This article was downloaded by: [Tufts University]On: 31 October 2014, At: 08:20Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Communications in AlgebraPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lagb20

Questions de primitivite dans f les anneaux d'invariants et les produits croisesSleiman Yammine aa Université Pierre et Marie Curie , Paris, 6Published online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Sleiman Yammine (1981) Questions de primitivite dans f les anneaux d' invariants et les produitscroises, Communications in Algebra, 9:19, 1969-1979, DOI: 10.1080/00927878108822691

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COMMUNICATIONS I N ALGEBRA, 9 ( l g ) , 1969-1979 (1981)

QUESTIONS DE PRIMITIVITE DANS

LES ANNEAUX D'INVARIANTS ET LES PRODUITS CROISES

Sleiman Yammine

U n i v e r s i t E P i e r r e e t Marie Cur ie

- P a r i s 6 -

On g 6 n C r a l i s e , d 'une p a r t , deux r d s u l t a t s de [ 2 ] e t [ 3 ] , a sa-

v o i r :

S o i e n t A un anneau e t G un groupe f i n i d'automorphismes de A . 1) [ G I e s t i n v e r s i b l e dans A, p E Spec(A)

G b i l a t P r e de A t e l s que p E 8 8 n = p n A ,

2) S i I G I n ' e s t pas un d i v i s e u r de ze ro dans - p r i m i t i f e t A p remier , a l o r s A e s t p r i m i t i f .

8 un i d g a l

a l o r s 8 = p . - A , A ~ e s t

D ' a u t r e p a r t , e n imposant des c o n d i t i o n s de chafne , on o b t i e n t ,

e n t r e a u t r e s l e r e s u l t a t s u i v a n t : Soit D = AY[G] l e p r o d u i t 0.

c r o i s d d 'un anneau A n o e t h e r i e n 1 gauche p a r un groupe G a- lement f i n i . S i l ' u n au moins d e s idgaux premiers minimaux de A

e s t p r i m i t i f e t s i D e s t premier de Goldie 2 gauche ( r e s p . S i D

e s t i n t s g r e ) , a l o r s D e s t p r i m i t i f . R d s u l t a t q u i g g n s r a l i s e dans

un sens une p r o p o s i t i o n de [31 e t q u i permet de g e n e r a l i s e r

1969

Copyright @ 1981 by Marcel Dekker, Inc.

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un corollaire de [I 1 de la fa~on suivante :

Soient k un corps non dsnombrable et G un groupe posssdant un

sous-groupe distingus H extension d'un groupe polycyclic par un

groupe fini tel que G/H soit localement fini. On suppose en ou-

tre que k[G 1 est premier de Goldie B gauche (resp. que k [GI est

intsgre). Si A(H) = ( 1 1, alors k[G 1 est primitif.

On suppose dans la suite que les anneaux sont unitaires et

que les alg6bres sont associatives. Par id6aux d'un anneau A on

entend toujours id6aux bilatsres et l'on note leur ensemble.

Lorsque le treillis (& ,E) vsrifie la condition de chayne ascen- A

dante, l'anneau A est dit noeth6rien bilatiire. On note Spec(A)

(resp. rad A) le spectre (resp. le radical) premier de A . Si r

est un groupe qui opgre dans bA , on pose, pour @ E bA et

I\ r , @ - n @X ; on dit que @ est T-premier lorsque A - x E ~

@ # A et @ est r-invariant tel que, pour deux 616ments T-in-

variants et @2 de &A , le relation @ @ C @ entrafne 1 2 -

@ I C @ ou @ C @ ; l'anneau A est dit r-premier dans le cas 05 2 -

(0) est r-premier. On d6signe par A~ [G ] le produit croisg de a

l'anneau A par un groupe G d6fini 2 l'aide des deux applica-

cations a : G +Aut(A) et y : G x G +U(A) , 05 Aut(A) et U(A)

sont respectivement le groupe des automorphismes et le groupe uni-

ts de l'anneau A , qui vGrifient :

Y a E A . On remarque que Aa[G] est un A-module B droite et B gau- -

the libre de base (X)x E G

05 Z dgsigne 11616ment de A;[G] Dow

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LES ANNEAUX D'INVARIANTS 1971

qui correspond 2 x E G , et que G opPre dans l'ensemble GA 2

l'aide de l'action G x % + $ d6f inie par (x,@) c . Si G est un groupe d'automorphismes de l'anneau A , on note

X = {a E A tel que a = a pour tout x E G ] l'anneau des inva-

riants de A par G ; lorsque G est fini, on note / G I l'ordre

de G et tr : A + l'application trace ddfinie par

tr a = C ax pour tout a E A . X E G

5 1 - PRIMITIVITE ET INVARIANTS.

Lemme 1 . 1 - Soient A un anneau et r un groupe fini qui opSre

dans GA en respectant l'intersection, le produit et l'inclusion.

Pour p E Spec(A) 0 E &A tels que p _C 0 , les conditions

suivantes sont dquivalentes :

a) p = 0 ;

b) P r = o r ;

c) est contenu dans un iddal premier de A minimal con-

nan t - P r *

Preuve - Les implications a) * b) et b ) =, c) sont dvidentes.

c) * a). Soit M l'ensemble des iddaux premiers de A minimaux

contenant p r et supposons que O r est contenu dans un dldment

de M . I1 est aisd de voir que M = (pX ; x E r } et par cons6-

X quent il existe x E r tel que 0 G p c'est-2-dire 9 = p . I 1

ThdorSme 1.2 - Soient A un anneau et G -- morphismes de A tel que / G I ne soit pas un diviseur de z6ro

dans A . On suppose en outre que l'on est dans l'un des cas sui- -

vants :

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i) A est semi-premier ;

ii) I E tr A .

Preuve - Supposons que p E Spec(A) et 0 E bA tels que p C 8

G et 0 n A = rad A~ et que nous sommes dans le cas i). Nous obte-

G nons ( [2 1, p. 490, Th6orSme (ii)) OG n A = (0) et, draprSs l'hy-

pothSse et ( [2 1, p. 490, Th6orSme (iii)) , OG = (0) = p G . I1 s'en suit (Leme 1.1) que 8 = p . Si nous sommes dans le cas ii), nous

- G G G

posons r = rad A , ;\ = A/r , A = A Ir nAG = A Ira, AG (cf. [61,

ThGorSme 4.4) et G = {x ; x E G ) 06 x : A + li d6signe l'auto-

morphisme d'anneaux d6duit de x E G par passage au quotient. I1 - -

G 2 -G est alors ais6 de voir que A - A et le r6sultat s'obtient en

utilisant ([6], Leme 4.5) et en appliquant le cas i) 2

Le corollaire suivant g6n6ralise le th6orSme 3.1 de [ 2 1.

Corollaire 1.3 - Soient A un anneau et G un groupe fini d'au-

tomorphismes de A tel que I G I soit inversible dans A . - Si

G G p E Spec(A) 0 E gA tels que p C 0 8 n A = p n A ,

alors 8 = p .

G ={x ; x E G ) oii x : li -t d6signe l'automorphisme d'anneaux

dsduit de x E G par passage au quotient. Le rgsultat s'obtient

- - - alors en appliquant le th6orSme 1.2 (i) 2 A , G , p E spec(A)

et = 0/g E bX . I I

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Pour les notions de primitivitg et semi-primitivitg on peut

consulter [a]. La proposition qui suit est une ggngralisation de

la proposition 2.8 (a) de [3 I.

Proposition 1.4 - Soient A un anneau et G un groupe de fini

d'automorphismes de A tel que I G I ne soit pas un diviseur de

zgro dans A . est primitif et A est premier, alors A

est primitif.

Preuve - Supposons que est primitif. Alors

G G (0) = I6.A = ann G(A /I) oG I est un idgal ii gauche maximal de

A A ~ , Dtapr6s ([a], lemme 7(3)), il existe un idgal ii gauche maximal

J de A tel que J n = I . L'idsal 8 = J .. A = ann (A/J) de A A G

est primitif et l'on a 8 f- A = (0). Si de plus A est premier,

alors, d1apr6s le thgorsrne 1.2(i), 8 = (0) et A est primitif. II

52 - - PRIMITIVITE ET PRODUITS CROISES.

Lemme 2.1 - Soient A un anneau noethsrien bilatzre et r +

groupe qui op6re dans &A en respectant l'intersection, le pro-

duit et l'inclusion. Pour un glgment @ * ZA , les conditions suivantes sont gquivalentes :

a) @ est r-premier ;

b) il existe g E Spec(A) tel que @ = g . r ' c) il existe p E Spec(A) et un sous-ensemble fini A &

r tels que @ = p r = p A . De plus, dans ces conditions, on peut choisir p tel que

p C g et, si M dgsigne l'ensemble des idgaux premiers de A mi-

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X nimaux contenant @ , l'on a bX ; x E r} = M = (p ; x E A} .

Preuve - I1 est ais6 de voir que c) =r a). D'autre part, si c) est

rcalis6, nous obtenons 4 # M C {pX ; x E r} et par consgquent,

en choissisant un 616ment arbitraire de M , nous 6tablirons l'in-

clusion {pX; x E r } S M . D'oG b X ; X E i"}=M={pX; xEA}.

a) * b). Supposons que @ est r-premier. En particulier, l'ensem-

ble L = {e E &A tel que @ = O r } est non vide et par cons6quent

(L,C) admet un 6lgment maximal g . Soient V1 et V2 deux idEaux

de A contenant g tels que V1 V2 g . Nous obtenons, en posant @i = (Vi)r (i = 1,2), @ @ C @ et par suite@ C @ O U @ ~ C @

1 2 - 1 - c'est-2-dire @ = @, ou @ = @2 . D'oG, vu le caractPre maximal de g , V1 = g ou V2 = g et ltid6al g est premier.

b) * c ) . Supposons qu'il existe g E Spec(A) tel que @ = g En r * particulier @ S g et il existe alors un idgal premier p de A

minimal contenant @ tel que p C g. I1 est 6vident que @ = p et r {pX ; x E r} S M e-t le r6sultat en dEcoule, du fait que M est f ini.11

Th6orGme 2.2 - Soit D = A' i ~ l le produit crois6 d'un anneau A a

par un groupe G . On suppose que l'anneau A est G-premier noe-

thgrien B gauche. Alors tout id6al'premier p" & D dont les

616ments sont des diviseurs de zEro dans D est au-dessus de

llidEal nu1 de A .

Preuve - L'anneau A est, dtaprGs le leme 2.1, semi-premier et

par cons6quent l'ensemble S des 61Bments de A non diviseurs

de z6ro dans A permet un calcul des fractions 2 gauche de A . L'idPal @ = p" n A est G-premier, donc, d1aprPs le lemme 2.1, D

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LES ANNEAUX D'INVARIANTS

il est semi-premier et l'ensemble M des id6aux premiers de A

minimaux contenant @ est de la forme M = ; x E G] oG

p E Spee(A) . Nous avons, puisque @ n S = $I , p n S = $ et par

suite ([5], 1.7 et 3.1) p est un iddal premier minimal de A .

11 s'en suit (Lenune 2.1) que M est aussi l'ensemble des id6aux

premiers minimaux de A . D'oG @ = p = (0) . II G

Y Corollaire 2.3 - Soit D = A [GI le produit croisd d'un anneau A C1

par un groupe G . On suppose que l'anneau A est G-premier noe-

D est semi-premier de Goldie 5

gauche. Alors les iddaux premiers minimaux de D sont au-dessus

On dit qu'un id6al 8 d'un anneau A est de Goldie 1 gauche

si l'anneau A/@ est de Goldie 2 gauche. On dit qu'un groupe G

est localement fini si tout sous-ensemble fini de G y engendre

un sous-groupe fini.

P r o p o s i t i o n 4 - D = A~[G] le produit crois6 d'un anneau A C1

par un groupe G . On suppose que l'anneau A est G-premier noe-

thgrien 1 gauche, que le groupe G est localement fini et que

l'anneau D est semi-premier de Goldie 1 gauche. Alors les iddaux

premiers minimaux de D sont les iddaux premiers de D au-dessus

de I' iddal nu1 de A .

Preuve - D'aprBs ([S], 1.3), les iddaux premiers minimaux de D

sont de Goldie 1 gauche et le rdsultat ddcoule alors du corollaire

2.3 et de la proposition 3.1 (i) de [ 71 . I[

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1976 YAMMINE

Proposition 2.5 - Soit D = A~[G] le produit croisE d'un anneau A a

noethgrien B gauche par un groupe G localement fini. On suppose

en outre que l'anneau A est semi-premier d'ideaux premiers mini-

maux semi-primitifs.

1 ) Tout idEal premier de Goldie 21 gauche (resp. tout ideal

complStement premier) P" D dont les 616ments sont des divi-

seurs de z6ro dans D est semi-primitif (en particulier si D

est semi-premier de Goldie B gauche il est semi-primitif).

2) Si de plus a = al (cf. [7], 5 3) et tout sous-groupe fini

de G est distingu6, alors un idSal premier p " & D dont les -

616ments sont des diviseurs de zEro dans D est semi-primitif.

Preuve - Nous pouvons affirmer, en revenant 2 la preuve du thEo-

ri2me 2.2, que ltid6al @ = p l ' n A est semi-primitif et le r6sul-

tat provient des propositions 3.1 (4) et 3.3 (2) de [7]. 11

Proposition 2.6 - Soient D = A~[G] le produit croisEd'un anneau A

noethsrien B gauche par un groupe G localernent fini. Si l'an-

neau A est G-premier et semi-primitif et si l'anneau D est - semi-premier de Goldie B gauche, alors D est semi-primitif.

Preuve - Si l'anneau A est G-premier et l'anneau D est serni-

premier de Goldie B gauche, alors (corollaire 2.3) les idsaux

premiers minimaux de D , qui sont de Goldie B gauche, sont au-

dessus de l'idsal nu1 de A . Si de plus A est semi-primitif,

tous les idsaux premiers minimaux de D sont alors, d'aprgs ([7],

3.1 ( 4 ) ) , semi-primitif s et par consequent D est semi-primitif .ll

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Lemme 2.7 - Soit D = A~[G] le produit croise d'un anneau A par C1

un groupe G . Pour tout ideal primitif p & A il existe un

id6al primitif p" de D tel que p " n A = p .

Preuve - Si p un id6al primitif de A , alors

P = I..A = annA(A/I) oti I est un id6al Z gauche maximal de A . Soit I" un ideal 8 gauche maximal de D tel que I = I" n A et

posons p" = I1'..D = ann (D/I1') et @ = p G . L1id6al D@ est bila- D

tGre et il est contenu dans I". Donc D@Epl' et par suite

@ 2 p" n A < p . D'oti, puisque les ideaux @ et p" n A sont

G-invariants, @ C p " n A c p pour tout x E G c'est-8-dire

@ = p " n A . 11

Proposition 2.8 - Soit D = A~[GJ le produit crois6 d'un anneau A " noeth6rien 8 gauche par un groupe G localement fini. Si l'un au

moins des id6aux premiers minimaux de A est primitif (en parti-

culier si A est primitif) et si D est premier de Goldie 8

gauche (resp. si D est intsgre), alors D est primitif.

Preuve - DEsignons par M l'ensemble des id6aux premiers mini-

maux de A . Soit p E M tel que P soit un ideal primitif de A

et supposons que D est premier de Goldie 8 gauche (resp. que D

est intsgre). D'une part, l'anneau A est G-premier et (lemme

2.1) M = ; x € GI et, d'autre part, (Lemrne 2.7) il existe

un id6al primitif p" de D tel que p" n A = n P " (x) = (0) . x € G

I1 s'en suit ([7], 3. I(])) que P" = (0) et D est primitif. I I

On donne dans la proposition suivante une extension, au cas

non noethsrien, de la proposition 3.3 (1) de [7] . Dow

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1978 YAMMINE

Y Proposition 2.9 - Soit D = A a [ G ] le produit crois6 d'un anneau A

par un groupe G localement fini. On suppose en outre que a = a 1

et. tout sous-groupe fini de G est distingu6. Si P " E Spec(D)

et @I' un idgal de D tel que p" C @I' et p" n A = @" n A , - - alors @" = .

Preuve - Nous raisonnons come dans la preuve de 3.3 ( 1 ) de [ 7 ] en

utilisant le th6orPme 1.2 de 14 1 au lieu de 3.1 (1) de 17 1 . 11

Proposition 2.10 - Soit D = A ; [ G ] le produit crois6 d'uo anneau A

par un groupe G localement fini. On suppose en outre que a = a 1

et tout sous-groupe fini de G est distingu6. Si A est primitif

et D est premier, alors D est primitif. -

Preuve - D6coule du lemme 2.7 et de la proposition 2.9. 11

On dit qu'un groupe G est de type P.B.F. s'il admet un sous-

groupe distingu6 polycyclique d'indice fini. On trouve d a m la pro-

position suivante une g6n6ralisation du corollaire 9 de 1 1 1 .

Proposition 2.11 - Soient k un corps non dgnombrable et G

groupe. On suppose en outre qu'il existe uu sous-groupe distingu6

H & G de type P . B . F . tel que G/H soit localement fini et

que l'on est dans l'un des cas suivants :

i) k [ G ] est premier de Goldie 1 gauche ;

ii) k [ G ] est intPgre ;

iii) tout sous-groupe fini de G/H est distingu6 et k[Gj z t

premier.

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LES ANNEAUX D'INVARIANTS 1979

Si A(H) = 11) , alors k[G] est primitif. - Preuve Nous avons k[G] k[~] [G/H] . I1 est bien connu que l'anneau k[H] est noeth6rien 5 gauche et 5 droite. D'autre part

si A(H) = (1) , alors ([I] , corollaire 9) k[H] est primitif

et le resultat d6coule des deux propositions 2.8 et 2.10.

REFERENCES :

[I] D.R. Farkas, Baire Category and Laurent extensions, Can. J. Math., Vol. XXXI, n04, 1979, p. 824-830.

[2] J.W. Fisher et J. Osterburg, Semi-prime ideals in rings with finite group actions, J. Of Algebra, 50, 488-502 , 1978.

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[4] M. Lorenz et D.S. Passman, Prime ideals in crossed products of finite groups, 1sra;l J. Math.,

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181 S. Yammine, Incomparabilit6 et invariants B paraTtre.

Received: November 1980

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