(RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilit])

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    13-Jul-2016

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tenseur

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lments de Calcul Tensoriellments de Calcul Tensoriel I Les Tenseurs II Les Oprateurs Diffrentiels II Les Oprateurs DiffrentielsII Les TenseursLes Tenseurs I-1 Dfinition des Tenseurs I-2 Oprations sur les Tenseurs I-3 Symtrie et Antisymtrie I-3 Symtrie et Antisymtrie I-4 Tenseurs Identit et dAntisymtrie I-5 Produits Scalaire et VectorielII--11 Dfinition des TenseursDfinition des TenseursTenseur : Oprateur liant dans un mme repre deux grandeurs physiques en un mme point dun espace de dimension dMuvSes composantes dans un repre donnne dpendent que du point MT(M)= vu =Le Rang dun tenseur caractrise son nombre dindicesT(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire d0 =1 composante T(M)T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur d1 composantes Ti(M)T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice d2 composantes Tij(M)T(n) Tenseur de Rang n : Matrice dn composantes Tijn(M)II--22 Oprations sur les TenseursOprations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de mme RangC(n) = A(n) + B(n) C ijn = A ijn + BijnProduit tensoriel () C(n+m) = A(n) B(m) C ijnn+m = A ijn BijmII--33 Symtrie et AntisymtrieSymtrie et AntisymtrieSymtrie par rapport au couple dindices l,rC(t) symtrique {l,r} C ijlrt = C ijrl...tC(t) antisymtrique {l,r} C ijlrt = -C ijrl...tSymtrie complte le couple dindices , {1..t}C(t) symtrie complte C ijt = C ij...tLes proprits de Symtrie et dAntisymtrie sont intrinsquesElles se conservent par changement de repreC symtrie complte C ijt = C ij...tC(t) antisymtrique complte C ijt = (-1)PC ij...tP tant la parit de la permutation {ijt} {ijt}II--44 Tenseurs Identit et dAntisymtrieTenseurs Identit et dAntisymtrieTenseur Identit ((((2222))))1111 0000 00000000 1111 00000000 0000 1((((2222)))) = = = = ij = 1 si i = jij = 0 si i j le repreij = 0 si i jTenseur dAntisymtrie ((((3333))))ijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3}ijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}ijk = 0 si au moins 2 indices gaux: : : : indice de KronekerII--55 Produits Scalaire et VectorielProduits Scalaire et VectorielProduit Tensoriel de deux Vecteursu1u2u3u =v1v2v3v = C((((2222)))) ====u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3u v ==== Cij = uivjProduit Scalaire de deux Vecteurs vu = ukvk = Ckk = Tr( )u vProduit Vectoriel de deux Vecteursu2v3 u3v2u3v1 u1v3u2v1 u1v2w vu ========w1w2w3=w((((3333) ) ) ) { }{ }{ }{ }u v=w vu ====wi = ijkCjkIIII Les Oprateurs DiffrentielsLes Oprateurs Diffrentiels II-1 Le Gradient II-2 La Divergence II-3 Le Rotationnel dun Vecteur II-3 Le Rotationnel dun Vecteur II-4 Les Rotationnels dun Tenseur de Rang 2 II-5 Le LaplacienIIII--11 Le GradientLe GradientGradient dun Scalaire (x)d =Graddxx1u1x1u1x2u u uu1x3Gradient dun Vecteur u(x)du =GradudxGrad = x2x3Gradu =u3x1u2x1u2x2u2x3u3x2u3x2IIII--22 La DivergenceLa DivergenceDivergence dun Vecteur u(x)Divergences dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x)Divu = = + +ukxku2x2u3x3u1x1Divergences des Vecteurs Ligne Divergences des Vecteurs ColonneDivD((((2222)))) = =TijxjT13x3T11x1T12x2+ +T23x3T21x1T22x2+ +T33x3T31x1T32x2+ +Divergences des Vecteurs LigneDivG((((2222)))) = =TijxiT31x3T11x1T21x2+ +T32x3T12x1T22x2+ +T33x3T13x1T23x2+ +Divergences des Vecteurs ColonneDivD((((2222)))) = DivGt((((2222))))DivG((((2222)))) = DivDt((((2222))))((((2222) ) ) ) = t((((2222)))) symtrie DivD((((2222)))) = DivG((((2222))))IIII--33 Le Rotationnel dun VecteurLe Rotationnel dun VecteurOprateur Nabla =x1x2x3Divergence Div = Tr( )u u= u = Tr( )u Graduu u uu1u2u3u = uu =tGradu2x3u1x3u3x3u3x2u2x2u3x1u2x1u1x2u1x1=et GradienttGradTenseur Rotationnelu2x3u1x3u3x2u3x1u2x1u1x2u1x2- -u1x3-u2x3u3x2-u3x1--u2x1000u Gradu-Rot =u =Pseudo Vecteur Rotationnel====Rot =u uu3x2 -u2x3u1x3u3x1-u1x2 -u2x1IIII--44 Rotationnels dun Tenseur Rotationnels dun Tenseur TT((22))Pseudo Rotationnels dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x)Gradient dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x) F = Grad(3)T(2) Fijk =T ijxkRotationnels des Vecteurs Ligne[ ]lkRotD ==T kij T ljxiRot =Rotationnels des Vecteurs Colonne[ ]klRotG ==T kij TjlxiRot =tRotD = RotGttRotG = RotDt = t symtrie RotD = tRotGRotD ==TT31x3T33x2T22x1T12x1T23x2T11x3T13x1- -T11x2-T21x2T33x1-T32x3--T22x3T13x2T12x3-T21x3T23x1-T32x1T31x2-RotG ==TT22x1T21x1T13x3T33x2T11x3T32x2T22x3- -T23x3-T33x1T12x2-T11x2--T31x1T31x2T21x3-T12x3T32x1-T23x1T13x2-IIII--44 Le LaplacienLe LaplacienLaplacien dun Vecteur u(x)2u2u1x122u1x222u1x32++Laplacien dun Scalaire (x) =Div(Grad)xk xk =Div(Grad) = 2x122x222x32++=2u[ ]kRot = klm umxlu= DivD( ) =Grad =2uixk xkx1 x2 x32u2x122u2x222u2x32++2u3x122u3x222u3x32++ uLaplacien et Rotationnel(Rot ) =uRot uGrad(Div ) - uTD1Soit le tenseur T qui scrit dans la base R(ei ):=105005551TExprimer le tenseur T dans la base R tel que:1'232'1 2 eeeteee =+=TD2Soit le tenseur T suivant:Dterminer la partie symtrique et la partieantisymtrique de T.=987654321Tantisymtrique de T.Rappel:( )( ) = +=ttTTTantisymTTTsym.21.21TD3Soit le tenseur T suivant:1- Dterminer les valeurs et les vecteurs propres de T.2- Dterminer les trois invariants de T.=300014045TRappels:1- Valeurs propres:2-vecteurs propres:( ) 0det = IT iii nnT .. =( ) ( ){ }( )TITtrTtrITtrIdet.21)(32221===3- Invariants de T:TD4:Soit R le tenseur rotation (matrice de passage) dangle (senstrigonomtrique) et daxe de rotation x3 .1- Calculer R22- Montrer que R2 correspond une rotation dangle 2 2- Montrer que R correspond une rotation dangle 2 autour du mme axe.3- Exprimer Rn pour tout entier n.