Stanislas

T.D. 1Résolution des systèmes linéaires MPSI 1

2015/2016

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n désigne un entier naturel non nul.

Partie I : Algorithme du pivot de Gauss

Soient (a1,1, . . . , a1,n, . . . , an,1, . . . , an,n, b1, . . . , bn) des nombres complexes. Le système (S )

(S )

a1,1x1 + . . .+ a1,nxn = b1a2,1x1 + . . .+ a2,nxn = b2

... =...

an,1x1 + . . .+ an,nxn = bn

est un système linéaire d'inconnues x1, . . . , xn.Définitions.∗ Un n-uplet (x1, . . . , xn) est solution de (S ) s'il est solution de chacune des lignes dusystème.∗ Deux systèmes sont dits équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.

Nous noterons L1, . . . , Ln les lignes du système et appellerons opérations élémentaires sur leslignes du système les transformations suivantes :∗ Pour i 6= j, l'échange des lignes Li et Lj , symbolisé par Li ↔ Lj .∗ Pour α 6= 0, la multiplication de la ligne Li par α, symbolisée par Li ← αLi.∗ Pour i 6= j et β ∈ C, l'ajout à Li de la ligne Lj multipliée par β, symbolisé par Li ←Li + βLj .

Théorème 1.Le système obtenu par application d'opérations élémentaires sur les lignes est équivalent ausystème initial.

Principe de l’algorithme du pivot de Gauss : On utilise les opérations élémentaires pour transfor-mer le système en un système échelonné, c'est-à-dire dans lequel le nombre d'inconnues décroîtstrictement quand on passe d'une ligne à la suivante.Algorithme :∗ On cherche une ligne où le coe�cient α de x1 est non nul et simple. Notons cette ligneLi0 .∗ On échange les lignes 1 et i0, L1 ↔ Li0 .∗ On utilise la nouvelle ligne L1 pour éliminer les occurrences de x1 dans les lignes suivantes,c'est la ligne pivot. Par exemple, si à la ligne L2 le coe�cient de x1 est a, on e�ectueL2 ← αL2 − aL1.∗ On reprend ensuite les étapes de l'algorithme en travaillant sur toutes les lignes sauf lapremière de manière à éliminer x2. . .∗ En�n, on exprime les solutions en fonction des variables libres.

Définition 1 (Rang).Le rang du système est le nombre d'équations non triviales du système échelonné.

Théorème 2 (Ensemble de solutions, P.A.).Soit S l'ensemble des solutions du système (S ).∗ Soit S = ∅, les équations sont incompatibles.∗ Soit S est un singleton, le rang est alors égal au nombre d'inconnues.∗ Soit S est in�ni, le rang est alors strictement inférieur au nombre d'inconnues.

Stanislas A. Camanes

T.D. 1. Résolution des systèmes linéaires MPSI 1

Exercice 1. Résoudre les systèmes suivants.

1. (S1)

2x+ 3y + z= 7x− y + 2z=−33x+ y − z= 6

. 2. (S2)

2x− y + 4z= 2x+ 2y − 3z= 6

4x+ 3y − 2z= 14.

3.{x+ y + z= 5 .

Exercice 2. (Paramètres) Soit a un réel. Déterminer en fonction des valeurs de a les solutions dessystèmes

1. (S1)

{ax+ y= 2x+ ay=−2

. 2. (S2)

x− ay + a2z= 2aax− a2y + az= 2aax+ y − a2z= 1− a

.

3. (S3){

(a− 1)x+ (a2 − 1)y + (a3 − 1)z= a2 + a− 2 .

Partie II : Géométrie

Exercice 3. (2 inconnues)

1. Résoudre le système (S1)

{2x+ 3y= 53x+ 2y= 10

. Représenter graphiquement l'ensemble des solutions

de ce système.

2. Soit (a, b, c, d, α, β) ∈ R6. En utilisant une interprétation géométrique, déterminer une condi-

tion nécessaire et su�sante sur (a, b, c, d) pour que le système (S2)

{ax+ by=αcx+ dy=β

possède une

unique solution.

Exercice 4. (3 inconnues) Résoudre chacun des systèmes suivants et interpréter géométriquementles résultats.

1. (S1)

x+ 2y − 3z=−13x− y + 2z= 7

5x+ 3y − 4z= 2.

2. (S2)

{2x− 3y + 5z= 8−x+ 2y + 4z=−11

.

3. (S3)

{2x− y + 5z= 4−2x+ y + 3z=−3

.

4. (S4)

{3x− 2y + 5z= 1

−6x+ 4y − 10z=−1.

5. (S5)

3x+ 2y + 7z= 3

9x+ 6y + 21z= 951x+ 34y + 119z= 51

.

Partie III : Pour aller plus loin

Exercice 5. Soit a un réel. Résoudre les systèmes suivants.

1. (S1)

2x− y + 3z − t= 1x+ y + z + t= 0

x− 4y − z − 4t= 3. 2. (S2)

x+ ay − az= 1

y + z= 02ax+ (1 + a)y − (1− a)z= 0

.

Exercice 6. Identi�er les réels λ pour lesquels le système d'équations suivant possède une solution.

(S )

2x1 − x2 + x3 + x4 = 1x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2

x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 =λ

Exercice 7. Soient a, b, c trois réels. On étudie le système

(S )

ay + bx= ccx+ az= bbz + cy= a

1. Montrer que si le système (S ) possède une unique solution, alors a 6= 0.

2. Résoudre le système (S ) lorsque abc 6= 0.

Stanislas A. Camanes