de D (A) dans E* avec D (A) domaine de A sous-espace vectoriel de E.

PROPOSITION. 1. Nous avons les gquivalences suivantes off o" > 0:

(1) ( A x - A y , y - z ) < = c r ( A x - A z , x - z ) Vx, y, z E D ( A ) .

(2) (Ax, y)<=o'(ax, x ) + ( a y , y) Vx, y E D ( A ) .

(3) (ax, y)<=a(Ax, x ) + f l ( a y , y) Vx, y E D ( a )

avec a > O, 13 > O, et a[3 = ~r.

(4) (Ax, x)>=O V x E D ( A ) et

I(ax, y ) - (ay, x ) [ ~ Z a ( A x , x) '/2(Ay, y),/2 Vx, y ~ D ( A )

avec ~r = k(a2+ 1).

Vol. 26, 1977 OPIS.RATEURS ANGLE-BORNI~S 139

DI~MONSTRATION.

(1) r (2). Comme A est lin6aire, (1) s'6crit:

( A ( x - z), y - z ) ~ (A(y - z ) ,y - z ) + o-(A(x - z ) , x - z).

Ce qui 6quivaut h (2) en posant X = x - z et Y = y - z.

(2) r (3). Posons a/3 = o" avec a > 0 et /3 > 0, alors:

(Ax, y) <= or~3 (Ax, x) + (Ay, y).

En rempla~ant y par/3y, on obtient (3). De m6me, en rempla~ant y par y//3 dans

(3), on obtient (2).

(3) r (4). Montrons tout d'abord que (3) => (4). On prend a =/3 = ~ et

dans l'in6galit6 (3) nous rempla~ons x par x + y et y par x - y. On obtient ainsi

en simplifiant:

(Ay, x ) - ( A x , y)-< (2X/Tr- 1)(Ax, x)+(2X/Tr+ 1)(Ay, y) Vx, y ~ D(A) .

De ce fait, si l'on remplace x par Ax, on a, pour tout A ~ R:

A 2(2N/~'- 1)(Ax, x) - a [(Ay, x) - (Ax, Y)I + (2V'~+ 1)(Ay, y) -> 0.

Le discriminant de ce trin6me en )t est donc n6gatif, ce qui s'6crit:

[(Ay, x) - (Ax, y)]2 __< 4(4o" - 1)(Ax, x)(Ay, y).

On en d6duit que o"----~. Posons a 2= 4o" -1 o~ o" = �88 1). On obtient alors

(4). Montrons maintenant que (4) ~ (3). En effet, en prenant tr = ~(a2-F 1), nous

avons :

[(Ax, y) - (Ay, x)] 2 =< 4(2V'o'- 1)(2X/Tr+ 1)(Ax, x)(Ay, y).

Or

4(2X/~-- 1)(2"k/7:r + 1)(Ax, x)(Ay, y)-< [(2"k/7:r- 1)(Ax, x ) + (2~F~+ 1)(Ay, y)]2,

car 4m =< (m + n) 2. Donc

(Ax, y) - (Ay, x) <= (2%/7)'- 1)(ax, x) + (2X/~+ 1)(ay, y).

Ce qui s'6crit encore

140 J . B . B A I L L O N A N D G . H A D D A D I s r a e l J . M a t h .

( A ( x - y) ,x + y ) < X/~r(A(x + y) ,x + y ) + X / o ' ( A ( x - y) ,x - y).

D'ofi (3) en posant X = x - y et Y = x + y .

2. L e t h 6 o r ~ m e d ' A s p l u n d

THEOREME 2 (Asplund [1]). Soient E un espace vectoriel sur R, E* son dual

alg6brique, A lindaire de D ( A ) C E dans E *. Nous avons alors l'dquivalence des deux propridtds suivantes :

(5) (Ax, x)>=O V x E D ( A ) et I(Ax, y ) - (Ay, x)l =< 2 tg (zr/n)(Ax, x)l/2(Ay, y)1/2 'r y E D(A) .

(6)A est n-cycliquement monotone.

D,~,MONSTRATION.

(6) f f (5). On v6rifie imm6diatement que (Ax, x)>= O, ceci en prenant xl =

x2 . . . . . x . _ , = 0 et x . = x. Prenons maintenant

2kTr 2k~ xk = x c o s - - + y s i n k = O , 1 , . - . n - 1 .

n T ' '

En utilisant le fait que A est lin6aire, n-cycliquement monotone, le calcul

donne, en regroupant les termes, une expression du type:

o~(Ax, x )+f l (Ay , x ) + y ( A x , y )+6(Ay , y)>=O Vx, y E D ( A ) .

Calculons a,/3, y, ,5. Nous obtenons:

-

Ot : C O S - - - - COS . k=O n L n n

Or cos20 = (1 + cos20)/2 et

cos 0 cos ~, = �89 [cos (0 + ~o) + cos (0 - ~)].

En appliquant ces deux formules h 0 = 2kzr/n et q~ = 2(k + 1)rr/n, on obtient:

" I f 1 1 4k'n" 1 (4k+2)'n" 1 2'rr'~ \ + cos n - cos n

Or

car

n--l~ 4 k ~ n--! 2., cos "= Re ~ e 4groIn = 0 k =o n k =0

rl 1

Z e 4k'~i/n = O. k=0

V o l . 26, 1977 O P E R A T E U R S A N G L E - B O R N I ~ S 141

D e m 6 m e

car

"- ' (4k + 2)7r_ " - ' cos - Re ~ e "k+2,"/" = 0

k =o n k =o

n - - 1 n--1

E e(4k4:2)~i/n = e2Wi/n E e4kwiln = O. k = 0 k = 0

Ainsi a = (n/2) (1 - cos 2 7r/n). Un calcul du m 6 m e type donne:

"- ' ~ ( 4kTr ( 4 k + 2 ) ' r r + s i n _ ~ ) 2sln-n--'n. 2Tr /3 = ~] s i n - - - - s i n = k =o n /1

Pour 3' nous t rouvons:

"-~ 1 / . 4kTr ( 4 k + 2 ) ~ _ ~ ) n . 2zr 7 = ~ ] ~ ~ s m n - s in - s in = - ~ s in --n-"

k =o n

Enfin, pour 6 nous t rouvons:

"- ' 1 ( 4k'n" 2 ' n ' + c o s ( 4 k + 2 ) ' n ' ) n ( . ~ ) 6 = ~ ~ 1 - c o s - c o s k=,, n n n = ~ 1 - c o s

Ainsi nous avons, pour tout x, y E D (A) :

n . 27r . x ) _ ( A x , y)]+ 2 ( l _ c o s 2 7 r ) ( A y , y)>=O" 2 ( 1 - c o s ~ ) ( A x , x)+-~sm--~[(Ay,

Or

et

273" T/" 1 ~ cos - - - = 2 sin 2 --

n n

= . 7 r 7 r

s i n 2 sm -- cos --. l l n n

En simplifiant nous ob tenons :

�9 77" 7"/" . "B"

sin -- (Ax, x ) + cos n [(Ay, x ) - (Ax, y )] + sin ~- (Ay, y) _-> 0. n

Mars, en p renan t Ax ~ la place de x nous ob tenons :

A2sinrC(Ax, x ) + A ~r 7r A > n COSn[(Ay, x ) - ( A x , y ) ] + S i n n ( y , y ) = 0

ceci pour tout A E R. On en d6duit alors que

142 J . B . B A I L L O N A N D G . H A D D A D I s r a e l J. M a t h .

[(Ay, x) - (Ax, y)12 =< 4

�9 2 7 7 - s i n - -

n ( a x , x ) ( a y , y).

COS 2 - - n

D'o/ l (5). D ' ap r6s la Proposi t ion 1, A est cr , -angle-born6 avec tr, =

I(1 + tg 2 7r/n). Mont rons ma in tenan t que (5) ~ (6). D ' ap r6s la Proposi t ion 1, [(4) ~ (3)], (5)

est 6quivalent h (Ax, y)<-a(Ax, x)+/3(Ay, y) avec o~ > 0 , /3 > 0 et a/3 = tr, =

k(1 + tg 2 ~/n).

Posons

I = (Axo, x,) + (Ax,, x2) + . . . + (Ax,_3, x,-2)

avec x~ ~ D ( A ) i = 0, 1 , . . . , n - 2 . Nous avons alors

car

n - 3

I <= ~'~ [ot,(Ax,,x,)+ /3,(Ax,§ i = 0

(Ax,, x,+,) _-< a,(Ax,, x , ) + ~3,(Axe+,, xi§

pourvu que a~/3, = tr., a~,/3~ > 0. D o n c

n - 3

I <-_ Oto(Axo, Xo) + ~ (a, +/3~ .)(Ax,, x,) +/3, 3(Ax,-2, X,-z). i = 1

Choisissons

7T

1 1 t g n ot~ = ~ § 2 t g ( i + 1)Tr

n

et /3~ = tr,/a~. On obt ien t alors a0 = 1, a, +/3~-1 = 1 et /3,_3 = 1. D'ofi

I <-_ (Axo, Xo)+ (Ax,, x l )+"" + (Ax,~2, x,_2).

Ce qui, en remplaqan t I par son expression, nous p rouve que A est bien

n -cyc l iquement mono tone .

3. Analyciti du semi-groupe engendr6 par un op6rateur lin6aire maximal monotone, tr-angle-borni

THI~ORI~ME 3. Soit H un Hilbert r~el et A : D (A )--* H u n op~rateur lin~aire,

maximal monotone, tr-angle-borng. Notons S ( t ) = e x p ( - tA ) le semi-groupe

engendr~ par - A . Nous avons alors Vx E H et V t > 0 S(t)x E D ( A ) et

Vol. 26, 1977 OPI~RATEURS ANGLE-BORNI~S 143

]l A S ( t )x ]l <= ~V~/t II x II. Cette propridtd ~quivaut a l' analycitd du semi-groupe S ( t )

(cf. K a t o [3], p. 490).

DEMONSTRATION. NOUS savons (cf. Ka to [3], p. 481) que pou r tout x E D ( A ) ,

S ( t ) x E D ( A ), A S ( t ) x = S ( t ) A x et que u ( t ) = S ( t ) x est solut ion de l '6quat ion

du /d t + A u = 0 sur [0, +oo[ avec u(0) = x. Supposons d ' a b o r d que x E D(A2) .

Alors u( t ) est de classe C 2 et d2u/dt 2= A2u. En effet

du -d[ ( t ) = - A e -'A x = - e - 'A A x,

mais A x E D (A ), donc

d2u . . A 2e-,A x e-,A A ex. (t) = Ae- 'A A x = =

Posons, tou jours p o u r x E D(AZ) ,

Alors

D 'of l

d u y( t ) = t A S ( t ) x = t A u ( t ) = - t-d'[(t ).

d 2 u . . y ' ( t ) = A u ( t ) - t'-d-fllt ) = A u ( t ) - tA 2u(t).

(y ' ( t ) , y ( t ) ) = t ( A u ( t ) , A u ( t ) ) - tZ(A 2u(t), Au ( t ) ) .

Util isons le fait que A est or-angle-born6 en 6crivant que*:

( A u (t), A u (t)) <- t ( A u (t), u (t)) + t ( A 2u (t), A u (t)).

On appl ique pou r cela (3) avec x = u(t) , y = A u ( t ) e t a = or~t, [3 = t. Ce qui

donne:

t ( A u ( t ) , A u ( t ) ) <= or(Au(t) , u( t ) ) + t2(A 2u(t), Au ( t ) ) .

Ainsi, pou r x E D(A2) , nous avons 'tit > 0 (y ' ( t ) , y ( t ) ) = < or(Au(t) , u(t)) . Les

deux t e rmes de cet te in6galit6 6tant cont inus en t, nous avons, en in t6grant ent re

0 et t > 0 :

Suivant une suggestion de Nirenberg.

144 J .B. BAILLON AND G. HADDAD Israel J. Math.

fo' fo' (y ' ( s ) , y(s))ds <- tr (Au(s), u(s))ds.

Or Au(s) = - u ' ( s ) ; d 'o6

[- 2 Jo = o r 2 Jo"

C o m m e y ( 0 ) = 0, nous ob tenons :

2 = ~ 2 _-<or 2 "

Ainsi II Y(t)lI--< ~"~tt x II. D o n c nous avons v t > 0 et Vx e D(A2) :

II AS(t)x II <=-~11 x II.

C o m m e D ( A 2) est dense dans H, pou r tout x E H nous avons x = l im . . . . x,

avec x, E D(A2) . Alors la suite S(t)x, de D ( A ) t end vers S(t)x car S(t) est un

semi -g roupe de contract ions. D e plus la suite AS(t )x . est de Cauchy pou r tout

t > 0 grhce ~ l'inOgalit6 d6mon t r6e prOc6demment . En ettet

II AS ( t )x, - AS( t )x. II = II AS( t )(x. - x,, )ll <= --~-II x. - x , II.

L ' o p 6 r a t e u r A 6tant ferm6, on peu t aff irmer que pou r tout t > 0, S(t)x ~ D ( A ) et AS( t )x = lira . . . . AS(t)x, .

Par passage ~ la l imite on a bien [I a s ( t ) x II -< ~ / t II x II pou r t > 0 et x E H.

REMAROUE. La not ion d ' o p 6 r a t e u r lin6aire t r -angle-born6 d6finie sur un

Hi lber t r6el est ~ r a t t ache r h celle d ' o p 6 r a t e u r sectoriel telle qu 'e l le est d6finie

par K a t o [3], p. 280, dans le cas d 'un Hi lber t complexe .

En effet, soit H u n Hi lber t sur R, (9 = H x H son complexif i6 et A un

op6ra t eu r t r -angle-born6 de H. Nous allons m o n t r e r que l ' op6 ra t eu r 9I de (9

ainsi d6fini: ~(91) = D ( A ) x D ( A ) et Vu = [x, y] E ~(91) 91u = [Ax, A y ] est un

op6 ra t eu r sectoriel , c 'es t -h-dire que {(91u, u) iu E~(91 )} est inclus dans un

sec teur du plan complexe du type {z ] [ Im z I =< a Re z} avec a > 0. En effet 6crit

u = [x, y] E ~(91). Posons z = (91u, u). Nous ob t enons

z = (Ax, x) + (Ay, y) + i [(Ay, x) - (Ax, y )],

et d 'apr~s la Propos i t ion 1, I I m z [ - a Re z.

Vol. 26, 1977 OPI~RATEURS ANGLE-BORNI~S 145

Chapitre II. gas non lin~aire

Rappe lons le r6sultat:

PROPOSmON 4. Soi t E un espace vectoriel normd, et E ' le dua l topologique. O n

consid~re T: E ~ E ' une appl ica t ion L - l i p s c h i t z i e n n e et cr -angle-bornde . A l o r s on

a l ' indgal i td

1 (7) ( T x - Ty, x - y)>-_ ~-~--~ll Tx - T y ll 2 Vx , y E E.

DEMONSTRATION. T 6tant o ' -angle-born6, on a:

( T x - Ty, z - y ) = < - ( T y - Tz, z - y ) + o ' (Tx - Ty, x - y ) .

Soit z = y + r, on obt ient :

( T x - Ty, ~) <- - (Ty - T(y + ~'), ~')+ o ' ( T x - Ty, x - y)

( Z x - T y , ~ ) < = L II ~" 112 + ~ ( T x - Ty, x - y )

car T e s t L-lipschitzien. En prenant )t~" au lieu de s r, on a:

,~2a ll ffll2-,~(Tx - T y , ~ ) + c r ( T x - Ty, x - y ) = > 0 VA E R .

Donc le discriminant est n6gatif ou nul:

( T x - Ty, ~.)2 _< 4o- t 11 ~" II~(Tx - Ty, x - y).

Or

Donc

II T x - T y II = Sup ( T x - Ty, ~').

II Tx - Ty 112 <- 4crL ( Tx - Ty, x - y).

On a ainsi l ' in6galit6 (7).

REMAROUES. 1) Dans le cas lin6aire on a

1 ( A x , x ) >= 4o. l la II II A x II 2.

Cette cons tante est la meil leure possible. En effet, si on raisonne dans le cadre de

la d imension 2, on a:

Soit A une matrice positive non nulle. On note:

146 J . B . BAILLON AND G. H A D D A D lsrael J. Math.

o'(A)=Inf{o'>=O;(Au, v)<-o'(Au, u ) + ( A v , v) Vu, v}.

Alors o ' ( B ' A B ) = o ' ( A ) avec B matr ice r6guli6re et B' sa t ranspos6e.

Soit

avec y > O , 8_->0 et r 2 A = - 6 7 72+

On a par calcul s imple o ' ( A ) = ~ ( r / y ) 2 et [IA [[= r.

Soit

. [o = avec a _ - > / 3 > 0

de sorte que

[, 2v 1 B ' A B = - a f t 6 /327J "

On a g ( B ' A B ) = o ' ( A ) = ] ( r / y ) 2 et

S I B ' A B u ]2 r20.2 u P ( B , A B u , u ) - 7

par un calcul imm6diat . De ce fait, la mei l leure cons tan te possible est minor6e

par

1 ~ I B , A B u ]2 _ 1 r20t 2 [[B'AB[[~uP(B'ABU, u) IIB'AB[[ 7

La seule difficult6 est de calculer ]] B ' A B [[. En fait, on va es t imer I] B ' A B ]] quand

13 --~ 0, a, 7, 6 res tant fix6s.

Soit u = (x ,y) . On a I B ' A B u [2 = (a27x + ot/36y)2+ ( _ afl6x +/32yy) 2. Donc

[IB,AB [[2= S u p f ( t ) avec f ( t )= (rot2+ nt + p)/(t2 + 1) ot~

m = ot2(a272+ 13262 )

n = 2oq38y(a 2 - 132)

p = t3~(a2,~2 + r

t = x/y.

D e ce fait

2mt3 + n S u p f ( t ) = f ( t , ) - 2t, + 1

off t, est le z6ro positif de f ' ( t ) :

VOI. 26, 1977 OPI~RATEURS ANGLE-BORNI~S 147

t, = (a2 + fl : )y + V ' (a2 + f12)2y + 4a 213 26~ 2a/36

Donc, si 13 ~ 0 avec a, y, 3 restant fixes, on a:

tl du m 4 m e ordre que ay//38

m d u m f m e ordre que a 4 y 2

ndu mSme ordre que 2ot3/33y.

D o n c [[B'AB [[ est du m f m e ordre que a"rL D'ol)

1 ,. I t rABu r [[ B ' A B II a u p (B 'A Bu , u)

est de m ~ m e ordre que ( r / y ) 2 = 400. D o n c 40 ~ est la mei l leure cons tan te possible.

N~anmoins , on ne sait pas si elle est e f fec t ivement at teinte .

2) Des o p f r a t e u r s non l infa i res n -cyc l iquement m o n o t o n e s ne sont pas

n f ce s sa i r emen t 00-angle-bornfs. N f a n m o i n s , ils satisfont h une infgal i t6 du type

(7). C 'es t l ' ob je t du t h f o r f m e suivant:

THtOREME 5. Soit E un espace vectoriel norm~ et E ' le dual topologique. Soit

T: E ~ E' . Si T e s t un op&ateur L-lipschitzien n-cycliquement monotone, alors

on a l'in~galitd

1 1 2 ~ + 1). (8) (Tx -Ty , x-y)>=4--d~.LIITx-Tyll 2 avec o ' . = ~ t g n

LEMME 6. Le thgor~me 5 est vrai en supposant de plus que Tes t de classe C' .

DtMONSTRAT~ON. P rouvons d ' a b o r d que T' (u) est n -cyc l iquement m o n o t o n e .

On a:

T(u + Ax,) = T ( u ) + T'(u)(Axl) + e (Ax,)ll ax, II

avec e(hx,)---~0 si A ~ 0 .

On obt ient , en appl iquant l ' h y p o t h f s e de m o n o t o n i e cyclique h T:

(T (u + AXl), hx, - Ax2) + " . + (T (u + Ax.), hx. - Ax,) - 0.

En d f v e l o p p a n t , il vient:

,~ ( T ( u ) + h T'(u )x, + h l[ x, II e (Ax,), x~ - x 0 + . - . => O,

(T(u) , x, - x2 + " " + x, - x,) + h [T ' (u)x , , x, - x:) + " " + (T ' (u)x . , x, - x,)]

+ A [(11 ~, II e (Ax,), x, - x:) + - . . 1 = o.

148 J .B. BAILLON AND G. HADDAD Israel J. Math.

En simplifiant par A (A > 0) et en faisant tendre A ---> 0, on a:

( T ' ( u ) x , , x l - x2) + . " + ( T ' ( u ) x . , x . - x , ) >-_ O.

C o m m e T ' ( u ) est un op6ra t eu r lin6aire de E dans E ' qui est n -cyc l iquement

m o n o t o n e , T ' ( u ) est doric o- , -angle-born6 d 'apr~s le th6or~me d 'Asp lund .

D ' a u t r e par t II T'(u)ll--< L car T e s t L-l ipschitzien. D e plus on a:

fo' Tu - r v = T ' ( v + t (u - v ) ) (u - v)dt ,

fro i [I Tu - Tv I12 = T ' ( v + t (u - v ) ) (u - v ) d t

= II T ' ( v + t (u - v ) ) (u - v)llZdt

t' <= 4 o ' ~ L ( r ' ( v + t (u - v ) ) (u - v) , u - v ) d t

(Io I

<=4o'~L(Tu - Tv, u - v) .

D'of i (8).

LEMME 7. Soit E un espace vectoriel normg. Soient Tj: E - - } E ' une suite

d 'opgrateurs n - c y c l i q u e m e n t mono tones et Lj - l ipschi tz iens qui vdri]ient:

V u , v ~ E , ( W , u - ~ v , u - ~)_->- -L- -1 IIT, u - Y,,v II =. 4~r.Lj

Si, de plus, Tj --~ T s i m p l e m e n t avec Lj <= L, alors T e s t n - c y c l i q u e m e n t m o n o t o n e

el vdrifie :

> 1 ( Tu - Tv, u - v ) = ~ II Tu - Tv ]12.

La d6mons t ra t ion de ce l e m m e est imm6dia te .

LEMME 8. Soit T : R p--'~R p une application n - c y c l i q u e m e n t m o n o t o n e et L -

l ipschitzienne. Soit Oj une suite rdgularisante (c ' e s t -h -d i re Oj E C| p, R ), Oj >= O,

Supp 0j C B ( 0 , 1/j) , f OAt = 1) . Si l ' on consid~re T j ( x ) = ( O * T ) ( x ) =

f .p Oj ( t ) T ( x - t )dt, alors T, est n - c y c l i q u e m e n t monotone , L j - l ipschi tz ien avec

L i <-<_ L, C ~ ( R p, R p) et Tj converge u n i f o r m g m e n t s u r t o u t c o m p a c t d e R p vers T.

Vol. 26, 1977 OPI~RATEURS ANGLE-BORNES 149

DEMONSTRATION. D ' ap r6s les propr i6t6s des suites r6gularisantes, on a: Tj

C=(R p, R p) et T / - - ) T un i fo rm6men t sur tout compac t car T est cont inue. D e

plus, ~ est Lj-l ipschitzien avec /-,/.--< L car:

t) - ii = f O/ ( t ) (T (x - t ) - T ( y - t ) )d t

<-_ f Oj(t)l I T ( x - t ) - T(y - t)[[ =< L Jig - y [[.

Tj est aussi n -cyc l iquement m o n o t o n e , en effet:

( T ( x , - t), ( x , - t ) - ( x 2 - t ) )+ " " + ( T ( x . - t ) , (x . - t ) - ( x , - t))=> 0.

Donc

(Oi ( t )T (x , - t), xl - x2) + " " + ( O j ( t ) T ( x , - t), x, - xl) => 0.

En int6grant par rappor t h t, on conserve l ' in6galit6:

( T / ( x , ) , x , - x 2 ) -]- �9 �9 �9 31- (T l (Xn ) , Xn -- X,) ~ O.

LEMME 9. Le th~or~me 5 est vrai si E = R p.

En effet, en combinan t les l emmes 6, 7 et 8, on obt ient le r6sultat .

DI~MONSTRATION DU THI~ORI~ME 5. Soit F u n sous-espace vector ie l de d imen-

sion finie de E. On a l e sch6ma suivant: F i : ) E r : , E ' r F ' o/1 j e s t

l ' inject ion canonique, j* adjoint de j. Donc j * T j est n -cyc l iquement m o n o t o n e

car:

(I '*Tjx, ,x , - x,+I)= (Tjxi , jx, - jx,+,).

D ' a u t r e part IIJ* II--<1 car

IIj*u I1~ ,= S u p ( j ' u , v ) - < [lu II. vEX

IF,>ll~l

De ce fait j * T j est Lv-lipschitzien avec Lv <- L. On appl ique le l e m m e h j * T j :

1 (j * Tjx - j* Tjy, x - y )~.~, => 4o ,Lv I]J* Tjx - j* Tjy I[~'.

Donc

1 (Tx - Ty, x - y)>= 4--~-Z, L I ] j * ( T x - Ty)H~-, Vx, y ~ F .

150 J . B . B A I L L O N A N D G. H A D D A D Israel J. Math.

On construi t un sous-espace vector ie l Fk engendr6 par x, y e t vk off vk est d6fini

par:

1 < 3vk ~ E tel que l l T x - 7 " Y l l ~ - - s Zy, o k ) ~

avec [[ vk [I -< 1. D o n c

1 [I j * ( T x - Ty)IIE~ = S u p ( / * ( T x - Ty), U )rk.Fk ~ [[ Tx - Ty lIE. k"

II,,ll" l UEFk

D o n c

112 ( Tx - Ty, x - y )E E = 4--gTs L II Tx - Ty ffE - ~ V k.

D'ofi l'in6galit6 (8).

COROLLAIRE 10. Soit ~ une fonction convexe de classe C 1 sur E. Soit T le

gradient de ~. Si T e s t L-lipschitzien, alors on a l'indgalitg:

(9) (Tu - Tv, u - v)=> l l l T u - Tv 112 Vu, v E E.

DI~MONSTRATION. On sait que T est n -cyc l iquement m o n o t o n e h tout ordre

o rdre [4]). Donc , d 'apr~s le th6or~me 5:

1 IITu- TvIf 2 V , . ( T u - Tv, u - v)>= 4--~, L

D'of i l ' in6galit6 (9) avec o'~ = �88

BIBLIOGRAPHIE

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Mathematical Society, 1970. 2. H. Brezis and F. Browder, Non-linear equations and systems of Hammers te in type,

Advances in Math. (b. para~tre). 3. T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer, 1966. 4. R. T. Rockafellar, Characterization of the subdifferentials of convex functions, Pacific J. Math.

17 (1966), 497-510.

ANALYSE NUMI~RIQUE UNIVERSITI~ P. ET M. CURIE

4 PL. JUSSIEU, 75230 PARIS 5 e