5
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 611–615, 2000 Analyse numérique/Numerical Analysis Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone Jérôme BASTIEN a , Michelle SCHATZMAN b a URA 1652 CNRS, département génie civil et bâtiment, laboratoire géomatériaux, École nationale des travaux publics de l’État, rue Maurice-Audin, 69518 Vaulx-en-Velin cedex, France Courriel : [email protected] b UMR 5585 CNRS, Université Claude-Bernard–Lyon-I, 69622 Villeurbanne cedex, France Courriel : [email protected] (Reçu le 31 janvier 2000, accepté le 16 février 2000) Résumé. Soit V, H, V 0 un triplet d’espaces de Hilbert séparables. Dans cette Note, on étudie l’ordre de convergence d’une approximation numérique du problème ˙ u + Bu + Au 3 f (·,u), u(0) = u0, B est un opérateur lipschitzien et V -elliptique de V dans V 0 et A est un graphe maximal monotone dans V × V 0 . Si f est lipschitzienne de [0,T ] × H dans V 0 par rapport à son deuxième argument et si la section A 0 de A est bornée, alors le schéma à un pas U p+1 - U p h + B ( U p+1 ) + A ( U p+1 ) 3 f ( ph, U p ) , est d’ordre 1/2. Sous des hypothèses particulières, il est d’ordre 1. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Numerical scheme for differential inclusions with maximal monotone term Abstract. Let V, H, V 0 be three separable Hilbert spaces. In this Note, we study the order of convergence of a numerical approximation of the problem: ˙ u + Bu + Au 3 f (·,u), u(0) = u0, where B is a Lipschitz continuous and V-elliptic operator from V to V 0 and A is a maximal monotone graph in V × V 0 . If f is Lipschitz continuous from [0,T ] × H in V 0 with respect to its second argument and if the section A 0 of A is bounded, then the numerical scheme U p+1 - U p h + B ( U p+1 ) + A ( U p+1 ) 3 f ( ph, U p ) , is of order 1/2. Under particular assumptions, it is of order one. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Note présentée par Philippe G. CIARLET. S0764-4442(00)00234-2/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 611

Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 611–615, 2000Analyse numérique/Numerical Analysis

Schéma numérique pour des inclusions différentiellesavec terme maximal monotoneJérôme BASTIEN a, Michelle SCHATZMAN b

a URA 1652 CNRS, département génie civil et bâtiment, laboratoire géomatériaux, École nationale des travauxpublics de l’État, rue Maurice-Audin, 69518 Vaulx-en-Velin cedex, FranceCourriel : [email protected]

b UMR 5585 CNRS, Université Claude-Bernard–Lyon-I, 69622 Villeurbanne cedex, FranceCourriel : [email protected]

(Reçu le 31 janvier 2000, accepté le 16 février 2000)

Résumé. SoitV ↪→H ↪→ V ′ un triplet d’espaces de Hilbert séparables. Dans cette Note, on étudiel’ordre de convergence d’une approximation numérique du problème

u+Bu+Au3 f(·, u),

u(0) = u0,

oùB est un opérateur lipschitzien etV -elliptique deV dansV ′ etA est un graphe maximalmonotone dansV × V ′. Si f est lipschitzienne de[0, T ]×H dansV ′ par rapport à sondeuxième argument et si la sectionA0 deA est bornée, alors le schéma à un pas

Up+1 −Uph

+B(Up+1

)+A

(Up+1

)3 f(ph,Up

),

est d’ordre1/2. Sous des hypothèses particulières, il est d’ordre1. 2000 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Numerical scheme for differential inclusions with maximal monotoneterm

Abstract. Let V ↪→ H ↪→ V ′ be three separable Hilbert spaces. In this Note, we study the order ofconvergence of a numerical approximation of the problem:

u+Bu+Au3 f(·, u),

u(0) = u0,

whereB is a Lipschitz continuous and V-elliptic operator fromV toV ′ andA is a maximalmonotone graph inV ×V ′. If f is Lipschitz continuous from[0, T ]×H in V ′ with respectto its second argument and if the sectionA0 ofA is bounded, then the numerical scheme

Up+1 −Uph

+B(Up+1

)+A

(Up+1

)3 f(ph,Up

),

is of order1/2. Under particular assumptions, it is of order one. 2000 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Note présentée par Philippe G. CIARLET .

S0764-4442(00)00234-2/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 611

Page 2: Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone

J. Bastien, M. Schatzman

Abridged English version

Let V ↪→H ↪→ V ′ be three separable Hilbert spaces. LetA be a maximal monotone graph inV × V ′,B a V -elliptic and Lipschitz continuous mapping fromV to V ′ with a constant of ellipticityα > 0. Thefunctionf is Lipschitz continuous from[0, T ]×H to V ′ with respect to its second argument. We maketwo types of assumptions on the functionf :

AssumptionA: α > 0. The mappingv 7→ ∂f/∂t(·, v) sends the bounded sets ofL2(0, T ; V ) to boundedsets ofL2(0, T ; V ′). Moreover, we make the following regularity assumption:

∃z ∈Au0 : f(0, u0)− z −Bu0 ∈H.

AssumptionB: V = H = V ′. For all x ∈ H , f(·, x) belongs toL2(0, T ; H). The sectionA0 of A isbounded on the bounded sets ofH . The mappingx 7→ ∂f/∂t(·, x) is bounded on the compact sets ofH innormL2(0, T ; H).

We study differential inclusions:

u+Bu+Au 3 f(·, u), (0.1)

u(0) = u0; (0.2)

they are approximated by the numerical scheme:

∀p ∈ {0, . . . ,N − 1}, Up+1 −Uph

+B(Up+1

)+A

(Up+1

)3 f(ph,Up

), (0.3)

U0 = u0. (0.4)

We denote byuh the linear interpolation of theUp’s. We will prove that the scheme (0.3) and (0.4) is oforder1/2, i.e.:

maxt∈[0,T ]

(∣∣u(t)− uh(t)∣∣2 +α

∫ t

0

∥∥u(s)− uh(s)∥∥2

ds

)1/2

= O(√h), (0.5)

where| · | is the norm inH and‖ · ‖ is the norm inV . If moreoverA is the sub-differential of a non-emptyclosed set ofV , then the order of the numerical scheme is one, i.e.:

maxt∈[0,T ]

(∣∣u(t)− uh(t)∣∣2 + α

∫ t

0

∥∥u(s)− uh(s)∥∥2

ds

)1/2

= O(h). (0.6)

The main step in the proof is to obtain a bound uniformly inh of the approximated velocity(Up+1 −

Up)/h. This estimate enables us to pass to the limit and to obtain a solution of (0.1) and (0.2). A Gronwall

lemma provides us with an estimate of the error.We will apply the numerical scheme (0.3) and (0.4) to the differential inclusion:

u+ ∂ψK(u) 3 f(·, u),

u(0) = u0.

Here V = H = V ′ = RN , the setK is a non empty set closed set ofRN and f is a mapping from[0, T ]×RN toRN . This differential inclusion governs the dynamical motion of an elastoplastic rheologicalmodel with a finite number of degrees of freedomN , studied in [2]. We prove also that estimate (0.6) holdsuniformly with respect toN ; this enables us to study an elastoplastic rheological model with an infinitenumber of degrees of freedom.

612

Page 3: Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone

Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone

1. Présentation du problème

Nous reprenons l’étude faite dans [1].Le cadre fonctionnel est le triplet d’espaces de Hilbert séparablesV ↪→H ↪→ V ′ ; les normes et produits

scalaires en sont notés‖ · ‖, | · |, ‖ · ‖′, ((·, ·)), (·, ·), et ((·, ·))′. SoitA un graphe maximal monotone dansV × V ′ et soitB une application deV dansV ′ pour lequel il existe deux constantes positives ou nullesαetβ telles que pour tousx, y ∈ V ,(

B(x)−B(y), x− y)> α‖x− y‖2, (1.1)∥∥B(x)−B(y)

∥∥′ 6 β‖x− y‖. (1.2)

Nous approchons l’inclusion différentielle (0.1) et (0.2) par le schéma numérique (0.3) et (0.4). Nous faisonsdeux types d’hypothèse surf :

HypothèseA : le nombreα est strictement positif ;f est une application de[0, T ]×H dansV ′ et ilexisteL tel que :

∀t ∈ [0, T ], ∀x, y ∈H,∥∥f(t, x)− f(t, y)

∥∥′ 6L|x− y|.L’applicationv 7→ ∂f/∂t(·, v) applique les parties bornées deL2(0, T ; V ) dans les bornés deL2(0, T ; V ′).On a la relation de compatibilité :

∃z ∈Au0 : f(0, u0)− z −Bu0 ∈H. (1.3)

HypothèseB : V = H = V ′ ; la fonctionf est lipschitzienne de[0, T ]×H dansH par rapport à sondeuxième argument ; pour toutx dansH , f(·, x) appartient àL2(0, T ; H) et la sectionA0x, c’est-à-dire laprojection de0 sur le convexe ferméAx est bornée sur les bornés deH . L’applicationx 7→ ∂f/∂t(·, x) estbornée dansL2(0, T ; H) sur les compacts deH .

2. À propos d’existence

L’existence et l’unicité d’une solution de (0.1) et (0.2) sous les hypothèses A surf ne semblent pas avoirété démontrées, bien que nombre de résultats proches existent dans la littérature [3] ; de fait, nous obtenonsl’existence et l’unicité comme sous-produit de l’étude du schéma numérique. Sous les hypothèses B,l’existence et l’unicité ont été étudiées par exemple dans [4].

3. Ordre du schéma

Notonsuh l’interpolation affine par morceaux desUp aux pointsph.

PROPOSITION 3.1. –Sous les hypothèsesA ou B, le schéma(0.3) et (0.4) est d’ordre 1/2 ; plusprécisément, l’estimation(0.5)est vérifiée.

Nous pouvons améliorer cette estimation en renforçant les hypothèses :

PROPOSITION 3.2. – Supposons de plus queA est le sous-différentiel de la fonction indicatrice d’unconvexe fermé non videK . Alors, le schéma est d’ordre un; plus précisément, l’estimation(0.6)est vérifiée.

4. Idée de la démonstration

L’unicité de la solution de (0.1) et (0.2) se démontre aisément sous nos hypothèses au moyen d’un lemmede Gronwall. Dans le cadre des hypothèses A, l’estimation cruciale consiste à établir que

suph>0

( ∑06p<T/h

∣∣∣∣Up+1 −Uph

∣∣∣∣2 + α∑

06p<T/h

1

h

∥∥Up+1 −Up∥∥2)<+∞.

613

Page 4: Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone

J. Bastien, M. Schatzman

À cette fin, nous reprenons une idée de Lippold [5] ; nous soustrayons la relation (0.3) à l’indicep− 1 de(0.3) pris à l’indicep et nous intégrons l’inégalité de Gronwall discrète∣∣∣∣Up+1 −Up

h

∣∣∣∣2 +α

h

∥∥Up+1 −Up∥∥2 6

∣∣∣∣Up −Up−1

h

∣∣∣∣2 +C1

h

∣∣Up −Up−1∣∣2

+C2

h

∥∥f(ph,Up−1)− f((p− 1)h,Up−1

)∥∥′2.Le premier terme est contrôlé au moyen de l’hypothèse de compatiblité (1.3) ; cette compatiblité estautomatique dans le cadre des hypothèses B. Nous pouvons alors passer à la limite et obtenir une solutionu∈ L2(0, T ; V ) de (0.1) et (0.2) avecu ∈ L∞(0, T ; H).

Un raisonnement direct permet alors d’appliquer un lemme de Gronwall continu àu−uh et donne l’ordredésiré.

Dans le cadre de la proposition 3.2, la nullité de la section du sous-différentiel de la fonction indicatricedu convexe ferméK nous permet de montrer que l’ordre du schéma est un.

Sous les hypothèses A, cela fournit un résultat d’existence qui ne paraît pas contenu dans la littératureexistante. Sous les hypothèses B, l’apport est une estimation de la vitesse discrète uniformément enh, maisce qui nous a motivés est l’application mécanique développée ci-après.

5. Motivation mécanique

Ce travail est motivé par un modèle rhéologique étudié dans [2] et construit comme suit : on meten parallèle un ressort de raideurk0 et un nombre quelconquen d’associations en série d’éléments defrottement sec (élément de Saint-Venant de seuilαi) et de ressorts de raideurki. Cette association est reliéeà un point matériel de massem et d’abscissex, soumis à la force extérieureF . On noteui le déplacementdu ressorti, vi le déplacement de l’élément de Saint-Venanti et fi la force développée par le ressorti. Cemodèle peut donc s’écrire sous la forme :

∀i ∈ {1, . . . , n}, fi =−kiui,

∀i ∈ {1, . . . , n}, vi ∈ ∂ψ[−1,1]

(− fiαi

),

∀i ∈ {1, . . . , n}, x= ui + vi,

mx= F − k0x+∑n

i=1 fi,

et après transformations convenables, il se met sous la forme :

Un + ∂ψKn(Un) 3 fn(·,Un), (5.1)

Un(0) = Un,0, (5.2)

∀i ∈ {1, . . . , n}, ηi = αi/ki,

Kn est le produit cartésienR× R× [−η1, η1]× · · · × [−ηn, ηn] et fn est l’application de[0, T ]× Rn+2

dansRn+2 définie par :

fn(t, x, y, u1, . . . , un) =

y

1

m

(F (t)− k0x−

n∑i=1

kiui

)y...y

.

614

Page 5: Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone

Schéma numérique pour des inclusions différentielles avec terme maximal monotone

Il est intéressant de disposer d’un grand nombre d’éléments afin de modéliser un comportement cyclique àpeu près arbitraire. Ayant constaté que les propriétés de convergence du schéma (0.3) et (0.4) ne dépendaientpas du nombre d’éléments en parallèle, nous avons cherché à analyser cette propriété ; outre les résultatsdes sections précédentes, nous avons montré le résultat suivant : soitUn,h l’approximation deUn définiepar le schéma numérique (0.3) et (0.4) ; notons‖ · ‖q la norme q dansRn+2 ; alors, pour toutq ∈ [1,+∞],pour toutn ∈N∗, il existeCq,n tel que

∀h > 0, supt∈[0,T ]

∥∥Un(t)−Un,h(t)∥∥q6Cq,nh.

De plus, si on aq = +∞, on a alors l’estimation uniforme suivante : il existeC tel que, pour toutn ∈N∗,

∀h > 0, supt∈[0,T ]

∥∥Un(t)−Un,h(t)∥∥∞ 6Ch. (5.3)

Dans le cas oùn ∈N∗, l’existence et l’unicité de la solution de (5.1) et (5.2) sont immédiates (cf . [4]). Enrevanche, l’estimation (5.3), indépendante den, nous permet d’envisager de passer à la limiten→+∞ ;nous présenterons dans un travail ultérieur un modèle mécanique géré par une inclusion différentiellesimilaire à (5.1) et (5.2), avec un nombre infini de degrés de liberté, ainsi qu’un schéma numériqued’ordre un.

Références bibliographiques

[1] Bastien J., Schatzman M., Précision de schémas numériques en évolution multivoque, Preprint 307, 1999(disponible surhttp://numerix.univ-lyon1.fr/publis/publiv/1999/publis.html ).

[2] Bastien J., Schatzman M., Lamarque C.-H., Study of some rheological models with a finite number of degrees offreedom, Europ. J. Mech. A Solids 19 (2000) 277–307.

[3] Brézis H., Problèmes unilatéraux, J. Math. Pures Appl. 51 (1972) 1–168.[4] Brézis H., Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North-

Holland Mathematics Studies, No 5, Notas de Matemática 50, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1973.[5] Lippold G., Error estimates for the implicit Euler approximation of an evolution inequality, Nonlin. Anal. 15 (11)

(1990) 1077–1089.

615