12RACINES HYPERBOLIQUES DESEQUATIONS ALGEBRIQUES ETPOINTS VIRTUELS

Introduction.

On appelle hyperbolique un element de la forme x0 + eyo (xo, yo reels) oue est un vecteur ou un produit de vecteurs de carre 1. Ce sont les elementsd'un anneau commutatif qui n'ont d'inverses que si x0 yo. L'equationdu premier degre u = x + ey = a (a reel) n'a qu'une solution.

Equation du Second Degre.

L'equation u2 — tau + b = 0 (b reel) admet comme solutions

+2- 2ax +b=02xy — 2ay = 0

La solution y = 0 correspond aux racines reelles ou imaginaires dex2 — 2ax + b = 0. La solution x = a correspond a y2 = a2 — b et esthyperbolique si a2 > b. Dans ce cas 1'equation a deux racines reellesdistinctes al et a2 et deux racines hyperboliques

72 L'ALGEBRE DE CLIFFORD ET SES APPLICATIONS

(a, 2 a2) + - (a, — a2) . (12.1)

Ce sont les seules racines possibles. On les obtient en remplacant

= EZO par ± EVA si 0 = a 2 — b > O, E E CL(p, q).

Theoreme.

Si une equation de degre n admet n racines reelles distinctes elle admetn(n — 1) racines hyperboliques soit au total n 2 racines.

Soit al, a2 ... a,, les racines reelles et toutes distinctes. Il y a n(n — 1)/2couples (ai,a^) done n(n-1) racines hyperboliques. Soit n(n-1) +n = n2

racines (ai +a)/2+(a —a)/2 (i, j = 1,2...n).

Corollaire.

Si une equation de degre n admet p racines reelles distinctes d'ordre 1 etq racines imaginaires conjuguees elle admet p2 + q racines.

Theoreme General.

L'equation de degre n admet des racines toutes reelles

a,,a2...ak

respectivement aux ordres bl, b2 ... bk avec la condition

bl+b2+-..+bk=n

On suppose les bi (i = 1,2. . . k) ranges dans une suite monotone croissante

b l <b2 <b3 ••.<bk

Les couples (a l , a2) ... (a,, ak) sont tous a l'ordre b1, les couples(a2, a3) ... (a2, ak) a l'ordre b2 et ainsi de suite si bien qu'il y a

2(k — 1)b 1 + 2(k — 2)b2 + ...2[k — (k — 1)]bk_1

RACINES HYPERBOLIQUES DES EQUATIONS ALGEBRIQUES ... 73

racines hyperboliques soit

2kn-2(b l +2b2+...kbk)

racines. Posons

bl + 2b2 + ... kbk = n'

Il y a au total 2kn — 2n' + n = (2k + 1)n — 2n' racines.

Cas Particulier. On suppose tous les bi egaux a b, d'ou bk = n etn' = b(1 + 2 + •"• + k) = bk(k + 1)/2et un nombre total de racines egala

(2k + 1)n — n(k + 1) = kn.

Application. Lorsque dans le plan euclidien on utilise des coordonneesimaginaires x1 + ix2, yi + iy2(i2 = —1) on definit des points imaginaires.De meme en utilisant des coordonnees hyperboliques Xi + eX2, Yi + Eye

on definit des points hyperboliques, ou points virtuels.

Theoreme.Une droite reelle rencontre une courbe plane, reelle et algebrique de

degre m en m2 points au plus, reels ou hyperboliques.

Soit une droite reelle (D) d'equation

Ax+By+C=O, (12.2)

avec A, B, C reels et AB 0 en general et soit

P(x, y) = 0, (12.3)

1'equation reelle d'une courbe algebrique reelle de degre m> 1.L'elimination de y entre (12.2) et (12.3) conduit a un polynome Q(x) _

0 de degre m. Supposons qu'il admette deux racines reelles distinctes Xiet x2. Il admet aussi les racines (Xi +x2)/2+e(x1 —x2)/2 comme on 1'avu et avec y l = —A/B x l — C/B les racines (y ' + y2)/2 + e(yi — y2)/2

74 L'ALGEBRE DE CLIFFORD ET SES APPLICATIONS

d'ou 4 points, deux reels et deux hyperboliques. Si Q(x) admet m racinesreelles, it y a m(m — 1)/2 couples de points reels d'ou m(m — 1) pointshyperboliques. Au total m(m — 1) + m = m 2 points au plus.

On generalise a deux courbes algebriques planes reelles, de degres m etp. Il y a au plus m2p2 points d'intersection.

Remarque. Dans 1'espace euclidien R(3, 0) si e est un vecteur unitairequelconque, les nombres hyperboliques se confondent avec les quaternionscomplexes de P. Girard. Ces quaternions representent la partie stable deCL(3, 0), c'est-a-dire la partie A de CL(3, 0) telle que A = A.

Equations Differentielles Lineaires.

Etant donne une equation differentielle lineaire a variable reelle, a coef-ficients reels et constants, sans second membre

aoy (n)(x) + aiy(n- 1 )(x ) +....+ any(x) = 0, (12.4)

la solution

ny = 7 Ai exp rzx, (12.5)

ou les Ai sont des coefficients reels et ri une solution de

aorn + alrn -1 + ... + ao = 0, (12.6)

est la solution generale de (12.4) lorsque toutes les racines de (12.6) sontsimples et reelles.

Ceci etant nous demontrons les deux propositions suivantes.

10 Si les coefficients constants sont des nombres de 1'anneau (u)

ny = 7(Ai + sBi) exprix, (12.7)

est la solution generale de 1'equation (12.4) B i etant des coefficientsconstants. En effet Ei Aiexprix et Ei Biexprix sont des solu-tions generales de (12.4) donc aussi (12.7).

RACINES HYPERBOLIQUES DES EQUATIONS ALGEBRIQUES ... 75

2° Lorsque les racines de (12.6) sont toutes reelles et simples, la priseen consideration des racines hyperboliques ne modifie pas la solutiongenerale (12.7).

Soit deux racines de (12.6) ri et rj (i j) et la racine hyperbolique

(ri +rj) (ri - rj)+e2 2

et soit (12.8)

ri + rj) (ri - rj) 1 (ri + rj) (ri - rj) y(exp 2 x+ e 2 x = exp 2 x exp2x

(ri — r) (ri—r ) ' (ri+rj)= ch 2 - x+ s sh 2 x exp ` 2 x (12.8)

Or

(r-rj) (rj2ri) 1exp 2 x + exp 2 x (ri + r1 )

2 exp 2 x

_ (exprix+exprjx) 1 (12.9)

De la meme facon

2 Iexp (T; rj)x — exp (r' 2'` )x 1 exp (Ti 2r' )x2 (12.10)= 2(exprix—exprjx)

D'ou pour la solution generale (12.11) ou Aij est constant

[( exprix (1 +E) + ( exprjx l (1 —E) l (12.11)

2 2 2 2

la somme etant etendue a tous les couples (i, j), si bien que (12.11) n'estpas fondamentalement differente de (12.7) ou, si l'on prefere, l'introductiondes racines hyperboliques equivaut a l'introduction de coefficients hyper-boliques pour la solution generale.

76 L'ALGEBRE DE CLIFFORD ET SES APPLICATIONS

12.1 Produit de Bivecteurs.

Premierement soient a, b, c, d quatre vecteurs de l'espace vectoriel E,,,auquel est associe une forme quadratique R(p, q).

NousposonsP= (aAb)(cAd)=(ab—a•b)(cd—c•d)

P=abcd—(a.b)cd—(c.d)ab+(a•b)(c.d) (12.1.1)

Nous rappelons les formules

ab=a-b+aAb (12.1.2)

bcd= (b•c)d— (b-d)c+(c-d)b+b Ac Ad (12.1.3)

a(bAcAd) = a- (b Ac Ad)+aAb Ac Ad (12.1.4)

a - (b A c A d) = (a . b)(c A d) — (a . c)(b A d) + (a • d)(b A c) (12.1.5)

et nous substituons tous ces resultats dans 1'expression de P.On obtient ainsi tous calculs faits

un scalaire S = (b • c)(a • d) — (b. d)(a • c)un bivecteur B = (b • c) (a /, d) — (b • d) (a A c) — (a • c) (b A d) + (a • d) (b A c)un 4-vecteur Q = a A b A C A d

Soit en definitive

P=S+B+Q (12.1.6)

Carres de Bivecteurs.

1) En prenant a = c et b = d dans (12.1.6)

(a A b) 2 = (a • b) 2 — a2 b2 (scalaire) (12.1.7)

2) (aAb+cAd)2 = (anb)2+(cAd)2+(anb)(cnd)+(cnd)(anb)

RACINES HYPERBOLIQUES DES EQUATIONS ALGEBRIQUES ... 77

Or (a A b) (c A d) + (c A d) (a A b) = 2S + 2Q, d'ou

(aAb+cAd) 2 = (a Ab) 2 + (cAd) 2 +2(b • c)(a • d)——2(b•d)(a•c)+2aAbAcAd

La partie bivectorielle est nulle et ce resultat est general, quel que soitle nombre de bivecteurs additionnes. En effet la somme de bivecteurs estinvariante dans l'operation de retournement par suite de son elevation aucarre et it doit donc en titre de meme dans son developpement. Il ne resteque les parties scalaire et quadrivectorielle. Ajoutons encore que si tousles vecteurs sont dans un meme plan, la partie quadrivectorielle est nulle,et ne reste que la partie scalaire.

Espaces Euclidiens.

Dans les espaces strictement euclidiens (e? = 1 pour tout n) on in-terprete les resultats precedents.

1) Si 0 est Tangle des vecteurs a, b alors (a A b) 2 = — sin2 9a2 b2 .

Soit e1, e2, e3 une base orthonormee, el et e2 etant dans le plan a, b.On pose e1e2e3 = i3 avec 13 = — 1. On ecrit

a A b = 13a x b et (a A b) 2 = —(a x b) 2 = —a2 b2 sine 0

2) P' = (a A b + c A d) 2 . On suppose c et d daps la plan a, b. Alors onpeut poser

cxd=Aaxb (.A, reel)et(aAb+cAd) 2 =—a2 b2 (1+\) 2 sine 0

la generalisation a une somme de bivecteurs tous coplanaires etantimmediate.

Deuxiemement nous examinons le cas n = 3 ou E3 est associe a R(3, 0).On pose eie2e3 = i3 avec (i 3 ) 2 = —1.On verifie que i3 commute avec tous les vecteurs.Si a = aiez, b = b& ej (i, j = 1, 2, 3) on ecrit

a A b = '' (a2 &' — aJb 2 )ejej (12.1.8)i<j

78 L'ALGEBRE DE CLIFFORD ET SES APPLICATIONS

mais e l e2 = i3e3, e2e3 = i3e l , e3e1 = i3e2 et 1'on recrit (12.1.8) sousla forme

a A b = i3(a x b)

ou a x b design le produit en croix qui est un vecteur, donc a A b est unquaternion. De meme ab = a • b + i3 (a x b) est un quaternion. Alors, lesquaternions formant un corps, P est un quaternion.

P= (aAb)(cAd)=—(axb)(cxd) ,soit

P=— (axb)•(cxd)—i3(axb)x(cxd)

Sa norme est [(a x b) • (c x d)1 2 + [(a x b) x (c x d)1 2 c'est-a-dire(a x b) 2 (c x d) 2 .

Les quaternions formant un corps le produit de bivecteurs en nombrequelconque est encore un quaternion.

Troisiemement nous examinons le cas n = 4 ou E4 est associe a la forme

R(1, 3)(eo) 2 = 1 , (el) 2 = —1, (e2) 2 = —1, (e3) 2 = —1. On posee0e l e2e3 = i Si bien qu'un bivecteur quelconque B se developpe sur labase des bivecteurs selon

B = alsl + a282 + a3s3 + i(blsl + b2s2 + b3s3)

avec sl = eleo, S2 = e2eo = 53 = e3eo•Il s'ensuit (Si) 2 = (s2) 2 = (53) 2 = 1 et sls2s3 = i. D'ou pour le

bivecteur

B=s+is' (12.1.9)

avec s = alsl + a2s2 + a3s3 et s' = b1 s 1 + b2s2 + b3s3

Il en resulte qu'il existe un isomorphisme entre cette algebre d'espacede base s l , s2 i s3 associee a R(1,3) Hestenes [1] et 1'algebre d'espace deR(3, 0). Notons encore que

s A s' = i(s x s') (12.1.10)

RACINES HYPERBOLIQUES DES EQUATIONS ALGEBRIQUES ... 79

est isomorphe au bivecteur de R(3, 0) i3 etant remplace par i. Il existedonc un isomorphisme entre ces quaternions extraits de R(1, 3) et lesquaternions de R(3, 0) ce qui nous permet de ne pas les considerer commedes etres mathematiquement differents.

Posons ql = is', q2 = —is, ql et q2 etant deux quaternions. Alors(12.1.9) est de la forme

B = s + is' = q1 + iq2 (12.1.11)

Calculons B 2 = (s + is') 2 = s2 — s'2 + 2is • s'

Si s • s' = 0, alors B2 = s 2 — s t2 est reel et 1'on dit que B est elementaire.Si s2 > s'2 le bivecteur est dit temporelSi s2 = le bivecteur est dit isotropeSi s 2 < s'2 le bivecteur est dit spatialPlus generalement cette forme (12.1.11) est celle des parties paires des

nombres de Clifford dans R(l, 3).

r+s+is'+im (r et m reels)

On pose r + is' = ql, m — is = Q2 et on retrouve (12.1.11).Il est bied connu [2] que ces biquaternions ql + iq2 ont une structure

d'anneau si bien que le produite d'un nombre quelconque mais fini debivecteurs est un biquaternion.