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This article was downloaded by: [Fondren Library, Rice University ] On: 10 November 2014, At: 12:29 Publisher: Taylor & Francis Informa Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK Communications in Partial Differential Equations Publication details, including instructions for authors and subscription information: http://www.tandfonline.com/loi/lpde20 Réflexion des Singularités pour L'équation de Schrödinger Jérémie Szeftel a b a LAGA UMR 7539 , Institut Galilée, Université Paris , France b LAGA UMR 7539 , Institut Galilée, Université Paris , 13, 99, Ave. J.B.Clément, Villetaneuse , 93430 , France Published online: 14 Feb 2007. To cite this article: Jérémie Szeftel (2004) Réflexion des Singularités pour L'équation de Schrödinger, Communications in Partial Differential Equations, 29:5-6, 707-761, DOI: 10.1081/PDE-120037330 To link to this article: http://dx.doi.org/10.1081/PDE-120037330 PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the “Content”) contained in the publications on our platform. However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make no representations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, or suitability for any purpose of the Content. Any opinions and views expressed in this publication are the opinions and views of the authors, and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Content should not be relied upon and should be independently verified with primary sources of information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to or arising out of the use of the Content. This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at http:// www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

Réflexion des Singularités pour L'équation de Schrödinger

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This article was downloaded by: [Fondren Library, Rice University ]On: 10 November 2014, At: 12:29Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Communications in Partial Differential EquationsPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lpde20

Réflexion des Singularités pour L'équation deSchrödingerJérémie Szeftel a ba LAGA UMR 7539 , Institut Galilée, Université Paris , Franceb LAGA UMR 7539 , Institut Galilée, Université Paris , 13, 99, Ave. J.B.Clément,Villetaneuse , 93430 , FrancePublished online: 14 Feb 2007.

To cite this article: Jérémie Szeftel (2004) Réflexion des Singularités pour L'équation de Schrödinger, Communications inPartial Differential Equations, 29:5-6, 707-761, DOI: 10.1081/PDE-120037330

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1081/PDE-120037330

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COMMUNICATIONS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONSVol. 29, Nos. 5 & 6, pp. 707–761, 2004

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger

Jérémie Szeftel*

LAGA UMR 7539, Institut Galilée, Université Paris, France

RÉSUMÉ

Nous établissons un lien entre la solution de l’équation de Schrödinger avecconditions de Dirichlet et une équation hyperbolique pour laquelle on peutappliquer les résultats classiques de réflexion des singularités, ce qui nouspermet de prouver des résultats de réflexion des singularités pour l’équation deSchrödinger. Enfin, on utilise ces résultats pour calculer l’opérateur de Neumannassocié à l’équation de Schrödinger.

ABSTRACT

A link between the Schrödinger equation and an hyperbolic equation is shown.Classical results on reflection of singularities for hyperbolic equations allow toderive reflection of singularities results for the Schrödinger equation. Finally,these results are used to compute the Neumann operator for the Schrödingerequation.

Key Words: L’équation de Schrödinger; L’opérateur de Neumann.

∗Correspondence: LAGA UMR 7539, Institut Galilée, Université Paris 13, 99, Ave.J.B.Clément 93430 Villetaneuse, France; E-mail: [email protected].

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DOI: 10.1081/PDE-120037330 0360-5302 (Print); 1532-4133 (Online)Copyright © 2004 by Marcel Dekker, Inc. www.dekker.com

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1. INTRODUCTION

Les premiers travaux sur la propagation des singularités pour l’équation deSchrödinger remontent à Lascar (1977) et Boutet de Monvel (1975). Ils introduisentun front d’onde parabolique qui se propage suivant les géodésiques du Laplacien à tfixé. Mais ces résultats ne permettent pas d’obtenir des informations sur la régularitéau temps t en fonction de la condition initiale. L’exemple suivant illustre le lien entreu0 et u�t� ·�:i

�u

�t+ �u = 0� t > 0� x ∈ �d�

u|t=0 = u0�(1.1)

Si on prend u0 = �, la solution u�t� ·� est dans C���d� pour tout t positif.Si on prend u0 = e−i�x�2 , la solution u�t� ·� est singulière pour certaines valeursde t. On voit que la régularité de u�t� ·� pour t > 0 dépend du comportement deu0 à l’infini. Cette idée est généralisée (microlocalisation, Laplacien à coefficientsvariables asymptotique au Laplacien plat à l’infini) dans des travaux récents commeceux de Craig et al. (1995), Wunsch (1999), Robbiano et Zuily (1999, 2001).

Ces travaux relient deux informations: le comportement à l’infini (décroissance,oscillations, � � � ) et la régularité. S’inspirant du front d’onde de scattering deMelrose (1994), Wunsch (1999) introduit un front d’onde quadratic scattering(qui tient compte des oscillations quadratiques à l’infini) qui contient ces deuxinformations. Wunsch obtient une description précise de la propagation dessingularités C� pour ce front d’onde qsc. Robbiano et Zuily (2001) obtiennent desrésultats similaires dans le cas des singularités analytiques.

A notre connaissance, il n’existe pas de résultat sur la réflexion des singularitéspour l’équation de Schrödinger.

En ce qui concerne l’opérateur de Neumann N� pour l’équation de Schrödingerrelatif à un ouvert �, qu’on étudie dans la dernière partie de ce travail, X. Antoineet Besse (2001) trouvent un développement asymptotique de N� en dimensiondeux d’espace dans une algèbre pseudodifférentielle par un calcul formel, mais nefournissent pas de démonstration rigoureuse.

Ce travail consiste en quatre parties:

– On commence par rappeler les résultats obtenus par Wunsch (1999) et parRobbiano et Zuily (2001) en les énonçant dans le contexte des singularitésC�. On rappelle en particulier la définition du front d’onde qsc et du flot duLaplacien. On énonce trois des théorèmes qu’ils ont obtenus et on indiquebrièvement comment leur démonstration s’adapte au cas où il y a un secondmembre.

– On rappelle les propriétés de l’algèbre pseudodifférentielle SmSch étudiée parLascar (1977). Cette algèbre est adaptée à l’équation de Schrödinger carelle contient des symboles n’ayant pas la même homogénéité en temps eten espace. On étudie la composition d’opérateurs de cette algèbre avecd’autres opérateurs intervenant dans la suite. Enfin, cette algèbre permetde donner une définition invariante par changement de variables du front

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d’onde au bord d’une solution de l’équation de Schrödinger dans un ouvertavec condition de Dirichlet.

– Ensuite, on démontre des résultats de réflexion des singularités pourl’opérateur de Schrödinger L = �t + i�g dans l’ouvert extérieur � avecconditions de Dirichlet sur le bord ��.On adapte un résultat de Lebeau (1992) établissant un lien entre les

solutions de L et les solutions de l’opérateur hyperbolique P = �s�t − �g.On utilise alors les résultats de réflexion des singularités pour les opérateurshyperboliques de Melrose et Sjöstrand (1978) pour obtenir des résultats deréflexion des singularités pour L.

– Enfin, on applique les résultats de réflexion des singularités au calcul de l’opérateur de Neumann pour l’équation de Schrödinger dans le cas duLaplacien plat et d’un ouvert� tel que�d\� est convexe. Si u est solution de:i�u

�t+ �u = 0� t > 0� x ∈ ��

u|�t�� = h�

u|t=0 = 0�

(1.2)

alors �u|�t×�� est déterminé par h:

�u|�t�� = N�h� (1.3)

(1.3) définit l’opérateur de Neumann associé à l’équation Lu = 0 et àl’ouvert �. On factorise L sous la forme L = −�Dxd

+ A��Dxd+ B� dans des

coordonnées locales près de ��. On construit U solution de:{�Dxd

+ B�U = 0�

U |xd = h�(1.4)

Alors v = u− U vérifie une équation de Schrödinger. Les théorèmes deréflexion des singularités montrent que v est régulière. Grâce à (1.3) et (1.4)on en déduit que N� � −iB.

2. DÉFINITIONS ET RAPPELS SUR LA PROPAGATION DESSINGULARITÉS POUR L’ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

2.1. Le Contexte Géométrique

Ce qui suit est pris dans Melrose (1994). Soit M une variété analytique compactede bord �M . Soit une fonction analytique sur M telle que sur �M = 0 et d �= 0.Une métrique de scattering sur M est une métrique analytique g sur M telle quepour un choix de , l’égalité suivante est vérifiée dans un voisinage de �M�

g = d2

4+ h

2� (2.1)

où h est une forme bilinéaire analytique sur T ∗M telle que h|�M est une métrique.

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Cette classe demétriques a été construite de façon à inclure les métriques asympto-tiquement plates sur �d. En effet, soit � le difféomorphisme de �d\ z/z� < 1� dansun sous-ensemble de �0�+�� × Sd−1 défini par:

��z� =( = 1

�z� � � = z

�z�)� (2.2)

Alors, pour �z� ≥ 1, �∗�dz2� = d2/4 + d�2/2 où d�2 est la métriquecanonique de Sd−1 et vérifie = 0 et d �= 0 sur 0�× Sd−1.

Soit qsc�M� (qsc pour quadratic scattering) l’espace des champs de vecteurssur M qui sont combinaisons linéaires de 3� et 2�yj , 1 ≤ j ≤ d. Nous notonsqscTM l’espace des sections analytiques de qsc�M� et

qscT ∗M son dual. La 1-formecanonique sur qscT ∗M peut s’écrire près de �M en coordonnées locales:

� = �d

3+ �

dy

2� (2.3)

Les coordonnées d’un point de qscT ∗M proche de �M sont notées �� y� �� ��.Si �2 + ���2 est grand, nous introduisons de nouvelles coordonnées en posant:

� = 1

��2 + ���2� 12

� � = ��� � = ��� �2 + ���2 = 1� (2.4)

Cela correspond à une compactification radiale des variables des fibres et nousnotons qscT

∗M cette compactification de qscT ∗M . Près de � = 0, nous prenons les

coordonnées locales �� y� �� �� �� pour les points de qscT∗M .

qscT∗M est une variété à coin avec 2 faces. Nous posons:

qscT∗�MM = m ∈qsc T ∗

M/ = 0� qscS∗M = m ∈qsc T ∗M/� = 0�� (2.5)

Alors:

� = �qscT∗M =qsc T

∗�MM ∪qsc S∗M� (2.6)

2.2. Le Front d’Onde qsc

Le front d’onde qsc est un sous ensemble de � défini grâce à une transformationFBI à 2 paramètres dont la théorie est développée dans Robbiano et Zuily (2001).

Définition 2.1. Soit M0 = �X0� �0� �0� h0�∈�d×�d×�2d× �0�+�� où �0 =��0X� �0��∈ �d ×�d. � = ��X� �� h� est une phase FBI en M0 si il existe un voisinage V de�X0� �0� dans �

d �2d, un voisinage Ih0 de h0 dans �0�+�� tel que

– ��X� �� h� = �2�X� ���+ �3���+ ih�1�X� ��� � = ��X� ���� où �j j = 1� 2� 3sont holomorphes dans V et �2 est réel si �X� ��� ∈ �d ×�d

–��

�X�X0� �0� h0� = �0�

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– �1�X0� �0� = ��1

�X�X0� �

0� = 0,(�2�1

�X2

)�X0� �

0� est définie positive et(�2�1

�X��X

)�X0� �

0� est inversible.

– Si h0 = 0,(�2�2

�X���

)�X0� �

0� est inversible.

Si h0 �= 0, les matrices

(�2�

�X���

)�X0� �

0� h0� et

�2��X���

�2��X��X

�2���X���

�2���X��X

�X0� �0� h0�

sont inversibles.

Les symboles analytiques sont de la forme:

a�X� �� h� k� =N∑j=0

aj�X� �� h� k��h√k�j�

où N est un entier quelconque et les aj sont holomorphes par rapport à �X� �� dansun même voisinage complexe de �X0� �0�, borné pour �h� k� dans un même voisinagede �h0� �0� dans �0�+�� × �0�+�� et satisfont dans ces voisinages:

�aj�X� �� h� k�� ≤ Cj+1jj2 � 0 ≤ j ≤ N�

a est dit elliptique en �X0� �0� h0� �0� si a0�X0� �0� h0� �0� �= 0.Soit m0 dans �. Soit s0 > 0 donné, nous posons alors

h0 =0s0� X0 = �s0� y0� ∈ �d� �0 =

(�0s30��0s20

)∈ �d�

Définition 2.2. Soit u ∈ �′�M� et m0 ∈ �. On dit que m0 � qscWF�u� si il existes0 > 0, �0 ∈ �2d, un voisinage V�0 de �0 dans �2d, une phase FBI � en�X0� �0� �

0� h0�, des voisinages Vh0 , V�0 de h0 et �0 dans �0�+��, des constantesCN� N ≥ 0, un symbole analytique a elliptique en �X0� �

0� h0� �0�, une fonction detroncature � ∈ C�

0 égale à 1 dans un voisinage de X0 tels que pour tout N :

��u��� h� k�� =∣∣∣∣∫ ∫ eih

−2k−1�� h �y���h�a

(

h� y� �� h� k

)�

(

h� y

)u�� y�d dy

∣∣∣∣≤ CN�hk�

N � (2.7)

pour tout �, h, k respectivement dans V�0 , Vh0\0 et V�0\0.Comme dans Robbiano et Zuily (2001), nous définissons un front d’onde

uniforme:

Définition 2.3. Soit I un intervalle de �, soit �u�t� ·��t∈I une famille de distributionssur M et t0 ∈ I . On dit que m0 � qscWF�u�t0� ·�� si il existe s0 > 0, �0, V�0 , �, Vh0 , V�0 ,

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CN , a, � comme dans la définition 2.2 et �0 > 0 tels que pour tout N :

��u��� h� k�� =∣∣∣∣ ∫ ∫ eih

−2k−1�� h �y���h�a

(

h� y� �� h� k

)�

(

h� y

)u�� y� d dy

∣∣∣∣≤ CN�hk�

N �

pour tout �, h, k respectivement dans V�0 , Vh0\0, V�0\0 et pour tout t ∈ I tel que�t − t0� ≤ �0.

Remarque.

– Robbiano et Zuily (2001), montrent que les définitions 2.2 et 2.3 sontindépendantes de s0, �

0, �, a et �.– Pour notre propos, les symboles C� sont suffisants mais nous supposons

l’analycité car les théorèmes 2.5, 2.6 et 2.7 de Robbiano et Zuily ont étédémontrés dans ce cadre.

– Le paramêtre k évalue la régularité microlocale de u, alors que h teste sadécroissance à l’infini.

– qscWF�u� ∩ �qscS∗M�0 coïncide avec le front d’onde usuel.

2.3. Rappels sur la Propagation des Singularitéspour L’équation de Schrödinger

Nous rappelons les théorèmes de propagation obtenus par Robbiano et Zuily(2001). Nous les énonçons dans le cas des singularités C�, ce qui correspond en faitaux théorèmes de Wunsch (1999).

Soit �g le Laplacien-Beltrami associé à la métrique g deM . Melrose (1994) dfinitle symbole principal q de �g qui est une fonction sur qscT

∗M . La 2-forme canonique

sur qscT∗M est � = d� où � est définie par (2.3).

� = d� ∧ d3

+ d� ∧ dy2

− 2�d ∧ dy3

L’Hamiltonien H� du symbole de �g est alors défini par:

dq�·� = ��H�� ·��

Sur �qscT �MM�0, nous définissons le flot du Laplacien comme coïncidant avec le

flot de H�.H� est singulier en � = 0 mais �H� est un champ de vecteurs analytique. Sur

qscS∗M , nous définissons le flot du Laplacien comme coïncidant avec le flot de �H�.

Remarque. Dans Robbiano et Zuily (2001), les auteurs montrent que le flot duLaplacien ainsi défini sur �qscS∗M�0 coïncide avec les bicaractéristiques de �g au sensusuel.

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Définition 2.4. Une courbe intégrale maximale de �H� est dite non piégée en arrière(resp. en avant) si elle est définie pour tout t dans �−�� 0� (resp. �0�+��) et �t�→ 0quand t → −� (resp. t → +�). m ∈qsc T ∗

M est dit non piégé en arrière (resp.avant) si la courbe intégrale de �H� partant de m est non piégée en arrière (resp.avant).

Remarque. Soit � c± = m = �� y� �� ��� ���/ = � = � = 0� � = ±1�. Si m0 est

dans qscS∗M\� c− et n’est pas piégé en arrière, alors:

N−��m0� = limt→−� exp�t�H���m0� ∈ � c

+�

Le résultat est encore valable lorsqu’on échange les signes + et −.Robbiano et Zuily démontrent leurs théorèmes de propagation dans le cas où u

est solution d’un problème de Schrödinger homogène. Nous énonçons ici 3 de leursthéorèmes dans le cas où il y a un second membre en indiquant brièvement commentleur démonstration s’adapte à ce cadre.

Soit u0 ∈ L2��d�, f ∈ L1��0�+��� L2��d�� et u l’unique solution dansC0��0�+��� L2��d�� de:

�u

�t+ i�gu = f�

u|t=0 = u0�(2.8)

Robbiano et Zuily construisent une famille de phases ���� h� y� �� h� et de

symboles analytiques a��� h� y� �� h� k� dépendant du paramètre � telle que pour tout

N ≥ 0:(�

��+ i�∗

g

)�aeih

−2k−1�� = ���hk�N �� (2.9)

où �∗g est l’adjoint de �g. L’opérateur � associé à � et a par (2.7) vérifie:(1k

��+ �

�t

)�u�t� ·���� �� h� k� = ���hk�N �+ �f�t� ����� �� h� k��

Alors, soit t proche de T et t′ à préciser, nous obtenons:

�u�t� ·��0� �� h� k� = �u�t′� ��(− t−t′

k� �� h� k

)︸ ︷︷ ︸�1�

+∫ t

t′�f��� ·�(− t−�

k� �� h� k

)d�︸ ︷︷ ︸

�2�

+���hk�N �� (2.10)

Le terme (1) est traité dans Robbiano et Zuily (2001) et il reste à montrerdans chaque cas que �f��� ���−��t − ��/k��� �� h� k� = ���hk�N �� t′ ≤ � ≤ t, avecuniformité de la constante par rapport à �.

Théorème 2.5. Soit T > 0 fixé. Soit 0 ≤ �∗ < �∗ et m ∈qsc T ∗M . Supposons que

exp���H���m� ∈ �qscS∗M�0 pour � ∈ ��∗� �∗� et exp���H���m�/� ∈ ��∗� �∗�� ∩qscWF�f�T� ·�� = ∅. Alors:

exp��∗�H���m� � qscWF�u�T� ·��⇔ exp��∗�H���m� � qscWF�u�T� ·���

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Soit F = �/� ∈ ��∗� �∗� et exp���H���m� � qscWF�u�T� ·���. F est ouvert dans��∗� �∗� et il suffit de montrer que F est fermé pour conclure. Soit alors �0 ∈ F .On peut supposer �0 = 0 et alors exp��0�H���m� = m. On construit une phase �vérifiant (2.9), et telle que il existe s0 et �0 et � est une transformation de FBI en�m� �0� s0�. On choisit �1 dans F suffisamment proche de �0 = 0 et on fixe t′ prochede T par −t − t′/k = �1 (voir Robbiano et Zuily, 1999, Théorème 6.1) tel que � estune transformation de FBI en �exp��1�H���m�� �0� s0�. Alors (1) est ���hk�N � dans(2.10).

Soit t′ ≤ � ≤ t, il suffit de montrer que ���� s� y� �� h� est une phase en�exp�−�t − ��/k��H���m�� �0� s0� où � = −��t − ��/k�, ce qui se fait de la mêmemanière que pour � = t′. Grâce à l’hypothèse sur f , (2) est donc ���hk�N � et �0 ∈ F .F est donc fermé.

Théorème 2.6. Soit m ∈ � c+. Supposons que exp�−TH���m�� qscWF�u0�. Supposons

de plus que exp�−tH���m� �qsc WF�f�T − t� ��� pour 0 ≤ t ≤ T . Alors m� qsc

WF�u�T� ·��.On fixe t′ = 0. Alors (1) est ���hk�N � dans (2.10) d’après l’hypothèse sur u0.Soit 0 ≤ � ≤ t, il suffit de trouver �� et s� tels que ���� s� y� �� h� est une phase

en un sens à préciser (voir Robbiano et Zuily, 2001, car � dépend du paramêtresupplémentaire �) en �exp�−�t − ��H���m�� ��� s�� pour � dans un voisinage de−��t − ��/k�. Le cas � = 0 est traité dans Robbiano et Zuily (2001) (pour traiterle terme (1)) et le cas � = t aussi (pour montrer que (2.10) implique m �qscWF�u�T� ·��). Le cas 0 < � < t se traite de la même manière que � = 0. Grâce àl’hypothèse sur f , (2) est donc ���hk�N �. Par (2.10), m� qscWF�u�T� ·��.

Les théorèmes 2.5 et 2.6 impliquent le théorème suivant, qui est appeléphénomène d’effet régularisant:

Théorème 2.7. Soit m0 tel que 0 > 0, �0 = 0 et soit T > 0. Supposons que m0 n’estpas piégé en arrière (alors N−��m0� ∈ � c

+). Supposons que exp�−TH���N−��m0��n’est pas dans qscWF�u0�. Supposons de plus que exp�−��H���m0� n’appartient pasà qscWF�f�T� ·�� pour 0 ≤ � < +� et exp�−tH���N−��m0�� n’est pas dans qscWF

�f�T − t� ·�� pour 0 ≤ t ≤ T . Alors on a m0 � qscWF�u�T� ·��.

3. L’ALGÈBRE SmSch

3.1. Les Propriétés de SmSch

Soit les poids � et �′ définis par:{���� �� = �1+ �2 + ���4� 1

4 �

�′��� �′� = �1+ �2 + ��′�4� 14 �

(3.1)

Lascar (1977) introduit une algèbre pseudodifférentielle adapté à l’équationde Schrödinger. Soit m ∈ �, l’auteur définit SmSch��t ×�x� comme l’ensemble desp�t� x� �� �� dans C���2�d+1�� telles que:

���t�x�����p�t� x� �� ��� ≤ C����m−����−2�� � (3.2)

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 715

Soit � un ouvert C� de �d. On peut de même définir SmSch��t ×��, où laconstante C��� de (3.2) dépend aussi du compact de � où x varie. Grâce à unepartition de l’unité on peut définir SmSch��t × ���, à condition de montrer que (3.2)est invariant par changement de variables. En effet, nous avons le lemme suivant:

Lemme 3.1. Soit � ��1 → �2 un difféomorphisme de classe C� entre �1 et �2 deuxouverts de �d, soit � ��t ×�1 → �t ×�2 défini par ��t� x� = �t� ��x�� et soit A unopérateur de OpSmSch��t ×�2�. Alors, l’opérateur A défini pour u ∈ C�

0 ��t ×�1� etx ∈ �1 par Au�t� x� = A�uo�−1����x�� est dans OpSmSch��t ×�1�.

Preuve. Soit u ∈ C�0 ��t ×�1�, et soit a ∈ SmSch��t ×�2� le symbole de A:

Au�t� x� = �2��−d−1∫∫∫∫

ei�t−s��+i���x�−y��a�t� ��x�� �� ��u�s� �−1�y��ds dy d� d��

On effectue le changement de variables y = �−1�y�:

Au�t� x� = �2��−d−1∫∫∫∫

ei�t−s��+i���x�−��y���a�t� ��x�� �� ��u�s� y�

×∣∣∣∣det ���y��y

∣∣∣∣ds dy d� d��Le noyau KA de A est C� en dehors de la diagonale ����t ×�1�× ��t ×�1��.

On peut donc se restreindre en espace à un voisinage U de ���1 ×�1�. On peutsupposer que pour tout compact K ⊂ U , il existe un compact K ⊂ �1 tel que si�x� y� ∈ K et 0 ≤ � ≤ 1, alors �x + �1− ��y ∈ K. Pour �x� y� ∈ U , on définit:

G�x� y� =t F�x� y�� F�x� y� =∫ 1

0

����x + �1− �y��

�xd��

F et G sont C� et F�x� x� = ���x�/�x. Quitte à restreindre U , on peut supposerque G est inversible. On effectue le changement de variables � = G�x� y��:

Au�t� x� = �2��−d−1∫∫∫∫

ei�t−s��+i�x−y��a�t� x� s� y� �� ��u�s� y�ds dy d� d��

où a�t� x� s� y� �� �� = a�t� ��x�� ��G−1�x� y���

∣∣ det ���y��y

∣∣� detG� . Comme a est dans

SmSch��t �2�, pour tout ��� ��:

���t�x�����a�t� x� s� y� �� ��� ≤ C����m−2��−�����

Il reste à voir que l’on peut se ramener à un symbole en �t� x� �� �� ce qui nepose pas de problème. �

Lascar (1977), montre l’existence d’un calcul symbolique (adjoint, produit, � � � )analogue au calcul usuel pour les opérateurs à symbole dans SmSch. Il démontreégalement la continuité sur L2

loc��t ×�� des opérateurs proprement supportés àsymbole dans S0Sch��t ×��.

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ORDER REPRINTS

716 Szeftel

Pour r ∈ �, on définit l’espace de Sobolev inhomogène:

HrSch��t �d

x� = u ∈ � ′��t ×�dx�/u�

r ∈ L2��t ×�dx��� (3.3)

On définit alors HrSch��t × ��� à partir de Hr

Sch��t ×�d−1x � grâce à une partition

de l’unité adaptée à un atlas de �t × ��. Pour r entier pair, on définit HrSch��t ×��

par:

HrSch��t ×�� = u ∈ �′��t ×��/�lt�

�xu ∈ L2��t ×��∀�l� ��� 2l+ ��� ≤ r��

(3.4)

Puis on définit HrSch��t ×�� pour r ≥ 0 par interpolation et pour r < 0

par dualité HrSch��t ×�� = �H−r

Sch 0��t ×���′, où H−rSch 0��t ×�� est l’adhérence de

���t ×�� dans H−rSch��t ×�� (voir par exemple Lions et Magenes (1968) où Hr

Sch

est noté Hr� r2 ).La continuité sur L2 de OpS0m implique que les opérateurs de OpSmSch��t × ���

envoient continûment HrSch��t × ��� dans Hr−m

Sch ��t × ��� et les opérateurs deOpSmSch��t ×�� envoient continûment Hr

Sch�comp��t ×�� dans Hr−mSch�loc��t ×��.

Enfin, nous démontrons l’inégalité de Gårding précisée suivante:

Lemme 3.2. Si a ∈ S2m+1Sch ��t ×�d

x� tel que Re a ≥ 0, alors:

Re �a�t� x�D�u� u� ≥ −C�u�2HmSch� u ∈ � ��d+1�� (3.5)

Preuve. Comme (3.5) est vraie pour a ∈ S2mSch��t ×�dx�, et comme:

�a�t� x�D�+ a�t� x�D�∗�/2− �Re a��t� x�D� ∈ OpS2mSch��t ×�dx��

on voit qu’il suffit de démontrer (3.5) avec a remplacé par Re a. Nous supposonsdonc a ≥ 0 dans ce qui suit.

Nous utilisons l’existence d’une fonction paire ∈ � ��2d+2� d’intégrale 1, telleque:

� �t� x�D�u� u� ≥ 0� u ∈ � ��d+1�� (3.6)

établie dans le théorème 18.1.14 de Hörmander (1983).Pour � ∈ �d, on note ���4 = �

∑dj=1 �

4j �

14 la norme 4. Soit � une fonction positive

dans C�0 ��� �d

� � valant 1 pour ��2 + ���44� 14 ≤ 1

2 et 0 pour ��2 + ���44� 14 ≥ 1 et

!��� �� = ���/4� �/2�− ���� ��. On pose a−1�t� x� �� �� = a�t� x� �� ������ �� et pourk ≥ 0, ak�t� x� �� �� = a�t� x� �� ��!�2−2k�� 2−k��. Comme a−1�t� x�D� est continu deHmSch dans H−m

Sch , il suffit d’étudier∑

k≥0 ak�t� x�D�. On pose qk = 2k2 et on écrit ak =

bk + ck où:

bk�t� x� �� ��

=∫∫

��t − s�q2k� �x − y�qk� ��− ��/q2k� ��− "�/qk�ak�s� y� �� "�ds dy d� d"

=∫∫

�sq2k� yqk� �/q2k� "/qk�ak�t − s� x− y� �− �� �− "�ds dy d� d"� (3.7)

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 717

��t − s�q2k� �x − y�qk� �Dt − ��/q2k� �Dx − "�/qk� est unitairement équivalent à �t� x�D�, donc positif par (3.6), et comme ak�s� y� �� "� ≥ 0, bk�t� x�D� est positif.Pour conclure, il suffit de montrer que c�t�x�����=∑

k≥0ck�t�x�����∈S2mSch��t×�dx�.

On commence par montrer que:∣∣∣∣∑k≥0

ck�t� x� �� ��

∣∣∣∣ ≤ C�1+ �2 + ���44�m2 � (3.8)

ce qui résulte de:

�ck�t� x� �� ��� ≤ C22mk ∀k ≥ 0� (3.9)

et de:

�ck�t� x� �� ��� ≤ CN�24k + �2 + ���44�−

N4 ∀k� N ≥ 0

si ��2 + ���44�14 < 2k−2 ou ��2 + ���44�

14 > 2k+2�

(3.10)

En effet, il y a 5 termes ck�t� x� �� �� tels que 2k−2 ≤ ��2 + ���44� 14 ≤ 2k+2 pour

lesquels on utilise (3.9), et on utilise (3.10) avec N ≥ 2�m� + 1 pour les autres, ce quiimplique bien (3.8):∣∣∣∣∑

k≥0

ck�t� x� �� ��

∣∣∣∣ ≤ 5C�1+ �2 + ���44�m2 + CN�1+ �2 + ���44�

−2�m�4

∑k≥0

2−k

≤ C�1+ �2 + ���44�m2 �

Pour prouver (3.10), on observe que 2k−1 ≤ ��2 + �"�44� 14 ≤ 2k+1 sur le support

de ak�s� y� �� "�. Si ��2 + ���44� 14 < 2k−2, alors ���− ��2 + ��− "�44� 1

4 > 2k−2, donc�24k + �2 + ���44� 1

4 ≤ �1+ 28�14 ���− ��2 + ��− "�44� 1

4 . Si ��2 + ���44� 14 > 2k+2, alors

���− ��2 + ��− "�44� 14 >��2 + ���44� 1

4 /2, donc �24k + �2 + ���44� 14 ≤ �2−4 + 24�

14 ���− ��2

+ ��− "�44� 14 . Dans les deux cas nous obtenons:

�1+ 28�14 ���− ��2 + ��− "�44�

14 /qk ≥ �24k + �2 + ���44�

14 /qk ≥ �24k + �2 + ���44�

18 �

Comme ∈ � ��2d+2�, �ak� ≤ C2�2m+1�k et ck�t� x� �� �� = −bk�t� x� �� �� carak�t� x� �� �� = 0, on en déduit (3.10):

�ck�t� x� �� ��� ≤∫∫

CN�1+ �t − s�2q4k + �x − y�44q4k + ��− ��2/q4k

+ ��− "�44/q4k�−2N+4�m�+2d+7

4 2�2m+1�k ds dy d� d"

≤ CN2�2m+1�k�24k + �2 + ���44�−

2N+4�m�+28

×∫∫

�1+ s2 + �y�44 + �2 + �"�44�−2d+54 ds dy d� d"

≤ CN�24k + �2 + ���44�−

N4 �

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ORDER REPRINTS

718 Szeftel

Pour prouver (3.9), on utilise la formule de Taylor:∣∣∣∣ak�t − s� x− y� �− �� �− "�

− ∑���+���+j+l<2

�jt��x�

l���ak�t� x� �� ���−s�j�−y���−��l�−"��/�!�!j!l!

∣∣∣∣≤ C

∑���+���+j+l=2

2�2m+1−���−2l�k�sjy��l"��

≤ C22mk∑

���+���+j+l=2

��sq2k�j�yqk����/q2k�l�"/qk����

car 1−���−2l+ 12 ����+2l−���−2j�=1− 1

2 ����+2l+���+2j�=−��l+j�/2�≤0.Comme ck = ak − bk et est d’intégrale 1 et paire:

�ck�t� x� �� ���=∣∣∣∣ ∫ ∫ �sq2k� yqk� �/q

2k� "/qk��ak�t − s� x− y� �− �� �− "�

− ∑���+���+j+l<2

�jt��x�

l���ak�t� x� �� ���−s�j�−y���−��l�−"��/�!�!j!l!�ds dy d� d"

∣∣∣∣≤ C22mk

∑���+���+j+l=2

∫∫�sjy��l"�� �s� y� �� "�ds dy d� d" ≤ C22mk�

ce qui implique (3.9). On a donc montré (3.8). De plus, comme ��bk est obtenu enremplaçant ak par �

�ak dans (3.7), on obtient l’équivalent de (3.8) pour les dérivéesde c ce qui implique c ∈ S2mSch��t ×�d

x�. �

3.2. Compléments

Un ensemble V de T ∗��t ×��\ 0� est dit S-conique si �t� x� �� �� ∈ V implique�t� x� �2�� ��� ∈ V pour tout � > 0. Soit Q ∈ OpSmSch��t ×�� de symbole q. Ondéfinit WFSch�Q� comme le complémentaire dans T ∗��t ×��\ 0� du plus grandouvert S-conique V où pour tout N :

���t�x�����q� ≤ C����N�−N �

Dans la suite, on a besoin de composer des opérateurs de SmSch avec desopérateurs S-tangentiels. On a l’analogue de la proposition A.1 de Sjöstrand (1973)pour les opérateurs de SmSch:

Proposition 3.3. Si P ∈ C���−#� #�xd � OpSm1Sch��t × ���� et Q ∈ OpSm2

Sch��t ×�� estproprement supporté et si de plus WFSch�Q� ∩ ��� �′� = 0� = ∅, alors PQ et QP sontdans OpSm1+m2

Sch ��t × �−#� #�xd×��� et leur symbole est asymptotique respectivement à∑ 1�!l!�

l����′pD

ltD

�x′q et

∑ 1�!l!�

l����qD

ltD

�xp.

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 719

Preuve. On commence par établir un analogue de la phase stationnaire. Pour a etb réels, la formule de Taylor implique:

∣∣∣∣ei�a+b� − 2N−1∑k=0

�ib�k

k!N−1∑l=0

�ia�l

l!∣∣∣∣ ≤ �a�N

N ! + �b�2N�2N�! +

�a�NN !

�b�2N�2N�! �

Soit u ∈ C�0 ��t ×�d

x ×�� ×�d� �, et � ≥ 1, on en déduit, grâce à la formule de

Parseval:∫∫∫∫e−i�y�−i�

2s�u�s� y� �� ��ds dy d� d�

= �2��−d−1�−d−2∫∫∫∫

e−i y�� −i s�

�2 u�s� y� �� ��ds dy d� d�

= �2��d+12N−1∑k=0

N−1∑l=0

�−d−2−k−2l

k!l! Dls�l�

(1i

d∑j=1

�yj ��j

)ku�0� 0� 0� 0�+ RN�u� ��

= �2��d+1∑

���+2l≤2N−1

�−d−2−���−2l

�!l! Dls�l�D

�y�

��u�0� 0� 0� 0�+ SN �u� ��� (3.11)

où:

�SN �u� ��� ≤ Cd�N�−d−2−2N

∑���≤2d+3

∑2N≤���+2l≤4N

���s���y��Dls�l�D

�y�

��u�L1��t�d

x���d� �

(3.12)

Soit u ∈ C�0 ��t ×�d

x�. Q est proprement supporté donc continu de C���t

×�dx� dans lui-même. Par conséquent, en approchant l’intégrale définissant Pu par

des sommes de Riemann convergeant dans C���t �dx�:

QPu�t� x� = �2��−d−1∫∫

ei�t+ix�s�t� x� �� ��u��� ��d� d��

où s�t� x� �� �� = e−i�t−ix�Q�t� x�Dt�Dx��p�·� ·� �� �′�ei��·�+�·���. Nous allons utilisercette formule de la phase stationnaire pour montrer:

s�t� x� �� ��− ∑���+2l≤2N−1

1�!l!�

l����qD

ltD

�xp = ���m−2N ��

où m = m1 +m2. s s’écrit:

s�t� x� �� �� = �2��−d−1∫∫∫∫

ei�t−s���−��+i�x−y���−��q�t� x� �� ��

×p�s� y� �� �′�ds d� dy d�� (3.13)

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720 Szeftel

Soit � ∈ C�0 ��� telle que 0 ≤ � ≤ 1, � est égal à 1 sur �0� 1

3 � et son support estinclus dans �0� 1

2 �. Soit s2 défini par:

s2�t� x� �� ��

= �2��−d−1∫∫∫∫

ei�t−s���−��+i�x−y���−��q�t� x� �� ��

×p�s� y� �� �′�(1− �

( ��− ��4 + ��− ��2���4 + ���2

))ds d� dy d��

Sur le support de 1− �

( ��− ��4 + ��− ��2���4 + ���2

)et pour �2 + ���4 ≥ 1, ��− ��4

+ ��− ��2 ∼ 1+ ���4 + ���2 + ���4 + ���2. Par conséquent, soit l’opérateur

J = 1��− ��4 + ��− ��2

d∑j=1

��j − �j�2D2

yj+ ��− ��Ds, alors pour tout k ≥ 0:

Jk�qp�1− ��� = �k�1����� ��m2���� �′�m1

�1+ ���4 + ���2 + ���4 + ���2� k2= �k�1��1+ ���4�− d+1

4 �1+ ���2�−1���� �′�−2k+d+m+2�

où m = m1 +m2. Par intégration par partie et en utilisant tJ = −J , on en déduits2 = �k�1����� �

′�−2k+d+m+2 pour tout k ≥ 0. On a des estimations similaires pour lesdérivées, donc s2 ∈ S−�

Sch ��t ×�dx�. Il reste donc à étudier pour ���4 + ���2 ≥ 1:

s1�t� x� �� �� = �2��−d−1∫∫∫∫

ei�t−s���−��+i�x−y���−��q�t� x� �� ��

×p�s� y� �� �′��( ��− ��4 + ��− ��2

���4 + ���2)ds d� dy d�

= �2��−d−1∫∫∫∫

e−iz"−ir$q�t� x� �+ $� "+ ��

×p�t + r� x+ z� �� �′��( �"�4 + �$�2���4 + ���2

)dr d$ dz d"�

On pose � = ����4 + ���2� 14 et ��2�� ��� = ��� ��. On applique alors (3.11):

s1�t� x� �� �� = �d+2�2��−d−1∫∫∫∫

e−i�z"−i�2r$q�t� x� �2��+ $�� ��"+ ���

×p�t + r� x+ z� �2�� ��′����"�4 + �$�2�dr d$ dz d"= ∑

���+2l≤2N−1

1�!l!�

l����qD

ltD

�xp+ SN �pq� ���

où d’après (3.12) et (3.2):

�SN �pq� ��� ≤ Cd�N�m−2N �

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 721

Par conséquent, �SN �pq� ��� ≤ Cd�N�m−2N . Comme s ≡ s1 mod S−�

Sch ��t × �−#�#�xd×���, on en déduit:

s�t� x� �� ��− ∑���+2l≤2N−1

1�!l!�

l����qD

ltD

�xp = ���m−2N ��

En dérivant (3.13) et en réitérant le même raisonnement, on obtient:

�jt��x�

k��

$�

(s�t� x� �� ��− ∑

���+2l≤2N−1

1�!l!�

l����qD

ltD

�xp

)= ���m−2N−2k−�$���

Enfin, �l����qD

ltD

�xp ∈ Sm1+m2−���−2l

Sch ��t × �−#� #�xd×��� car WFSch�Q� ∩ ��� �′� =0� = ∅. On conclut que s ∈ OpSm1+m2

Sch ��t × �−#� #�xd×��� et admet le développe-ment asymptotique:

s�t� x� �� �� ∼ ∑ 1�!l!�

l����qD

ltD

�xp�

Le raisonnement est analogue pour PQ. �

Un raisonnement analogue (où le lemme de la phase stationnaire habituel suffit)donne:

Proposition 3.4. Si P ∈ OpSm1��d� et Q ∈ OpSm2Sch��t ×�d� est proprement supporté

et si de plus WFSch�Q� ∩ � = 0� = ∅, alors PQ et QP sont dans OpSm1+m2Sch ��t ×�d�

et leur symbole est asymptotique respectivement à∑ 1

�!���pD

�xq et

∑ 1�!�

��qD

�xp.

3.3. Le S-Front d’Onde d’une Distribution

Soit A un opérateur de symbole a ∈ SmSch��t ×��, l’ensemble caractéristique deA est le fermé S-conique défini par:

carSchA = �t� x� �� �� ∈ T ∗��t ×��\ 0�/� lim inf�→+�

�−ma�t� x� �2�� ���� = 0��

Pour u ∈ �′��t ×��, l’ensemble WFSch�u� est alors défini par:

WFSch�u� = ⋂Au∈C�

carSch�A�� A ∈ OpS0Sch��t ×���

Lemme 3.5. Soit g une métrique sur �d et soit u ∈ �′��t ×�� solution de��t + i�g�u = 0 dans �t ×�. On a les équivalences suivantes:

�x0� �0� � WF�u�T� ·��⇔ �T� x0� �� �0� � WFSch�u� pour � vérifiant �+ ���g���� = 0

⇔ �T� x0� �� �0� � WFSch�u� pour tout réel � et �T� x0�±1� 0� � WFSch�u��

Preuve. Comme ��t + i�g�u = 0 et carSch��t + i�g� = �+ ���g���� = 0�, on endéduit WFSch�u� ⊂ �+ ���g���� = 0�. Il suffit donc de démontrer les implications

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ORDER REPRINTS

722 Szeftel

suivantes:

�x0� �0� � WF�u�T� ·��⇒ �T� x0� �� �0� � WFSch�u� pour � vérifiant �+ ���g���� = 0�

et:

�T� x0� �� �0� � WFSch�u� pour tout réel � et �T� x0�±1� 0� � WFSch�u�⇒ �x0� �0� � WF�u�T� ·���

Si �x0� �0� � WF�u�T� ·��, alors il existe �> 0 et p∈ S0 égal à 1 sur un voisinagede �x0� �0� tel que p�x�Dx�u�t� ·� est C�

x avec des semi-normes indépendantes de tdans �T − �� T + ��. Comme u est solution de (4.1), on a en fait ��t�p�x�Dx�u�t� ·� ∈C�tx pour � dans C�

0 ��T − �� T + ���. On peut prendre � = 1 au voisinage de T .Pour tout réel �, il existe q ∈ S0Sch tel que q est elliptique en �T� x0� �� �0�, WF

Sch�q� ∩ � = 0� = ∅ et �p = 1 sur le support de q. Alors, la proposition 3.4 implique�T� x0� �� �0� � WFSch�u� car q�1− �p� ∈ S−�

Sch .Réciproquement, si �T� x0� �� �0� � WFSch�u� pour tout réel � et �T� x0�±1� 0� �

WFSch�u�, alors par compacité de �T� x0�±�1− �4��0�4� 12 � ��0�� 0 ≤ � ≤ ��0�−1�, il

existe qj ∈ S0Sch pour 0 ≤ j ≤ j0 tels que∑j0

j=0 qj�t� x� �� �� = 1 sur un voisinageS-conique �T − �� T + ��×W0 × V0 de �T� x0�±1� 0� et sur:

�t� x� �� ��/�t� ��∈ �T − �� T + ��×�� �x� �� ∈ V1��

où V1 est un voisinage conique de �x0� �0� et tels que qj�t� x�D�u est dans C�tx

pour 0 ≤ j ≤ j0. Soit p ∈ S0 à support dans V1, � ∈ C�0 ��T − �� T + ��� et ! ∈

C�0 �W0�. Alors WFSch��!�1−

∑j0j=0 qj�� ∩ � = 0� = ∅, et la proposition 3.4 implique

p�!�1−∑j0j=0 qj� ∈ S−�

Sch . Donc ��t�p�x�Dx�!�x�u ∈ C�t�x, et comme on peut choisir

� égal à 1 dans �T − �′� T + �′� où 0 < �′ < �, p�x�Dx�!�x�u�t� ·� ∈ C�x avec des

semi-normes indépendantes de t dans �T − �′� T + �′�. Par conséquent �x0� �0� �WF�u�T� ·��. �

Remarque. Ce corollaire fait le lien avec le front d’onde introduit par R. Lascar:

WF�u�T� ·�� = �x� �� ∈ T ∗���\ 0� /�T� x� �� �� ∈ WFSch�u� où �vérifie �+ ���g���� = 0�� (3.14)

et le théorème 2.5 correspond au théorème 4.1 de Lascar (1977).Soit maintenant u ∈ �′��t ×��. On veut définir un S-front d’onde au bord

lorsque u est solution dans L2��t �� de:�u

�t+ i�gu = 0�

u|��� = 0�(3.15)

Soit r et s deux réels. Pour étudier la régularité de u au bord, on introduitl’espace de Sobolev inhomogène�

Hr�sSch��t ×�d� = u ∈ � ��t ×�d�/u�r�′s ∈ L2��t ×�d��� (3.16)

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 723

qui est l’équivalent de l’espace Hr�s de Hörmander (1969). On définit Hr�sSch��t ×�

d

+�comme l’ensemble des u ∈ �′��t ×�d

+� tels qu’il existe U ∈ Hr�sSch��t ×�d� égal à

u sur �t ×�d+. La norme de u est définie par:

�u�Hr�sSch��t�

d+�

= inf �U�Hr�sSch��t�d��

où l’infimum est pris sur l’ensemble des U prolongeant u. Comme dans Hörmander(1969), on voit que:

u ∈ Hr�sSch��t ×�

d

+�⇔ u ∈ Hr−1�s+1Sch ��t ×�

d

+� et �xdu ∈ Hr−1�sSch ��t ×�

d

+��

(3.17)

On voit facilement que:

H0�sSch��t �

d

+� = L2��0�+��xd � HsSch��t ×�d−1��� (3.18)

Si p�t� x�Dt�x′� est un opérateur S-tangentiel d’ordre m, alors p�t� x�Dt�x′� est

continu de H0�sSch��t �

d

+� dans H0�s−mSch ��t ×�

d

+� pour tout réel s par (3.18) et carOp�SmSch��t ×�d−1�� est continu de Hs

Sch��t ×�d−1� dans Hs−mSch ��t ×�d−1�. On en

déduit que p�t� x�Dt�x′� est continu de Hk�sSch��t ×�

d

+� dans Hk�s−mSch ��t ×�

d

+� pourtout réel s et tout entier k grâce à (3.17).

Soit u solution de (3.15). On se place dans un système de coordonnées localesau voisinage du bord �x′� xd� ∈ �d−1 ×� tel que �� = xd = 0� et � = xd > 0�localement. Dans ces coordonnées, �g se réécrit sous la forme:

�g =∑

1≤j�l≤dajl�x��j�l +

∑1≤j≤d

aj�x��j�

et par conséquent�

add�x��2xdu = i�tu−

∑1≤j�l≤d/�j�l� �=�d�d�

ajl�x��j�lu−∑

1≤j≤daj�x��ju� (3.19)

Comme u ∈ L2��t ×��, on peut supposer quitte à tronquer u loin du bord quedans les coordonnées locales u ∈ L2��t ×�d

+� = H0�0Sch��t �

d

+�. �xdu ∈ H−1�0Sch ��t

�d

+�, et (3.19) implique �2xdu ∈ H−1�−1Sch ��t ×�

d

+� donc �xdu ∈ H0�−1Sch ��t ×�

d

+� par

(3.17), puis u ∈ H1�−1Sch ��t ×�

d

+� par (3.17). En réitérant ce raisonnement, on conclutpar réccurence que:

u ∈ ⋂k∈

Hk�−kSch ��t ×�

d

+��

En particulier, pour tout entier k et tout opérateur p�t� x�Dt�x′� S-tangentield’ordre −k:

p�t� x�Dt�x′��kxdu ∈ L2��t ×�d

+�� (3.20)

On peut maintenant définir un S-front d’onde au bord pour u�

Définition 3.6. Soit u solution de (3.15), T > 0, et m ∈ T ∗��t ×�� ∪ T ∗��t

× ���\ 0�.

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724 Szeftel

Si m ∈ T ∗��t ×��\ 0�, on dit que m � WFSchb �u� si m � WFSch�u�.Si m ∈ T ∗��t × ���\ 0�, on note �x′� xd� ∈ �d−1 ×� un système de

coordonnées locales au voisinage de m tel que �� = xd = 0� et � = xd > 0�localement. On dit que m � WFSchb �u� si il existe A ∈ Op�S0Sch��t ×�d−1�� elliptiqueen m et # > 0 tels que:

A�t� x′� Dt�x′�u�t� x′� xd� ∈ C���t ×�d−1

x′ × �0� #�xd �� (3.21)

Remarque. La topologie sur T ∗��t ×�� ∪ T ∗��t × ���\ 0� coïncide avec latopologie de T ∗��t ×��\ 0� sur T ∗��t ×��\ 0� et est définie près du bord par lesbases de voisinage suivantes:

�t� x� �� �� ∈ T ∗��t ×��\ 0�/�t − t0� + �x − x0� + ��− �0� + ��′ − �′0� < #�

∪ �t� x� �� �′� ∈ T ∗��t × ���\ 0�/�t − t0� + �x − x0� + ��− �0� + ��′ − �′0� < #��

où # > 0 et �t0� x0� �0� �′0� ∈ T ∗��t × ���\ 0�. Dans la suite, on définit la topologie

sur T ∗��� ∪ T ∗����\ 0� et T ∗��2 ×�� ∪ T ∗��2 × ���\ 0� de manière analogue.La proposition suivante montre que la définition de WFSchb �u� ne dépend pas du

système de coordonnées choisi.

Proposition 3.7. Si (3.21) est vérifiée par un opérateur A1 ∈ Op�S0Sch��t ×�d−1��elliptique dans un voisinage conique V de m0, alors (3.21) est vérifié dans toutautre système de coordonnées et pour tout opérateur A ∈ Op�S0Sch��t ×�d−1�� tel queWFSch�A� ⊂ V .

Preuve. On adapte la démonstration de la proposition 1.2 de Melrose et Sjöstrand(1978) à notre cas. Soit u le prolongement de u à �t ×�d par 0 hors de �t ×�.Dans un système de coordonnées locales quelconque tel que �� = xd = 0� et � = xd > 0� localement, (3.15) implique:

��t + i�g�u = a�x′��xdu�t� x′� 0�⊗ ��xd��

où a est une fonction C� et � est la mesure de Dirac. Comme carSch��t + i�g� = �+ ���g���� = 0�, il existe Q ∈ S−2

Sch��t �d� inversant �t + i�g dans ��+ ���g����� > c��2 + ���44� 1

4 � ∪ �2 + ���44 ≥ 1�, où c > 0 est assez petit pour que�t� x� 0� 0�±1� appartienne à cet ensemble pour tout �t� x� ∈ �d+1. Alors:

u = Q�a�x′��xdu�t� x′� 0�⊗ ��xd��+ Ru�

où ��+ ���g����� > c��2 + ���44� 14 � ∪ �2 + ���44 ≥ 1� � WFSch�R�. En particulier,

�t� x� 0� 0�±1� � WFSch�R� pour tout �t� x� ∈ �d+1.Comme (3.21) est vérifié avec A = A1 elliptique dans un voisinage S-conique

V de m0, on en déduit que �t� x� �� �′� �d� � WFSch�u� pour tout �t� x� �� �′� ∈ V ettout réel �d (c’est vrai dans tout système de coordonnées locales car WFSch�u� estinvariant par changement de coordonnées). Donc comme WFSch�Ru� ⊂ WFSch�u� ∩WFSch�R�, on en déduit que �t� x� �� �′� �d� et �t� x� 0� 0�±1� n’appartiennent pas à

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 725

WFSch�Ru� pour tout �t� x� �� �′� ∈ V et pour tout réel �d. Soit A ∈ Op�S0Sch��t

×�d−1�� tel que WFSch�A� ⊂ V . Alors par compacité de:

�t� x� �� �′� �d�/�2 + ���44 = 1� �t� x� �� �′� ∈ suppA��

on a ARu ∈ C�. Il reste à montrer que AQ�a�x′��xdu�t� x′� 0�⊗ ��xd�� se prolonge

de 0 < xd ≤ # à 0 ≤ xd ≤ # en une fonction C�. On va adapter le théorème2.1.4 de Hörmander (1966). Par définition de c et Q, Q a pour symboleq�t� x� �� �� ∼ ∑

qj�t� x� �� �� où les qj coïncident avec des fractions rationnelles dans ��+ ���g����� > c��2 + ���44� 1

4 � ∪ �2 + ���44 ≥ 1�. Le choix de c implique l’existencede d > 0 assez grand tel que:

��d� > d��2 + ��′�44�14 ⇒ ��+ ���g����� > c��2 + ���44�

12 �

∀��� �′� ∈ �d� ∀�d ∈ ��

Par conséquent, les qj sont des fonctions holomorphes en �d pour ��d� > d��2

+ ��′�44� 14 et �2 + ���44 ≥ 1. Si �2 + ��′�44 ≥ 1, on désigne par %���′ le contour réunion

dans Im �d ≥ 0 du demi-cercle centré en l’origine et de rayon d��2 + ��′�44� 14 orienté

dans le sens positif et du segment �−d��2 + ��′�44� 14 � d��2 + ��′�44� 1

4 �. Si �2 + ��′�44 < 1,on désigne par %���′ le contour réunion dans Im �d ≥ 0 du demi-cercle centré enl’origine et de rayon r orienté dans le sens positif et du segment �−r� r�, oùr = max��1− �2 − ��′�44� 1

4 � d��2 + ��′�44� 14 �. Soit g ∈ C�

0 ��t ×�d−1x′ � et soit w dans

C�0 ��−�� 0��, alors:Q�g�t� x′�⊗ w�xd��

= �2��−d−1∑j<J

∫eit�+i�x

′��′�( ∫

%���′qj�t� x� �� ��w��d�e

ixd�dd�d

)g��� �′�d� d�′

+ �2��−d−1∫eit�+i�x���Rj�t� x� �� ��g��� �

′�w��d�d� d��

où on a posé RJ = q −∑j<J qj pour J entier. Comme RJ = ���−2−J �, pour tout

J ≥ 0, on peut faire tendre w�xd� vers ��xd�, et on obtient:

Q�g�t� x′�⊗ ��xd��

= �2��−d−1∑j<J

∫eit�+i�x

′��′�( ∫

%���′qj�t� x� �� ��e

ixd�dd�d

)g��� �′�d� d�′

+ �2��−d−1∫eit�+i�x���Rj�t� x� �� ��g��� �

′�d� d��

Puis pour l entier et J > l− 1, on peut dériver l fois sous l’intégrale:

DlxdQ�g�t� x′�⊗ ��xd��

= �2��−d−1∑j<J

∫eit�+i�x

′��′�( ∫

%���′�Dxd

+ �d�lqj�t� x� �� ��e

ixd�dd �d

)g��� �′�d� d�′

+ �2��−d−1∫eit�+i�x����Dxd

+ �d�lRj�t� x� �� ��g��� �

′�d� d��

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726 Szeftel

et en faisant tendre xd vers 0, on obtient:

limxd→0+

DlxdQ�g�t� x′�⊗ ��xd��

= Qlg = �2��−d∫eit�+i�x

′��′�ql�t� x′� �� �′�g��� �′�d� d�′�

où pour J > l− 1:

ql�t� x′� �� �′� = ∑j<J

�2��−1∫%���′�Dxd

+ �d�lqj�t� x

′� 0� �� ��d�d

+ �2��−1∫��Dxd

+ �d�lRj�t� x� �� ��d�d�

Comme∫%���′

Dkxd�ldqj�t� x

′� 0� �� ��d�d est S-homogène de degré l− 1− j pour�2 + ��′�44 ≥ 1 et

∫��Dxd

+ �d�lRj�t� x� �� ��d�d est dans Sl−JSch ��t ×�d−1� pour J > l

− 1, on en déduit que ql est dans Sl−1Sch ��t ×�d−1�, et:

limxd→0+

DlxdAQ�a�x′��xdu�t� x

′� 0�⊗ ��xd�� = AQl�a�x′��xdu�t� x′� 0���

De plus, par (3.21) et le fait que WFSch��u|��� est invariant par changement decoordonnées, V ∩WFSch��u|��� = ∅, donc AQl�a�x′��xdu�t� x

′� 0�� ∈ C���t ×�d−1�pour tout entier l. On en déduit que AQ�a�x′��xdu�t� x

′� 0�⊗ ��xd�� se prolonge de0 < xd ≤ # à 0 ≤ xd ≤ # en une fonction C�. �

4. LA RÉFLEXION DES SINGULARITÉS POURL’ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

4.1. Énoncé du Théorème

Soit � un ouvert extérieur C�. Soit �g le Laplacien associé à la métrique g sur�d tel que �∗g est une métrique de scattering (voir (2.1) et (2.2)). On modifie défini par (2.2) sur un compact de �d de telle manière que ���� = 0<< 1� et�� = = 1�. On note alors M l’image par le difféomorphisme � de �. M est unevariété C� compacte de bord �M = = 0� ∪ = 1� et M ∩ < 1� est analytique.On suppose que �g est autoadjoint pour le produit scalaire usuel de L2���. Soitu0 ∈ L2���, et u l’unique solution dans C0��0�+��� L2���� de:

�u

�t+ i�gu = 0�

u|��� = 0�

u|t=0 = u0�

(4.1)

Soit P l’opérateur différentiel du second ordre sur �2 ×� défini par:

P = �2

�s�t− �g� (4.2)

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Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 727

On lui associe les conditions de Dirichlet sur le bord �2 × ��. Soit p sonsymbole principal et b la projection de T ∗��2 ×�� ∩ p−1�0� dans T ∗��2 ×�� ∪T ∗��2 × ��� égale à l’identité sur T ∗��2 ×�� ∩ p−1�0� et qui envoie �s� t� �x′� 0��$� �� �′� �d� ∈ p−1�0� sur �s� t� �x′� 0�� $� �� �′� ∈ T ∗��2 × ���, où �x′� xd� ∈ �d−1 ×�désigne un système de coordonnées locales tel que �� = xd = 0� et � = xd > 0�localement. Alors &b est l’image de b.

Comme dans Melrose et Sjöstrand (1978), on définit les ensembles &kb:

&0b = &b ∩ T ∗��2 ×��� (4.3)

&1b = m ∈ T ∗��2 × ���/card�b−1�m�� = 2�� (4.4)

G = &b\&0b ∪ &1

b� (4.5)

et pour k ≥ 2 (les définitions suivantes sont indépendantes du choix �x′� xd� descoordonnées locales tel que �� = xd = 0� et � = xd > 0� localement),

&kb = m ∈ G/Hjpxd = 0� j ≤ k− 1� Hk

pxd �= 0 en b−1�m��� (4.6)

Enfin,

&�b = m ∈ G/Hj

pxd = 0� ∀j en b−1�m��� (4.7)

Melrose et Sjöstrand définissent alors le flot brisé de p dans &b\&�b . Soit � �

T ∗��2 ×�� ∪ T ∗��2 × ���→ T ∗��� ∪ T ∗���� la projection canonique. On définitle flot de �g dans T

∗��� ∪ T ∗���� comme la projection par � des bicaractéristiquesde p. Par un point �x� �� ∈ T ∗���\ 0�, il passe une unique bicaractéristique quicorrespond à la projection des bicaractéristiques de p passant par �s� t� x� $� �� ��où t et s sont réels et $� = −���g����. Par un point �x′� 0� �′� ∈ T ∗����\ 0�,il passe une infinité de bicaractéristiques: il existe une bicaractéristique pourchaque réel � tel que �+ ���g���x

′� 0�� �′� 0� ≥ 0 qui correspond à la projectiondes bicaractéristiques de p passant par �s� t� x� 1� �� �′� �d� où t et s sont réels et�d vérifie � = −���g���x′� 0�� �′� �d� (on dira que c’est la bicaractéristique passantpar ��x′� 0�� �′� associée à �). Le flot de �g ainsi défini coïncide avec le flot usueldans T ∗���\ 0� (et avec celui de �H� défini sur �qscS∗M�0 d’après une remarqueprécédente). Soit �1 � T

∗��2 ×�� ∪ T ∗��2 × ���→ T ∗��t ×�� ∪ T ∗��t × ��� laprojection canonique. On définit alors &b par �1�&b ∩ $ = 1��, où $ désigne lavariable duale de s. &b est l’ensemble:

&b = �t� x� �� �� ∈ T ∗��t ×��/�+ ���g��x� �� = 0�

∪ �t� �x′� 0�� �� �′� ∈ T ∗��t × ���/�+ ���g���x′� 0�� ��′� 0�� ≥ 0�� (4.8)

On définit de même &�b par �1�&

�b ∩ $ = 1��. On définit le flot de �t + i�g dans

&b\&�b : une bicaractéristique est l’ensemble des points �T� ��m� ∈ &b\&�

b tels quem décrit une bicaractéristique de �g. t = T et � sont constants le long d’unebicaractéristique de �t + i�g, et par un point de &b\&�

b , il passe une uniquebicaractéristique. En effet, si �T� ��m� ∈ T ∗��t ×��, c’est la bicaractéristique

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728 Szeftel

correspondant à celle de �g passant par m. Si �T� ��m� ∈ T ∗��t × ���, c’est labicaractéristique correspondant à celle de �g passant par m et associée à �.

Nous avons le théorème suivant de réflexion des singularités pour l’équation deSchrödinger:

Théorème 4.1. WFSchb �u� est inclus dans &b, et est invariant sous l’action du flot briséde i�t + �g dans &b\&�

b .

Soit �T� ��m� ∈ &b\&�b , alors la bicaractéristique de �t + i�g qui passe par

�T� ��m� est définie sur l’intervalle maximal �−T−���m�� T+���m��. On dit que�T� ��m� n’est pas piégé en arrière si T−���m� = +� et la projection dans T ∗��� ∪T ∗���� de la bicaractéristique tend vers une limite dans M vérifiant = 0 (labicaractéristique part à l’infini) en −�. On note alors N−����m� ∈ M cette limite.Le corollaire suivant est une conséquence immédiate du théorème 2.7, de (3.14) etdu Théorème 4.1:

Corollaire 4.2. Soit �T� �0�m0� dans &b\&�b non piégé en arrière. Si exp�−TH��

× �N−���0�m0�� � qscWF�u0�, alors �T� �0�m0� � WFSchb �u�.

4.2. Démonstration du Théorème 4.1

En adaptant les outils développés par Lebeau (1992), nous allons nous ramenerà l’étude de l’opérateur hyperbolique (4.2) pour lequel les résultats de Melrose etSjöstrand (1978) s’appliquent.

Nous pouvons supposer:

�u0�L2��� ≤ 1� (4.9)

1− �g avec les conditions de Dirichlet sur le bord de � est un opérateurautoadjoint positif sur L2��� de domaine H2��� ∩H1

0 ��� et de spectre inclusdans �1�+��. Soit E la résolution de l’identité associée à cet opérateur. Alors,pour u dans le domaine de 1− �g, �1− �g�u = ∫ +�

0 � dE���u. De plus, pour toutefonction borélienne f et pour u ∈ L2��� tel que

∫ +�0 �f����2 d�E���u�L2��� < �, on a

f�1− �g�u = ∫ +�0 f���dE���u (voir par exemple Kato (1980)). Soient:

�∈ ]0� 1

2

[et � > 2� (4.10)

On note Jk = �/2k� <√� ≤ 2k�� et Ek le sous espace de L2��� égal à l’image

de la projection E�2k��− E�2k��. On note B l’espace des suites v = �vk�t� x��k≥0 tellesque vk�0 = vk�0� ·� est dans Ek et vérifie �vk�0�L2��� ≤ 1, et vk est solution du problèmed’évolution suivant:

hk�vk�t

+ ih2k�gvk = 0�

vk|��� = 0�

vk|t=0 = vk�0�

(4.11)

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Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 729

où hk = 2−k. Alors:

�vk�t� ·��L2��� ≤ 1 ∀t ∈ �� (4.12)

Soit v' = �v'k�k≥0 un ensemble d’éléments de B dépendant du paramêtre ' ∈ �.

Définition 4.3. Soit 0 ∈ T ∗��t ×�� ∪ T ∗��t × ���\ 0� et '0 ∈ �, on dit que 0n’est pas dans WFb�v

'0� si il existe un opérateur h-pseudodifférentiel de symbolep�t� x� �� �� h� (ou p�t� x� �� �′� h� si 0 ∈ T ∗��t × ���\ 0�) à support compact en�t� x� �� ��, elliptique en 0, ! ∈ C�

0 égale à 1 près de �t0� x0�, 0 = �t0� x0� �0� �0� et� > 0 tel que pour tout N et tout ' dans �'0 − �� '0 + �� on ait:

�Op�p�|h=hk!uk�L2��t×�� = ��2−kN � ∀k ≥ 1� (4.13)

Si p est un opérateur h-pseudodifférentiel de symbole p�t� x� �� �� h�, et u ∈C�

0 ���d�, alors:

Op�p�|h=hku = �2�hk�−d−1

∫∫∫∫e

ihk�t−s��+ i

hk�x−y���

p�t� x� �� �� hk�u�s� y�ds dy d� d��

et on notera cet opérateur également p�t� x� hkDt�x� hk�.Dans la définition 4.3, on utilise des opérateurs pseudodifférentiels tangentiels

définis globalement sur �. On les définit par transport à partir de la situationredressée dans un ouvert de carte locale, puis on les prolonge par 0 hors de cetouvert. Plus précisément, soit p un tel opérateur, alors il existe une carte locale� � U → �d, � et ! dans C�

0 �U� et q�y�Dy′� opérateur pseudodifférentiel tangentielsur �d

+ tel que pour tout u ∈ C�0 ���:

pu�x� = !�x�q���x��Dy′����u�o�−1��x�� (4.14)

Soit � ∈ C�0 ��� telle que support��� ⊂� 14 � 4� et:∑

k≥0

��h2kr� = 1 ∀r ≥ 1� (4.15)

Soit w'k�t� x� = ���h2k�1− �g��u�'+ hkt� ·���x� où u est la solution de (4.1), alors

w'k est solution de (4.11). De plus w'

k�0 = ���h2k�1− �g��u�'� ·���x� et �w'k�0�L2��� ≤ 1

car c’est vrai pour u par (4.9). Enfin, grâce au choix du support de �:

��h2k�1− �g��u�t� x� =∫���h2k��dE���u�t� ·�

=∫

12 h

−1k <

√�<2h−1

k

��h2k��dE���u�t� ·��

Par conséquent, w'k ∈ Ek donc w' ∈ B� ∀' ∈ �.

Lemme 4.4. Soit T > 0 et �T� x0� �0� �0� dans T ∗��t ×��\ 0� (resp. �T� x0� �0� �′0�

dans T ∗��t × ���\ 0�). Si �T� x0� �0� �0� (resp. �T� x0� �0� �′0�) n’est pas dans

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730 Szeftel

WFSchb �u�, alors �0� x0� �2�0� ��0� (resp. �0� x0� �

2�0� ��′0�) n’est pas dans WFb�w

T �pour tout � > 0. Réciproquement, si il existe un réel t0 tel que �t0� x0� �

2�0� ��0� (resp.�t0� x0� �

2�0� ��′0�) n’est pas dans WFb�w

T � pour tout � > 0, alors �T� x0� �0� �0� (resp.�T� x0� �0� �

′0�) n’est pas dans WFSchb �u�.

La démonstration du lemme 4.4 fait l’objet de la partie suivante. Soit v' dans Bdépendant du paramètre ' variant dans �. Pour �s� t� x� dans �2 ×�, on pose:

(�v'��s� t� x� = ∑k≥0

ei2ksv'k�t� x�� (4.16)

C’est une distribution prolongeable à �s ×�t ×�dx , dépendant du paramètre

' dans �, et qui vérifie:�2(�v'�

�s�t− �g(�v

'� = 0�

(�v'�|�s�t�� = 0�(4.17)

Soit )' une distribution sur �s ×�t ×� dépendant du paramêtre ' ∈ �.

Définition 4.5. Soit *0 ∈ T ∗��2 ×�� ∪ T ∗��2 × ���\ 0� et '0 ∈ �, on dit que *0n’est pas dans ˜

WFb�)'0� si il existe un opérateur pseudodifférentiel d’ordre 0, de

symbole p�s� t� x� $� �� �� (ou p�s� t� x� $� �� �′� si *0 ∈ T ∗��2 × ���\ 0�) elliptique en*0 et � > 0 tel que p�s� t� x�Ds�Dt�Dx�)

' est dans C���2 ×�� avec des semi-normes bornées indépendamment de ' dans �'0 − �� '0 + ��.

Soit = �t� x� �� �� ∈ T ∗��t ×��\ 0� (resp. = �t� x� �� �′� ∈ T ∗��t × ���\ 0�),on lui associe ��s� � = �s� t� x� 1� �� �� (resp. ��s� � = �s� t� x� 1� �� �′�).

Lemme 4.6. Pour tout s0 ∈ �, on a pour v' ∈ B dépendant du paramètre ' réel, '0 ∈ �et ∈ T ∗��t ×�� ∪ T ∗��t × ���\ 0�:

0 ∈ WFb�v'0� ⇔ ��s0� 0� ∈ ˜WFb�(�v

'0��� (4.18)

Preuve. Lebeau démontre ce lemme dans Lebeau (1992) dans le cas où v ne dépendpas de '. Les seules hypothèses sur v utilisées sont que 0 ∈ WFb�v� (ou ��s0� 0� ∈WFb�(�v��) et �v�t� ·��L2��� ≤ 1. Or dans notre cas, ces 2 hypothèses sont vraies pourv' uniformément par rapport à ' dans un voisinage de '0 (d’après les définitions 4.3et 4.5, et (4.12)). La démonstration de Lebeau s’adapte donc à notre cas. �

Soit �vk� ∈ B et $ ∈ C�0 ��0�+��� égal à 1 sur ��2� �2�. Alors:

vk = $�h2k�1− �g��vk = hk�1− �g�12

($√s

)�h2k�1− �g��vk�

donc (4.12) entraîne ��1− �g�− 1

2 vk�L2��� ≤ Chk. Comme le domaine de �1− �g�12 est

H10 ���, �1− �g�

− 12 est un isomorphisme de L2��� dans H1

0 ���, donc de H−1���

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Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 731

dans L2��� par dualité. Par conséquent, �vk�H−1��� ≤ Chk. Si v' ∈ B, (�v'� est donc

dans C0��s ×�t ×H−1���� et sa norme est indépendante de '. Le théorème deMelrose et Sjöstrand (1978) se généralise à )' où le front d’onde jusqu’au borddevient le front d’onde uniforme jusqu’au bord de la définition 4.5. On en déduit

que ˜WFb�(�v

'0�� est inclus dans &b et invariant sous l’action du flot brisé de p dans&b\&�

b (voir (4.7)). En utilisant le lemme 4.6, on en déduit l’inclusion:

WFb�v'0� ⊂ �t� x� �� ��/�+ ���g��x� �� = 0�

∪ �t� x′� 0� �� �′�/�+ ���g��x′� 0� �′� ≥ 0�� (4.19)

De plus, on peut démontrer comme dans Lebeau (1992) (G. Lebeau le démontrelorsque w ∈ B est indépendant de ' mais sa démonstration s’applique à notre cas)l’inclusion:

WFb�wT � ⊂ �t� x� �� ��/� ∈ ��2� �2�� ��� ≤ C�

∪ �t� �x′� 0�� �� �′�/� ∈ ��2� �2�� ��′� ≤ C�� (4.20)

où C est une constante ne dépendant que de �g.Comme (�v'� est dans C0��s ×�t ×H−1���� avec une norme indépendante

de ', la proposition 2.1 de Melrose et Sjöstrand (1978) s’adapte aux solutions de

(4.17) dépendant du paramêtre ' et implique que la définition de ˜WFb�(�v

'0�� estindépendante du système de coordonnées choisi. Le lemme 4.6 implique alors lamême chose pour WFb�v

'0�.

Preuve du théorème 4.1. (4.19) et le lemme 4.4 impliquent que WFSchb �u� est inclusdans &b.

Soient �T� ��m1� et �T� ��m2� deux points de &b\&�b sur la même

bicaractéristique de �t + i�g. On suppose que l’arc de bicaractéristique comprisentre �T� ��m1� inclus et �T� ��m2� exclus a une intersection vide avec WFSchb �u�.Comme WFSchb �u� est fermé dans T ∗��t ×�� ∪ T ∗��t × ���\ 0�, pour montrer queWFSchb �u� est invariant sous l’action du flot brisé de i�t + �g, il suffit de montrerque �T� ��m2� n’est pas dans WFSchb �u�. On note m1 = �x1� �1� et m2 = �x2� �2�(m1 = �x1� �

′1� ou m2 = �x2� �

′2� si m1 ou m2 est dans T ∗���� mais nous ne le

précisons pas car les lemmes 4.4 et 4.6 sont valables pour les points interieurscomme pour les points du bord). Supposons par l’absurde que �T� ��m2� est dansWFSchb �u�. Soit t0 > 0 que l’on fixera plus tard. Alors, par le lemme 4.4, il existe� > 0 tel que �t0� x2� �

2�� ��2� ∈ WFb�wT �. Par le lemme 4.6, ��0� �t0� x2� �2�� ��2�� ∈˜

WFb�(�wT��. Comme il existe �T� �� x�� ��� sur la bicaractéristique passant par

�T� ��m1� et �T� ��m2� tel que ��−�2�t0� �0� x�� �2�� ����� et ��0� �t0� x2� �2�� ��2��

sont sur la même bicaractéristique de p, le théorème de Melrose et Sjöstrand

implique ��−�2�t0� �0� x�� �2�� ����� ∈ ˜WFb�(�w

T��. Le lemme 4.6 implique que�0� x�� �

2�� ���� ∈ WFb�wT �. Le lemme 4.4 implique alors que �T� x�� �� ��� estdans WFSchb �u�. De plus, comme �0� x�� �

2�� ���� ∈ WFb�wT �, (4.20) implique � ∈��2/

√�� �2/

√��, ce qui entraîne que �T� �� x�� ��� est sur l’arc de bicaractéristique

compris entre �T� ��m1� inclus et �T� ��m2� exclus si t0 est choisi assez petit.

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732 Szeftel

Ceci est absurde puisque l’arc de bicaractéristique compris entre �T� ��m1� incluset �T� ��m2� exclus a une intersection vide avec WFSchb �u�. �T� ��m2� n’est donc pasdans WFSchb �u�. �

4.3. Démonstration du Lemme 4.4

On commence par démontrer les lemmes 4.7, 4.8, 4.9 et 4.10 qui serviront àdémontrer le lemme 4.4.

Soit Q un opérateur h-pseudodifférentiel sur un voisinage de �. Nousdéfinissons Q� pour v ∈ L2��� par Q�v = �Qv�|�, où v est le prolongement de v ∈L2��� par 0 en dehors de �. Soit g�x� �′� yd� h� une fonction C� et r ∈ � tels quepour tout �k� l�m� n� �� �� ∈ 2d+2:∣∣xkdyld�mxd�nyd��x′���′g∣∣ ≤ C��klmnh

l+k−m−n�1+ ��′��r−k−l+m+n−���� (4.21)

Nous associons à g l’opérateur h-singulier de Green d’ordre r:

Gv = �2�h�−d∫�d−1

∫�d+ei�x

′−y′���′/h�g�x� �′� yd� h�v�y�dy d�′� (4.22)

Remarque. C’est l’adaptation des opérateurs de Green de Boutet de Monvel (1971)dans le cas d’un paramètre h.

Le lemme suivant permet de démontrer la continuité sur L2 des opérateursintervenant dans la suite:

Lemme 4.7. Soit g tel que:

���x′���′g� ≤C(

1+ xdh

)(1+ yd

h

) � (4.23)

pour ��� + ��� ≤ C�d�, où C�d� dépend uniquement de la dimension. Alors G défini par(4.22) est continu sur L2��d

+� de norme ��1�.

Preuve. Par intégration, g vérifie:∥∥∥∥ max���+���≤C�d�

supx′��′

���x′���′g�∥∥∥∥L2xdyd

��2++�≤ Ch� (4.24)

Soit v ∈ C�0 ��

d−1�, nous notons g�x�Dx′ � yd� h� l’opérateur:

g�x�Dx′ � yd� h�v = �2�h�−d+1∫�d−1

∫�d−1

ei�x′−y′���′/h�g�x� �′� yd� h�v�y

′�dy′ d�′�

Par (4.24) et le théorème de Calderon-Vaillancourt (voir Robert, 1987):

�g�x�Dx′ � yd� h����L2��d−1�� ≤ hf�xd� yd��

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 733

où �f�L2xdyd ��2++� ≤ C. Soit u ∈ L2��d+�:

�Gu�L2��d+� =∥∥∥∥�2�h�−1

∫ +�

0g�x�Dx′ � yd� h�u�·� yd�dyd

∥∥∥∥L2��d+�

≤ �2�h�−1

∥∥∥∥∫ +�

0�g�x�Dx′ � yd� h�u�·� yd��L2��d−1� dyd

∥∥∥∥L2��+�

≤ �2�h�−1

∥∥∥∥∫ +�

0hf�xd� yd��u�·� yd��L2��d−1� dyd

∥∥∥∥L2��+�

≤ �f�L2xdyd ��2++��u�L2��d+� ≤ C�u�L2��d+��

Donc G est continu sur L2��d+� de norme ��1�. �

Lemme 4.8. Pour tout N ≥ 2, il existe des opérateurs h-pseudodifférentiels Qj , desopérateurs h-singuliers de Green Gj d’ordre −1− j pour 0 ≤ j ≤ N − 1, et unopérateur SN , tels que:

��h2�1− �g�� =N−1∑j=0

hj�Qj�+Gj�+ hNSN �

De plus, le symbole qj�x� �� de Qj est à support compact en � et l’opérateur SN vérifiepour tout h > 0:

�SN���L2���� ≤ CN � (4.25)

Preuve. Soit �1�x� = ��x − 1� où � est la fonction intervenant dans (4.15). Alors�1 ∈ C�

0 ��0�+��� et ��h2�1− �g�� = �1�1+ h2�1− �g��. De plus, pour tout * > 0(voir Robert, 1987):

�1�1+ h2�1− �g�� =∫ *+i�

*−i����1��s��1+ h2�1− �g��

−s ds� (4.26)

où ���1� est la transformée de Mellin de �1:

���1��s� =∫ +�

0ts−1�1�t�dt�

Enfin, on a

�1+ h2�1− �g��−s = 1

2i�

∫+�

�−s�1+ h2�1− �g�− ��−1 d�� (4.27)

où 0 < � ≤ �/2 et +� est le contour défini par:

+� ={re−i�� r ≥ 1

2

}∪{12ei$� −� ≤ $ ≤ �

}∪{rei�� r ≥ 1

2

}� (4.28)

Aux vues de (4.26), (4.27) et (4.28), nous commençons par la construction d’uneparamétrix à droite de 1+ h2�1− �g�− � avec les conditions de Dirichlet pour

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ORDER REPRINTS

734 Szeftel

� dans

D ={12

}∪{� /Re��� ≥ 0� Im��� �= 0 et ��� ≥ 1

2

}� (4.29)

De plus, pour estimer les différentes normes, nous introduisons l’application d de Ddans �1�+�� définie pour � dans D par

d��� = ����Im���� pour ��� >

12� et d��� = 1 pour ��� = 1

2� (4.30)

Nous allons adapter l’étude de la résolvante de Seeley (1969) au casd’opérateurs h-pseudodifférentiels. L’opérateur elliptique h2�1− �g� s’écrit∑

���≤2 h2−���a��hD��, et nous notons aj�x� �� =

∑���=j a���� 0 ≤ j ≤ 2. Nous

commençons par le cas du demi-espace �d+ = xd > 0�. Nous notons U un ouvert

relativement compact de �d+, tel que 1− �g a ces coefficients C� dans U . Noussupposons que a2�x� �� s’écrit a2�x� �

′� 0�+ a2�x� 0� 1��2d (nous nous ramenons à ce

cas en prenant les coordonnées géodésiques pour �g au voisinage d’un point de��). Nous construisons d’abord une paramétrix à l’intérieur,

∑�j=0 h

jOp�c−2−j�, oùl’opérateur h-pseudodifférentiel Op�c−2−j� est défini par:

Op�c−2−j�f�x� = �2�h�−d∫�d

∫�d+eih �x−y���c−2−j�x� �� ��f�y�dy d��

et les symboles c−2−j�x� �� �� vérifient les équations:{c−2 = �1+ a2 − ��−1�

�1+ a2 − ��c−2−j +∑D��ak�

�xc−2−l/�! = 0� j ≥ 1�

(4.31)

où la somme porte sur l < j et k− ��� − 2− l = −j.Pour que la parametrix vérifie les conditions au bord (xd = 0), nous

introduisons une correction∑�

j=0 hjOp′�d−2−j� où l’opérateur Op′�d−2−j� est défini

par:

Op′�d−2−j�f�x� = �2�h�−d∫�d

∫�d+eih �x′−y′��′�− i

h �dydd−2−j�x� �� �� h�f�y�dy d��

et les symboles d−2−j�x� �� �� h� vérifient pour j ≥ 0 les équations différentielles enxd suivantes:

�1+ a2��x′� 0�� �′� hDxd

�− ��d−2−j

+∑ xndhnn!

[D��′�nak�xnd

]��x′� 0�� �′� hDxd

���x′d−2−l/�! = 0�

d−2−j = c−2−j � en xd = 0�

limxd→+�d−2−j = 0�

(4.32)

où la somme porte sur l < j et k− n− ��� − 2− l = −j.

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 735

Pour tout entier j et pour tout ��� �� dans 2d, nous avons:

��x���c−2−j�x� �� =

2j+���+���∑k=0

ej��k�x� ��ck+1−2 �x� �� ��� (4.33)

où ej��k�x� �� ∈ S−j−���+2k sont des fonctions polynomiales universelles des ��x���al.

En effet, (4.33) pour c−2−j avec ��� �� = �0� 0� implique (4.33) pour c−2−j avec tout��� �� en utilisant la formule de Leibnitz. On démontre alors (4.33) grâce à (4.31) enraisonnant par récurrence sur j et en remarquant que le cas j = 0 est trivial. Commeon a

1+ a2�x� ��

�1+ a2�x� ��− �� ≤ 2 pour ��� = 12�

1+ a2�x� ��

�1+ a2�x� ��− �� ≤���

�Im���� pour Re��� ≥ 0 et Im��� �= 0�

(4.34)

(voir Robert, 1987), (4.33) implique l’estimation suivante pour � ∈ D:���x���c−2−j�x� ��� ≤ Cj���1+ ����−2−j−��� d���2j+���+���+1� (4.35)

Nous définissons:

d−2−j �x� �′� yd� �� h� =

∫�e−

ih yd�dd−2−j�x� �

′� �d� �� h�d�d�

Alors Op′�d−2−j� peut alors se réécrire:

Op′�d−2−j�f�x� = �2�h�−d∫�d−1

∫�d+eih �x′−y′��′�d−2−j �x� �

′� yd� �� h�f�y�dy d�′�

(4.36)

Pour tout entier j et pour tout ��� �� k� l�m� n� dans 2d+2, nous avons:(�xdh

)k(�ydh

)l(h�xd�

)m(h�yd�

)n��x′�

��′d−2−j

= ∑0≤p≤4j+2����+����

∑0≤q+r≤2j+���+���+k+l

�−p−1ejpqrklmn���x′� �′�

(�xdh

)r(�ydh

)q× exp

(− ��xd + yd�

h

)� (4.37)

où ejpqrklmn���x′� �′� ∈ S−j−���+p sont des fonctions polynomiales universelles des

��x���al et � = ��x′� �′� �� est défini par

��x′� �′� �� =(1+ a2�x

′� 0� �′� 0�− �

a2�x′� 0� 0� 1�

) 12

� Re��� > 0�

En effet, (4.37) pour d−2−j avec ��� �� k� l�m� n� = 0 implique (4.37) pour d−2−javec tout ��� �� k� l�m� n� en utilisant la formule de Leibnitz. De plus, d−2−j est

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ORDER REPRINTS

736 Szeftel

solution de

�1+ a2��x′� 0�� �′� hDxd

�− ��d−2−j

+∑ xndhnn!

[D��′�nak�xnd

]��x′� 0�� �′� hDxd

���x′d−2−l /�! = 0�

d−2−j = c−2−j � en xd = 0�

limxd→+�d−2−j = 0�

(4.38)

où la somme porte sur l < j et k− n− ��� − 2− l = −j, et où:

c−2−j �x� �′� yd� �� h� =

∫�e−

ih yd�dc−2−j�x� �

′� �d� ��d�d�

Grâce à (4.33), c−2−j se met sous la forme

c−2−j =∑

0≤p≤4j

∑0≤q≤2j

�−p−1ejpq�x′� �′�

(�ydh

)qexp

(−�yd

h

)� (4.39)

où ejpq�x′� �′� ∈ S−j+p sont des fonctions polynomiales universelles des ��x�

��al. On

démontre alors (4.37) grâce à (4.38) et (4.39) en raisonnant par récurrence sur j eten remarquant que:

d−2�x� �′� yd� �� h� =

12a2�x′� 0� 0� 1���x′� �′� ��

exp(−��x

′� �′� ���xd + yd�

h

)�

(4.40)

(4.37), (4.34) et le fait que �1+ a2 − ��/�1+ a2� ≤ 1+ ��� impliquent l’estimationsuivante pour � ∈ D:

�D�x′D

,�′x

kdy

ldD

mxdDnydd−2−j �x� �

′� yd� �� h��≤ hk+l−n−m�1+ ��′��−1−j−�,�−k−l+m+nd���2j+���+���+ k+l+1

2 �1+ ���� m+n2 � (4.41)

On suit les étapes de Seeley (1969):

(1) Soit et ! des fonctions C� sur �d+, avec des supports disjoints. Nousdésignons par M et M! les opérateurs de multiplication par et !. Alors�lxd�

�x′M Op

′�d−2−j�M! (resp. ��xM Op�c−2−j�M!) est continu sur L2��d+� avec une

norme ��hp−l−���−dd���Cjp�d �1+ ����l/2� (resp. ��hp−���−dd���Cjp�d �) pour tout p.

En effet, si Kl� est le noyau de �lxd��x′M Op

′�d−2−j�M!, alors:

�xd + yd�m�x′ − y′��Kl��x� y� �� h�

= ∑C�1�2�3�1�2l1l2�

�1x′ �

l1xd �x��2�h�−d

∫eih �x′−y′��′�

(�′

h

)�2−�1×�xd + yd�

mh�2��3x′ �

�2�′ �

l2xdd−2−j �x� �

′� yd� �� h�d�′!�y��

où la somme porte sur �1 + �2 + �3 = �, �1 + �2 = � et l1 + l2 = l.

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 737

Comme les supports de et ! sont disjoints, il existe , > 0 tel que Kl� = 0si �x − y� ≤ 2,. Nous pouvons donc supposer que �x − y� ≥ 2,. Si �x′ − y′� ≥ ,,comme e

ih �x′−y′��′� = �h2k/�x′ − y′�2k��k�′e i

h �x′−y′��′�, grâce à des intégrations par partieet à (4.41), l’intégrant est majoré par:

h2k+��1�+��2�−��2�−d+m−l2�1+ ��′��−1−j−2k+��2�+l2−��1�−��2�−m

×d���2j+2k+��3�+��2�+ m+12 �1+ ���� l22

≤ h2k−l−���−d�1+ ��′��−dd���2j+2k+���+���+ m+12 �1+ ���� l2 �

pour 1+ j + 2k− ��� − l ≥ d. Quand xd ≥ , ou yd ≥ ,, comme 1 ≤ �hk/,k���xd + yd�/h�

k, l’intégrant est majoré grâce à (4.41) par:

hk+��1�+��2�−��2�−d+m−l2�1+ ��′��−1−j−k+��2�+l2−��1�−��2�−md���2j+��3�+��2�+ k+m+12 �1+ ���� l22

≤ hk−l−���−d�1+ ��′��−dd���2j+���+���+ k+m+12 �1+ ���� l2 �

pour 1+ j + k− ��� − l ≥ d. Pour tout k tel que 1+ j + k− ��� − l > d, on obtientdonc

�1+ xd + yd + �x′ − y′��d+1�Kl��x� y� �� h�� ≤ Chk−l−���−dd���2j+k+���+d+ 32 �1+ ���� l2 �

On conclut alors grâce au lemme de Schur.Par un raisonnement analogue, nous obtenons la majoration de la norme de

��xM Op�c−2−j�M! comme opérateur continu de L2��d+�.

(2) Soit une fonction C���d+� avec support dans le compact U . Nouscherchons la parametrix sous la forme P2 − P1, où:

P1�K� � �� =K∑j=0

hjOp′�d−2−j�M �

P2�K� � �� =K∑j=0

hjOp�c−2−j�M �

(3) �1+h2�1−�g�− ��P2�K� � ��−M (resp. �1+h2�1−�g�− ��P1�K� � ��)est continu sur L2��d

+� de norme ��hK+1d���C�K�d�� (respectivement de norme��hK+1d���C�K�d��1+ �����). En effet:

�1+ h2�1− �g�− ��P2�K� � ��f −M f

=( ∑

0≤k≤2

h2−kak�x� hDx�+ 1− �

) K∑l=0

hlOp�c−2−l� f − f

= �2�h�−d∫�d

∫�d+eih �x−y���h2−k+���+l∑D�

�ak��xc−2−l/�! f dy d��

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ORDER REPRINTS

738 Szeftel

où la dernière somme porte sur k− ��� − 2− l = −j < −K, grâce aux équationsdéfinissant les c−2−j . Le symbole de �1+ h2�1− �g�− ��P2�K� � ��−M estconstitué d’une somme finie de termes de la forme:

hja�x��$��xc−2−l �y��

où �$� − 2− l = −j < −K ≤ −d. Ce symbole évalué en �x� h�� a ses dérivéesmajorées par:

���x���hja�x��h��$��xc−2−l �y�� ≤ hj+��� d���2l+���+���+���+1

≤ hK+1 d���2K+3+���+����

Le théorème de Calderon-Vaillancourt, le fait que le prolongement par 0 intervenantdans la définition des c−2−j est continu de L2��d

+� dans L2��d� et que la restriction

à �d+ est continue de L2��d� dans L2��d

+�, impliquent que �1+ h2�1− �g�− ��P2�K� � ��−M est continu sur L2��d

+� de norme majorée par ��hK+1d���C�K�d��.La formule de Taylor en xd = 0 permet d’écrire h2�1− �g� sous la forme:

AK + xK+1d h2A = ∑

0≤k≤2

K∑n=0

h2−kxndn!�nak�xnd

��x′� 0�� hDx�+ xK+1d h2A�

où A est un opérateur différentiel d’ordre inférieur ou égal à deux avec descoefficients C�. Alors:

�1+ AK − ��P1�K� � ��f

= ∑0≤k≤2

K∑n=0

h2−kxndn!�nak�xnd

��x′� 0�� hDx�K∑l=0

hlOp′��1d−2−l� f + �1− ��P1�K� � ��f

= �2�h�−d∫�d

∫�d+eih �x′−y′��′�− i

h �dydh2−k+���+l

×∑ xndn![D��′�nak�xnd

]��x′� 0�� �′� hDxd

���x′d−2−l/�! f dy d��

où la dernière somme porte sur k− ��� − n− 2− l = −j < −K, grâce aux équationsdéfinissant les d−2−j . Le symbole de �1+ AK − ��P1�K� � �� est constitué d’unesomme finie de termes de la forme:

hja�x�(xdh

)n�′$−���x′�h�xd�

md−2−l �y��

où �$� +m− ��� − n− 2− l = −j < −K. Le symbole de xK+1d h2AP1�K� � �� se met

également sous cette forme. Par (4.41), on a:(1+ xd

h

) (1+ yd

h

) ∣∣∣��x′���′hja�x� (xdh )n�′$−���x′�h�xd�

md−2−l �y�∣∣∣

≤ Chjd���2l+���+���+���+ n+32 �1+ ���� m2 ≤ hK+1d���5K/2+���+���+7/2�1+ �����

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 739

Par le lemme 4.7, �1+ h2�1− �g�− ��P1�K� � �� est continu sur L2��d+� de norme

��hK+1d���C�K�d��1+ �����.

(4) Comme d−2−j|xd=0 = c−2−j|xd=0, �P2�K� � ��− P1�K� � ���f = 0 en xd = 0.

(5) Soit ! une fonction C���d+� et ��� ≤ 2, alors:

�D�xM!Op

′�d−2−j�f�L2��d+� ≤ Ch��f�L2��d+��

�D�xM!Op�c−2−j�f�L2��d+� ≤ Ch��f�L2��d+��

En effet, pour ��� + �$� ≤ C�d�, (4.41) implique:(1+ xd

h

) (1+ yd

h

)���x′�$�′D�

x!�x�d−2−j �x� �′� yd� �� h��

≤ h−2�1+ ��′��1−jd���2j+C�d�+7/2�1+ ���� ≤ Ch��1+ ��′��1−j �

Le lemme 4.7 montre alors que D�xM!Op

′�d−2−j� est continu sur L2��d+�

pour j ≥ 1 et ��� ≤ 2. De même, le lemme de Calderon-Vaillancourt montre queD�xM!Op�c−2−j� est continu sur L2��d

+� pour j ≥ 0 et ��� ≤ 2.Il reste à montrer que D�

xM!Op′�d−2� est continu sur L2��d

+� pour ��� ≤ 2. Grâceà (4.40), il existe c� > 0 tel que:

��kxd��x′ d−2�x� �′� yd� �� h�� ≤ C�h

−k�1+ ��′��−1+k exp(−c�

xd + ydh

�1+ ��′��)�

(4.42)

D�xM!Op

′�d−2�f est une somme finie de termes de la forme:

D$x!�2�h�

−d∫�d−1

∫�d+eih �x′−y′��′�

(�′

h

)�D-x′D

mxdd−2f dy d�

′�

où �$� + ��� + �-� +m = ���.Ces termes sont de la forme Kf , où:

Kf =∫�d−1

∫�d+eih �x′−y′��′�k�x� �′� yd� �� h�f dy d�

′�

et k = D$x!�2�h�

−d��′/h��D-x′D

mxdd−2 vérifie grâce à (4.42) l’estimation:

�D�x′k� ≤ C�h

−d−��� exp(−c�

xd + ydh

�1+ ��′��)�1+ ��′��−1+���� (4.43)

On note hx′f��

′� yd� =∫e−

ih �y′��′�f�y�dy′. Alors:

hx′Kf�"

′� xd� =∫�d−1

∫ +�

0k�"′� xd� �

′� �� h� hx′f��

′� yd�dyd d�′�

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ORDER REPRINTS

740 Szeftel

où k�"′� xd� �′� yd� �� h� =∫e−

ih �x′��′−"′�k�x� �′� yd� �� h�dx′. Or �1+ ��′ − "′�2�pk =∫

e−ih �x′��′−"′��1+ h2�x′�

pk dx′, donc grâce à (4.43):

�k� ≤ C�h−d−����1+ ��′ − "′�2�−p exp

(−c�

xd + ydh

�1+ ��′��)�1+ ��′��−1+����

On en déduit, pour 2p > d − 1:∫ +�

0

∫�d−1

�k�d�′ dxd ≤ C�h1−d−����1+ ��′��−2+���

∫ +�

0

∫�d−1

�k�d"′ dyd ≤ C�h1−d−����1+ ��′��−2+����

Comme ��� ≤ 2, on en déduit que � hx′Kf�L2��d+� ≤ Ch�� h

x′f�L2��d+� par le lemmede Schur, puis que

�Kf�L2��d+� ≤ Ch��f�L2��d+��

On passe au cas d’un ouvert �. Soit∑ j = 1 une partition de l’unité

subordonnée à un recouvrement de �, et !j = 1 sur le support de j et àsupport inclus dans la même carte. Nous pouvons prendre le nombre de jfini car � est un ouvert extérieur. Si le support de j n’intersecte pas ��,nous définissons P�K� j� !j� �� par P�K� j� !j� �� = M!j

P2�K� j� ��. Sinon, nousdéfinissons P�K� j� !j� �� par P�K� j� !j� �� = M!j

�P2�K� j� ��− P1�K� j� ���. Etenfin, nous définissons:

PK�� =∑P�K� j� !j� ���

Alors, par le premier et le troisième point, �1+ h2�1− �g�− ��P�K� j� !j� ��−M j

est continu sur L2��� de norme ��hK+1d���C�K�d��1+ ����� pour � ∈ D. En sommantsur j, �1+ h2�1− �g�− ��PK�� − I vérifie la même estimation.

Si f ∈ C�0 ���, PK��f est dans le domaine de 1+ h2�1− �g� avec les conditions

de Dirichlet grâce au point 4. Si f ∈ L2���, il existe une suite �fj� de fonctions deC�

0 ��� telle que fj tend vers f dans L2���. Par le cinquième point, PK��fj tend versPK��f dans L2��� et �1+ h2�1− �g��PK��fj converge dans L2���. Par conséquent,PK��f est dans le domaine de 1+ h2�1− �g� avec conditions de Dirichlet pour toutf dans L2���.

��1+ h2�1− �g�− ��−1���L2���� ≤ 1/�1+ h2 − �� car 1+ h2�1− �g� avec lesconditions de Dirichlet est autoadjoint positif. Pour � ∈ D, on en déduit que

��1+ h2�1− �g�− ��−1���L2���� ≤d���

��� �

SoitK ≥ 0 et � dansD. Comme PK���L2���� est dans le domaine de 1+ h2�1− �g�

avec les conditions de Dirichlet:

��1+ h2�1− �g�− ��−1 − PK�����L2����≤ ��1+ h2�1− �g�− ��−1���L2������1+ h2�1− �g�− ��PK�� − I���L2����= ��hK+1d���C�K�d��� (4.44)

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 741

Nous choisissons K = N − 1. Pour 0 < � ≤ �/2 et s tel que Re�s� > 1, nousposons:

Qsj�

= 12i�

∫+�

�−s∑M!k

hjOp�c−2−j�M kd��

Gsj = − 1

2i�

∫+�

�−s∑M!k

hjOp′�d−2−j�M kd��

SsN = h−N12i�

∫+�

�−s��1+ h2�1− �g�− ��−1 − PN−1���d��

où la deuxième somme porte sur les k tels que k intersecte ��. Alors, (4.27)implique que:

�1+ h2�1− �g��−s =

N−1∑j=0

hj�Qsj�

+Gsj�+ hNSsN � (4.45)

On regarde le symbole gsj de Gsj dans des coordonnées telles que � = xd > 0�

et �� = xd = 0� localement. Grâce à (4.36) et comme Re�s� > 1:

gsj �x� �′� yd� h� = − 1

2i�

∫+�

�−sd−2−j �x� �′� yd� �� h�d��

Pour Re�s� > 1+ �m+ n�/2, l’estimation (4.41) implique:

�D�x′D

��′x

kdy

ldD

mxdDnydgsj �x� �

′� yd� h��≤ Chk+l−m−n�1+ ��′��−1−j−���−k−l+m+n

×(∫ �

−�

∣∣∣∣(12ei$)−s∣∣∣∣d$+ ∫ +�

1/2

∣∣�re±i��−s∣∣ ∣∣∣∣ ( 1sin �

)Cj��kl�1+ r�

m+n2

∣∣∣∣dr)

≤ C

(1+ 1

Re�s�− 1− �m+ n�/2

(1

� sin ��)Cj��kl)(

12

)−Re�s�

exp���Im�s����

(4.46)

Si �Im�s�� ≤ 2/�, on prend � = �/2, et si �Im�s�� > 2/�, on prend � = 1/�Im�s��.Alors (4.46) implique que:

�D�x′D

��′x

kdy

ldD

mxdDnydgsj �x� �

′� yd� h�� ≤ C2Re�s�

Re�s�− 1− �m+ n�/2�1+ �Im�s���Cj��kl �

(4.47)

Avec le même choix de �, (4.44) implique

�SsN���L2���� ≤ C2Re�s�

Re�s�− 1�1+ �Im�s���C�N�d�� (4.48)

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ORDER REPRINTS

742 Szeftel

Soit * > 1. Nous posons:

Qj�=∫ *+i�

*−i����1��s�Q

sj�ds� Gj =

∫ *+i�

*−i����1��s�G

sj ds�

et SN =∫ *+i�

*−i����1��s�S

sN ds�

Alors, le choix de �1, (4.26) et (4.45) impliquent:

��h2�1− �g�� = �1�1+ h2�1− �g�� =N−1∑j=0

hj�Qj�+Gj�+ hNSN �

On regarde le symbole gj de Gj dans des coordonnées telles que � = xd > 0�et �� = xd = 0� localement. On a:

gj�x� �′� yd� h� =

∫ *+i�

*−i����1��s�g

sj �x� �

′� yd� h�ds�

Comme l’intégrale est indépendante de * > 1, on peut supposer * > 1+ �m+ n�/2.(4.47) et le fait que ���1��s� est à décroissance rapide sur la droite Re�s� = *� (voirRobert, 1987) impliquent:

�D�x′D

��′x

kdy

ldD

mxdDnydgj�x� �

′� yd� h�� ≤ Chk+l−m−n�1+ ��′��−1−j−���−k−l+m+n

×∫�����1��*+ ir���1+ �r��Cj��kldr� (4.49)

ce qui implique que les Gj sont des opérateurs h-singuliers de Green d’ordre −1− j.Comme ��k��−�2��g��x� ��� est à support compact en �, le fait que les symbolesqj�x� �� de Qj sont à support compact en � découle de l’existence de fonctionspolynomiales universelles ejk des �

�x�

��al telles que:

qj�x� �� =2j∑k=0

ejk�x� ����k�1 �1− �2��g��x� ���

=2j∑k=0

ejk�x� ����k��−�2��g��x� ����

Cette formule découle de (4.33) avec ��� �� = 0 et des propriétés de la transforméede Mellin (voir Robert, 1987). En particulier, qj est dans S

−���d�.L’estimation (4.25) découle de (4.48) et du fait que ���1��s� est à décroissance

rapide sur la droite Re�s� = *�:

�SN���L2���� ≤ C∫�����1��*+ ir���1+ �r��C�N�d� dr� (4.50)

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 743

Soit p�t� x� �� �′� et q�t� x� �� �′� des fonction C� à support compact telles queq = 1 sur le support de p. Grâce à des formules asymptotiques pour la compositionanalogues au cas h-pseudodifférentiel classique, on a le lemme suivant:

Lemme 4.9.

p�t� x� hDt�x′�N−1∑0

hj�Qj�+Gj��1− q�t� x� hDt�x′�� = hNRN � (4.51)

où �RN���L2��t×��� ≤ CN .

Preuve. Nous commençons par les termes du type pQj��1− q�. Soit A un

opérateur de symbole a�x� �� h� C� et à support compact en � et soit B un opérateurh-pseudodifférentiel tangentiel à support compact de symbole b�t� x� �� �′� h� tels quel’un des deux opérateurs est proprement supporté. Soit u ∈ C�

0 ��d+1�, alors:

ABu�t� x� = �2�h�−d∫∫

eih �x−y���+ i

h ��t−s�c�t� x� �� �� h�u�s� y�ds dy d� d��

où c�t� x� �� �� est égale à:

c�t� x� �� �� h� = e−ih �x���A�b�t� �� �� �′� h�e

ih �·����

= �2�h�−d∫∫

eih �x−y��−��a�x� �� h�b�t� y� �� �′� h�dy d�

= �2�h�−d∫∫

e−ih �z�"�a�x� �+ "� h�b�t� x+ z� �� �′� h�dz d"�

Par le théorème de la phase stationnaire:

c�t� x� �� �� h� = ∑���≤N−1

h���

i����!���a�x� �� h��

�xb�t� x� �� �

′� h�+ SN �h��

où �SN �h�� ≤ ChN car les dérivées en �x� �� de a�x� �� h� et b�t� x� �� �′� h� sontbornées indépendamment de �t� x� �� �� h�. En utilisant le théorème de la phasestationnaire pour les dérivées de c�t� x� �� �� h�, nous trouvons le même genre demajoration sur les dérivées de SN �h�, et le théorème de Calderon-Vaillancourtimplique que SN �h� est continu sur L2��d+1� de norme ��hN �. Par conséquent:

AB = ∑���≤N−1

h���

i����!Op����a�x� �� h��

�xb�t� x� �� �

′� h��+ hNRN � (4.52)

où �RN���L2��d+1�� ≤ CN .Comme p est un opérateur tangentiel à support compact et qj�x� �� est à support

compact en �, l’analogue de (4.52) pour BA implique:

pN−1∑j=0

hjQj =N−1∑j=0

hjPj + hNRN �

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ORDER REPRINTS

744 Szeftel

où pj�t� x� �� �� est à support compact en ��� �� inclus dans le support de p�t� x� �� �′�et �RN���L2��d+1�� ≤ CN . Comme q est un opérateur tangentiel à support compactet pj�t� x� �� �� est à support compact en ��� ��, un raisonnement analogue à celuidonnant (4.52) implique:

pN−1∑j=0

hjQj�1− q� =N−1∑j=0

hjP1j + hNR1

N + hNRN�1− q��

où �R1N���L2��d+1�� ≤ CN . De plus, comme q�t� x� �� �′� = 1 sur le support de

p�t� x� �� �′� et comme le support de pj�t� x� �� �� est inclus dans celui de p�t� x� �� �′�,

alors p1j �t� x� �� �� = 0. Donc:

pN−1∑j=0

hjQj�1− q� = hNR2N �

où �R2N���L2��d+1�� ≤ CN car R2

N = R1N + RN�1− q�. Donc, comme p et q sont des

opérateurs tangentiels:

pN−1∑j=0

hjQj��1− q� =

(pN−1∑j=1

hjQj�1− q�

)�

= hNR3N � (4.53)

où �R3N���L2��t×��� ≤ CN car R3

N = R2N�.

On s’intéresse maintenant aux termes pGj�1− q�. Soit g�x� �′� yd� h� ∈ C�x��′�yd tel

que pour tout ��� ��:

���x′���′g� ≤C

�1+ �xd/h���1+ �yd/h��� (4.54)

Soit G l’opérateur de symbole g défini par (4.22) et soit P un opérateur h-pseudodifférentiel tangentiel d’ordre 0 tels que l’un des deux opérateurs estproprement supporté. Après avoir modifié P par un opérateur de ∩hNOp�S−N �, nouspouvons supposer que pour u ∈ C�

0 ��d+1�:

Pu�t� x� = �2�h�−d∫∫

eih �x′−y′��′�+ i

h ��t−s�p�t� x� �� �′� h�'�x′� y′�

× u�s� y′� xd�ds dy′ d� d�′�

où '�x′� y′� une fonction C� à support proche de la diagonale x′ = y′.

PGu�t� x� = �2�h�−d−1∫�d

∫�t×�d+

eih �x′−y′��′�+ i

h ��t−s�c�t� x� �� �′� yd� h�

× u�s� y�ds dy d� d�′�où c s’écrit:

c�t� x� �� �′� yd� h�

= e−ih �x′��′�P�t� x� ��Dx′ � h��g�·� xd� �′� yd� h�e i

h <·��′��

= �2�h�−d+1∫∫

eih �x′−y′��′−�′�p�t� x� �� �′� h�'�x′� y′�g�y′� xd� �

′� yd� h�dy′ d�′�

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 745

= �2�h�−d+1∫∫

e−ih �z′�"′�p�t� x� �� �′ + "′� h�'�x′� x′ + z′�

× g�x′ + z′� xd� �′� yd� h�dz

′ d"′�

Par le théorème de la phase stationnaire:

c�t� x� �� �′� yd� h� =∑

���≤N−1

h���

i����!���′p�t� x� �� �

′� h���x′g�x� �′� yd� h�+ SN �h��

où �SN �h�� ≤ C�1+ �xd/h��−1�1+ �yd/h��

−1. En utilisant le théorème de la phasestationnaire pour les dérivées de c�t� x� �� �′� yd� h�, nous trouvons le même genre demajoration sur les dérivées de SN �h�, et le lemme 4.7 implique que SN �h� est continusur L2��d+1� de norme ��hN �. Par conséquent:

PG = ∑���≤N−1

h���

i����!Op����p�t� x� �� �

′� h���xg�x� �′� yd� h��+ hNRN � (4.55)

où �RN���L2��d+1�� ≤ CN .Comme p est un opérateur h-pseudodifférentiel à support compact et les Gj

vérifient (4.54), nous déduisons de (4.55):

pN−1∑j=0

hjGj =N−1∑j=0

hjG1j + hNRN �

où g1j �t� x� �� �′� yd� h� est à support en �t� x� �� �′� inclus dans le support de

p�t� x� �� �′� et �RN���L2��d+1�� ≤ CN . Comme q est un opérateur tangentiel à supportcompact et g1j vérifie (4.54), l’équivalent de (4.55) pour GP (qui se démontre de lamême manière en tenant compte du fait qu’ici g est en plus à support compact en�t� x� �� �′�), implique:

pN−1∑j=1

hjGj�1− q� =N−1∑j=0

hjG2j + hNR1

N + hNRN�1− q��

où �R1N���L2��d+1�� ≤ CN . De plus, comme q�t� x� �� �′� = 1 sur le support de

p�t� x� �� �′� et comme le support en �t� x� �� �′� de g1j �t� x� �� �′� yd� h� est inclus dans

celui de p�t� x� �� �′�, alors g2j �t� x� �� �′� yd� h� = 0. Donc:

pN−1∑j=1

hjGj�1− q� = hNR2N � (4.56)

où �R2N���L2��d+1�� ≤ CN . Finalement, (4.53) et (4.56) impliquent (4.51). �

Lemme 4.10. Pour tout entier N ≥ 0, pour tout l ≥ k ≥ 0,

��1�h2l �1− �g��q��h2k�1− �g�����L2��t×��� = �

(( hlhk

)Nhk

−r)�

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ORDER REPRINTS

746 Szeftel

où r est un entier, � et �1 ∈ C�0 ��� sont nulles au voisinage de 0, et q�t� x�Dt�x�

est la composée d’un opérateur pseudodifférentiel tangentiel proprement supportéq1�t� x�Dt�x′� d’ordre 0 et d’un opérateur différentiel en variables d’espace q2�x�Dx�d’ordre r.

Preuve. On utilise ici des opérateurs pseudodifférentiels tangentiels définisglobalement sur �t ×� qui sont construits comme en (4.14). On commencepar montrer la proposition au rang 0. q = q1q2, et q1 ∈ ��L2��t ×���,donc q appartient à ��L2��t� H

r����� L2��t ×���. De plus, ��h2�1− �g�� ∈��L2����Hr���� et ���h2�1− �g�����L2����Hr ���� ≤ Ch−r . En effet, en utilisant ladéfinition de ��h2�1− �g�� grâce à la résolution de l’identité E de 1− �g, on a:

���h2�1− �g�����L2���� ≤ C� (4.57)

où C = ���L����. Soit n un entier et v dans:

v ∈ H2n���/�jgv|�� = 0� 0 ≤ j ≤ n− 1��

qui est le domaine de �1− �g�n, alors on a l’équivalence des deux normes:

C1�v�H2n��� ≤ ��1− �g�nv�L2��� ≤ C2�v�H2n���� (4.58)

où C1 et C2 sont des constantes. On suppose que r est un entier pair. Comme��h2�1− �g��f est dans le domaine de �1− ��

r2 pour tout f ∈ L2���, on déduit de

(4.58):

���h2�1− �g�����L2����Hr ���� ≤ C��1− �g�r2 ��h2�1− �g�����L2����

≤ Ch−r��s r2 ���h2�1− �g�����L2���� ≤ Ch−r �

Enfin, c’est encore vrai pour tout r entier par interpolation. Donc:

��1�h2l �1− �g��q��h2k�1− �g�����L2��t×���

≤ ��1�h2l �1− �g�����L2�����q���L2��t �Hr �����L2��t×������h2k�1− �g�����L2����Hr ����

≤ Ch−rk �

ce qui démontre la proposition au rang 0.Supposons la proposition vraie au rang N . On a:

�1�h2l �1− �g��q��h

2k�1− �g�� = h2l

(�1s

)�h2l �1− �g���1− �g�q��h

2k�1− �g��

=(hlhk

)2(�1s

)�h2l �1− �g��q�s���h

2k�1− �g��

+h2l(�1s

)�h2l �1− �g���−�g� q���h2k�1− �g���

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 747

Comme �−�g� q� est une somme finie de composée d’opérateurspseudodifférentiels tangentiels d’ordre 0 et d’opérateurs différentiels en espaced’ordre r + 1, l’hypothèse de réccurence appliquée aux deux derniers termes del’inégalité précédente implique:

��1�h2l �1− �g��q��h2k�1− �g�����L2��t×���

≤ C

(hlhk

)2(hlhk

)Nh−rk + Ch2l

(hlhk

)Nh−r−1k

≤ C

(hlhk

)N+1

h−rk �

ce qui implique la réccurence au rang N + 1. �

Preuve du lemme 4.4. On commence par le sens direct. On se place sur le bord de�, le cas intérieur étant analogue. Il existe � > 0, un voisinage W0 de x0 et V0 tel que�T − �� T + ��×W0 × V0 est un voisinage S-conique de �T� x0� �0� �

′0�, et si p�t� x� �� �

′�est un opérateur S-tangentiel d’ordre 0 à support dans �T − �� T + ��×W0 × V0,alors p�t� x�Dt�x′�u est C�. Soit � > 0 et q�x� �� �� ∈ C�

0 �W0 × V0� elliptique en�x0� �

2�0� ��0�. Soit �T ′ − T � < �/2 et soit � ∈ C�0 ��− �/2� �/2��. On va montrer que

pour tout entier N et tout �T ′ − T � < �/2:

��1− �g�N��t�q�x� hkDt� hkDx′�u�hk · +T ′� ·��L2��t×�� ≤ CNh

−1k · (4.59)

Un calcul donne:

��t��q�x� hkDt� hkDx′�u�hk · +T ′� ·���t� x�=(�

(t − T ′

hk

)q�x� h2kDt� hkDx′�u

)�hkt + T ′� x�� (4.60)

Soit q1 un opérateur S-tangentiel d’ordre 0 à support dans �T − �� T + ��×W0

× V0 tel que q1 = 1 sur le support de ���t − T ′�/hk�q�x� h2k�� hk�′� pour tout entier k

et tout �T ′ − T � < �/2. Quitte à multiplier u par une troncature en temps égale à 1 auvoisinage de t = T , ce qui ne change ni WFSchb �u� au voisinage de t = T , ni WFb�w

T �au voisinage de t = 0, et comme u ∈ C0��0�+��t� L2����, on peut supposer que u ∈L2��t ×��. Comme q�x� h2k�� hk�

′� a ses semi-normes bornées indépendamment dek comme opérateur S-tangentiel d’ordre 0, et comme q1�t� x�Dt�x′�u est C�

tx :

��1− �g�Nq�x� h2kDt� hkDx′�q1�t� x�Dt�x′�u�L2��t×�� ≤ CN�

et on en déduit:∥∥∥∥�1− �g�N�

(t − T ′

hk

)q�x� h2kDt� hkDx′�q1�t� x�Dt�x′�u

∥∥∥∥L2��t×��

≤ CN � (4.61)

On a:

�1− �g�Nq�x� h2kDt� hkDx′��1− q1�t� x�Dt�x′�� =

2N∑j=0

qj�k�N �jxd�

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ORDER REPRINTS

748 Szeftel

où qj�k�N �t� x� �� �′� est un opérateur S-tangentiel d’ordre 2N − j dont les semi-

normes sont bornées indépendamment de k car q�x� h2k�� hk�′� a ses semi-normes

bornées indépendamment de k comme opérateur S-tangentiel d’ordre 0. D’après laformule asymptotique pour la composition des opérateurs de SmSch:

qj�k�N = q1j�k�N + q2j�k�N �

où q2j�k�N est opérateur S-tangentiel d’ordre −j avec des semi-normes bornéesindépendamment de k, et le symbole de q1j�k�N est tel que ���t − T ′�/hk�q1j�k�N = 0grâce au choix de T ′, q, � et q1. Par conséquent:

(t−T ′

hk

)�1−�g�Nq�x�h2kDt�hkDx′��1−q1�t�x�Dt�x′��= �

(t−T ′

hk

) 2N∑j=0

q2j�k�N �jxd�

De plus, comme u ∈ L2��t ×�� est solution de (4.1), pour tout entier k et 0 ≤j ≤ 2N (3.20) implique:

�q2j�k�N �jxdu�L2��t×�� ≤ CN�

ce qui implique:∥∥∥∥�1− �g�N�

(t − T ′

hk

)q�x� h2kDt� hkDx′��1− q1�t� x�Dt�x′��u

∥∥∥∥L2��t×��

≤ CN �

(4.62)

(4.60), (4.61) et (4.62) impliquent (4.59).Soit p�t� x� �� �′� h� un opérateur h-pseudodifférentiel tangentiel à support

compact elliptique en �0� x0� �2�0� ��

′0� et ! dans C�

0 ��t ×�� égal à 1 près de �0� x0�tels que p est proprement supporté et q� = 1 sur le support de p!.

p�t� x�Dt�x′�|h=hk�!��h2k�1− �g��u�hk · +T ′� ·��= p�t� x�Dt�x′�|h=hk�!��h2k�1− �g�����t�q�x� hkDt�x′�u�hk · +T ′� ·���+p�t� x�Dt�x′�|h=hk�!��h2k�1− �g���1− ��t�q�x� hkDt�x′��u�hk · +T ′� ·���× ��h2k�1− �g�����t�q�x� hkDt�x′�u�hk · +T ′� ·��

= h2Nk

(�

rN

)�h2k�1− �g���1− �g�

N ���t�q�x� hkDt�x′�u�hk · +T ′� ·���

ce qui joint à (4.59) implique ���h2k�1− �g�����t�q�x� hkDt�x′�u�t� ·���L2��� = ��hNk �.Par conséquent:

�p�t� x� hkDt�x′�|h=hk�!��h2k�1− �g�����t�q�x� hkDt�x′�u�hk · +T ′� ·����L2���= ��hNk �� �T − T ′� ≤ �/2� (4.63)

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 749

Soit N ≥ 0 fixé, nous avons par le Lemme 4.8:

p�t� x� hDt�x′ � h��!��h2�1− �g���1− ��t�q�x� hDt�x′��u�hk · +T ′� ·��

= p�t� x� hDt�x′ � h�!N−1∑j=0

hj�Qj�+Gj��1− ��t�q�x� hDt�x′��u�hk · +T ′� ·�

+hNp�t� x� hDt�x′ � h�!SN �1− ��t�q�x� hDt�x′��u�hk · +T ′� ·�� (4.64)

Par (4.25) et comme u ∈ L2��t ×��:

�p�t� x� hDt�x′ � h�!SN �1− ��t�q�x� hDt�x′��u�hk · +T ′� ·��L2��t×�� ≤ CNh−1/2k ·

(4.65)

Comme �q = 1 sur le support de p�t� x� �� �′� h�!�t� x�, on obtient par (4.51):∥∥∥∥p�t� x� hDt�x′ � h�!N−1∑j=0

hj�Qj�+Gj��1− ��t�q�x� hDt�x′��u�hk · +T ′� ·�

∥∥∥∥L2��t×��

= ��hN ��

ce qui joint à (4.64) et (4.65) implique:

�p�t� x� hDt�x′ � h�!��h2�1− �g���1− ��t�q�x� hDt�x′��u�h�+ T ′� ·��L2��t×��

= ��hN �� (4.66)

Finalement, pour �T ′ − T � < �/2, par (4.66) et (4.63):

�p�t� x�Dt�x′�|h=hk�!��h2k�1− �g��u�hk · +T ′� ·���L2��t×�� = ��hNk �� (4.67)

Par conséquent, �0� x0� �2�0� ��

′0� n’est pas dans WFb�w

T �. Comme leraisonnement est indépendant de � > 0, c’est vrai pour tout � > 0.

Démontrons le sens réciproque. Supposons que �t0� x0� �2�0� ��

′0� � WFb�wT �

pour tout � > 0. Par (4.20) et par compacité de � ∈ ��2� �2�� ��� ≤ C� ∪ � ∈��2� �2�� ��′� ≤ C� dans T ∗��t ×�� ∪ T ∗��t × ���\ 0�, il existe � > 0, # > 0, unvoisinage W0 de x0 et V0 tels que �t0 − #� t0 + #�×W0 × V0 est la réunion d’unvoisinage S-conique de �t0� x0� �0� �

′0� et d’un voisinage de �t0� x0� 0� 0�, et tel que

si le support de l’opérateur h-pseudodifférentiel p�t� x� �� �′� h� est inclus dans�t0 − #� t0 + #�×W0 × V0 et celui de ! ∈ C�

0 ��t ×�� dans �t0 − #� t0 + #�×W0, alors�p�t� x�Dt�x′�|h=hk!wT ′ �L2��t×�� = ��2−kN � pour tout T ′ dans �T − �� T + ��.

Soit un voisinage W1 de x0 et V1 tel que �t0 − #� t0 + #�×W1 × V1 est la réuniond’un voisinage S-conique de �t0� x0� �0� �

′0� et d’un voisinage de �t0� x0� 0� 0�, et tel

que l’adhérence de W1 × V1 est incluse dans W0 × V0. Soit p�x� �� �� à support dansW0 × V0, et ��t� à support dans �t0 − #� t0 + #� avec ��t0� = 1 et p = 1 sur W1 ×V1. On veut estimer ���t�p�x�Dt�x′�|h=hk!��h2k�1− �g��u�T

′ + hk·� ·��L2��t �Hm���� pour

tout m ≥ 0. Soit l ≥ 2k et m ≥ 0, le Lemme 4.10 implique:

��1− �g�m��h2l �1− �g���p��h

2k�1− �g��u�L2��t×��

= h−2ml ��sm���h2l �1− �g���p��h

2k�1− �g��u�L2��t×�� = ��h−2m+N

l h−Nk ��

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ORDER REPRINTS

750 Szeftel

Comme ��h2l �1− �g���p��h2k�1− �g��u est dans le domaine de �1− �g�

m avecconditions de Dirichlet, (4.58) donne:

���h2l �1− �g���p��h2k�1− �g��u�L2��t �H

2m���� ≤ ��h−2m+Nl h−Nk �� (4.68)

Pour N > 2m, on obtient grâce à (4.68):∥∥∥∥ ∑l≥2k

��h2l �1− �g���p��h2k�1− �g��u

∥∥∥∥L2��t �H

2m����

≤ ��hN−4mk ��

Par conséquent:∥∥∥∥ ∑l≥2k

��h2l �1− �g���p��h2k�1− �g��u

∥∥∥∥L2��t �H

2m����

≤ ��hNk �� (4.69)

Soit 0 ≤ l < 2k et m ≥ 0, alors:

�1− �g�m��h2l �1− �g����t�p�x� hkDt�x′�w

T ′k

= h−2ml �rm���h2l �1− �g����t�p�x� hkDt�x′�w

T ′k �

donc, comme l < 2k, et par choix de p, �, � et �:

��1− �g�m��h2l �1− �g����t�p�x� hkDt�x′�w

T ′k �L2��t×��

≤ Cmh−2ml ���t�p�x� hkDt�x′�w

T ′k �L2��t×�� ≤ ��hNk ��

Alors, comme �1− �g�m��h2l �1− �g����t�p�x� hkDt�x′�w

T ′k est dans le domaine de

�1− �g�m avec conditions de Dirichlet, on en déduit que, pour �T − T ′� ≤ �:

���h2l �1− �g����t�p�x� hkDt�x′�wT ′k �L2��t �H

2m���� ≤ ��hNk ��

Par conséquent, pour tout �T − T ′� ≤ �:∥∥∥∥ 2k−1∑l=0

��h2l �1− �g����t�p�x� hkDt�x′���h2k�1− �g��u�hk · +T ′� ·�

∥∥∥∥L2��t �H

2m����

≤ ��hNk �� (4.70)

D’après (4.15), (4.69) et (4.70), pour tout �T − T ′� ≤ �:∥∥∥∥��t�p�x� hkDt�x′���h2k�1− �g��u�hk · +T ′� ·�

∥∥∥∥L2��t �H

2m����

≤ ��hNk �� (4.71)

Grâce à (4.60), (4.1) et (4.71), pour tout m ≥ 0:∥∥∥∥(�( t − T ′

hk

)p�x� h2kDt� hkDx′���h

2k�1− �g��u

)�hk · +T ′� ·�

∥∥∥∥H1��t �H

2m����

≤ ��hNk �� (4.72)

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 751

En particulier, comme H1��t� L2���� s’injecte dans L���t0 − 1� t0 + 1�� L2����,

en t = t0:

�p�x� h2kDt� hkDx′���h2k�1− �g��u�hkt0 + T ′� ·��H2m��� ≤ ��hNk �� (4.73)

car ��t0� = 1. Ceci est valable pour tout T ′ dans �T − �� T + ��. Soit un entier k0 telque hk0 �t0� ≤ �/2, alors pour tout T ′′ dans �T − �/2� T + �/2� et tout k ≥ k0, il existeT ′ dans �T − �� T + �� tel que T ′′ = hkt0 + T ′. Par conséquent, (4.73) implique:

�p�x� h2kDt� hkDx′���h2k�1− �g��u�T

′� ·��H2m��� ≤ ��hNk �� (4.74)

pour tout T ′ dans �T − �/2� T + �/2�. Donc (4.1) et (4.74) impliquent pour toutentier l:

��lt�p�x� h2kDt� hkDx′���h2k�1− �g��u��L���T−�/2�T+�/2��H2m���� ≤ ��hNk �� (4.75)

Soit �1�t� ∈ C�0 ��T − �/2� T + �/2��, alors (4.75) entraîne:

�1�t�∑k≥0

p�x� h2kDt� hkDx′���h2k�1− �g��u ∈ C�

t�x� (4.76)

On suppose de plus que �1 = 1 sur �T − �′� T + �′�, où 0 < �′ < �/2. Soitq�t� x� �� �′� un opérateur S-tangentiel d’ordre 0 elliptique en �T� x0� �0� �

′0� à support

dans �T − �′� T + �′�×W1 ×V1. (4.15) implique:

q�t�x�Dt�x′�u=q�t�x�Dt�x′�∑k≥0

��h2k�1−�g��u

=q�t�x�Dt�x′�∑k≥0

�1�t�p�x�h2kDt�hkDx′���h

2k�1−�g��u+q�t�x�Dt�x′�

×∑k≥0

�1−�1�t�p�x�h2kDt�hkDx′����h2k�1−�g��u� (4.77)

(4.76) implique que q�t� x�Dt�x′�∑

k≥0 �1�t�p�x� h2kDt� hkDx′���h

2k�1− �g��u est

C�t�x. Il reste donc à montrer que q�t� x�Dt�x′�

∑k≥0�1− �1�t�p�x� h

2kDt� hkDx′��

× ��h2k�1− �g��u est C�t�x. Comme �1�t�p�x� h

2k�� hk�

′� est un opérateur S-tangentiel d’ordre 0 avec des semi normes bornées indépendamment de k, et�1�t�p�x� h

2k�� hk�

′� = 1 sur le support de q pour tout k par choix du support de q,q�t� x�Dt�x′��1− �1�t�p�x� h

2kDt� hkDx′�� est un opérateur S-tangentiel d’ordre −�

avec des semi normes bornées indépendamment de k. Par conséquent, pour toutentiers k et l:

�q�t� x�Dt�x′��1− �1�t�p�x� h2kDt� hkDx′���

lt���L2��t×��� ≤ Cl� (4.78)

(4.1) implique:

q�t� x�Dt�x′��1− �1�t�p�x� h2kDt� hkDx′����h

2k�1− �g��u

= h2Nk q�t� x�Dt�x′��1− �1�t�p�x� h2kDt� hkDx′��

(�

rN

)�h2k�1− �g���1− �g�

Nu

= h2Nk q�t� x�Dt�x′��1− �1�t�p�x� h2kDt� hkDx′���1− i�t�

N

(�

rN

)�h2k�1− �g��u�

(4.79)

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ORDER REPRINTS

752 Szeftel

ce qui joint à (4.78), (4.57) et au fait que u ∈ L2��t ×�� donne:

�q�t� x�Dt�x′��1− �1�t�p�x� h2kDt� hkDx′����h

2k�1− �g��u�L2��t×�� ≤ ��hNk ��

(4.80)

En utilisant la décomposition de l’identité en∑

0≤l<2k ��h2l �1− �g��+∑

l≥2k ��h2l �1− �g�� et le Lemme 4.10, on obtient pour tout entier m par un

raisonnement analogue à celui menant à (4.71):

�q�t� x�Dt�x′��1− �1�t�p�x� h2kDt� hkDx′����h

2k�1− �g��u�L2��t �H

2m����

≤ ��hNk �� (4.81)

(4.1) et (4.81) impliquent par un raisonnement analogue à celui menant à (4.76):

q�t� x�Dt�x′�∑k≥0

�1− �1�t�p�x� h2kDt� hkDx′����h

2k�1− �g��u ∈ C�

t�x� (4.82)

(4.77), (4.76) et (4.82) impliquent �T� x0� �0� �′0� � WFSchb �u�. �

Soient u0 ∈ L2���, h ∈ C���t × ���, f ∈ L2loc��0�+��� L2���� et u l’unique

solution dans C0��0�+��� L2���� de:�u

�t+ i�gu = f�

u|��� = h�

u|t=0 = u0�

(4.83)

On peut étendre le Théorème 4.1:

Théorème 4.11. Soit m0 ∈ T ∗����\ 0� et T > 0. Si f est C�t�x dans un voisinage V de

�T� �x′0� 0�� dans �t ×� où m0 = ��x′0� 0�� �′0�, alors le Théorème 4.1 est encore vrai si

u est solution de (4.83).

Preuve. On regarde la régularité au voisinage de t = T , donc on peut supposer h etf à support compact par rapport à t. Il existe alors un relèvement h ∈ H+���t ×��de h, ce qui permet de se ramener au cas où h = 0. De plus, on peut supposer f ∈L2��0�+��� L2���� ∩ L1��0�+��� L2����. Comme précédemment, on peut supposerque:

�u0�L2��� + �f�L1��0�+���L2���� ≤ 1� (4.84)

ce qui implique �u�t� ·��L2��� ≤ 1 pour tout t ≥ 0.On note B l’espace des suites v = �vk�t� x��k≥0 telles que vk�0 = v�0� ·� est dans

Ek, qu’il existe �fk�t� x��k≥0 vérifiant �vk�0�L2��� + �fk�L1��0�+���L2���� ≤ 1 et fk�t� ·� ∈Ek� ∀k ≥ 1 et telles que vk est solution du problème d’évolution suivant:

hk�vk�t

+ ih2k�gvk = h2kfk�

vk|��� = 0�

vk|t=0 = vk�0�

(4.85)

Alors �vk�t� ·��L2��� ≤ 1� ∀t ∈ �.

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 753

Soit w'k�t� x� = ���h2k�1− �g��u�'+ hkt� ·���x� et f 'k �t� x� = ���h2k�1− �g��

× f�'+ hkt� ·���x� où u et f vérifient (4.83), ' ∈ � et � vérifie (4.15).Le Lemme 4.4 reste vrai. En effet, l’équation vérifiée par u intervient uniquement

pour montrer (3.20) le passage de (4.71) à (4.72), de (4.74) à (4.75) et de (4.79) à (4.80).(3.20) est encore vrai, car seul la régularité de u au voisinage de �T� �x′0� 0�� intervient,et f est C� au voisinage de �T� �x′0� 0��. Dans les autres cas, grâce aux propriétés dessupports des différents opérateurs intervenant et à la décomposition de l’identité en∑

l<2k ��h2l �1− �g��+

∑l≥2k ��h

2l �1− �g��, on remarque qu’il suffit de montrer:

���h2�1− �g��f�L2�V1� = ��hN �� (4.86)

où V1 est un voisinage de �T� �x′0� 0�� dans �t ×�. On peut également supposer V1 ⊂V . Soit alors �j ∈ C�

0 ���� j = 1� 2 à support compact dans V tels que �2 = 1 sur lesupport de �1 et �1 = 1 sur V1. Pour prouver (4.86), il suffit de montrer pour l entier:

��1��h2�1− �g���

ltf�L2��t�� = ��hN �� (4.87)

Or:

�1��h2�1−�g���ltf

=�1��h2�1−�g���lt�2f+�1��h

2�1−�g���lt�1−�2�f

=h2N�1

( �rN

)�h2�1−�g���1−�g�N�lt�2f+h−l�1��h

2�1−�g���h�t�l�1−�2�f�

Le premier terme du membre de droite est ��h2N � en norme L2��t ×�� d’après(4.57) et le fait que f estC�

t�x�V�. Le second terme est ��hN � en norme L2��t ×�� grâceau Lemme 4.8, au fait que f ∈ L2��0�+��� L2���� et enmontrant un Lemme analogueau Lemme 4.9. Finalement on a bien (4.87) et par conséquent (4.86).

Soit v' dans B dépendant du paramêtre ' variant dans dans�. Pour �s� t� x� dans�2 ×�, on pose(�v'��s� t� x� = ∑

k≥0 ei2ksv'k�t� x� et(�f

'��s� t� x�=∑k≥0 e

i2ksf 'k �t� x� ·(�v'� vérifie:

�2(�v'�

�s�t− �g(�v

'� = (�f'��

(�v'�|�s�t�� = 0�(4.88)

Le Lemme 4.6 reste vrai car l’équation portant sur v n’intervient pas.Enfin, soit T > 0, � > 0 et W voisinage de �x′0� 0� dans � tels que �T − �� T + ��

×W ⊂ V . Comme f ∈ C�x�t�V�, on démontre de la même manière que (4.86) que:

��rs�lt�1− �g�m2 ei2

ks��h2k�1− �g��f�T + 2−kt� ·��L���s �L2��−����×W��

≤ 2�r+l+m�k��2−kN ��

Par conséquent (�fT � ∈ C�s�t�x��s× �−�� ��×W�. On peut donc appliquer le

théorème de Melrose et Sjöstrand à(�wT� au voisinage des points ��s� 0� �x′0� 0�� �� �′�

pour s ∈ � et��� �′� ∈ �� ×�d−1�′ . On démontre alors le Théorème 4.1 de la même

manière que pour u solution de (4.1). �

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754 Szeftel

5. L’OPÉRATEUR DE NEUMANN POURL’ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

On se propose d’appliquer les résultats de réflexion des singularités obtenus pourl’équation de Schrödinger à la détermination de l’opérateur de Neumann de cetteéquation dans le cas duLaplacien plat (�g = �) et d’un ouvert� tel�d\� est convexe.

Soit T > 0, et soit h ∈ H 72Sch��0� T �×��� tel que h|t=0 = �th|t=0 = 0, il existe une

unique solution dans H2Sch��0� T ��� de:

�u

�t+ i�gu = 0�

u|��� = h�

u|t=0 = 0�

(5.1)

On peut consulter Lions and Magenes (1968, tome 2 chapitre 5.12) pour unedémonstration de ce résultat.

On appelle opérateur de Dirichlet–Neumann l’opérateur N� � h→ �u|�t×�� de

H72Sch�loc��t × ��� dans H

12Sch�loc��t × ���. On va chercher une approximation de N�

par un opérateur de OpS1Sch��t × ���.

5.1. Factorisation de L’opérateur de Schrödinger

On note Ig la première forme fondamentale associé à la métrique g restreinte à ��.On définit alors les régions de glancing , hyperbolique � et elliptique �:

= �t� �� p� ∈ T ∗��t × ���/−�+ Ig�p� p� = 0�� (5.2)

� = �t� �� p� ∈ T ∗��t × ���/−�+ Ig�p� p� < 0�� (5.3)

� = �t� �� p� ∈ T ∗��t × ���/−�+ Ig�p� p� > 0�� (5.4)

Soit L = �t + i�g. Comme dans Halpern et Rauch (1995) dans le cas d’équationsparaboliques, on se place dans les coordonnées géodésiques pour la métrique g. Auvoisinage de�t × ��, L est de la forme suivante:

L = −iD2xd− .−1�xd.Dxd

− ∑1≤j�k≤d−1

.−1�xj �.gjk�Dxk

− i∑

1≤j�k≤d−1

gjkDxjDxk

+ iDt�

(5.5)

où . = �det gj�k�12 et gjk = �g−1�j�k.

On a alors la factorisation suivante de L dans T ∗��t × ���\ par la méthode deNirenberg (voir Halpern et Rauch, 1995; Nirenberg, 1976):

Proposition 5.1. On se place dans les coordonnées géodésiques. Alors, il y a desopérateurs A�x�Dt�Dx′� et B�x�Dt�Dx′� dans C

���−#� #�xd � OpS1Sch�T ∗��t × ���\ ��avec des symboles:

A�x� �� �′� ∼ ∑j≥0

A1−j�x� �� �′��

B�x� �� �′� ∼ ∑j≥0

B1−j�x� �� �′��

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Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 755

où Ak et Bk sont homogènes de degré k en �12 et �, c’est à dire Ak�x� �

2�� ��′� =�kAk�x� �� �

′� et Bk�x� �2�� ��′� = �kBk�x� �� �′� pour tout � > 0. A et B satisfont:

L = −i�Dxd+ A��Dxd

+ B�modC���−#� #�xd � OpS−�Sch �T

∗��t × ���\ ���B1 ∈ i�− dans � et B1 ∈ �+dans� � (5.6)

Preuve.

�Dxd+ A��Dxd

+ B� = D2xd+ �A+ B�Dxd

+ AB + �Dxd� B�

∼ D2xd+ �A+ B�Dxd

− i�B

�xd

+ ∑Op������′A�x� �� �

′�D�t�x′B�x� �� �

′��/�!�car AB ∼ ∑

Op������′A�x� �� �′�D�

t�x′B�x� �� �′��/�! au sens de Lascar (1977):

A�x� �� �′�B�x� �� �′�− ∑���+2l≤N

�l����′A�x� �� �

′�DltD

�x′B�x� �� �

′�/�! est dans

C���−#� #�xd � OpS1−NSch �T∗��t × ���\ ���

D’après l’expression de L, nous déduisons:

(i) A+ B = −i.−1�xd.�

(ii) −i �B�xd

�x� �� �′�+∑�����′A�x� �� �

′�D�t�x′B�x� �� �

′�/�! = ∑1≤j�k≤d−1

gjk�j�k

−∑1≤j�k≤d−1

.−1�xj �.gjk�i�k − ��

De (i) nous déduisons que Ak + Bk = 0 si k �= 0 et A0 + B0 = −i.−1�xd..Puis nous utilisons l’égalité des termes homogènes d’ordre 2 dans (ii):

A1B1 = −�+ ∑1≤j�k≤d−1

gjk�j�k·

DoncB1 = i�−�+ Ig�x���′� �′��

12 où le choix de la racine carrée est tel queB1 vérifie

la deuxième relation de (5.6).Puis en utilisant l’égalité des termes homogènes d’ordre 1− j dans �ii�, on déduit

la valeur de B−j en fonction de B1� � � � � B1−j ce qui donne l’existence et l’unicitéde B−j par récurrence. Enfin, la relation entre B1� � � � � B1−j et B−j , et le fait que1/B1 ∈ C���−#� #�xd � OpS1Sch�T ∗��t × ���\ �� impliquent que B−j ∈ C���−#� #�xd �OpS

−jSch�T

∗��t × ���\ �� par récurrence. �

5.2. L’opérateur de Neumann

On va donner une expression de l’opérateur de Neumann dans le cas où �g = �(et donc g est la métrique euclidienne) et�d\� est convexe.

Le théorème suivant montre que−iB est une bonne approximation de N� hors dela région .

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756 Szeftel

Théorème 5.2. Soit h ∈ H 72Sch�loc��0� T �×��� tel que h|t=0 = �th|t=0 = 0 et c > 0

tel que ��t� x�Dt�Dx′�h ∈ C�t�x pour tout � ∈ S0Sch��t × ��� dont le support est

dans �t� x′� �� �′�/�� − �+ Ig�x′���′� �′��/�′2� ≤ c�. Soit u solution de (5.1). Alors

Dxdu|�t×�� + Bh est dans C���t × ���.

Preuve. Soit T > 0, et supposons que h est nulle pour 0 ≤ t ≤ T . Alors la solutionu de (5.1) vérifie u ≡ 0 pour 0 ≤ t ≤ T . Par conséquent, Dxd

u|�t×�� + Bh restreinte à�0� T � est dans C���0� T �×���. Quitte à tronquer h pour t grand, on peut supposer

que h est à support compact dans �0�+��×��. On en déduit que h ∈ H 72Sch��t × ���.

u est alors dans H2Sch��0� T ��� pour tout T > 0.

Il existe un recouvrement fini de �� par des cartes locales. Il suffit alorsde démontrer le théorème 5.2 pour h à support en x dans l’un quelconque deces voisinages. Dans ce qui suit, on suppose donc que h est à support compactdans �0�+��t×V0 où V0 est un ouvert de carte locale. On note supportx�h� = x′/∃ t ∈� et �t� x′�∈ support�h��.

Soit " ∈ C�0 ���, égale à 1 dans un voisinageW0 de supportx�h�× xd = 0� dans�

et à support dans V0× �−#� #�xd où # est défini dans la proposition 5.1. Soient ��x� �� �′�et !�x� �� �′� dans C���−#� #�xd � S0Sch��t × ���� réels positifs, indépendants de xd auvoisinage de ��, égaux à 1 sur �x� �� �′�/��−�+ Ig�x���

′� �′��/�′2� ≥ c� et à supportdans �x� �� �′�/��−�+ Ig�x���

′� �′��/�′2� ≥ c1 et xd ∈�− #� #��, 0 < c1 < c, tel que� = 1 sur le support de !.

Lemme 5.3. Soit B� l’opérateur de C���− #� #�xd � OpS1Sch��t × ���� obtenu par

transport depuis la situation redressée à partir de∑

j≥0 ��x� �� �′�B1−j�x� �� �′�. Il existe

une solution U dans C0��0� #�xd � H72Sch��t × ���� du problème suivant:{

�Dxd+ B��"U ∈ C���t ×W0��

"U |��� = "h�(5.7)

Preuve. " est à support dans V0 ouvert de carte locale. La carte locale correspondantes’écrit ��·� 0� � V0 → �d−1 où � � V0× �−#� #�xd→ �d est un difféomorphisme sur sonimage. � � �t × V0 → �t ×�d−1 est défini par ��t� x� = �t� ��x��. Soit "1 ∈ C�

0 ���,égale à 1 dans un voisinage du support de " et à support dans V0× �− #� #�xd . Onpose h = �"1h�o�

−1 sur �t × ��V0�, et on prolonge h à �t ×�d−1 par 0. On pose

Bw = "1o�−1B��"1�wo���o�

−1 pour w ∈ C�0 ��t ×�d

x�. Alors h ∈ H 72Sch��t ×�d−1

x′ � etB ∈ C���− #� #�xd � OpS

1Sch��t ×�d−1

x′ ��. On va montrer qu’il existe une solution U ∈C0��0� #�xd � H

72Sch��t ×�d−1

x′ �� du problème suivant:{�Dxd

+ B�U = 0� dans�t ×�d−1x′ × �0� #�xd

U |xd=0 = h�(5.8)

� ≥ 0, � = 0 sur et B1 vérifie (5.6), donc le symbole principal de B� vérifieRe�i�B1� ≥ 0. Par conséquent, comme "1 ≥ 0, le symbole principal de B vérifieRe�iB1� ≥ 0. Soit +r l’opérateur de OpSrSch��t ×�d−1

x′ � de symbole �′r , où r ∈ �.

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Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 757

Alors le symbole principal de i+rB+r + i+rB∗+r est positif. En utilisant l’inégalité deGårding du Lemme 3.2, on voit que pour V ∈ C0��0� #�xd � H

r+1/2Sch ��t ×�d−1

x′ ��:

�+r�iB + �iB�∗�+rV� V� ≥ −C�V�2HrSch��t×�d−1

x′ ��

Si h est dans HrSch��t ×�d−1

x′ �, si U est dans C0��0� #�xd � Hr+1/2Sch ��t ×�d−1

x′ �� etdans C1��0� #�xd � H

rSch��t ×�d−1

x′ ��, et si U vérifie (5.8), alors U vérifie l’estimation apriori suivante:

�U�C0��0�#�xd �HrSch��t×�d−1

x′ �� ≤ C�h�HrSch��t×�d−1

x′ �� (5.9)

car �V�HrSch��t×�d−1

x′ � = �+rV�L2��t×�d−1x′ � pour tout V ∈ Hr

Sch��t ×�d−1x′ �.

Soit 0 < � ≤ 1 et J� ∈ OpS−�Sch ��t ×�d−1

x′ � de symbole e−��′. Alors soit B� =

BJ�. B� ∈ C���−#� #�xd � OpS−�Sch ��t ×�d−1

x′ ��, B�� 0 < � ≤ 1� est un sous ensembleborné de OpS1Sch��t ×�d−1

x′ � et B�V tend vers BV dans Hr−2Sch ��t ×�d−1

x′ � quandV ∈ Hr

Sch��t ×�d−1x′ �. Alors, par le théorème de Cauchy-Lipschitz, il existe U� ∈

C1��0� #�xd � HrSch��t ×�d−1

x′ �� solution de:{�Dxd

+ B��U� = 0� dans�t ×�d−1x′ × �0� #�xd

U�|xd=0 = h�

Grâce à (5.9) qui est valable pour B� avec C indépendant de � et grâce authéorème d’Ascoli, on peut extraire une sous suite de U� qui converge vers U ∈C0��0� #�xd � H

r−3/2Sch ��t ×�d−1

x′ �� solution de (5.8). Pour montrer que U appartientà C0��0� #�xd � H

rSch��t ×�d−1

x′ ��, il suffit d’utiliser le résultat d’existence qu’on vientde démontrer avec r + 5/2 au lieu de r, la densité de H

r+5/2Sch ��t ×�d−1

x′ � dansHrSch��t ×�d−1

x′ � et l’estimation (5.9).

Finalement, on a montré l’existence de U ∈ C0��0� #�xd � H72Sch��t ×�d−1

x′ ��

solution de (5.8). En posant U = "1�Uo��, U ∈ C0��0� #�xd � H72Sch��t × ���� est

solution de (5.7). En effet, comme U est solution de (5.8) et "1 = 1 sur le support de ":

�Dxd+ B��"U = �Dxd

"+ �B�� "��U�

Donc U est solution de (5.7) car " = 1 sur W0. �

Soit v = "u− !�x�Dt�Dx′��"U�. Alors v|�t×�� = �1− !�x�Dt�Dx′��"h, doncv|�t×�� ∈ C�

t�x′��t × ��� par hypothèse sur h. De plus, par (5.6) et les propriétés de �et !:

L!�x�Dt�Dx′� = −i�Dxd+ A���Dxd

+ B��!�x�Dt�Dx′�+ R�

où R ∈ C���−#� #�xd � OpS−�Sch ��t × ����. Comme u est solution de (5.1), on en déduit:

Lv = �L� "�u+ i�Dxd+ A���Dxd

+ B�� !�"U

+ i�Dxd+ A��!��Dxd

+ B��"U�− R"U� (5.10)

�L� "�u = 0 dans�t ×W0 car " = 1 sur W0.

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758 Szeftel

�Dxd+ B�� !�"U = �Dxd

!+ �B�� !��"U . Dxd! est nul dans un voisinage de

�t × ��. �B�� !� est dans C���− #� #�xd � OpS

−�Sch ��t × ����, et comme U appartient

à Ck��0� #�xd � H72−kSch ��t × ���� pour tout entier k, �B�� !�"U est C� dans �t

× �0� #�xd×��. Finalement, �Dxd+ A���Dxd

+ B�� !�"U est C� dans un voisinage de�t × �� dans�t ×�.

�Dxd+ A��!��Dxd

+ B��"U� est C� dans un voisinage de�t ×W0 d’après (5.7).

Enfin, R"U est C� dans �t × �0� #�xd×�� car U ∈ Ck��0� #�xd � H72−kSch ��t × ����

pour tout entier k et R ∈ C���− #� #�xd � OpS−�Sch ��t × ����.

Comme u est dans H2Sch��0� T�×�� pour tout T > 0 et U ∈ C0��0� #�xd � H

72Sch��t

× ����, on en déduit que "u et !�x�Dt�Dx′�"U sont dans C0��0�+��t� L2����.Finalement, v est solution dans C0��0�+��t� L2���� du problème suivant:{Lv = f�v|�×�� = h1�

(5.11)

où f est C� dans un voisinage de �t ×W0 et h1 ∈ C�t�x′��t × ���. On va montrer que

les bicaractéristiques de �g qui arrivent sur T∗�V0� ne sont pas dans le front d’onde de

u et !�x�Dt�Dx′�"U .Comme�g = � et�d\� est convexe, les projections dans� des bicaractéristiques

de �g sont soit des droites ne rencontrant pas ��, soit des droites tangentes à ��, soitla réunion de 2 demi-droites se réfléchissant sur ��. Chaque bicaractéristique n’estdonc pas piégée en arrière, et chaque bicaractéristique incidente arrive de l’infini enrestant dans T ∗���. Par conséquent, comme le prolongement u de u par 0 dans �+

t×�d vérifie (2.8) avec f = ih⊗ ������+ i�u|�� ⊗ ��� et u0 = 0, les bicaractéristiquesincidentes de u ne sont pas dans WF�u�T� ·�� par le théorème 2.7.

On admet pour l’instant le lemme suivant que l’on démontrera plus tard.

Lemme 5.4. Les bicaractéristiques qui arrivent sur T ∗�W0 ∩ ��� ne sont pas dansWF�!�x�Dt�Dx′�"U�T� ·�� pour tout T > 0.

Soit T > 0 et m0 = ��x′0� 0�� �′0� ∈ T ∗�W0 ∩ ���, alors les bicaractéristiques qui

arrivent sur m0 ne sont pas dans WF�u�T� ·�� ni dans WF�!�x�Dt�Dx′�"U�T� ·��, doncelle ne sont pas dans WF�v�T� ·��. D’après (3.14) et le théorème 4.1 (qui s’appliqued’après le théorème 4.11), �T� ��m0� � WFSchb �v� pour tout réel �. Or ceci est vrai pourtoutm0 dans T

∗�W0 ∩ ���, donc v est C�t�x jusqu’au bord au voisinage de tout point de

W0 ∩ ��. Par conséquent, Dxdv|�t×W0∩�� ∈ C�

t�x.De plus, comme " et !�x�Dt�Dx′� sont indépendant de xd au voisinage de

�t × �� et U vérifie (5.7), Dxdv|�t×W0∩�� = "�Dxd

u|�t×W0∩�� + B�h� modulo un termedans C���×W0 ∩ ���. Comme " = 1 sur �×W0, on en déduit que Dxd

u|�t×��+ B�h est C�t�x dans�t ×W0 ∩ ��.

Soit T > 0 et m0 = ��x′0� 0�� �′0� ∈ T ∗���\supportx�h)). Comme h ∈ H 7

2Sch��t

× ���� tel que h|t=0 = �th|t=0 = 0, il existe un relèvement h de h dans H4Sch��t ×���

tel que h|t=0 = 0. De plus, on peut supposer h ∈ C�t�x dans un voisinage de ��t

× ���\support(h) dans�t ×�. Alors w = u− h vérifie:{Lw = −Lh�w|�×�� = 0�

(5.12)

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ORDER REPRINTS

Réflexion des Singularités pour L’équation de Schrödinger 759

Les bicaractéristiques qui arrivent sur m0 ne sont pas dans WF�u�T� ·��. Parconséquent, elles ne sont pas dans WF�w�T� ·�� dans le voisinage de m0 où h ∈C�t�x. D’après (3.14) et en appliquant le Théorème 4.1 à w (ce qui est licite d’après

le Théorème 4.11), �T� ��m0� � WFSchb �w� pour tout T > 0, pour tout réel � et pourtout m0 ∈ T ∗���\supportx�h)). Finalement, �T� ��m0� � WFSchb �u� pour tout T > 0,pour tout réel � et pour tout m0 ∈ T ∗���\supportx�h)) car WFSchb �u� coïncide avecWFSchb �w� là où h est C�

t�x. Donc u|�t��\W0et Dxd

u|�t��\W0sont C�

t�x. Par conséquent,Dxd

u|�t��\W0+ B�h|�t��\W0

est C�t�x.

Finalement Dxdu|�t�� + B�h est C�

t�x. Comme ��x� �� �′� est égal à 1 dans �x� �� �′�/��−�+ Ig�x���

′� �′��/�′2� ≥ c et xd ∈�−#� #��, B�h = Bh+ C�t�x par

hypothèse sur h. Donc Dxdu|�t×�� + Bh est C�

t�x. �

On démontre maintenant le lemme 5.4:

Preuve. On rappelle que c > 0 est la constante qui intervient dans les propriétés de h,��x�Dt�Dx′� et !�x�Dt�Dx′�. Soit 0 < e < 1

2 assez petit tel que:

��d� ≤ e� et�−�+ Ig��

′� �′���′2 ≥ c2

4⇒ �−�+ Ig��

′� �′���2

≥ 4e2� (5.13)

Soit � ∈ C�0 ��� tel que support(�)⊂�−e�+�� et � ∈ C�

0 �� ∩W0�. Soit � ∈S0��d� de symbole ���d/< �����x�. On va montrer que ��x�Dx�!�x�Dt�Dx′�"U ∈C���t ×W0 ∩��.

Soit c telle que ��� + Ig��′� �′� ≤ c��′�2. Soit 0 < d0 < 1 tel que:

�′

�≤ d0 ⇒

��d��

> d0� (5.14)

et d1 = min�d0/2� d0/2√2c� > 0. Enfin, soit $ et $1 dans C�

0 ��� tels que $ = 1 si�s� ≥ d4

1, $ = 0 si �s� ≤ d41/16, $1 = 1 si �s� ≥ 16d4

1 et $1 = 0 si �s� ≤ d41. $���

′/��4�et $1���

′/��4� sont dans S0Sch��t ×��. D’après la proposition 3.3, $���′/��4��Dxd+ B�� ∈ S1Sch��t× �−#� #�xd×���.De plus, soit R la région défini par:−e ≤ �d

�≤ e

�−�+ Ig��′� �′��

�2≥ 4e2

�′

�≥ d1 et � = 1�

ou e ≤ �d�

�′

�≥ d1 et � = 1�

(5.15)

Dans R, le symbole de $���′��4��Dxd

+ B�� est égal à �d + B1, c’est à dire à �d+ ��− Ig��

′� �′��12 . Si −e ≤ �d/� ≤ e:

��d + ��− Ig��′� �′��

12 � ≥ ��− Ig��

′� �′�� 12 − ��d� ≥ 2e� − e� = e��

Si �d/� ≥ e:

Re ��d + B1� ≥ �d ≥ e��

car Re B1 ≥ 0 d’après (5.6). Donc $���′/��4��Dxd+ B�� est elliptique dansR. SoitQ ∈

S−1Sch��t× �−#� #�xd×��� inversant $���′/��4��Dxd

+ B�� au voisinage de R. Alors, par

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le choix du support de �, de $1 et de !:

��x�Dx�$1

((�′

)4)!�x�Dt�Dx′�Q$

((�′

)4)�Dxd

+ B��

= ��x�Dx�$1

((�′

)4)!�x�Dt�Dx′�+ OpS−�

Sch ��t× �−#� #�xd×����

Donc:

��x�Dx�$1

((�′

)4)!�x�Dt�Dx′�"U ∈ C���t ×W0 ∩��� (5.16)

De plus, L ∈ S2Sch��t ×�� est elliptique sur le support de 1− $1���′/��4�. En

effet, �′/� ≤ 2d1 ≤ d0 sur le support de 1− $1���′/��4�. Donc grâce à (5.14) et à la

définition de c et de d1:

i��L�

�2= −�+ Ig��

′� �′�+ �2d�2

≥ d20 −

��� + Ig��′� �′�

�2≥ d2

0 −c�′2

�2

≥ d20 − 4cd2

1 ≥d20

2�

Soit Q1 ∈ S−2Sch��t×�−#� #�xd×��� inversant L au voisinage du support de

1− $1���′/��4�. Alors:(

1− $1

((�′

)4))Q1L = 1− $1

((�′

)4)+ OpS−�

Sch ��t×�−#� #�xd×����

Donc �1− $1���′/��4��!�x�Dt�Dx′�"U ∈ C���t ×W0 ∩�� ce qui implique avec

(5.16) que ��x�Dx�!�x�Dt�Dx′�"U ∈ C���t ×W0 ∩��.Alors, pour tout T > 0 et m = �x� �′� �d� ∈ T ∗�W0 ∩�� tel que �d/��� > −e, m �

WF�!�x�Dt�Dx′�"U�T� ·��. Donc les bicaractéritiques de �g qui arrivent sur T∗�W0 ∩

��� ne sont pas dans WF�!�x�Dt�Dx′�"U�T� ·�� pour tout T > 0. �

REMERCIEMENTS

Nous tenons à remercier J. M. Delort pour ses conseils, sa disponibilité et sesnombreuses relectures.

RÉFÉRENCES

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Received January 2003Revised September 2003

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