Approche semi-analytique de la diffusiondu champ electromagnetique a l’aide

du potentiel de Hertz

Semi-analytical approach for electromagneticfield diffusion using Hertz potential

M.T. Attaf�

Cet article comprend deux volets : Nous introduisons dans une premiere partie le potentiel vecteur de Hertz, puis examinons les possibilites de sonutilisation dans le traitement des problemes de diffusion electromagnetique tres frequents en genie electrique. Apres avoir etabli le lien de cette grandeuravec d’autres potentiels couramment utilises, nous proposons une procedure de formulation par un systeme approprie de trois equations vectorielles,avantageuse par sa simplicite et par le nombre reduit de grandeurs a calculer. La methode est ensuite appliquee efficacement a l’interaction, en regimestatique, entre un conducteur rectiligne que traverse un courant sinusoıdal et une plaque metallique d’epaisseur finie. Dans la seconde partie, nous mettonsen oeuvre une technique specifique de quadrature des composantes du champ sous leur forme integrale dont la precision et la grande stabilite numeriquesont ainsi confirmees.

This paper contains two parts: In the first part the Hertz vectorial potential is introduced and its possible use in solving electromagnetic diffusionproblems common in electrical engineering is considered. Links between this potential and other commonly used potentials are established, and aformulation procedure using three vectorial equations is proposed. This approach has several advantages due to its simplicity and the fact that it requiresonly a few values for computation. This method is next applied efficiently to the interaction in the static regime between a line conductor crossed by asine-shaped current and a finite-thickness metallic plate. In the second part, a specific field quadrature method is employed in integral form. This allowsthe confirmation of the method’s accuracy and good numerical stability.

I. Introduction

Tout en offrant des solutions exactes aux equations de Maxwell, lesmethodes analytiques permettent surtout le traitement de geometriessimples (planes, cylindriques, spheriques) impliquant des milieuxlineaires et isotropes. Ces limitations ont incite au developpement demethodes approximatives (perturbation, diffraction, etc.) qui, a leurtour, ont vite ete supplantees par d’autres methodes numeriques plusperformantes de differences finies, d’elements finis ou integrales, ap-parues entre 1965 et 1985 [1]–[3]. L’essor de ces dernieres methodess’est surtout confirme grace a la disponibilite d’ordinateur rapide et degrande capacite memoire, capables de traiter des problemes de tailleimportante impliquant plusieurs millions d’inconnues [4].

Malgre les possibilites qu’elle offrait, la methode des integrales desurface, dont habituellement seul le domaine conducteur est discretise,souffrait d’une resonance interne specifique aux problemes fermes,qu’occasionne l’erreur de discretisation et qui affecte l’unicite de lasolution des champs� et� [5]. La prise en consideration de cette par-ticularite a necessite la recherche de plusieurs remedes qui adoptent es-sentiellement une strategie de couplage de la methode a diverses tech-niques d’amelioration [6]–[8].

Par la suite, d’autres approches ultra-rapides ont suivi [9], parmilesquelles nous signalons la methode qui couple la transforma-tion differentielle de Thomson a un schema de differences finiesdans le domaine temporel, testee efficacement par Cheng Liaoet al. [10]. Plus recemment, la regression en ondelettes est egalement

�M.T. Attaf est membre du Groupe des Couches Minces, Ecole Poly-technique de Montreal, Departement de genie physique, 2500, chemin dePolytechnique, Montreal (Quebec) H3T 1J4. Courriel: mohammed-tahar.attaf@polymtl.ca

presentees comme un moyen efficace de traitement des champselectromagnetiques en 3-D [11]. Il en est de meme de la program-mation parallele qui ameliore notablement l’efficacite des codes deresolution par equations integrales [12], couteuses en temps de calculet place memoire, mais devenues un outil privilegie dans la simula-tion numerique de la diffraction des ondes electromagnetiques, graceau traitement rigoureux qu’elles permettent. Une nouvelle approchepar convolution discretisee vient d’etre introduite par Zhenhai Shaoet al. [13] pour un traitement des equations de Maxwell dans le do-maine temporel.

Dans ce vaste panorama de methodes consacrees aux equations deMaxwell, nous proposons ci-dessous l’utilisation du potentiel vecteurde Hertz comme autre outil de formulation et de resolution desproblemes de diffusion du champ electromagnetique dans les mi-lieux conducteurs et homogenes. Ce potentiel est connu pour avoirrendu possible le traitement du phenomene de propagation d’ondeselectromagnetiques, mais aussi et surtout la resolution d’un problemespecifique a l’electromagnetisme, qui est celui du dipole electrique os-cillant [14]–[16]. Son usage est toutefois reste confine a ces deux typesd’applications meme si des approches tres variees existent.

II. Formulation en termes de potentiel de Hertz

La determination complete des vecteurs et du champ electro-magnetique peut se faire a l’aide d’une grandeur vectorielle uniquetelle que le potentiel de Hertz, qui renferme toutes les proprietes re-quises pour le traitement des regimes statique, quasi-statique et dy-namique. Ce potentiel, facile a utiliser, se rattache naturellement atoutes les autres fonctions generatrices des champs � et �, dont no-tamment le potentiel vecteur magnetique � et le potentiel scalaire

Can. J. Elect. Comput. Eng., Vol. 28, No. 2, April 2003

90 CAN. J. ELECT. COMPUT. ENG., VOL. 28, NO. 2, APRIL 2003

electrique �, qui verifient l’equation d’onde et qui sont couples parla relation suivante,

� �� � ���� ����

��� (1)

On realise leur decouplage en remplacant dans le second membre lescalaire � par la divergence d’un vecteur �, qui est precisement lepotentiel vecteur de Hertz,

� �� � ��� ��� ���� ���

����� ��� � (2)

De l’expression obtenue, on tire celles de� et � :

� � ���� ����

��� (3)

� � �� ��� (4)

Comme � � � � �, et qu’au meme titre que �, le potentiel deHertz verifie l’equation d’onde, les expressions des vecteurs � et �en decoulent systematiquement,

� �� � �� ��� �� �� �������� (5)

� � �� �� ��� � ���

���� ��� � (6)

Cette possibilite de deduire le couple de vecteurs ����� du po-tentiel de Hertz signifie que pour la formulation d’un problemed’electromagnetisme donne, une grandeur de nature vectorielle peutse substituer a deux autres grandeurs egalement de nature vectorielle.Cette reduction a un vecteur unique a pour consequence une netteamelioration des methodes de traitement. Rappelons a cet effet, quelorsque le champ electromagnetique traverse une surface separant deuxmilieux differents, les six equations a six inconnues qu’engendre lechoix de ����� comme variables principales en tout point de calculsur l’interface ont ete au meilleur des cas ramenees a quatre en utilisantdes couples de potentiels (vecteur, scalaire) tels que ��� ��, �����,etc. et qu’avec le potentiel de Hertz ce nombre se trouve ramene atrois.

Les consequences immediates de cet allegement apparaissent enpremier lieu dans la facilite de formulation ; en second lieu, dans uneeconomie evidente en temps de calcul et en place memoire par rapportau couple ��� �� ou ����� respectivement. Cette economie est da-vantage interessante lorsqu’il s’agit du traitement de grands systemesd’equations decoulant d’un maillage de taille importante, comme c’estfrequemment le cas dans les methodes purement numeriques. Larecherche de la solution repose sur l’equation de propagation (7),a laquelle obeissent toutes les grandeurs scalaires et vectorielles duchamp electromagnetique, et qui permet d’introduire en premier lieule potentiel de Hertz �, dont on deduit � et � grace aux relationsprecedentes. On est ainsi conduit au systeme suivant :

��� � ��

��

��� ��

���

���� (7)

� � �� �� ���

��� � �� ��� � (8)

� � �����

��� ��

���

���� (9)

Ce systeme d’equations est general. Il permet de traiter toutes sortesde problemes d’interaction electromagnetique en presence de courantsde conduction et de deplacement. Lorsque le regime est harmonique,comme c’est souvent le cas, il prend la forme ci-dessous, ou appa-raissent les trois equations vectorielles qu’il convient de resoudre pourtraiter les problemes de diffusion :

���� �� �� � ���� � �� (10.1)

� � ���� ��� ��� (10.2)

� � ��� �� � ����� (10.3)

Figure 1: Plaque metallique influencee par un courant rectiligne sinusoıdal d’ampli-tude ��.

III. Application de la methode

Pour mettre en application la methode proposee, nous allons etudierun probleme de diffusion electromagnetique de geometrie simple. Ledispositif adopte est constitue d’une plaque conductrice homogene,d’epaisseur finie , disposee a la distance � d’un conducteur rectiligne,infini dans la direction � et traverse par un courant alternatif sinusoıdald’amplitude � . Le conducteur et la bande avoisinante occupent des po-sitions fixes dans l’espace ; seuls le courant d’excitation et les champsproduits varient dans le temps (Fig. 1).

Il s’agit d’un probleme a caractere fondamental dont la solutiona ete trouvee moyennant d’autres methodes. Le but n’est donc pasd’apporter une quelconqueamelioration a cette solution qui est unique,mais plutot d’asseoir une autre methodologie qui met en evidencel’efficacite de la formulation en termes de potentiel de Hertz. Parmiles travaux rencontres, il convient de signaler l’approche par elementsfinis que proposent D. Rodger et N. Atkinson [17] pour l’etudede la distribution des courants de Foucault dans le materiau d’uneplaque mince d’epaisseur et de conductivite variables. M. Enokizonoet T. Tokada [18] traitent le meme probleme a l’aide d’integralesde frontiere, alors que D.A. Koppikar et al. [19] evaluent les pertespar courants de Foucault qu’engendre un courant rectiligne dans uneplaque conductrice mince.

Dans le dispositif propose a la figure 1, le courant est unidirection-nel et il en est de meme pour le potentiel de Hertz � � ��� ����dont il est la source. En consequence, le systeme (10) prend une nou-velle forme puisque la premiere equation (10.1) et la derniere (10.3)deviennent scalaires. En tout point de l’espace, la solution du champelectromagnetique, obtenue en partant de ce nouveau systeme, est leresultat d’une superposition de deux champs d’origines differentes. Lepremier est issu de la source lineique de courant, alors que le seconda pour origine les courants induits dans le materiau. Selon la regionconsideree, la relation (10.1) permet de definir le type d’equation auxderivees partielles a resoudre.

Dans les regions 1, 2, et 4 (Fig. 1), le materiau conducteur est in-existant (� � �). De plus, le terme � est negligeable dans le cas

ATTAF: DIFFUSION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE A L’AIDE DU POTENTIEL DE HERTZ 91

des frequences industrielles que nous considerons ici, etant donne quela longueur d’onde correspondant a la frequence d’excitation est tresgrande en comparaison avec les dimensions du systeme. L’equation aresoudre (probleme independant de �) est celle de Laplace :

���

����

���

���� �� (11)

Par contre, dans la region 3 ou seuls les courants de conduction sub-sistent, c’est l’equation de Helmholtz qui est a considerer :

���

����

���

���� ��� � � (12)

ou �� � ���.

A. Dans la region 1Le potentiel de Hertz s’ecrit sous forme integrale et s’annule lorsque �tend vers l’infini. En procedant par separation de variables et en tenantcompte des proprietes de symetrie, son expression est la suivante :

����� �� �

��

�

����� ������������� �� (13)

B. Dans la region 2Sans l’effet de la region 3, la solution dans cette region 2 est alors dememe forme que celle dans la region 1, a un signe pres dans l’exposant.Elle s’ecrit

����� �� �

��

�

����� ������������ �� (14)

On peut a ce niveau determiner la constante en ecrivant la condi-tion de passage entre les regions 1 et 2 ; pour cela il est necessaire dedevelopper le courant sous forme d’integrale de Fourier [20]. Ce quirevient a remplacer ce courant, localise au point ��� ��, par une couchede courant equivalente, parallele a la surface de la plaque et passantpar le meme point. Ce courant peut etre represente sous forme d’uncreneau de largeur �� et d’amplitude � ���, avec a la limite � tendantvers zero. Ceci correspond a une impulsion de Dirac, dont la trans-formee de Fourier au sens des distributions [21], donne l’expressionde la couche de courant equivalente ���� :

���� ��

�

��

�

����� �� (15)

Comme ��� � �����������, dans les regions � � � et �, la condi-tion de passage sur la frontiere permet de determiner la constante :

����� ��

������� (16)

Il est possible maintenant de completer l’expression (14) en intro-duisant l’effet de la region 3, ce qui donne

������� ��

�����

��

�

����������� �������

�����������

(17)

C. Dans la region 3Dans ce cas c’est l’equation (12) qu’il faut resoudre par separationde variables. Celle-ci admet deux solutions repondant a la forme���� �� � ����� ���, et qui s’obtiennent en posant

soit���

� ��� ��� et

���

� ��� �� � �� � ���

soit���

� ��� ��� et

���

� ��� �� � �� � ��

Ces deux solutions sont respectivement,

����� �� �

��

�

����� ������ ������ ������

� �������

�� ����������� �� (18)

����� �� �

��

�

����� ������ ������ ������

� �������

�� � ���������� �� (19)

La solution generale en est la somme, �� � �� ���, mais comptetenu du fait que dans la region 3, � ne presente pas de periodicite en� et est symetrique par rapport a cet axe, la forme de la solution sesimplifie pour donner l’expression suivante :

����� �� �

��

�

��������

�� �����������

�������� (20)

D. Dans la region 4La solution a la meme forme que dans la region 2,

����� �� ��

�����

��

�

�������� �������� �� (21)

Les equations (13), (17), (20) et (21) donnent la solution generale duchamp electromagnetique en termes de potentiel de Hertz, pour toutpoint de l’espace d’interaction. La solution particuliere en decoulegrace a une determination des constantes� ����, ������ et ����� parapplication des conditions de passage sur les frontieres. Ces conditionstraduisent la conservation des composantes normales de l’induction�et tangentielles du champ�, tirees des relations (6) et (10.2).

IV. Exploitation numerique

De la solution globale du champ electromagnetique dans les quatreregions de l’espace nous proposons, a titre d’exemple, l’expressionde la composante du champ magnetique selon !�, dans la region 3qu’occupe le materiau,

������ �� ��

��

��

����������

�� �����������

������ � (22)

ou

������ �����"�

����������� ������ �

����"�

������������

"� � � � ���� "� � � � ����

� � "�� �

�� �"�� ����� � �

��� � ��

� �� �

Ce resultat est conforme a la solution proposee par J.A. Tegopouloset E.E. Kriezis [22] en termes de potentiel vecteur magnetique �.Il importe cependant de signaler que l’integrale a noyau oscillant detype (22) est sujette a une instabilite de quadrature numerique qui anecessite le recours a une methode appropriee decrite en detail dans lalitterature [23].

Dans toutes les expressions donnant la solution du champ,l’oscillation de l’integrande est presente. Elle est due a un facteurtrigonometrique ������ ou ����� comme c’est le cas dans la re-lation precedente. Ce facteur constitue le noyau oscillant qui a pourconsequence de rendre la methode de quadrature de Gauss-Laguerredifficilement convergente alors qu’elle est normalement adequate pource type d’integrales. En realite elle devient meme divergente dans lescas d’oscillations prononcees.

La definition des polynomes de Chebychev est telle qu’elle permetd’extraire la constante � de l’argument du noyau oscillant pour de-venir l’ordre du polynome, puisque ����� � #��� ��. En d’autres

92 CAN. J. ELECT. COMPUT. ENG., VOL. 28, NO. 2, APRIL 2003

termes, il est possible de reduire considerablement le caractere oscil-latoire de la fonction a integrer en la remplacant par une fonction ap-prochee obtenue par interpolation sur une base orthogonale constitueede polynomes de Chebychev.

Si l’on note $���, l’integrande de la relation (22), le changementde variable � � � ���%� permet de reduire l’intervalle d’integrationsemi-infini par rapport a � a l’intervalle �� ��. La relation (22) devientalors

������ ��

��

�Re� �

�

��%���

�� �� � �� ���%�� �

������� � �� � �� ���%�� ���������

�� � �� ���%��� ���� � �� � �� ���%��

� �����

� � � � ���%�� % (23)

avec �� �

���%��� � ���.

Un second changement de variable % � ���� ��� transforme $�%�en $�� � et ramene l’intervalle au domaine de definition des polynomesde Chebychev �����. Il rend de ce fait possible l’interpolation de$�� � dans la base orthogonale que constituent les �& � �� pre-miers polynomes de ce genre, soit, ��

��, #����, #����, � � � , # ���.

Cette interpolation est une meilleure approximation dans le sensou elle minimise l’ecart entre la fonction $�� � et son polynomed’interpolation sur une base de dimension donnee. L’expression de larelation precedente s’ecrit alors

�����

�

�

��

& � �

���

��$

� � ��

�

��� (24)

avec �� � � � �� ��

���������

�����, � � �� �� �� � � � �&, ou #�� est le

polynome de Chebychev d’ordre ��, et �� � ��

����� ���

�sont les

points du support d’interpolation.

Dans une etude differente consacree au calcul, en cylindriquetridimensionnel, du champ d’excitation d’une machine electriquediscoıde [24], il a ete demontre que cette methode de quadraturenumerique est parfaitement stable, meme pour des valeurs eleveesde la dimension & du support d’interpolation. La courbe de la fi-gure 2 illustre la variation '����� � ��������, calculee a partirde la relation (24). Elle decrit la distribution du champ magnetiqueau sein du materiau, a � � ��mm, pour un courant d’amplitude���A et de frequence ��Hz, lorsque la plaque est en aluminium(� � ���� � �� Sm��), d’epaisseur �mm et disposee a �mm duconducteur.

V. Discussion

De maniere generale, la resolution des equations de Maxwell a tou-jours incite a la recherche de techniques d’amelioration en termesde formulation, de precision, de temps de calcul ou de memoireCPU. Il convient de citer a ce propos l’algorithme du gradient con-jugue [25] qui permet une reduction notable du temps de calcul pourles problemes a plusieurs sources. Une approche mixte combinant lamethode des volumes finis (couteuse en temps CPU) a la methodedes differences finies, permet de realiser un bon compromis espacememoire/temps de calcul [26]. Les methodes multipoles et multipolesrapides (variantes de la resolution par equations integrales) permettentegalement une amelioration du temps de calcul par compression dematrices [27]–[28].

En ce qui concerne le potentiel de Hertz, comme l’expliquentP. Hillion [29] et E.A. Essex [30], c’est un outil puissant dont l’utili-

Figure 2: Variation de la composante longitudinale de l’induction� ����� a l’interieurdu materiau, calculee par interpolation sur un support de Chebychev de dimension � ����, dans le cas ou �� � ���A, � � ��Hz, � � �����m, � � �����m et � �������m.

sation a souvent ete negligee ou reduite a quelques applications speci-fiques au domaine des frequences. Les ameliorations qu’il permetd’apporter au traitement des problemes de diffusion dans la matierepeuvent etre evaluees sur la base des resultats obtenus dans cette etudeet comparees a d’autres recherches d’amelioration du meme genre.

Comme nous avons pu le constater, le calcul des composantesdu champ electromagnetique decoule systematiquement de celui descomposantes du potentiel de Hertz. Par exemple dans la region 3,le calcul numerique de �� que donne la relation (20) conduit a ladetermination de ((��, ���, ���) dans cette meme region a partirdes relations (10.2) et (10.3). Le stockage de � au lieu des com-posantes du champ reduit ainsi de ��� la place memoire necessaire.Un gain equivalent en temps de calcul a lieu egalement puisque lescomposantes du champ ����� ont des expressions similaires a cellesde�, a des constantes multiplicatives pres (comme l’illustrent par ex-emple les relations 20 et 22).

A titre de comparaison, les recherches d’ameliorations similairesproposees par Franco de Flaviis et al. [31]–[32], moyennant une for-mulation differente des ondes electromagnetiques planes grace a deuxvecteurs deduits du potentiel de Hertz, ont permis une reduction entemps de calcul et place memoire de �� a ��%. Cette comparaisonau travail que nous proposons est significative dans la mesure ou lesmemes composantes du champ (( � , ��, ��) ont ete calculees.

Dans le cas plus general d’une source d’excitation non lineique,par exemple tridimensionnelle, le vecteur de Hertz aura ses troiscomposantes � � ����������. Il en sera de meme pour lesvecteurs du champ electromagnetique qui, tout en restant orthogonaux(��� � �), auront chacun trois composantes. Autrement dit, dans cecas general, a priori le moins interessant possible, le temps de calculet la place memoire requise seront reduits de moitie.

ATTAF: DIFFUSION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE A L’AIDE DU POTENTIEL DE HERTZ 93

VI. Conclusion

Apres avoir introduit le potentiel vecteur de Hertz et mis en evidenceses liens avec d’autres grandeurs du champ electromagnetique, nousavons precise les avantages qui justifient son utilisation comme va-riable principale dans le traitement des problemes de diffusion.

De formulation simple, la technique proposee repose en general surla resolution d’un systeme de trois equations vectorielles et offre desperformances remarquables en temps de calcul et place memoire. Elleest valide en l’absence de charges libres, dans tous les milieux conti-nus, et en presence simultanee des effets pelliculaires et de proximite.

Cette demarche a ensuite ete testee dans le traitement de l’inter-action electromagnetique entre un courant lineique et une plaque con-ductrice mince. Les equations obtenus ont fait l’objet d’une exploita-tion numerique appropriee dont les resultats confirment le bien fondede la methode proposee, avec une grande stabilite numerique.

Bibliographie

[1] K.S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involvingMaxwell’s equations in isotropic media,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14,mai 1966, pp. 302–307.

[2] P.P. Silvester et R.L. Ferrari, Finite Elements for Electrical Engineers, Cambridge,Angleterre: Cambridge University Press, 1983.

[3] E.K. Miller, “An overview of time-domain integral-equationmodels in electromag-netics,” J. Electromagnetic Waves Applicat., vol. 1, no. 3, 1987, pp. 269–293.

[4] J.M. Song, C.C. Lu, W.C. Chew, et S.W. Lee, “Fast Illinois solver code (FISC)solves problems of unprecedented size at the Center for Computational Electro-magnetics, University of Illinois,” IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 40, juin1998, pp. 27–34.

[5] A.F. Peterson, “The ‘interior resonance’ problem associated with surface integralequations of electromagnetics: Numerical consequences and a survey of remedies,”Electromagn., no 10, 1990, pp. 293–312.

[6] J.C. Bolomey et W. Tabbara, “Numerical aspects on coupling between complemen-tary boundary value problems,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-21, mai1973, pp. 356–363.

[7] J.R. Mautz et R.F. Harrington, “�-field, �-field, and combined field solutions forconducting bodies of revolution,” AE U, vol. 32, no 4, avril 1978, pp. 159–164.

[8] A.A.K. Mohsen et A.K. Abdelmageed, “The uniqueness problem of the surfaceintegral equation of conducting body in a layered medium,” Progress In Electro-magnetics Research, vol. PIER-23, 1999, pp. 277–300.

[9] K. Nabor, S. Kim, et J. White, “Fast capacitance extraction of general three-dimensional structures,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 40, juillet 1992,pp. 1496–1506.

[10] Cheng Liao, Yu-Shen Zhao, et Wei-Gan Lin, “New method for numerical solutionof Maxwell equations,” Electron. Lett., vol. 31, n o 4, 16 fevrier, 1995, pp. 261–262.

[11] M. Werthen et I. Wolff, “A wavelet based time domain moment method for the anal-ysis of three-dimensional electromagnetic fields,” Microwave Symp. Digest, 1998IEEE MTT-S Int., vol. 3, 7–12 juin, 1998, pp. 1251–1254.

[12] H. Kawaguchi, “Time-domain analysis of electromagnetic wave fields by boundaryintegral equation method,” Engineering Analysis With Boundary Elements, vol. 27,2003, pp. 291–304.

[13] Zhenhai Shao, G.W. Wei, et Shan Zhao, “DSC time-domain solution of Maxwellequations,” a paraıtre dans J. Computational Physics.

[14] J.A. Stratton, Theorie de l’ Electromagnetisme, Paris: Dunod, 1961.

[15] W.R. Smythe, Static and Dynamic Electricity, New York: McGraw-Hill, 1950.

[16] W.K.H. Panofsky et M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Reading,Mass.: Addison-Wesley, 1977.

[17] D. Rodger et N. Atkinson, “Finite element method for 3D eddy current flow in thinconducting sheets,” Proc. IEE-A, vol. 135, n o 6, juillet 1988, pp. 369–374.

[18] M. Enokizono et T. Tokada, “Three dimensional eddy current analysis on thinconductors with boundary element method,” IEEE Trans. Magn., vol. 28, n o 2,mars 1992, pp. 1655–1658.

[19] D.A. Koppikar, S.V. Kulkarni, S.A. Khaparde, et S.K. Jha, “Evaluation of eddylosses due to high current leads in transformers,” Proc. IEE Proc. Sci. Meas. Tech-nol., vol. 144, no 1, janvier 1977, pp. 34–38.

[20] R.L. Stoll, The Analysis of Eddy Currents, Oxford, Angleterre: Clarendon Press,1974.

[21] A. Papoulis, The Fourier Integral and Its Applications, New York: McGraw-Hill,1962.

[22] J.A. Tegopoulos et E.E Kriezis, Eddy Currents in Linear Conducting Media, NewYork: Elsevier, 1985.

[23] J. Legras, Methodes et techniques de l’analyse numerique, Paris: Dunod, 1971.

[24] F.M. Sargos, A. Rezzoug, et M.T. Attaf, “Formulation analytique tridimensionnelledu champ magnetique dans une machine discoıde homopolaire saturee,” Revue dePhysique Appliquee, vol. 23, n o 89, 1988, pp. 1397–1404.

[25] C.F. Smith, A.F. Peterson, et R. Mittra, “A conjugate gradient algorithm for thetreatment of multiple incident electromagneticfields,” IEEE Trans. Antennas Prop-agat., vol. 37, no 11, novembre 1989, pp. 1490–1493.

[26] W.C. Chew, J.M. Jin, C.C. Lu, E. Michielssen, et J.M. Song, “Fast solution methodsin electromagnetics,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 45, 1997, pp. 533–543.

[27] H. Cheng, L. Greengard, et V. Rokhlin, “A fast adaptive multipole algorithm in threedimensions,” J. Computational Physics, vol. 155, 1999, pp. 468–498.

[28] E. Darve, Methodes multipoles rapides : resolution des equations de Maxwell parformulations integrales, These de doctorat, Universite Pierre et Marie Curie, Paris,France, 1999.

[29] P. Hillion, “Hertz-Debye potentials and pulse propagation,” J. Phys. A: Math. Gen.,vol. 31, 1998, pp. 5477–5484.

[30] E.A. Essex, “Hertz vector potentials of electromagnetic theory,” American J.Physics, vol. 45, no 11, novembre 1977.

[31] Franco De Flaviis, M.G. Noro, R.E. Diaz, G. Franceschetti, et N.G. Alexopoulos,“Application of time domain vector potential formulation to 3-D electromagneticproblems,” dans Proc. IEEE AP-S Int. Symp., Montreal (Quebec), 7 juillet, 1977,pp. 75–77.

[32] ———, “A time-domain vector potential formulation for the solution of electro-magnetic problems,” IEEE Microwave Guided Wave Lett., vol. 8, n o 9, septem-bre 1998, pp. 310–312.