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(RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

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tenseur

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Page 1: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

Éléments de Calcul TensorielÉléments de Calcul Tensoriel

� I Les Tenseurs

� II Les Opérateurs Différentiels� II Les Opérateurs Différentiels

Page 2: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

II Les TenseursLes Tenseurs

� I-1 Définition des Tenseurs

� I-2 Opérations sur les Tenseurs

� I-3 Symétrie et Antisymétrie� I-3 Symétrie et Antisymétrie

� I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie

� I-5 Produits Scalaire et Vectoriel

Page 3: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

II--11 Définition des TenseursDéfinition des TenseursTenseur: Opérateur liant dans un même repèredeux grandeurs

physiques en un même point d’un espace de dimensiond

M

u

vSes composantes dans un repère donné

ne dépendent que du point M

T(M)=

vu =

Le Rangd’un tenseur caractérise son nombre d’indices

T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d0 =1 composante T(M)

T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 composantes T i(M)

T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 composantes T ij (M)

T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes T ij…n (M)

Page 4: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

II--22 Opérations sur les TenseursOpérations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang

C(n) = A(n) + B(n) C ij…n = A ij…n + Bij…n

Produit tensoriel (⊗⊗⊗⊗)

C(n+m) = A(n) ⊗⊗⊗⊗ B(m) C ij…n…n+m = A ij…n Bij…m

Page 5: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

II--33 Symétrie et AntisymétrieSymétrie et AntisymétrieSymétriepar rapport au couple d’indices l,r

C(t) symétrique{ l,r} C ij… l…r…t = C ij… r…l...t

C(t) antisymétrique{ l,r} C ij… l…r…t = -C ij… r…l...t

Symétrie complète ∀∀∀∀ le couple d’indices αααα,ββββ ∈∈∈∈ {1..t}

C(t) symétrie complète C ij… αααα…ββββ…t = C ij… ββββ…αααα...t

Les propriétés de Symétrieet d’Antisymétriesont intrinsèquesElles se conservent par changement de repère

C symétrie complète C ij… αααα…ββββ…t = C ij… ββββ…αααα...t

C(t) antisymétrique complèteC ij… αααα…ββββ…t = (-1)PC ij… ββββ…αααα...t

P étant la parité de la permutation {ij…α…β…t} ⇒ { ij…β…α…t}

Page 6: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

II--44 Tenseurs Identité et d’AntisymétrieTenseurs Identité et d’Antisymétrie

Tenseur Identité δδδδ((((2222))))

1111 0000 00000000 1111 00000000 0000 1

δδδδ((((2222)))) = = = =

δδδδij = 1 si i = jδδδδij = 0 si i ≠≠≠≠ j ∀ le repèreδδδδij = 0 si i ≠≠≠≠ j

Tenseur d’Antisymétrie εεεε((((3333))))

εεεεijk = 1 si {i,j ,k} permutation paire du groupe {1,2,3}εεεεijk = -1 si {i,j ,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}εεεεijk = 0 si au moins 2 indices égaux

δ: δ: δ: δ: indice de Kroneker

Page 7: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

II--55 Produits Scalaire et VectorielProduits Scalaire et Vectoriel

⊗⊗⊗⊗

Produit Tensoriel de deux Vecteurs

u1

u2u3

u =

v1v2v3

v = C((((2222)))) ====u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3

u v ==== C ij = uiv j

Produit Scalaire de deux Vecteurs vu · = ukvk = Ckk = Tr( )u v⊗⊗⊗⊗

Produit Vectoriel de deux Vecteurs

u2v3 –u3v2u3v1 –u1v3u2v1 –u1v2

w vu ∧∧∧∧ ========w1

w2w3

=w

εεεε((((3333) ) ) ) ·{ }{ }{ }{ }u v⊗⊗⊗⊗=w vu ∧∧∧∧====

w i = εεεεijkC jk⇒

Page 8: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

IIII Les Opérateurs DifférentielsLes Opérateurs Différentiels

� II-1 Le Gradient� II-2 La Divergence� II -3 Le Rotationnel d’un Vecteur� II -3 Le Rotationnel d’un Vecteur� II-4 Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2� II-5 Le Laplacien

Page 9: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

IIII--11 Le GradientLe GradientGradient d’un Scalaire φφφφ(x)

dφφφφ =Gradφφφφ·dx

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x1

∂∂∂∂φφφφ

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2∂∂∂∂u ∂∂∂∂u ∂∂∂∂u

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

Gradient d’un Vecteur u(x)

du =Gradu·dx

Gradφφφφ = ∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x2

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x3

Grad u =

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2

Page 10: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

IIII--22 La DivergenceLa Divergence

Divergence d’un Vecteur u(x)

Divergences d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ((((2222))))(x)

Divu = = + +∂∂∂∂uk

∂∂∂∂xk

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x1

Divergences des Vecteurs Ligne Divergences des Vecteurs Colonne

DivDΤΤΤΤ((((2222)))) = =∂∂∂∂T ij

∂∂∂∂xj

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x2+ +

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x2+ +

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x2+ +

Divergences des Vecteurs Ligne

DivGΤΤΤΤ((((2222)))) = =∂∂∂∂T ij

∂∂∂∂xi

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x2+ +

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x2+ +

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x2+ +

Divergences des Vecteurs Colonne

DivDΤΤΤΤ((((2222)))) = DivGtΤΤΤΤ((((2222))))

DivGΤΤΤΤ((((2222)))) = DivDtΤΤΤΤ((((2222))))

ΤΤΤΤ((((2222) ) ) ) = tΤΤΤΤ((((2222)))) symétrie⇒⇒⇒⇒ DivDΤΤΤΤ((((2222)))) = DivGΤΤΤΤ((((2222))))

Page 11: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

IIII--33 Le Rotationnel d’un VecteurLe Rotationnel d’un Vecteur

Opérateur Nabla∇∇∇∇ =

∂∂∂∂∂∂∂∂x1∂∂∂∂∂∂∂∂x2∂∂∂∂∂∂∂∂x3

Divergence Div = Tr( )u·∇∇∇∇ u= u⊗⊗⊗⊗∇∇∇∇ = Tr( )u Grad

∂∂∂∂u∂∂∂∂u ∂∂∂∂u ∂∂∂∂u

u1

u2u3

u = ∇∇∇∇ ⊗⊗⊗⊗ uu =tGrad

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x1

=et Gradient

tGrad

Tenseur Rotationnel

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2- -

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

-∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2-

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1-

-∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

0

0

0u Grad u-Rot =u =

Pseudo Vecteur Rotationnel

====Rot =u ∇∇∇∇ ∧∧∧∧ u

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2-

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1-

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2-

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

Page 12: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

IIII--44 Rotationnels d’un Tenseur Rotationnels d’un Tenseur TT((22))

Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ((((2222))))(x)

Gradient d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ((((2222))))(x) F = Grad(3)T(2) Fij k =∂∂∂∂T ij

∂∂∂∂xk

Rotationnels des Vecteurs Ligne

[ ]lkRotD ==T εεεεkij

∂∂∂∂T lj

∂∂∂∂xi

Rot =

Rotationnels des Vecteurs Colonne

[ ]klRotG ==T εεεεkij

∂∂∂∂T j l

∂∂∂∂xi

Rot =

tRotDΤΤΤΤ = RotGtΤΤΤΤtRotGΤΤΤΤ = RotDtΤΤΤΤ

ΤΤΤΤ = tΤΤΤΤ symétrie⇒⇒⇒⇒ RotDΤΤΤΤ = tRotGΤΤΤΤ

RotD ==T

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x1- -

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x2

-∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x1-

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x3-

-∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x3-

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x1-

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x2-

RotG ==T

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x3- -

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x3

-∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x2-

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x2-

-∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x3-

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x1-

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x2-

Page 13: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

IIII--44 Le LaplacienLe Laplacien

Laplacien d’un Vecteur u(x)

∂∂∂∂2u

∂∂∂∂2u1

∂∂∂∂x12

∂∂∂∂2u1

∂∂∂∂x22

∂∂∂∂2u1

∂∂∂∂x32++

Laplacien d’un Scalaire φφφφ(x) ∆φ∆φ∆φ∆φ =Div(Gradφφφφ)

∂∂∂∂xk ∂∂∂∂xk∆φ∆φ∆φ∆φ =Div(Gradφφφφ) =

∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x1

2

∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x2

2

∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x3

2++=∂∂∂∂2φφφφ

u[ ]kRot = εεεεklm∂∂∂∂um

∂∂∂∂xl

u= DivD( ) =Grad =∂∂∂∂2ui

∂∂∂∂xk ∂∂∂∂xk

∂∂∂∂x1 ∂∂∂∂x2 ∂∂∂∂x3∂∂∂∂2u2

∂∂∂∂x12

∂∂∂∂2u2

∂∂∂∂x22

∂∂∂∂2u2

∂∂∂∂x32++

∂∂∂∂2u3

∂∂∂∂x12

∂∂∂∂2u3

∂∂∂∂x22

∂∂∂∂2u3

∂∂∂∂x32++

∆∆∆∆ u

Laplacien et Rotationnel

(Rot ) =uRot uGrad(Div ) - ∆∆∆∆u

Page 14: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

TD1Soit le tenseur T qui s’écrit dans la base R(ei ):

−=

105

005

551

T

Exprimer le tenseur T dans la base R’ tel que:

1'232

'1 2 eeeteee =+=

Page 15: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

TD2Soit le tenseur T suivant:

Déterminer la partie symétrique et la partieantisymétriquedeT.

=987

654

321

T

antisymétriquedeT.

Rappel:

( )( )

−=

+=

t

t

TTTantisym

TTTsym

.21

.21

Page 16: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

TD3Soit le tenseur T suivant:

1- Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de T.2- Déterminer les trois invariants de T.

−=300

014

045

T

Rappels:1- Valeurs propres:

2-vecteurs propres:

( ) 0det =− IT λ

iii nnT .. λ=

( ) ( ){ }( )TI

TtrTtrI

TtrI

det

.21

)(

3

222

1

=

−=

=

3- Invariants de T:

Page 17: (RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

TD4:

Soit R le tenseur rotation (matrice de passage) d’angleϴ (senstrigonométrique) et d’axe de rotation x3 .

1- Calculer R2

2- Montrer que R2 correspondà une rotation d’angle 2 ϴ2- Montrer que R correspondà une rotation d’angle 2 ϴautour du même axe.3- Exprimer Rn pour tout entier n.