RDM Chapitre 1 v1

7/23/2019 RDM Chapitre 1 v1

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Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres

M. ARFAOUI 3

Chapitre 1

Equilibre et dynamique des structures de poutres

Objectifs : à la fin de ce chapitre, l’étudiant doit être capable de :

1. reconnaitre et définir une poutre

2. passer de la modélisation par la MMC3D à la MMC1D de la géométrie d’une

poutre et des actions

3. comprendre l’utilité du torseur des actions internes

4. comprendre le principe de Saint-Venant

5. comprendre savoir ce que dit et comment/quand appliquer le PFD et le PFS

6. déterminer les inconnues des actions de liaison




M. ARFAOUI 4

1.1. Introduction

Le point de départ de toute théorie mécanique est la description géométrique du

système que l’on souhaite étudier. Pour un même solide réel, on connait au moinsdeux descriptions géométriques possibles : la mécanique des solides rigides (MSR) et

la mécanique des milieux continus tridimensionnels (MMC3D).

L’objectif poursuivi dans ce chapitre est la construction d’une description

géométrique et d’une modélisation des actions associées aux poutres qui, tenant

compte du caractère élancé de l’objet d’étude, se focalise sur les changements de

géométrie « longitudinaux ».

Cependant, pour déterminer les actions des liaisons reliant les différentes poutres

d’une structure, il est nécessaire de connaitre le comportement dynamique de la

structure complète. Pour ce type d’étude, le détail des déformations internes à chacun

des éléments de la structure de poutres est négligé, pour se limiter à l’étude des

mouvements relatifs entre ces éléments. Pour cela, une partie du chapitre sera

consacrée à la description de la cinématique dans le cadre de la mécanique des solides

indéformables. Puis les principes fondamentaux seront exprimés en utilisant le

formalisme associé à ce schéma cinématique. Une fois que les outils permettant de

mettre les problèmes en équations auront été présentés, des méthodes de résolution

des systèmes d’équations obtenus seront présentées, dans le cadre des petits

mouvements autour d’une position connue (initiale).

1.2.

Passage de la modélisation géométrique par la MMC3D

d’une poutre à celle de la MMC1D

1.2.1.

Introduction

Définition 1.1. Comment reconnait-on une poutre ou un milieu curviligne ?

Une poutre ou un milieu curviligne est un solide élancé dans une direction où une

dimension dans une direction est plus importante que dans les deux autres.

Remarque 1.1. On peut donc assimiler un tel milieu à une courbe matérielle d’où

l’appellation « milieu curviligne ».




M. ARFAOUI 5

Comment reconnait-on

une poutre ou

un milieu

curviligne ?

Comment définit-on

une poutre ou

un milieu

curviligne ?

Figure 1.1. Description géométrique et définition d’une poutre

Définition 1.2. Comment définit-on une poutre ou un milieu curviligne ?

On appelle poutre le solide engendré par une surface plane d S lorsque son centre de

gravité G décrit un arc de courbe 0 1G G , le plan d S étant normal en G à cet arc.

0 1G G est la ligne moyenne de la poutre, d S la section droite. Le diamètre d de d S ,

caractérisant la distance séparant les deux points de d S les plus éloignés, est faible

devant la longueur L de la ligne moyenne, figure (1.1.).

Hypothèses 1.1.

Quelles sont les conditions à vérifier par la définition (1.2) de la poutre ?

Le diamètre d de chaque section droite est faible devant la longueur L de la ligne

moyenne 0 1G G , ainsi que devant le rayon de courbure C R et le rayon de torsion T R

de cette ligne moyenne en G . Si la section droite d S est évolutive (non constante),

ses variations (taille, forme, …) en fonction de l’abscisse curviligne s de G sur 0 1G G ,

sont très lentes.

L

d

d S

L

d

d S

d S

Ligne moyenne

Section droite

d S

Ligne moyenne

Section droite




M. ARFAOUI 6

Remarque 1.2.

Si le rayon de courbure C R est faible ou que la section varie brutalement, on parlera

plutôt de structure de poutres ou de poutre définie par morceaux et il faudra

considérer les concentrations de contrainte (voir chapitre 3).

Définition 1.3.

Une poutre est droite, plane ou gauche, suivant que la ligne moyenne est rectiligne,

située dans un plan ou quelconque. Une poutre est dite à section variable ou

constante, suivant que la section droite d S varie ou non le long de la poutre.

Définition 1.4.

On appelle « fibre longitudinale » un volume généré par une petite portion dS de la

section droite d S suivant une courbe parallèle à la ligne moyenne. On appelle « fibre

neutre » la fibre générée par la ligne moyenne elle-même. On appelle tube toute

poutre creuse. Si l’épaisseur du tube e est faible devant le diamètre d de la section

droite, figure (1.2.).

Proposition 1.1.

La philosophie de l’approximation de la modélisation géométrique par la mécaniquedes milieux continus unidimensionnels « MMC1D » d’une poutre consiste donc à

assimiler la modélisation géométrique par la mécanique des milieux continus

tridimensionnels « MMC3D » (la poutre tridimensionnelle) à un milieu continu

unidimensionnel et à concentrer ou réduire (localement) chaque section droite en un

point, figure (1.3.).

Remarque 1.3.

En adoptant la démarche de la proposition (1.1), on perdra bien évidement de

l’information – c’est là que réside la modélisation – mais on y gagnera deux

dimensions et les équations aux dérivées partielles (trois variables) de la mécanique

des milieux continus tridimensionnels « MMC3D » deviendront des équations

différentielles ordinaires (une seule variable) que l’on pourra résoudre à la main.




M. ARFAOUI 7

Proposition 1.2.

Le passage de la modélisation géométrique d’une poutre par la MMC3D à celle par la

MMC1D est réversible. Cette réversibilité est obtenue par la modélisation de la ligne

moyenne et de la section droite, (voir définition (1.2.)).

Figure 1.2. Exemples de poutres et de sections droites




M. ARFAOUI 8

1.2.2.

Modélisation de la ligne moyenne

Définition 1.5.

Soit ( )g R O,i, j ,k

un repère orthonormé. Un point quelconque G de la ligne moyenne

0 1G G est défini par la représentation paramétrique de son vecteur position

( ) ( ) ( )OG x u .i y u . j z u .k = + +

. L’application [ ]0 1u u ,u∈ vers [ ]0 1G G G∈ est bijective.

Proposition 1.3.

Un point quelconque G de la ligne moyenne 0 1G G (orienté de 0G vers 1G ), défini par

la définition (1.5.), est caractérisé par son abscisse curviligne

0

2 2 2u

u

dx dy dz

s dudu du du

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± + +

⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ , avec le signe + si le sens de u croissant

correspond au sens positif choisi sur 0 1G G et le signe – dans le cas contraire.

Démonstration de la proposition (1.3.) Elle est basée sur la définition du repère de

Frenet.

Définition 1.6.

Repère de Frenet. On définit en chaque point G de 0 1G G une basé orthonormée

( )t,n,b

liée à la ligne moyenne avecdOG

t ds

=

vecteur tangent unitaire en tout point

G de la ligne moyenne, C dt

n R .ds

=

vecteur unitaire normal à t

nommé vecteur

normal principal et b t n= ∧

nommé vecteur binormal. Ce dernier vecteur vérifie les

relationsC T

d n 1 1t b

ds R R= − −

etT

db 1n

ds R=

. Le repère orthonormé ( )F R G,t ,n,b

est le

repère de Frenet de la courbe 0 1G G en G et ne dépend que de la forme de la lignemoyenne (indépendant de la forme de la section droite).

Remarque 1.4.

C

1

R et

T

1

R définissent, respectivement, la courbure et la torsion de la ligne moyenne

0 1G G . Les centres de courbure I et de torsion J de 0 1G G sont défini, respectivement,

par les formules C GI R .n=

et T GJ R .b=

, figure (1.3.). Une courbe à une courbure




M. ARFAOUI 9

identiquement nulle, si et seulement si elle est rectiligne (poutre droite). Une courbe à

une torsion identiquement nulle, si et seulement si elle est plane.

Remarque 1.5.Le repère de Frenet ( )F R G,t ,n,b

caractérise la forme de la ligne moyenne. Il est

indépendant de la forme de la section droite d S et de ce fait ce repère ne permet pas

de caractériser cette section et de « mémoriser la forme » lors du passage de la

modélisation géométrique par la MMC3D à celle par la MMC1D.

Figure 1.3. Passage de la modélisation géométrique par la MMC3D à celle par la

MMC1D : caractérisation de la ligne moyenne

MMC1D

Repère

Galiléen + j

i

k

O

G 0

G 1G +d S

t

nb

Vecteur unitaire tangent

C GI R .n=

T GJ R .b=

MMC3D

3D

à1D

3D

à

1D

Repère

de Frenet

( )F

R G,t ,n,b

MMC1D

Repère

Galiléen + j

i

k

O +

j

i

k

O

G 0

G 1G +d S

t

nb


C GI R .n=

T GJ R .b=G 0

G 1G +d S

t

nb


C GI R .n=

T GJ R .b=

MMC3D

3D

à1D

3D

à

1D

Repère

de Frenet

( )F

R G,t ,n,b




M. ARFAOUI 10

Exemple 1.1. Ressort hélicoïdal

La ligne moyenne est une hélice circulaire de rayon a et de représentation

paramétrique dans la base : OG a.cos .i a. sin . j .a. .k θ θ λ θ = + +

avec θ la variable du

paramétrage, λ le pas réduit. Les vecteurs de la base de Frenet se déduisent de lafaçon suivante.

On calcule successivement 2ds a. 1 .d λ θ = + , t

,dt

ds

, C dt

R 1 / ds

=

, C dt

n R .ds

=

,

b t n= ∧

, C d n

R 1 / ds

=

. On trouve,2 2 2

sin cost .i . j .k

1 1 1

θ θ λ

λ λ λ = − + +

+ + +

,

n cos i sin jθ θ = − −

,2 2 2

sin cos 1b .i . j .k

1 1 1

λ θ λ θ

λ λ λ = − +

+ + +

, ( )2

C R a. 1 λ = + ,

2T

1 R a. λ

λ +=

Figure 1.4. Paramétrage d’un ressort hélicoïdal

1.2.3. Modélisation de la section droite

Définition 1.7.

Une section droite d S est caractérisée par son centre de gravité G défini par la

formule

d P S

OG OP.dS ∈

= ∫

, sa surface S et son opérateur d’inertie ( )d F I G,S / R

(tenseur ou matrice) défini par :




M. ARFAOUI 11

( )

F

xx xy xz

d F xy yy yz

xz yz xx R

I I I

I G,S / R I I I

I I I

⎡ ⎤− −⎢ ⎥

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎣ ⎦

avec ( ) ( )d

2 2 xx

S

I G y z .dS = +∫ , ( )d

2 yy

S

I G z .dS = ∫ , ( )d

2 zz

S

I G y .dS = ∫ ,

( )d

xy

S

I G x.y.dS 0= =∫ , ( )d

xz

S

I G x.z.dS 0= =∫ , ( )d

yz

S

I G y.z.dS = ∫ avec x 0= et où y et z

sont les coordonnées d’un point courant de la section droite d S définies dans le repère

de Frenet ( )F R G,t ,n,b

.

Définition 1.8.

L’opérateur d’inertie ( )d F I G,S / R étant symétrique défini positif, il existe un repère

orthonormé noté ( )P R G,x t , y,z=

dans lequel l’opérateur d’inertie ( )d P I G,S / R est

diagonal. x

, y

et z

sont les vecteurs propres diagonalisant l’opérateur d’inertie

( )d F I G,S / R ( )d P I G,S / R est l’opérateur d’inertie dans le repère central principale

d’inertie ( )P R G,x t , y,z=

et prend la forme suivante :

( )

P

x

d P y

z R

I 0 0

I G,S / R 0 I 0

0 0 I

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )d

2 2 x

S

I G y z .dS = +∫ , ( )d

2 y

S

I G z .dS = ∫ , ( )d

2 z

S

I G y .dS = ∫ sont les moments

quadratiques centraux principaux avec x 0= et où y et z sont les coordonnées d’un

point courant de la section droited

S définies dans le repère de principal

( )P R G,x, y,z

.

Remarque 1.6.

Si la section droite d S possède un axe de symétrie, il est un axe principal (direction

de vecteur propre) et G est sur cet axe. Si la section droite d S possède deux axes de

symétrie, ils sont les deux axes principaux (direction de deux vecteurs propres) et G

est leur intersection.




M. ARFAOUI 12


MMC1D : caractérisation de la section droite

Remarque 1.7.

Le repère central principal d’inertie ( )P R G,x, y,z

caractérise, respectivement, la ligne

moyenne par le vecteur tangent x

en tout point G de cette ligne et la section droite

d S par l’opérateur d’inertie ( )d P I G,S / R . Le passage de la modélisation géométrique

d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D est opération réversible via la

définition du repère ( )P R G,x, y,z

, figure (1.5.). Dans la suite du cours, il ne sera plus

MMC1D

Repère

Galiléen +

j

i

k

O

MMC3D

3D

à1D

3Dà

1D

Repère Central Principal

Ou

Repère local

G 0

G 1G

+d

S

x y

z( )P R G, x, y,z

MMC1D

Repère

Galiléen +

j

i

k

O +

j

i

k

O

MMC3D

3D

à1D

3Dà

1D

Repère Central Principal

Ou

Repère local

G 0

G 1G

+d

S

x y

z

G 0

G 1G

+d

S

x y

z( )P R G, x, y,z




M. ARFAOUI 13

question que des repères Galiléen g R et principal P R . Le repère Galiléen sera utilisé

pour déterminer les inconnues statiques d’une structure de poutre alors que le repère

central principal d’inertie sera utilisé dans toutes les autres étapes de la résolution

d’un problème de la MMC1D.

Remarque 1.8.

En général, G , S , P R , y

, z

et ( )d P I G,S / R dépendent de l’abscisse curviligne x . Si

une poutre est droite et de section constante, alors P R est cartésien et d S et

( )d P I G,S / R sont indépendant de x .

Exemple 1.2. Moments quadratiques centraux de quelques sections droites usuelles.

Section circulaire pleine de rayon R

Le centre de gravité de cette section est son centre. La ligne moyenne est l’ensemble

des centres de gravité. Le vecteur x

est tangent à la ligne moyenne (sortant sur la

figure 1.2.). Cette section possède une infinité d’axe de symétrie. On choisit deux

directions quelconque et on définit les deux autres vecteurs y

et z

de la base

principal. Les moments quadratiques centraux principaux ont les expressions

suivantes :

( ) ( )d

42 2

x

S

.R I G y z .dS

2

π = + =∫ , ( )

d

42

y

S

.R I G z .dS

4

π = =∫ , ( )

d

42

z

S

.R I G y .dS

4

π = =∫

Section circulaire creuse mince de rayon intérieur R et d’épaisseur e<<R.


des centres de gravité. On remarque que la ligne moyenne n’appartient pas à la

poutre ! En effet, la ligne moyenne est une modélisation ou une « schématisation »

unidimensionnelle de la poutre réelle tridimensionnelle. Le vecteur x

est tangent à la

ligne moyenne (sortant sur la figure 1.2.). Cette section possède une infinité d’axe de

symétrie. On choisit deux directions quelconque et on définit les deux autres vecteurs

y

et z

de la base principal. Les moments quadratiques centraux principaux ont les

expressions suivantes :

( ) ( )d

2 2 3 x

S

I G y z .dS 2. .R .eπ = + =∫ , ( )d

2 3 y

S

I G z .dS .R .eπ = =∫ , ( )d

2 3 z

S

I G y .dS .R .eπ = =∫




M. ARFAOUI 14

Section rectangulaire de longueur b et de la largeur h .


des centres de gravité. Le vecteur x

est tangent à la ligne moyenne (sortant sur la

figure 1.2.). Cette section possède deux axes de symétrie. On choisit ces deuxdirections et on définit les deux autres vecteurs y

et z

de la base principal. Les

moments quadratiques centraux principaux ont les expressions suivantes :

( ) ( ) ( )d

2 2 2 2 x

S

b.h I G y z .dS . b h

12= + = +∫ , ( )

d

32

y

S

b.h I G z .dS

12= =∫ , ( )

d

32

z

S

h.b I G y .dS

12= =∫

1.3.

Passage de la modélisation des actions d’une poutre par la

MMC3D à celle par la MMC1D

1.3.1. Modélisation des actions extérieures

Définition 1.9. figure (1.6.)

Une poutre de section droite d S dont le contour est noté d S ∂ , de sections extrémités

0S et 1S , respectivement, de centres d’inertie (gravités) 0G et 1G , de surface latérale

L d S L. S = ∂ , est soumise aux actions extérieures à distance et de contact :

0Q ,

1Q ,

LQ et

cQ des densités surfaciques de contact appliquées, respectivement,

sur 0S , 1S , LS et c d S . S ∆= ∂ . Si d représente la dimension caractéristique de d S (le

plus grand diamètre), on suppose que d ∆ << , et queK GS est la section médiane au

droit de cS . Et f une force volumique à distance sur la poutre.

Remarque 1.9.

Les actions de contact0Q ,

1Q , LQ et

cQ sont dues au contact de la poutre avec

d’autres poutres via des liaisons (encastrement, rotule, …). Ces actions extérieures

peuvent être connues ou inconnues selon la nature du problème.

Proposition 1.4. figure (1.6.)

La modélisation des actions extérieures par la MMC1D suit la même démarche que la

modélisation géométrique par la MMC1D. En effet, cette dernière consiste à réduire

sa section droite en son centre d’inertie G (tout en gardant en mémoire l’aire de la




M. ARFAOUI 15

surface et l’opérateur d’inertie). La modélisation des actions extérieures par la

MMC1D consiste à réduire localement au niveau de chaque section d S , les actions

extérieures agissant sur d S (tant sur le contour d S ∂ que dans son domaine intérieur)

à son torseur résultant, exprimé en son centreG

.Ainsi, la poutre ( )0 1G G sera considérée soumise aux actions extérieures définies par :

( )( )

0

0 0

G

ext / G , GF le torseur associé à

0Q avec

( )( )

00

0 0

00

0 0S G

ext / G , G00 0

P S G

F Q .dS

F C G P Q .dS

∈

⎧ =⎪⎪

= ⎨= ∧⎪

⎪⎩

∫

∫

( )( )

1

1 1

G

ext / G , GF le torseur associé à

1Q avec

( )( )

01

1 1

01

1 1S G

ext / G , G11 1

P S G

F Q .dS

F C G P Q .dS

∈

⎧ =⎪⎪

= ⎨= ∧⎪

⎪⎩

∫

∫

Une section droite quelconque ( )d S G , avec [ ]0 1G G G∈ , est soumise à une force

volumique f en tout point P de cette section et à une force surfacique L

Q en tout

point P de son contour d S . Le torseur linéique( ) ( )

( )

0 1

G

ext / G G , Gµ résultant au point G

s’écrit :

( ) ( )

( )

[ ]

( )

( )

d d

0 1

d d 0 1

LS S G

ext / G G , G

G L

P S P S G G G

p G Q .dl f .dS

m G GP Q .dl GP f .dS µ

∂

∈∂ ∈∈

⎧ = +⎪⎪

= ⎨= ∧ + ∧⎪

⎪⎩

∫ ∫

∫ ∫

p et Gm sont, respectivement, la pression et le moment linéique.

La surface latérale cS , de largeur d ∆ << très faible par rapport au plus grand

diamètre de la section droite ( )d S G , est soumise à la force surfaciquec

Q .( )

( )

K

ext / K , K F

le torseur associé àc

Q avec




M. ARFAOUI 16

( )( )

c

c

K cS K

ext / K , K K c

P S K

F Q .dS

F C KP Q .dS

∈

⎧ =⎪⎪

= ⎨= ∧⎪

⎪⎩

∫

∫

Démonstration : On s’attachera ici à montrer la dernière expression du

torseur( )

( )

K ext / K, K

F . La surface latérale cS , de largeur d ∆ << , est soumise à une force

surfaciquec

Q . Il est possible de définir un torseur linéique en tout point G K K − +∈ ⎡ ⎤⎣ ⎦

où K − et K + sont, respectivement, les points correspondant aux bornes de la largeur

de la surface latérale cS . Ce torseur a la forme suivant :

( ) ( )

( )

( )

( )

d K

K

d K

K cS G

ext / K K , G

G K K cP S G K K

p G Q .dl

m G G P Q .dlµ − +

− +

∂

∈∂⎡ ⎤∈⎣ ⎦

⎧ =⎪⎪

= ⎨= ∧⎪

⎪⎩

∫

∫

Que se passe-t-il dans le cas d’une surface latérale cS de largeur d ∆ << très faible

par rapport au plus grand diamètre de la section droite ( )d S G . Cette condition peut

être écrite d’une façon mathématique : 0∆ → où K K 0− + →⎡ ⎤⎣ ⎦ . Dans ce cas, le torseur

linéique n’a plus de sens car un torseur linéique est défini sur une ligne alors que

K K 0− + →⎡ ⎤⎣ ⎦ donc vers un point ! Ainsi, on caractérise l’action du torseur linéique

( ) ( )

( )K

K

G

ext / K K , Gµ − + pour K G K K − +∈ ⎡ ⎤⎣ ⎦ par son torseur résultant défini au point K :

( )( )

c

c

K cS K

ext / K , K K c

P S

K

F Q .dS

F C KP Q .dS

∈

⎧ =⎪⎪

= ⎨= ∧⎪

⎪⎩

∫

∫




M. ARFAOUI 17


MMC1D : caractérisation de la section droite

MMC1D

Repère

Galiléen +

j

i

k

O

MMC3D

3D

à

1D

Repère

Central

Principal

G 0

G 1G

+d S

x y

z

P R G , x , y , z

0Q

0S

1S

1Q c

S

d <<

cQ

LS

LQ

0

0 0

G

ext / G , G F

1

1 1

G

ext / G , G F

0 1

G

ex t / G G , G

K

ext / K , K F

K

MMC1D

Repère

Galiléen +

j

i

k

O +

j

i

k

O

MMC3D

3D

à

1D

Repère

Central

Principal

G 0

G 1G

+d S

x y

z

G 0

G 1G

+d S

x y

z

P R G , x , y , z

0Q

0S

1S

1Q c

S

d <<

cQ

LS

LQ

0

0 0

G

ext / G , G F

1

1 1

G

ext / G , G F

0 1

G

ex t / G G , G

K

ext / K , K F

K




M. ARFAOUI 18

Exemple 1.3. Poids propre

Les actions à distance trouvent généralement leurs origines dans des forces

volumiques d’inertie d’entrainement, de Coriolis ou du poids. Dans ce derniers cas

(les autres seront traités ultérieurement), la force volumique f .g ρ =

induit le torseurlinéique suivant :

( )

( )

[ ]

d

0 1

d d 0 1

d

S G

g / G G , G

G

P S P S G G G

p .g.dS .S .g

m GP .g.dS GP.dS .g 0

ρ ρ

µ

ρ ρ ∈ ∈

∈

⎧ = =⎪⎪

= ⎨ ⎛ ⎞⎪ = ∧ = ∧ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∫

∫ ∫

ρ et g sont, respectivement, une masse volumique constante (matériau homogène)

et un vecteur constant. Il est alors possible de sortir le terme .g ρ de l’intégrale. D’où

le résultat (il faut se rappeler de la définition du centre d’inertie) !

Remarque 1.10.

On néglige souvent l’effet du poids propre par rapport aux autres actions. Il est

nécessaire de vérifier la validité de cette hypothèse dans chaque situation. En effet,

dans le cas des câbles ou certaines structures lourdes, cette hypothèse est mise àdéfaut.

Remarque 1.11.

La modélisation des actions par la MMC1D engendre une perte d’informations : deux

distributions d’actions, appliquées sur une section donnée et ayant même torseur, ne

seront pas distingués par la MMC1D. Bien entendu, c’est le principe de Saint-Venant

qui justifie cette approximation en affirmant que ces deux distributions d’actions

produiront, sauf au voisinage immédiat de la section concernée, le même effet.

1.3.2.

Types des actions extérieures

1.3.2.1 Actions connues ou charges

Une structure, quelque qu’elle soit, a toujours pour fonction de supporter des actions

appliquées connues qui sont les données du problème.




M. ARFAOUI 19

Suivant le cas, ces données peuvent être réelles (poids d’un plafond reposant sur une

poutre) ou réglementaires (poids de la neige ou action du vent sur un bâtiment,

convoi type pour un pont). Suivant le cas, ces actions peuvent être réparties avec un

torseur linéique (poids propre d’une structure, entrainement dû à une rotation) ouconcentrées en un certain nombre de points avec des torseurs ponctuels. Enfin, ce

sont des actions permanentes (poids, action concentrée statique) ou actions

temporaires (action d’entrainement due à la rotation). De toute façon, pour

l’ingénieur, elles font partie du cahier des charges, et nous les supposerons connues.

Les actions appliquées seront donc caractérisées par :

- un certain nombre d’actions concentrées aux points K , ces actions étant données

par leurs torseurs( )

( )

K ext / K , K

F .

- une densité linéique de charge donnée par son torseur( ) ( )

( )

0 1

G

ext / G G , Gµ

1.3.2.2

Actions inconnues de liaison

Une poutre est reliée au monde extérieur par un certain nombre de liaisons. Le

monde extérieur est considéré comme Galiléen et un repère Galiléen g R lui est

associé. Une liaison introduit un certain nombre de conditions cinématiques de

liaison. Pour maintenir ces liaisons, il faut exercer des actions de liaison qui sont des

inconnues du problème.

Définition 1.10.

Une liaison au point A, entre deux solides 1S et 2S , est définie par son torseur

cinématique( )

( ) ( )

( )

2 1

2 1 A

S / S , A

A 2 1 A

S / S V

V S / S

Ω ⎧⎪= ⎨

⎪⎩

associé au champ de vitesses et relatif au

mouvement du solide 2S par rapport au solide 1S et défini dans le repère relatif

d’origine le point A lié au solide 1S . ( )2 1S / S Ω et ( ) A 2 1V S / S sont, respectivement, la

vitesse de rotation et la vitesse relatives du solide 2S par rapport au solide 1S .




M. ARFAOUI 20

Remarque 1.11.

Soit g R un repère Galiléen, le torseur( )

( )

2 1

A

S / S , AV prend la forme suivante :

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 g 1 g

2 1 2 g 1 g A A A

S / S , A S / R , A S / R , A

A A A2 1 2 g 1 g A

S / S S / R S / RV V V V S / S V S / R V S / RΩ Ω Ω ⎧ = −⎪= − = ⎨

= −⎪⎩

Si le solide 1S est immobile, le repère lié à ce solide est Galiléen et l’expression du

torseur cinématique( )

( )

2 1

A

S / S , AV se réduit comme suit :

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )2 1 2 g

2 1 2 g A A

S / S , A S / R , A

A A2 1 2 g A

S / S S / RV V

V S / S V S / R

Ω Ω ⎧ =⎪= = ⎨

=⎪⎩

Définition 1.11.

Une liaison au point A, entre l’extérieur et une poutre, est définie par son torseur

cinématique

( )

( ) ( ) ( )

( )

g A

poutre / ext , A

A g A

poutre / ext poutre / RV

V poutre / R

Ω Ω ⎧ =⎪= ⎨

⎪⎩

associé au champ de vitesses.

Proposition 1.10.

Dans le cas de l’hypothèse de petites perturbations (HPP), une liaison au point A,

entre l’extérieur et une poutre, peut être définie par son torseur cinématique

( )

( ) A

poutre / ext , A

A AU u

ω ⎧

= ⎨⎩ associé au champ de déplacements Au avec Ω ω = et A AV u= .

Définition 1.12.

Une liaison parfaite est une liaison pour laquelle la puissance virtuelle des actions de

liaison est nulle dans tout mouvement virtuel compatible avec la liaison. Dans le

cadre de l’hypothèse de petites perturbations (HPP), le travail virtuel des actions de

liaison est nul dans tout mouvement virtuel compatible avec la liaison.




M. ARFAOUI 21

Remarque 1.12.

On se restreindra, dans le reste du cours au cadre du (HPP).

Remarque 1.13. Un mouvement virtuel compatible avec la liaison vérifie les conditions cinématiques

de la liaison.

La plupart des liaisons rencontrées en RDM sont des liaisons parfaites, et on peut

alors caractériser les actions de liaison. Ces actions sont modélisées par leurs torseurs

statiques. Dans le cas général, il prend la forme suivante :

( )( )

A Aext / poutre, A

A A

R R

M

⎧= ⎨

⎩

De même, pour un mouvement virtuel, le torseur cinématique s’écrit :

( )

( )

*

A ,*

poutre / ext , A *

A A

U u

ω ⎧⎪= ⎨

⎪⎩

Le travail virtuel des actions de liaison dans le mouvement virtuel est alors :

( )( )

( )( )

* A ,* * *

Aext / poutre,

A A* A Aext / poutre, A

A A *

A

RW R U R . M .

M u 0

u

ω ω

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭+ =

⎭=

⎪ ⎪⎩

Exemple 1.4. Exemples de liaisons

Encastrement ou liaison rigide, figure (1.7.)

La liaison étant rigide, aucun mouvement n’est possible*

0ω = et*

Au 0=

Dans ce cas, A R et A M peuvent être quelconques. On a donc 6 conditions

cinématiques scalaires de liaison et 6 inconnues statiques de liaison.




M. ARFAOUI 22

(a)(b) Assemblage de deux solides par goupille cannelée.

Figure 1.7. Liaison d’encastrement :

(a) schéma cinématique, (b) un exemple technologique

Pivot d’axe ( ) A,x , figure (1.8.)

Une seule rotation autour de l’axe ( ) A,x est permise et*

x .xω ω = est quelconque.

mais le déplacement du point A est nul*

Au 0= . On conclue, à partir l’expression de la

puissance virtuelle, que le moment autour de l’axe ( ) A,x doit être nul x M 0= alors

que le moment y z A M M .y M .z= + et la résultante A R sont quelconques. On a donc 5

conditions cinématiques de liaison et 5 inconnues statiques de liaison.

(a)

(b) Articulation sur coussinet

Figure 1.8. Liaison pivot : (a) schéma cinématique, (b) un exemple technologique

Rotule sphérique, figure (1.9.)

Toutes les rotations sont permises et*

ω est quelconque mais la vitesse du point A est

nulle*

Au 0= . On conclue, à partir l’expression de la puissance virtuelle, que le




M. ARFAOUI 23

moment doit être nul A M 0= et la résultante A R est quelconque. On a donc 3

conditions cinématiques de liaison et 3 inconnues statiques de liaison.

(a)(b) Patin de serre–joint.

Figure 1.9. Liaison rotule sphérique :


Linéaire annulaire, figure (1.10.)

Le seul mouvement relatif possible résulte d'une rotation autour d'un point et d'une

translation suivant un axe passant par ce point. Toutes les rotations et le

déplacement du point A dans une direction d’axe ( ) A,x sont permis, et*

ω et* *

A xu u .x= est quelconque mais les déplacements du point A , respectivement, dans lesdirections ( ) A, y et ( ) A, z sont nul * *

y zu u 0= = . On conclue, à partir de l’expression du

travail virtuel, que le moment doit être nul A M 0= et la résultante A A y z A R R .y R .z= +

est quelconque. On a donc 2 conditions cinématiques de liaison et 2 inconnues

statiques de liaison.

(a)(b) Piston de longueur faible devant le

diamètre dans cylindre.

Figure 1.10. Liaison linéaire annulaire :





M. ARFAOUI 24

On trouvera d’autres exemples en annexes. Dans le cas particulier des structures

chargées dans leur plan ( ) x, y

, les torseurs cinématique et statique se réduisent

comme suit :

( )

( )

* *

z A ,*

poutre / ext , A * * *

A x y A

.zU

u u .x u .y

ω ω ⎧ =⎪= ⎨

= +⎪⎩,

( )( )

A A x y A A

ext / poutre, A A z A A

R R .x R .y R

M M .z

⎧ = +⎪= ⎨

=⎪⎩

Et le travail virtuel devient :

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

A ,* * * A * A * A * x x y y z z A poutre

A* A / e Aext / poutr xt ,e A , A

W R U R . M .u R .u A R .u A M . A 0ω ω += = += + =

le tableau 1.1 regroupe les différentes liaisons planes.




M. ARFAOUI 25

Torseur

cinématique

Torseur

statique

Schématisation

Encastrement x y z

u u 0ω = = =

x R , y R , z M

qcq

Glissière x zu 0ω = =

yu qcq libre

x z R ,M qcq,

y R 0=

Articulation x yu u 0= =

zω qcq libre

x R et y R

qcq, z M 0=

Appui simple yu 0=

xu et z

ω qcq

libre

y R qcq,

x z R M 0= =

Ressort

hélicoïdal

yu relié à y R

xu et zω qcq

libre

y y R k.u= −

qcq,

x z R M 0= =

Ressort spiral zω relié à z M

xu et yu qcq

libre

z z M C.ω = −

qcq,

x y R R 0= =

Tableau 1.1. Liaisons planes

1.3.3.

Modélisation des actions intérieures

Définition 1.13.

Soit une poutre définie par sa ligne moyenne 0 1G G , orientée positivement (+) de 0G

vers 1G , et sa section droite d S Les actions internes sont les actions exercées sur une

partie (la partie (-)) de la poutre par la partie complémentaire (la partie (+)). Nousintroduisons une coupure en un point quelconque G qui rend extérieur les actions

internes, et nous caractérisons les actions intérieures par les actions exercées sur la

partie (-) par la partie (+). Le torseur des actions internes est le torseur résultant de

l’action de contact du vecteur contraint .nσ en tout point P de la section droite

( )d S G . Il s’écrit :




M. ARFAOUI 26

( )( )

( )

( )

d

d

S G / , G

G

P S A

R G .n.dS

T M G GP .n.dS

σ

σ + −

∈

⎧ =⎪⎪

= ⎨= ∧⎪

⎪⎩

∫

∫

Remarque 1.12. En vertu du théorème de l’action et de la réaction,

( )( )

( )( )

G G

/ , G / , GT T

+ − − += − .

Figure 1.11. Torseur des actions internes

x

x

n

.n

σ

0G

1G

0G

0G

0G

G

/ , GT

G

/ , GT

G

/ , G

G

R GT

M G

⎧

⎪

=

⎨

⎪

0G

x

x

n

.n

σ

0G

1G

0G

0G

0G

G

/ , GT

G

/ , GT

G

/ , G

G

R GT

M G

⎧

⎪

=

⎨

⎪

0G




M. ARFAOUI 27

1.3.3.1

Liaisons internes parfaites

Définition 1.14.

Une structure est un assemblage de poutres. Les liaisons entre les éléments d’une

même structure sont dites internes. Ces liaisons, schématisées ponctuelles, sont ditesparfaites si le travail des actions de liaison interne est nul pour tout mouvement

compatible avec la liaison. Soit deux éléments (+) et (-) en contact au point I . en

distinguant I + et I − selon que le point est considéré comme appartenant à la poutre

(+) ou (-), on note :( )u +

et( )u −

les translations des points I + et I − ( )

ω +

et( )

ω −

les rotations des points I + et I −

/ R+ − et / R− + les résultantes des torseurs des actions de contact en I .

/ C + − et / C − + les résultantes des torseurs des actions de contact en I .

Le travail des actions de liaison interne s’écrit en vertu du théorème de l’action et de

la réaction :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) / / / / / / W R .u C . R .u C . R . u u C . 0ω ω ω ω + + − − + − + −

+ − − + + −+ − − + + −= + + + = − + − =

Remarque 1.14.

La liaison externe d’une structure de poutre avec l’extérieur, définie dans la section

(1.3.2.2.), est un cas particulier de la liaison interne. En effet, une liaison externe

d’une structure de poutre avec l’extérieur est réalisée avec un bâti immobile et il

suffit de définir le bâti comme la partie (+) ou (-). Le torseur cinématique U + ou U −

devient nul dans l’expression du travail de la liaison interne de la section (1.3.2.2.) et

on retrouve l’expression du travail d’une liaison externe.

Exemples 1.4.

Encastrement mutuel.C’est le cas de deux poutres soudées. La liaison assure la continuité des déplacement

et des rotations :

u u+ −

= et ω ω + −

=

Le travail W est nul pour tout mouvement compatible avec l’encastrement mutuel et

les actions de liaisons internes / R+ − et / C + − sont quelconques et peuvent être nuls ou

non.




M. ARFAOUI 28

Rotule interne

La liaison rotule assure uniquement la continuité des translations u u+ −

= ; les

rotations mutuelles ω + et ω

− sont libres et / C 0+ − = , et / R+ − est quelconque et peut

être non nul. On dit qu’une rotule ne transmet pas de moment.

Autres liaisons internes planes

Tableau 1.2. Liaisons internes planes

1.3.4.

Limites de la modélisation des actions intérieures et extérieures

par la MMC1D

Réduire une distribution d’actions surfacique, à son torseur résultant, est une

modélisation qui ne peut rendre compte, en aucune façon, d’une distribution d’actions

à torseur nul.




M. ARFAOUI 29

1.4. Détermination des torseurs des actions de liaisons et

internes

1.4.1.

Enoncé du principe fondamental de la dynamique (PFD)

Définition 1.15. Enoncé

Il existe au moins un repère g R appelé repère Galiléen, tel que pour toute partie ' Σ

d’un système matériel Σ en mouvement par rapport à g R , le torseur résultant

( )ext / ' , OF

Σ des actions mécaniques extérieures exercées à ' Σ soit égal, à chaque instant,

au torseur dynamique de ' Σ :

( ) ( ) ( ) gext / ', O O' , F D '/ R

Ξ Σ Σ Σ ∀ ⊂ =

Corolaire

Le principe fondamental de la dynamique se ramène à celui de la statique lorsque le

torseur dynamique du système matériel ' Σ par rapport à g R est nul :

( )

ext / ' , O' , F O

Ξ Σ Σ ∀ ⊂ =

Le système ' Σ sera dit en équilibre et on parlera plutôt du principe fondamental de

la statique (PFS).

Le torseur dynamique est nul en particulier dans les trois cas suivants :

• Les effets d’inertie sur le système matériel ' Σ sont négligés

• La masse du sous système matériel ' Σ est supposée nulle

• Le sous système matériel ' Σ est animé d’un mouvement de translation rectiligne

uniforme par rapport au repère galiléeng

R .

• Le sous système matériel ' Σ est initialement au repos, l’équilibre signifie le repos.

Définition 1.16.

Une deuxième forme du PFD ou le principe de d’Alembert.

Le principe fondamental de la dynamique peut s’écrire :

( ) ( )

ext / ', O D / ', O' , F F O

Ξ Ξ Σ Σ ∀ ⊂ + =




M. ARFAOUI 30

On définit le torseur résultant des actions dynamiques( ) ( ) ( )g D / ', O O

F D '/ RΞ

Σ = − . On

parle, dans ce cas, du principe fondamental de l’équilibre dynamique (PFED).

Remarque 1.15.

La deuxième forme est souvent utilisée si le torseur dynamique ( ) ( )gO D '/ RΣ est unedonnée du problème. Le torseur résultant des actions dynamiques

( ) ( ) ( )g D / ', O OF D '/ R

Ξ Σ = − sera considéré comme un torseur d’actions extérieures

supplémentaires.

Remarque 1.16. Remarques sur le PFD

• Le PFD n’est concerné que par les actions extérieures et dynamiques sur un sous

système matériel ' Σ . Il est donc nécessaire d’isoler un sous système matériel avant

d’appliquer le PFD. Le choix du sous système matériel ' Σ nous est laissé libre.

Néanmoins, il est plus judicieux de choisir un sous système rendant les actions de

liaison extérieures. La démarche consiste donc à : (1) choisir un sous système matériel

' Σ , (2) faire l’inventaire des actions extérieures et exprimer leurs torseurs au même

point, (3) calculer le torseur dynamique( ) ( )gO

D '/ RΣ , (4) appliquer le PFD.

• Le torseur statique des actions extérieures caractérise l’aptitude de ces actions à

imprimer un mouvement global à ' Σ . La résultante tend à imprimer un mouvement

de translation alors que le moment tend à imprimer un mouvement de rotation.

• Un torseur associé à une action ne caractérise que faiblement cette action. Il n’est

pas possible de remonter à partir de la donnée d’un torseur associé à une action, à

l’action précise qu’il représente. Le torseur des actions est une résultante : il y aune

infinité de distributions d’actions extérieures donnant lieu à la même résultante.

• Du fait que le PFD se contente d’une caractérisation torsorielle des actions

extérieures, le principe fondamental de la dynamique PFD ne distingue pas deux

systèmes d’actions extérieures s’ils sont représentés par le même torseur. On dit alorsque les deux systèmes d’actions sont torsoriellement équivalents.

• Le PFD ne dépend ni de la géométrie du système matériel, ni de la température, …

• Le PFD est écrit dans la configuration actuelle ; en effet, les actions extérieures et

dynamiques sont à caractériser dans la configuration actuelle inconnue. Dans le cadre

de l’hypothèse du HPP, les deux configurations initiale (naturelle) et actuelle peuvent

être confondues et le PFD peut s’écrire sur la configuration initiale. Cette hypothèse

du HPP simplifie l’application du PFD en caractérisant les actions extérieures et




M. ARFAOUI 31

dynamiques sur la configuration initiale connue. Néanmoins, certaines structures ont

une configuration initiale (naturelle) déformée : câbles, …

Définition 1.17. Expression du torseur dynamiqueLe torseur dynamique a l’expression suivante :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )g

g G g

'

gOO g

O g g G g

' R

. P / R .dV m. C / R

D '/ R d '/ ROP . P / R .dV m.V O / R V C / R

dt

Σ

Σ

ρ Γ Γ

Σ σ Σ δ ρ Γ

⎧ =⎪⎪

= ⎨⎪ = ∧ = + ∧⎪⎩

∫

∫

GC le centre de gravité de ' Σ , m la masse totale de ' Σ , V le vecteur vitesse et Γ le

vecteur accélération. Oσ désigne le moment cinétique ayant l’expression suivante :

( ) ( ) ( )( ) A G A'/ R m.AC V A / R J ', '/ Rσ Σ Σ Ω Σ = ∧ +

Où ( )( ) ( ) ( ) A A J ', '/ R J '/ R . '/ RΣ Ω Σ Σ Ω Σ =

Remarque 1.17.Si le point O est fixe ou GO C = , le torseur dynamique se réduit à :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

g

g G g

'

gOg

O g O

' R

. P / R .dV m. C / R

D '/ R d '/ ROP . P / R .dV J ' .

dt

Σ

Σ

ρ Γ Γ

Σ Ω Σ δ ρ Γ Σ

⎧ =⎪⎪

= ⎨⎪ = ∧ =⎪⎩

∫

∫

Proposition 1.5. Référentiels Galiléens

On montre que tout repère R en translation rectiligne uniforme par rapport à un

repère Galiléen g R est également un repère Galiléen. Le choix d’un repère Galiléen

est fonction du problème posé. Un repère Galiléen est un repère dans lequel le

principe fondamental de la dynamique est vérifié avec une bonne approximation, pour

une étude donnée.




M. ARFAOUI 32

Proposition 1.6. Référentiel non Galiléen

Supposons un repère R ayant un mouvement quelconque mais connu par rapport à

un repère galiléen g R . Le principe fondamental de la dynamique, appliqué au système

matériel ' Σ dans son mouvement par rapport au repère galiléen g R s’écrit :

( ) ( )( )

( ) ( )

g

'

gO

O g

'

. P / R .dV

D '/ ROP . P / R .dV

Σ

Σ

ρ Γ

Σ δ ρ Γ

⎧⎪

= ⎨= ∧⎪

⎩

∫

∫

On utilise alors la relation de composition des vecteurs accélérations :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g g gP / R P / R P R / R 2. R / R V P / RΓ Γ Γ Ω = + ∈ + ∧

Le torseur dynamique s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g g gO r , O ie , O ic , O D '/ R D '/ R D ' R / R D ' R / RΣ Σ Σ Σ = + ∈ + ∈

Où( ) ( )r , O

D '/ RΣ ,( ) ( )gie, O

D ' R / RΣ ∈ et( ) ( )gic, O

D ' R / RΣ ∈ désignent, respectivement,

les torseurs dynamiques relatif, d’entrainement et de Coriolis s’exprimant comme

suit :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )g

G

'

r , OO

O G

' R

. P / R .dV m. C / R

D '/ R d '/ ROP . P / R .dV m.V O / R V C / R

dt

Σ

Σ

ρ Γ Γ

Σ σ Σ δ ρ Γ

⎧ =⎪⎪

= ⎨⎪ = ∧ = + ∧⎪⎩

∫

∫

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )G

g

g

P '

gie, O

O g

P '

G g

O G G g C g

R

. P R / R .dV

D ' R / ROP . P R / R .dV

m. C / R

d OC m. C / R J ' . R / R

dt

Σ

Σ

ρ Γ

Σ δ ρ Γ

Γ

δ Γ Σ Ω

∈

∈

⎧ ∈

⎪∈ = ⎨= ∧ ∈⎪

⎩

⎧⎪

= ⎨⎡ ⎤= ∧ +⎪ ⎣ ⎦

⎩

∫∫




M. ARFAOUI 33

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

g

'

gic, O

g

P '

2. . R / R V P / R .dV

D '/ ROP 2. . R / R V P / R .dV

Σ

Σ

ρ Ω

Σ ρ Ω

∈

⎧ ∧⎪

= ⎨∧ ∧⎪

⎩

∫

∫

Ceci permet de construire les torseurs « des actions d’inerties d’entraînement et de

Coriolis » de ' Σ dans son mouvement par rapport à R et g R :

( ) ( ) ( ) ( )g gie , O ie , OF ' R / R D ' R / RΣ Σ ∈ = − ∈ et

( ) ( ) ( ) ( )g gic , O ic , OF ' R / R D ' R / RΣ Σ ∈ = − ∈

Avec ces conventions le principe fondamental de la dynamique s’écrit alors dans le

repère non-galiléen R :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g gext / ', O ie , O ic , O r , OF F ' R / R F ' R / R D '/ R

Σ Σ Σ Σ + ∈ + ∈ =

Définition 1.18. Structure de poutres mobile ou non-mobile

On dit qu’une structure de poutres est mobile s’il existe au moins une action qui la

met en mouvement de solide rigide. Dans le cas contraire, la structure est dite non-

mobile.

Remarque 1.18.

Si la structure de poutres est non-mobile alors le PFD s’écrit dans le repère galiléen

g R . Si la structure de poutre est mobile alors le PFD s’écrit, de préférence et hors du

cas d’un mouvement rectiligne uniforme, dans le repère non galiléen.

Proposition 1.7.

Dans la suite du cours, on supposera les vibrations négligeables. Cette hypothèseimplique :

(1) Si la structure de poutres est un non-mobile, l’effet du torseur dynamique est

négligeable et les actions mécaniques doivent s’appliquer d’une façon quasi-statique.

Le PFD se réduit au PFS.

(2) Si la structure de poutres est mobile, les vitesses et accélérations relatives sont

négligeables, et la vitesse de rotation ( )g R / RΩ est faible. Par conséquent, l’effet des

torseurs dynamiques relatif et de Coriolis sont négligeables et les actions mécaniques

doivent s’appliquer d’une façon quasi-statique. Le principe fondamental de la




M. ARFAOUI 34

dynamique se réduit à( ) ( ) ( )gext / ', O ie , O

F F ' R / R OΣ

Σ + ∈ = . On se ramène ainsi à un

problème pseudo-statique ou en équilibre sous l’effet des actions extérieures et

d’inertie d’entrainement (considérée comme extérieure).

1.4.2.

Déterminations des inconnues des actions de liaisons extérieures

1.4.2.1

Application du PFD sur une poutre

Soit une poutre (AB ), en mouvement par rapport au repère galiléen ( )g R O,i, j ,k ,

soumise aux actions extérieures suivantes :

( )( )

A Aext / A, A A

A

F F

C

⎧⎪= ⎨⎪⎩

le torseur de l’action sur l’extrémité A

( )( )

B B

ext / B, B A B

F F

C

⎧⎪= ⎨

⎪⎩ le torseur de l’action sur l’extrémité B

( )

( )

i

i

i i i

i

K K

ext / K , K K K

F F

C

⎧⎪= ⎨

⎪⎩ les torseurs de des actions concentrées aux points

i

K

( )

( )

[ ]

( )

( )G

ext / AB, G

GG AB

p G

m Gµ

∈

⎧⎪= ⎨

⎪⎩ le torseur linéique de l’action répartie sur (AB)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )G

g

G g

gie, O

O G G g C g R

m. C / R

F ' R / R d

OC m. C / R J ' . R / Rdt

Γ

Σ

δ Γ Σ Ω

⎧⎪

∈ = − ⎨⎡ ⎤= ∧ +

⎪ ⎣ ⎦⎩

Le PFD nécessite d’exprimer les différents torseurs au même point O quelconque :

( )( )

A A

ext / A, O A AO

F F

C OA F

⎧⎪= ⎨

+ ∧⎪⎩,

( )( )

B B

ext / B, O B BO

F F

C OB F

⎧⎪= ⎨

+ ∧⎪⎩,




M. ARFAOUI 35

( )( )

i

i

i i i

K K

ext / K , O K K iO

F F

C OK F

⎧⎪= ⎨

+ ∧⎪⎩

,( )

( ) ( )

( ) ( )G

ext / AB, O

GO

p G

m G OG p Gµ

⎧⎪= ⎨

+ ∧⎪⎩

Les équations du PFD s’écrivent :

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) i

i

BK A B G

ext / A, O ext / B, O ext / K , O ext / AB, Oi A

gie, OF F F F .d R / R O x ' Σ µ + ∈ =+ + +∑ ∫

Les équations vectorielles de la résultante et du moment sont :

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

i

i

g

i

G

G g

G g C gG R

B A B K

i A

B A A B B K K

i Gi A

F F F p G .dx

C OA F C OB F C OK F m

m. C / R 0

d OC m. C / R J ' . R / R 0

dt

G OG p G .dx

Γ

Γ Σ Ω

⎧+ + + −⎪

⎪⎪⎪

+ ∧ + + ∧ + + ∧ + + ∧ −⎨⎪⎪⎪−

=

⎡ ⎤∧ − =⎣ ⎦⎪⎩

∑ ∫

∑ ∫

Ces deux équations vectorielles fournissent 6 équations scalaires dans l’espace (3 dans

le plan).

Remarque 1.19.

Soit une structure de poutre composée de n poutres liées entre par des liaisons. La

détermination des inconnues statiques des différentes liaisons nécessite l’écriture duPFD sur chaque poutre.

1.4.2.2 Hyperstacité, isostacité et mobilité d’une structure de poutres

Savoir si une structure de poutres est mobile ou un non-mobile et isostatique ou

hyperstatique est important afin pouvoir appliqué le PFD ou le PFS. Ces notions de

mobile, non-mobile ou encore l’isostacité d’une structure de poutres seront explicitées

au travers l’étude de quelques exemples.




M. ARFAOUI 36

Définition 1.19.

Soit une structure de poutres, composée par p N poutres, assemblées par des liaisons

internes entre elles et externes avec l’extérieur. Le nombre des inconnues statiques

externes et internes est s N . L’application du PFS ou le PFD donne lieu à larésolution d’un système matricielle linéaire de éq p N 6.N = ( éq p N 3.N = dans le cas plan)

équations indépendantes :

[ ] A . X b= avec [ ] éq s A N N ⎡ ⎤= ×⎣ ⎦ , s X N = et éqb N =

On appelle sr le rang de la matrice [ ] A , c'est-à-dire l’ordre le plus élevé de la sous

matrice carré [ ] A' de [ ] A ayant un déterminant non nul. On a évidemment s éqr N ≤ .

On définit la mobilité de la structure de poutres par éq sm N r 0= − ≥ et l’hyperstacité

par s sh N r 0= − ≥ . Si m>0 la structure de poutres est dite mobile, autrement elle est

non-mobile. Si h>0 la structure de poutre est dite hyperstatique, autrement elle est

isostatique.

Proposition 1.8. La démarche

Analyse de la mobilité : si le système de poutres est simple, on utilise la définition

(1.18). Dans le cas où le système de poutres est complexe, on utilise la définition

mathématique (1.19.). L’écriture du PFS, c'est-à-dire le système matriciel

[ ] A . X b= , permet d’analyser la mobilité. Si le système est mobile, le PFD est

appliqué. Si le système de poutres est non-mobile, le PFS est appliqué.

Analyse de l’isostacité : l’écriture du système matriciel [ ] A . X b= et l’exploitation

de la définition (1.19.) permet d’analyser l’isostacité du système de poutres. Si le

système de poutres est isostatique, les inconnues statiques sont déterminées par

l’exploitation du PFD ou PFS. Si le système de poutres est hyperstatique, les

inconnues statiques ne sont pas entièrement déterminées.




M. ARFAOUI 37

Exemple 1.5. Poutre console dans l’espace (3D)

Le système est composé par une seule poutre (OB) encastrée avec l’extérieur en O et

soumise à des actions extérieures connues quasi-statiques comme indiqué sur la figure

(1.12). L’objectif de cet exemple est la détermination des inconnues statiques de laliaison d’encastrement en O .

Figure 1.12. Poutre console

La liaison d’encastrement fournit 6 inconnues statiques à déterminer. Les équations

de la statique donnant 6 équations, il est possible, à priori, de déterminer ces

inconnues. Il faut choisir un (sous) système de la poutre rendant l’action de

l’encastrement comme extérieure. Il y a une infinité de choix possibles (OG ) avec

G ÖB∈ ⎤ ⎤⎦ ⎦ . Cependant, un choix différent de (OB ), figure (1.12.c.), ferait apparaitre 6

inconnues statiques supplémentaires dues au torseur des actions internes( )

( )G

2 / 1, GT ce qui

rend la détermination des 12 inconnues statiques impossible (12 inconnues pour 6

équations). Le choix de (OB ) est justifié et l’inventaire des actions extérieures est à

réaliser, figure (1.12.b.). Les équations de l’équilibre s’écrivent au point O (le choix

d’un autre point aurait donné le même résultat mais avec plus de calcul ! il est plus

judicieux d’exprimer le PFS ou le PFD au point où il y a le plus d’inconnues) :

( )

O

O

R P. j F .k 0

C OA P. j OB F.k 0

⎧ − + =⎪⎨

+ ∧ − + ∧ =⎪⎩

⇒

O

O

R P. j F.k

C a.P.k 2.a.F. j

⎧ = −⎪⎨

= +⎪⎩

On a ici m h 0= = .

Les inconnues de la liaison d’encastrement sont statiquement déterminées. La

détermination du torseur des actions internes nécessite la réalisation de la coupure de

la poutre en deux parties distincts et complémentaires ( partie1 partie2∩ = ∅ et




M. ARFAOUI 38

partie1 partie2 poutre( AB )∪ = ), figure (1.12.c.). L’isolation de la partie (1) ou (2) fait

apparaitre les 6 composants du torseur des actions internes comme les seules

inconnues. L’application du PFS sur la partie (1) ou (2) permettra de déterminer le

torseur des actions internes.Dans cet exemple, toutes les actions de liaison et les actions intérieures ont pu être

déterminées en fonction des actions appliquées par l’exploitation de PFS. On dit que

cette poutre est isostatique, ou encore qu’elle est statiquement déterminée. Par

ailleurs, cette poutre ne présente pas de mobilité.

Exemple 1.6. Poutre sur appuis simples (problème 2D)

La (AB), figure (1.13.), est soumise à l’action d’une force quasi-statique verticale F

au point K ; elle est articulée en A et simplement appuyée en B . la poutre se situe

dans le plan ( )i, j . Les actions extérieures sont précisées sur la poutre isolée, figure

(1.13.b).

Figure 1.13. Poutre sur appui simple

L’application du PFS sur (AB ) en A permet de déduire les 3 équations du problème.

En effet, l’équation vectorielle de la résultante, projetée sur i et j , fournira deux

équations scalaires et l’équation vectorielle du moment, projetée sur k donnera une

équation scalaire :

( )

( )( )

A

A B

Bmom/ A

i , X 0

j , Y Y F 0

k , l.Y .l.F 0α

=⎧⎪⎪

+ − =⎨⎪

− =⎪⎩

,

p

s

éq p

N 1

N 3

N 3.N 3

=

=

= =

, ⇒ sr 3= , éq sm N r 0= − = , s sh N r 0= − =

On obtient un système de 3 équations avec 3 inconnues permettant de déterminer les

inconnues des actions de liaison ou encore les réactions :

A X 0= , ( ) AY 1 .F α = − et BY .F α =




M. ARFAOUI 39

Il est possible de déterminer le torseur des actions internes par la méthode de la

coupure. De même que l’exemple précédent, cette poutre est isostatique (h=0 ) et ne

présente pas de mobilité (m=0 ).

Exemple 1.7. Poutre mobile ou non mobile et isostatique ou hyperstatique

L’exemple précédent est repris avec différentes conditions d’appuis.

Figure 1.14. Poutre mobile ou non mobile et isostatique ou hyperstatique

Cas -1. le PFS permet de trouver 3 équations scalaire

( )

( )( ) A

C

A

A B

Bmom/ A

i , X 0

j , Y Y F

k , l.Y .l.F α

=⎧⎪⎪

+ =⎨⎪

+ =⎪⎩

,

p

s

éq p

N 1

N 4

N 3.N 3

=

=

= =

, ⇒ sr 3= , éq sm N r 0= − = , s sh N r 1= − =

Ce système de 3 équations comporte 4 inconnues statiques ( ) A A A BC ,X ,Y ,Y . Le système

n’est pas mobile (m=0 ). On ne peut déduire toutes ces inconnues par la seuleapplication du PFS (h=1). On remarquera que A X est ici statiquement déterminée,

mais que l’indétermination porte sur ( ) A A BC ,Y ,Y . Le torseur des actions internes reste

aussi indéterminé. La poutre est « trop » appuyée. La poutre est dite hyperstatique

et ne présente pas de mobilité.

Cas-2. Le PFS permet d’obtenir 3 équations scalaires.




M. ARFAOUI 40

( )

( )( )

0

A B

Bmom/ A

i , 0

j , Y Y F

k , l.Y .l.F α

=⎧⎪⎪

+ =⎨⎪

=⎪⎩

,

p

s

éq p

N 1

N 2

N 3.N 3

=

=

= =

, ⇒ sr 2= , éq sm N r 1= − = , s sh N r 0= − =

D’un point de vue mathématique, les équations d’équilibre sont vérifiées et lesinconnues statiques peuvent être déterminées, et aussi le torseur des actions internes.

Néanmoins, il s’agit bien d’une poutre insuffisamment appuyé, le mouvement de

translation horizontale est possible (0=0 ). Toutefois, la force F , parce que verticale,

ne sollicite pas la structure. Cette structure sera quand même considérée mobile parce

que, pratiquement, la force F ne saurait être parfaitement verticale (la moindre

composante horizontale solliciterait la mobilité de la structure). Cette poutre est donc

isostatique, mais mobile (insuffisamment appuyée). Il faut exploiter le PFD !

Cas-3

Le PFS appliqué à la poutre du cas-3 permet de déduire les équations du problème :

( )

( )( )

A

A

mom/ A

i , X 0

j , Y F

k , 0 .l.F α

=⎧⎪⎪

=⎨⎪

=⎪⎩

,

p

s

éq p

N 1

N 2

N 3.N 3

=

=

= =

, ⇒ sr 2= , éq sm N r 1= − = , s sh N r 0= − =

Les équations d’équilibre ne peuvent être vérifiées en raison de la troisième équation.

Il n’y a pas de solution aux équations d’équilibre. Il faut exploiter le PFD !

Exemple 1.8. Portique

Figure 1.15. Portique

D

E

D

E

D

E

D

E




M. ARFAOUI 41

La structure de poutres plane est composée de 4 poutres soudées entre elles et elle est

en liaison d’encastrement et d’articulation, respectivement, en A et B avec l’extérieur.

Les actions extérieures connues ou charges sont appliquées d’une façon quasi-statique.

L’écriture du PFS sur la structure de poutres (AB

), la poutre (AC

), la poutre (CD

)et la poutre (DE ), respectivement, au point A , C , D et E donne le système

d’équations suivant :

( )

( )( )

en

A B

A B

A B

PFS / AB A

i X X F

j Y Y 0

k C 2.b.Y h.F

⎧⎪

+ =⎪⎨

+ =⎪⎪ + =⎩

,( )

( )( )

en

A C

A C

A C

PFS / AC A

i X X 0

j Y Y 0

k C h.X 0

⎧⎪

+ =⎪⎨

+ =⎪⎪ − =⎩

,( )

( )( )

en

-

-

C D

C D

D D

PFS / CD C

i X X 0

j Y Y 0

k a.X b.Y 0

⎧⎪

+ =⎪⎨

+ =⎪⎪ − + =⎩

,( )

( )( )

en

-

-

D E

D E

E E

PFS / DE D

i X X 0

j Y Y 0

k a.X b.Y 0

⎧⎪

+ =⎪⎨

+ =⎪⎪ + =⎩

L’écriture du PFS sur la dernière poutre (EB ) est remplacée par celle de la structure

de poutres (AB ). L’analyse de ces équations permet de déduire la mobilité et

l’isostaticité de la structure de poutres :

p s éq p N 4, N 14, N 3.N 12= = = = , ⇒ sr 12= , éq sm N r 0= − = , s sh N r 2= − =

La structure de poutres est non-mobile mais hyperstatique. La détermination de

toutes les inconnues n’est pas possible. L’analyse des équations de la statique ne

permet de déterminer aucune inconnues statiques.

Exemple 1.9.

Figure 1.16. Portique

La structure de poutres plane est composée de 4 poutres soudées entre elles et elle est

en liaison d’articulation et d’appui simple, respectivement, en A et B avec l’extérieur.

Les actions extérieures connues ou charges sont appliquées d’une façon quasi-statique.

D

E

D

E

D

E

D

E

D

E

D

E




M. ARFAOUI 42

L’écriture du PFS sur la structure de poutres (AB ), la poutre (AC ), la poutre (CD )

et la poutre (DE ), respectivement, au point A, C , D et E donne le système

d’équations suivant :

( )

( )( )

en

A

A B

B

PFS / AB A

i X F

j Y Y 0

k 2.b.Y h.F

⎧⎪

=⎪⎨

+ =⎪⎪ =⎩

,( )

( )( )

en

A C

A C

C

PFS / AC A

i X X 0

j Y Y 0

k h.X 0

⎧⎪

+ =⎪⎨

+ =⎪⎪ =⎩

,( )

( )( )

en

-

-

C D

C D

D D

PFS / CD C

i X X 0

j Y Y 0

k a.X b.Y 0

⎧⎪

+ =⎪⎨

+ =⎪⎪ − + =⎩

,( )

( )( )

en

-

-

D E

D E

E E

PFS / DE D

i X X 0

j Y Y 0

k a.X b.Y 0

⎧⎪

+ =⎪⎨

+ =⎪⎪ + =⎩

L’écriture du PFS sur la dernière poutre (EB ) est remplacée par celle de la structure

de poutres (AB ). L’analyse de ces équations permet de déduire la mobilité et


p s éq p N 4, N 12, N 3.N 12= = = = , ⇒ sr 12= ,éq sm N r 0= − = , s sh N r 0= − =

La structure de poutres est non-mobile et isostatique. La détermination de toutes les

inconnues externes et internes est possible. L’analyse des équations de la statique ne


Exemple 1.10.

Figure 1.17.

La structure de poutres plane est composée de 2 poutres reliées entre elles par une

liaison d’articulation interne et elle est en liaison d’encastrement et d’appui simple,

respectivement, en A et B avec l’extérieur. Les actions extérieures connues ou charges

sont appliquées d’une façon quasi-statique.




M. ARFAOUI 43

L’écriture du PFS sur la structure de poutres (AB ) et la poutre (CB ),

respectivement, au point A et C donne le système d’équations suivant :

( )

( )( )

en

A

A B

A B

PFS / AB A

i X 0

j Y Y F

k C 5.a.Y 4.a.F

⎧⎪ =⎪⎨

+ =⎪⎪ + =⎩

,( )

( )( )

en

2.a

C

C B

B

PFS / CB C

i X 0

j Y Y F

k .Y a.F

⎧⎪ =⎪⎨

+ =⎪⎪ =⎩

,

L’écriture du PFS sur la poutre (AC ) est remplacée par celle de la structure de

poutres (AB ). L’analyse de ces équations permet de déduire la mobilité et


p s éq p N 2, N 6 , N 3.N 6 = = = = , ⇒ sr 6 = , éq sm N r 0= − = , s sh N r 0= − =

La structure de poutres est non-mobile et isostatique. La détermination de toutes les

inconnues externes et internes est possible. L’analyse des équations de la statique ne


Remarque 1.20. Commentaires sur l’exemple 1.10.

Si on ne souhaite pas calculer les actions de liaison interne ( )c c X ,Y , le PFS sur la

structure de poutres (AB ) donne un système matriciel de 3 équations et 4 inconnues.Afin de compléter le système d’équations par une quatrième équation, on exploite

seulement l’équation du moment de l’application PFS sur (AB ) exprimée au point C .

Exemple 1.11.

Figure 1.20. Arbre en rotation

( )

( ) A

ext/poutre, AF

Liaison SphériqueLiaison

Linéaire Circulaire

A BD

a aRepèreGaliléen

i

k

j

O

( )

( ) B

ext/poutre, BF ( )

( ) D

ext/poutre, DF

x

z

y

G

( )

( ) A

ext/poutre, AF

Liaison SphériqueLiaison

Linéaire Circulaire

A BD

a aRepèreGaliléen

i

k

j

O

i

k

j

O

( )

( ) B

ext/poutre, BF ( )

( ) D

ext/poutre, DF

x

z

y

G

x

z

y

G




M. ARFAOUI 44

Soit un arbre (AB), de longueur 2a et de section droite circulaire de rayon R, en

liaison sphérique et linéaire annulaire avec l’extérieur, respectivement, en A et B. Cet

arbre est soumis aux actions extérieures quasi-statiques connues suivantes :

( ) ( )( )

A

Aext / AB , A

A m A

F 0F C C .i

⎧ =⎪= ⎨ =⎪⎩

, ( ) ( )( )

B

Bext / AB , B

B r B

F Q.iF C C .i

⎧ = −⎪= ⎨ =⎪⎩

, ( ) ( )( ) ( )

D

Dext / AB , D

B B

F F. j yF C 0

⎧ = +⎪= ⎨

=⎪⎩

Les actions de liaison s’écrivent :

( ) ( )

( )

A A A A

A i j k

rotule/ AB , A

A A

R R .i R . j R .k R

M 0

⎧ = + +⎪= ⎨

=⎪⎩,

( ) ( )

( )

B B B

B j k

lin ann / AB , B

B B

R R . j R .k R

M 0−

⎧ = +⎪= ⎨

=⎪⎩

Les actions extérieures induisent un mouvement de rotation de l’arbre avec un

vecteur vitesse de rotation ( )garbre / R .iΩ Ω = où ( )g R A,i , j ,k est le repère galiléen.

Le repère central principal ( )P R G,x, y,z de l’arbre est défini comme suit :

L’objectif de cet exemple est la détermination des inconnues de liaison. Il est évident

que l’arbre est mobile. Ecrivons alors le PFD sur l’arbre (AB ) en A (ce choix rend les

actions de liaison extérieures) :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) A B A D B

A grotule / AB , A lin ann / AB , A ext / AB , A ext / AB , A ext / AB , A R R F F F D AB / R

−+ + + + =

Où

( ) ( )

( )

( )

B B B

j k B

lin ann / AB , A B B B B B

A B j k j k A

R R . j R .k R

M M AB R AB R . j R .k 2.a.R .k 2.a.R . j−

⎧ = +⎪= ⎨

= + ∧ = ∧ + = −⎪⎩

( ) ( )

( ) ( )

D

D D

A Dext / AB , A

A

F F. j F.y F .j F .cos . j F.sin .k

F C C AD F AD F. j F.y

a.F.k a.F.z a.F.k a.F.sin .k a.F.cos . j

θ θ

θ θ

⎧ = + = + +⎪⎪

= = + ∧ = ∧ +⎨⎪

= + = + −⎪⎩

j

yk

z

i x=

θ

G j

yk

z

i x=

θ

G




M. ARFAOUI 45

( ) ( )

( )

B

B

ext / AB , A B

A B A

F Q.iF

C C AB F 0

⎧ =⎪= ⎨

= + ∧ =⎪⎩

Le torseur dynamique s’écrit dans le repère galiléen :

( )

( )

( )( ) ( )

g

G

A g A g

A g G g

R A

m. C

d AB / R D AB / Rm.V A / R V C / R

dt

γ

σ δ

⎧⎪⎪

= ⎨= + ∧⎪

⎪⎩

Or le point A est fixe, ( )gV A / R 0= . Le vecteur accélération se calcule à partir de la

dérivée du vecteur position du centre de gravité G G AC AC .i= . En toute rigueur, ladistance G AC n’est pas fixe car l’arbre est déformable et il est nécessaire de

distinguer les positions initiale ( ) ( )0

GC t 0,a,0,0= et actuelle ( ) ( )t

GC t ,a ,0 ,0 du centre de

gravité. Cependant, l’hypothèse de petites perturbations (HPP) permet de confondre

les configurations initiale et actuelle. Le centre de gravité actuel ( ) ( )t

GC t ,a ,0,0 a des

petits mouvements autour de la position initiale. De même, l’hypothèse de non

vibration permet de prendre ( )GC 0γ = , si la vitesse de rotation Ω n’est pas très

grand. Le torseur dynamique prend la forme suivante :

( ) [ ] ( ) ( )

g

g A g A g A

R A

0

d AB / R D AB / R J AB / R .

¨dt

Ω δ

⎧⎪⎪

= ⎨ =⎪⎪⎩

Où [ ] ( )g A J AB / R est l’opérateur d’inertie de l’arbre par rapport au repère galiléen

défini au point A. Cet opérateur diagonal se déduit à partir de l’opérateur d’inertie

défini au centre de gravite GC [ ] ( )gG J AB / R via le théorème de Huygens.

La projection des équations vectorielles de la résultante et du moment dans le repère

g R donne :

Résultante

( )

( )( )

A

i

A B

j j

A B

k k

i R Q

j R R F F.cos

k R R F .sin

θ

θ

=⎧⎪⎪

+ = − −⎨⎪

+ = −⎪⎩

, Moment

( )

( )( )

m r

B

k

B

j

i C C J .

j - 2.a.R a.F.cos

k 2.a.R a.F a.F . sin

Ω

θ

θ

⎧ + =⎪⎪

=⎨⎪

= −⎪⎩




M. ARFAOUI 46

L’analyse de ces équations permet de déduire la mobilité et l’isostaticité de la

structure de poutres :

p s éq p N 1, N 5, N 6.N 6 = = = = , ⇒ sr 5= , éq sm N r 1= − = , s sh N r 0= − =




M. ARFAOUI 47

1.5. Exercices

Exercice 1.1.

Etudier la mobilité et l’isostatcité de chacune des structures de la figure 1.21.

Figure 1.21. Exercice 1.1.

Exercice 1.2.

Déterminer, pour chacune des structures de la figure 1.22., les inconnues de liaison.

Pour la structure (5) on précisera le déplacement à l’équilibre du point de contact au

droit de l’appui élastique.




M. ARFAOUI 48


Exercice 1.3.

Déterminer, pour chacune des structures de la figure 1.23., les inconnues statiques de

liaisons externes sans calculer les inconnues statiques de liaisons internes.


Exercice 1.4.

Soit la poutre droite (AB), figure 1.24., de longueur 2a (AO=a, OB=a) et de section

droite S en liaison d’articulation EXTERNE au point O avec son environnement.

La poutre (AB) est en mouvement de rotation au point O avec une vitesse de

rotation constante .k .zΩ Ω Ω = =

.

La poutre (AB) est soumise aux actions externes connues modélisées par leurs

torseurs statiques connus suivants :




M. ARFAOUI 49

( )

( )

( )/ ,

. .

O

Oext O O O

F 0

C C k C z

⎧ =⎪= ⎨

⎪ = =⎩

F

, ( )

( )

( )( )

/ ,

A

Aex t A A

A

F F x y

C 0

⎧ = +⎪= ⎨

⎪ =⎩

F

, ( )

( )

( )( )

/ ,

B

Bext B B

B

F F i j

C 0

⎧ = +⎪= ⎨

⎪ =⎩

F

On tient compte du poids de la poutre avec . . .g g j ρ ρ = −

où ρ est la masse

volumique.

O

A

B

i

j

θ

xy

z

kO

A

B

i

j

θ

xy

z

kO

A

B

i

j

θ

xy

z

k

Figure 1.24. Poutre en rotation plane

Déterminer les inconnues de liaisons statiques externes au point O .

Exercice 1.5.

Soit la structure tridimensionnelle (ABD), figure 1.25., composée de deux solides

cylindriques (AB) et (BD) soudées entre elles, de longueur a et de rayon R. La

structure tridimensionnelle (ABD) est en liaison pivot d’axe ( ), A i

en (A) à un bâti

rigide extérieur (il y a un seul degré de liberté) tel que le torseur statique inconnu de

l’action du bâti sur la structure s’écrit dans la base fixe

( ), ,i j k

:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, la résultante

, le moment

. . .

. .

A A A Ai j k A

ba ti A BD , A A A A j k

R R i R j R k R

M M j M k →

⎧ = + +⎪= ⎨

= +⎪⎩

La structure tridimensionnelle (ABD) est en mouvement de rotation uniforme en A

de vitesse de rotation .iΩ Ω =

grâce à un couple moteur connu en A .C C i=

. Ce

mouvement se fait sans l’apparition de phénomène de Vibration Interne de la

structure (vitesses linéaires et vitesses de rotations relatives sont négligeables).




M. ARFAOUI 50

La structure tridimensionnelle (ABD) est soumise à des actions extérieures

volumiques et surfaciques connues suivantes (voir figure 1) :

des forces volumiques . . .g

volumique f g g j ρ ρ = = −

des forces surfaciques ( ). 2Q Q k z= +

, appliquées sur la surface circulaire DS de centred’inertie D. Q est une constante

Modélisation de la géométrie et des actions extérieures.

1. Est-il possible de déterminer les contraintes, les déplacements et les déformations,

en tout point de la structure tridimensionnelle (ABD), par la théorie de la mécanique

des milieux continus 3D, MMC3D ? Argumenter votre réponse.

2. On se propose d’étudier la structure tridimensionnelle (ABD) par la théorie de la

mécanique des milieux continus 1D (MMC1D)

2.a. Quelles sont les conditions géométriques permettant de considérer un solide

tridimensionnel dans l’espace tridimensionnel comme un solide unidimensionnel dans

l’espace tridimensionnel ? On nommera ce solide poutre . En déduire une condition

sur a et R.

2.b. Décrire la démarche permettant le passage d’un solide tridimensionnel à un

milieu unidimensionnel. Le résultat de cette démarche appliquée sur la structure

(ABD) est schématisé sur la figure 2. Comment peut-on alors définir cette poutre ?

2.c. Montrer que les actions volumiques et surfaciques appliquées sur la structure

tridimensionnelle (ABD) se réduisent à l’application des torseurs connus sur la

structure de poutres comme suit :

MMC3D MMC1D

. . .g

volumique f g g j ρ ρ = = −

torseur densité linéique

. . . . .g

gG g

GG

p S g S g j

m 0

ρ ρ µ ⎧ = = −⎪= ⎨

=⎪⎩

Actions

extérieures

( ). 2Q Q k z= +

( ) ( )/ ,

. . . D

D

D2 2

S ext S D

D

D

F Q S k z F k zF

M 0

⎧ = + = +⎪= ⎨

⎪ =⎩

Détermination des inconnues statiques de liaison externe en A. (utiliser le

paramétrage ci-dessous)




M. ARFAOUI 51

Structure Tridimensionnelle

Schématisation Unidimensionnelle de la Structure Tridimensionnelle

Figure 1.25.




; 21 2 1 z z y x=

Paramétrage de ( )11P1 1 R G x y z, , , par

rapport à ( )g R A i j k , , ,

Paramétrage de ( )22P2 2 R G x y z, , , par

rapport à ( )g R A i j k , , ,

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RDM Chapitre 1 v1