RÉDUCTION DE MODÈLE EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE

David RyckelynckM. Abbas, D. Amsallem, F. Chinesta, A. Hamdouni, E. Hachem, J. Salomon

Programme de la semaine

M. Abbas, D. Amsallem, F. Chinesta, A. Hamdouni, E. Hachem, D. Ryckelynck, J. Salomon

Cours Doctoral, spécialité Mécanique

Réduction de modèle en mécanique non linéaire D. Ryckelynck(1)

M. Abbas(2), D. Amsallem(3), A. Hamdouni(4), E. Hachem(1), F. Chinesta(7), G. Peyre(5), P. Rouchon(1), J. Salomon(6)

3-7 Février 2014

(1) Mines ParisTech, (2) EDF, (3) Stanford University, (4) Université de La

Rochelle, (5) ONERA, (6) Université Paris Dauphine, (7) EC Nantes Jour 9:00-10:30 10:45-12:30 13:45-15:30 15:45-17:30 Lundi 3/02

Introduction D. Ryckelynck

M. Abbas

Bases modales pour

systèmes dynamiques

linéaires D. Ryckelynck

Mardi 4/02

Méthodes itératives et sous

espaces de Krylov E. Hachem

Equations aux Dérivées Partielles

paramétriques et POD

D. Amsallem

POD en mécanique des

fluides A. Hamdouni

PGD F. Chinesta

Mercredi 5/02

Méthodes Géométriques A. Hamdouni

Gappy POD et GNAT

D. Amsallem

Hyper-réduction en

mécanique des matériaux

D. Ryckelynck

Projets (DA, EH, GP)

Jeudi 6/02

Exemples en mécanique des

matériaux, APHR D. Ryckelynck

Inégalités variationnelles

réduites J. Salomon

Interpolation de bases réduites

D. Amsallem

Projets (DA, EH, GP,

JS)

Vendredi 7/02

Exemples en mécanique des

fluides A. Hamdouni,

E. Hachem

Exposés, résultats des

projets et discussion

D. Ryckelynck

Total : 25 heures de cours. Logiciels utilisés pour les projets numériques : Zebulon, Matlab Nombre d’inscrits limité à 14. Niveau requis : Master M1.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 2/12

La réduction de modèle pour la simplification des modèles

La réduction de modèle est un moyen d’extraire des facteurs communs à différentes simulations.

Ces facteurs sont exprimés à l’aide de modes, notés ψ.

La combinaison linéaire de ces modes permet d’avoir une représentation simplifiée destempératures en thermique ou des déplacements en mécanique.

L’avantage de ce type d’approche, est de ne pas modifier la description de la géométrie, des loisde comportement, des conditions initiales et des conditions aux limites. C’est-à-dire que l’onconserve les grandes hypothèses physiques.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 3/12

Une aide à la bonne pratique de la modélisation

Comment exploiter un modèle dont la complexité numérique tient compte de l’état desconnaissances sur le problème à traiter, ou de la précision de ce modèle ?

Bonne pratique de la modélisation

Complexité numériquedes simulations

Précision des prévisions (corrélation expérience-simulation)

Méthode des éléments nis

Modèleproposé par

l'élèveà former

Modèle Eléments Finisconvenable

Adéquation entre précision et complexité des modèles numériques.

L’accumulation de prévisions, dans le cadre d’études paramétriques, peut guider la simplificationdes modèles.

C’est au démarrage des études que les modèles sont les moins précis, par manque deconnaissance. Ceci justifie une approche algorithmique de la réduction des modèles.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 4/12

Réduction de modèle et études paramétriques

s

D

X μ

Postulat : un bon modèle est celui qui fournit des surfaces de réponse régulières dans l’espacedes paramètres.

Cette régularité est probablement due à des similitudes dans l’évolution espace-temps desdéplacements, vitesses et tenseurs de contrainte.

Verrous : La méthode des éléments finis ne tient pas compte de ces similitudes lorsque l’ongénère une surface de réponse, point par point. Les temps de calcul sont trop longs pour explorer

des domaines paramétriques en grande dimension (> 6).

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 5/12

Difficultés scientifiques traitées

Comment réutiliser au mieux des résultats de simulations antérieures pour réaliser de nouvellesprévisions ?

Comment construire une base réduite de façon adaptative qui permette de tenir compte deparamètres µ qui ont une influence sur l’évolution de l’état d’un système non-linéaire ?

Comment construire la représentation ci-dessous, avec en pratique N proche de 10 ?

u(x, µ, t) = uo(x, µ, t) +N∑

k=1

ψk (x) γk (t ,µ)

ou

u(x, µ, t) = uo(x, µ, t) +N∑

k=1

ψ′k (x, µ) γ′k (t)

Comment réduire l’étendue du problème en introduisant un domaine d’intégration réduit ou unmaillage réduit : ΩZ ⊂ Ω ?

Peut-on faciliter la construction et l’enrichissement de plans d’expérience avec des modèlesd’ordre réduit ?

Remarque : Il y a un avantage immédiat, la place mémoire nécessaire à la sauvegarde dessolutions.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 6/12

Premiers exemples de modèles complexes dans l’industrie et enmécanique des matériaux.

u = 0

u(x,t; p) = ?F(x,t;p)

T(x,t;p)

Prévision de durée de vie d’aubesSNECMA, un cycle simulé en un

jour.

3D microstructure2D EBSD84 grainsu = 01

u = 02

u = 02

F(t)

Etude de l’hétérogénéité des matériaux.Identification de paramètres matériaux par mesure

de champ, essai de traction simulé en 4h.

Dans l’industrie et en recherche sur les matériaux, les modèles mécaniques sont de plus en plusprécis et complexes, grâce au développement des techniques expérimentales.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 7/12

Réduction de modèle dans le cadre d’études paramétriques

Au cours d’études paramétriques, au cas par cas, on réalise une suite de simulations.

Des résultats de simulation on extrait un modèle hyper-réduit.

Ce modèle est substitué au modèle éléments finis pour poursuivre l’étude paramétrique de façonsimplifiée.

Complexité numériquedes simulations

Précision des prévisions (corrélation expérience-simulation)

Méthode des éléments nis

Modèle en base complète

X

Modèle en base réduite

Réduction(de 1/3 à 1/360)

Des calculs d’aubes ont été réduits d’un facteur 3 en 2012, des calculs de matériaux hétérogènesd’un facteur 360 en 2011.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 8/12

Les modèles de substitution (surrogate models) : définition

Un modèle de substitution remplace un modèle de référence. Il a une complexité inférieure à celledu modèle de référence.

L’objectif est d’obtenir des prévisions numériques en utilisant moins de ressources de calcul ouavec des temps de calcul plus courts. Ceci, en exploitant des résultats de calculs antérieurs,éventuellement produits par calcul intensif.

En général on accepte une précision moindre sur les prévisions fournies par le modèle desubstitution.

Remarque : Calcul intensif et réduction de modèle en mécanique non linéaire sontcomplémentaires.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 9/12

Les modèles d’ordre réduit (Reduced-Order Model) : définition

Les modèles d’ordre réduit sont des modèles de substitution dont les inconnues doivent vérifierdes équations de bilan physiques.

Les inconnues à déterminer sont des variables d’état u.

Par définition, l’ordre d’un modèle est le nombre de variables d’état indépendantes permettant dedécrire l’évolution de l’état du système étudié.

Réduire l’ordre d’un modèle c’est réduire le nombre de variables d’état de ce modèle.

Il est alors nécessaire de reformuler les équations physiques à satisfaire.

Ceci conduit dans la plus part des cas à des méthodes intrusives sur le plan informatique.

L’avantage d’un modèle d’ordre réduit est qu’il résulte d’une suite d’approximations dont laprécision est quantifiable.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 10/12

Caractéristiques communes des modèles d’ordre réduit

L’état du modèle réduit est décrit comme une combinaison linéaire de modes ψkNk=1. Chaque

mode est similaire à un état particulier du modèle de référence. La visualisation des modes aide àcomprendre les transformations modélisées.

Les méthodes de Surface de Réponse sont des approches complémentaires des méthodes deréduction d’ordre de modèles.

Les méthodes de construction de surface de réponse servent à explorer un espace paramétriqueD. On s’intéresse à la réponse s(µ), µ ∈ D, d’un système qui occupe un domaine Ω.

La réponse est extraite de l’état du système : s(µ) = `(u;µ)

L’analyse de points singuliers de µ ∈ D → s(µ) conduit à l’étude d’états particuliers que l’on peutdécrire par un modèle d’ordre réduit.

Ce modèle d’ordre réduit peut aider à simplifier l’enrichissement de la surface de réponse, maiségalement sa construction.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 11/12

Domaines d’application des modèles d’ordre réduit

L’intérêt des modèles d’ordre réduit est de simplifier des études paramétriques comme :

l’étude de régimes transitoires pour différents paramètres de condition initiale, de sollicitation,de comportement du matériau, de forme géométrique,

l’étude de sensibilité de prévisions pour tout type de variations paramétriques,

la propagation d’incertitudes pour quantifier l’effet d’incertitudes sur des prévisions,

la recherche de paramètres optimaux en exploitant des évaluations peu coûteuses de lafonction objectif,

la résolution approchée de problèmes couplés (espace paramétrique excessivement grand),

l’extension des paramètres à faire varier, ou de la dimension des surfaces de réponse.

Les méthodes de réduction d’ordre de modèle permettent de compenser le caractère très généralde méthodes d’approximation comme la méthode des éléments finis en définissant des modèlestenant compte des spécificités du domaine d’application dans la représentation de l’état dusystème.

Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d’ordre de modèles 12/12