Revue des Energies Renouvelables SMEE10 Bou Ismail Tipaza (2010) 151 160

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Simulation numrique de leffet du vent sur une structure

Halima Derbal Mokrane1*, Zahia Guezout2, Noureddine Amrouche2, Zoubir Hamida2 and Ahmed Benzaoui1

1 Laboratoire Thermodynamique et Systmes Energtiques, Facult de Physique USTHB, B.P. 32, El-Alia, 16111, Alger, Algrie

2 Laboratoire de Mcanique Avance, Facult de Gnie Mcanique et Gnie de procds USTHB, B.P. 32, El-Alia, 16111, Alger, Algrie

Rsum - Ce travail porte sur le domaine de linteraction fluide- structure, en particulier sur la formulation des proprits alatoires du vent et ces consquences intervenant dans la conception des structures. Ltude a donc port sur la simulation numrique des effets alatoires du vent turbulent sur une structure. Cette simulation a pris en considration les deux aspects micro et macromtorologiques du vent et la topographie du site o se situe la structure. On commence par la modlisation de la structure par un systme: masse-ressort- amortisseur un degr de libert, pour lequel les forces arodynamiques (moyenne et fluctuante) dues la vitesse du vent seront calculs. On commence par le calcul de la composante moyenne de la vitesse du vent lextrmit suprieure de la structure, en utilisant le modle de Davenport. On passe ensuite la simulation numrique (dans les domaines frquentiel et temporel) de la turbulence atmosphrique, cest--dire des fluctuations horizontales du vent; cette opration sera effectue par la gnration (numrique) dun processus alatoire simulant les caractristiques des fluctuations de vitesse du vent prsentes dans un vent turbulent. La gnration dun filtre numrique passe-bande dans le domaine temporel particulier de la rsonance sera indispensable dont le but est le filtrage du signal simulant la turbulence dans ce domaine, ce qui nous permet de calculer le spectre (frquentiel) de puissance des fluctuations de vitesse la frquence propre de la structure. On termine par lvaluation temporelle des dplacements moyens (effet statique) et fluctuants (effet dynamique) de lextrmit suprieure da la structure, dans ce domaine particulier de la rsonance. Ce rsultat est obtenu grce la rsolution numrique de lquation diffrentielle rgissant le mouvement vibratoire de la structure. Mots cls: Vent - Turbulence - Force fluctuante - Arodynamique - Rsonance.

1. INTRODUCTION

Toute structure dune certaine hauteur, existant sur une surface de la terre, doit rsister la charge exerce par le vent. Laction de ce dernier sur celle-ci est globalement horizontale.

Jusqu un pass rcent, cette action ntait pas prise en considration lors de la conception des structures pour la faible hauteur des structures, et/ou leur surdimensionnement, ce qui leur confrait une rigidit, donc une frquence propre leve. Cette caractristique les mettait labri du phnomne de rsonance (grande amplitude de vibration).

En effet, elles taient conues et construites pour assurer, en tout premier lieu, les charges gravitationnelles verticales. Ainsi et pour assurer la condition supplmentaire de

* hderbal@gmail.com

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stabilit, dans le sens horizontal, il est ncessaire, lors de la conception des structures, de prendre en considration leffet du vent.

Cet effet fait alors appel deux branches de la science: la mtorologie et larodynamique.

Le premier domaine (la mtorologie) concerne ltude des proprits physiques du vent au voisinage de la structure pendant sa dure de vie.

Le second sert dterminer les proprits de lcoulement autour de la structure, telles que la distribution des pressions, donc des forces sollicitant la structure.

Actuellement, cause du caractre alatoire du vent (la turbulence), la prdiction des conditions mtorologiques et, par consquent, lestimation des proprits de lcoulement autour de la structure sont traits comme telles, cest--dire par une analyse des phnomnes alatoires.

Bien des progrs ont t faits durant les dernires annes. Lestimation de la charge du vent sur les structures demeure, malgr tout, une science semi empirique base sur des hypothses, parfois trop simplificatrices.

2. DESCRIPTION GENERALE DU PROBLEME La problmatique pose par notre travail peut tre rsume de la manire suivante: Une structure, dont les proprits (physiques et gomtriques) sont connues, est

situe dans un site de topographie et des conditions climatiques donnes. Sous leffet dun vent turbulent, cette structure sera soumise un mouvement

vibratoire, donc des dplacements alatoires. La turbulence est un phnomne alatoire, dont les frquences de fluctuation sont

nombreuses. Parmi ces frquences, il existe celles qui sont proches de la frquence naturelle (propre) de la structure. Dans ce domaine particulier et important de la rsonance, la rponse dynamique de la structure sera caractrise par des dplacements optimaux.

Le but de notre travail est justement dtudier le mouvement vibratoire de la structure, cest--dire de quantifier ces dplacements fluctuants dans le domaine de la rsonance en rgime permanent.

Les dplacements auxquels nous nous intressons sont de lextrmit suprieure de la structure.

3. PROPRIETES PHYSIQUES DU VENT Le vent est caractris par sa direction par rapport la structure et son gradient de

vitesses: En gnral, le systme de rfrences est tel que le vent est perpendiculaire la

surface frontale de la structure, langle dinclinaison est alors considr comme nul, cest le cas considr pour notre systme.

Prs du sol, le vent par condition dadhrence une vitesse nulle. Avec laugmentation de la hauteur, son intensit moyenne augmente. Ce dernier atteint une valeur maximale constante une hauteur dite paisseur de la couche limite atmosphrique. Les caractristiques du vent, lintrieur de cette couche limite, sont justement celles auxquelles sintressent les architectes et les urbanistes.

La variation de la vitesse moyenne du vent est donne par la formule suivante tablie par Davenport [3]:

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= )ZZ(VV 1010z (1) O zV est la vitesse moyenne du vent une hauteur Z , 10V la vitesse extrme du vent une hauteur de 10 m, et est lexposant de la loi de variation des vitesses, est gal 0.143 pour un site dgag, 0.222 pour un site forestier et 0.400 pour un site urbain.

Dans la couche limite atmosphrique, lun des phnomnes les plus importants qui y surviennent est la turbulence de lcoulement, due au tourbillon caus par la rugosit du sol.

Comme les structures ont une rponse dynamique seulement pour les charges priodiques de mme frquence que la leur, la vibration de la structure est cause par une partie trs infime du vent turbulent. La structure isolera alors, du vent turbulent total, la partie frquentielle critique.

Pour pouvoir calculer lamplitude de la rponse dynamique de cette structure, les caractristiques, de la composante frquentielle de la structure capables dexciter la structure, doivent tre spcifis de manire prcise. Ces caractristiques sont dtermines par les deux grandeurs suivantes:

Le spectre frquentiel qui quantifie la quantit dnergie contenue dans le vent turbulent en fonction de la frquence. Il est donn par la relation suivante:

( ) 3422

vrX1

X)f(S+

= (2)

Avec 10V

f1200X = (3)

O f est la frquence, X la fonction de rponse frquentielle et )f(Svr le spectre rduit.

Le spectre de la vitesse pour un site particulier est alors donn par lquation:

f)f(S.V.K.4

)f(S vr2

10vd = (4)

O )f(Svd est le spectre de puissance des vitesses tabli par Davenport, K le coefficient de rugosit, K est gal 0.05 pour un site dgag, 0.010 pour un site forestier et 0.025 pour un site urbain.

On peut dfinir aussi lintensit de la turbulence qui dfinit la violence des fluctuations autour de la vitesse moyenne:

V

V~

I

2/12

= (5)

O I est lintensit de la turbulence, V la vitesse moyenne du vent et V~ la vitesse fluctuante moyenne. I varie entre 0.5 et 10 % dans la couche limite atmosphrique.

4. MODELISATION DU MOUVEMENT DE LA STRUCTURE Donnes du problme

Le site: urbain, = 0.4 et K = 0.025. Le vent: a (masse volumique de lair) = 1.2 kg/m, (viscosit cinmatique de lair) = 15.10-6 m2/s (15 C, 1 atm), 10V = 10 m/s.

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La structure: s = 2500 kg/m3 (bton arm). La base est un cylindre plein, de

hauteur cH = 30 m et de diamtre cD = 5 m. Le rservoir est de forme sphrique creuse, de diamtre extrieur seD = 20 m, lpaisseur du rservoir est e = 5cm, ce qui donne un diamtre siD = 19.9 m. La hauteur totale de la structure est, approximativement de 50 m.

Les coefficients de trane de chaque forme ( cCD pour le cylindre et sCD pour la sphre) ont t dtermins sur la base des nombres de Reynolds respectifs correspondant chaque forme [13]. Nous avons opt pour un gCD intermdiaire gal 1.

On prend le facteur damortissement = 0.01 (valeur communment utilise par les auteurs [1]). Comme nous nous intressons au phnomne de rsonance la frquence naturelle de la structure 0f doit tre proche des frquences de fluctuation des vitesses donnant des tourbillons intenses caractriss par un niveau dnergie (spectre frquentiel) lev.

]15[Hz2.0f0 = Le chteau deau sera modlis par un systme simple un degr de libert et qui est

constitu de: une masse M, un ressort de rigidit K , un amortisseur visqueux de coefficient damortissement . (Fig. 1)

Fig. 1: Systme un degr de libert

En appliquant la seconde loi de Newton:

= ''X.MF (6) Les forces internes agissant sur la structure sont:

La force du rappel du ressort correspondant llasticit de la structure, gale xk ; La force damortissement correspondant la rsistance des couches transversales de la structure au cisaillement, son expression est 'X ; La force externe sexerant sur la structure occasionne par le vent )t(F .

Lquation rgissant le mouvement de la structure sera:

=+

+

M)t(FX.

Mk'X.

M''X (7)

Ou bien encore:

=++

M)t(FX.'X...2''X 200 (8)

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Avec: k la rigidit de la structure, 0 la pulsation propre de la structure et le coefficient damortissement.

cr= (9)

cr est le coefficient damortissement critique au dessus duquel le mouvement libre du systme ne serait plus oscillatoire [11].

2/1cr )M/k(2= (10)

02/1

0 f.2)M/k( == (11)

0f est la frquence naturelle de la structure. La force )t(F est donne par la formule:

)t(F~F)t(F += (12) Dtermination de la force moyenne

sc FFF += (13)

dsccac C.V.CD..5.0F = (14) O ds est llment de surface cylindrique.

En se rfrant la figure 2:

Fig. 2: Elment de surface sphrique

( ) = cos.ZZ.VV 1010c (15) Ce qui donne:

+

+

= 2

10

12cc

210ca

cZ.)12(8

H.D.V.CD..F (16)

De la mme manire, en se rfrant la figure 2, on obtient:

[ ]1212s )ba()cosba(.)12(bcF ++ +++

= (17)

Dtermination de la force fluctuante

Son expression est donne par: )t(V~.V.A..CDF~ zag = (18)

Si la vitesse zV est facile modliser et calculer, le problme le plus complexe rside dans le calcul de )t(V .

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Cette partie constituant le coeur mme du sujet, elle est reprsente suivant le dtail ci-aprs.

Pour modliser et calculer )t(V , nous aurons procder suivant les tapes suivantes:

1- On gnre un signal alatoire donnant des nombres de mme nature entre -0.5 et +0.5 avec une moyenne nulle.

Le programme permettant de le raliser a t tir de la rfrence [14]. Ces nombres alatoires, sans dimensions, reprsentent les fluctuations de vitesse avec

une gamme de frquence comprise entre 0 et +, ils sont nots )t(R . 2- On gnre un filtre passe bande de bande passante WB = 0.2 0f . En effet, seule une trs faible gamme de frquence (celle proche de la structure)

nous intresse car nous tudions le phnomne de rsonance. Ce filtrage se fait grce la fonction de pondration )(W [10] dont lexpression

est donne par:

w0w

w B.).f.2(cos.B.2

).B.2(sin)(W

= (19)

Le filtrage est obtenu en faisant le produit entre le signal alatoire et la fonction du filtre dans le domaine frquentiel.

En vertu du thorme de Plancherel [2], on peut remplacer le produit dans le domaine frquentiel par un produit de convolution dans le domaine temporel.

La formulation mathmatique de cette convolution est donne par:

= =

.)(R.)t(W)t(y iiN

1ii (20)

N a t pris gale 1024 pour deux raisons: - Le calcul de la transforme de Fourier (pour le spectre frquentiel) ncessite n2

points. - Nous avons pris suffisamment de points pour avoir une valuation temporelle

mme de permettre un rgime permanent (amortissement du dplacement moyen) a t pris gal )f16(/1 0 pour respecter la condition de Shanon [10] relative

lchantillonnage du signal. Afin dapprocher les rsultats exprimentaux de Davenport, on devra corriger les

rsultats obtenus dans le prsente tude en les multipliant par un facteur de correction rap de telle manire que:

)f(S)f(Srap 0vd0v = (21) )f(S 0v est obtenu de la manire suivante:

- Calcul de la transforme de Fourier du signal reprsentant les vitesses fluctuantes en utilisant la subroutine R.F.T (Real Fourier transform). - Calcul du spectre de puissance correspondant la frquence propre de la structure

qui reprsente la valeur maximale, soit )f(S 0v . Remarque:

Le calcul de )f(S 0v a t effectu de manire spare grce spare grce au logiciel Mathadvantage.

La valeur de )f(S 0v obtenue tait de 1104.9 m2/s2.

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Le facteur de correction calcul partir des spectres des vitesses est valable pour corriger la force. Lexpression de la force totale deviendra:

)t(V~.V.A..gDCrapF)t(F za+= (22) Discrtisation de lquation du mouvement

Lquation discrtiser est: M)t(FX.'X...2''X 200 =++ (23)

0)0t(X == 0)0t('X ==

Aprs discrtisation, lquation du mouvement de la structure devient:

1023,2ic)i(X.b)1i(X.a)1i(X =++=+ (24)

avec

+

= 0220

)(1

)(1a (25)

+

= 02

202 )(

1)(

2b (26)

+

= 02)(

1M

)i(Fc (27)

Et )0f16(1= On obtient le systme dquations rsoudre:

0)1(X =

1023,2i.c)i(X.b)1i(X.a)1i(XM2/)1(F)()2(X 2

=++=+=

Finalement, un simple programme permet de rsoudre cette quation.

5. RESULTATS ET INTERPRETATIONS 5.1 Rsultat pour une srie de donnes fixes

Signal alatoire (Fig. 4) La srie de nombres compris, entre -0.5 et 0.5, est bien caractrise par une moyenne

nulle, principale caractristique des fluctuation de vitesse dans la turbulence.

Fig. 4: Signal alatoire

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Signal filtr (Fig. 5) Il reprsente les fluctuations de vitesse sans dimension, au voisinage de f0, qui sont les

plus importantes dans lintervalle de temps 150 et 500 secondes ce qui rend les fluctuations de vitesse, de force et de dplacement de la structure importantes dans cet intervalle de temps

Fig. 5: Signal filtr

Dplacement total de la structure (Fig. 6) Leffet des fluctuations apparat bien dans lintervalle 180 460 s, soit durant une

priode de 5 mn environs. Cet effet, consquence de V~ et F~ , fera travailler la structure en fatigue avec les consquences dommageable attendues.

Do la ncessit de prendre en considration ce phnomne lors de la conception de la structure.

Il est noter que la rponse totale de la structure samortit vers une valeur moyenne statique de 10 cm.

Fig. 6: Dplacement total de la structure

4.2 Etude paramtre Lobjectif est de mesurer leffet de la variation des paramtres les plus importantes

sur le comportement statique (moyen), dynamique (fluctuant) et total de la structure. Ces paramtres sont: la hauteur et la masse de la structure, la nature du site et la

vitesse extrme 10V , ainsi que la frquence propre de la structure et lintensit de la turbulence dans la couche limite atmosphrique

Cette tape est acheve par une analyse comparative portant sur trois formes gomtrique diffrentes du chteau deau: tour cylindrique, structure prismatique.

Les rsultats obtenus sont reprsents par les figures 7, 8 et 9.

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Fig. 7: Effets de H et de M sur la rponse de la structure

Fig. 8: Effets de 10V et du site sur le dplacement

Fig. 9: Effets de la forme de la structure sur le dplacement

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6. CONCLUSION Cette tude de la simulation numrique de leffet de la turbulence atmosphrique sur

la structure permet de dgager lensemble de conclusions suivantes: - Les vibrations des structures sous leffet du vent turbulent sont un phnomne

complexe. La difficult de dcrire, dune manire adquate, aussi bien la charge du vent que la rponse dynamique de la structure est telle que plusieurs hypothses simplificatrices ont t invitables.

- Ltude a ncessit lintervention combine de plusieurs disciplines (mtorologie, arodynamique, traitement du signal), do sa complexit. La difficult de ltude rsidait, entre autres, dans la mthode de simulation et de traitement de la turbulence atmosphrique prsente dans le vent.

- Ltude a montr que la seule prise en considration du comportement statique (habituellement tudie par les architectes) et ncessaire mais pas suffisante.

- Le comportement dynamique (fluctuant) de la structure est un phnomne non seulement prsent mais trs important prendre en considration lors de la conception de la structure.

- Ltude a ainsi montr que les paramtres mtorologiques (site, vitesse extrme), arodynamiques (intensit de la turbulence), structuraux (hauteur, frquence naturelle, forme gomtrique, taux de remplissage) doivent tre pris en considration lors de la conception de la structure.

- Lamlioration de ltude passe, entre autres, par une modlisation plusieurs degrs de libert de la structure. Ceci donnera ltude un caractre plus dynamique des structures.

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