(RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilit])

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    13-Jul-2016

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tenseur

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  • lments de Calcul Tensoriellments de Calcul Tensoriel

    I Les Tenseurs II Les Oprateurs Diffrentiels II Les Oprateurs Diffrentiels

  • II Les TenseursLes Tenseurs

    I-1 Dfinition des Tenseurs I-2 Oprations sur les Tenseurs I-3 Symtrie et Antisymtrie I-3 Symtrie et Antisymtrie I-4 Tenseurs Identit et dAntisymtrie I-5 Produits Scalaire et Vectoriel

  • II--11 Dfinition des TenseursDfinition des TenseursTenseur : Oprateur liant dans un mme repre deux grandeurs

    physiques en un mme point dun espace de dimension d

    M

    u

    v

    Ses composantes dans un repre donn

    ne dpendent que du point M

    T(M)= vu =Le Rang dun tenseur caractrise son nombre dindices

    T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire d0 =1 composante T(M)T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur d1 composantes Ti(M)T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice d2 composantes Tij(M)T(n) Tenseur de Rang n : Matrice dn composantes Tijn(M)

  • II--22 Oprations sur les TenseursOprations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de mme Rang

    C(n) = A(n) + B(n) C ijn = A ijn + BijnProduit tensoriel ()

    C(n+m) = A(n) B(m) C ijnn+m = A ijn Bijm

  • II--33 Symtrie et AntisymtrieSymtrie et AntisymtrieSymtrie par rapport au couple dindices l,r

    C(t) symtrique {l,r} C ijlrt = C ijrl...tC(t) antisymtrique {l,r} C ijlrt = -

    C ijrl...tSymtrie complte le couple dindices , {1..t}

    C(t) symtrie complte C ijt = C ij...t

    Les proprits de Symtrie et dAntisymtrie sont intrinsquesElles se conservent par changement de repre

    C symtrie complte C ijt = C ij...tC(t) antisymtrique complte C ijt = (-1)PC ij...t

    P tant la parit de la permutation {ijt} {ijt}

  • II--44 Tenseurs Identit et dAntisymtrieTenseurs Identit et dAntisymtrieTenseur Identit ((((2222))))

    1111 0000 00000000 1111 00000000 0000 1

    ((((2222)))) = = = =

    ij = 1 si i = jij = 0 si i j le repreij = 0 si i j

    Tenseur dAntisymtrie ((((3333))))

    ijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3}ijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}ijk = 0 si au moins 2 indices gaux

    : : : : indice de Kroneker

  • II--55 Produits Scalaire et VectorielProduits Scalaire et Vectoriel

    Produit Tensoriel de deux Vecteursu1u2u3

    u =

    v1v2v3

    v = C((((2222)))) ====u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3

    u v ==== Cij = uivj

    Produit Scalaire de deux Vecteurs vu = ukvk = Ckk = Tr( )u v

    Produit Vectoriel de deux Vecteursu2v3 u3v2u3v1 u1v3u2v1 u1v2

    w vu ========w1w2w3

    =w

    ((((3333) ) ) ) { }{ }{ }{ }u v=w vu ====

    wi = ijkCjk

  • IIII Les Oprateurs DiffrentielsLes Oprateurs Diffrentiels

    II-1 Le Gradient II-2 La Divergence II-3 Le Rotationnel dun Vecteur II-3 Le Rotationnel dun Vecteur II-4 Les Rotationnels dun Tenseur de Rang 2 II-5 Le Laplacien

  • IIII--11 Le GradientLe GradientGradient dun Scalaire (x)

    d =Graddx

    x1

    u1x1

    u1x2

    u u u

    u1x3

    Gradient dun Vecteur u(x)

    du =Gradudx

    Grad = x2x3

    Gradu =

    u3x1

    u2x1

    u2x2

    u2x3

    u3x2

    u3x2

  • IIII--22 La DivergenceLa DivergenceDivergence dun Vecteur u(x)

    Divergences dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x)

    Divu = = + +ukxk

    u2x2

    u3x3

    u1x1

    Divergences des Vecteurs Ligne Divergences des Vecteurs Colonne

    DivD((((2222)))) = =Tijxj

    T13x3

    T11x1

    T12x2

    + +

    T23x3

    T21x1

    T22x2

    + +

    T33x3

    T31x1

    T32x2

    + +

    Divergences des Vecteurs Ligne

    DivG((((2222)))) = =Tijxi

    T31x3

    T11x1

    T21x2

    + +

    T32x3

    T12x1

    T22x2

    + +

    T33x3

    T13x1

    T23x2

    + +

    Divergences des Vecteurs Colonne

    DivD((((2222)))) = DivGt((((2222))))

    DivG((((2222)))) = DivDt((((2222))))((((2222) ) ) ) = t((((2222)))) symtrie DivD((((2222)))) = DivG((((2222))))

  • IIII--33 Le Rotationnel dun VecteurLe Rotationnel dun VecteurOprateur Nabla

    =

    x1x2x3

    Divergence Div = Tr( )u u= u = Tr( )u Graduu u u

    u1u2u3

    u = uu =tGradu2x3

    u1x3

    u3x3

    u3x2

    u2x2

    u3x1

    u2x1

    u1x2

    u1x1

    =

    et Gradient

    tGrad

    Tenseur Rotationnel

    u2x3

    u1x3

    u3x2

    u3x1

    u2x1

    u1x2

    u1x2- -

    u1x3

    -

    u2x3

    u3x2-

    u3x1-

    -

    u2x1

    0

    0

    0u Gradu-Rot =u =

    Pseudo Vecteur Rotationnel

    ====Rot =u u

    u3x2 -

    u2x3

    u1x3

    u3x1-

    u1x2 -

    u2x1

  • IIII--44 Rotationnels dun Tenseur Rotationnels dun Tenseur TT((22))

    Pseudo Rotationnels dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x)

    Gradient dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x) F = Grad(3)T(2) Fijk =T ijxk

    Rotationnels des Vecteurs Ligne

    [ ]lkRotD ==T kij T ljxiRot =

    Rotationnels des Vecteurs Colonne

    [ ]klRotG ==T kij TjlxiRot =

    tRotD = RotGttRotG = RotDt

    = t symtrie RotD = tRotG

    RotD ==T

    T31x3

    T33x2

    T22x1

    T12x1

    T23x2

    T11x3

    T13x1- -

    T11x2

    -

    T21x2

    T33x1-

    T32x3-

    -

    T22x3

    T13x2

    T12x3-

    T21x3

    T23x1-

    T32x1

    T31x2-

    RotG ==T

    T22x1

    T21x1

    T13x3

    T33x2

    T11x3

    T32x2

    T22x3- -

    T23x3

    -

    T33x1

    T12x2-

    T11x2-

    -

    T31x1

    T31x2

    T21x3-

    T12x3

    T32x1-

    T23x1

    T13x2-

  • IIII--44 Le LaplacienLe Laplacien

    Laplacien dun Vecteur u(x)2u

    2u1x12

    2u1x22

    2u1x32

    ++

    Laplacien dun Scalaire (x) =Div(Grad)

    xk xk =Div(Grad) =

    2x12

    2x22

    2x32

    ++=2

    u[ ]kRot = klm umxl

    u= DivD( ) =Grad =2ui

    xk xk

    x1 x2 x32u2x12

    2u2x22

    2u2x32

    ++

    2u3x12

    2u3x22

    2u3x32

    ++

    u

    Laplacien et Rotationnel

    (Rot ) =uRot uGrad(Div ) - u

  • TD1Soit le tenseur T qui scrit dans la base R(ei ):

    =

    105005551

    T

    Exprimer le tenseur T dans la base R tel que:

    1'

    232'

    1 2 eeeteee =+=

  • TD2Soit le tenseur T suivant:

    Dterminer la partie symtrique et la partieantisymtrique de T.

    =

    987654321

    T

    antisymtrique de T.

    Rappel:

    ( )( )

    =

    +=

    t

    t

    TTTantisym

    TTTsym

    .21

    .21

  • TD3Soit le tenseur T suivant:

    1- Dterminer les valeurs et les vecteurs propres de T.2- Dterminer les trois invariants de T.

    =

    300014045

    T

    Rappels:1- Valeurs propres:

    2-vecteurs propres:

    ( ) 0det = IT iii nnT .. =

    ( ) ( ){ }( )TI

    TtrTtrI

    TtrI

    det

    .21

    )(

    3

    222

    1

    =

    =

    =

    3- Invariants de T:

  • TD4:Soit R le tenseur rotation (matrice de passage) dangle (senstrigonomtrique) et daxe de rotation x3 .1- Calculer R22- Montrer que R2 correspond une rotation dangle 2 2- Montrer que R correspond une rotation dangle 2 autour du mme axe.3- Exprimer Rn pour tout entier n.