Mathématiques 2 1

Séance 1 : Exercices corrigésCALCUL DIFFÉRENTIEL

Objectifs

Les notions de différentielle, gradient... d’une fonction en dimension finie et infinie. Exercicesd’illustration et calcul des différentielles. Quelques applications.

Notations

On note V un espace vectoriel normé, x un point de V , F une fonction de V dans R. < x, y >=∑i xiyi est le produit scalaire canonique de Rn.

Question 1

Fonction quadratique

Soit V = Rn, A une matrice symétrique définie positive de dimension n, b ∈ Rn.• Soit F (x) = 1

2〈Ax, x〉 − 〈b, x〉, montrer que

DF (x).h = 〈Ax− b, h〉

et, pour le produit scalaire canonique

∇F (x) = Ax− b

Le plus simple est de calculer directement l’expression

∀h ∈ V DF (x).h =d

dtF (x+ th)|t=0

On développe en t et on garde le coefficient d’ordre 1 en t, soit 12(〈Ax, h〉+〉Ah, x〉) − 〈b, h〉 et,

compte tenu de la symétrie de A, 〈Ax, h〉 − 〈b, h〉, d’où

DF (x).h = 〈Ax− b, h〉

• Les points pour lesquels DF (x) = 0 sont donc solution de Ax = b. Si la matrice A est symétrique

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définie positive1l’extrémum est unique et c’est un minimum. Intérêt pour la résolution des systèmeslinéaires ?La résolution d’un système linéaire à matrice symétrique définie positive

Ax = b

est donc équivalente à la recherche de la solution du problème d’optimisation

minx∈Rn

12〈Ax, x〉 − 〈b, x〉

Nous étudierons dans la séance 3 des méthodes d’optimisation bien adaptées à ce problème.

Question 2

Une fonction non quadratique en dimension finieSoit V = Rn, A une matrice symétrique définie positive de dimension n, b ∈ Rn.• Soit

F (x) =12< Ax, x > +

14‖x‖44− < b, x >

Calculer DF (x) et∇F (x).Le plus simple est de calculer directement, terme à terme, l’expression

∀h ∈ V DF (x).h =d

dtF (x+ th)|t=0

− Pour ddt

12 < A(x+ th), x+ th > |t=0, on développe en t et on garde le coefficient d’ordre 1 en t,

soit 12(< Ax, h > + < Ah, x >) et, compte tenu de la symétrie de A, < Ax, h >

− pour ddλ

∑i

14 |xi + th4

i |t=0, en dérivant la fonction composée 14(xi + thi)4, on obtient x3

ihi.Finalement

∀h ∈ V DF (x).h =< Ax, h > + < x3, h > − < b, h >

où x3 est le vecteur de composantes (x3)i = x3i .

On en déduit∇F (x) = Ax+ x3 − b

Quels sont les points pour lesquels DF (x) = 0 ?Les extrémums sont donc solutions du système non linéaire

Ax+ x3 = b

• Calculer HF (x).On a

< HF (x)h, h >=d2

dλ2F (x+ λh) =< Ah, h > +

∑i

3x2ih

2i

1i.e. ∀x 6= 0 〈Ax, x〉 〉0

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Soit D la matrice diagonale avec di,i = 3x2i , il vient

< HF (x)h, h >=< (A + D)h, h >

Quelle est la nature des extrémums ?La matrice A+D est symétrique définie positive comme chacune des deux matrices A et D. Les ex-trémums sont donc des minimums. Nous montrerons dans la séance suivante, en utilisant la convexitéde la fonction, qu’il y a un seul extrémum et que c’est un minimum.

Question 3

Une fonction quadratique en dimension infinieSoit V = C1([0, 1], u ∈ V et f ∈ C([0, 1])

J (v) =∫ 1

0

12v′(x)2 +

12v(x)2 − f(x)v(x) dx

• Calculer la différentielle au sens de Gateaux de J (v).

DJ (v).h =d

dtJ (v + th)|t = 0

on peut développer l’expression de la fonction par rapport à t ou calculer en dérivant sous le signesomme ; il ne reste plus qu’à dériver des fonctions d’une variable réelle, il vient

DJ (v).h =∫ 1

0v′h′ + vh− fhdx

• On munit V du produit scalaire et de la norme de L2([0, 1]), J (v) est-elle différentiable au sens deFréchet ?Non, la forme linéaire

∫ 10 v′h′dx sur V muni de la norme de L2([0, 1]) n’est pas continue (on peut

faire “exploser” h′ tout en faisant tendre ‖h‖2 vers 0).• Soit V0 le sous-espace de C2([0, 1]) ∩ V formé des fonctions nulles en 0 et 1. On considère J (v)comme une fonction sur V0. Montrer que, pour le produit scalaire de L2([0, 1]),

∇J (v) = −v” + v − f

On intègre par partie∫ 10 v′h′dx∫ 1

0v′h′dx =

∫ 1

0−v′′h dx+ v′(1)h(1)− v′(0)h(0)

or le crochet et nul car h(0) = h(1) = 0 d’où

DJ (v).h =∫ 1

0(−v′′ + v − f)h dx = 〈−v′′ + v − f, h〉

le produit scalaire étant celui de L2([0, 1]), d’où le résultat (même si ce n’est pas l’usage d’utiliser lanotation gradient dans ce contexte). Noter que −v′′ + v − f n’est pas dans V0.

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Peut-on définir de même∇J (v) sur V pour le produit scalaire de L2([0, 1]) ?On fait la même transformation, il vient

DJ (v).h =∫ 1

0(−v′′+v−f)hdx+v′(1)h(1)−v′(0)h(0) = 〈−v′′+v−f, h〉+v′(1)h(1)−v′(0)h(0)

la différentielle ne s’exprime pas ici comme le produit scalaire de deux fonctions de L2([0, 1]).Nous n’irons pas plus loin dans l’analyse de cette difficulté (V n’est pas complet pour la norme deL2([0, 1]), la différentielle n’est pas continue), on en retiendra que la notion de gradient en dimensioninfinie n’est à manipuler que de façon heuristique, ce n’est que dans la cadre des espaces de Hilbertqu’elle prend un sens.Quels sont les extrémums de J (v) sur V0 ? (Nous verrons ultérieurement, en utilisant la convexitéde la fonction J (v) qu’il n’y a qu’un extrémum et que c’est un minimum).En un extrémum

∀h ∈ V0, DJ (v).h =∫ 1

0(−v′′ + v − f)h dx = 0

Nous admettrons que si g ∈ C([0, 1])

∀h ∈ V0,

∫ 1

0gh dx = 0 ⇒ g = 0

(Si on ne veut pas l’admettre : si g(x0) 6= 0, alors g(x) ne change pas de signe sur un petit intervalle[x0−ε, x0 +ε], on obtient une contradiction en prenant h(x) définie par h(x) = (x−(x0−ε))3((x0 +ε)− x)3 sur cet intervalle et 0 ailleurs, ce qui est bien dans V0.) d’où

−v′′ + v = f

Question 4

Généralisation : le “calcul des variations”Voir le cours.Soit V0 l’espace des fonctions de C1([0, 1]) telle que v(0) = v(1) = 0 et g(t, x, y) ∈ C1(R3). Ondéfinit sur V0 la fonction

J (u) =∫ L

0g(x, u(x), u′(x)) dx (1)

• Calculer DJ (u).

DJ (u).v =d

dtJ (u+ tv)|t = 0 =

d

dt(∫ L

0g(x, u+ tv, u′ + tv′) dx)|t=0

On dérive sous le signe somme

DJ (u).v =∫ L

0

∂g(x, u, u′)∂u

v +∂g(x, u, u′)

∂u′v′ dx

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• En ajoutant des hypothèses de régularité, calculer∇J (u) pour le produit scalaire de L2([0, 1]).Si u, g ∈ C2([0, 1]), il vient en intégrant par partie le terme v′ et en tenant compte de ce que le crochetest nul

DJ (u).v =∫ L

0(∂g(x, u, u′)

∂u− d

dx

∂g(x, u, u′)∂u′

)v(x) dx =< − d

dx

∂g(x, u, u′)∂u′

+∂g(x, u, u′)

∂u, v >

D’où le résultat avec les précautions d’usage sur la notion de gradient.En déduire qu’un extrémum de la fonction J (v) vérifie l’équation d’Euler

− d

dx(∂g

∂u′) +

∂g

∂u= 0 (2)

On écrit que la différentielle est nulle. D’où

∀v ∈ V0, < − d

dx

∂g(x, u, u′)∂u′

+∂g(x, u, u′)

∂u, v >= 0

ce qui implique, comme nous l’avons montré à la question précédente

− d

dx

∂g(x, u, u′)∂u′

+∂g(x, u, u′)

∂u= 0

• Applications :

J (v) =∫ 1

0

v′2

2+v4

4− fv dx

on a∂g

∂u′= u′ (3)

et∂g

∂u= u3 − f (4)

d’où− d

dx(∂g

∂u′) +

∂g

∂u= −u′′ + u3 − f (5)

et donc, si u est un minimum de J (v) sur V0

−u′′ + u3 = f (6)

u(0) = u(1) = 0 (7)

Nous verrons dans la séance suivante pourquoi ce minimum est unique.

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