Résolution de Problèmes Hautes Fréquences Par Les Schémas Équivalents - Cours Et Exercices Corrigés - Cépaduès

Résolution de problèmes

Hautes Fréquences par les schémas équivalents

Cours et Exercices corrigés

Nathalie RavEu et Olivier PigagliO

Cépaduès-éditions111, rue Nicolas vauquelin31100 Toulouse – France

Tél. : 05 61 40 57 36 – Fax : 05 61 41 79 89www.cepadues.com

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N 43° 34’43,2’’E 001° 24’21,5’’

© CEPAD 2012 ISBN : 978.2.36493.013.1

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Dépôt légal : avril 2012

Sommaire

Remerciements vii

Préface ix

Introduction xi

Partie I Cours 1

Chapitre 1 Généralités sur les guides d�ondes 31.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Relations entre composantes transverses et longitudinales . . . . 5

1.2.1 Modes TE et TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Mode TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Orthonormalisation de la base . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Admittance de mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Admittance de mode TE, TM et TEM . . . . . . . . . . . 91.3.2 Admittance ramenée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chapitre 2 Résolution par les schémas équivalents 152.1 Domaines d�application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Milieu homogéne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Conditions aux limites mixtes : sources virtuelles . . . . . 172.2.3 Source électromagnétique : générateur de Thévenin et de

Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4 Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Simpli�cation par symétrie et invariance . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Rappel sur les symétries électriques et magnétiques . . . . 212.3.2 Symétrie parallèle à la section transverse . . . . . . . . . . 222.3.3 Symétrie perpendiculaire à la section transverse . . . . . . 242.3.4 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

iii

Sommaire

Partie II Exercices corrigés 27

Chapitre 3 Equations de dispersion 313.1 Modes LSE / LSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 333.1.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Ligne micro-ruban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 413.2.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Ligne coplanaire épaisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 503.3.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Ligne bilatérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 603.4.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Chapitre 4 Les discontinuités en guides d�ondes 714.1 Changement de hauteur, guide rectangulaire . . . . . . . . . . . . 76


4.2 Changement de largeur, guide rectangulaire . . . . . . . . . . . . 844.2.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 854.2.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3 Changement de diamètre, guide circulaire . . . . . . . . . . . . . 914.3.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 924.3.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Excitation mode de résonance de cavité rectangulaire par sondescoaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 1004.4.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

iv

Résolution de problèmes Hautes Fréquences par les schémas équivalents

Chapitre 5 Les discontinuités épaisses en guides d�ondes 1095.1 Iris capacitif épais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


5.2 Iris inductif épais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 1205.2.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3 Iris capacitif épais centré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 1285.3.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.4 Iris rectangulaire centré épais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.4.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.4.2 Résolution par les schémas équivalents . . . . . . . . . . . 1385.4.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.4.4 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Partie III Annexes 147

Annexe A Rappels mathématiques 149A.1 Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.1.1 En coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . 149A.1.2 En coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . 149A.1.3 Autres formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A.2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150A.3 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.3.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.3.2 Zéros des fonctions de Bessel Jn(x) et leurs dérivées J 0n(x) 151

A.4 Convention Bra-ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Annexe B Conditions aux limites 157B.0.1 Démonstration de la condition de Dirichlet véri�ée par Ez 158B.0.2 Démonstration de la condition de Neumann véri�ée par Hz158

Annexe C Bases modales 161C.1 Plans métalliques in�nis et parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . 161C.2 Plans magnétiques in�nis et parallèles . . . . . . . . . . . . . . . 164C.3 Guide rectangulaire à parois métalliques . . . . . . . . . . . . . . 166C.4 Guide rectangulaire à parois magnétiques . . . . . . . . . . . . . 170

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Sommaire

C.5 Guide rectangulaire à parois horizontales électriques et verticalesmagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C.6 Guide circulaire à paroi électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 174C.7 Guide circulaire à paroi magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 180C.8 Guide coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Annexe D Développements spéci�ques pour les équations dedispersion 187

D.1 Equation de dispersion du mode fondamental avec HFSS (version13.0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

D.2 Equation de dispersion du mode fondamental avec la résolutionpar les schémas équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

D.3 Equation de dispersion des modes LSE / LSM . . . . . . . . . . . 191

Annexe E Fonctions complémentaires des exercices 195E.1 Discontinuités en guide d�ondes circulaire . . . . . . . . . . . . . 195E.2 Discontinuités en guide d�ondes excitation par sondes coaxiales . 196

vi

vii

Remerciements

Les auteurs tiennent à remercier toutes les personnes liées de près ou de loinà cet ouvrage :� famille et amis qui nous ont soutenus pendant cette longue rédaction ;� étudiants de 2� année électronique ingénieur de l�ENSEEIHT pour avoirtesté ces exercices ;

� les correcteurs et lecteurs de l�ouvrage grâce à qui il est devenu si abouti :Mr Baudrand (notre maître à penser), Mr Aubert, Mr Perrussel, MlleGirard ...

ix

Préface

Cet ouvrage porte sur les applications du modèle des schémas équivalentsaux problèmes électromagnétiques. C�est le troisième livre qui développe dans unobjectif pédagogique ce chapitre particulier de l�électromagnétisme que consti-tuent les méthodes des moments dans le domaine modal (on dit souvent de façonplus concise « méthodes modales » ) [Ref_01] [Ref_02].

Depuis dix années environ, des étudiants de deuxième et troisième année in-génieurs ont pu travailler par groupe pour e¤ectuer des études complètes surune grande variété de dispositifs, étude complète signi�e la théorie, la program-mation et les résultats numériques, en s�abstenant de la moindre utilisation delogiciels commerciaux sauf pour comparaison des résultats. Si cette approche,en apparence un peu aride s�est développée depuis tout ce temps, c�est qu�ellerévèle, en plus des résultats qui sont du ressort de l�électronique, une compré-hension de l�électromagnétisme plus profonde que beaucoup d�autres approches.Elle permet en particulier de visualiser le rôle des modes évanescents, mais ausside bien saisir la nécessité de raisonner en terme d�opérateurs pour décrire lesinteractions entre les di¤érentes grandeurs électromagnétiques.Pourquoi des schémas équivalents ? Le schéma équivalent ne fait que décrireles calculs à e¤ectuer pour résoudre un problème électromagnétique. Les deuxauteurs en rappellent le fonctionnement dans le deuxième chapitre. Tout estmathématiquement rigoureux dans le déroulement du raisonnement, et c�est aucours des 20 dernières années que progressivement ce concept a été introduitdans l�enseignement et testé auprès des étudiants (vers le début des annéesQuatre-vingt-dix). Le caractère systématique est en général bien accueilli, lesannées de pratique ont permis la mise en place progressive d�un enseignemente¢ cace. Ainsi, certains nouveaux concepts introduits se sont révélés indispen-sables à la bonne compréhension du cours.

On voit dès le premier chapitre, que les auteurs introduisent plutôt que le champmagnétique, quelque chose qui ressemble à un courant, et qui n�est que ce der-nier tourné de 90 degrés. Cela pourrait paraître anecdotique, et pourtant, grâceà cette nouvelle grandeur on peut réaliser le schéma équivalent, qui serait in-complet sans cela. On met ainsi en évidence la loi de conservation du courantaux n�uds, qui exprime les conditions aux limites à la traversée d�une interface.Chaque branchement prend alors tout son sens. En outre, dans les schémas clas-

x


siques de l�électronique on étudie des relations entre des grandeurs scalaires quesont les tensions et les intensités à travers des impédances, qui sont des nombresou des matrices. Il est alors naturel de voir qu�en électromagnétisme, commeon a a¤aire à des fonctions que sont les champs, il n�y aura plus de grandeursscalaires, sauf exception, qui décrivent leurs interactions, mais des opérateurs.Les grandeurs physiques, impédance d�entrée d�un circuit par exemple, serontalors données par des valeurs moyennes d�opérateur. Cet aspect "quantique"paraît naturellement de façon très séduisante. En�n un autre phénomène a étérévélé par la considération des schémas équivalents, c�est le concept de sourcesvirtuelles. Les sources virtuelles apparaissent avec la méthode de Galerkin. Leurdé�nition est simple : une source est dite virtuelle si sa grandeur duale s�annuledans son domaine de dé�nition, ainsi la source virtuelle ne dissipe pas de puis-sance complexe. Son utilisation est clairement expliquée par les auteurs dans lechapitre de résolution par les schémas équivalents.

La deuxième partie de l�ouvrage est originale et détaillée, on appréciera particu-lièrement la comparaison des résultats avec HFSS, l�introduction de programmesen Matlab, les annexes riches en données, et les considérations de symétrie sou-vent négligées. Ce qui est intéressant entre autres c�est le nombre de cas oùla solution avec une fonction d�essai est très proche de la solution numérique(la di¤érence est en général inférieure au centième). Cette solution est obtenuealors par une série et est donc analytique. Dans cette partie, sont abordés lesproblèmes de guides strati�és à un mode transverse (la solution est obtenue àpartir d�une équation transcendante), les discontinuités minces et épaisses enguide d�ondes, et les lignes imprimées. Les solutions corrigées comprennent unesimulation en Matlab et une note spéci�que HFSS pour les équations de disper-sion.

Ce livre sera très utile aux étudiants de master 1 et 2, ils pourront constatertoute la richesse et la profondeur des méthodes modales, et a¤ronter une grandevariété de problèmes. Les deux auteurs n�ont pas hésité à donner tous les détailsnumériques et analytiques nécessaires à la découverte des diverses solutions.Qu�ils en soient félicités.

Henri Baudrand

Références

[Ref_01] H. Baudrand, Introduction au calcul des éléments de circuitspassifs hyperfréquences, Cépaduès Editions, Collection POLYTECH, Jan-vier 2001, ISBN 2.85428.537.9

[Ref_02] H. Aubert, H. Baudrand, L�Electromagnétisme par les schémaséquivalents - Résumé de cours et exercices corrigés, Cépaduès Editions,Collection POLYTECH, Novembre 2003, ISBN 2.85428.618.9

Introduction

La résolution des problèmes électromagnétiques hautes fréquences (HF) faitintervenir l�équation de propagation et des conditions aux limites mixtes sur lesfrontières du circuit. Le système à résoudre est de la forme (1).� �

r2 + k20"r�u = 0

uj�1 = 0 ;@u@n

��2= 0

(1)

avec u une composante du champ électrique ou magnétique, �1 et �2 les fron-tières du circuit correspondant à des parois électriques ou magnétiques, n lanormale unitaire sortante sur �1 et �2.Plusieurs outils numériques ont été développés pour résoudre (1). Pour cetterésolution, deux familles se distinguent :� les méthodes issues d�une représentation intégrale de la solution. Elles nenécessitent généralement qu�un maillage surfacique et sont bien adaptées àla résolution de problème en espace libre (rayonnement) en présence de mi-lieux homogènes (Méthodes d�Equations Intégrales en champs Electrique,Magnétique ou les deux [Ref_01] [Ref_02] ...)

� les méthodes directement issues de l�équation di¤érentielle. Elles néces-sitent un maillage volumique "plus lourd", elles sont con�nées à des do-maines bornés (même si certaines conditions aux limites permettent "d�imi-ter" l�espace libre). Elles sont plus adaptées en présence de matériauxde tout type (anisotropes, inhomogènes... ) (Méthode des Eléments Fi-nis [Ref_01] [Ref_03], Méthode des Di¤érences Finies dans le DomaineTemporel [Ref_01] [Ref_04]...).

Dans les deux cas, l�utilisation des moyens informatiques permet dans untemps plus ou moins court d�obtenir les résultats physiques attendus. Bien en-tendu, une résolution analytique est toujours préférable mais n�est pas toujourspossible.

La résolution par les schémas équivalents [Ref_05] permet de résoudre rapide-ment certaines classes de problèmes électromagnétiques comme les équations dedispersion, les transitions de guide épaisses ou non ... Dans cet ouvrage, nousnous proposons de détailler la mise en place de la méthode par les schémas équi-valents sur plusieurs exemples, d�expliciter les codes de calcul développés sousMatlab permettant d�obtenir les résultats et d�e¤ectuer des comparaisons avec

xi


l�outil FEM généralement utilisé pour ces résolutions : HFSS (les simulations dece livre ont été obtenues avec la version 13 d�HFSS).

Références

[Ref_01] A. Bondenson, T. Rylander, P. Ingelström, Computational Elec-tromagnetics, Texts in Applied Mathematics, Springer, 2005, ISBN-10 :0.387.26158.3

[Ref_02] R. F. Harrington, Field computation by moment methods, IEEEPress Series on Electromagnetic Wave Theory, Wiley-IEEE Press, April 21,1993, ISBN-10 : 0780310144

[Ref_03] Jianming Jin, The Finite Element Method in Electromagnetics,2 edition Wiley-IEEE Press, May 27, 2002, ISBN-10 : 0471438189

[Ref_04] A. Ta�ove, S. C. Hagness,Computational Electrodynamics : TheFinite-Di¤erence Time-Domain Method, Third Edition, Artech House,June 30, 2005, ISBN-10 : 1580538320


xii

Partie I

Cours

1

Chapitre 1

Généralités sur les guidesd�ondes

Soit un guide de section quelconque et d�axe d�invariance z comme repré-senté sur la �gure 1.0.a. On se place en régime harmonique, ce qui signi�e quetous les champs électromagnétiques dépendent de la pulsation ! en ej!t. L�axed�invariance étant en z, les champs électromagnétiques subissent pour chaquecomposante une variation en e� zz ( z constante de propagation en z).

Figure 1.0.a. Axe Longitudinal et Section Transverse d�un guide d�ondes

Les champs électromagnétiques se décomposent sur une in�nité de modes quiconstituent une base de décomposition. Chaque mode est solution de l�équation

3


de propagation. Il est caractérisé par sa variation dans la section transversedu guide et sa fréquence de coupure fc : fréquence au-dessus de laquelle ilpropage de l�énergie, le mode est dit propagatif ( z = j�z), et en-dessous delaquelle il n�en propage pas, le mode est dit évanescent ( z = �z). On travaillegénéralement dans la bande monomode du guide ]fc1; fc2[ (fc1 fréquence decoupure du 1� mode propagatif, fc2 fréquence de coupure du 2� mode propa-gatif). Dans la bande monomode, un seul mode est propagatif, tous les autressont évanescents. Le premier mode propagatif est appelé mode fondamental

du guide. La représentation de l�évolution des constantes de propagation (��zk0

�2ou��zk0

�2, k0 étant le nombre d�ondes dans le vide) en fonction de la fréquence

est appelée équation de dispersion, une représentation est donnée sur la �gure1.0.b.

Figure 1.0.b. Equation de dispersion

1.1 Equation de propagation

Les champs électromagnétiques sont les solutions des équations de Maxwellsans source (1.1).

r��!E = �j!�0�!H r � �!E = 0

r��!H = j!"0"r�!E r � �!H = 0

(1.1)

avec ! la pulsation, "0 et �0 respectivement la permittivité et la perméabilitédu vide, "r la permittivité relative du milieu.Pour déterminer les expressions des composantes du champ électromagnétique,on souhaite déterminer de quelle équation di¤érentielle elles sont solutions. A

4

Chapitre 1. Généralités sur les guides d�ondes

partir des équations (1.1) et du développement : r��r��!F

�= rr��!F �r2�!F

(cf Annexe A), on déduit :

r��r��!E

�= rr � �!E �r2�!E = �r2�!E

= r��j!�0

�!H�

= !2�0"0"r�!E

En posant le nombre d�onde dans le vide (k0 =2�fc = !

p�0"0), on déduit la

relation (1.2). �r2 + k20"r

��!E = 0 (1.2)

De la même façon, on montre que�!H véri�e également cette équation di¤éren-

tielle. Cette équation est appelée équation de propagation car elle lie lesconstantes de propagation. En e¤et, comme le guide est invariant suivant ladirection de propagation (même section transverse quel que soit le plan z), lescomposantes du champ électromagnétique varient alors toutes en e� zz. Ainsi,l�équation de propagation (1.2) s�écrit sur chaque composante du champ élec-tromagnétique notée U : �

r2T + 2z + k20"r�U = 0

On pose la constante de coupure kc telle que :

k2c = 2z + k20"r =

�2�fcc

�2On en déduit :

2z =

�2�

c

�2 �(fc)

2 � (fp"r)2�

Au delà de la fréquence de coupure fcp"r, 2z < 0 donc z = j�z le mode est

propagatif. Sous la fréquence de coupure fcp"r, 2z > 0 donc z = �z le mode est

évanescent.

1.2 Relations entre composantes transverses etlongitudinales

Pour dé�nir les bases modales dans lesquelles sont dé�nies les champs élec-tromagnétiques transverses (

�!E T ,

�!HT ), il faut lier ces derniers aux champs longi-

tudinaux orientés selon l�axe d�invariance du guide (Ez, Hz). Le point de départreste deux des équations de Maxwell (1.1) sans source rappelées ci-dessous :

r��!E = �j!�0�!H

r��!H = j!"0"r�!E

5


Les champs électromagnétiques se décomposent en composantes transverses etlongitudinales selon : 8

><

>:

�!E =

�!E T + Ez

�!z�!H =

�!HT +Hz

�!zr = rT + @z

�!z

Du fait de l�invariance en z du guide, toutes les composantes U du champélectromagnétique varient en e� zz. Par conséquent, @zU = � zU . On déduitdonc :

r = rT � z�!z

En intégrant ces propriétés dans les équations de Maxwell, on obtient le système :8<

:(rT � z

�!z )��!E T + Ez

�!z�= �j!�0

��!HT +Hz

�!z�

(rT � z�!z )�

��!HT +Hz

�!z�= j!"0"r

��!E T + Ez

�!z�

Après développement des produits vectoriels, le système devient :

8>>>><

>>>>:

rT ��!E T +rT � (Ez�!z )� z(

�!z ��!E T )� zEz�!z ��!z

= �j!�0��!HT +Hz

�!z�

rT ��!HT +rT � (Hz

�!z )� z(�!z ��!HT )� zHz

�!z ��!z= j!"0"r

��!E T + Ez

�!z�

Sachant que rT � (Ez�!z ) = EzrT � �!z + rTEz � �!z =�!0 + rTEz � �!z (cf

Annexe A) et que �!z � �!z =�!0 . Même simpli�cation pour rT � (Hz

�!z ) avecrT � (Hz

�!z ) = rTHz ��!z . Le système se simpli�e selon :8<

:rT �

�!E T + (rTEz)��!z � z

��!z ��!E T

�= �j!�0

�!HT � j!�0Hz

�!z

rT ��!HT + (rTHz)��!z � z

��!z ��!HT

�= j!"0"r

�!E T + j!"0"rEz

�!z

Seules les expressions des champs transverses sont nécessaires, on projette doncsur ce plan, le système se simpli�e en (1.3) et (1.4).

(rTEz)��!z � z

��!z ��!E T

�= �j!�0

�!HT (1.3)

(rTHz)��!z � z

��!z ��!HT

�= j!"0"r

�!E T (1.4)

Pour mémoire selon l�axe longitudinal, il resterait (1.5) et (1.6).

rT ��!E T = �j!�0Hz

�!z (1.5)

rT ��!HT = j!"0"rEz

�!z (1.6)

Pour déterminer l�expression du champ électrique transverse, le champ magné-tique transverse est éliminé des équations (1.3) et (1.4) en multipliant l�équation

6


(1.4) par j!�0 et en faisant le produit vectoriel de l�équation (1.3) par z�!z à

gauche. Soit :

( z�!z �

h(rTEz)��!z � z

�!z ��!E T

i= �j!�0 z�!z �

�!HT

j!�0 (rTHz)��!z � j!�0 z�!z ��!HT = �!2�0"0"r

�!E T

Rappelons que k20 = !2�0"0. Le terme en�!HT se simpli�e après ajout des deux

équations précédentes, ainsi on obtient :

z�!z �

h(rTEz)��!z � z

�!z ��!E T

i+ j!�0 (rTHz)��!z = �k20"r

�!E T

Comme�!A �

��!B ��!C

�=��!A:�!C��!B �

��!A:�!B��!C (cf Annexe A), on déduit :

�!z � (rTEz ��!z ) = rTEz�!z �

��!z ��!E T

�= ��!E T

Finalement, le champ électrique transverse est fonction des composantes longi-tudinales des champs selon (1.7).�

2z + k20"r��!E T = � zrTEz � j!�0 (rTHz)��!z (1.7)

Remarques : de la même façon, pour déterminer l�expression du champ ma-gnétique transverse, le champ électrique transverse est éliminé en multipliantl�équation (1.3) par �j!"0"r et en faisant le produit vectoriel de l�équation(1.4) par z

�!z à gauche. Une autre possibilité est de déduire de l�équation (1.7)et des équivalences entre les champs électriques et magnétiques, permittivitéet perméabilité, le champ magnétique transverse en fonction des composanteslongitudinales des champs selon (1.8).�

2z + k20"r��!HT = j!"0"r (rTEz)��!z � zrTHz (1.8)

1.2.1 Modes TE et TM

Pour 2z + k20"r 6= 0, le champ électromagnétique transverse s�exprime àpartir de Ez et Hz. Les fonctions Ez et Hz sont dites génératrices des modes.Pour Ez générateur et Hz = 0, on parle de modes Transverses Magnétiquesnotés TM. Pour Hz générateur et Ez = 0, on parle de modes TransversesElectriques notés TE. Ces modes constituent une base de décomposition deschamps électromagnétiques. Pour déterminer les expressions des fonctions dela base modale (

�!f TEnm et

�!f TMnm ), on retiendra par exemple la décomposition en

champ électrique issue de l�équation (1.7) :

�!f TMnm = E0rTEz

�!f TEnm = E00rTHz ��!z

7


En fonction des conditions aux limites sur les parois du guide, rappelées enAnnexe B, on exprime Ez (modes TM) et Hz (modes TE) puis on déduit lesexpressions des fonctions de la base modale. Reste ensuite à normer cette base(dé�nir E0 et E00) et véri�er l�orthogonalité (voir Cours 1.2.3). Les expressionsdes bases modales rencontrées dans les exercices sont détaillées dans l�AnnexeC.

1.2.2 Mode TEM

Si les composantes longitudinales sont simultanément nulles (Ez = Hz = 0)et que les composantes transverses ne le sont pas, d�après les équations (1.7) et(1.8) alors on a 2z + k20"r = 0. On parle alors de mode TEM : TransverseElectroMagnétique. Pour ce mode, on note que la constante de propagationselon z est jk0

p"r. Ce mode est toujours propagatif, c�est donc le mode fonda-

mental du guide si il existe.Revenons donc à l�équation (1.5), pour le mode TEM :

rT ��!E T =

�!0

Dans ce cas, d�après la propriété r � r� = �!0 (cf Annexe A), il existe un

potentiel scalaire � tel que :�!E T = �rT�

Pour que le mode TEM existe, il faut donc avoir une di¤érence de potentiel� pour que

�!E T soit non nul. Le mode TEM n�existe que si le guide

comporte au moins deux conducteurs disjoints.Pour déterminer l�expression de la fonction décrivant le mode TEM, l�équationvéri�ée par � doit être déterminée. Utilisons pour cela une autre équation deMaxwell :

r � �!E = 0

Comme Ez = 0, on a alors r ��!E = rT �

�!E T .

rT ��!E T = 0 = �rT � (rT�) = �r2T�

Le potentiel scalaire � véri�e l�équation de Poisson (1.9).

r2T� = 0 (1.9)

La résolution de l�équation (1.9) avec la connaissance des conditions aux limitessur � permet d�obtenir l�expression de �. La fonction de la base modale

�!f TEM

est obtenue par :�!f TEM = E000rT�

Cette fonction de base doit également être normée (dé�nir E000 ).

8


1.2.3 Orthonormalisation de la base

La base modale permet de décrire les champs électromagnétiques. Elle doitdonc véri�er la conservation de l�energie au sens du vecteur de Poynting [Ref_01].Par conséquent, le produit scalaire utilisé pour quali�er l�orthonormalisation dela base est dé�ni par :

D�!f �1n1m1

j�!f �2n2m2

E=

ZZ

S

��!f �1n1m1

��:�!f �2n2m2

dS = �n1n2 :�m1m2:��1�2

avec �ij = 1 si i = j ; 0 sinon. �1 et �2 désignent les modes TE ou TM ouTEM, n1, m1 et n2, m2 indiquent les indices du mode en question dans le repèrechoisi. S désigne la section transverse du guide.Ces conditions permettent de déterminer les constantes de normalisation desfonctions de la base. L�orthogonalité doit systématiquement être véri�ée.

1.3 Admittance de mode

Dans ce paragraphe, les notations sont simpli�ées mais correspondent à unmode TEmn ou TMmn donné. Les indices m, n sont donc systématiquementsous-entendus dans l�écriture de

�!E T ,

�!HT et des admittances ou impédances de

mode.Les champs électromagnétiques transverses sont liés par une impédance ZM ouune admittance YM de mode représentée sur la �gure 1.3.a dé�nie par :

YM�!E T =�!HT ��!z

etZM =

1

YM

Figure 1.3.a. Représentation de l�admittance de mode

1.3.1 Admittance de mode TE, TM et TEM

Pour les modes TE, Hz est générateur, revenons aux équations (1.7) et (1.8),on a alors : ( �!

E T =�j!�0 2z+k

20"r(rTHz)��!z

�!HT ��!z = � z

2z+k20"rrTHz ��!z

9


On déduit l�expression de l�admittance de mode TE (1.10).

Y TE = zj!�0

(1.10)

Pour les modes TM, Ez est générateur, revenons aux équations (1.7) et (1.8),on a alors : ( �!

E T =� z

2z+k20"rrTEz

�!HT ��!z = j!"0"r

2z+k20"r[(rTEz)��!z ]��!z

Or d�après l�Annexe A : [(rTEz)��!z ]��!z = ��!z � [(rTEz)��!z ] = �rTEz.On déduit l�expression de l�admittance de mode TM (1.11).

Y TM = j!"0"r z

(1.11)

Pour le mode TEM, reprenons l�équation (1.4) (l�équation (1.3) conduit au mêmerésultat) dans laquelle Hz = 0 :

j!"0"r�!E T = � z�!z �

�!HT = z

�!HT ��!z

On déduit l�expression de l�admittance de mode TEM (1.12).

Y TEM =j!"0"r z

=j!"0"rjk0p"r=

!"0"r!p�0"0"r

Y TEM =q

"0"r�0

(1.12)

Remarques : Les admittances de mode sont indépendantes de la forme du guidesi ce n�est à travers l�expression de z. Le mode TEM ne dépend pas de lafréquence contrairement aux modes TE et TM et son admittance est toujoursréelle. Si un mode est propagatif, son admittance de mode est résistive ; si unmode est évanescent, son admittance de mode est capacitive pour les modes TM(Y = jC!) et inductive pour les modes TE (Y = 1

jL! ).

1.3.2 Admittance ramenée

On souhaite faire une représentation du demi-guide z>0, autrement dit dé-terminer l�admittance vue depuis la Section 0 transverse représentée sur la �gure1.3.b.

Figure 1.3.b. Guide avec terminaison à une distance d

10


Dans une section transverse de guide, pour un mode�!f donné, les champs

électrique et magnétique se décomposent sur les modes en une onde aller ene� zz (propagation orientée en �!z ) et une onde retour en e zz (propagationorientée en ��!z ) selon :

�!E T (z) =

�E+e� zz + E�e zz

��!f

D�après la dé�nition des admittances de mode, on a alors :

�!HT (z)��!z = YM

�E+e� zz � E�e zz

��!f

L�admittance ramenée Y �r en un point origine z = 0 dans un guide d�ondes est

dé�nie par (1.13).

YMr = YM E+ � E�

E+ + E�(1.13)

Prise en compte d�un mur électrique à une distance d

Dans ce cas en z = d , le champ électrique transverse tangent à la terminaisondu guide s�annule, donc E+ = �E�e2 zd. L�équation (1.13) devient alors :

YMr = YM

me = YM �e2 zd � 1�e2 zd + 1

Finalement l�admittance ramenée d�une couche homogène fermée sur un murélectrique est (1.14).

YMme = YMcoth( zd) (1.14)

Prise en compte d�un mur magnétique à une distance d

Dans ce cas en z = d , le champ magnétique transverse tangent à la ter-minaison du guide s�annule, donc E+ = E�e2 zd. L�équation (1.13) devientalors :

YMr = YM

mm = YM e2 zd � 1e2 zd + 1

Finalement l�admittance ramenée d�une couche homogène fermée sur un murmagnétique est (1.15).

YMmm = YM th( zd) (1.15)

Prise en compte d�une longueur l de guide entre deux surfaces

On positionne l�origine du repère sur la Section 1 transverse comme indiquésur la �gure 1.3.c.

11


Figure 1.3.c. Quadripôle équivalent à la distance entre deux sectionstransverses d�un même guide

On souhaite déterminer le quadripôle [Qy] liant les champs électromagnétiquesentre les deux sections 1 et 2 transverses distantes de l pour un mode donné.Par convention, le quadripôle [Qy] est représenté sur la �gure 1.3.d.

Figure 1.3.d. Quadripôle de la longueur de ligne l

Ce quadripôle est dé�ni par : �!

HT1 ��!z�!HT2 � (��!z )

!= [Qy]

�!E T1�!E T2

!

Sur les deux sections transverses notées 1 et 2 , on exprime les champs électro-magnétiques pour un mode donné, comme dans le cas de l�admittance ramenée.La Section 1 correspond au plan origine z = 0 alors que la Section 2 correspondau plan z = l:

�!E T1 =

�E+ + E�

��!f

�!E T2 =

�E+e� zl + E�e zl

��!f

�!HT1 ��!z = YM

�E+ � E�

��!f

�!HT2 � (��!z ) = YM

��E+e� zl + E�e zl

��!f

Avec YM l�admittance du mode considéré dans le milieu entre les sections 1 et2. Sous forme matricielle, on obtient :

�!E T1�!E T2

!=

�1 1

e� zl e zl

� E+�!fE��!f

!

12


�!HT1 ��!z�!

HT2 � (��!z )

!= YM

�1 �1

�e� zl e zl

� E+�!fE��!f

!

Finalement, le quadripôle de passage [Qy] entre deux sections transverses d�unmême guide, distantes de l, pour un mode donné est dé�ni par (1.16).

[Qy] = YM

�1 �1

�e� zl e zl

��1 1

e� zl e zl

��1[Qy] = YM

�coth ( zl) �1=sinh ( zl)

�1=sinh ( zl) coth ( zl)

�(1.16)

Prise en compte de deux couches de diélectrique

Soit le substrat comportant deux couches de diélectrique comme représentésur la �gure 1.3.e.

Figure 1.3.e. Admittance ramenée pour substrat double couche avecterminaison

L�admittance ramenée dans le plan z = 0 correspondant à la Section 1 estdéterminée en chaînant mode à mode le quadripôle de longueur de ligne l avecune admittance ramenée dans le plan z = l de la Section 2, caractérisant laterminaison, comme représenté sur la �gure 1.3.f.

Figure 1.3.f. Admittance ramenée par une longueur de ligne fermée sur uneadmittance ramenée

Ainsi on obtient la relation (1.17). �!

HT1 ��!z�!HT2 � (��!z )

!= [Qy]

�!E T1�!E T2

!=

�!HT1 ��!z�YM

r

�!E T2

!(1.17)

13


En développant le système (1.17) on déduit (1.18).

�!E T2 =

YM

YMr + YMcoth ( zl)

�!E T1

sinh ( zl)(1.18)

On en déduit la relation entre�!HT1��!z et

�!E T1 à partir de la première équation

du système (1.17) dans laquelle on remplace�!E T2 par l�équation (1.18).

�!HT1 ��!z = YM

coth ( zl)

�!E T1 �

�!E T2

sinh ( zl)

!

= YM

�coth ( zl)�

YM

YMr + YMcoth ( zl)

1

sinh2 ( zl)

��!E T1

= YM YM + YMr coth ( zl)

YMr + YMcoth ( zl)

�!E T1

L�admittance ramenée YM2dr dans le plan z = 0 en présence de deux couches di-

électriques fermées par une terminaison électrique est donc dé�nie par l�équation(1.19) pour chaque mode.

YM2dr = YM YM+YM

r coth( zl)YMr +YM coth( zl)

(1.19)

Références

[Ref_01] A. Vander Vorst, Electromagnétisme champs et circuits, Biblio-thèque des Universités, Physique, De Boeck Université

14

Chapitre 2

Résolution par les schémaséquivalents

2.1 Domaines d�application

Cette résolution initialement développée pour les problèmes guidés peut s�ap-pliquer à des circuits planaires à condition de les encapsuler partiellement dansun guide, comme sur la �gure 2.1.a. La présence de ce guide ne doit pas in�uen-cer les résultats obtenus, ce qui est généralement le cas des circuits passifs nonrayonnants sous condition d�éloigner sensiblement les parois latérales du circuità caractériser. Les parois sont donc positionnées su¢ samment loin du circuit àétudier pour ne pas perturber les résultats.

Figure 2.1.a. Circuit modélisable avec la résolution par les schémas équivalents.

15


2.2 Principe

Le circuit étudié doit être structuré autour de plans parallèles séparés par desmilieux à sections transverses homogénes (même "r dans la section transverse).Ainsi une décomposition modale des champs transverses autour de ces surfacesest possible. Pour que cette base soit analytique, la section transverse doit êtrede forme rectangulaire, circulaire ou coaxiale.Les conditions aux limites de passage sur ces plans peuvent être mixtes (présencede métal et d�isolant). En fonction du circuit, le champ électrique ou le couranttransverse est approximé par une fonction dite d�essai, qui correspond à savariation physique approchée.Cette représentation conduit à la résolution d�un système matriciel de la formeA:x = b résolu par la méthode de Galerkin.

2.2.1 Milieu homogéne

Les champs électromagnétiques transverses dans une section de guide homo-gène se décomposent sur la base modale associée à ce guide. On choisira doncpour une formulation analytique des sections rectangulaires, circulaires ou co-axiales dont les parois pourront être de type électrique ou magnétique. Soit lesfonctions de la base modale dé�nies par

�!f �n, les champs électromagnétiques se

décomposent selon :

�!E T =

X

n;�

E�n

�!f �n

�!J T =

�!HT ��!z =

X

n;�

J�n�!f �n

avec : D�!f �nj�!f �m

E= �nm��

On cherche l�opérateur bY tel que :

�!J T = bY

�!E T

Rappel : soit bL un opérateur, cf. Annexe A, dé�ni sur une base décrite par lesfonctions

�!f n et Ln la valeur propre associée à cette fonction

�!f n :

bL�!f n = Ln�!f n

On peut alors poser :bL =

X

n

��!f n

ELn

D�!f n

��Les opérateurs liant les champs électromagnétiques transverses pour des milieuxhomogènes sont directement déduits des admittances ramenées ou des quadri-pôles de longueur de ligne vus dans Cours 1.3.

16

Chapitre 2. Résolution par les schémas équivalents

Ainsi pour une admittance ramenée, on écrit :

bY =X

n;�

��!f �n

EY �rn

D�!f �n

��avec Y �

rn dé�nie dans Cours 1.3.2.Pour une longueur de ligne l, on écrit :

[ bQy] =

bY11 bY12bY12 bY11

!

avec les opérateurs bY11 et bY12 déduits des conditions de passage entre deuxsections sur un mode, cf Cours 1.3.2.

bY11 =X

n;�

��!f �n

EY �n coth (

�nl)D�!f �n

��bY12 = �

X

n;�

��!f �n

E Y �n

sinh ( �nl)

D�!f �n

��2.2.2 Conditions aux limites mixtes : sources virtuelles

Les conditions aux limites mixtes font intervenir des zones isolantes Di etdes zones métalliques Dm (avec Dm = Di). Le courant

�!J est nul sur Di alors

que le champ�!E est nul sur Dm. Champ

�!E et courant

�!J sont donc disjoints

sur les interfaces qui peuvent être représentées par des sources de courant oude tension dites "virtuelles" à savoir <

�!E j�!J >= 0, elles ne génèrent pas de

puissance.Dans l�ensemble des cas traités ici, la source virtuelle est décomposée sur uneseule fonction d�essai. Pour trouver son expression on considère le mode fonda-mental du guide de même section et invariant suivant le troisième axe, à paroisélectriques (métalliques) si on opte pour la résolution en champ et magnétiques(dual des conditions électriques) pour la résolution en courant comme indiquésur la �gure 2.2.a. Un rappel sur les conditions aux limites est donné en AnnexeB.

17


Figure 2.2.a. Détermination de la fonction d�essai

2.2.3 Source électromagnétique : générateur de Théveninet de Norton

L�excitation électromagnétique appelée source "réelle" (par opposition auxsources virtuelles traduisant des conditions aux limites) est représentée par unéquivalent Thévenin ou Norton dans lequel le générateur est le mode fondamen-tal du guide considéré. Les modes d�ordre supérieur de ce même guide sont tousévanescents (car on travaille en bande monomode), ils sont pris en compte dansun opérateur impédance ou admittance adjoint à cette source. Les deux repré-sentations possibles sont donc celles représentées sur les �gures 2.2.b et 2.2.cqui correspondent à une représentation usuelle des générateurs de Thévenin etde Norton.

Figure 2.2.b. Source réelle de Thévenin

Figure 2.2.c. Source réelle de Norton

18


Les conditions véri�ées par la source de Thévenin sont :

�!E 0 = V0

�!f 0 ;

�!J =

X

n;�

In�!f �n

bZev =X

n;�hors fondamental

��!f �n

EZ�n

D�!f �n

��D�!J j�!E 0

E= I�0V0

Les conditions véri�ées par la source de Norton sont :

�!J 0 = I0

�!f 0 ;

�!E =

X

n;�

Vn�!f �n

bYev =X

n;�hors fondamental

��!f �n

EY �n

D�!f �n

��D�!E j�!J 0

E= V �0 I0

2.2.4 Méthode de Galerkin

En résumé pour caractériser le circuit, on établit avec les réprésentationsvues précédemment un schéma électrique équivalent vu depuis les interfacesdu circuit (section transverse présentant des conditions aux limites mixtes). Ceschéma électrique peut comporter :

1. des sources réelles si on a des excitations électromagnétiques ;

2. des opérateurs admittance ou impédance pour représenter les demi-espacesautour de l�interface (milieux homogènes) ;

3. des opérateurs longueur de ligne traduisant les conditions de passage entredeux interfaces séparées par des milieux homogènes ;

4. des sources virtuelles caractérisant les conditions aux limites mixtes surles interfaces.

On résout ensuite ce schéma électrique à partir de relations de type circuit(lois de Kirchho¤). On exprime ensuite les inconnues en fonction des donnéesselon l�équation (2.1).

0

@grandeurs dualesdes sources

réelles et virtuelles

1

A =�bH�0@

sourcesréelles

et virtuelles

1

A (2.1)

On décompose ensuite chaque source réelle sur son mode fondamental et chaquesource virtuelle sur la fonction d�essai associée. Conjointement on projette les

19


grandeurs duales des sources réelles sur le mode fondamental associé et les gran-deurs duales des sources virtuelles sur la fonction d�essai associée. Ces projec-tions des vecteurs engendrent des projections sur l�opérateur bH qui conduisentà la résolution du problème associé.

Exemple 1 : Equation de dispersionDans ce cas, on a seulement des sources virtuelles et pas de source réelle. Ima-ginons que l�on ait deux interfaces donc deux fonctions d�essai associées à cesinterfaces notées �!g e1 et �!g e2. Par application de la méthode de Galerkin, lesystème (2.1) conduit à :�

00

�=

0

@

D�!g e1j bH11�!g e1

E D�!g e1j bH12�!g e2

E



E

1

A�

ve1ve2

�

avec�bH�=

bH11

bH12

bH21bH22

!. Soit la solution non triviale :


ED�!g e2j bH22�!g e2

E�D�!g e1j bH12

�!g e2ED�!g e2j bH21

�!g e1E= 0

Exemple 2 : Caractérisation d�une discontinuité en guideDans ce cas, on a seulement une source virtuelle �!g e1 (discontinuité non épaisse)et deux sources réelles dont les modes fondamentaux associés

�!f 01 et

�!f 02 cor-

respondent à l�excitation en entrée et en sortie des guides. Par application de laméthode de Galerkin, le système (2.1) conduit à :

0

@V01V020

1

A =

0

BBB@

D�!f 01j bH11

�!f 01

E D�!f 01j bH12

�!f 02

E D�!f 01j bH13

�!g e1E

D�!f 02j bH21

�!f 01

E D�!f 02j bH22

�!f 02

E D�!f 02j bH23

�!g e1E

D�!g e1j bH31�!f 01

E D�!g e1j bH32�!f 02


E

1

CCCA

0

@I01I02ve1

1

A

avec�bH�=

0

B@bH11

bH12bH13

bH21bH22

bH23

bH31bH32

bH33

1

CA. Soit :

�V01V02

�=

bH 011 bH 012bH 021 bH 022

!�I01I02

�avec :

bH 011 =D�!f 01j bH11

�!f 01

E�

D�!f 01j bH13


�!f 01

E


E

bH 012 =D�!f 01j bH12

�!f 02

E�

D�!f 01j bH13


�!f 02

E


E

20


bH 021 =D�!f 02j bH21

�!f 01

E�

D�!f 02j bH23


�!f 01

E


E

bH 022 =D�!f 02j bH22

�!f 02

E�

D�!f 02j bH23


�!f 02

E


E

2.3 Simpli�cation par symétrie et invariance

Lorsque la structure présente une symétrie, le problème se simpli�e, plusieurscas peuvent se présenter :- la symétrie est parallèle à la section transverse, on simpli�e alors le schémaéquivalent par une décomposition en cas pair et impair.- la symétrie est perpendiculaire à la section transverse, donc parallèle auxconditions aux limites correspondant à la décomposition dans la base modale.Seuls les modes pairs ou impairs sont alors conservés.

2.3.1 Rappel sur les symétries électriques et magnétiques

Soit � un plan de symétrie pour le champ électrique comme représenté surla �gure 2.3.a.

Figure 2.3.a. Symétrie électrique et magnétique (dual symétrie électrique)

Si la symétrie est de type électrique (on parle alors de mur électrique, notéme, ilest généralement représenté en trait continu), le champ tangent au plan s�annulealors que le champ normal se conserve comme représenté sur la �gure 2.3.a-a.Si la symétrie est de type magnétique (on parle alors de mur magnétique, notémm, il est généralement représenté en trait pointillé), le champ tangent au planse conserve alors que le champ normal s�annule comme représenté sur la �gure2.3.a-b.

21


Remarque : Le champ électrique transverse et le courant déduit du champmagnétique sont colinéaires puisque liés par l�impédance de mode et ont doncles mêmes propriétés de symétrie.

2.3.2 Symétrie parallèle à la section transverse

Soit une symétrie de structure comme dé�nie sur la �gure 2.3.b.

Figure 2.3.b. Plan de symétrie parallèle à la section transverse

Si le type de symétrie est connu (électrique ou magnétique) alors la structurese simpli�e en remplaçant la structure complète par la demi-structure représen-tée sur la �gure 2.3.c avec les conditions adéquates de fermeture sur le plan dela terminaison. Ceci est pris en compte dans l�opérateur admittance (ou impé-dance) représentant le demi-espace avec terminaison électrique ou magnétiqueà la distance d.

Figure 2.3.c. Simpli�cation de la structure à étudier dans le cas de la symétrieparallèle à la section transverse

Si le type de symétrie n�est pas connu, la structure globale se déduit de lasuperposition des deux symétries, dites symétries paire et impaire correspondantau positionnement sur le plan � successivement d�un mur magnétique puis d�unmur électrique, comme représenté sur la �gure 2.3.d.

22


Figure 2.3.d. Superposition cas impair et cas pair

Pour cela, considérons le quadripôle réciproque symétrique (du fait de la symé-trie par rapport au plan �) associé à ce circuit vu des ports 1 et 2 :��!

E T1�!E T2

�=

�Z11 Z12Z12 Z11

��!J T1�!J T2

�= [Z]

��!J T1�!J T2

�Si le plan � correspond à une symétrie magnétique alors

�!E T1 =

�!E T2 et�!

J T1 =�!J T2, soit Zp l�impédance paire associée à cette structure, on déduit :

�!E T1 = Z11

�!J T1 + Z12

�!J T2 = (Z11 + Z12)

�!J T1 = Zp

�!J T1

Si le plan � correspond à une symétrie électrique alors�!E T1 = ��!E T2 et�!

J T1 = ��!J T2, soit Zimp l�impédance impaire associée à cette structure, ondéduit :

�!E T1 = Z11

�!J T1 + Z12

�!J T2 = (Z11 � Z12)

�!J T1 = Zimp

�!J T1

On déduit de ces deux relations :

Z11 =Zp + Zimp

2

Z12 =Zp � Zimp

2

Finalement, l�étude du quadripôle initial peut être déduite de deux études d�im-pédance d�entrée en positionnant successivement un mur magnétique puis unmur électrique dans le plan de symétrie �, on déduit Zp et Zimp, puis le qua-dripôle par la relation (2.2).

[Z] = 12

�Zp + Zimp Zp � ZimpZp � Zimp Zp + Zimp

�(2.2)

Cette équation (2.2) est également applicable aux opérateurs associés.De façon analogue, on démontre la relation sur les admittances (2.3).

[Y ] = 12

�Yp + Yimp Yp � YimpYp � Yimp Yp + Yimp

�(2.3)

23


avec Yp l�admittance vue en positionnant un mur magnétique dans le plan desymétrie et Yimp l�admittance vue en positionnant un mur électrique dans leplan de symétrie.

2.3.3 Symétrie perpendiculaire à la section transverse

Pour un guide rectangulaire, les deux plans à considérer sont représentés surla �gure 2.3.e. Deux cas peuvent se présenter : soit la condition de symétriecorrespond aux conditions aux limites sur les parois latérales parallèles, soit ellecorrespond à son dual.

Figure 2.3.e. Symétrie perpendiculaire à la section transverse

Soit u la composante longitudinale du champ électrique, u véri�e des condi-tions aux limites de type murs électriques décrites par (2.4) ou de type mursmagnétiques décrites par (2.5) sur les parois du guide.

uj0 = ujd = 0 (2.4)

ou@u

@n

��0

=@u

@n

��d

= 0 (2.5)

avec d égal à a dans l�exemple de la �gure 2.3.e-a et �!n la normale au plan donc�!x dans l�exemple de la �gure 2.3.e-a (respectivement pour la �gure 2.3.e-b, d=bet �!n = �!y ).La résolution de l�équation (2.4) conduit à :

u / sin�n�l

d

�24


Avec l = x dans le cas de la �gure 2.3.e-a et l = y dans le cas de la �gure 2.3.e-b.La résolution de l�équation (2.5) conduit à :

@u

@n/ sin

�n�l

d

�Cas 1 : les conditions aux limites sur les parois parallèles et la symétriesont les mêmes.u de l�équation (2.4) véri�e également :

ujd=2 = 0

Par conséquent son expression est :

u / sin�2n�l

d

�u de l�équation (2.5) véri�e également :

@u

@n

��d=2

= 0


@u

@n/ sin

�2n�l

d

�Dans les deux cas seuls les modes pairs sont conservés.

Donc si la symétrie et les conditions aux limites sur les parois latérales parallèlessont identiques seuls les modes pairs sont conservés.

Cas 2 : les conditions aux limites sur les parois parallèles et la symétriesont duales.u de l�équation (2.4) véri�e également :

@u

@n

��d=2

= 0


u / sin�(2n+ 1)�l

d

�u de l�équation (2.5) véri�e également :

ujd=2 = 0


@u

@n/ sin

�(2n+ 1)�l

d

�Dans les deux cas seuls les modes impairs sont conservés.

Donc si la symétrie et les conditions aux limites sur les parois parallèles sontduales seuls les modes impairs sont conservés.

25


2.3.4 Invariance

Pour un guide rectangulaire, si les plans à x constant ou à y constant sontidentiques pour tout le circuit, on parle respectivement d�invariance en x ou eny (même chose dans le cas d�un cylindre avec les � et les �, on a alors invarianceen � ou en �).Dans ce cas, les projections par produit scalaire conservent la variation initialede la source réelle et/ou de la source virtuelle, on devient alors indépendant decette variable.

Exemple :

Soit un guide rectangulaire métallique excité par le mode fondamental TE10 :- si on a invariance en x alors seuls les modes TE1n et TM1n sont excités- si on a invariance en y alors seuls les modes TEm0 et TMm0 sont excités(comme les TMm0 n�existent pas voir Annexe C), seuls les modes TEm0 sontexcités, on peut alors considérer le problème comme étant à une dimension.

26

Partie II

Exercices corrigés

27

Méthodologie de résolution pour les exercicesConsidérons un problème à résoudre, les étapes à suivre sont les suivantes :

- Choix du plan correspondant à une discontinuité à partir duquel la modélisa-tion est faite ;

- Positionnement de l�origine et des axes du repère pour la modélisation ;

- Détermination du schéma équivalent à l�aide des opérateurs (admittance ouimpédance ou longueur de guide) en ce qui concerne la représentation des mi-lieux homogènes ; choix des fonctions d�essai pour les conditions aux limitesmixtes (métal/isolant simultanément) ; choix des générateurs de Thévenin oude Norton pour les excitations ;

- Simpli�cation des équations par considérations de symétrie et d�invariance ;

- Résolution du schéma équivalent pour déterminer la grandeur recherchée defaçon analytique : constante de propagation, impédance d�entrée, matrice [S] ... ;

- Calcul des produits scalaires analytiquement quand cela est possible ;

- Programmation des équations, a¢ chage et analyse des résultats, comparaisonavec d�autres méthodes de résolution comme ici les Eléments Finis sous HFSS.

Attention tous les circuits ne peuvent pas être adressés par la méthode avecles schémas équivalents, néanmoins pour ceux qui le sont des expressions ana-lytiques de leurs grandeurs physiques (parfois di¢ ciles d�accès) peuvent êtreobtenues.

Pour l�ensemble des exercices présentés ici la structure est donc modélisée parun schéma équivalent, les résultats numériques obtenus sont comparés avec ceuxissus d�un logiciel commercial basé sur la méthode des éléments �nis (HFSS).Les codes développés sous Matlab sont explicités en �n d�exercice (et Annexes).

29

Chapitre 3

Equations de dispersion

Introduction

Pour obtenir des résultats plus précis avec le logiciel HFSS, un setup par pointde fréquence est nécessaire dans le cas de la caractérisation d�équation de dis-persion (cf Annexe D.1).

L�équation de dispersion, obtenue analytiquement en résolvant une équationde la forme F (�) = 0, admet plusieurs solutions à mesure que l�on monte enfréquence (potentiellement autant que de modes propagatifs à cette fréquenceprésentant les mêmes symétries et invariances que le mode fondamental à ca-ractériser). Pour tracer l�équation de dispersion d�un mode donné, il faut doncrechercher le � dans le bon intervalle (cf Annexe D.2). Les codes donnés dansles di¤érents exercices correspondent aux dé�nitions de F , la résolution généraleest faite en Annexe D.2.

31


3.1 Modes LSE / LSM

3.1.1 Enoncé

L�insertion de lames diélectriques dans un guide d�ondes rectangulaire mé-tallique creux modi�e les fréquences de coupure des modes de ce guide.

Déterminer les équations de dispersion des modes à section longitudinale élec-trique (LSE) et à section longitudinale magnétique (LSM) du guide représentésur la �gure 3.1.a.En déduire et classer par ordre croissant les fréquences de coupure de ces modes.

Figure 3.1.a. Guide rectangulaire métallique creux avec insertion de lamesdiélectriques

Remarque : Ici un mode LSE est donc caractérisé par Ey=0 (H y fonction géné-ratrice) et un mode LSM est caractérisé par H y=0 (Ey fonction génératrice).

Application numérique : a=72,14mm, b=34,04mm, "r1 = 2; 27,"r2 = 10

32

Chapitre 3. Equations de dispersion

3.1.2 Résolution par les schémas équivalents

On place l�origine du repère au milieu et à gauche du guide. La structureprésente trois plans de discontinuité représentés par D1, D2, D3 comme indiquésur la �gure 3.1.b.

Figure 3.1.b. Positionnement du repère et des plans de discontinuité

Représentation des conditions aux limites par un schéma équivalent

Tous les milieux sont homogènes et sont représentés par des opérateurs admit-tances. La largeur b du guide est la même pour toutes les lames, il n�y a pas desection à conditions aux limites mixtes. Les modes restent donc indépendantset sont traités séparément.On en déduit le schéma équivalent dans le plan D2 de la structure représentéesur la �gure 3.1.b par le schéma de la �gure 3.1.c pour chaque mode.

Figure 3.1.c. Schéma électrique équivalent

33


Formulation du problème aux limites

Sur le plan de discontinuité D2, on a :8>>><

>>>:

�!E T1n =

�!E T2n =

�!E Tn�!

HT1n ��!y =�!J T1n�!

HT2n � (��!y ) =�!J T2n�!

J T1n +�!J T2n =

�!0

Or : ( �!J T1n = Y1;n

�!E T1n�!

J T2n = Y2;n�!E T2n

Soit �nalement :(Y1;n + Y2;n)

�!E Tn =

�!0

Pour un mode donné, on en déduit (3.1).

Y �1;n + Y �

2;n = 0 (3.1)

Les couches (0) sont identiques et fermées par des plaques métalliques placéesà une distance a

4 . Par conséquent, elles sont dé�nies par la même admittanceramenée.

Y �0;n = Y �

M0;n coth�p0;n

a

4

�vue depuis D1 ou D3

Avec �=TE ou TM :

Y TEM0;n =

p0;nj!�0

/ Y TMM0;n =

j!"0p0;n

p20;n =�n�

b

�2+ �2 � k20

Les couches (1) et (2) peuvent être considérées comme des longueurs de ligne,de longueur a

4 , fermées par cette admittance ramenée, soit :

Y �1;n = Y �

M1;n

Y �M1;n + Y �

0;n coth�p1;n

a4

�Y �0;n + Y �

M1;n coth�p1;n

a4

�= Y �

M1;n

Y �M1;n + Y �

M0;n coth�p0;n

a4

�coth

�p1;n

a4

�Y �M0;n coth

�p0;n

a4

�+ Y �

M1;n coth�p1;n

a4

�Et :

Y �2;n = Y �

M2;n

Y �M2;n + Y �

M0;n coth�p0;n

a4

�coth

�p2;n

a4

�Y �M0;n coth

�p0;n

a4

�+ Y �

M2;n coth�p2;n

a4

�Avec :

Y TEM1;n =

p1;nj!�0

/ Y TMM1;n =

j!"0"r1p1;n

p21;n =�n�

b

�2+ �2 � k20"r1

34


Y TEM2;n =

p2;nj!�0

/ Y TMM2;n =

j!"0"r2p2;n

p22;n =�n�

b

�2+ �2 � k20"r2

Quel que soit le mode considéré, l�équation de dispersion (3.2) est obtenue àpartir de (3.1).

) 0 = Y �M1;n

Y �M1;n + Y �

M0;n coth�p0;n

a4

�coth

�p1;n

a4

�Y �M0;n coth

�p0;n

a4

�+ Y �

M1;n coth�p1;n

a4

�+ Y �

M2;n

Y �M2;n + Y �

M0;n coth�p0;n

a4

�coth

�p2;n

a4

�Y �M0;n coth

�p0;n

a4

�+ Y �

M2;n coth�p2;n

a4

� (3.2)

Equation de dispersion des modes LSE et LSM

Dans le cas des modes LSE, l�équation (3.2) devient l�équation (3.3).

0 = p1;np1;n + p0;n coth

�p0;n

a4

�coth

�p1;n

a4

�p0;n coth

�p0;n

a4

�+ p1;n coth

�p1;n

a4

� (3.3)

+p2;np2;n + p0;n coth

�p0;n

a4

�coth

�p2;n

a4

�p0;n coth

�p0;n

a4

�+ p2;n coth

�p2;n

a4

�Pour éviter les divisions par zéro, l�équation (3.3) est simpli�ée en (3.4).

0 = p1;n��p1;n + p00;n coth

�p1;n:

a4

��:�p00;n + p02;n

��+p2;n

��p2;n + p00;n coth

�p2;n:

a4

��:�p00;n + p01;n

�� (3.4)

avec

p00;n = p0;n coth�p0;n:

a

4

�p01;n = p1;n coth

�p1;n:

a

4

�p02;n = p2;n coth

�p2;n:

a

4

�Dans le cas des modes LSM, l�équation (3.2) devient l�équation (3.5).

0 ="r1p1;n

"r1p1;n

+coth(p0;n a

4 )p0;n

coth�p1;n

a4

�coth(p0;n a

4 )p0;n

+"r1 coth(p1;n a

4 )p1;n

(3.5)

+"r2p2;n

"r2p2;n

+coth(p0;n a

4 )p0;n

coth�p2;n

a4

�coth(p0;n a

4 )p0;n

+"r2 coth(p2;n a

4 )p2;n

35


Pour éviter les divisions par zéro, l�équation (3.5) est simpli�ée en (3.6).

0 = p2;n"r1��p2;n coth

�p0;n

a4

�+ "r2p0;n coth

�p2;n

a4

��:�

"r1p0;n + p01;n coth�p0;n

a4

��+p1;n"r2

��p1;n coth

�p0;n

a4

�+ "r1p0;n coth

�p1;n

a4

��:�

"r2p0;n + p02;n coth�p0;n

a4

��(3.6)

3.1.3 Résultats

On constate une bonne adéquation entre les résultats théoriques et ceux is-sus de l�analyse avec la méthode des éléments �nis (HFSS) comme en attestentla �gure 3.1.e et le tableau 3.1.d. avec une erreur relative par rapport à HFSSinférieure à 0,2%.Pour un guide creux de dimension a=72,14mm et b=34,04mm, la fréquencede coupure du mode TE10 est de 2; 079GHz. Si il est à moitié rempli de di-électrique "r = 2; 27, la fréquence de coupure est 1; 453GHz, si il est à moitiérempli de diélectrique "r = 10 elle est de 714MHz comme en atteste le tableau3.1.d. E¤ectivement, plus les lames diélectriques sont à forte permittivité, plusla fréquence de coupure du mode fondamental est basse.

LSE01 fc_th�eorique fc_HFSS erreur"r1 = "r2 = 2; 27 1; 453GHz 1; 451GHz 0; 138%"r1 = "r2 = 10 0; 714GHz 0; 713GHz 0; 14%"r1 = 2; 27, "r2 = 10 0; 880GHz 0; 879GHz 0; 114%

Tableau 3.1.d : fréquence de coupure du mode LSE01pour di¤érents guides à lames diélectriques

36


0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fréquence (GHz)

ε eff d

u m

ode

LSE

01

εr1

=εr2

=2.27 Théorique

εr1

=εr2

=10 Théorique

εr1

=10, εr2

=2.27 Théorique

εr1

=εr2

=2.27 HFSS

εr1

=εr2

=10 HFSS

εr1

=10, εr2

=2.27 HFSS

Figure 3.1.e. Comparaisons simulations Matlab / HFSS pour 3 diélectriquessur le mode fondamental LSE01

Reprenons le cas du guide avec deux lames diélectriques di¤érentes ("r1 = 2; 27,"r2 = 10), les fréquences de coupure des quatre premiers modes déduites de lacourbes 3.1.g. sont répertoriées dans le tableau 3.1.f

fc_th�eorique fc_HFSS erreurLSE01 0; 880GHz 0; 879GHz 0; 114%LSE11 1; 893GHz 1; 894GHz 0; 053%LSM11 2; 483GHz 2; 478GHz 0; 201%LSE21 3; 236GHz 3; 251GHz 0; 463%

Tableau 3.1.f : fréquences de coupure desmodes du guide ("r1 = 2; 27; "r2 = 10)

Les équations de dispersion des di¤érents modes sont en bonne adéquation avecles résultats issus de l�analyse avec les éléments �nis, même si l�erreur augmenteavec l�ordre des modes elle reste infèrieure à 1%.

37


0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fréquence (GHz)

ε eff

LSE 01 Théorique

LSE 11 Théorique

LSM 11 Théorique

LSE 21 Théorique

LSE 01 HFSS

LSE 11 HFSS

LSM 11 HFSS

LSE 21 HFSS

Figure 3.1.g. Comparaisons simulations Matlab / HFSS des équations dedispersion des 4 premiers modes pour "r1 = 2; 27; "r2 = 10

La bande monomode théorique�fc_LSE01 ; fc_LSE11

�est de 1,013GHz, la bande

monomode sous HFSS est de 1,015GHz. Pour un guide métallique creux demêmes dimensions, on a une bande monomode de 2,079GHz mais commençantà la fréquence de 2,079GHz.

3.1.4 Code Matlab

Les fonctions F dans le cas LSE donnée en (3.4) et LSM donnée en (3.6)sont explicitées ci-dessous pour la résolution complète voir Annexe D.3.

Code Matlab pour les modes LSE

function y=LSE(beta,n,fo,er1,er2,a,b)% calcul de la somme pour les modes LSE% paramètres fréquentielsomega=2*pi*fo ;ko=omega/3e8 ;

38


% constantes de propagationpn1=sqrt((n*pi/b).^2+beta.^2-ko^2*er1) ;pn2=sqrt((n*pi/b).^2+beta.^2-ko^2*er2) ;pn0=sqrt((n*pi/b).^2+beta.^2-ko^2) ;

% Equation n�(3.4)y=pn1.*(pn1+pn0.*coth(pn0*a/4).*coth(pn1*a/4)).*(pn0.*coth(pn0*a/4)...

+pn2.*coth(pn2*a/4))+(pn0.*coth(pn0*a/4)+pn1.*coth(pn1*a/4))....*pn2.*(pn2+pn0.*coth(pn0*a/4).*coth(pn2*a/4)) ;

Code Matlab pour les modes LSM

function y=LSM(beta,n,fo,er1,er2,a,b)% calcul de la somme pour les modes LSM% paramètres fréquentielsomega=2*pi*fo ;ko=omega/3e8 ;

% constantes de propagationpn1=sqrt((n*pi/b).^2+beta.^2-ko^2*er1) ;pn2=sqrt((n*pi/b).^2+beta.^2-ko^2*er2) ;pn0=sqrt((n*pi/b).^2+beta.^2-ko^2) ;

% Equation n�(3.6)y=er1.*pn2.*(er1.*pn0+coth(pn0*a/4).*pn1.*coth(pn1*a/4)).*(pn2.*...

coth(pn0*a/4)+pn0.*er2*coth(pn2*a/4))+er2.*pn1.*(coth(pn0*a/4)....*pn1+er1*coth(pn1*a/4).*pn0).*(er2.*pn0+coth(pn0*a/4).*pn2....*coth(pn2*a/4)) ;

39


3.2 Ligne micro-ruban

3.2.1 Enoncé

La structure étudiée ici est la ligne micro-ruban imprimée sur un substratdouble couche représentée sur la �gure 3.2.a. Pour la résolution, des parois mé-talliques sont ajoutées latéralement et au-dessus de la ligne, elles ne doivent pasin�uencer les résultats obtenus.

Déterminer l�équation de dispersion pour le mode fondamental de cette lignemicro-ruban.

Figure 3.2.a. Ligne micro-ruban sur substrat double couche

Application numérique : a=12,7mm, b=12,7mm, s=635�m,h1=317,5�m, h2=317,5�m, "r1 = 2; 27, "r2 = 9; 7

40



On place l�origine du repère sur le plan de discontinuité D placé en y=0comme représenté sur la �gure 3.2.b.

Figure 3.2.b. Positionnement du repère et du plan de discontinuité D


D est constitué d�une interface métallique DM et d�une interface diélectriqueDi, D = DM + Di. On dé�nit une source virtuelle en courant Je dé�nie surDM et nulle sur Di. On dé�nit également E sa grandeur duale (dé�nie sur Di

et nulle sur DM ).Tous les milieux sont homogènes et sont représentés par des opérateurs admit-tances. Les milieux (0), (1) et (2) sont représentés dans la même base modalenotée (

�!f �n).

Le schéma équivalent de la structure est alors représenté sur la �gure 3.2.c :


41



Par application des lois de Kirchho¤ au schéma équivalent de la �gure 3.2.c, onobtient :

�!E =

�bY0 + bY1

��1�!J e

La couche homogène (2) est fermée par un court-circuit à une distance h2, sonadmittance caractéristique est notée Y �

M2;n, elle est représentée pour chaquemode par une admittance ramenée Y �

2;n. La couche homogène (1) peut êtreconsidérée comme une longueur de ligne h1 d�admittance caractéristique Y �

M1;n

fermée sur Y �2;n. Les couches (1) et (2) sont donc groupées dans un même opé-

rateur admittance bY1 :

bY1 =X

n;�

��!f �n

EY �1;n

D�!f �n

��avec �=TE ou TM :

Y �1;n = Y �

M1;n

Y �M1;n + Y �

2;n coth (p1;nh1)

Y �2;n + Y �

M1;n coth (p1;nh1)

Y TEM1;n =

p1;nj!�0

/ Y TMM1;n =

j!"0"r1p1;n

Y TEM2;n =

p2;nj!�0

/ Y TMM2;n =

j!"0"r2p2;n

Y �2;n = Y �

M2;n coth (p2;nh2)

p21;n =�n�

a

�2+ �2 � k20"r1 / p22;n =

�n�a

�2+ �2 � k20"r2

Et :bY0 =

X

n;�

��!f �n

EY �0;n

D�!f �n

��Y TEM0;n =

p0;nj!�0

/ Y TMM0;n =

j!"0p0;n

Y �0;n = Y �

M0;n coth (p0;n (b� h1 � h2))

p20;n =�n�

a

�2+ �2 � k20

Application de la méthode de Galerkin

En appliquant la méthode de Galerkin, on obtient donc (3.7).

0 =

��!g ej

�bY0 + bY1

��1�!g e�42


0 =

*�!g ej

X

n;�

��!f �n

E 1

Y �0;n + Y �

1;n

D�!f �n

��!�!g e+

0 =X

n;�

��D�!g ej�!f �n

E��2Y �0;n + Y �

1;n

(3.7)

La fonction d�essai �!g e est similaire au mode fondamental du guide à paroismagnétiques invariant suivant y et z de largeur s (cf Annexe C.2), c�est le modeTM0. Sa fonction d�essai est représentée sur les �gures 3.2.d et 3.2.e.

Figure 3.2.d. Fonction d�essai

�!g e =

8<

:

gex(x) = 0 8x 2 [0; a]

gez(x) =

�+1 x 2

�a�s2 ;

a+s2

�0 x 2

�0; a�s2

�[�a+s2 ; a

�

Détermination des produits scalaires

Figure 3.2.e. Allure du champ transverse

En x = a2 , la structure présente un plan de symétrie de type magnétique alors

que les parois latérales du guide sont électriques, ce qui implique que seuls lesmodes impairs sont excités cf Cours 2.3.3.

43


Des bases orthonormées de l�Annexe C.1, on obtient :

D�!g ej�!f TMn

E=

a+s2Z

a�s2

g�ez(x)fTMnz (x)dx

=

a+s2Z

a�s2

q2a (�j�)q�n�a

�2+ �2

sin(n�

ax)dx

=�j�

q2aq�

n�a

�2+ �2

�� cos(n�a x)n�a

� a+s2

a�s2

=�j�

q2aq�

n�a

�2+ �2

�cos(n�2 �

n�s2a )� cos(

n�2 +

n�s2a )

n�a

�

=�j�

q2aq�

n�a

�2+ �2

2 sin(n�2 ) sin(n�s2a )

n�a

=�2j�

q2aq�

n�a

�2+ �2

(�1)n+12sin�n�s2a

�n�a

Donc : ��D�!g ej�!f TMn

E�� = �sq

2a sin c

�n�s2a

�q�

n�a

�2+ �2

On véri�e bien par le calcul que seuls les modes impairs sont excités, commeannoncé plus haut d�après la condition de symétrie de type magnétique.Comme : D�!g ej

�!f TEn

E=n�

j�a

D�!g ej�!f TMn

E

L�équation se simpli�e en (3.8).

0 =X

n=1;3;5:::

�1

Y TM0;n +Y TM

1;n+

(n��a )2

Y TE0;n +Y

TE1;n

� ��D�!g ej�!f TMn

E��2 (3.8)

44


3.2.3 Résultats

Les résultats obtenus sont comparés avec ceux issus de HFSS pour di¤érentesvaleurs de permittivité sous la ligne et représentés sur la �gure 3.2.f.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Fréquence (GHz)

ε eff d

u m

ode

mic

roru

ban

εr1=εr2=9.7 Théorique

εr1=2.27, εr2=9.7 Théorique

εr1=9.7, εr2=2.27 Théorique

εr1=εr2=9.7 HFSS

εr1=2.27, εr2=9.7 HFSS

εr1=9.7, εr2=2.27 HFSS

Figure 3.2.f. Comparaisons simulations Matlab / HFSS des équations dedispersion de lignes micro-ruban imprimées sur di¤érents substrats

multicouches.

Pour information, l�outil LINECALC (du logiciel Advanced Design System -ADS) donne une permittivité relative e¤ective de 6,315 à 100MHz pour un sub-strat monocouche de 635�m d�épaisseur et avec une permittivité de 9,7, les casmulticouches n�y sont pas traités. A 100MHz, avec HFSS, nous obtenons unepermittivité relative e¤ective de 6,523 dans les mêmes conditions et l�étude théo-rique donne 6,483.Pour le substrat multicouche, l�inversion des permittivités ("r1 ; "r2) valant(2; 27 ; 9; 7) au lieu de (9; 7 ; 27) change la permittivité e¤ective. La di¤érenceimportante entre les permittivités diélectriques bloque les lignes de champ sousla ligne dans le premier cas alors qu�elles pénètrent davantage dans le substratdans le deuxième cas. Dans les trois cas de la �gure 3.2.f, les résultats théoriqueset HFSS sont en excellent accord. On observe bien sur la �gure 3.2.g que lesrésultats sont indépendants des dimensions a et b de la structure.

45


0 5 10 152

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Fréquence (GHz)

ε eff d

u m

ode

mic

roru

ban

a=b=12.7mm Théoriquea=b=25.4mm ThéoriqueHFSS

Figure 3.2.g. Analyse de sensibilité aux dimensions a et b du guide pour laligne imprimée sur le substrat "r1=9.7, "r2=2.27.

3.2.4 Code Matlab

La fonction F donnée en (3.8) est précisée ci-dessous, elle est utilisée dans lecode de l�Annexe D.2 pour obtenir les résultats présentés.

function Somme=Sommeruban(beta,f0,a,b,h1,er1,h2,er2)%dimensions du problèmes=635e-6 ;d=b-h1-h2 ;%constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;%critère de convergencetol=1e-4 ;% paramètres fréquentiels

46


omega=2*pi*f0 ;ko=omega/c0 ;

%initialisation de la somme pour calcul de la convergencen=1 ;Sommeav=10 ;Somme=1 ;

% critère de convergence sur la sommewhile abs(Sommeav-Somme)/abs(Somme)>tol,

Sommeav=Somme ;

% constante de propagation dans le milieu 0p0n=sqrt((n*pi/a)^2+beta^2-ko^2) ;% admittances de mode dans le milieu 0 fermées% par un plan de masse à la distance dY0TE=p0n/(j*omega*uo)*coth(p0n*d) ;Y0TM=j*omega*eo/p0n*coth(p0n*d) ;

% constante de propagation dans le milieu 1p1n=sqrt((n*pi/a)^2+beta^2-ko^2*er1) ;% admittances de mode dans le milieu 1YM1TE=p1n/(j*omega*uo) ;YM1TM=j*omega*eo*er1/p1n ;% constante de propagation dans le milieu 2p2n=sqrt((n*pi/a)^2+beta^2-ko^2*er2) ;% admittances de mode dans le milieu 2 fermées% par un plan de masse à la distance h2Y2TE=p2n/(j*omega*uo)*coth(p2n*h2) ;Y2TM=j*omega*eo*er2/p2n*coth(p2n*h2) ;% admittance de mode des milieux 1 et 2 ramenées dans le plan de la% ligne microrubanY1TE=YM1TE*(YM1TE+Y2TE*coth(p1n*h1))...

/(Y2TE+YM1TE*coth(p1n*h1)) ;Y1TM=YM1TM*(YM1TM+Y2TM*coth(p1n*h1))...

/(Y2TM+YM1TM*coth(p1n*h1)) ;

% calcul du produit scalaire <gejfnTE>% Attention, sinc(x) dans MATLAB : sin(pi*x)/pi*xProdsca=beta./sqrt((n*pi/a)^2+beta.^2)*sinc(n*s/(2*a)) ;% Equation (3.8)if n==1,

Somme=((n*pi/(beta*a))^2/(Y1TE+Y0TE)+...1/(Y1TM+Y0TM))*abs(Prodsca)^2 ;

else

47


Somme=Somme+((n*pi/(beta*a))^2/(Y1TE+Y0TE)+...1/(Y1TM+Y0TM))*abs(Prodsca)^2 ;

end%incrémentation de la somme sur les modes impairsn=n+2 ;

end

Somme=imag(Somme) ;

48


3.3 Ligne coplanaire épaisse

3.3.1 Enoncé

La structure étudiée ici est la ligne coplanaire épaisse imprimée représentéesur la �gure 3.3.a. Pour la résolution, des parois métalliques ont été ajoutéeslatéralement et au-dessus de la ligne.

Déterminer l�équation de dispersion pour le mode fondamental dans la bandemonomode.

Figure 3.3.a. Ligne coplanaire épaisse

Application numérique : a = 12.7mm, b = 12.7mm, s = 2.032mm,w = 381�m, t = 5�m, h = 787�m, "r = 2; 27

49



On place l�origine du repère dans le plan de discontinuité entre les milieuxdiélectrique et air. La structure présente deux plans de discontinuité xOz eny=0 et y=t. On notera D2 celui en y=0 et D1 celui en y=t comme indiqué surla �gure 3.3.b.

Figure 3.3.b. Positionnement du repère et des plans de discontinuité

Le champ électrique transverse correspondant au mode fondamental est repré-senté sur la �gure 3.3.c. En x = a

2 , on constate une symétrie de type murmagnétique alors que les parois latérales sont électriques donc seuls les modesimpairs des milieux (1) et (3) sont excités, cf Cours 2.3.3.

Figure 3.3.c. Allure du champ transverse dans les fentes

Pour simpli�er les calculs, la structure de la �gure 3.3.d équivalente à celle dela �gure 3.3.b est étudiée, ce qui permet de réduire le nombre d�intégrales àcalculer.

50


Figure 3.3.d. Structure équivalente à la �gure 3.3.b en prenant en compte lasymétrie mur magnétique dans le plan �.


Le schéma équivalent de la structure �gure 3.3.d est représenté sur la �gure3.3.e :

Figure 3.3.e. Schéma électrique équivalent

Le quadripôlehbQY

iest spéci�é dans le Cours 2.2.1.


Pour les milieux (1) et (3), seuls les modes n impairs sont excités du fait de lasymétrie magnétique exploitée.

bY1 =X

n;�

��!f �n

EY �1;n

D�!f �n

��bY3 =

X

n;�

��!f �n

EY �3;n

D�!f �n

��51


avec �=TE ou TM :

Y TE1;n =

p1;nj!�0

coth (p1;nd) / Y TE3;n =

p3;nj!�0

coth (p3;nh)

Y TM1;n =

j!"0p1;n

coth (p1;nd) / Y TM3;n =

j!"0"rp3;n

coth (p3;nh)

p21;n =�n�

a

�2+ �2 � k20 / p23;n =

�n�a

�2+ �2 � k20"r

d = b� (h+ t)

et pour le milieu (2) tous les modes sont conservés :

�!J 1"�!J 2"

!=

bY11 bY12bY12 bY11

! �!E e1�!E e2

!

8>><

>>:

bY11 =X

n;�=TE;TM

��!f �0n

EY �11;n

D�!f �0n

��bY12 =

X

n;�=TE;TM

��!f �0n

EY �12;n

D�!f �0n

��Avec : (

Y �11;n = Y �

M2;n coth (p2;nt)

Y �12;n =

�Y �M2;n

sinh(p2;nt)

Et :

Y TEM2;n =

p2;nj!�0

/ Y TMM2;n =

j!"0p2;n

p22;n =�n�w

�2+ �2 � k20

Les sources de champ virtuelles sont représentées par la même fonction d�essai�!E e1 = ve1

�!g e et�!E e2 = ve2

�!g e, qui n�est autre que le mode fondamental duguide à parois électriques équivalent (cf. Cours 2.2.2 et Annexe C.1).


Par application des lois de Kirchho¤ au schéma équivalent de la �gure 3.3.e, onobtient :

�!J 1�!J 2

!=

0

@

�bY11 + bY1

�bY12

bY12�bY11 + bY3

� 1A �!E e1�!E e2

!

52


En appliquant la méthode de Galerkin, cette équation conduit à la solution nontriviale suivante :

det

2

4

0

@

D�!g ej�bY11 + bY1

��!g eE D�!g ejbY12�!g eE

D�!g ejbY12�!g eE D�!g ej

�bY11 + bY3

��!g eE1

A

3

5 = 0

Soit l�équation de dispersion à résoudre (3.9).D�!g ej

�bY11 + bY1

��!g eED�!g ej�bY11 + bY3��!g eE�D�!g ejbY12�!g e

ED�!g ejbY12�!g eE= 0

(3.9)


La fonction d�essai �!g e est représentée ci-dessous :

Figure 3.3.f. Fonction d�essai

�!g e =

8<

:gex(x) =

�+1 x 2

�a�s2 � w; a�s2

�0 x 2

�0; a�s2 � w

�[�a�s2 ;

a2

�gez(x) = 0 8x 2 [0; a]

L�équation de dispersion peut s�écrire sous la forme (3.10) car la fonction d�essaiest colinéaire avec le mode TE0 du guide (2). Les opérateurs bY11 et bY12 sontdonc réduits à un terme (TE0) après projection sur les fonctions d�essai.

0 =

"Y TE11;0

��D�!g ej�!f 0TE0

E��2 +Xn;�

Y �1;n


E��2# :"Y TE11;0


E��2 +Xn;�

Y �3;n


E��2#

��Y TE12;0


E��2�2(3.10)

53


Avec�!f �n la base modale dans les milieux 1 et 3 et

�!f 0�n la base modale dans

le milieu 2. Des bases orthonormées de l�Annexe C.1, on déduit :

D�!g ej�!f

0TE0

E= 2

a�s2Z

a�s2 �w

g�ex(x)f0TE0;x (x)dx

= 2

a�s2Z

a�s2 �w

1pwdx = 2

pw

Le facteur 2 prend en compte la deuxième intégrale omise avec la symétrie. Pourn impair dans les milieux (1) et (3) :

D�!g ej�!f TEn

E= 2

a�s2Z

a�s2 �w

g�ex(x)fTEnx (x)dx

= 2

a�s2Z

a�s2 �w


�2+ �2

cos(n�

ax)dx

=2q

2a�j�an�q�

n�a

�2+ �2

�sin�n�2� n�s2a

�� sin

�n�2� n�s2a

� n�wa

��

=

�2j�an�

q2a (�1)

n�12

q�n�a

�2+ �2

hcos�n�s2a

�� cos

�n�s2a

+n�w

a

�iComme : D�!g ej

�!f TMn

E=n�

j�a

D�!g ej�!f TEn

E

L�équation (3.10) devient l�équation (3.11).

0 =

Y TE11;0 +

"X

n=1;3;5:::

�Y TE1;n +

�n��a

�2Y TM1;n

� ��D�!g ej�!f TEn

E��24w

#!

:

Y TE11;0 +

"X

n=1;3;5:::

�Y TE3;n +

�n��a

�2Y TM3;n

� ��D�!g ej�!f TEn

E��24w

#!

��Y TE12;0

�2(3.11)

54


3.3.3 Résultats

La résolution est en adéquation avec les résultats obtenus sous HFSS commeen atteste la �gure 3.3.g. La courbe de dispersion tend vers la même asymptote"r en hautes fréquences. L�e¤et de l�épaisseur de la ligne est surtout observéaux basses fréquences comme en atteste la �gure 3.3.h. On constate que pourdes épaisseurs faibles 0.1�m à 5�m la courbe de dispersion est peu a¤ectée, elleest similaire à celle obtenue avec le modèle sans épaisseur [Ref_01]. Lorsque lesépaisseurs de métallisation sont plus importantes (35�m) une légère variationde la courbe de dispersion est notable aux fréquences les plus basses.

0 5 10 15 20 25 30 35 401.75

1.8

1.85

1.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

Fréquence (GHz)

ε eff li

gne

copl

anai

re

ThéoriqueHFSS sweep

Figure 3.3.g. Comparaisons simulations Matlab / HFSS pour une lignecoplanaire épaisse de 35�m.

55


0 5 10 15 20 25 30 35 401.75

1.8

1.85

1.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

Fréquence (GHz)

ε eff li

gne

copl

anai

re

t=35µmt=5µmt=0.1µm

Figure 3.3.h. Variation de l�épaisseur de métallisation

3.3.4 Code Matlab

La fonction F donnée en (3.11) est précisée ci-dessous, elle est utilisée dansle code de l�Annexe D.2 pour obtenir les résultats présentés.

function Sommetot=Sommecopla(beta,f0,a,b,t,h,s,w,er)%dimensions du problèmed=b-h-t ;%constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;%critère de convergencetol=1e-6 ;% paramètres fréquentielsomega=2*pi*f0 ;ko=omega/c0 ;

%admittances TE0 de la longueur de ligne correspondant à l�épaisseur

56


%longueur de ligne du milieu 2gte0=sqrt(beta^2-ko^2) ;Yte0=gte0/(j*omega*uo) ;Y11=Yte0*coth(gte0*t) ;Y12=-Yte0/sinh(gte0*t) ;

%initialisation des sommes pour calcul de la convergencen=1 ;Somme1=1 ;Somme2=1 ;Somme1av=10 ;Somme2av=10 ;

% critère de convergence sur les deux sommes simultanémentwhile (abs(Somme1-Somme1av)/abs(Somme1av)>tol)

(abs(Somme2-Somme2av)/abs(Somme2av)>tol)Somme1av=Somme1 ;Somme2av=Somme2 ;% constante de propagation dans le milieu 1p1n=sqrt((n*pi/a)^2+beta^2-ko^2) ;% admittances de mode TE et TM dans le milieu 1 fermées% par un plan de masse à la distance dY1TE=p1n/(j*omega*uo)*coth(p1n*d) ;Y1TM=j*omega*eo/p1n*coth(p1n*d) ;%constantes de propagation dans le milieu 3p3n=sqrt((n*pi/a)^2+beta^2-ko^2*er) ;% admittances de mode TE et TM dans le milieu 3% fermées par un plan de masse à la distance hY3TE=p3n/(j*omega*uo)*coth(p3n*h) ;Y3TM=j*omega*eo*er/p3n*coth(p3n*h) ;% calcul du produit scalaire <gejfnTE>Prodsca=-j*beta*sqrt(2/a)./sqrt((n*pi/a)^2+beta.^2)...

*(cos(n*pi*s/(2*a))-cos(n*pi*s/(2*a)+n*pi*w/a))/(n*pi/a) ;% détermination des sommesif n==1, % cas particulier du premier mode

Somme1=(Y1TE+(n*pi/(beta*a))^2*Y1TM)*abs(Prodsca)^2 ;Somme2=(Y3TE+(n*pi/(beta*a))^2*Y3TM)*abs(Prodsca)^2 ;

else % calcul des séries de l�équation (3.11)Somme1=Somme1+(Y1TE+(n*pi/(beta*a))^2*Y1TM)*...

abs(Prodsca)^2 ;Somme2=Somme2+(Y3TE+(n*pi/(beta*a))^2*Y3TM)*...

abs(Prodsca)^2 ;end% Equation (3.11)Sommetot=(Somme1/w+Y11)*(Somme2/w+Y11)-(Y12)^2 ;

57


% incrémentation sur les modes impairsn=n+2 ;

end

[Ref_01] H. Aubert, H. Baudrand, L�Electromagnétisme par les sché-mas équivalents - Résumé de cours et exercices corrigés, CépaduèsEditions, Collection POLYTECH, Novembre 2003, ISBN 2.85428.618.9

58


3.4 Ligne bilatérale

3.4.1 Enoncé

Détermination de l�équation de dispersion du mode fondamental de la lignebilatérale imprimée représentée sur la �gure 3.4.a. Pour la résolution, la ligneest placée dans un guide à parois métalliques.

Faire une analyse paramétrique en fonction des largeurs des fentes sur la couchesupérieure

Figure 3.4.a. Ligne bilatérale.

Application numérique : a=7,112mm, b=3,556mm, h=200�m, w1=2mm,w2=2mm, w3=3mm, "r = 2; 2

59



On place l�origine du repère dans le plan de discontinuité entre le milieu "ret la couche d�air inférieure comme représenté sur la �gure 3.4.b. La structureprésente deux plans de discontinuité xOz en y=0 et y=h. On notera D2 celuien y=0 et D1 celui en y=h.

Figure 3.4.b. Positionnement du repère et des plans de discontinuité.


D1 est constitué d�une interface métallique D1M et d�une interface diélectriqueD1i, D1 = D1M + D1i. On dé�nit une source virtuelle de tension Ee1 dé�niesur D1i et nulle sur D1M . On dé�nit également J1 sa grandeur duale (dé�niesur D1M et nulle sur D1i). Sur D2 = D2M+D2i, on dé�nit une source virtuelleen courant Je2 dé�nie sur D2M et E2 sa grandeur duale dé�nie sur D2i.Tous les milieux sont homogènes et sont représentés par des opérateurs admit-tances. Ils sont dé�nis sur la même base modale décrite par les fonctions (

�!f �n).

Le schéma équivalent de la structure est alors le suivant :


60



Les milieux (1) et (3) sont identiques et ils sont représentés par le même opéra-teur bY1 :

bY1 =X

n;�=TE;TM

��!f �n

EY �1;n

D�!f �n

��Avec :

Y TE1;n =

p1;nj!�0

coth (p1;nb)

Y TM1;n =

j!"0p1;n

coth (p1;nb)

p21;n =�n�

a

�2+ �2 � k20

Le milieu (2) est représenté par une longueur de ligne h (cf Cours 2.2.1), ainsi : �!

J "1�!

J "e2

!=

bY11 bY12bY12 bY11

! �!E e1�!E 2

!

8>><

>>:

bY11 =X

n;�=TE;TM

��!f �n

EY �11;n

D�!f �n

��bY12 =

X

n;�=TE;TM

��!f �n

EY �12;n

D�!f �n

��Avec : (

Y �11;n = Y �

M2;n coth (p2;nh)

Y �12;n =

�Y �M2;n

sinh(p2;nh)

Et :

Y TEM2;n =

p2;nj!�0

/ Y TMM2;n =

j!"0"rp2;n

p22;n =�n�

a

�2+ �2 � k20"r


Par application des lois de Kirchho¤ au schéma équivalent de la �gure 3.4.c, ondoit trouver l�opérateur hybride bH dé�ni en (3.12).

�!J 1�!E 2

!= bH

�!E e1�!J e2

!(3.12)

61


Or les sources sont virtuelles, donc :

D�!g e1j�!J 1

E= 0

D�!g e2j�!E 2

E= 0

En appliquant la méthode de Galerkin, l�équation (3.12) conduit à la solutionnon triviale (3.13).

0 = det

2

4

0

@



E



E

1

A

3

5 (3.13)

Soit l�équation à résoudre (3.14).


ED�!g e2j bH22�!g e2

E

�D�!g e2j bH21


�!g e2E= 0

(3.14)

Exprimons bH11, bH12, bH21 et bH22. La base modale est la même pour tous lesmilieux, on peut donc travailler mode à mode pour exprimer les composantesde bH. ( �!

J 1n =�!J 01n +

�!J "1n�!

J e2n =�!J 0e2n +

�!J "e2n

( �!J 1n = (Y1n + Y11n)

�!E e1n + Y12n

�!E 2n�!

J e2n = Y12n�!E e1n + (Y1n + Y11n)

�!E 2n

Donc :

( �!J 1n =

�Y1n + Y11n � Y 2

12n

Y1n+Y11n

��!E e1n +

Y12nY1n+Y11n

�!J e2n

�!E 2n =

�Y12nY1n+Y11n

�!E e1n +

1Y1n+Y11n

�!J e2n

Soit matriciellement :

H�n =

�H�11;n H�

12;n

H�21;n H�

22;n

�

=

0

@ Y �1;n + Y �

11;n �(Y �

12;n)2

Y �1;n+Y

�11;n

Y �12;n

Y �1;n+Y

�11;n

�Y �12;n

Y �1;n+Y

�11;n

1Y �1;n+Y

�11;n

1

A

62


Les composantes de l�équation (3.14) sont détaillées ci-dessous :


E=

X

n;�

H�11;n

��D�!g e1j�!f �n

E��2D�!g e1j bH12

�!g e2E

=X

n;�

H�12;n

D�!g e1j�!f �n

ED�!f �nj�!g e2

E


E=

X

n;�

H�21;n

D�!g e2j�!f �n


E

=X

n;�

��H�

12;n

�D�!g e2j�!f �n


E


E=

X

n;�

H�22;n

��D�!g e2j�!f �n

E��2


L�allure du champ transverse et du courant sur le ruban correspondant aumode fondamental sont représentés sur la �gure 3.4.d. En x = a

2 , la structureprésente un plan yOz de symétrie de type magnétique, ce qui implique que seulsles modes impairs sont excités dans les trois milieux (1, 2 et 3). On étudie doncla demi-structure entre 0 et a2 . Comme la symétrie en

a2 est de type magnétique

alors que les parois latérales sont électriques, seuls les modes impairs des troismilieux sont excités (cf Cours 2.3.3).

Figure 3.4.d. Allure du champ transverse

63


Les fonctions d�essai sont représentées ci-dessous :

Figure 3.4.e. Fonction d�essai dans D1

�!g e1 =

8<

:ge1x(x) =

�0 x 2 [0;w1[ [

�a�w22 ; a2

�+1 x 2

�w1;

a�w22

�ge1z(x) = 0 8x

Figure 3.4.f. Fonction d�essai dans D2

�!g e2 =

8<

:

ge2x(x) = 0 8x

ge2z(x) =

�0 x 2

�0; a�w32

�1 x 2

�a�w32 ; a2

�Des bases orthonormées de l�Annexe C.1, on obtient pour n impair :

D�!g e1j�!f TEn

E= 2

a2Z

0

g�e1x(x)fTEnx (x)dx

= 2

a�w22Z

w1

q2a (j�)q�

n�a

�2+ �2

cos(n�

ax)dx

=j�2q

2aq�

n�a

�2+ �2

�sin�n�2 �

n�w22a

�� sin(n�w1a )

�n�a

Avec : D�!g e1j�!f TMn

E=n�

j�a

D�!g e1j�!f TEn

E

64


Par ailleurs :

D�!g e2j�!f TMn

E= 2

a2Z

0

g�e2z(x)fTMnz (x)dx

= 2

a2Z

a�w32


�2+ �2

sin(n�

ax)dx

=(�j�) 2

q2aq�

n�a

�2+ �2

cos�n�2 �

n�w32a

�n�a

Avec : D�!g e2j�!f TEn

E=n�

j�a

D�!g e2j�!f TMn

E

D�où


E=

X

n;�

HTE11;n +

�n�

�a

�2HTM11;n

! ��D�!g e1j�!f TEn

E��2D�!g e1j bH12

�!g e2E

=X

n;�

HTE12;n

D�!g e1j�!f TEn

ED�!f TEn j�!g e2

E

+HTM12;n

D�!g e1j�!f TMn

ED�!f TMn j�!g e2

E

=X

n;�

�n�

j�a

��HTM12;n �HTE

12;n

�D�!g e1j�!f TEn

E�D�!g e2j�!f TMn

E��D�!g e2j bH21

�!g e1E

=X

n;�

��HTE

12;n

�D�!g e2j�!f TEn

ED�!f TEn j�!g e1

E

+��HTM

12;n

�D�!g e2j�!f TMn

ED�!f TMn j�!g e1

E

=X

n;�

�n�

j�a

��HTM12;n �HTE

12;n

�D�!g e2j�!f TMn

E�D�!g e1j�!f TEn

E��D�!g e2j bH22

�!g e2E

=X

n;�

HTM22;n +

�n�

�a

�2HTE22;n

! ��D�!g e2j�!f TMn

E��2

65


3.4.3 Résultats

La ligne bilatérale est très peu dispersive. Les résultats HFSS et théoriquesont en bon accord, comme en atteste la �gure 3.4.g. Une analyse en fonctiondes largeurs des fentes est faite sur la �gure 3.4.h. On constate que les courbesde dispersion sont relativement proches, les lignes de champ se concentrent da-vantage dans le substrat lorsque les fentes sont petites et les lignes présententdonc une permittivité e¤ective plus importante.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

2.02

2.04

2.06

2.08

2.1

2.12

2.14

2.16

2.18

2.2

Fréquence (GHz)

ε eff l

igne

bila

téra

le

ThéoriqueHFSS

Figure 3.4.g. Comparaisons simulations Matlab / HFSS pour la ligne bilatéralelargeur de fentes 556�m.

66


2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

2.02

2.04

2.06

2.08

2.1

2.12

2.14

2.16

2.18

2.2

Fréquence (GHz)

ε eff d

e la

lign

e bi

laté

rale

fente de 556 µmfente de 200 µmfente de 56 µm

Figure 3.4.h. Analyse paramétrique en fonction des largeurs des fentes de laligne bilatérale.

3.4.4 Code Matlab

La fonction F donnée en (3.14) est précisée ci-dessous, elle est utilisée dansle code de l�Annexe D.2 pour obtenir les résultats présentés

function Sommetot=bilat(beta,f0,a,b,h,er,w1,w2,w3)%constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;% critère de convergencetol=1e-4 ;%paramètres fréquencielsomega=2*pi*f0 ;ko=omega/c0 ;% initialisation des sommesn=1 ;Sommetotav=10 ;Sommetot=1 ;clear j

67


% test de convergence sur la sommewhile abs(Sommetotav-Sommetot)/abs(Sommetotav)>tol

%incrémentation de la sommeSommetotav=Sommetot ;%constantes de propagationp1n=sqrt((n*pi/a)^2+beta^2-ko^2) ;p2n=sqrt((n*pi/a)^2+beta^2-ko^2*er) ;%admittances de modeY1TE=p1n/(j*omega*uo)*coth(p1n*b) ;Y1TM=j*omega*eo/p1n*coth(p1n*b) ;YM2TE=p2n/(j*omega*uo) ;Y11TE=YM2TE*coth(p2n*h) ;Y12TE=-YM2TE/sinh(p2n*h) ;YM2TM=j*omega*eo*er/p2n ;Y11TM=YM2TM*coth(p2n*h) ;Y12TM=-YM2TM/sinh(p2n*h) ;% calcul des produits scalairesProdsca1TE=j*beta./sqrt((n*pi/a)^2+beta.^2)*(-sin(n*pi*w1/a)+...

sin(n*pi/2-n*pi*w2/(2*a)))/(n*pi/a) ;Prodsca2TM=-j*beta./sqrt((n*pi/a)^2+beta.^2)*...

cos(n*pi/2-n*pi*w3/(2*a))/(n*pi/a) ;% paramètres de la matrice hybrideH11TE=(Y1TE+Y11TE)-(Y12TE)^2/(Y1TE+Y11TE) ;H11TM=(Y1TM+Y11TM)-(Y12TM)^2/(Y1TM+Y11TM) ;H12TE=Y12TE/(Y1TE+Y11TE) ;H12TM=Y12TM/(Y1TM+Y11TM) ;H22TE=1/(Y1TE+Y11TE) ;H22TM=1/(Y1TM+Y11TM) ;% calcul des di¤érentes sommesif n==1,

Somme1=(H11TE+(n*pi/(a*beta))^2*H11TM)*...abs(Prodsca1TE)^2 ;

Somme2=(H22TM+(n*pi/(a*beta))^2*H22TE)*...abs(Prodsca2TM)^2 ;

Somme3=n*pi/(j*beta*a)*(H12TM-H12TE)*...Prodsca1TE*conj(Prodsca2TM) ;

Somme4=n*pi/(j*beta*a)*(H12TM-H12TE)*...conj(Prodsca1TE)*(Prodsca2TM) ;

elseSomme1=Somme1+(H11TE+(n*pi/(a*beta))^2*H11TM)*...

abs(Prodsca1TE)^2 ;Somme2=Somme2+(H22TM+(n*pi/(a*beta))^2*H22TE)*...

abs(Prodsca2TM)^2 ;Somme3=Somme3+n*pi/(j*beta*a)*(H12TM-H12TE)*...

Prodsca1TE*conj(Prodsca2TM) ;

68


Somme4=Somme4+n*pi/(j*beta*a)*(H12TM-H12TE)*...conj(Prodsca1TE)*(Prodsca2TM) ;

end% Equation (3.14)Sommetot=Somme1*Somme2-(Somme3*Somme4) ;%incrémentation de la somme sur les modes impairsn=n+2 ;

end

69

Chapitre 4

Les discontinuités en guidesd�ondes

Introduction

Pour les discontinuités en guide, si la source réelle et la fonction d�essai cor-respondent, la résolution se simpli�e. Généralement, de part et d�autres de ladiscontinuité, le schéma équivalent est :

Figure 4.0.a. Schéma équivalent de la discontinuité en guide

Résolution

La résolution du schéma électrique équivalent de la �gure 4.0.a conduit au sys-tème (4.1).

2

64

�!E 0�!E 00�!J

3

75 =

2

640 0 10 0 1

�1 �1�bYev + bY 0ev

�3

75

2

64

�!J 0�!J 00�!E e

3

75 (4.1)

71


On pose�!E e = ve

�!g e où ve est une constante et�!g e est la fonction d�essai

dans le plan de discontinuité. Ainsi,D�!g ej

�!E e

E= ve et

D�!g ej�!JE= 0.

La projection de�!E sur

�!f 0 et

�!E 0 sur

�!f 00 permet d�écrire :

D�!f 0j

�!EE=<

�!f 0j

1X

n�=TE;TM

V �n

�!f �n >=

1X

n�=TE;TM

V �n

D�!f 0j

�!f �n

E= V0

De même : D�!f 00j

�!EE= V 00

Par application de la méthode de Galerkin, on obtient le système suivant.

2

4V0V 000

3

5 =

2

6664

0 0D�!f 0j�!g e

E

0 0D�!f 00j�!g e

E

�D�!g ej

�!f 0

E�D�!g ej

�!f 00

E D�!g ej(bYev + bY 0ev)�!g eE

3

7775

2

4I0I 00ve

3

5

On peut simpli�er le système précédent pour obtenir la matrice impédance [Z]de la discontinuité :

�V0V 00

�=

2

664

��D�!g ej�!f 0

E��2h�!g ej(bYev+bY 0

ev)�!g ei

D�!g ej�!f 00

ED�!f 0j�!g e

Eh�!g ej(bYev+bY 0

ev)�!g eiD�!g ej

�!f 0

ED�!f 00j�!g e

Eh�!g ej(bYev+bY 0

ev)�!g ei

��D�!g ej�!f 00

E��2h�!g ej(bYev+bY 0

ev)�!g ei

3

775

�I0I 00

�

Si la source réelle et la fonction d�essai correspondent, alors �!g e est propor-tionnelle à

�!f 0. Comme la base dé�nie sur les

�!f �n est orthonormée et que bYev

est décomposé sur la base dé�nie par les fonctions�!f �n hors

�!f 0, on déduitD�!g ejbYev�!g e

E= 0: Par conséquent, l�équation précédente se simpli�e en (4.2).�

V0V 00

�= [Z]

�I0I 00

�(4.2)

avec la matrice [Z] dé�nie en (4.3).

[Z] = 1

h�!g ejbY 0ev�!g ei

2

64

��D�!g ej�!f 0

E��2 D�!g ej�!f 00

ED�!f 0j�!g e

E

D�!g ej�!f 0

ED�!f 00j�!g e

E ��D�!g ej�!f 00E��23

75 (4.3)

72

Chapitre 4. Les discontinuités en guides d�ondes

Modèle équivalent

La matrice [Z] peut s�écrire sous la forme (4.4).

[Z] = ZS

�1 nn n2

�(4.4)

Avec

n =

D�!f 00j�!g e

E

D�!g ej�!f 0

E 2 R

carD�!f 00j�!g e

E=D�!g ej

�!f 00

E2 R, ainsi que

D�!g ej�!f 0

E. Et :

ZS =

��D�!g ej�!f 0

E��21P

n=0;�=TE;TM

hors mode fondamental

Y 0�n

��D�!g ej�!f 0�n E��2

Par ailleurs, si on prend strictement �!g e =�!f 0, cette matrice se simpli�e en

(4.5).

n =D�!f 00j

�!f 0

E(4.5)

ZS =1

1Pn=0;�=TE;TM

hors mode fondamental

Y 0�n

��D�!f 0j�!f 0�n

E��2On peut représenter le système (4.5) par le quadripôle de la �gure 4.0.b.

Figure 4.0.b. Circuit équivalent de la transition

Simpli�cation

La présence de bYev dans le schéma équivalent n�est pas nécessaire car il sesimpli�e dans le calcul, un modèle simpli�é de la discontinuité peut donc êtreétabli, il est représenté sur la �gure 4.0.c.

73


Figure 4.0.c. Simpli�cation du schéma équivalent 4.0.a

De plus, la source virtuelle en tension en parallèle de la source réelle de courantdu schéma de la �gure 4.0.c peut se simpli�er. E¤ectivement, le champ est connu�!E =

�!E 0 alors que le courant ne l�est pas a priori. Par la suite, on simpli�e le

schéma équivalent en utilisant la transformation de la �gure 4.0.d. Ensuite, lecourant noté

�!J "0 est remplacé par

�!J 0.

Figure 4.0.d. Modi�cation Source réelle / virtuelle pour des modes identiques

Le schéma équivalent �nal est celui de la �gure 4.0.e.

Figure 4.0.e. Schéma équivalent simpli�é �nal

Véri�cation

Véri�ons que la résolution de ce schéma conduit au même résultat que celuiannoncé en (4.5).

�!E 00 =

�!E 0

�!J 0 +

�!J 00 = bY 0ev

�!E 0

74


Soit matriciellement :" �!

J 0�!E 00

#=

� bY 0ev �11 0

�" �!E 0�!J 00

#

�I0V 00

�=

2

4

D�!f 0jbY 0ev

�!f 0

E�D�!f 0j

�!f 00

E

D�!f 00j

�!f 0

E0

3

5�

V0I 00

�

Donc :

V0 =I0

X

n;�

��D�!f 0j�!f 0�n

E��2 Y 0�n +

D�!f 0j

�!f 00

E

X

n;�

��D�!f 0j�!f 0�n

E��2 Y 0�n I 00

�V0V 00

�= ZS

2

41

D�!f 0j

�!f 00

E

D�!f 00j

�!f 0

E ��D�!f 0j�!f 00

E��23

5�

I0I 00

�

On retrouve bien l�équation dé�nie en (4.4) avec (4.5). C�est cette équation quel�on appliquera dans les exercices suivants.

75


4.1 Changement de hauteur, guide rectangulaire

4.1.1 Enoncé

La structure étudiée correspond à un changement asymétrique de hauteurdans un guide d�ondes rectangulaire métallique comme représenté sur la �gure4.1.a.

Calculer la matrice [S] du changement de hauteur de guide dans la bande mo-nomode.

Figure 4.1.a. Changement asymétrique de hauteur de guide

Application numérique : a=72,14mm, b=34,04mm, d=15mm

76



On place l�origine du repère en bas et à gauche dans le plan xOy de discon-tinuité noté D, comme représenté sur la �gure 4.1.b a�n de conserver simulta-nément dans les deux guides les bases modales dé�nies en Annexe C.3.

Figure 4.1.b. Positionnement du repère et plan de discontinuité

Le mode fondamental du petit guide est le mode TE10 (a>b). Le mode fonda-mental du grand guide est le mode TE10 (a>b-d) (cf Annexe C.3). La borneinférieure de la bande monomode est donc fc = 2; 08GHz (fréquence de coupurepour ces deux modes fondamentaux).


D�après les simpli�cations vues en introduction, le schéma équivalent de cettediscontinuité est représenté sur la �gure 4.1.c.


77



pour le guide n�1 pour le guide n�2�!E 0 = V0

�!f TE10

�!J 00 = I 00

�!f

0TE10

�!J 0 = I0

�!f TE10 +

1Pm;n

�=TE;TM

hors TE10

I�mn�!f �mn

�!E 00 = V 00

�!f TE10 +

1Pm;n

�=TE;TM

hors TE10

V 0�mn�!f 0�mn

bY 0ev =1P

m=0;n=0

�=TE;TM

hors TE10

��!f 0�mn iY 0�mnh�!f 0�mn��Y 0TEmn =

0mn

j!�0/ Y 0TMmn = j!"0

0mn

02mn =�m�a

�2+�n�b

�2 � k20


La discontinuité est invariante en x donc les modes excités par la di¤raction dumode fondamental sur l�interface dépendent de la variable x de la même façonque le mode fondamental (TE10). Cette invariance en x implique que seuls lesmodes TE1n et TM1n sont excités lors de la di¤raction du mode fondamentalsur l�iris (cf Cours 2.3.4). La borne supérieure de la bande monomode est donnéepar la fréquence de coupure des modes TE11 et TM11 soit 4,872GHz.

Cette discontinuité est caractérisée par (4.4) avec une impédance dé�nie par(4.6) et un coe¢ cient de transformation dé�ni en (4.7).

ZS =1

1jL!+jC!

(4.6)

n =D�!f

0TE10 j

�!f TE10

E(4.7)

Avec :

L =1

1Pn=1

01n�0

��D�!f TE10 j

�!f 0TE1n

E��2C =

1X

n=1

"0 01n

��D�!f TE10 j

�!f 0TM1n

E��2où ( 01n)

2=��a

�2+�n�b

�2 � k20. Les 01n ne correspondent qu�à des modesévanescents dans la bande monomode, ils sont donc réels positifs.

78


L�impédance ZS est donc équivalente à une inductance en parallèle avec unecapacité. On peut représenter la discontinuité décrite par le quadripôle de la�gure 4.1.d.

Figure 4.1.d. Quadripôle équivalent au changement de hauteur

Calcul des produits scalaires

De la base orthonormée de l�Annexe C.3, on obtient :

D�!f TE10 j

�!f 0TE10

E=

aZ

0

b�dZ

0

�fTE�10x (x; y)f

0TE10x (x; y) + fTE�10y (x; y)f

0TE10y (x; y)

�dxdy

=

r2

ab

s2

a (b� d)

aZ

0

sin2��ax�dx

b�dZ

0

dy =

r1� d

b

D�!f TE10 j

�!f 0TE1n

E

n6=0=

aZ

0

b�dZ

0

fTE�10y (x; y)f0TE1ny (x; y)dxdy

=

2pab�a

q2

a(b�d)q�

�a

�2+�n�b

�2aZ

0

sin2��ax�dx

b�dZ

0

cos�n�

by�dy

=�p2

a

r1� d

b

sin c�n�(b�d)

b

�q�

�a

�2+�n�b

�2Avec : D�!

f TE10 j

�!f TM1n

E

n6=0=�an

b

�D�!f TE10 j

�!f TE1n

E

79


Les paramètres caractéristiques du circuit sont donc :

L =1

1Pn=1

01n�0

�1� d

b

� 2 sin c2(n�(b�d)b )1+(nab )

2

C =1X

n=1

"0 01n

2�1� d

b

� �nab

�2sin c2

�n�(b�d)

b

�1 +

�nab

�2n =

r1� d

b

Comme les impédances de référence des deux guides d�ondes sont celles desmodes fondamentaux (TE10), la matrice [S] de la structure se déduit de lamatrice [Z] par (4.8).

[S] = ([Z]=Z0 � II) ([Z]=Z0 + II)�1 (4.8)

Avec II la matrice identité, ZTE10 = Z0TE10 = Z0 =

j!�0q(�a )

2�k20.

4.1.3 Résultats

La bande monomode de la structure étudiée a comme borne infèrieure lafréquence de coupure du mode TE10 soit 2; 08GHz. La borne supérieure cor-respond au second mode excité. Dans ce cas, il s�agit des modes TE11 et TM11

du grand guide de fréquence de coupure 4; 872GHz. Les résultats obtenus sontcomparés à ceux issus de la simulation HFSS, ils sont représentés sur la �gure4.1.e. Les résultats sont globalement en bon accord.

80


2.5 3 3.5 4 4.5

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Fréquence (GHz)

Par

amèt

res

S (d

B)

|S11| Théorie|S21| Théorie|S11| HFSS|S21| HFSS

Figure 4.1.e. Comparaisons simulations Matlab / HFSS des paramètres [S] duchangement de hauteur de guide rectangulaire métallique

4.1.4 Code Matlab

Les paramètres [S] sont déduits de la matrice impédance dé�nie par (4.6) et(4.7).

% dimensions du problèmea=72.14e-3 ;b=34.04e-3 ;d=15e-3 ;% constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;% critère de convergencetol=1e-5 ;% bande monomodef=[c0/(2*a)+0.01e9 :0.01e9 :c0/2*sqrt(1/a^2+1/b^2)-0.01e9] ;% transformateur Equation (4.7)

81


nz=sqrt((b-d)/b) ;

for q=1 :length(f) % balayage en fréquence% paramètres fréquentielsomega=2*pi*f(q) ;ko=omega/c0 ;

% calcul de l�inductanceL=1 ;Lav=10 ;n=1 ;while abs(Lav-L)/L>tol % critère de convergence

Lav=L ;% constante de propagationg1n=sqrt((pi/a)^2+(n*pi/b)^2-ko^2) ;if n==1,

L=1/(2*g1n/uo*(1-d/b).*sinc(n*(b-d)/b).^2./(1+...(n*a/b).^2)) ;

elseL=1/(1/L+2*g1n/uo*(1-d/b).*sinc(n*(b-d)/b).^2./(1+...(n*a/b).^2)) ;

endn=n+1 ;

end%calcul de la capacitén=1 ;C=1 ;Cav=10 ;while abs(Cav-C)/C>tol % critère de convergence

Cav=C ;g1n=sqrt((pi/a)^2+(n*pi/b)^2-ko^2) ;if n==1,

C=2*(1-d/b)*(n*a/b)^2*eo/g1n.*sinc(n*(b-...d)/b).^2./(1+(n*a/b).^2)*(1-d/b) ;

elseC=C+2*(1-d/b)*(n*a/b)^2*eo/g1n.*sinc(n*(b-...

d)/b).^2./(1+(n*a/b).^2)*(1-d/b) ;endn=n+1 ;

end% détermination de ZsZs=1/(1/(j*L*omega)+j*C*omega) ;% calcul de la matrice impédance Equation (4.6)Z=Zs*[1 nz ; nz (nz)^2] ;%impédance de normalisation du mode TE10

82


Zo=j*omega*uo/sqrt((pi/a)^2-ko^2) ;%Paramètres [S] Equation (4.8)S=(Z/Zo-eye(2))*inv(Z/Zo+eye(2)) ;S11(q)=S(1,1) ;S21(q)=S(2,1) ;

end

83


4.2 Changement de largeur, guide rectangulaire

4.2.1 Enoncé

La structure étudiée correspond à un changement asymétrique de largeurd�un guide d�ondes rectangulaire métallique comme représenté sur la �gure 4.2.a.

Calculer la matrice [S] du changement de largeur de guide dans la bande mono-mode.

Figure 4.2.a. Changement asymétrique de largeur de guide

Application numérique : A=72,14mm, b=34,04mm, a=50mm

84



On place l�origine du repère en bas et à gauche dans le plan xOy de discon-tinuité noté D, comme représenté sur la �gure 4.2.b a�n de conserver simulta-nément les bases modales dans les deux guides, elles sont dé�nies en AnnexeC.3.

Figure 4.2.b. Positionnement du repère et du plan de discontinuité.

Comme a>b et A>b, les modes fondamentaux des deux guides représentés surla �gure 4.2.b sont les modes TE10. Les fréquences de coupure de ces modessont de 3GHz pour le petit guide et de 2; 08GHz pour le grand guide. Labande monomode commence donc à 3GHz pour que les deux modes soientsimultanément propagatifs.




85




�!f TE10

�!J 00 = I 00

�!f

0TE10

�!J 0 = I0

�!f TE10 +

1Pm;n

�=TE;TM

hors TE10

I�mn�!f �mn

�!E 00 = V 00

�!f TE10 +

1Pm;n

�=TE;TM

hors TE10


bY 0ev =1P

m=0;n=0

�=TE;TM

hors TE10

��!f 0�mn iY 0�mnh�!f 0�mn��Y 0TEmn =

0mn

j!�0/ Y 0TMmn = j!"0

0mn

02mn =�m�A

�2+�n�b

�2 � k20


La discontinuité est invariante par translation suivant l�axe Oy donc le problèmeaux limites à formuler est aussi indépendant de la variable y. Seuls les modesTEm0 et TMm0 sont excités lors de la di¤raction du mode fondamental sur l�iris(cf. Cours 2.3.4). Or les modes TMm0 n�existent pas, seuls les modes TEm0 sontexcités (cf. Annexe C.3). La borne supérieure de la bande monomode est donnéepar la fréquence de coupure du mode TE20, soit 4; 16GHz.Cette discontinuité est caractérisée par l�impédance dé�nie en (4.9) et le trans-formateur de (4.10).

ZS =1

1Pm=2

Y 0TEm0

��D�!f TE10 j

�!f 0TEm0

E��2soit

ZS = j! �01P

m=2 0m0

��D�!f TE10 j�!f 0TEm0

E��2 = jL!(4.9)

n =D�!f 0TE10 j

�!f TE10

E(4.10)

avec ( 0m0)2=�m�A

�2 � k20.Puisque les 0m0 ne correspondent qu�à des modes évanescents dans la bandemonomode, l�impédance ZS est donc équivalente à une inductance. On peutreprésenter la discontinuité par le quadripôle de la �gure 4.2.d.

86


Figure 4.2.d. Quadripôle équivalent au changement de largeur


D�!f TE10 j

�!f 0TEm0

E=

aZ

0

bZ

0

fTE�10y (x; y)f0TEm0y(x; y)dxdy

=

r2

ab

r2

Ab

aZ

0

bZ

0

sin��ax�sin�m�

Ax�dxdy

=2paA

a

�

sin�m�aA

��1� m2a2

A2

�=2pa

�pA

sin�m�aA

��1� m2a2

A2

�D�où on obtient :

L =�0

1Pm=2

0m04aA�2

sin2(m�aA )�

1�m2a2

A2

�2et n =

2pa

�pA

sin��aA

��1� a2

A2

�Les impédances de référence des deux guides d�ondes sont celles des modesfondamentaux, ZTE10 et Z 0TE10 , on en déduit (4.11).

[S] = ([z]� II) ([z] + II)�1 (4.11)

Avec [z] =

2

4ZSZTE10

nZSpZTE10 Z0TE10

nZSpZTE10 Z0TE10

n2ZSZ0TE10

3

5, ZTE10 = j!�0q(�a )

2�k20et Z 0TE10 = j!�0q

( �A )2�k20

.

87


4.2.3 Résultats

La bande monomode de la structure étudiée a comme borne infèrieure lafréquence de coupure du mode TE10 du petit guide 3GHz. La borne supérieurecorrespond au second mode excité. Dans ce cas, il s�agit du mode TE20 du grandguide de fréquence de coupure 4; 16GHz. Les résultats obtenus sont comparésà ceux issus de la simulation HFSS, ils sont représentés sur la �gure 4.2.e. Lesrésultats sont globalement en bon accord.

3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Fréquence (GHz)

Par

amèt

res

S (d

B)


Figure 4.2.e. Comparaisons simulations Matlab / HFSS des paramètres [S] duchangement de largeur de guide rectangulaire métallique

88


4.2.4 Code Matlab

Les paramètres [S] sont déduits de la matrice impédance déduite de (4.9) et(4.10).

% dimensions du problèmea=50e-3 ;A=72.14e-3 ;%constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;%critère de convergencetol=1e-6 ;%bande monomodef=[c0/(2*a)+0.01e9 :0.01e9 :c0/A-0.01e9] ;

% transformateur Equation (4.10)nz=2/pi*sqrt(a/A)*sin(pi*a/A)/(1-(a/A)^2) ;

for q=1 :length(f)% balayage en fréquence% paramètres fréquentielsomega=2*pi*f(q) ;ko=omega/c0 ;% détermination de l�inductance en parallèleL=1 ;Lav=10 ;n=2 ;while abs(Lav-L)/L>tol % critère de convergence

Lav=L ;gn0=sqrt((n*pi/A)^2-ko^2) ;if n==2,

L=1/(4*a/(pi^2*A)*gn0.*sin(n*pi*a/A).^2./(1-...(n*a/A).^2)^2) ;

elseL=1/(1/L+4*a/(pi^2*A)*gn0.*sin(n*pi*a/A)...

.^2./(1-(n*a/A).^2)^2) ;endn=n+1 ;

endL=L*uo ;% Equation (4.9)Zp=j*L*omega ;Z=Zp*[1 nz ; nz (nz)^2] ;% impédance de renormalisation

89


ZTE10p=j*omega*uo/sqrt((pi/A)^2-ko^2) ;ZTE10=j*omega*uo/sqrt((pi/a)^2-ko^2) ;Zo=[ZTE10 sqrt(ZTE10*ZTE10p) ;sqrt(ZTE10*ZTE10p) ZTE10p] ;% détermination de la matrice S Equation (4.11)S=(Z./Zo-eye(2))*inv(Z./Zo+eye(2)) ;S11(q)=S(1,1) ;S21(q)=S(2,1) ;

end

90


4.3 Changement de diamètre, guide circulaire

4.3.1 Enoncé

La structure étudiée correspond au changement de diamètre d�un guided�ondes circulaire métallique, comme représenté sur la �gure 4.3.a.

Calcul de la matrice [S] de cette jonction dans la bande monomode.

Figure 4.3.a. Jonction symétrique entre deux guides circulaires métalliques

Application numérique : A=8,382mm, a=6,985mm.

91



On choisit par commodité un repère cylindrique centré à l�interface des deuxguides a�n de conserver simultanément dans les deux guides les bases modalesdé�nies en Annexe C.6.

Figure 4.3.b. Positionnement du repère et plan de discontinuité.

Le mode fondamental des deux guides circulaires est le mode TE11, cf An-nexe C.6, de fréquence de coupure 12; 58GHz pour le petit guide et 10; 48GHzpour le grand guide.La borne infèrieure de la bande monomode est donc 12; 58GHz.




92




�!f TE11

�!J 00 = I 00

�!f

0TE11

�!J 0 = I0

�!f TE11 +

1Pm;n

�=TE;TM

hors TE11

I�mn�!f �mn

�!E 00 = V 00

�!f

0TE11 +

1Pm;n

�=TE;TM

hors TE11


bY 0ev =1P

m=1;n=0

�=TE;TM

hors TE11

��!f 0�mn iY 0�mnh

�!f

0�mn

��Y 0TEmn =

0TEmn

j!�0/ Y 0TMmn = j!"0

0TMmn� 0TEmn

�2=��0mn

A

�2� k20�

0TMmn

�2=��mn

A

�2 � k20


On a invariance en � de la structure et les modes en excitation sont des modesTE11, seuls les modes TEm1 et TMm1 sont excités par le changement de dia-mètre du guide (cf Cours 2.3.4). La fréquence de coupure haute de la bandemonomode est donnée par le mode TM11, soit 21; 826GHz.Cette discontinuité est caractérisée par l�impédance (4.12) et le transformateur(4.13).

ZS =1

1jL!+jC!

(4.12)

n =D�!f 0TE11 j

�!f TE11

E2 R (4.13)

Avec :

L =1

1Pm=1

hors TE11

0TEm1

�0

��D�!f TE11 j

�!f 0TEm1

E��2

C =1X

m=1

"0 0TMm1

��D�!f TE11 j

�!f 0TMm1

E��2où� 0TMm1

�2=��m1

A

�2 � k20 et� 0TEm1

�2=��0m1

A

�2� k20. Puisque les

0�m1 ne cor-

respondent qu�à des modes évanescents dans la bande monomode, l�impédanceZS est donc équivalente à une inductance en parallèle avec une capacité.

93


On peut représenter cette discontinuité par le quadripôle représenté sur la�gure 4.2.d.

Figure 4.2.d. Quadripôle équivalent

Détermination des produits scalaires :

Les expressions des constantes de normalisation sont détaillées en Annexe C.6.

D�!f TE11 j

�!f 0TEm1

E= ATE11 A0TEm1

aZ

0

2�Z

0

cos2 �J1(

�011�a )J1(

�0m1�A )

�2

+�011�

0m1 sin

2 �J 01(�011�a )J 01(

�0m1�A )

aA

!�d�d�

= ATE11 A0TEm1 �

aZ

0

"J1(

�011�a )J1(

�0m1�A )

�

+�011�

0m1J

01(�011�a )J 01(

�0m1�A )

aA�

#d�

D�!f TE11 j

�!f 0TMm1

E= ATE11 A0TMm1 �

aZ

0

�m1J1(

�011�a )J 0n(

�m1�A )

A�

+�011J

01(�011�a )J1(

�m1�A )

a�

!�d�

En posant U = J1(�011a �) (U

0 =�011a J 01(

�011a �)) et V = J1(

�m1

A �) (V 0 = �m1

A J 01(�m1

A �)),on obtient :

D�!f TE11 j

�!f 0TMm1

E= ATE11 A0TMm1 �J1

��m1aA

�J1 (�

011)

Les impédances de référence des deux guides d�ondes sont celles des modesfondamentaux, ZTE11 et Z 0TE11 , on en déduit (4.14).

[S] = ([z]� II) ([z] + II)�1 (4.14)

94


Avec [z] =

2

4ZSZTE11

nZSpZTE11 Z0TE11

nZSpZTE11 Z0TE11

n2ZSZ0TE11

3

5, ZTE11 = j!�0s��011a

�2�k20

et Z 0TE11 = j!�0s��011A

�2�k20

.

4.3.3 Résultats

La bande monomode de la structure étudiée a comme borne infèrieure lafréquence de coupure du mode TE11 soit 12; 58GHz. La borne supérieure cor-respond au second mode excité. Dans ce cas, il s�agit du mode TM11 de fré-quence de coupure 21; 82GHz. Les résultats obtenus sont comparés à ceux issusde la simulation HFSS, ils sont représentés sur la �gure 4.3.e. Les résultats sontglobalement en bon accord.

13 14 15 16 17 18 19 20 21 2250

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Fréquence (GHz)

Para

mèt

res

S (d

B)


Figure 4.3.e. Comparaisons simulations Matlab / HFSS des paramètres [S] duchangement de diamètre de guide circulaire métallique

95


4.3.4 Code Matlab

Les intégrales dé�nies dans les constantes de normalisation et les produitsscalaires sont évaluées numériquement avec la fonction quad de MATLAB. Leszéros des fonctions de Bessel et de leurs dérivées sont explicités en Annexe A.Les fonctions FTE et FTM sont détaillées en Annexe E.1. Les paramètres [S]sont déduits de la matrice impédance dé�nie par (4.12) et (4.13).

% dimensions et constantesa=6.985e-3 ;A=8.382e-3 ;uo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;

% récupération des zéros des fonctions% de Bessel et de sa dérivéeload ZeroJload ZeroDJfor m=1 :2,

if (size(ZeroDJ,1)<2 | size(ZeroDJ,2)<m) | ZeroDJ(2,m)==0,zeroderivBesselj(1,m) ;load ZeroDJ

endif (size(ZeroJ,1)<2 | size(ZeroJ,2)<m) | ZeroJ(2,m)==0,

zeroBesselj(1,m) ;load ZeroJ

endendfc1=ZeroDJ(2,1)/a*c0/(2*pi)fc2=min([ZeroJ(2,1) ; ZeroDJ(2,2)])/A*c0/(2*pi)f=[fc1+0.01e9 :0.5e9 :fc2-0.01e9] ;

tol=1e-4 ;prec=1e-30 ;%calcul de la norme de fTE11ATE11=1/sqrt(quad(@FTE,prec,a,[],[],1,1,a,1,1,a)) ;%calcul de la norme de fTE11�ATE11p=1/sqrt(quad(@FTE,prec,A,[],[],1,1,A,1,1,A)) ;% calcul de <gejfTE11>% calcul de <gejfTE11p>int11p=ATE11p*ATE11*quad(@FTE,prec,a,[],[],1,1,a,1,1,A) ;% Equation (4.13)nz=conj(int11p) ;for q=1 :length(f)

96


% paramètres fréquentielsomega=2*pi*f(q) ;ko=omega/c0 ;% initialisation des indices des modesm=1 ;% initialisation des valeurs des L et CL=1 ;C=1 ;Lav=10 ;Cav=10 ;

while abs(Lav-L)/L>tol j abs(Cav-C)/C>tol% critère d�arrêt% determination des zéros de la fonction de Bessel% et de sa dérivéeif (size(ZeroDJ,1)<2 j size(ZeroDJ,2)<m) j ZeroDJ(2,m)==0,

zeroderivBesselj(1,m) ;load ZeroDJ

endif (size(ZeroJ,1)<2 j size(ZeroJ,2)<m) j ZeroJ(2,m)==0,

zeroBesselj(1,m) ;load ZeroJ

end%constantes de propagationgmnTEp=sqrt((ZeroDJ(2,m)/A)^2-ko^2) ;gmnTMp=sqrt((ZeroJ(2,m)/A)^2-ko^2) ;

%calcul de la norme de fTEnm�ATEnmp=1/sqrt(quad(@FTE,prec,A,[],[],1,m,A,1,m,A)) ;% calcul du produit scalaire <gejfTEnm�>intTEp=ATE11*ATEnmp*quad(@FTE,prec,a,[],[],1,1,a,1,m,A) ;% calcul de la norme de fTMnm�ATMnmp=1/sqrt(quad(@FTM,prec,A,[],[],1,m,A,1,m,A)) ;% calcul du produit scalaire <gejfTEnm�>intTMp=ATE11*ATMnmp*besselj(1,ZeroJ(2,m)*a/A)*...

besselj(1,ZeroDJ(2,1)) ;% calcul de L et Cif m==1

% on traite séparément le cas TM11 car on ne doit pas% considérer le mode TE11 déjà pris en compte% dans le transformateurCav=C ;C=sum(sum(eo./gmnTMp.*abs(intTMp).^2)) ;

elseLav=L ;Cav=C ;

97


C=C+eo./gmnTMp.*abs(intTMp).^2 ;if m==2,

% cas particulier du premier mode TE% à prendre en compte dans la sérieL=1/(sum(sum(gmnTEp./uo.*abs(intTEp).^2))) ;

elseL=1/(1/L+sum(sum(gmnTEp./uo.*abs(intTEp).^2))) ;

endend% incrémentation des indices de la sommem=m+1 ;

end% Equation (4.12)Zp=1/(1/(j*L*omega)+j*C*omega) ;% impédance de normalisation des guidesgte11=sqrt((ZeroDJ(2,1)/a)^2-ko^2) ;ZTE11=j*omega*uo/gte11 ;gte11p=sqrt((ZeroDJ(2,1)/A)^2-ko^2) ;ZTE11p=j*omega*uo/gte11p ;% calcul de [Z] correspondant à l�irisZ=Zp*[1 nz ; nz (nz)^2] ;% impédances de référenceZo=[ZTE11 sqrt(ZTE11*ZTE11p) ;sqrt(ZTE11*ZTE11p) ZTE11p] ;% détermination de la matrice S Equation (4.14)S=(Z./Zo-eye(2))*inv(Z./Zo+eye(2)) ;S11(q)=S(1,1) ;S21(q)=S(2,1) ;S22(q)=S(2,2) ;

end

98


4.4 Excitation mode de résonance de cavité rec-tangulaire par sondes coaxiales

4.4.1 Enoncé

Excitation d�un mode de résonance dans une cavité métallique rectangulairecreuse par deux sondes coaxiales représentée sur la �gure 4.4.a.

Déterminer la largeur B de la cavité pour que celle-ci résonne sur le mode TM110

en milieu de bande X ([8,2 ; 12,4] GHz.Déterminer la matrice [S] de couplage entre les deux sondes.

Figure 4.4.a. Résonance de cavité

Application numérique : A=50mm, C=18mm, a=1mm, b=3,34mm.

99



Les fréquences de résonance des modes TEmnp (et TMmnp ) pour une cavitérectangulaire creuse à parois métalliques sont données par :

fc_mnp =c

2

r�mA

�2+� nB

�2+� p

C

�2Pour que la cavité résonne selon le mode TM110 en milieu de bande (f=10,3GHz),la dimension B est alors de :

B =1r�

2fc

�2� 1

A2

� 15; 22mm

Les modes en excitation des deux sondes sont des modes TEM comme dé�nisen Annexe C.8.La structure admet �1 comme plan de symétrie, on étudiera donc successive-ment le cas pair et le cas impair, cf Cours 2.3.2.On prend l�origine au centre de la sonde coaxiale, dans le plan de jonction (xOy)noté D entre la sonde et la cavité parallélépipèdique comme représenté sur la�gure 4.4.b.



La prise en compte de la symétrie dans le plan �1 simpli�e énormément lastructure puisqu�il ne reste qu�une source en accès sur une cavité fermée repré-sentée par un opérateur admittance. Comme la fonction d�essai à la jonction duguide coaxial et de la cavité correspond au mode fondamental du guide coaxial,l�opérateur correspondant aux modes évanescents du guide coaxial se simpli�ecomme vu en introduction de ce chapitre. Finalement le schéma équivalent estreprésenté sur la �gure 4.4.c.

100




pour le guide coaxial pour la cavité�!E 0 = V0

�!f TEM0 = V0

�!f 0

bY 0f pairimpairg

=1P

m=0;n=0

�=TE;TM

��!f 0�mn iY 0�mnh�!f 0�mn��!J 0 = I0

�!f 0 +

1Pm=0;n=0

�=TE;TM

I�mn�!f �mn Y 0TEmn =

0mn

j!�0coth ( 0mnC)

Y 0TMmn = j!"0 0mn

coth ( 0mnC)

( 0mn)2=�m�A

�2+�n�B

�2 � k20


Par application des lois de Kirchho¤ au schéma équivalent de la �gure 4.4.c, onobtient (4.15).

I0V0= Yf pair

impairg =D�!f 0jbYf pair

impairg�!f 0

E

Yf pairimpairg =

1X

m;n;�

Y 0�mn

��D�!f 0j�!f 0�mn

E��2 (4.15)

Le cas pair renvoie à la présence d�un mur magnétique en �1 où seuls les modesimpairs en x sont excités puisque les parois de la cavité sont électriques commeexpliqué dans le Cours 2.3.3, ce qui conduit à l�équation (4.16).

Ypair =1P

m=2p+1;n;�Y 0�mn

��D�!f 0j�!f 0�mn

E��2 (4.16)

Le cas impair renvoie à la présence d�un mur électrique en �1 où seuls les modespairs en x sont excités puisque les parois de la cavité sont électriques commeexpliqué dans le Cours 2.3.3. De plus une symétrie en x = 0 de type magnétique,a¤érente à la source (Mode TEM du guide coaxial) peut également être priseen compte sur cette demi-structure, seuls les modes d�indice 2(2k+1) sont doncexcités dans le cas de la symétrie impaire, ce qui conduit à l�expression (4.17).

101


Yimpair =1P

m=2(2k+1);n;�

Y 0�mn

��D�!f 0j�!f 0�mn

E��2 (4.17)

De ces deux calculs est déduite la matrice [Y ] selon le Cours 2.3.2 puis la matrice[S] correspondante.La fonction d�essai est celle du mode TEM d�un guide coaxial, invariant suivant�. Comme démontré en Annexe C.8, la fonction d�essai est dé�nie par :

�!g e =

8<

:ge�(�; �) =

� 1� 8r 2 [a; b] , 8� 2 [0; 2�]0 sinon

ge�(�; �) = 0 8r 2 [a; b] , 8� 2 [0; 2�]

Détermination des produits scalaires :

Il faut modi�er la base modale dé�nie sur les fonctions�!f 0�mn pour qu�elle cor-

responde au repère choisi et qu�elle soit dé�nie en coordonnées cylindriques. Onfait un changement d�origine : �

x! x+ A4

y ! y + B2

puis un changement de variables :�x = � cos �y = � sin �

donc :

f�mn_x ou y(x; y)! f�mn_x ou y(� cos � +A

4; � sin � +

B

2)

En�n un changement de repère :� �!� = cos ��!x + sin ��!y�!� = � sin ��!x + cos ��!y

La base modale du guide rectangulaire à parois métalliques dans le repère cy-lindrique en coordonnées cylindriques s�écrit donc :

f�mn_�(�; �) = f�mn_x(� cos � +A

4; � sin � +

B

2) cos �

+f�mn_y(� cos � +A

4; � sin � +

B

2) sin �

f�mn_�(�; �) = f�mn_x(� cos � +A

4; � sin � +

B

2) (� sin �)

+f�mn_y(� cos � +A

4; � sin � +

B

2) cos �

102


De la base orthonormée de l�Annexe C.1, on obtient :

D�!f 0j

�!f TEm;n

E=

1q2� ln( ba )

q2�mAB

q�m�A

�2+�n�B

�2��n�B

�Im;n +

�m�A

�Jm;n

�

D�!f 0j

�!f TMm;n

E=

1q2� ln( ba )

2pAB

q�m�A

�2+�n�B

�2 h�m�A �Im;n +

�n�B

�Jm;n

i

Avec :8>>>>>><

>>>>>>:

Imn =

bZ

a

2�Z

0

cos�m��A cos � + m�

4

�sin�n��B sin � + n�

2

�cos �d�d�

Jmn =

bZ

a

2�Z

0

sin�m��A cos � + m�

4

�cos�n��B sin � + n�

2

�sin �d�d�

Les intégrales Imn et Jmn sont évaluées numériquement. Avec Ypair et Yimpairdé�nis respectivement par les équations (4.16) et (4.17), on en déduit la matrice[S] du quadripôle cf Cours 2.3.2 dé�nie en (4.19) via l�équation (4.18).

Y =

"Ypair+Yimpair

2Ypair�Yimpair

2Ypair�Yimpair

2Ypair+Yimpair

2

#(4.18)

S = [II � Z0 [Y ]] [II + Z0 [Y ]]�1 (4.19)

Avec Z0 = ZTEM =q

�0"0

4.4.3 Résultats

On observe les paramètres S dans la bande X imposée au départ. Les résultatsobtenus sont comparés à ceux issus de la simulation HFSS, ils sont représentéssur la �gure 4.4.d. Les résultats sont globalement en bon accord. On observedeux résonances à des fréquences de 10.3GHz (comme attendu) et 11.54GHzcorrespondant respectivement aux modes de résonance TM110 et TM210:

103


8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.580

70

60

50

40

30

20

10

0

Fréquence (GHz)

Par

amèt

res

S

|S11| Théorique|S21| Théorique|S11| HFSS|S21| HFSS

Figure 4.4.d. Comparaisons simulations Matlab/HFSS des paramètres [S] ducouplage entre deux sondes coaxiales par modes de résonance de cavité

rectangulaire métallique

4.4.4 Code Matlab

Les paramètres [S] sont déduits des admittances dé�nies par (4.16) et (4.17).

clear all% constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;% bande de fréquencef=[8.2 :0.01 :12.4]*1e9 ;% fréquence centralefc=((12.4-8.2)/2+8.2)*1e9 ;% dimensions de la cavitéA=50e-3 ;B=1/sqrt((2*fc/c0)^2-(1/A)^2)

104


C=18e-3 ;% dimensions des coaxa=1e-3 ;b=3.34e-3 ;% critère d�arrêt de la convergencetol=1e-3 ;

for k=1 :length(f) % balayage en fréquence%paramètres fréquentielsomega=2*pi*f(k) ;ko=omega/c0 ;% cas symétrie magnétique (Symétrie Paire) en x% symétrie magnétique en y (on a donc que les impairs% suivant les deux indices)m=1 ;n=0 ;% initialisation des paramètresSommeP=100 ;SommeavP=10 ;

% Calcul de Ypair Equation (4.16)while abs(SommeP-SommeavP)/abs(SommeavP)>tol

% critère d�arrêtSommeavP=SommeP ;%indices des modesindice(1, :)=[[1 :2 :m] m*ones(1,length([0 :n])-1)] ;indice(2, :)=[n*ones(1,length([1 :2 :m])-1) [0 :n]] ;%constante de propagationgmn=sqrt((indice(1, :)*pi/A).^2+(indice(2, :)*pi/B).^2-ko^2) ;%impédances de mode ramenéesYte=gmn./(j*omega*uo).*coth(gmn*C) ;Ytm=j*omega*eo./gmn.*coth(gmn*C) ;% calcul des intégrales numériquementfor p=1 :size(indice,2),

Imn(p)=dblquad(@IntImn,a,b,0,pi*2,[],[],indice(1,p)...,indice(2,p),A,B) ;

Jmn(p)=dblquad(@IntJmn,a,b,0,pi*2,[],[],indice(1,p)...,indice(2,p),A,B) ;

end%calcul des produits scalairesProdscaTE=2./sqrt(A*B)./sqrt((indice(1, :)./A).^2+(indice(...

2, :)./B).^2).*(-indice(2, :)./B.*Imn+indice(1, :)./A.*Jmn) ;ProdscaTM=2./sqrt(A*B)./sqrt((indice(1, :)./A).^2+(indice(...

2, :)./B).^2).*(indice(1, :)./A.*Imn+indice(2, :)./B.*Jmn) ;if m==1,

105


SommeP=sum((Yte.*abs(ProdscaTE).^2+...Ytm.*abs(ProdscaTM).^2)) ;

elseSommeP=SommeP+sum((Yte.*abs(ProdscaTE).^2+...

Ytm.*abs(ProdscaTM).^2)) ;end%incrémentation des indices des modesn=n+1 ;m=m+2 ;clear indice Imn Jmn

end% cas symétrie électrique (Symétrie Impaire) en x% symétrie magnétique en y (on a donc que les pairs% en m et que les impairs en y)m=2 ;n=0 ;% initialisation des paramètresSommeI=100 ;SommeavI=10 ;

% Calcul de Yimpair Equation (4.17)while abs(SommeI-SommeavI)/abs(SommeavI)>tol % critère d�arrêt

SommeavI=SommeI ;

%indices des modesindice(1, :)=[[2 :4 :m] m*ones(1,length([0 :n])-1)] ;indice(2, :)=[n*ones(1,length([2 :4 :m])-1) [0 :n]] ;%constante de propagationgmn=sqrt((indice(1, :)*pi/A).^2+(indice(2, :)*pi/B).^2-ko^2) ;%impédances de mode ramenéesYte=gmn./(j*omega*uo).*coth(gmn*C) ;Ytm=j*omega*eo./gmn.*coth(gmn*C) ;% calcul des intégrales numériquementfor p=1 :size(indice,2),

Imn(p)=dblquad(@IntImn,a,b,0,pi*2,[],[],indice(1,p)...,indice(2,p),A,B) ;

Jmn(p)=dblquad(@IntJmn,a,b,0,pi*2,[],[],indice(1,p)...,indice(2,p),A,B) ;

endpo=�nd(indice(1, :)==0) ;taup=2*ones(1,size(indice,2)) ;taup(po)=1 ;%calcul des produits scalairesProdscaTE=sqrt(taup.*2)./sqrt(A*B)./sqrt((indice(1, :)./A)...

.^2+(indice(2, :)./B).^2).*(-indice(2, :)./B.*Imn+...

106


indice(1, :)./A.*Jmn) ;ProdscaTM=2./sqrt(A*B)./sqrt((indice(1, :)./A).^2+...

(indice(2, :)./B).^2).*(indice(1, :)./A.*Imn+...indice(2, :)./B.*Jmn) ;

if m==2,SommeI=sum((Yte.*abs(ProdscaTE).^2+...

Ytm.*abs(ProdscaTM).^2)) ;else

SommeI=SommeI+sum((Yte.*abs(ProdscaTE).^2+...Ytm.*abs(ProdscaTM).^2)) ;

end%incrémentation des indices des modesn=n+1 ;m=m+4 ;clear indice Imn Jmn

endYp(k)=SommeP ;Yi(k)=SommeI ;save Ycoax2_suite f Yp Yi% calcul du YY=[(SommeP+SommeI) (SommeP-SommeI) ;(SommeP-SommeI)...

(SommeP+SommeI)]/2 ;Y=Y/(2*pi*log(b/a)) ;% calcul du Y réduity=Y*120*pi ;%calcul des paramètres S selon Equations (4.18) et (4.19)S=(eye(2)-y)*inv(eye(2)+y) ;S11(k)=S(1,1) ;S21(k)=S(2,1) ;

end

107

Chapitre 5

Les discontinuités épaissesen guides d�ondes

Introduction

Pour plusieurs discontinuités traitées dans [Ref_01], l�épaisseur de l�iris est né-gligée ce qui n�est physiquement pas forcément le cas. Cette épaisseur supplé-mentaire introduit une longueur de ligne entre les deux fonctions d�essai commereprésenté sur la �gure 5.0.a si les fonctions d�essai sont des champs.

Figure 5.0.a. Schéma électrique équivalent d�une discontinuité épaisse

Si la structure est symétrique par rapport à l�iris, cette étude peut se simpli�eren l�étude de deux dipôles (cf Cours 2.3.3) comme représenté sur la �gure 5.0.b.Cette résolution simpli�ée conduit au résultat global.

Figure 5.0.b. Simpli�cation du quadripôle représentant la discontinuité épaisseen deux dipôles

109



110

Chapitre 5. Les discontinuités épaisses en guides d�ondes

5.1 Iris capacitif épais

5.1.1 Enoncé

Déterminer la matrice [S] dans la bande monomode d�un iris capacitif épaisdans un guide à parois verticales magnétiques et horizontales électriques, repré-senté sur la �gure 5.1.a.Faire une analyse paramétrique en fonction de l�épaisseur " t " de l�iris.

Figure 5.1.a. Iris capacitif épais

Application numérique : A=72,14mm, B=34,04mm, t=35mm, d=10mm

111



On place l�origine du repère en bas et à gauche sur le plan de discontinuité(xOy) représenté sur la �gure 5.1.b.


Comme démontré en Annexe C.5, le mode fondamental du guide à parois ver-ticales magnétiques et horizontales électriques est le mode TEM.


On peut considérer alors le demi-guide z � 0 avec un plan de discontinuité Den z = 0. D est constitué d�une interface métallique DM et d�une interface di-électrique DI , D=DM+DI . On dé�nit une source virtuelle Ee de tension dé�niesur l�interface DI et de ce fait nulle sur l�interface DM . On dé�nit également Jsa grandeur duale (dé�nie sur DM et nulle sur DI).Le plan � en z=t/2 est un plan de symétrie pour la structure dont on ne connaitpas a priori le type (électrique ou magnétique), les deux symétries sont succes-sivement envisagées (cf Cours 2.3.2). Le problème se ramène donc à la demistructure représentée sur la �gure 5.1.c, son schéma équivalent est représentésur la �gure 5.1.d.

Figure 5.1.c. Demi structure correspondant à la fenêtre capacitive épaisse

112


Figure 5.1.d. Schéma électrique équivalent


pour la source réelle pour la petite longueur de guide�!J 0 = I0

�!f TEM bY 0f pair

impairg=

��!f 0TEM �Y 0TEMf pairimpairg

��!f 0TEM

��!E = V0

�!f TEM +

Pm;n;�

V �mn

�!f �mn +

1Pm=0;n=0

�=TE;TM

��!f 0�mn�Y 0�mnf pairimpairg

��!f 0�mn

��bYev =

1Pm=0;n=0

�=TE;TM

��!f �mn iY �

mnh�!f �mn

��8<

:

Y 0�mnfpairg = Y 0�mnth� 0 t2�

Y 0�mnfimpairg = Y 0�mn coth� 0 t2�

Y 0�mn = Y 0TMmn , Y 0TEmn ou Y 0TEM

Y TMmn = j!"0

mn/ Y TE

mn = mn

j!�0 0 = 0mn ou 0TEM

2mn =�m�A

�2+�n�B

�2 � k20 Y 0TEM =q

"0�0

/ 0TEM = jk0

Y 0TMmn = j!"0 0mn

/ Y 0TEmn = 0mn

j!�0

02mn =�m�A

�2+�n�d

�2 � k20

Par application des lois de Kirchho¤ au schéma équivalent de la �gure 5.1.d, onobtient le système (5.1).

" �!E�!J

#=

2

40 1

�1�bYev + bY 0f pair

impairg

� 35" �!J 0�!E e

#(5.1)


Avec�!f TEM =

�!f 0,

�!f 0TEM =

�!f 00 et en appliquant la méthode de Galerkin, le

système (5.1) devient (5.2).

�V00

�=

2

640

D�!f 0j�!g e

E

�D�!g ej

�!f 0

E ��!g ej

�bYev + bY 0f pair

impairg

��!g e� 375 � I0

ve

�(5.2)

113


Après simpli�cation, on déduit l�admittance des dipôles (5.3).

I0V0= Yf pair

impairg =

��!g ej


impairg

��!g e�

��D�!f 0j�!g eE��2 (5.3)

Figure 5.1.e. Allure du champ E dans la discontinuité

Le mode fondamental TEM du guide est indépendant de la variable x et ladiscontinuité est uniforme et invariante suivant l�axe Ox. Par conséquent, leproblème aux limites à résoudre est indépendant de la variable x et seuls lesmodes TE0n et TM0n existent. D�après la dé�nition de leurs fonctions généra-trices, seuls les modes TM0n sont donc excités (cf Annexe C.5).On trace [S] dans la bande monomode donc entre les fréquences de coupure dumode TEM et du mode TM01, soit entre 0 et 4; 407GHz.La fonction d�essai dans l�ouverture correspond au mode fondamental du petitguide en excitation, soit

�!f 00 =

�!f 0TEM = �!g e :

�!g e =(

gex(y) = 0 8ygey(y) =

�1 y2[0;d]0 y2[d;B]

Les produits scalaires sur la base orthonormée du petit guide sont donc réduitsau mode TEM seulement. Par conséquent, on en déduit :�

�!g ej�bYev + bY 0f pair

impairg

��!g e�=

��!g ejbY 0f pair

impairg�!g e�+D�!g ejbYev�!g e

E

=D�!g ej

�!f 00

EY 0TEMf pair

impairgD�!f 00j�!g e

E

+1X

n=1

D�!g ej�!f TM0n

EY TM0n

D�!f TM0n j�!g e

E

��!g ej


impairg

��!g e�= Y 0TEMf pair

impairg��D�!f 00j�!g eE��2+ 1X

n=1

Y TM0n

��D�!f TM0n j�!g e

E��2114


Par conséquent, l�équation (5.3) devient l�équation (5.4).

Yf pairimpairg =

��D�!f 00j�!g eE��2 Y 0TEMf pairimpairg

+1Pn=1

Y TM0n


E��2��D�!f 0j�!g eE��2 (5.4)

On en déduit l�admittance du quadripôle (cf Cours 2.3.2) selon (5.5).

[Y ] =

"Ypair+Yimpair

2Ypair�Yimpair

2Ypair�Yimpair

2Ypair+Yimpair

2

#(5.5)

On peut représenter cette discontinuité par le quadripôle de la �gure 5.1.f :

Figure 5.1.f. Quadripôle équivalent

La matrice [S] de la structure se déduit de la matrice [Y] par (5.6).

[S] = [II � Z0 [Y ]] [II + Z0 [Y ]]�1 (5.6)

Avec Z0 = ZTEM =q

�0"0.



E

n6=0=

dZ

0

fTM�0ny (y)gey (y) dy =

r2

B

dZ

0

cos�n�B

y�dy

=

r2

Bd sin c

�n�d

B

�D�!f 0j�!g e

E=

dZ

0

f�0y(y)gey(y)dy =

dZ

0

1pBdy =

dpB

D�!f 00j�!g e

E=

dZ

0

f 0�0y(y)gey(y)dy =

dZ

0

1pddy =

pd

115


Donc :

Yf pairimpairg =

Bd Y0TEMf pairimpairg

+1Pn=1

2j!"0 0n

sin c2�n�dB

�(5.7)

avec

20n =�n�B

�2� k20

5.1.3 Résultats

On constate une très bonne adéquation entre les résultats théoriques et HFSSdans la bande monomode entre 0Hz, fréquence de coupure du mode TEM enaccès, et 4.407GHz la fréquence de coupure du mode TM01, comme en attestela �gure 5.1.g. Plus l�iris est épais plus le zéro de transmission qu�il réalise estdécalé vers les basses fréquences comme observé sur la �gure 5.1.h.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 445

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Fréquence (GHz)

Para

mèt

res

S (d

B)

| S11| Théorique|S21| Théorique|S11| HFSS|S21| HFSS

Figure 5.1.g. Comparaisons simulations Matlab / HFSS pour une épaisseur del�iris de 35mm

116


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 445

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Fréquence (GHz)

Par

amèt

res

S (d

B)

| S11| t=30mm|S21| t=30mm|S11| t=35mm|S21| t=35mm|S11| t=40mm|S21| t=40mm

Figure 5.1.h. Paramètres S en fonction de l�épaisseur de l�iris

5.1.4 Code Matlab

Les paramètres [S] sont déduits de la matrice admittance dé�nie par (5.5)et (5.7).

close all% dimensions du problèmeA=72.14e-3 ;B=34.04e-3 ;t=35e-3 ;d=10e-3 ;% constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;% critère de convergencetol=1e-4 ;% bande monomodef=[0.1 :0.01 :c0/(2*B)/1e9]*1e9 ;% admittance du mode TEM et de renormalisationYtem=sqrt(eo/uo) ;

117


for q=1 :length(f), % balayage en fréquence% paramètres fréquentielsomega=2*pi*f(q) ;ko=omega/c0 ;% admittances paires et impaires du TEM petit guideYpTEM=Ytem*tanh(j*ko*t/2) ;YimpTEM=Ytem/tanh(j*ko*t/2) ;% calcul de la sommeSomme=1 ;Sommeav=10 ;n=1 ;while abs(Sommeav-Somme)/abs(Somme)>tol% critère de convergence de la somme

Sommeav=Somme ;g0n=sqrt((n*pi/B)^2-ko^2) ;if n==1,

Somme=2*j*omega*eo/g0n*sinc(n*d/B)^2 ;else

Somme=Somme+2*j*omega*eo/g0n*sinc(n*d/B)^2 ;endn=n+1 ;

end

% Equations (5.7)Yp=B/d*YpTEM+Somme ;Yimp=B/d*YimpTEM+Somme ;% Equation (5.5)Y=[(Yp+Yimp)/2 (Yp-Yimp)/2 ; (Yp-Yimp)/2 (Yp+Yimp)/2] ;% paramètres S Equation (5.6)S=(eye(2)-Y/Ytem)*inv(eye(2)+Y/Ytem) ;S11(q)=S(1,1) ;S21(q)=S(2,1) ;

end

118


5.2 Iris inductif épais

5.2.1 Enoncé

Calculer la matrice [S] dans la bande monomode d�un iris inductif épais dansun guide d�ondes rectangulaire métallique, représenté sur la �gure 5.2.a.Faire une analyse paramétrique en fonction de l�épaisseur " t " de l�iris.

Figure 5.2.a. Iris inductif épais

Application numérique : a=72,14mm, b=34,04mm, w=50mm, t=30mm

119



On place l�origine du repère en bas et à gauche sur le plan de discontinuité(xOy) représenté sur la �gure 5.2.b.


D�après les dimensions (a>b), le mode fondamental du guide est le mode TE10de fréquence de coupure 3; 75GHz. Comme précédemment on introduit dans leplan � successivement un mur électrique et un mur magnétique pour simpli�erla résolution.


En se plaçant sur le plan de discontinuité (xOy) représenté sur la �gure 5.2.b,on résout le schéma de la �gure 5.2.c.


120



pour le guide n�1 pour le guide n�2�!J 0 = I0

�!f TE10

bY 0f pairimpairg

=

�!E = V0

�!f TE10 +

Pm;n;�

hors TE10

V �mn

�!f �mn

1Pm=0;n=0

�=TE;TM


��!f 0�mn

��bYev =

1Pm=0;n=0

�=TE;TM

hors TE10

��!f �mn iY �

mnh�!f �mn

��8><

>:

Y0�mnfpairg = Y

0�mnth

� 0mn

t2

�Y

0�mnfimpairg = Y

0�mn coth

� 0mn

t2

�Y

0�mn = Y 0TMmn ou Y 0TEmn

Y TMmn = j!"0

mn/ Y TE

mn = mn

j!�0Y 0TMmn = j!"0

0mn/ Y 0TEmn =

0mn

j!�0

2mn =�m�a

�2+�n�b

�2 � k20 02mn =�m�w

�2+�n�b

�2 � k20


En appliquant les lois de Kirchho¤ au schéma équivalent, puis en appliquant laméthode de Galerkin, on obtient la relation (5.8).

I0V0= Yf pair

impairg =

��!g ej


impairg

��!g e�

��D�!f TE10 j

�!g eE��2 (5.8)

La discontinuité est invariante par translation suivant l�axe Oy donc le problèmeaux limites à formuler est indépendant de la variable y. Seuls les modes TEm0et TMm0 sont excités, or les modes TMm0 n�existent pas. Seuls les modes TEm0apparaissent par di¤raction du mode TE10 sur l�iris. La bande monomode decet iris se trouve entre la fréquence de coupure du mode fondamental le modeTE10 (2; 08GHz) et celle du mode TE20 excité (4; 159GHz).La fonction d�essai dé�nie dans DI est similaire au mode fondamental TE10d�un guide d�ondes rectangulaire à parois métalliques et ayant comme sectionl�iris w x b, elle est représentée sur la �gure 5.2.d. On représente ge sur D par :

�!g e =

8<

:

gex(x) = 0 8x

gey(x) =

�sin��wx�

pour x 2 [0;w]0 pour x 2 [w; a]

121


Figure 5.2.d. Allure du champ E dans la discontinuité

Or la base des modes dans l�iris est orthonormée, ce qui implique que pour m>1D�!f 0TEm0 j�!g e

E= 0. On en déduit (5.9).

Yf pairimpairg =

Y 0TE10f pair

impairg��D�!f 0TE10 j�!g e

E��2 + 1Pm=2

Y TEm0

��D�!f TEm0 j�!g e

E��2��D�!f TE10 j

�!g eE��2 (5.9)

La matrice [Y ] peut s�écrire sous la forme (5.10).

[Y ] =

"Ypair+Yimpair

2Ypair�Yimpair

2Ypair�Yimpair

2Ypair+Yimpair

2

#(5.10)

On peut représenter la discontinuité décrite dans le système (5.9) par le quadri-pôle de la �gure 5.2.e.

Figure 5.2.e. Quadripôle équivalent


[S] =�II � [Y ] =Y TE

10

� �II + [Y ] =Y TE

10

��1 (5.11)

avec Y TE10 = 10

j!�0et ( 10)

2=��a

�2 � k20.

122



D�!f TEm0 j�!g e

E=

wZ

0

fTE�m0y (x)gey(x)dx

=

r2

a

wZ

0

sin�m�

ax�sin� �wx�dx =

r2

a

w sin�m�wa

��1� m2w2

a2

�D�!f 0TE10 j�!g e

E=

wZ

0

f0TE10y (x)gey(x)dx

=

r2

w

wZ

0

sin2� �wx�dx =

rw

2

Par conséquent, les admittances paires et impaires sont explicitées en (5.12).

Yf pairimpairg =

Y 0TE10f pair

impairgw2 +

1Pm=2

m0

j!�0

2a

�w sin(m�w

a )��1�m2w2

a2

��22a

�w sin(�wa )��1�w2

a2

��2

Yf pairimpairg =

aw

��1�w2

a2

�2 sin(�wa )

�2Y 0TE10f pair

impairg

+1Pm=2

m0

j!�0

�1�w2

a2

1�m2w2

a2

��sin(m�w

a )sin(�wa )

�2 (5.12)

5.2.3 Résultats

Les résultats obtenus sont en bon accord avec HFSS dans la bande mono-mode. La bande monomode de cet iris se trouve entre la fréquence de coupuredu mode fondamental TE10 (2; 08GHz) et celle du second mode TE20 excité(4; 159GHz) comme représenté sur la �gure 5.2.f. Plus l�iris est épais plus lezéro de transmission qu�il réalise est décalé vers les basses fréquences commeobservé sur la �gure 5.2.g.

123


2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Fréquence (GHz)

Para

mèt

res

S (d

B)


Figure 5.2.f. Comparaisons simulations Matlab / HFSS pour une épaisseur del�iris de 30mm

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Fréquence (GHz)

Para

mèt

res

S (d

B)


Figure 5.2.g. Paramètres S en fonction de l�épaisseur de l�iris

124


5.2.4 Code Matlab


% dimensions du problèmea=72.14e-3 ;b=34.04e-3 ;t=30e-3 ;w=50e-3 ;% constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;% critère de convergencetol=1e-4 ;% bande monomodefc1=c0/(2*a) ;fc2=c0/(2*a)*2 ;f=[fc1+0.01e9 :0.01e9 :fc2-0.01e9] ;

for q=1 :length(f),% balayage en fréquence% paramètres fréquentielsomega=2*pi*f(q) ;ko=omega/c0 ;

% admittances paire et impaire du TE10 petit guideg10p=sqrt((pi/w)^2-ko^2) ;Yte10=g10p/(j*omega*uo) ;YpTE10=Yte10*tanh(g10p*t/2) ;YimpTE10=Yte10/tanh(g10p*t/2) ;

% calcul de la sommen=2 ;Somme=1 ;Sommeav=10 ;while abs(Sommeav-Somme)/abs(Somme)>tol

% critère de convergence de la sommeSommeav=Somme ;gn0=sqrt((n*pi/a)^2-ko^2) ;if n==2,

Somme=gn0/(j*omega*uo)*(1-(w/a)^2)^2/...(1-(n*w/a)^2)^2*sin(n*pi*w/a)^2/sin(pi*w/a)^2 ;

elseSomme=Somme+gn0/(j*omega*uo)*(1-(w/a)^2)^2/...

125


(1-(n*w/a)^2)^2*sin(n*pi*w/a)^2/sin(pi*w/a)^2 ;endn=n+1 ;

end% Equations (5.12)Yp=YpTE10*a*pi^2*(1-(w/a)^2)^2/(4*w*sin(pi*w/a)^2)+Somme ;Yimp=YimpTE10*a*pi^2*(1-(w/a)^2)^2/(4*w*sin(pi*w/a)^2)+...

Somme ;% Equation (5.10)Y=[(Yp+Yimp)/2 (Yp-Yimp)/2 ; (Yp-Yimp)/2 (Yp+Yimp)/2] ;% admittance de renormalisation YTE10 grand guideYo=sqrt((pi/a)^2-ko^2)/(j*omega*uo) ;% paramètres S Equation (5.11)S=(Yo*eye(2)-Y)*inv(Yo*eye(2)+Y) ;S11(q)=S(1,1) ;S21(q)=S(2,1) ;

end

126


5.3 Iris capacitif épais centré

5.3.1 Enoncé

Calculer la matrice [S] dans la bande monomode d�un iris capacitif épais entredeux guides à parois latérales magnétiques, horizontales électriques représentésur la �gure 5.3.a. Les guides en entrée et en sortie n�ont pas la même hauteur.Faire une analyse paramétrique en fonction de l�épaisseur "t" de l�iris.

Figure 5.3.a. Iris capacitif épais entre deux guides TEM de hauteurs di¤érentes

Application numérique : a=72,14mm, b=34,04mm, d=20mm, w=2mm,t=35mm

127



On place l�origine du repère au centre du plan de discontinuité (xOy) repré-senté sur la �gure 5.3.b. Un changement d�origine est donc opéré sur toutes lesbases modales.

Figure 5.3.b. Positionnement du repère et des plans de discontinuité.

Le mode fondamental est le mode TEM, de fréquence de coupure nulle pour lesguides en entrée et en sortie.


La structure représentée sur la �gure 5.3.b présente deux plans de discontinuité(xOy), respectivement D1 en z=0 et D2 en z=-t. En se plaçant sur le plan dediscontinuité D1, on résout le schéma de la �gure 5.3.c.


128



pour le guide n�1 pour le guide n�2�!J 01 = I01

�!f 0

�!J 02 = I02

�!f 00�!

E 1 = V01�!f 0 +

Pm;n;�

V�(1)mn

�!f �mn

�!E 2 = V02

�!f 00 +

Pm;n;�

V�(2)mn

�!f 0�mn

bY1ev =1P

m=0;n=0

�=TE;TM

��!f �mn

EY�(1)mn

D�!f �mn

�� bY2ev =1P

m=0;n=0

�=TE;TM

��!f 0�mn EY �(2)mn

D�!f 0�mn

��YTM(1)mn = j!"0

(1)mn

/ YTE(1)mn =

(1)mn

j!�0YTM(2)mn = j!"0

(2)mn

/ YTE(2)mn =

(2)mn

j!�0� (1)mn

�2=�m�a

�2+�n�b

�2 � k20

� (2)mn

�2=�m�a

�2+�n�d

�2 � k20�!f 0 =

�!f TEM �!

f 00 =�!f

0TEM

pour le guide n�3hbQY

i=

"bY11 bY12bY12 bY11

#bY11 =

1Pm=0;n=0

�=TE;TM

��!f 0�mn EY �(11)mn

D�!f 0�mn

��Y�(11)mn = Y �

mn coth� (3)mnt

�Y�(12)mn =

�Y �mn

sinh� (3)mnt

� bY12 =1P

m=0;n=0

�=TE;TM

��!f 0�mn EY �(12)mn

D�!f 0�mn

��Y �mn = Y

TM(3)mn , Y TE(3)

mn ou Y TEM(3)� (3)mn

�2=�m�a

�2+�n�w

�2 � k20

YTM(3)mn = j!"0

(3)mn

/ YTE(3)mn =

(3)mn

j!�0

Y TEM(3) =q

"0�0

/ (3)TEM = jk0

D�après le Cours 2.2.1, la longueur de ligne entre les deux discontinuités estreprésentée par :

hbQY

i=

"bY11 bY12bY12 bY11

#

Par application des lois de Kirchho¤ au schéma équivalent de la �gure 5.3.c, onobtient : ( �!

E 1 =�!E e1�!

E 2 =�!E e2

( �!J 1 =

�!J 01 +

�!J 001�!

J 2 =�!J 02 +

�!J 002

Avec : �!J 001�!J 002

!=

bY11 bY12bY12 bY11

! �!E e1�!E e2

!

129


et : ( �!J 01 +

�!J 01 =

bY1ev�!E e1�!

J 02 +�!J 02 =

bY2ev�!E e2

donc : 8<

:

�!J 1 = �

�!J 01 +

�bY1ev + bY11

��!E e1 + bY12

�!E e2

�!J 2 = �

�!J 02 + bY12

�!E e1 +

�bY2ev + bY11

��!E e2

On obtient le système (5.13).

0

BBB@

�!E 1�!E 2�!J 1�!J 2

1

CCCA =

0

BBBB@

0 0 1 00 0 0 1

�1 0�bY1ev + bY11

�bY12

0 �1 bY12�bY2ev + bY11

�1

CCCCA

0

BBB@

�!J 01�!J 02�!E e1�!E e2

1

CCCA (5.13)


Les deux discontinuités étant identiques, elles ont donc la même fonction d�essai.On pose alors : �!g e1 = �!g e2 = �!g e. La fonction d�essai dé�nie dans D1i et D2iest similaire au mode fondamental dans l�iris, le mode TEM. On représente donc�!g e sur D1 et D2 par :

�!g e =

8<

:

gex(y) = 0 8y

gey(y) =

�0 y 2 [�b=2;�w=2[ [ ]w=2; b=2]1pw

y 2 [�w=2;w=2]

La projection de bY11 et bY12 sur la fonction d�essai est donc réduite à la compo-sante sur le mode fondamental par orthogonalité de la base. En appliquant laméthode de Galerkin, on obtient :

0

BB@

V01V0200

1

CCA = (H)

0

BB@

I01I02ve1ve2

1

CCA

avec (H) =

0

BBBBBB@

0 0D�!f 0j�!g e

E0

0 0 0D�!f 00j�!g e

E

�D�!g ej

�!f 0

E0

D�!g ej(bY1ev + bY11)�!g eE D�!g ejbY12�!g e

E

0 �D�!g ej

�!f 00

E D�!g ejbY12�!g eE D�!g ej(bY2ev + bY11)�!g e

E

1

CCCCCCA

130


On obtient �nalement :

�I01I02

�=

0

BB@

h�!g ej(bY1ev+bY11)�!g ei��D�!g ej�!f 0

E��2 h�!g ejbY12�!g eiD�!g ej�!f 0

ED�!f 00j�!g e

Eh�!g ejbY12�!g eiD�!g ej�!f 00

ED�!f 0j�!g e

E h�!g ej(bY2ev+bY11)�!g ei��D�!g ej�!f 00

E��2

1

CCA

�V01V02

�


Le mode fondamental incident est indépendant de la variable x et la disconti-nuité est uniforme et invariante suivant l�axe Ox. Par conséquent, le problèmeaux limites à résoudre est indépendant de la variable x. Compte tenu des ex-pressions des fonctions génératrices (cf Annexe C.5), seuls les modes TM0n sontexcités. En y=0, on observe une symétrie de type électrique avec des parois ver-ticales électriques d�après le Cours 2.3.3, seuls les modes TM0;2p sont excités.La bande monomode de cette structure est dé�nie par le mode fondamentalTEM de fréquence de coupure 0Hz pour la borne inférieure. La borne supé-rieure correspond au premier mode excité, soit le mode TM02 de fréquence decoupure 8; 813GHz.


D�!f 0j�!g e

E=

w2Z

�w2

f0y(y)gey(y)dy =

w2Z

�w2

1pwpbdy =

rw

b

D�!f 00j�!g e

E=

w2Z

�w2

f 00y(y)gey(y)dy =

w2Z

�w2

1pwpddy =

rw

d

131



E

n6=0=

w2Z

�w2

fTM0ny (y)gey(y)dy

=

r2

bw

w2Z

�w2

cos

�n�

b

�y +

b

2

��dy

=

r2

bw

"sin�n�b

�y + b

2

��n�b

#w2

�w2

=

r2

bw

1n�b

�sin�n�w2b

+n�

2

�� sin

�n�2� n�w

2b

��


E

n6=0=2p2p

bw

cos�n�2

�sin�n�w2b

�n�b

=

r2w

b

cos�n�2

�sin�n�w2b

�n�w2b

=

(0 pour n impairq

2wb sin c

�n�w2b

�(�1)n=2 pour n pair

On véri�e bien la propriété de symétrie observée précédemment (mur électriqueen y=0).

D�!f 0TM0n j�!g e

E

n6=0=

w2Z

�w2

f 0TM0ny (y)gey(y)dy

=

r2w

d

w2Z

�w2

cos

�n�

d

�y +

d

2

��dy

=

(0 pour n impairq

2wd sin c

�n�w2d

�(�1)n=2 pour n pair

On véri�e bien la propriété de symétrie observée précédemment (mur électriqueen y=0).

132


La matrice admittance de l�iris capacitif épais avec changement de hauteurs�écrit alors selon (5.14).

[Y ] =

�Y 011 Y 012Y 012 Y 022

�(5.14)

avec les di¤érents coe¢ cients explicités en (5.15), (5.16) et (5.17).

Y 011 = Y TEM(3) coth(jk0t)��D�!f 0j�!g e

E��2+

1Pn=2;4:::

YTM(1)mn


E��2 (5.15)

Y 012 =�Y TEM(3)

D�!g ej�!f 0

ED�!f 00j�!g e

Esinh(jk0t)

(5.16)

Y 022 = Y TEM(3) coth(jk0t)��D�!f 00j�!g eE��2

+1P

n=2;4:::YTM(2)mn

��D�!f 0TM0n j�!g eE��2 (5.17)

Les paramètres [S] se déduisent de la matrice admittance par (5.18).

[S] =�II � [Y ]=Y TEM

� �II + [Y ]=Y TEM

��1 (5.18)

avec Y TEM =q

"0�0.

5.3.3 Résultats

Les résultats sont en bon accord avec HFSS dans la bande monomode. Labande monomode de cet iris se trouve entre la fréquence de coupure du modefondamental le TEM (0Hz) et celle du mode TM02 excité (8; 813GHz) commereprésenté sur la �gure 5.3.f. Plus l�iris est épais plus les zéros de transmissionqu�il réalise sont décalés vers les basses fréquences comme observé sur la �gure5.3.g.

133


1 2 3 4 5 6 7 835

30

25

20

15

10

5

0

Fréquence (GHz)

Par

amèt

res

S (d

B)


Figure 5.3.f. Comparaisons simulations Matlab / HFSS pour une épaisseur del�iris de 35mm

1 2 3 4 5 6 7 840

35

30

25

20

15

10

5

0

Fréquence (GHz)

Par

amèt

res

S (d

B)



134


5.3.4 Code Matlab

Les paramètres [S] sont déduits de la matrice admittance dé�nie par (5.14),(5.15), (5.16) et (5.17).

% dimensionsa=72.14e-3 ;b=34.04e-3 ;t=35e-3 ;d=20e-3 ;w=2e-3 ;% constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;% critère de convergencetol=1e-6 ;% bande monomodef=[0.1 :0.01 :min([c0/(2*d) c0/(2*b)])/1e9]*1e9 ;% impédance de mode et de renormalisationYtem=sqrt(eo/uo) ;

for q=1 :length(f),% balayage en fréquence% paramètres fréquentielsomega=2*pi*f(q) ;ko=omega/c0 ;% Equation (5.16)Y12=-sqrt(d*b)/w*Ytem/sinh(j*ko*t) ;% calcul de la série pour évaluation Y11n=2 ;g1n=sqrt((n*pi/b)^2-ko^2) ;Somme=2*j*omega*eo/g1n*sinc(n*w/(2*b))^2 ;Sommeav=10 ;while abs(Sommeav-Somme)/abs(Somme)>tol% critère de convergence de la somme

Sommeav=Somme ;g1n=sqrt((n*pi/b)^2-ko^2) ;Somme=Somme+2*j*omega*eo/g1n*sinc(n*w/(2*b))^2 ;% incrémentation sur les modes pairsn=n+2 ;

end% Equation (5.15)Y11=b/w*Ytem*coth(j*ko*t)+Somme ;% calcul de la série pour évaluation Y22n=2 ;

135


g2n=sqrt((n*pi/d)^2-ko^2) ;Somme=2*j*omega*eo/g2n*sinc(n*w/(2*d))^2 ;Sommeav=10 ;while abs(Sommeav-Somme)/abs(Somme)>tol% critère de convergence de la somme

Sommeav=Somme ;g2n=sqrt((n*pi/d)^2-ko^2) ;Somme=Somme+2*j*omega*eo/g2n*sinc(n*w/(2*d))^2 ;% incrémentation sur les modes pairsn=n+2 ;

end% Equation (5.17)Y22=d/w*Ytem*coth(j*ko*t)+Somme ;% Equation (5.14)y=[Y11 Y12 ;Y12 Y22]/Ytem ;% paramètres S Equation (5.18)S=(eye(2)-y)*inv(eye(2)+y) ;S11(q)=S(1,1) ;S21(q)=S(2,1) ;

end

136


5.4 Iris rectangulaire centré épais

5.4.1 Enoncé

Calculer la matrice [S] dans la bande monomode d�un iris rectangulaire centréépais dans un guide rectangulaire métallique représenté sur la �gure 5.4.a.Faire une analyse paramétrique en fonction de l�épaisseur " t " de l�iris.

Figure 5.4.a. Iris rectangulaire centré épais

Application numérique : A=72,14mm, B=34,04mm, a=45mm, b=20mm,t=10mm

137



On place l�origine du repère au centre du plan de discontinuité (xOy) repré-senté sur la �gure 5.4.b. Un changement d�origine est donc opéré sur toutes lesbases modales.

Figure 5.4.b. Positionnement du repère

Le mode fondamental de ce guide d�ondes rectangulaire métallique est le modeTE10 car A > B, sa fréquence de coupure est 2; 079GHz. Comme précédem-ment le plan � est un plan de symétrie de la structure on y introduit doncsuccessivement un mur électrique puis un mur magnétique pour simpli�er larésolution (cf. Cours 2.3.2).


Le schéma équivalent est représenté sur la �gure 5.4.c.


138



pour le grand guide pour l�iris épais�!J 0 = I0

�!f TE10

bY 0f pairimpairg

=

1Pm;n;�


��!f 0�mn

��!E =

Pm;n;�

hors TE10

V �mn

�!f �mn + V0

�!f TE10

(Y 0�mnfpairg = Y 0�mnth

� 0mn

t2

�Y 0�mnfimpairg = Y

0�mn coth

� 0mn

t2

�bYev =

1Pm=0;n=0

�=TE;TM

hors TE10

��!f �mn iY �

mnh�!f �mn

�� Y 0TMmn = j!"0 0mn

/ Y 0TEmn = 0mn

j!�0

2mn =�m�A

�2+�n�B

�2 � k20 02mn =�m�a

�2+�n�b

�2 � k20


En appliquant les lois de Kirchho¤ au schéma équivalent, puis en appliquant laméthode de Galerkin, on obtient l�équation (5.19).

I0V0= Yf pair

impairg =

��!g ej


impairg

��!g e�

��D�!f TE10 j

�!g eE��2 (5.19)

La fonction d�essai dé�nie dans DI est similaire au mode fondamental TE10d�un guide d�ondes rectangulaire à parois métalliques et ayant comme sectionl�iris. On représente �!g e sur D par :

�!g e =

8<

:

gex(x; y) = 0 8 (x; y)

gey(x; y) =

�sin��a (x+

a2 )�

pour x 2��a2 ;

a2

�et y 2

��b2 ;

b2

�0 sinon


139


Comme le montre la �gure 5.4.d., la discontinuité présente deux plans de symé-trie :� un plan de symétrie en x=0 de type magnétique pour la fonction d�essaiet pour le mode TE10 en excitation. Cela implique que seuls les modes mimpairs peuvent exister (TE2p+1;n et TM2p+1;n).

� un plan de symétrie en y=0 de type électrique pour la fonction d�essaiet pour le mode TE10 en excitation. Cela implique que seuls les modes npairs peuvent exister (TEm;2q et TMm;2q).

Seuls les modes TE2p+1;2q et TM2p+1;2q sont donc excités par la di¤ractiondu mode fondamental sur la discontinuité. La bande monomode est bornée parla fréquence de coupure du mode fondamental le mode TE10 soit 2; 079GHzet la fréquence de coupure du deuxième mode propagatif, le mode TE30 soit6; 238GHz.Comme précédemment, bY 0f pair

impairgse simpli�e du fait des propriétés d�orthonor-

malisation de la base :��!g ej


impairg

��!g e�= Y 0TE

10f pairimpairg

��D�!f 0TE10 j�!g eE��2

+1X

m=0;n=0

�=TE;TM

hors TE10

Y �mn

��D�!f �mnj�!g TE10

E��2


D�!f 0TE10 j�!g e

E=

a2Z

�a2

b2Z

�b2

f 0TE�10y (x; y)gey(x; y)dxdy

=

r2

ab

a2Z

�a2

b2Z

�b2

sin2(�

a(x+

a

2))dxdy

=

rab

2

D�!f TEmnj�!g e

E=

a2Z

�a2

b2Z

�b2

fTE�mny (x; y)gey(x; y)dxdy

=

p�m�nAB

�m�A

�q�

m�A

�2+�n�B

�2 I1I2140


Avec :

I1 =

a2Z

�a2

sin(�

a(x+

a

2)) sin(

m�

A(x+

A

2))dx

I2 =

b2Z

�b2

cos(n�

B(y +

B

2))dy

Résolvons les intégrales

I1 =

a2Z

�a2

sin��a

�x+

a

2

��sin

�m�

A

�x+

A

2

��dx

=

a2Z

�a2

cos(�

ax) sin(

m�

A(x+

A

2))dx

=

a2Z

�a2

sin((�a +m�A )x+

m�2 )� sin((

�a �

m�A )x�

m�2 )

2dx

= ��cos((�a +

m�A )x+

m�2 )

2(�a +m�A )

�cos((�a �

m�A )x�

m�2 ))

2(�a �m�A )

� a2

�a2

= ��cos(�2 +

m�a2A + m�

2 )� cos(��2 � m�a

2A + m�2 )

2(�a +m�A )

�cos(�2 �

m�a2A � m�

2 )� cos(��2 +

m�a2A � m�

2 )

2(�a �m�A )

�= �

�� sin(m�a2A + m�2 ) + sin(

m�a2A � m�

2 )

2(�a +m�A )

�sin(m�a2A + m�

2 ) + sin(m�2 � m�a

2A )

2(�a �m�A )

�= 2 cos

�m�a2A

�sin�m�2

�� 1

2(�a +m�A )

� 1

2(�a �m�A )

�=

�2maA1� (maA )2

cos�m�a2A

�sin�m�2

�=

(0 si m pair�2ma

A

1�(maA )2 (�1)

(m�1)=2cos�m�a2A

�si m impair

141


On retrouve donc bien la propriété de symétrie magnétique en x=0 observéeinitialement.

I2 =

b2Z

�b2

cos(n�

B(y +

B

2))dy

=

"sin(n�B (y +

B2 ))

n�B

# b2

�b2

=sin(n�b2B + n�

2 )� sin(�n�b2B + n�

2 )n�B

=2 cos(n�2 ) sin(

n�b2B )

n�B

=

�0 si n est impair2Bn� (�1)

n=2sin(n�b2B ) si n est pair

On retrouve donc bien la propriété de symétrie électrique en y=0 observée ini-tialement. D�!

f TEmnj�!g e

E=

p�m�nABq�

m�A

�2+�n�B

�2 I1I2On véri�e donc que seuls les modes TE2p+1;2q et TM2p+1;2q sont excités par ladi¤raction du mode fondamental sur la discontinuité.Par ailleurs : D�!

f TE10 j�!g e

E=

r2

AB

2ab� cos

��a2A

�1�

�aA

�2D�!f TMmn j�!g e

E=

nA

mB

D�!f TEmnj�!g e

E

On en déduit (5.20).

Yf pairimpairg = Y 0TE10f pair

impairg

��D�!f 0TE10 j�!g e

E��2��D�!f TE10 j�!g e

E��2 +1P1P

m=2p+1n=2q

�=TE;TM

hors TE10

Y �mn

��D�!f �mnj�!g e

E��2��D�!f TE10 j�!g e

E��2 (5.20)

La matrice admittance de l�iris s�écrit alors selon (5.21).

[Y ] =

"Ypair+Yimpair

2Ypair�Yimpair

2Ypair�Yimpair

2Ypair+Yimpair

2

#(5.21)

On peut représenter la discontinuité décrite dans le système (5.21) par le qua-dripôle représenté sur la �gure 5.4.e.

142


Figure 5.4.e. Quadripôle équivalent


[S] =�II � [Y ] =Y TE

10

� �II + [Y ] =Y TE

10

��1 (5.22)

avec Y TE10 = 10

j!�0et 210 =

��A

�2 � k20.

5.4.3 Résultats

Les résultats sont en bon accord avec HFSS dans la bande monomode. Labande monomode de cet iris se trouve entre la fréquence de coupure du mode fon-damental le mode TE10 (2:079GHz) et celle du mode TE30 excité (6:238GHz)comme représenté sur la �gure 5.4.f. Plus l�iris est épais plus les zéros de trans-mission qu�il réalise sont décalés vers les basses fréquences comme observé surla �gure 5.4.g.

2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Fréquence (GHz)

Par

amèt

res

S (d

B)

| S11| Théorique| S21| Théorique| S11| HFSS| S21| HFSS

Figure 5.4.f. Comparaisons simulations Matlab / HFSS pour une épaisseurd�iris de 10mm

143


2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Fréquence (GHz)

Par

amèt

res

S (d

B)



5.4.4 Code Matlab


% dimensions du problèmeA=72.14e-3 ;B=34.04e-3 ;d=10e-3 ;a=45e-3 ;b=20e-3 ;t=10e-3 ;% constantesuo=4*pi*1e-7 ;eo=1/(36*pi)*1e-9 ;c0=1/sqrt(eo*uo) ;% critère de convergencetol=1e-4 ;% bande monomodefc1=c0/(2*A) ;fc2=min([c0/(2*A)*3 c0/2*sqrt((1/A)^2+(2/B)^2)]) ;f=[fc1+0.01e9 :0.01e9 :fc2-0.01e9] ;

144


for q=1 :length(f),% balayage en fréquence% paramètres fréquentielsomega=2*pi*f(q) ;ko=omega/c0 ;% admittances paires et impaires du TE10 petit guideg10p=sqrt((pi/a)^2-ko^2) ;Yte10=g10p/(j*omega*uo) ;YpTE10=Yte10*tanh(g10p*t/2) ;YimpTE10=Yte10/tanh(g10p*t/2) ;

% calcul de la somme première étape% ce process est répété et cumulé jusqu�à convergenceSommeav=10 ;n=2 ;m=3 ;%indice incrémenté de 2 sur les n et m% cas impair en m et pair sur les nindice(1, :)=[[1 :2 :m] m*ones(1,length([0 :2 :n])-1)] ;indice(2, :)=[n*ones(1,length([1 :2 :m])-1) [0 :2 :n]] ;% constante taupo=�nd(indice(2, :)==0) ;tauq=2*ones(1,size(indice,2)) ;tauq(po)=1 ;% constante de propagationgnm=sqrt((indice(1, :)*pi/A).^2+(indice(2, :)*pi/B).^2-ko^2) ;% rapport des produits scalairesProdsca=(indice(1, :)*pi/A)./sqrt((indice(1, :)*pi/A).^2+...

(indice(2, :)*pi/B).^2).*sqrt(tauq).*sinc(indice(2, :)*b/(2*B)).*...cos(indice(1, :)*pi*a/(2*A))./(1-(indice(1, :)*a/A).^2).*...(1-(a/A)^2)./cos(pi*a/(2*A)) ;

% calcul de la sommeSomme=sum((gnm/(j*omega*uo)+j*omega*eo./gnm.*(indice(2, :)...

.*A./(indice(1, :)*B)).^2).*abs(Prodsca).^2) ;

while abs(Sommeav-Somme)/abs(Somme)>tol% critère de convergence de la somme% augmentation des indicesn=n+2 ;m=m+2 ;clear indiceindice(1, :)=[[1 :2 :m] m*ones(1,length([0 :2 :n])-1)] ;indice(2, :)=[n*ones(1,length([1 :2 :m])-1) [0 :2 :n]] ;Sommeav=Somme ;% nouveau calcul des paramètres supplémentairesgnm=sqrt((indice(1, :)*pi/A).^2+(indice(2, :)*pi/B).^2-ko^2) ;

145


po=�nd(indice(2, :)==0) ;tauq=2*ones(1,size(indice,2)) ;tauq(po)=1 ;Prodsca=(indice(1, :)*pi/A)./sqrt((indice(1, :)*pi/A).^2+...

(indice(2, :)*pi/B).^2).*sqrt(tauq).*sinc(indice(2, :)*...b/(2*B)).*cos(indice(1, :)*pi*a/(2*A))./(1-(indice(1, :)...*a/A).^2).*(1-(a/A)^2)./cos(pi*a/(2*A)) ;

% incrémentation de la sommeSomme=Somme+sum((gnm/(j*omega*uo)+j*omega*eo./gnm.*...

(indice(2, :)*A./(indice(1, :)*B)).^2).*abs(Prodsca).^2) ;endclear indice% Equation (5.20)Yp=YpTE10*A*B*pi^2/(16*a*b)*(1-(a/A)^2)^2/...

(cos(pi*a/(2*A))^2)+Somme ;Yimp=YimpTE10*A*B*pi^2/(16*a*b)*(1-(a/A)^2)2/...

(cos(pi*a/(2*A))^2)+Somme ;% Equation (5.21)Y=[(Yp+Yimp)/2 (Yp-Yimp)/2 ; (Yp-Yimp)/2 (Yp+Yimp)/2] ;Yo=sqrt((pi/A)^2-ko^2)/(j*omega*uo) ;% détermination des paramètres S Equation (5.22)S=(eye(2)-Y/Yo)*inv(eye(2)+Y/Yo) ;S11(q)=S(1,1) ;S21(q)=S(2,1) ;

end

146

Partie III

Annexes

147

Annexe A

Rappels mathématiques

A.1 Analyse vectorielle

A.1.1 En coordonnées cartésiennes

Gradient de V : rV =

0

@@V@x@V@y@V@z

1

A

Divergence de�!V : r � �!V = @Vx

@x +@Vy@y +

@Vz@z

Rotationnel de�!V : r��!V =

0

B@

@Vz@y �

@Vy@z

@Vx@z �

@Vz@x

@Vy@x �

@Vx@y

1

CA

Laplacien de V : �V = r2V = @2V@x2 +

@2V@y2 +

@2V@z2

Laplacien de�!V : r2

�!V =

0

@r2Vxr2Vyr2Vz

1

A

A.1.2 En coordonnées cylindriques

Gradient de V : rV =

0

@@V@�1�@V@�@V@z

1

A

Divergence de�!V : r � �!V = 1

�@(�V�)@� + 1

�@V�@� +

@Vz@z

Rotationnel de�!V : r��!V =

0

B@

1�@Vz@� �

@V�@z

@V�@z �

@Vz@�

1�

�@(�V�)@� � @V�

@�

�1

CA

Laplacien de V : r2V = 1�@@�

��@V@�

�+ 1

�2@2V@�2

+ @2V@z2

149


Laplacien de�!V : r2

�!V =

0

@r2V�r2V�r2Vz

1

A

A.1.3 Autres formules

Soit f une fonction variable scalaire et soient�!A et

�!B deux vecteurs variables

en (x,y,z) ou en (�,�,z) :

r��f�!A�= fr��!A + (rf)��!A

r ��f�!A�= fr � �!A + (rf) � �!A

r��!A +

�!B�= r��!A +r��!B

r ��!A +

�!B�= r � �!A +r � �!B

�!A �

��!B ��!C

�=��!A � �!C

��!B �

��!A � �!B

��!C

r �rf = r2fr� (rf) =

�!0

r ��r��!A

�= 0

r2�!A = r �r�!A �r�

�r��!A

�A.2 Fonctions trigonométriques

cos(��) = cos � sin(��) = � sin �cos(� + �) = � cos � sin(� + �) = � sin �cos(�2 � �) = sin � sin(�2 � �) = cos �cos(� + �

2 ) = � sin � sin(� + �2 ) = cos �

cos(� � �) = � cos � sin(� � �) = sin �

(cosx)0= � sinx)

bZ

a

sinxdx = [� cosx]ba

(sinx)0= cosx)

bZ

a

cosxdx = [sinx]ba

sin2 a = 12 (1� cos(2a)))

aZ

0

sin2��ax�dx = a

2

cos2 a = 12 (1 + cos(2a)))

aZ

0

cos2��ax�dx = a

2

cos(a+ b) = cos a cos b� sin a sin bsin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin bsin(a+ b)� sin(a� b) = 2 cos a sin bsin(a+ b) + sin(a� b) = 2 sin a cos b

150

Annexe A. Rappels mathématiques

cos(a� b) + cos(a+ b) = 2 cos a cos bcos(a� b)� cos(a+ b) = 2 sin a sin b

A.3 Fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel Jn(�) et Yn(�) sont solutions de l�équation di¤éren-tielle :

@2F

@�2+1

�

@F

@�+

1�

�n

�

�2!F = 0

ou1

�

@

@�

��@F

@�

�+

1�

�n

�

�2!F = 0

Avec lim�!0

Yn(�) = �1, cette solution est non physique pour le guide circulaire.

A.3.1 Dérivation

Soit �n une des fonctions de Bessel (Jn ou Yn), sa dérivée véri�e la relationde récurrence :

@�n@�(�) =

�n�1(�)� �n+1(�)2

et @J0(�)@� = �J1(�).La fonction de Bessel Jn(�) est dé�nie par besselj(n,p) sour Matlab (respecti-vement bessely(n,p) pour Yn(�)).

Code MATLAB pour déterminer la dérivée de la fonction de BesselJn(x) :

function y=derivbesselj(ordre,z)% dérivée de la fonction de BesselJ dé�nie par récurrenceif ordre==0, % cas particulier pour n=0

y=-besselj(1,z) ;else % cas général

y=(besselj(ordre-1,z)-besselj(ordre+1,z))/2 ;end

A.3.2 Zéros des fonctions de Bessel Jn(x) et leurs dérivéesJ 0n(x)

On note �mn les zéros de la fonction Jn(x). Ces zéros sont obtenus par dicho-tomie sur les fonctions de Bessel précodées dans MATLAB et stockés dans un�chier ZeroJ.mat pour éviter de les recalculer systématiquement. La précision

151


du zéro est celle de la fonction fzero, soit 10�12. On constate que la valeur laplus faible est obtenue pour �10 = 2; 4048, la seconde est �11 = 3; 8317.

Ci-dessous le code MATLAB pour déterminer les zéros de la fonctionde Bessel Jn(x) :

function zeroBesselj(ordre,num)% détermination du zéro numéro num de la fonction de BesselJ(ordre)

% le �chier ZeroJ doit être crée initialement vide% ensuite on le remplit à chaque calcul de nouveau zéroload ZeroJ%intervalle de recherche du zéro entre mini et maximini=0.1 ;prec=0.1 ;maxi=mini+prec ;%initialisation de numéro du zéronumr=0 ;while numr<num, % tant que le numéro n�est pas num

% on cherche le bon intervalle% changement de signe de besseljwhile besselj(ordre,mini)*besselj(ordre,maxi)>=0

maxi=maxi+prec ;endnumr=numr+1 ;% détermination numérique du zéroZeroJ(ordre+1,numr)=fzero(@(x) besselj(ordre,x),[mini maxi]) ;mini=maxi ;maxi=maxi+prec ;

endsave ZeroJ ZeroJ % sauvegarde dans ZeroJ du zéro recherché

Les valeurs des �mn obtenues numériquement sont données dans le tableauA.1.a.

n = 0 1 2 3 4 5m = 1 2; 4048 3; 8317 5; 1356 6; 3802 7; 5883 8; 77152 5; 5201 7; 0156 8; 4172 9; 7610 11; 0647 12; 33863 8; 6537 10; 1735 11; 6198 13; 0152 14; 3725 15; 70024 11; 7915 13; 3237 14; 7960 16; 2235 17; 6160 18; 98015 14; 9309 16; 4706 17; 9598 19; 4094 20; 8269 22; 21786 18; 0711 19; 6159 21; 1170 22; 5827 24; 0190 25; 43037 21; 2116 22; 7601 24; 2701 25; 7482 27; 1991 28; 6266

Tableau A.1.a. Valeurs de �mn

152


On note �0

mn les zéros de la fonction J0

n(x). Ces zéros sont obtenus par dichoto-mie sur les fonctions dérivées des fonctions de Bessel et stockés dans un �chierZeroDJ.mat pour éviter de les recalculer systématiquement. La précision du zéroest celle de la fonction fzero, soit 10�12. La valeur la plus faible est obtenue pour�0

11 = 1; 8412, la seconde est �12 = 3; 0542.

Ci-dessous le code MATLAB pour déterminer les zéros de la dérivéede la fonction de Bessel J

0

n(x) :

function zeroderivBesselj(ordre,num)% détermination du zéro numéro num de la dérivée% de la fonction de BesselJ(ordre)

% le �chier ZeroDJ doit être crée initialement vide% ensuite on le remplit à chaque calcul de nouveau zéroload ZeroDJ%intervalle de recherche du zéro entre mini et maximini=0.1 ;prec=0.1 ;maxi=mini+prec ;%initialisation de numéro du zéronumr=0 ;while numr<num,% tant que le numéro n�est pas num

% on cherche le bon intervalle, changement de signe% de la dérivée de besseljwhile derivbesselj(ordre,mini)*derivbesselj(ordre,maxi)>=0

maxi=maxi+prec ;endnumr=numr+1 ;% détermination numérique du zéroZeroDJ(ordre+1,numr)=fzero(@(x) derivbesselj(ordre,x),[mini maxi]) ;mini=maxi ;maxi=maxi+prec ;

endsave ZeroDJ ZeroDJ % sauvegarde dans ZeroDJ du zéro recherché

Les valeurs des �0mn obtenues numériquement sont données dans le tableauA.1.b.

153


n = 0 1 2 3 4 5m = 1 3; 8317 1; 8412 3; 0542 4; 2012 5; 3176 6; 41562 7; 0156 5; 3314 6; 7061 8; 0152 9; 2824 10; 51993 10; 1735 8; 5363 9; 9695 11; 3459 12; 6819 13; 98724 13; 3237 11; 7060 13; 1704 14; 5858 15; 9641 17; 31285 16; 4706 14; 8636 16; 3475 17; 7887 19; 1960 20; 57556 19; 6159 18; 0155 19; 5129 20; 9725 22; 4010 23; 80367 22; 7601 21; 1644 22; 6716 24; 1449 25; 5898 27; 0103

Tableau A.1.b. Valeurs de �0mn

Propriété remarquable sur la fonction de Bessel J8n 6= 0, Jn(0) = 0 et J0(0) = 1

A.4 Convention Bra-ket

Cette écriture due à Dirac est très commode pour l�écriture des opérateurs.Une fonction à plusieurs composantes s�écrit éventuellement selon un Ket.

f � jfi

La description de son équivalent en vecteur suit l�ordre lignes-colonnes.

une in�nité de lignes ! ji une colonne

Le Bra, sa grandeur duale s�écrit :

une ligne ! hj une in�nité de colonnes

Un produit scalaire entre deux fonctions f et g sur la surface S est dé�ni selon :

hf jgi �Z

S

(f�)tgdS

avec (f�)t la fonction transposée conjuguée de f .Un projecteur sur une fonction f normée s�écrit alors :

bPf = jfi hf j

On utilise souvent le projecteur sur des fonctions fn d�une base orthonorméeffngn dé�ni par :

bPn = jfni hfnj

154


Soit une fonction f se décomposant sur la base ffngn.

f =X

m

am jfmi

AlorsbPnf = jfni hfnjfi =

X

m

jfni hfnjfmi am

Comme la base est orthonormée, hfnjfmi = �nm, on déduit donc le résultat dela projection.

bPnf = an jfni

Si ffngn est une base des vecteurs propres d�un opérateur bL alors la relationsuivante est véri�ée avec Ln la valeur propre associée au vecteur propre fn.

bLfn = Ln jfni

L�opérateur bL peut alors s�écrire comme une série de projecteurs sur les vecteurspropres associés selon :

bL =X

n

jfniLn hfnj

155

Annexe B

Conditions aux limites

Les relations de continuité des champs électromagnétiques au niveau d�unesurface (�) séparant deux milieux notés 1 et 2 sont données par :

�!n ��!E 1 �

�!E 2

��(�)

=�!0

�!n ��!H 1 �

�!H 2

��(�)

=�!j s

�!n :��!D1 �

�!D2

��(�)

= �s

�!n :��!B 1 �

�!B 2

��(�)

=�!0

avec �!n le vecteur normal à la surface (�) en chaque point ;�!j s la densité de

courant surfacique et �s la densité de charge surfacique comme représenté surla �gure b.01.

Figure b.01 : Continuité des champs électromagnétiques

Dans le cas d�un guide à parois métalliques d�axe d�invariance �!z , soit (�) lebord du guide, le milieu 1 l�intérieur du guide et le milieu 2 les parois du guide.

157


B.0.1 Démonstration de la condition de Dirichlet véri�éepar Ez

Les champs électriques sont nuls dans le métal, donc�!E 2 =

�!0 .

On en déduit :�!n � �!E 1

��(�)=�!0

On peut décomposer�!E 1 =

�!E T1 + Ez1

�!z . Soit :

�!n ��!E T1 + Ez1

�!z��(�)=�!0

Dans cette expression, �!n ��!E T1

��(�)est porté par �!z alors que �!n �Ez1

�!z j(�) estdans le plan transverse du guide. On en déduit que ces deux grandeurs doiventêtre conjointement nulles. On en déduit donc la condition de Dirichlet véri�éepar le champ électrique longitudinal sur les parois électriques :

Ez1j(�) = 0

(Parallèlement �!n � �!E T1

��(�)=�!0 )

B.0.2 Démonstration de la condition de Neumann véri�éepar Hz

Reprenons la relation entre le champ électrique transverse�!E T1 et les com-

posantes longitudinales Ez1 et Hz1 :� 2 + k20

��!E T1 = � rTEz1 � j!�0 (rTHz1)��!z

Or :�!n � �!E T1

��(�)=�!0

Ce qui implique que :

�!n � ( rTEz1 + j!�0 (rTHz1)��!z )j(�) =�!0

Comme�!n décrit la normale à la frontière (�), notons�!t la tangente à la frontière(�) dans le plan transverse, on peut donc écrire que :

rTEz1 =�rTEz1

�!t

rTEz1�!n

�Par continuité des composantes tangentielles, on déduit : rTEz1

�!t��(�)=�!0 . De

plus �!n �(rTEz1�!n ) =�!0 , ainsi ces équations conduisent à �!n �rTEz1j(�) =

�!0

et par conséquent à la relation suivante sur le champ magnétique transverse :

�!n � (j!�0 (rTHz1)��!z )j(�) =�!0

158

Annexe B. Conditions aux limites

En développant les produits vectoriels, on obtient :

�!n � (j!�0 (rTHz1)��!z ) = j!�0 (�!n :�!z )rTHz1 � j!�0 (

�!n :rTHz1)�!z

= �j!�0 (�!n :rTHz1)�!z

=�!0

En e¤et �!n :�!z = 0. De plus par dé�nition : �!n :rTHz1 =@Hz1

@n . On en déduitdonc la condition de Neumann véri�ée par le champ magnétique longitudinalsur les parois électriques :

@Hz1

@n

��(�)= 0

Remarque : Par dualité entre murs électriques et magnétiques, les conditions decontinuité sur le mur magnétique de frontière (�m) sont :

Hz1j(�m) = 0@Ez1@n

��(�m)

= 0

159

Annexe C

Bases modales

Pour chaque base modale détaillée ci-dessous (cf. Cours 1.2.1), les modes TM(Transverse Magnétique) sont obtenus à partir de Hz = 0 avec Ez comme fonc-tion génératrice et les modes TE (Transverse Electrique) sont obtenus à partirde Ez = 0 avec Hz comme la fonction génératrice. Les modes TEM (Trans-verse ElectroMagnétique) sont obtenus à partir de la résolution de l�équation dePoisson sans charge (cf. Cours 1.2.2). Les conditions aux limites utilisées sontrappelées en Annexe B.

C.1 Plans métalliques in�nis et parallèles

On a une invariance en y et en z, on pose y et z les constantes de propa-gation selon ces deux axes. On se place dans le plan (xOy), comme représentésur la �gure c.01.

Figure c.01 : Plans métalliques in�nis et parallèles

161


Modes TMLes conditions aux limites sont : Ezjx=0 = Ezjx=a = 0. D�où :

Ez (x; y; z) = E0 sin�n�

ax�e� yye� zz

Avec 2z =�n�a

�2 � 2y � k20"r, le champ transverse s�écrit :

�!E T = E00

�n�a cos

�n�a x�e� yye� zz

� y sin�n�a x�e� yye� zz

�Le mode TM0 n�existe pas, puisque sa fonction génératrice est nulle.

Les fréquences de coupure des modes TMn sont fTMnc = c

2�

q�n�a

�2+ �2y

(avec y = j�y).

Modes TELes conditions aux limites sont : @Hz

@x

��x=0

= @Hz

@x

��x=a

= 0. D�où :

Hz (x; y; z) = H0 cos�n�

ax�e� yye� zz

Avec 2z =�n�a


�!E T = E000

� y cos


�n�a sin


�

Le mode TE0 existe, il est constant et orienté suivant �!x , c�est le modefondamental de ce guide. Sa fréquence de coupure est fTE0c = c

2� :�y, etsa coupure peut-être nulle si �y = 0, ce qui implique que z = jk0

p"r

(mode toujours propagatif). Les fréquences de coupure des modes

TEn sont fTEnc = c2�

q�n�a

�2+ �2y (avec y = j�y).

Normalisation et orthogonalité de la baseSoit la base modale dé�nie par les fonctions suivantes :

�!f TEn = ATEn

� y cos

�n�a x��n�

a

�sin�n�a x�

�!f TMn = ATMn

� �n�a

�cos�n�a x��

� y�sin�n�a x�

162

Annexe C. Bases modales

ATEn et ATMn sont deux constantes de normalisation à déterminer.

D�!f TEn j

�!f TEn

E=

aZ

0

�!f TEn (x)�:

�!f TEn (x)dx

=��ATEn ��2 aZ

0

�� y��2 cos2 �n�a x�+�n�

a

�2sin2

�n�ax��

dx

= 1

Pour n=0, on a :

1 =��ATE0 ��2 aZ

0

�� y��2 dxATE0 =

1pa�� y��

Pour n6= 0, on a :

1 =��ATEn ��2 aZ

0

�� y��2 cos2 �n�a x�+�n�

a

�2sin2

�n�ax��

dx

=��ATEn ��2 aZ

0

"�� y��2 1 + cos

�2n�a x

�2

!+�n�

a

�2 1� cos � 2n�a x�

2

!#dx

=��ATEn ��2�� y��2 a2 + �n�a �2 a2

�

ATEn =

q2aq�

n�a

�2+�� y��2

On généralise alors en :

ATEn =

p�naq�

n�a

�2+�� y��2

avec

�n =

�1 si n=02 si n 6= 0

Par une démarche analogue pour les modes TM on détermine ATMn :

ATMn =

q2aq�

n�a

�2+�� y��2

163


Véri�cation de l�orthogonalité. Par construction, on a :D�!f TEn1 j

�!f TMn2

E=D�!f TEn1 j

�!f TEn2

E=D�!f TMn1 j

�!f TMn2

E= 0 si n1 6= n2

Il reste à véri�er :

D�!f TEn j

�!f TMn

E=

aZ

0

�!f TEn (x)�:

�!f TMn (x)dx

=

aZ

0

ATE�n ATMn

� �yn�

acos2

�n�ax�+ y

n�

asin2

�n�ax��

dx

= ATE�n ATMn� �y + y

�Il y a orthogonalité de la base si et seulement si y est imaginaire pur.

Base modaleLa base modale orthonormée d�un guide dont les parois sont des plans métal-liques in�nis et parallèles est :

�!f TEn

�fTEnx (x) = yA

TEn cos

�n�a x�

fTEny (x) = �n�a ATEn sin

�n�a x�

�!f TMn

�fTMnx (x) =

n�a ATMn cos

�n�a x�

fTMny (x) = � yATMn sin�n�a x�

ATEn =

p�naq

(n�a )2+j yj2

ATMn =

p2aq

(n�a )2+j yj2

�n =

�1 si n=02 si n 6= 0

Avec y imaginaire pur (=j�y), 2z =

�n�a

�2+ �2y � k20"r.

Les fréquences de coupures des modes TEn et TMn sont :

fTEnc = fTMnc =

c

2�

r�n�a

�2+ �2y

Le mode fondamental de ce guide est le mode TE0 de fréquence decoupure :

fTE0c =c

2��y

C.2 Plans magnétiques in�nis et parallèles

On a invariance en y et en z, on pose y et z les constantes de propagationselon ces deux axes. On se place dans le plan (xOy) comme représenté sur la�gure c.02.

164


Figure c.02 : Plans magnétiques in�nis et parallèles

Modes TMLes conditions aux limites sont : @Ez

@x

��x=0

= @Ez@x

��x=a

= 0. Donc :

Ez (x; y; z) = E0 cos�n�

ax�e� yye� zz

Avec 2z =�n�a


�!E T = E00

� �n�a sin


� y cos�n�a x�e� yye� zz

�Le mode TM0 existe, il est constant et orienté suivant �!y , c�est le modefondamental de ce guide. Sa fréquence de coupure est fTM0

c = c2��y, et

sa coupure peut-être nulle si �y = 0, ce qui implique que z = jk0p"r

(mode toujours propagatif). Les fréquences de coupure des modes

TMn sont fTMnc = c

2�

q�n�a

�2+ �2y.

Modes TELes conditions aux limites sont : Hzjx=0 = Hzjx=a = 0. Donc :

Hz (x; y; z) = H0 sin�n�

ax�e� yye� zz

Avec 2z =�n�a


�!E T = E000

� y sin


n�a cos


�165


Le mode TE0 n�existe pas, puisque sa fonction génératrice est nulle.

Les fréquences de coupure des modes TEn sont fTEnc = c2�

q�n�a

�2+ �2y.

Base modaleLes calculs des coe¢ cients de normalisation et la véri�cation de l�orthogonalitéconduisent à des calculs similaires au cas plans métalliques. On obtient la basemodale orthonormée du guide dont les parois sont des plans magnétiques in�niset parallèles.

�!f TEn

�fTEnx (x) = yA

TEn sin

�n�a x�

fTEny (x) =n�a ATEn cos

�n�a x�

�!f TMn

�fTMnx (x) =

n�a ATMn sin

�n�a x�

fTMny (x) = yATMn cos

�n�a x�

ATEn =

p2aq

(n�a )2+j yj2

ATMn =

p�naq

(n�a )2+j yj2

�n =

�1 si n=02 si n 6= 0

Avec y imaginaire pur (=j�y), 2z =

�n�a

�2+ �2y � k20"r.

Les fréquences de coupures des modes TEn et TMn sont :

fTEnc = fTMnc =

c

2�

r�n�a

�2+ �2y

Le mode fondamental de ce guide est le TM0 de fréquence de coupure :

fTM0c =

c

2��y

C.3 Guide rectangulaire à parois métalliques

On a invariance en z, on pose mn la constante de propagation selon cet axe.On se place dans le plan (xOy) comme représenté sur la �gure c.03.

Figure c.03 : Guide rectangulaire à parois métalliques

166


Modes TMLes conditions aux limites sont :

Ezjx=0 = Ezjx=a = 0Ezjy=0 = Ezjy=b = 0

Donc :Ez (x; y; z) = E0 sin

�m�a

x�sin�n�

by�e� mnz

Avec 2mn =�m�a

�2+�n�b

�2 � k20"r, le champ transverse s�écrit :

�!E TMT = E00

�m�a cos

�m�a x�sin�n�b y�e� mnz

n�b sin

�m�a x�cos�n�b y�e� mnz

�Les modes TMm0 et TM0n n�existent pas car leur fonction génératriceest nulle.Les fréquences de coupure des modes TMmn sont fTMmn

c = c2

q�ma

�2+�nb

�2.

Modes TELes conditions aux limites sont :

@Hz

@x

��x=0

=@Hz

@x

��x=a

= 0

@Hz

@y

��y=0

=@Hz

@y

��y=b

= 0

Donc :Hz (x; y; z) = H0 cos

�m�a

x�cos�n�

by�e� mnz

Avec 2mn =�m�a

�2+�n�b


�!E TET = E000

� �n�b cos


m�a sin


�Le mode TE10 (si a>b) ou TE01 (si a<b) est le mode fondamentalde ce guide, les fréquences de coupure respectives de ces modes sontfTE10c = c

2a ou fTE01c = c2b . Les fréquences de coupure des modes TEmn

sont fTEmnc = c

2

q�ma

�2+�nb

�2.


�!f TEmn = ATEmn

� ��n�b

�cos�m�a x�sin�n�b y��

m�a

�sin�m�a x�cos�n�b y�

�!f TMmn = ATMmn

� �m�a

�cos�m�a x�sin�n�b y��

n�b

�sin�m�a x�cos�n�b y�

167


ATEmn et ATMmn sont deux constantes de normalisation à déterminer.

D�!f TEmnj

�!f TEmn

E=

aZ

0

bZ

0

�!f TEmn(x; y)

�:�!f TEmn(x; y)dxdy

=��ATEmn��2 aZ

0

bZ

0

��n�b

�2cos2

�m�a

x�sin2

�n�by�

+�m�

a

�2sin2

�m�a

x�cos2

�n�bx��

dxdy

= 1

Or :

aZ

0

cos2�m�

ax�dx =

�a2 si m 6= 0a si m = 0

aZ

0

sin2�m�

ax�dx =

�a2 si m 6= 0a si m = 0

On pose �m =�2 si m 6= 01 si m = 0

d�où

aZ

0

cos2�m�a x�dx =

aZ

0

sin2�m�a x�dx = a

�m.

On a donc :

1 =��ATEmn��2��n�b �2 a

�m

b

�n+�m�

a

�2 a

�m

b

�n

�1 =

��ATEmn��2 ab

�m�n

��n�b

�2+�m�

a

�2�D�où :

ATEmn =

p�m�nabq�

m�a

�2+�n�b

�2avec

�p =

�1 si p=02 si p 6= 0

Par une démarche analogue pour les modes TM on détermine les ATMmn :

ATMmn =

2pabq�

m�a

�2+�n�b

�2168


Véri�cation de l�orthogonalité. Par construction, on a :D�!f TEn1;m1j

�!f TMn2;m2

E=

D�!f TEn1;m1j

�!f TEn2;m2

E=D�!f TMn1;m1j

�!f TMn2;m2

E= 0

si n1 6= n2 ou m1 6= m2

Il reste à véri�er :

D�!f TEmnj

�!f TMmn

E=

aZ

0

bZ

0

�!f TEmn(x; y)

�:�!f TMmn (x; y)dxdy

= ATE�mn ATMmn

aZ

0

bZ

0

��n�b

��m�a

�cos2

�m�a

x�sin2

�n�by�

+�m�

a

��n�b

�sin2

�m�a

x�cos2

�n�ax�i

dxdy

= ATE�mn ATMmn

�n�b

��m�a

�� ab�m�n

+ab

�m�n

�= 0

Il y a donc bien orthogonalité de la base.

Base modaleLa base modale orthonormée d�un guide rectangulaire à parois électriques estla suivante :

�!f TEmn

�fTEmnx(x; y) =

�n�b ATEmn cos

�m�a x�sin�n�b y�

fTEmny(x; y) =m�a ATEmn sin

�m�a x�cos�n�b y�

�!f TMmn

�fTMmnx(x; y) =

m�a ATMmn cos


fTMmny(x; y) =n�b ATMmn sin


ATEmn =

p�m�nabq

(m�a )

2+(n�b )

2ATMmn =

2pabq

(m�a )

2+(n�b )

2

�p =

�1 si p=02 si p 6= 0

Avec 2mn =�m�a

�2+�n�b

�2 � k20"r.Les fréquences de coupure des modes TEmn et TMmn sont obtenuespar :

fTEmnc = fTMmn

c =c

2

r�ma

�2+�nb

�2Le mode fondamental est le TE10 (si a>b) ou TE01 (si a<b), les fré-quences de coupure correspondantes sont respectivement :

fTE10c =c

2aet fTE01c =

c

2b

169


C.4 Guide rectangulaire à parois magnétiques

On a invariance en z, on pose mn la constante de propagation selon cet axe.On se place dans le plan (xOy) comme représenté sur la �gure c.04.

Figure c.04 : Guide rectangulaire à parois magnétiques


@Ez@x

��x=0

=@Ez@x

��x=a

= 0

@Ez@y

��y=0

=@Ez@y

��y=b

= 0

Donc :Ez (x; y; z) = E0 cos

�m�a

x�cos�n�

by�e� mnz

Avec 2mn =�m�a

�2+�n�b


�!E TMT = E00

�m�a sin


n�b cos


�Le mode TM10 (si a>b) ou TM01 (si a<b) est le mode fondamentalde ce guide, leur fréquence de coupure respective est fTM10

c = c2a ou

fTM01c = c

2b .

Les fréquences de coupure des modes TMmn sont fTMmnc = c

2

q�ma

�2+�nb

�2.


Hzjx=0 = Hzjx=a = 0Hzjy=0 = Hzjy=b = 0

170


Donc :Hz (x; y; z) = H0 sin

�m�a

x�sin�n�

by�e� mnz

Avec 2mn =�m�a

�2+�n�b


�!E TET = E000

� �n�b sin


m�a cos


�Les modes TEm0 et TE0n n�existent pas car leur fonction génératriceest nulle.Les fréquences de coupure des modes TEmn sont fTEmn

c = c2

q�ma

�2+�nb

�2.Base modaleLes calculs des coe¢ cients de normalisation et la véri�cation de l�orthogonalitéconduisent à des calculs similaires au cas guide rectangulaire à parois électriques.La base modale orthonormée d�un guide rectangulaire à parois magnétiques estla suivante :

�!f TEmn

�fTEmnx(x; y) =

�n�b ATEmn sin


fTEmny(x; y) =m�a ATEmn cos


�!f TMmn

�fTMmnx(x; y) =

m�a ATMmn sin


fTMmny(x; y) =n�b ATMmn cos


ATEmn =2pabq

(m�a )

2+(n�b )

2ATMmn =

p�m�nabq

(m�a )

2+(n�b )

2

�p =

�1 si p=02 si p 6= 0

Avec 2mn =�m�a

�2+�n�b

�2 � k20"r.Les fréquences de coupure des modes TEmn et TMmn sont obtenuespar :

fTEmnc = fTMmn

c =c

2

r�ma

�2+�nb

�2Le mode fondamental est le TM10 (si a>b) ou TM01 (si a<b), les fré-quences de coupure correspondantes sont respectivement :

fTM10c =

c

2aet fTM01

c =c

2b

C.5 Guide rectangulaire à parois horizontalesélectriques et verticales magnétiques

On a invariance en z, on pose mn la constante de propagation selon cet axe.On se place dans le plan (x0y) comme représenté sur la �gure c.05.

171


Figure c.05 : Guide rectangulaire à parois horizontales électriques et verticalesmagnétiques

Mode TEMAux modes TE et TM vient s�ajouter le TEM puisqu�il y a deux conducteurs dis-joints. On résout r2T� = 0 en coordonnées cartésiennes, cf Cours 1.2.2. Comptetenu des conditions d�invariance en x et d�indépendance en x, on a :

r2T� = 0 +@2�

@y2= 0

@�

@y= A

� = Ay +B

Donc�!E TEMT = �rT� = �A�!y .

La base est orthonormée :

1 =

bZ

0

�!f TEM�(y)

�!f TEM (y)dy

1 =

bZ

0

jAj2 dy

1 = A2b

A =1pb

�!f TEM =

1pb

�!y

Dans ce cas, z = jk0p"r.

172



@Ez@x

��x=0

=@Ez@x

��x=a

= 0

Ezjy=0 = Ezjy=b = 0

Donc :

Ez (x; y; z) = E0 cos�m�

ax�sin�n�

by�e� mnz

Avec 2mn =�m�a

�2+�n�b


�!E TMT = E00

� �m�a sin


n�b cos


�Les modes TMm0 n�existent pas car leur fonction génératrice est nulle.

Les fréquences de coupure des modes TMmn sont fTMmnc = c

2

q�ma

�2+�nb

�2(n>0).


Hzjx=0 = Hzjx=a = 0@Hz

@y

��y=0

=@Hz

@y

��y=b

= 0

Donc :

Hz (x; y; z) = H0 sin�m�

ax�cos�n�

by�e� mnzz

Avec 2z =�m�a

�2+�n�b


�!E TET = E000

�n�b sin


m�a cos


�Les modes TE0n n�existent pas car leur fonction génératrice est nulle.

Les fréquences de coupure des modes TEmn sont fTEmnc = c

2

q�ma

�2+�nb

�2(m>0).

Base modaleLes calculs des coe¢ cients de normalisation et la véri�cation de l�orthogonalitéconduisent à des calculs similaires au cas guide rectangulaire à parois électriques.

173


La base modale orthonormée d�un guide rectangulaire à parois horizontales élec-triques et verticales magnétiques est la suivante :

�!f TEM = 1p

b

�!y�!f TEmn

�fTEmnx(x; y) =

n�b ATEmn sin


fTEmny(x; y) =m�a ATEmn cos


�!f TMmn

�fTMmnx(x; y) =

�m�a ATMmn sin


fTMmny(x; y) =n�b ATMmn cos


ATEmn =

p2�nabq

(m�a )

2+(n�b )

2ATMmn =

p2�mabq

(m�a )

2+(n�b )

2

�p =

�1 si p=02 si p 6= 0

Avec 2mn =�m�a

�2+�n�b

�2 � k20"r et 2TEM = �k20"r.Le mode TEM est le mode fondamental de ce guide, sa fréquence decoupure est nulle (cf Cours 1.2.2).Les fréquences de coupure des modes TEmn et TMmn sont obtenuespar :

fTEmnc = fTMmn

c =c

2

r�ma

�2+�nb

�2C.6 Guide circulaire à paroi électrique


Figure c.06 : Guide circulaire à paroi électrique

Expression des champs Ez et Hz

Les composantes du champ électromagnétique sont solutions de l�équation depropagation

�r2 + k20"r

�U = 0 qui, exprimée en coordonnées cylindriques (�,�),

s�écrit : �r2 + k20"r

�U =

@2U

@�2+1

�

@U

@�+1

�2@2U

@�2+

@2U

@z2+ k20"rU (C.1)

174


Le guide circulaire est périodique en � de période 2�. Par conséquent, (C.1)devient (C.2), la fonction U est de la forme :

U = [An cos (n�) +Bn sin (n�)] e� mnzf(�)

n 2 Z. Donc :

@2U

@�2+1

�

@U

@�+1

�2(�n2)U + 2mnU + k20"rU = 0 (C.2)

Posons k2c = 2mn + k20"r, on en déduit :

@2U

@�2+1

�

@U

@�+

�k2c �

n2

�2

�U = 0 (C.3)

Remarque : On sait que les fonctions de Bessel Jn(x) et Yn(x) sont solutionsde l�équation di¤érentielle (cf Annexe A) :

1

x

d

dx

�xdf

dx

�+

�1�

�nx

�2�f = 0

ou �1

x

@

@x+

@2

@x2+

�1�

�nx

�2��f = 0 (C.4)

En posant x = kc�, dx = d(kc�) = kcd� et en injectant ce changement devariable dans (C.4), on obtient :

"1

kc�

@

kc@�+

@2

k2c@�2+

1�

�n

kc�

�2!#f = 0�

1

�

@

@�+

@2

@�2+

�k2c �

n2

�2

��f = 0 (C.5)

On constate que l�équation di¤érentielle véri�ée par les fonctions de Bessel (C.5)correspond bien à (C.3). La fonction f(�) peut donc s�écrire en utilisant lesfonctions de Bessel Jn et Yn par :

f(�) = [CnJn(kc�) +DnYn(kc�)]

Cette fonction sert à dé�nir n�importe quelle composante du champ électroma-gnétique, attention elle est �nie au centre du guide circulaire, donc lim

�!0f(�)

existe. La fonction Yn(kc�) tend vers l�in�ni lorsque � tend vers 0, ce qui n�estphysiquement pas possible, par conséquent les coe¢ cients Dn sont nuls quel quesoit n pour le guide circulaire. D�où :

f(�) = CnJn(kc�)

doncU(�; �; z) = Cne

� zJn(kc�) [An cos (n�) +Bn sin (n�)]

Soit �mn les zéros de Jn(x) et �0mn les zéros de J

0n(x).

175


Finalement, deux cas se présentent :- les modes pairs (Ez � cos (n�) et Hz � sin (n�))- les modes impairs (Ez � sin (n�) et Hz � cos (n�)).

Ces deux dé�nitions génèrent des bases similaires à un déphasage �2 près :

(cos�n� +

�

2

�= � sin (n�) et sin

�n� +

�

2

�= cos (n�))

Prenons comme dé�nition le mode pair :

Ez � cos (n�)

Hz � sin (n�)

Modes TMLa condition aux limites est :

Ezj�=a = 0

Donc, kTMc;mn =�mn

a , ainsi :

Ez (�; �; z) = ATMmn e� mnzJn(�mna�) cos (n�)

Avec� TMmn

�2=��mn

a


�!E T = A0TMmn e� mnz

� �mn

a J0

n(�mn

a �) cos (n�)�n� Jn(

�mn

a �) sin (n�)

�Les fréquences de coupure des modes TMmn sont fTMmn

c = �mn

ac2�

(m>0).

Modes TELa condition aux limites est :

@Hz

@�

��=a

= 0

Donc, kTEc;mn =�0mn

a , ainsi :

Hz (�; �; z) = ATEmne� mnzJn(

�0mna�) sin (n�)

Avec� TEmn

�2=��0mn

a

�2� k20"r, le champ transverse s�écrit :

�!E T = A0TEmn e� mnz

n�Jn(

�0mn

a �) cos (n�)��0mn

a J0

n(�0mn

a �) sin (n�)

!

176


Les fréquences de coupure des modes TEmn sont fTEmnc =

�0mn

ac2�

(m>0). Comme �011 est le plus petit de tous les zéros de la fonctionde Bessel et de tous les zéros de sa dérivée, le mode TE11 est le modefondamental de ce guide. Sa fréquence de coupure est fTE11c =

�011a

c2� .


�!f TMmn = ATMmn

��mn

a J0

n(�mn


�mn

a �) sin (n�)

�!f TEmn = ATEmn

� n�Jn(

�0mn

a �) cos (n�)��0mn

a J 0n(�0mn

a �) sin (n�)

ATEmn et ATMmn sont deux constantes de normalisation à déterminer.

Calcul de ATMmn

1 =��ATMmn ��2 2�Z

0

aZ

0

��mna

�2cos2 (n�) J

02n (�mna�)

+

�n

�

�2sin2 (n�) J2n(

�mna�)

#�d�d�

1 = ��ATMmn ��2 aZ

0

"��mna

�2J02n (�mna�) +

�n

�

�2J2n(

�mna�)

#�d�

Puisque :

2�Z

0

cos2 (n�) d� =

2�Z

0

1 + cos (2n�)

2d� = �

2�Z

0

sin2 (n�) d� =

2�Z

0

1� cos (2n�)2

d� = �

Donc pour tout n :

ATMmn =

1p�vuuut

aZ

0

��mn

a

�2J 02n (

�mn

a �) +�n�

�2J2n(

�mn

a �)

��d�

177


Calcul de ATEmn

1 =��ATEmn��2 2�Z

0

aZ

0

"�n

�

�2cos2 (n�) J2n(

�0mna�)

+

��0mna

�2sin2 (n�) J 02n (

�0mna�)

#�d�d�

= ��ATEmn��2 aZ

0

"�n

�

�2J2n(

�0mna�) +

��0mna

�2J 02n (

�0mna�)

#�d�

Donc pour tout n :

ATEmn =

1p�vuuut

aZ

0

��n�

�2J2n(

�0mn

a �) +��0mn

a

�2J 02n (

�0mn

a �)

��d�

Véri�ons l�orthogonalité de la base. Ainsi :

D�!f TEm1;n1j

�!f TEm2;n2

E= ATE�m1;n1A

TEm2;n2

2�Z

0

aZ

0

�n1n2�2

Jn1(�0m1;n1

a�)Jn2(

�0m2;n2a

�)

cos (n1�) cos (n2�) +�0m1;n1�

0m;n2

a2J 0n1(

�0m1;n1a

�))

J 0n2(�0m2;n2

a�) sin (n1�) sin (n2�)

�d�d�

Comme

2�Z

0

cos (n1�) cos (n2�) d� = 0

2�Z

0

sin (n1�) sin (n2�) d� = 0

On déduit :

D�!f TEm1;n1j

�!f TEm2;n2

E=

D�!f TMm1;n1j

�!f TMm2;n2

E=D�!f TEm1n1j

�!f TMm2n2

E= 0

si m1 6= m2 ou n1 6= n2

178


Reste à véri�er :

D�!f TEmnj

�!f TMmn

E= ATE�mn ATMmn n

2�Z

0

aZ

0

��mna

Jn(�0mna�)J

0

n(�mna�)

cos2 (n�) +�0mna

J 0n(�0mna�))Jn(

�mna�) sin2 (n�)

�d�d�

En posant U = Jn(�0mn

a �) et V = Jn(�mn

a �), on a U 0 =�0mn

a J 0n(�0mn

a �) etV 0 = �mn

a J 0n(�mn

a �). Donc :

D�!f TEmnj

�!f TMmn

E= ATE�mn ATMmn n

2�Z

0

aZ

0

�U 0V cos2 (n�)

+UV 0 sin2 (n�)�d�d�

D�!f TEmnj

�!f TMmn

E= ATE�mn ATMmn n�

aZ

0

�@

@�(UV )

�d�

Si n=0, sin (n�) = 0 donc�!f TEm0 =

�!0 et

D�!f TEmnj

�!f TMmn

E= 0. Si n 6= 0 :

I =

aZ

0

�@

@�

�Jn(

�mna�)Jn(

�0mna�)

��d�

=�Jn (�mn) Jn (�

0mn)� J2n (0)

�= [0� 0] = 0

D�où : D�!f TEmnj

�!f TMmn

E= 0

On a bien orthogonalité de la base.

179


Base modaleLa base modale orthonormée d�un guide circulaire à paroi électrique est la sui-vante :

�!f TEmn

(fTEmn�(�; �) =

n�A

TEmnJn(

�0mn

a �) cos (n�)

fTEmn�(�; �) = ��0mn

a ATEmnJ0n(

�0mn

a �) sin (n�)

�!f TMmn

�fTMmn�(�; �) =

�mn

a ATMmn J0

n(�mn

a �) cos (n�)fTMmn�(�; �) = �n

�ATMmn Jn(

�mn

a �) sin (n�)

ATEmn =1p�vuuuuut

aZ

0

�(n� )

2J2n(

�0mna �)+

��0mna

�2J02n (

�0mna �)

��d�

ATMmn =1p�vuuuuut

aZ

0

h(n� )

2J2n(

�mna �)+(�mn

a )2J02n (

�mna �)

i�d�

Avec� TEmn

�2=��0mn

a

�2� k20"r et

� TMmn

�2=��mn

a

�2 � k20"r.

Le mode fondamental est le TE11 de fréquence de coupure fc =�011a

c2� .

Les fréquences de coupure des modes TEmn sont obtenues par :

fTEmnc =

�0mna

c

2�(m>0)

et les fréquences de coupure des modes TMmn sont obtenues par :

fTMmnc =

�mna

c

2�(m>0)

C.7 Guide circulaire à paroi magnétique


Figure c.07 : Guide circulaire à paroi magnétique

180


La démarche est analogue au guide circulaire à paroi électrique.

Modes TMLa condition aux limites est :

@Ez@�

��=a

= 0

Donc, kTMc;mn =�0mn

a , ainsi :

Ez (�; �; z) = ATMmn e� mnzJn(�0mna�) cos (n�)

Avec� TMmn

�2=��0mn

a

�2� k20"r, le champ transverse s�écrit :

�!E T = ATM 0mn e� mnz

�0mn

a J0

n(�0mn


�0mn

a �) sin (n�)

!

Les fréquences de coupure des modes TMmn sont fTMmnc =

�0mn

ac2�

(m>0). Comme �011 est le plus petit des tous les zéros de la fonctionde Bessel et de tous les zéros de sa dérivée, le mode TM11 est le modefondamental de ce guide. Sa fréquence de coupure est fTM11

c =�011a

c2� .

Modes TELa condition aux limites est :

Hzj�=a = 0

Donc, kTEc;mn =�mn

a , ainsi :

Hz (�; �; z) = ATEmne� mnzJn(

�mna�) sin (n�)

Avec� TEmn

�2=��mn

a


�!E T = ATE0mn e� mnz

� n�Jn(

�mn

a �) cos (n�)��mn

a J0

n(�mn

a �) sin (n�)

�Les fréquences de coupure des modes TEmn sont fTEmn

c = �mn

ac2�

(m>0).

181


Base modaleLes calculs des coe¢ cients de normalisation et la véri�cation de l�orthogonalitéconduisent à des calculs similaires au cas du guide circulaire à paroi électrique.La base modale orthonormée d�un guide circulaire à paroi magnétique est lasuivante :

�!f TEmn

�fTEmn�(�; �) =

n�A

TEmnJn(

�mn

a �) cos (n�)

fTEmn�(�; �) = ��mn

a ATEmnJ0n(

�mn

a �) sin (n�)

�!f TMmn

(fTMmn�(�; �) =

�0mn

a ATMmn J0

n(�0mn

a �) cos (n�)

fTEmn�(�; �) = �n�A

TMmn Jn(

�0mn

a �) sin (n�)

ATEmn =1p�vuuuuut

aZ

0

h(n� )

2J2n(

�mna �)+(�mn

a )2J02n (

�mna �)

i�d�

ATMmn =1p�vuuuuut

aZ

0

�(n� )

2J2n(

�0mna �)+

��0mna

�2J02n (

�0mna �)

��d�

Avec� TEmn

�2=��mn

a

�2 � k20"r et� TMmn

�2=��0mn

a

�2� k20"r.

Le mode fondamental est le TM11 de fréquence de coupurefTM11c =

�011a

c2� .

Les fréquences de coupure des modes TEmn sont obtenues par :

fTEmnc =

�mna

c

2�(m>0)

et les fréquences de coupure des modes TMmn sont obtenues par :

fTMmnc =

�0mna

c

2�(m>0)

C.8 Guide coaxial

On a invariance en z, on pose mn la constante de propagation selon cetaxe. On se place dans le plan (x0y) comme représenté sur la �gure c.08. Pource guide, nous nous intéressons uniquement au mode fondamental et à la bandemonomode.

182


Figure c.08 : Guide coaxial

Mode TEMAux modes TE et TM vient s�ajouter le mode TEM puisqu�il y a deux conduc-teurs disjoints. On résout r2T� = 0 en coordonnées cylindriques, cf Cours 1.2.2.Compte tenu des conditions d�invariance et d�indépendance en �, on a :

r2T� =@2�

@�2+1

�

@�

@�

=1

�

@

@�

��@�

@�

�= 0

�@�

@�= A

@�

@�=

A

�

� = A ln �+B

Puisque le champ transverse dérive du potentiel :

�!E TEMT = �rT�

�!E TEMT � E0

1

��!�

donc :

�!f TEM =

E0��!�

183


La base modale étant orthonormée, on a :

1 =

bZ

a

2�Z

0

�!f TEM�(�; �)

�!f TEM (�; �)�d�d�

1 =

bZ

a

2�Z

0

�jE0j�

�2�d�d�

E0 =1q

2� ln�ba

�Donc

�!f TEM =

1q2� ln

�ba

� 1��!�Le mode TEM est le mode fondamental de ce guide, sa fréquence decoupure est nulle.

Expression des champs Ez et Hz

Comme dans le cas du guide circulaire métallique, les champs électromagné-tiques véri�ent l�équation de propagation (C.1). La résolution ne di¤ère quedans l�expression �nale de U où on ne considère pas les champs pour � = 0dans le cas guide coaxial. La fonction U(�,�,z) peut donc s�écrire en utilisant lesfonctions de Bessel Jn et Yn par :

U(�; �; z) = e� mnz [anJn(kc�) + bnYn(kc�)]

�cos (n�)sin (n�)


Ezj�=b = Ezj�=a = 0

D�après la résolution de l�équation de propagation en coordonnées cylindriquesvue en C.6 :

Ez = [anJn(kc�) + bnYn(kc�)] cos (n�)

Les conditions aux limites impliquent :�Jn(kca) Yn(kca)Jn(kcb) Yn(kcb)

�:

�anbn

�=

�0

0

�Jn(kca)Yn(kcb)� Jn(kcb)Yn(kca) = 0

184


La première racine de cette équation est obtenue pour n=0, elle estapproximée par : �

b�a . Le premier mode TM propagatif est le modeTM10 de fréquence de coupure fTM10

c = c2(b�a) .


@Hz

@�

��=b

=@Hz

@�

��=a

= 0

D�après la résolution de l�équation de propagation en coordonnées cylindriquesvue en C.6 :

Hz = [anJn(kc�) + bnYn(kc�)] sin (n�)

Les conditions aux limites impliquent :�J 0n(kca) Y 0n(kca)J 0n(kcb) Y 0n(kcb)

�:

�anbn

�=

�0

0

�J 0n(kca)Y

0n(kcb)� J 0n(kcb)Y

0n(kca) = 0

La première racine de cette équation est obtenue pour n=1, elle estapproximée par : 2

b+a . Le premier mode TE propagatif est le modeTE11 de fréquence de coupure fTE11c = c

�(b+a) .

Bande monomodeLa bande monomode dépend donc du rapport de dimensions entre b et a et estétudiée au cas par cas dans les exercices.

185

Annexe D

Développements spéci�quespour les équations dedispersion

D.1 Equation de dispersion du mode fondamen-tal avec HFSS (version 13.0)

Pour obtenir l�équation de dispersion sous HFSS, il faut créer un nouveaugraphe de résultats en cliquant avec le bouton droit de la souris sur Resultet choisir Create Modal Solution Data Report puis Rectangular Plot.La permittivité relative e¤ective de la ligne est obtenue à partir de la relation� = k0

p"eff avec k0 =

2�fc et = j�. HFSS permet de tracer la valeur de ,

il faut donc a¢ cher (im(Gamma(1))/(2*pi*Freq/(3*1e8)))^2. On obtientalors la valeur de la permittivité relative e¤ective de la ligne à la fréquence desimulation.

Deux options de simulation sont disponibles : soit une simulation Sweep (oùle maillage est fait uniquement à la fréquence du Setup et reste donc iden-tique même en basse fréquence) soit une simulation Discrete - Single Point(fréquence identique à celle du Setup donc le maillage est fait à la fréquenced�intérêt). Le temps de calcul est plus important dans le cas discret que sweep.Visiblement les résultats obtenus dans le premier cas sont plus éloignés de lavaleur physique que dans le deuxième cas, cf �gure d.01 qui correspond à l�étudede l�exercice 3 du chapitre 3.

187

188


0 5 10 15 20 25 30 35 401.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

Fréquence GHz

ε eff li

gne

copl

anai

re

ThéorieHFSS sweepHFSS single point

Figure d.01 : Comparaisons simulations Matlab / HFSS dans l�étude de laligne coplanaire avec t=5�m.

Dans tous les cas, la distance entre les deux waveports sous HFSS doit être suf-�samment importante pour que les modes évanescents potentiellement générésne se couplent pas. Exemple : pour cette même ligne coplanaire du chapitre 3,la distance entre les deux ports est de 80mm.

On constate sur la courbe d.02 que l�erreur relative est plus faible dans le cassingle point que dans le cas sweep, avec une erreur relative inférieure à 1,5% surla bande de fréquence.

189

Annexe D. Développements spéci�ques pour les équations de dispersion

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Fréquence GHz

erre

ur s

urε ef

f en

%

entre T héorie et HFSS sweepentre T héorie et HFSS single point

Figure d.02 : Erreur sur la permittivité relative e¤ective entre Matlab et HFSS(sweep et single point) dans l�étude de la ligne coplanaire avec t=5�m (la

théorie étant prise comme référence)

On constate que l�erreur relative est plus importante en basse fréquence maisreste inférieure à 1,2% sur la bande, sachant que la référence pour le calcul del�erreur est le cas single point.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Fréquence GHz

erre

ur s

urε ef

f en

%

entre sweep et s ingle point

Figure d.03 : Erreur sur la permittivité relative entre HFSS sweep et HFSSsingle point dans l�étude de la ligne coplanaire avec t=5�m.

190


D.2 Equation de dispersion du mode fondamen-tal avec la résolution par les schémas équi-valents

Quelle que soit l�équation de dispersion à résoudre, on aboutit à une fonc-tion F telle que F (�)jf0 �xée = 0. On cherche ensuite à représenter l�équationde dispersion et déterminer précisément la coupure (valeur pour laquelle elles�annule) si elle existe. On utilise une fonction Fzero de MATLAB qui permetpour une fonction F : R! R (cette fonction F fait généralement intervenir unesérie) de trouver x0 tel que F(x0)=0. L�intervalle de recherche de x doit êtreprécisé [xmin;xmax] et sur cet intervalle la fonction F doit changer de signe. Lebalayage pour chaque fréquence doit donc s�accompagner de la recherche de ce[xmin;xmax], c�est l�objet de la fonction (Eqdispergenerique.m) suivante.

Code Matlab de la fonction générique de recherche de x

clear all% dimensions en variables

% bande de fréquence de l�étudef=[1e9 :1e9 :20e9] ;for p=1 :length(f), % balayage en fréquence

% borne max de recherche de E¤ (Sup des er)maxi=2*pi*f(p)/3e8*sqrt(er) ;% recherche de l�intervalle sur lequel la somme change de signeif p==1, % cas première fréquence (initialisation du min)

mini=0.1 ;else % min initialisé à la valeur précédemment trouvée

mini=beta(p-1) ;end% recherche de l�intervalle où la somme change de signe% augmentation de la borne min tant que la somme% ne change pas de signewhile F(mini,f(p),a,b,t,h,er)*F(maxi,f(p),a,b,t,h,er)>0

mini=mini+1 ;end% détermination de beta[beta(p)]=fzero(@(beta) F(beta,f(p),a,b,t,h,er),[mini maxi]) ;

end

La fonction F dépend spéci�quement du cas traité dans les exercices duchapitre 3. Cette fonction est précisée dans la partie code MATLAB de cesexercices.


Code Matlab de la fonction générique de recherche de x

clear all% dimensions en variables

% bande de fréquence de l�étudef=[1e9 :1e9 :20e9] ;for p=1 :length(f), % balayage en fréquence

% borne max de recherche de E¤ (Sup des er)maxi=2*pi*f(p)/3e8*sqrt(er) ;% recherche de l�intervalle sur lequel la somme change de signeif p==1, % cas première fréquence (initialisation du min)

mini=0.1 ;else % min initialisé à la valeur précédemment trouvée

mini=beta(p-1) ;end% recherche de l�intervalle où la somme change de signe% augmentation de la borne min tant que la somme% ne change pas de signewhile F(mini,f(p),a,b,t,h,er)*F(maxi,f(p),a,b,t,h,er)>0

mini=mini+1 ;end% détermination de beta[beta(p)]=fzero(@(beta) F(beta,f(p),a,b,t,h,er),[mini maxi]) ;

end

La fonction F dépend spéci�quement du cas traité dans les exercices duchapitre 3. Cette fonction est précisée dans la partie code MATLAB de cesexercices.

D.3 Equation de dispersion des modes LSE /LSM

Cas particulier des modes LSE et LSM où nous cherchons les équations dedispersion de tous les modes. Mais la fonction F ne fait plus intervenir de série.On cherche alors non pas le zero de F mais les zéros pour chaque fréquence.On a autant de zéro que de modes propagatifs. Il faut ensuite suivre aprèsleur apparition les � indépendamment pour ne pas mélanger les équations dedispersion. Le balayage ne se fait pas en augmentant xmin à partir de 0 maisen diminuant xmin à partir de la valeur max, ainsi on commence toujours parles modes dans leur ordre d�apparition.

191


Code Matlab de l�équation de dispersion des modes LSE et LSM

clear allwarning o¤% indice LSEn et LSMn pour la recherche des modesn=1 ;% bande de fréquence de l�étudef=[[0.1e9 :0.1e9 :3e9] [4e9 :1e9 :20e9]] ;% paramètres du guideer1=10 ;er2=2.27 ;a=72.14e-3 ;b=34.04e-3 ;% précision sur les indices min et max où chercher le zéroprec=0.01 ;

for p=1 :length(f), % balayage en fréquenceif n~=0, % traitement LSM si et seulement si indice sup. à 0

% initialisation des paramètres LSMmaxiLSM=2*pi*f(p)/3e8*sqrt(max([er1 er2]))-1e-8 ;U=0 ;incLSM=1 ;miniLSM=maxiLSM-prec ;while miniLSM>incLSM

% recherche tant que tout l�intervalle n�est pas balayé% détermination du betaLSM[U,miniLSM,maxiLSM]=balayageintervalleLSM(miniLSM,...

maxiLSM,prec,n,f(p),er1,er2,a,b) ;% incrémentation betaLSM et classementif isempty(U)~=1,

betaLSM(p,incLSM)=U ;incLSM=incLSM+1 ;

endend

end% initialisation des paramètres LSEmaxiLSE=2*pi*f(p)/3e8*sqrt(max([er1 er2]))-1e-8 ;U=0 ;incLSE=1 ;miniLSE=maxiLSE-prec ;while miniLSE>incLSE

% recherche tant que tout l�intervalle n�est pas balayé% détermination du betaLSE

192


[U,miniLSE,maxiLSE]=balayageintervalleLSE(miniLSE,...maxiLSE,prec,n,f(p),er1,er2,a,b) ;

% incrémentation betaLSE et classementif isempty(U)~=1,

betaLSE(p,incLSE)=U ;incLSE=incLSE+1 ;

endend

end

Code Matlab pour le balayage de l�intervalle pour les modes LSE

function [betaLSE,mini,maxi]=balayageintervalleLSE(mini,...maxi,inc,n,f0,er1,er2,a,b)

% recherche de l�intervalle où on a un changement de signewhile LSE(mini,n,f0,er1,er2,a,b)*LSE(maxi,n,f0,er1,er2,a,b)>0

mini=mini-inc ; % réduction de xminif mini<inc % sécurité si on passe sous 0

betaLSE=[] ;return

endend% recherche du zéro sur cet intervallebetaLSE=fzero(@(beta) LSE(beta,n,f0,er1,er2,a,b),[mini maxi]) ;% nouvelle plage de recherche pour le prochain zéromaxi=mini ;mini=mini-inc ;% on repart donc avec la valeur max comme celle du mode précédent

Code Matlab pour le balayage de l�intervalle pour les modes LSM

function [betaLSM,mini,maxi]=balayageintervalleLSM(mini,...maxi,inc,n,f0,er1,er2,a,b)

% recherche de l�intervalle où on a un changement de signewhile LSM(mini,n,f0,er1,er2,a,b)*LSM(maxi,n,f0,er1,er2,a,b)>0

mini=mini-inc ; % réduction de xminif mini<inc % sécurité si on passe sous 0

betaLSM=[] ;return

193


endend% recherche du zéro sur cet intervallebetaLSM=fzero(@(beta) LSM(beta,n,f0,er1,er2,a,b),[mini maxi]) ;% nouvelle plage de recherche pour le prochain zéromaxi=mini ;mini=mini-inc ;% on repart donc avec la valeur max comme celle du mode précédent

194

Annexe E

Fonctions complémentairesdes exercices

E.1 Discontinuités en guide d�ondes circulaire

Création de la fonction FTE, fonction de la base modale du guideà paroi électrique. Fonction utilisée pour calculer la constante de nor-malisation des modes TE

function y=FTE(x,n1,m1,r1,n2,m2,r2)% le �chier ZeroDJ doit être crée initialement vide% equation permettant de déterminer numériquement les normes et les% produits scalaires des modes TE

load ZeroDJif isempty(ZeroDJ(n1+1,m1))==1 j ZeroDJ(n1+1,m1)==0,

zeroderivBesselj(n1,m1) ;endif isempty(ZeroDJ(n2+1,m2))==1 j ZeroDJ(n2+1,m2)==0,

zeroderivBesselj(n2,m2) ;endQsi1=ZeroDJ(n1+1,m1) ; % m1 zéros de la dérivée de BesselJ d�ordre n1Qsi2=ZeroDJ(n2+1,m2) ;% m2 zéros de la dérivée de BesselJ d�ordre n2

y=n1*n2*besselj(n1,Qsi1/r1*x).*besselj(n2,Qsi2/r2*x)./x+Qsi1*Qsi2/...(r1*r2)*x.*derivbesselj(n1,Qsi1/r1*x).*derivbesselj(n2,Qsi2/r2*x) ;

195


Création de la fonction FTM, fonction de la base modale du guideà paroi électrique. Fonction utilisée pour calculer la constante de nor-malisation des modes TM

function y=FTM(rho,n1,m1,r1,n2,m2,r2)% le �chier ZeroJ doit être crée initialement vide% equation permettant de déterminer numériquement les% normes des modes TM

load ZeroJif isempty(ZeroJ(n1+1,m1))==1 j ZeroJ(n1+1,m1)==0,

zeroBesselj(n1,m1) ;endif isempty(ZeroJ(n2+1,m2))==1 j ZeroJ(n2+1,m2)==0,

zeroBesselj(n2,m2) ;endQsi1=ZeroJ(n1+1,m1) ; % m1 zéros de BesselJ d�ordre n1Qsi2=ZeroJ(n2+1,m2) ;% m2 zéros de BesselJ d�ordre n2

y=n1*n2*besselj(n1,Qsi1/r1*rho).*besselj(n2,Qsi2/r2*rho)./rho+...Qsi1*Qsi2/(r1*r2)*rho.*derivbesselj(n1,Qsi1/r1*rho).*...derivbesselj(n2,Qsi2/r2*rho) ;

E.2 Discontinuités en guide d�ondes excitationpar sondes coaxiales

Création de la fonction Fonction IntImn permettant par approxi-mation de l�intégrale de résoudre la résonance de cavité rectangulaireexcitée par sondes coaxiales

function y=IntImn(rho,teta,m,n,A,B)y=cos(m*pi*(rho/A.*cos(teta)+1/4)).*sin(n*pi*(rho/B.*sin(teta)+...

1/2)).*cos(teta) ;

196

Annexe E. Fonctions complémentaires des exercices

Création de la fonction Fonction IntJmn permettant par approxi-mation de l�intégrale de résoudre la résonance de cavité rectangulaireexcitée par sondes coaxiales

function y=IntJmn(rho,teta,m,n,A,B)y=sin(m*pi*(rho/A.*cos(teta)+1/4)).*cos(n*pi*(rho/B.*sin(teta)+...

1/2)).*sin(teta) ;

197

Achevé d’imprimer en Franceen avril 2012 chez Messages SAS

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Résolution de Problèmes Hautes Fréquences Par Les Schémas Équivalents - Cours Et Exercices Corrigés - Cépaduès