Click here to load reader
Upload
mouss-tachegacht
View
23
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
tenseur
Citation preview
Éléments de Calcul TensorielÉléments de Calcul Tensoriel
� I Les Tenseurs
� II Les Opérateurs Différentiels� II Les Opérateurs Différentiels
II Les TenseursLes Tenseurs
� I-1 Définition des Tenseurs
� I-2 Opérations sur les Tenseurs
� I-3 Symétrie et Antisymétrie� I-3 Symétrie et Antisymétrie
� I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie
� I-5 Produits Scalaire et Vectoriel
II--11 Définition des TenseursDéfinition des TenseursTenseur: Opérateur liant dans un même repèredeux grandeurs
physiques en un même point d’un espace de dimensiond
M
u
vSes composantes dans un repère donné
ne dépendent que du point M
T(M)=
vu =
Le Rangd’un tenseur caractérise son nombre d’indices
T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d0 =1 composante T(M)
T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 composantes T i(M)
T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 composantes T ij (M)
T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes T ij…n (M)
II--22 Opérations sur les TenseursOpérations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang
C(n) = A(n) + B(n) C ij…n = A ij…n + Bij…n
Produit tensoriel (⊗⊗⊗⊗)
C(n+m) = A(n) ⊗⊗⊗⊗ B(m) C ij…n…n+m = A ij…n Bij…m
II--33 Symétrie et AntisymétrieSymétrie et AntisymétrieSymétriepar rapport au couple d’indices l,r
C(t) symétrique{ l,r} C ij… l…r…t = C ij… r…l...t
C(t) antisymétrique{ l,r} C ij… l…r…t = -C ij… r…l...t
Symétrie complète ∀∀∀∀ le couple d’indices αααα,ββββ ∈∈∈∈ {1..t}
C(t) symétrie complète C ij… αααα…ββββ…t = C ij… ββββ…αααα...t
Les propriétés de Symétrieet d’Antisymétriesont intrinsèquesElles se conservent par changement de repère
C symétrie complète C ij… αααα…ββββ…t = C ij… ββββ…αααα...t
C(t) antisymétrique complèteC ij… αααα…ββββ…t = (-1)PC ij… ββββ…αααα...t
P étant la parité de la permutation {ij…α…β…t} ⇒ { ij…β…α…t}
II--44 Tenseurs Identité et d’AntisymétrieTenseurs Identité et d’Antisymétrie
Tenseur Identité δδδδ((((2222))))
1111 0000 00000000 1111 00000000 0000 1
δδδδ((((2222)))) = = = =
δδδδij = 1 si i = jδδδδij = 0 si i ≠≠≠≠ j ∀ le repèreδδδδij = 0 si i ≠≠≠≠ j
Tenseur d’Antisymétrie εεεε((((3333))))
εεεεijk = 1 si {i,j ,k} permutation paire du groupe {1,2,3}εεεεijk = -1 si {i,j ,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}εεεεijk = 0 si au moins 2 indices égaux
δ: δ: δ: δ: indice de Kroneker
II--55 Produits Scalaire et VectorielProduits Scalaire et Vectoriel
⊗⊗⊗⊗
Produit Tensoriel de deux Vecteurs
u1
u2u3
u =
v1v2v3
v = C((((2222)))) ====u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3
u v ==== C ij = uiv j
Produit Scalaire de deux Vecteurs vu · = ukvk = Ckk = Tr( )u v⊗⊗⊗⊗
Produit Vectoriel de deux Vecteurs
u2v3 –u3v2u3v1 –u1v3u2v1 –u1v2
w vu ∧∧∧∧ ========w1
w2w3
=w
εεεε((((3333) ) ) ) ·{ }{ }{ }{ }u v⊗⊗⊗⊗=w vu ∧∧∧∧====
w i = εεεεijkC jk⇒
IIII Les Opérateurs DifférentielsLes Opérateurs Différentiels
� II-1 Le Gradient� II-2 La Divergence� II -3 Le Rotationnel d’un Vecteur� II -3 Le Rotationnel d’un Vecteur� II-4 Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2� II-5 Le Laplacien
IIII--11 Le GradientLe GradientGradient d’un Scalaire φφφφ(x)
dφφφφ =Gradφφφφ·dx
∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x1
∂∂∂∂φφφφ
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2∂∂∂∂u ∂∂∂∂u ∂∂∂∂u
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
Gradient d’un Vecteur u(x)
du =Gradu·dx
Gradφφφφ = ∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x2
∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x3
Grad u =
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2
IIII--22 La DivergenceLa Divergence
Divergence d’un Vecteur u(x)
Divergences d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ((((2222))))(x)
Divu = = + +∂∂∂∂uk
∂∂∂∂xk
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x1
Divergences des Vecteurs Ligne Divergences des Vecteurs Colonne
DivDΤΤΤΤ((((2222)))) = =∂∂∂∂T ij
∂∂∂∂xj
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x2+ +
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x2+ +
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x2+ +
Divergences des Vecteurs Ligne
DivGΤΤΤΤ((((2222)))) = =∂∂∂∂T ij
∂∂∂∂xi
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x2+ +
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x2+ +
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x2+ +
Divergences des Vecteurs Colonne
DivDΤΤΤΤ((((2222)))) = DivGtΤΤΤΤ((((2222))))
DivGΤΤΤΤ((((2222)))) = DivDtΤΤΤΤ((((2222))))
ΤΤΤΤ((((2222) ) ) ) = tΤΤΤΤ((((2222)))) symétrie⇒⇒⇒⇒ DivDΤΤΤΤ((((2222)))) = DivGΤΤΤΤ((((2222))))
IIII--33 Le Rotationnel d’un VecteurLe Rotationnel d’un Vecteur
Opérateur Nabla∇∇∇∇ =
∂∂∂∂∂∂∂∂x1∂∂∂∂∂∂∂∂x2∂∂∂∂∂∂∂∂x3
Divergence Div = Tr( )u·∇∇∇∇ u= u⊗⊗⊗⊗∇∇∇∇ = Tr( )u Grad
∂∂∂∂u∂∂∂∂u ∂∂∂∂u ∂∂∂∂u
u1
u2u3
u = ∇∇∇∇ ⊗⊗⊗⊗ uu =tGrad
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x1
=et Gradient
tGrad
Tenseur Rotationnel
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2- -
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
-∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2-
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1-
-∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
0
0
0u Grad u-Rot =u =
Pseudo Vecteur Rotationnel
====Rot =u ∇∇∇∇ ∧∧∧∧ u
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2-
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1-
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2-
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
IIII--44 Rotationnels d’un Tenseur Rotationnels d’un Tenseur TT((22))
Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ((((2222))))(x)
Gradient d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ((((2222))))(x) F = Grad(3)T(2) Fij k =∂∂∂∂T ij
∂∂∂∂xk
Rotationnels des Vecteurs Ligne
[ ]lkRotD ==T εεεεkij
∂∂∂∂T lj
∂∂∂∂xi
Rot =
Rotationnels des Vecteurs Colonne
[ ]klRotG ==T εεεεkij
∂∂∂∂T j l
∂∂∂∂xi
Rot =
tRotDΤΤΤΤ = RotGtΤΤΤΤtRotGΤΤΤΤ = RotDtΤΤΤΤ
ΤΤΤΤ = tΤΤΤΤ symétrie⇒⇒⇒⇒ RotDΤΤΤΤ = tRotGΤΤΤΤ
RotD ==T
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x1- -
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x2
-∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x1-
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x3-
-∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x3-
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x1-
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x2-
RotG ==T
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x3- -
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x3
-∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x2-
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x2-
-∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x3-
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x1-
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x2-
IIII--44 Le LaplacienLe Laplacien
Laplacien d’un Vecteur u(x)
∂∂∂∂2u
∂∂∂∂2u1
∂∂∂∂x12
∂∂∂∂2u1
∂∂∂∂x22
∂∂∂∂2u1
∂∂∂∂x32++
Laplacien d’un Scalaire φφφφ(x) ∆φ∆φ∆φ∆φ =Div(Gradφφφφ)
∂∂∂∂xk ∂∂∂∂xk∆φ∆φ∆φ∆φ =Div(Gradφφφφ) =
∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x1
2
∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x2
2
∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x3
2++=∂∂∂∂2φφφφ
u[ ]kRot = εεεεklm∂∂∂∂um
∂∂∂∂xl
u= DivD( ) =Grad =∂∂∂∂2ui
∂∂∂∂xk ∂∂∂∂xk
∂∂∂∂x1 ∂∂∂∂x2 ∂∂∂∂x3∂∂∂∂2u2
∂∂∂∂x12
∂∂∂∂2u2
∂∂∂∂x22
∂∂∂∂2u2
∂∂∂∂x32++
∂∂∂∂2u3
∂∂∂∂x12
∂∂∂∂2u3
∂∂∂∂x22
∂∂∂∂2u3
∂∂∂∂x32++
∆∆∆∆ u
Laplacien et Rotationnel
(Rot ) =uRot uGrad(Div ) - ∆∆∆∆u
TD1Soit le tenseur T qui s’écrit dans la base R(ei ):
−
−=
105
005
551
T
Exprimer le tenseur T dans la base R’ tel que:
1'232
'1 2 eeeteee =+=
TD2Soit le tenseur T suivant:
Déterminer la partie symétrique et la partieantisymétriquedeT.
=987
654
321
T
antisymétriquedeT.
Rappel:
( )( )
−=
+=
t
t
TTTantisym
TTTsym
.21
.21
TD3Soit le tenseur T suivant:
1- Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de T.2- Déterminer les trois invariants de T.
−=300
014
045
T
Rappels:1- Valeurs propres:
2-vecteurs propres:
( ) 0det =− IT λ
iii nnT .. λ=
( ) ( ){ }( )TI
TtrTtrI
TtrI
det
.21
)(
3
222
1
=
−=
=
3- Invariants de T:
TD4:
Soit R le tenseur rotation (matrice de passage) d’angleϴ (senstrigonométrique) et d’axe de rotation x3 .
1- Calculer R2
2- Montrer que R2 correspondà une rotation d’angle 2 ϴ2- Montrer que R correspondà une rotation d’angle 2 ϴautour du même axe.3- Exprimer Rn pour tout entier n.