Les mathématiques sont-elles le langage de la Nature ?Si ce n'est pas le cas, pourquoi décrivent-elles aussi bien la réalité ?Dieu est-il mathématicien ou les mathématiques sont-elles d'ordre divin ?Le temps joue-t-il un rôle en mathématiques ?Les vérités mathématiques sont-elles éternelles, inusables, périssables, ont-elles un commencement, voir une fin ?Les mathématiques dépendent-elles des mathématiciens qui les trouvent ?Les mathématiques sont-elles utiles, nécessaires ou est-ce un simple jeu de l'esprit ?Tout est-il mathématiquement découvert ?A juste titre nous pouvons nous poser la question :

Qu'est-ce que les mathématiques ?

Intéressons-nous aux différents courants philosophiques qui ont traversé et traversent encore les mathématiques. On peut en compter quatre principaux. Chacun d'entre eux donne une approche particulière des mathématiques, possède ses défenseurs, ses détracteurs, qui se livrent parfois un combat acharné. Chaque point de vue apporte des éclairages ainsi que les limites de leur territoire en faisant barrage à la toute puissance supposée des mathématiques.

Le premier courant philosophique est celui de l'empirisme selon lequel nos connaissances sont des acquisitions de l'expérience. Dans le champ des mathématiques elles prirent le nom d'inventionnisme.

Les mathématiques ne seraient ni plus ni moins que des inventions de l'être humain. L'activité mathématique est une création de l'esprit et non la découverte d'une vérité préexistante. Lorsque l'on est empiriste, on considère que la première source de connaissances se trouve dans l'expérience sensible. Il n'y a que les objets et les phénomènes qui sont réels. L'empirisme admet l'existence de concepts ou d'images issues de l'expérience. L'une des branches des mathématiques, la géométrie, est en réalité, née comme une science de la nature, une science empirique. C'est de cette façon que les consommateurs de mathématiques les considèrent: les mathématiques sont la science de la modélisation. La Nature serait écrite dans le langage mathématique que nous serions incapables de le savoir mais rien ne nous empêche d'utiliser ce langage pour la décrire.

La principale objection du point de vue « inventionniste » vient du constat que si tel était le cas nous devrions trouver des différences très importantes sur l'état des découvertes selon les particularités culturelles. Or mis a part quelques différences de style, mineures, ce n'est pas ce que l'on constate. En effet le théorème de Pythagore a été démontré par de nombreux mathématiciens dans le monde à des époques parfois différentes sans qu'ils n'aient eu de contact.

Il semblerait donc que les fondements des mathématiques existent bel et bien en dehors de l'esprit humain. C'est le point de vue de l'idéalisme.

C'est la façon la plus simple de concevoir les mathématiques, c'est à dire de soutenir que le monde est, au sens profond, mathématique, que les idées mathématiques existent bel et bien. L'activité mathématique n'est plus une création mais une découverte. Le 2 existe réellement et se concrétise dans le cas précis des jumeaux, de pile ou face, toi et moi, etc.... Le nombre Pi existe, ce n'est pas une invention de l'homme et il a été découvert comme on découvre l'Amérique.

Le réalisme défend l'idée d'un autre monde mathématique fait de formes parfaites. C'est ce que l'on appelle le platonisme mathématique. L'expérience ne serait qu'un moyen d'accéder à la vérité cachée et n'aurait aucune influence sur la nature du résultat.

L'harmonie est d'autant grande que l'on s'approche du monde des idées, ainsi que dans ce monde lui-même où les mathématiques occupent une place privilégiée comme le souligne Platon en disant que : «L’importance de la géométrie ne s’explique pas par son utilité pratique, mais tient au fait qu’elle étudie des objets éternels et inaltérables et s’efforce d’élever l’âme vers la vérité» (427-347), tandis qu’Archimède souligne le caractère éclairant de cette science: «Il y a des phénomènes qui semblent incroyables à la plupart des gens qui n’ont pas étudié les mathématiques.» (Archimède, 287-217).

Les mathématiques permettent d’accéder à des vérités absolues et éternelles. Citons trois exemples: la somme des angles d’un triangle vaut toujours 180 degrés, l’existence d’un nombre infini de nombres premiers, l’existence de cinq polyèdres réguliers.

Puisqu’en principe, ce sont les dieux qui ont le monopole des vérités absolues et immuables, la connaissance des mathématiques permet de s’élever au même rang qu’eux et d’obtenir une place dans leur voisinage. Des considérations de ce genre semblent indiquer que Dieu serait un mathématicien. Et de fait si tout l'Univers matériel peut être décrit par les mathématiques comme le pensaient les grecs et comme le suppose la cosmologie moderne, il doit bien exister une logique immatérielle plus vaste que cet Univers matériel.

C'est à ce point que se rencontrent mathématiques et théologie. Toute la panoplie des propriétés et des attributs de Dieu établies par les premiers théologiens peut être utilisée presque mot pour mot pour décrire les mathématiques. Il suffit de remplacer le mot « Dieu » par le mot « mathématiques ». Les mathématiques des platoniciens transcendent le monde: elles existaient avant la création du monde matériel, elles existeront après sa disparition.

Presque deux mille ans plus tard, lors de la renaissance des cultures grecques, cette harmonie entre la pensée de l’homme, la nature et le divin est toujours prédominante. Pour les grandes figures intellectuelles de la Renaissance, les mathématiques conservent une place privilégiée: «Qui manque de respect pour

la certitude qu’offrent les mathématiques se précipite dans le chaos des idées», fait remarquer Leonardo da Vinci. «Le grand livre de l’univers est écrit en langage mathématique», décrète Galileo Galilei, alors que Nicolas de Cues se fait péremptoire: «La connaissance du divin est inaccessible pour quelqu’un sans formation mathématique.»

Mais l'harmonie entre les trois domaines pensée-nature-divin, n'est plus tout a fait aussi parfaite que du temps des grecs. L'Église catholique ne se montre pas aussi tolérante que les dieux de l’Olympe. Elle s’oppose notamment à la tendance des sciences naturelles de remplacer la spéculation, l’inspection par la méthode empirique qui risque d’aboutir à des résultats incompatibles avec des dogmes religieux. Même les mathématiques ne conduisent plus automatiquement vers des vérités absolues; elles risquent même de conduire vers le mal, vers le diable. Augustin, au IVe siècle, brandit l’arme de la menace: «Il y a le danger que les mathématiciens soient les complices du diable, ils cherchent à troubler les esprits et s’empêtrent dans les liens de l’enfer.» Plus de mille ans ont passé quand Fénélon conseille: «Défiez-vous des ensorcellements et des attraits diaboliques de la géométrie.»

L’union tripartite entre mathématiques, sciences naturelles et théologie se réduit donc graduellement en une alliance entre les deux premières disciplines , le domaine du divin étant de plus en plus écarté de l’activité scientifique. Cette alliance reste extrêmement fructueuse pour les deux partenaires tout au long des XVIIe et XVIIIe siècles et permet d’attaquer de nombreux problèmes que les Grecs n’étaient pas en mesure de résoudre. Il faut surtout mentionner la géométrie analytique et le calcul différentiel et intégral. Ce dernier connaît un développement presque euphorique. Le grand pas de l’infini est enfin franchi et les mathématiciens sont désormais fascinés par les notions de mouvement, de vitesse et d’accélération.

Mais cette évolution est quelquefois trop rapide et manque de rigueur. Le succès incontestable des nouveaux concepts mathématiques se fonde parfois sur des concepts peu exacts, tels que les valeurs infiniment petites ou des séries non convergentes. Cela contribuera, vers 1800, à une crise: une phase de stagnation s’installe et, avec elle, même la crainte de voir s’arrêter le progrès en mathématiques.

La vision du platonisme mathématique semble s'être bien altérée avec le temps. On peut même se demander où se trouverait cet autre monde d'abstractions mathématiques ? Comment faire pour entrer en contact avec lui ? Il semblerait donc que si un tel monde existait vraiment au delà du monde physique, aller à sa rencontre tiendrait plutôt de la séance de spiritisme que de la démarche scientifique. L'attitude platonicienne pose donc elle aussi d'importants problèmes métaphysiques.

Une autre approche permet de ramener les moutons dans la bergerie, c'est celle du logicisme, traditionnel, conservateur, il tend à réduire le savoir mathématique à un système d'axiomes et de règles d'inférences, de sorte qu'il se trouve être défini comme l'ensemble de toutes les déductions possibles,

logiquement cohérentes.

Il donnera lieu, dans le cas des mathématiques, au courant du formalisme à la fin du XIXe siècle. Les formalistes conçoivent les mathématiques comme une manipulation de symboles sans signification et ne cherchent pas à rendre compte de leur lien avec le réel.

Pour eux le mathématicien doit seulement s'efforcer de définir les mathématiques le plus rigoureusement possible pour qu'elles ne se contredisent pas. C'est là le point principal et le nœud d'une difficulté majeure.

A cette époque les mathématiciens étaient confrontés à une foule de problèmes déconcertants qui ébranlaient leurs certitudes : les paradoxes logiques. Par exemple: l'ensemble des ensembles fait-il partie de lui même ? Un crétois raconte que tous les crétois sont des menteurs et qu'il faut le croire.

Face à ces dilemmes, David Hilbert, le plus éminent des mathématiciens de l'époque, suggéra de cesser de se tracasser une bonne fois pour toutes à propos de la signification des mathématiques. Il y avait mieux à faire : il suffisait de définir celles-ci comme étant un canevas de formules que l'on peut créer à partir de n'importe quel ensemble d'axiomes de départ, en manipulant les règles convenables.

Cette procédure ne pouvait ni créer, ni tolérer le moindre paradoxe.

Cette grande broderie de connexions logiques liées les unes aux autres par la manipulation des axiomes de départ, suivant toute la panoplie des règles non contradictoires constituerait ce que l'on appelle communément« les mathématiques ».

La miraculeuse applicabilité des mathématiques à la Nature n'intéresse guère Hilbert. Les mathématiques n'ont pas de sens en soi et seraient libérées de toute interprétation. Il s'agit d'éliminer des mathématiques tous les paradoxes pour démontrer leur cohérence propre.

Ainsi, étant donné une proposition quelconque, on devrait savoir, en principe, si elle est vraie ou fausse, en fonction de l'ensemble des axiomes de départ en parcourant de nouveau le réseau logique des connexions à partir des axiomes jusqu'à la proposition en question. Dans son intervention au Congrès International des mathématiciens de Bologne en 1900 où il exposa ce qu'étaient selon lui les 23 plus grands problèmes mathématiques encore irrésolus, son « Deuxième problème » n'était rien de moins que « démontrer la cohérence de l'arithmétique ».

Hilbert alla très loin, il démontra la cohérence de systèmes d'axiomes de plus en plus grands, y compris la géométrie euclidienne. Hilbert s'attendait sans aucun doute à ajouter quelques axiomes nécessaires pour y inclure l'arithmétique toute entière et démontrer sa cohérence ( par exemple on n'a toujours pas démontré la conjecture de Goldbach : tout entier pair serait la

somme de 2 nombres premiers 10 = 5 + 5, 100 = 47 + 53 ).

Manque de chance son entreprise échoua d'une façon inattendue presque du jour au lendemain. En 1931, Kurt Gödel, un jeune inconnu de l'université de Vienne, démontra que l'objectif de Hilbert ne pouvait être atteint.(Gödel était en outre un fervent défenseur du platonisme mathématique croyant à l'existence d'une réalité matérielle avec laquelle nous pourrions établir d'autres types de rapports, ce qui peut expliquer tout ou partie de ses recherches sur la preuve de l'existence de Dieu).

Il démontra que quelque soit l'ensemble des axiomes de départ choisi, pourvu que le système soit assez grand pour contenir l'arithmétique ainsi que ses règles et ses symboles, il existera toujours une proposition exprimable dans le langage de ces symboles dont on ne pourra décider si elle est vraie ou fausse en se servant de ces axiomes et de ces mêmes règles.

Ce qui veut dire que la vérité mathématique va au delà des axiomes et des règles. Une autre façon de dire les choses est que l'ensemble des vérités est plus grand que l'ensemble des propositions démontrables et le contient.

Il est impossible de tout démontrer mathématiquement.

Si l'on augmente le nombre d'axiomes, on ne fait qu'élargir le champ des propositions et l'on créé d'autres propositions indécidables.

Hilbert est en échec, son espoir d'enfermer les mathématiques dans la camisole de force du formalisme est vain. Si l'on veut comprendre les mathématiques, il faut sortir des mathématiques.

Il existe et existera toujours des énoncés de l'arithmétique dont on ne pourra prouver la vérité ou la fausseté en utilisant seulement les règles et symboles de l'arithmétique.

Gödel ira même plus loin, en démontrant qu'on ne peut prouver la cohérence propre d'aucun système logique comprenant l'arithmétique au sein même de ce système. Ainsi, il existera toujours des systèmes dont on ne pourra pas prouver la cohérence!

Admettons qu'une « religion » puisse se définir ainsi : « système d'idées comportant des propositions indémontrables ». Eh bien Gödel nous a appris que les mathématiques sont non seulement une religion mais la seule religion qui peut nous en donner la preuve.

Malgré les limites imposées par Gödel, un groupe français nommé Nicolas Bourbaki chercha à codifier et unifier la partie décidable des mathématiques. C'est ce qui donna lieu à l'étude des structures algébriques créées par les différents ensembles d'axiomes. Ceci entrera dans l'enseignement secondaire sous la dénomination de « maths modernes ». Pendant très peu de temps d'ailleurs car trop difficiles à appréhender par les élèves et les parents. Ce qui

permet de constater que le cerveau humain ne se construit pas de la même façon que les mathématiques peuvent l'être.

Au XXe siècle la philosophie de l'opérationnalisme cherche plutôt à définir les choses par une suite d'étapes ou d'opérations élémentaires. Mathématiquement elle donna lieu au constructivisme et à l'intuitionnisme.

Kronecker, l'un de ses fondateurs avait la devise suivante : « Dieu créa les nombres entiers, le reste c'est l'homme qui l'a fait ». Il voulait dire par là que nous ne devrions accepter comme point de départ que les nombres entiers, les notions mathématiques les plus simples et déduire out le reste par étapes successives à partir de ces notions intuitivement évidentes.

En prenant cette position conservatrice, les constructivistes entendaient éviter de rencontrer et de manier des entités comme l'infini dont on ne peut avoir aucune expérience concrète et qui possède les propriétés qui n'ont rien à voir avec l'intuition : par exemple l'infini moins l'infini peut être égal à l'infini si on ôte les nombres pairs aux nombres entiers, il reste une infinité de nombres impairs. Cette vision à priori inoffensive des choses aboutit cependant à l'existence d'un monstre qu'est le 3ème statut d'une proposition, elle peut être soit vraie, soit fausse soit ni vraie ni fausse ou indécidable.

Avec les constructivistes le raisonnement par l'absurde devient inutilisable car la négation de faux n'est pas vrai mais vrai ou ni vrai ni faux! Pour les constructivistes, une proposition ne peut être tenue pour vraie que si elle peut être démontrée en un nombre fini ( qui peut être long ) d'étapes déductives.

Le plus grand défenseur était le mathématicien Brouwer qui interdisait de publication dans sa revue tous les articles traitant de l'infini ou utilisant un raisonnement par l'absurde.

Il y a de nombreuses objections à la prise d'une telle position : Pourquoi partir des nombres naturels ? Qu'est-ce qu'une étape de construction ? Pourquoi certaines constructions sont-elles plus adaptées au monde réel que d'autres ? Pourquoi l'intuition de l'infini ne serait pas recevable ? Comment expliquer que la physique se passe dans de nombreux cas de l'approche constructiviste ( relativité par exemple ).

Cependant, il est intéressant de naviguer un peu sur cette approche afin de découvrir quelques trésors. La question est de savoir si nous saurions construire une « machine » ou du moins en imaginer son fonctionnement, qui permettrait de juger à notre place si les propositions décidables des mathématiques sont vraies ou fausses. Une fois de plus, contrairement à l'attente la réponse est non.

Le mathématicien Turing inventa l'ordinateur idéal ( mathématique et appelé machine de Turing ), c'est le nec plus ultra en informatique...mais sur du papier. Les opérations que la machine théorique ne peut pas effectuer en un temps fini sont qualifiées d'incalculables. Cependant lorsqu'il s'agit de machine,

la confrontation à la réalité est proche et savoir si une opération est calculable ne présente pas un grand intérêt si le programme chargé d'effectuer les calculs nécessaire doit employer un millions d'années pour arriver au bout de ses peines. Le monde, la Nature pourraient être mathématiques, regorger de fonctions calculables, profondes et savantes, à quoi bon si pour les calculer nos ordinateurs doivent travailler des milliards d'années. C'est sur ce principe, de temps important qu'il faut pour effectuer certaines opérations mathématiques, que se basent les systèmes de cryptage/décryptage actuels.

Débarrassé de ses accoutrements que sont matériels et logiciels, l'ordinateur n'est qu'une « simple » machine de Turing qui à partir d'un état initial connu utilise une succession d'opérations élémentaires. Supposons que quelque loi de la Nature puisse être vue comme le déroulement d'un programme, ce qui n'est pas plus farfelu que de supposer l'existence de symétries dans l'univers afin d'en extraire des lois. Prenons une suite de nombres, par exemple la suite infinie 2,4,6,8,10,..., on peut la remplacer par la formule qui définit l'ensemble des nombres pairs. Dans ce cas notre suite est réductible à un algorithme ( très petit dans ce cas particulier ).

Par contre une suite aléatoire se caractérise par le fait qu'il n'existe pas de formule plus courte que la suite elle-même qui la définisse. Le seul moyen de l'obtenir est de l'écrire. Les suites aléatoires, une fois données, ne sont pas réductibles à un algorithme, elles ne peuvent être définies par rien d'autre qu'elles-mêmes.On peut ainsi définir la complexité d'une suite de nombres comme la longueur du programme capable de la générer et énoncer qu'une suite aléatoire est une suite dont la complexité est égale à elle même.

Imaginons que l'on donne à l'ordinateur ( de Turing ) l'instruction suivante : « Imprimer une suite dont la complexité est supérieure à celle de ce programme ». C'est impossible. Il suffit d'utiliser cet argument, de nommer R une suite dont la complexité est supérieure à celle de l'algorithme de l'ordinateur et de lui demander si cette suite est aléatoire ou non. La complexité de « R est aléatoire « et «R n'est pas aléatoire » est trop importante pour l'ordinateur. Les deux propositions ne sont ni vraies ni fausses. Le théorème de Gödel est vrai.

Après avoir réalisé cette promenade historique, on peut mieux comprendre la situation paradoxale des mathématiques dans notre société; la position ambivalente d’une branche scientifique dont il est impossible de donner une définition universellement reconnue. On comprend également le certain désintérêt qui s’exprime face aux travaux de mathématiciens qui se sont retirés du monde des réalités pour poursuivre leurs recherches.

Émerge alors une question de fond: comment communiquer en tant que mathématicien? Comment concilier en d’autres termes le mot de Leonardo da Vinci: «Dans les sciences, il n’y a aucune certitude si l’on ne fait pas appel aux mathématiques» avec celui de G. H. Hardy: «La raison principale qui pousse un mathématicien à faire de la recherche est la curiosité intellectuelle, l’attrait

des énigmes, le besoin de connaître la vérité.»

Autant dire que la tâche des enseignants de mathématiques, à tous les niveaux, n’est pas facile! Seuls bienheureux à y échapper, les profs de maths qui ont pour étudiants de futurs mathématiciens! Alors, quelles mathématiques faut-il enseigner et de quelle manière? Que faire pour éviter que l’aversion ressentie vis-à-vis des mathématiques s’accentue encore?

Olivier Leguay 2005