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20 pp. 20-36 S6paration Doppler adaptative par d6tection quadratique des cibles radar en confusion de distance* J6r6me de REFFYE ** R6sum6 L'auteur ktudie l'amdlioration possible du traitement d'un radar Doppler, pour la s~paration de deux cibles en confusion de distance. En particulier, il introduit des mdthodes adaptatives bas~es sur l'apprentissage en temps r~el de certains parambtres. Mots el6s : Cible radar, Radar Doppler, D6tection signal, Apprentissage, Caract6ristique spectrale, Algorithme adaptatif, D6tecteur quadratique. DOPPLER ADAPTIVE SEPARATION OF DISTANCE CONFUSED RADAR TARGETS BY MEANS OF QUADRATIC DETECTION Abstract The possible improvement of the pulse Doppler radar processing to separate two targets that are confused in the distance range is studied. Particularly, real- time adaptive processing, based on the knowledge of some parameters is used. Key words : Radar target, Doppler radar, Signal detection, Learning, Spectral characteristic, Adaptative algorithm, Square detector. Sommaire I. Introduction. II. Position du problbme. III. L'apprentissage du signal fort : apprentissage du bruit et rdjection des raies, algorithmes proposds. IV. Ddtection du signal faible aprds la rdjection des raies du signal fort. V. Utilisation des procddures prdcddemment ddfinies. VI. Conclusion. Annexes. Bibliographic (5 r~f.}. I. INTRODUCTION Dans les radars coh6rents, l'utilisation de l'effet Doppler offre une alternative h la s6paration de deux cibles en confusion de distances. Cependant, une mise en oeuvre directe exploitant les r6ponses d'un banc de filtres Doppler peut se r6v61er inefficace si l'une des cibles a un spectre monoraie et l'autre un spectre multiraies. C'est le cas notamment quand on cherche /t d6tecter un missile en pr6sence d'un avion, la diffi- cult6 6tant encore renforc6e du fait de la faible surface 6quivalente radar du missile en regard de celle de l'avion. Ces observations nous ont conduit ~t &udier d'abord des algorithmes de filtrage adaptatifs per- mettant de rejeter des harmoniques dans un bruit non blanc, puis des proc6dures d'int6gration qua- dratique d'un signal modul6 en fr6quence repr6sentant le missile en phase d'acc616ration. On aboutit alors hun probl6me non lin6aire, dfi au traitement de cette acc616ration n6cessaire h mettre en oeuvre. II. POSITION DU PROBLEME Le probl6me pos6 est la d6tection d'un signal faible noy6 dans un signal fort et le bruit thermique, sous les hypoth6ses suivantes : le signal faible est monoraie, le signal fort se compose de plusieurs raies et d'un bruit de fond, le signal faible est modul6 en fr6quence, le signal fort peut &re non stationnaire. L'information relative /tces signaux se pr6sente sous la forme d'une succession dans le temps d'6chan- tillons de taille M, l'analyse spectrale 6tant effectu6e sur les 6chantillons. Selon le cas -- on le sait h l'avance -- c'est le signal fort ou le signal faible qui * Cette 6tude est extraite d'un ensemble de travaux men6s dans le Service d'6tudes th6oriques et simulations de la Division syst~me d6fense et contr61e de THOMSON,CSF. ** GERDSM-LE BRUSC, 83140 Six-Fours-les-Plages. ANN. T~L~COMMUN.) 43, n~ 1-2, 1988 1/17

Séparation Doppler adaptative par détection quadratique des cibles radar en confusion de distance *

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20 pp. 20-36

S6paration Doppler adaptative par d6tection quadratique des cibles radar en confusion de distance*

J6r6me de REFFYE **

R6sum6

L'auteur ktudie l'amdlioration possible du traitement d'un radar Doppler, pour la s~paration de deux cibles en confusion de distance. En particulier, il introduit des mdthodes adaptatives bas~es sur l'apprentissage en temps r~el de certains parambtres.

Mots el6s : Cible radar, Radar Doppler, D6tection signal, Apprentissage, Caract6ristique spectrale, Algorithme adaptatif, D6tecteur quadratique.

DOPPLER ADAPTIVE SEPARATION OF DISTANCE CONFUSED RADAR TARGETS

BY MEANS OF QUADRATIC DETECTION

Abstract

The possible improvement of the pulse Doppler radar processing to separate two targets that are confused in the distance range is studied. Particularly, real- time adaptive processing, based on the knowledge of some parameters is used.

Key words : Radar target, Doppler radar, Signal detection, Learning, Spectral characteristic, Adaptative algorithm, Square detector.

Sommaire

I. Introduction. II. Position du problbme.

III. L'apprentissage du signal fort : apprentissage du bruit et rdjection des raies, algorithmes proposds.

IV. Ddtection du signal faible aprds la rdjection des raies du signal fort.

V. Utilisation des procddures prdcddemment ddfinies.

VI. Conclusion.

Annexes. Bibliographic (5 r~f.}.

I. INTRODUCTION

Dans les radars coh6rents, l'utilisation de l'effet Doppler offre une alternative h la s6paration de deux cibles en confusion de distances. Cependant, une mise en oeuvre directe exploitant les r6ponses d 'un banc de filtres Doppler peut se r6v61er inefficace si l 'une des cibles a un spectre monoraie et l 'autre un spectre multiraies. C'est le cas notamment quand on cherche /t d6tecter un missile en pr6sence d 'un avion, la diffi- cult6 6tant encore renforc6e du fait de la faible surface 6quivalente radar du missile en regard de celle de l'avion. Ces observations nous ont conduit ~t &udier d 'abord des algorithmes de filtrage adaptatifs per- mettant de rejeter des harmoniques dans un bruit non blanc, puis des proc6dures d'int6gration qua- dratique d 'un signal modul6 en fr6quence repr6sentant le missile en phase d'acc616ration. On aboutit alors h u n probl6me non lin6aire, dfi au traitement de cette acc616ration n6cessaire h mettre en oeuvre.

II. POSITION DU PROBLEME

Le probl6me pos6 est la d6tection d 'un signal faible noy6 dans un signal fort et le bruit thermique, sous les hypoth6ses suivantes :

�9 le signal faible est monoraie,

�9 le signal fort se compose de plusieurs raies et d 'un bruit de fond,

�9 le signal faible est modul6 en fr6quence,

�9 le signal fort peut &re non stationnaire.

L'information relative / t c e s signaux se pr6sente sous la forme d'une succession dans le temps d'6chan- tillons de taille M, l'analyse spectrale 6tant effectu6e sur les 6chantillons. Selon le cas - - on le sait h l'avance - - c'est le signal fort ou le signal faible qui

* Cette 6tude est extraite d 'un ensemble de travaux men6s dans le Service d'6tudes th6oriques et simulations de la Division syst~me d6fense et contr61e de THOMSON,CSF. ** GERDSM-LE BRUSC, 83140 Six-Fours-les-Plages.

ANN. T~L~COMMUN.) 43, n ~ 1-2, 1988 1/17

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apparaR le premier. Dans le premier cas, il s'agit d 'abord d'identifier le signal fort, de l'dliminer, et de ddtecter le signal faible dans le r6sidu de bruit. Dans le second cas, il faut commencer la d6tection du signal faible tant qu'il est seul, apprendre ses caractdristiques, et continuer la ddtection quand il est brouill6. Dans tous les cas, il y a lieu d'apprendre les caract6ristiques spectrales d 'un des signaux oour pouvoir les distinguer. La ddtection du petit signal impose l'61imination des raies du signal fort et la connaissance du bruit de fond de ce signal, si l 'on veut une probabilitd de fausse alarme cons~tante. En effet, le mauvais rapport signal sur bruit des conditions de mesure implique l'utilisation du filtre adapt6 au signal et au bruit et non le simple filtre adapt6 au signal seul (filtre adapt6 usuel).

I lL L 'APPRENTISSAGE DU SIGNAL FORT : APPRENTISSAGE DU BRUIT

ET RI~JECTION DES RAIES ; ALGORITHMES PROPOSI~S

III.1. Signal non bruit6.

On a directement le cas prdcddent. Si l 'on pose I = 0, on peut utiliser directement l 'algorithme de Levinson.

111.2. Signal bruit6 par un bruit externe avec r6f6rence bruit seul (Annexe 3).

C'est le cas du signal radar dans le bruit, pour un radar ~t impulsions.

On dispose d 'une rdf6rence bruit seul (RBS) sur le bruit additif et inddpendant du signal X(t). On calcule la matrice des autocorr61ations du bruit P~(0) et on calcule une solution du syst6me homog6ne :

(5) [px(0) - - P~(0)] [1, al . . . . . aN] T : [0 , . . . , 0] T.

On utilise, lh encore, l 'algorithme de Levinson. Le proc6dd assure une r6jection encore correcte si le signal lui-m~me est ldg6rement bruit6 sous RBS par un bruit additif ~t - - 20 dB de la puissance de la raie la plus faible. Au-del~t, il faut consid6rer le signal vraiment bruitd sans RBS (paragraphe suivant).

Les algorithmes propos6s partent tous des r6sultats suivants �9

Supposons un signal X(t) compos6 de No sinusoides pures. Alors, pour M suffisamment grand devant k �9

1 (1) M >> k " rxx(k)-- M - - k •

M - - k N O

Z X(mAt) X((m + k) At) # Z [A,[ 2 e -2' '~"a', m = l n = l

de param~tres A, et v , .

Posons :

(2) -rxx(Z ) . . . . . . . . . . . . . . Pxx(l-- N - - 1)-- i ! i !

l'X+ 1(1) = ' i ! i i

rxx(l + N + 1) . . . . . . Pxx(l)

Alors :

(3) [ r x + , ( l ) l ~ d e t [ p x + l ( l ) ] = 0 ; V I ~ Z ; V N ~ N o .

Les coefficients {at} du filtre rdjecteur du signal X(t) sont donn6s par la r6solution du systhme (cf. Anneke 1) �9

(4) px(/) [ao, a l , . . . , aN] T = [0 ..... 0] T, avec : ao = 1,

et ils sont inddpendants de l.

Les diff6rents algorithmes propos6s sont basds sur ce module. Selon le type de bruit, on a un algorithme diffdrent, mais ils ont comme point commun de rdsoudre, in fine, une 6quation du type (4).

Ils ont aussi comme point commun d'utiliser un algorithme de base �9 l 'algorithme Levinson-Durbin, servant ~t inverser une matrice de Toeplitz (cf. Annexe 1) (3).

HI.3. Signal bruit6 sans RBS par un bruit blanc.

C'est le cas qui nous prdoccupe, le signal de l 'avion apparaissant comme un bruit.

On ne dispose pas de RBS car le bruit de fond additif et inddpendant fait partie du mod61e du signal. I1 faut donc estimer les autocorr61ations du bruit par un proc6d6 quelconque dans le m61ange et les retran- cher des autocorrdlations du signal bruit6, ou utiliser des autocorr61ations non bruit6es. Nous verrons cette solution au paragraphe suivant. Le probl6me d'estimer les autocorrdlations du bruit dans le mdlange n 'a pas de solution sauf si le bruit est blanc. En effet, dans ces conditions :

(6) det [PX+ 1(0)] ~ 0,

et la plus petite valeur propre de cette matrice est justement la puissance du bruit de fond. Malheureuse- ment, on obtient par des algorithmes rapides, les valeurs propres en ordre d6croissant. La plus petite valeur propre de FX+ 1(0) dtant la plus grande valeur propre de son inverse, il faut d 'abord inverser cette matrice (Annexe 2).

111.4. Sans rdfdrence bruit seul et bruit quelconque.

Si le bruit n'est pas blanc, la m6thode indiqu6e ci-dessus n'est plus adapt6e. En gdndral, le bruit ob6it ~t un mod61e (h moyenne ajust6e), car on a des corrdlations ~t durde limitde :

(7) rg,(k) # 0 ; k >~ ko .

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22 J . D E R E F F Y E . - S I ~ P A R A T I O N D O P P L E R A D A P T A T I V E D E S C I B L E S R A D A R

Si bien que les corr61ations du signal bruit6, ne sont plus bruit6es pour k >~ ko et la r6solution du systSme :

(8) rg(k) [1, a, . . . . . aN] x = [0 . . . . . 0] T, k > ko 6- iV,

fournit les coefficients du filtre r6jecteur. La r6solution rapide s'effectue en r6solvant simultan6ment ce sys- t6me et son transpos6 par deux algorithmes de Levinson imbriqu6s (Annexe 4). L'inconv6nient est de n6cessiter le calcul de corr61ation jusqu'~t l'ordre 2 N 6- ko -~ 1, donc de disposer d 'un grand nombre d'6chantillons au d6part. Cet algorithme a 6t6 simul6 sur des mod61es pour lesquels on a test6 6galement l'algorithme uti- lisant une r6f6rence bruit seul. Le mod61e simul6 est de 5 sinusoides et un bruit de fond /t - - 10 dB de la raie la plus faible. On voit le gain important apport6 par le dernier algorithme (Fig. 1) sur le premier (Fig. 2). (Le d6calage spectral correspond ~t un 16ger glissement de fr6quences durant les diff6rents instants d'apprentissage.) La r6jection des fr6quences du signal ind6sirable sont rejet6es avec 20 dB de mieux dans leur r6jection.

Rappel sur le fonct ionnement d'un radar Doppler.

On 6met donc des impulsions h l'aide d 'un 6metteur coh6rent sur M impulsions et on traite, h la r6ception, des blocs appel6s rafales, de M impulsions. A la suite de l'effet Doppler sur un mobile en acc616ration constante, l'6chantillon 1 ~ m ~< M de la rafale 1 ~< n ~< N requ sous la forme suivante, pour une

A(dB)

0-

-10,

-20

-30

vitesse uniforme avec une approximation lin6aire (fr6quence Doppler constante) :

(9) s" = exp[-- i(mAt + (n - - 1) AT) co],

to : pulsation Doppler,

est, en r6alit6, requ sous la forme :

(10) z" : exp[-- i(mAt + ( n - - 1) AT) to] •

exp[-- if2(mAt + ( n - 1) AT)2],

oh At est la p6riode de r6p6tition des impulsions, AT, la p6riode d'6mission des rafales d'impulsion, ~, le terme d6pendant de la vitesse radiale de l'avion.

Et l 'on a le s formules suivantes (en n6gligeant les termes carr6s) :

1 (11) ~ ~ z",. z"+x,. =A rk(1)

= Z exp[-- i ( m A t 6- ( n - - 1) AT) to] •

exp[-- i f 2 (mAt + (n - - 1) AT) 2] •

exp[i((m 6- 1) At + ( n - 1) AT) to] •

exp[if2((m 6- 1) At 6- ( n - 1) AT) 2]

# e l'~ exp[if2(n - - 1) AtAT] ,

1 (12) ~r Z Zm,(e ''~ exp[i~(n - - 1) At AT])"

~z~ e l ( n - 1 ) A T c ~ ; Z ~ e I f l A t A T ,

Z e s t l'incr6ment de phase 616mentaire, tandis que Zm est l'int6gration coh6rente sur N rafales pour le mSme num6ro d'ordre d'6chantillon. Une transfor- mation de Fourier discrete (ova') sur Z" est le traite- ment Doppler usuel. La deuxi~me m6thode est une simplification de la premi6re.

IV. DI~TECTION DU SIGNAL FAIBLE APRES RI~JECTION DES RAIES

DU SIGNAL FORT

0,5

FIG. I. -- Rejection de la DSP de l'avion par l'algorithme << double Levinson >>.

Aircraft power spectral density rejection by means of << double Levinson >>.

A(dB)

10

0

-1C

-20

-30 0 ' 015

FIG. 2. -- R6jection de la DSP de l'avion par la r6cursion de Levinson.

Aircraft power spectral density rejection by means of Levinson recursion.

1 vat

vat

IV.1. Filtrage lin6aire.

Si les raies du signal fort ont 6t6 suffisamment rejet6es, on est en pr6sence de la d6tection d'une sinusoide dans un bruit blanc avec un faible rapport signal sur bruit. De plus, la sinusoide est modul6e en fr6quence, lin6airement. La variation de phase 6rant quadratique, on aboutit ~t un problSme de d6tection non lin6aire. Cette modulation de fr6quence est due, rappelons-le, ~t l'effet Doppler sur le signal re,u, dO ~. la trajectoire de la cible.

Soit {Z,,"}I<.m<.M la suite des donn6es d 'un mSme M-6chantillon. Pour le signal fort, on pouvait calculer les autocorrdlations par :

l N M - k

(13) P==(k) = ~[n~=, y lZnm Zn,"+k ,

car le signal fort est stationnaire. Ce n'est plus possible maintenant de mSme qu'il n'est plus possible de

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J. DE REFFYE. - SEPARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR 23

travailler 6chantillon par 6chantillon, car le rapport signal 5- bruit est insuffisant. Pour obtenir, dans ces conditions, une probabilit6 de fausse alarme (PFA) et une probabilit6 de d6tection respectivement de 10 -6 et 0,9.

On a d 'abord essay6 des traitements coh6rents. On estime la phase 5. l'origine de chaque N-6chantillon et la variation de fr6quence d'un 6chantillon 5- l'autre. On a obtenu les deux m6thodes suivantes :

sont insuffisants et il vaut mieux chercher un filtrage quadratique. En effet, on remarque une sensibilit6 au bruit de fond r6siduel qui perturbe le calcul des phases relatives d 'un 6chantillon 5- l'autre. Cet ennui

IV.I.1. Premiere m~thode.

On pose :

N - 1

(14) Zm = E z~,. e -'~" IZ{ ' " - ' ' ' m - j ' , n=O

avec Z : increment de phase e '~ 616mentaire, sur la vitesse et l'acc61~ration. Et �9

( i s ) - - \ l r . ( 1 ) l / '

et on effectue une OFt sur {Zm}.

1 ~ estimateur de Z (m&hode 1)

N - 1

(16) 2 = E r .(1) r .+~(l) . n = l

2 ~ estimateur de Z (m6thode 2)

M - - I N - 1

( 1 7 ) 22 = Z [( E Zmn Zm,n+t e-l~"-~"+')) • m = l n = l

N--1

( E Zm+l,n Z m + l , . + l el(tPn-q~n+l))]" n = l

3 ~ estimateur de Z (m6thode 3)

N--1 M--1

(18) z = Z Z z,.. zm+,,, z,.,.+~ z,.+~,.+x. n = l m = l

FIG. 3. - - Module du spectre du missile derri6re le banc FFT doppler.

Missile spectrum modulus below the Doppler FFT filter bank.

IV.I.2. Deaxi~me m6thode (m6thode 4).

On effectue une DFT sur {Z,.} "

N

(19) Z . , = ~ Zm.e - l ~ " Z m-1 avec : Z = P.(l). n = l

FIG. 4. - - Module du spectre du signal derri/~re le banc FFT Dopple r : m6thode 1 - normal i sa t ion 1.

Signal spectrum modulus below the Doppler FFr filter bank : method 1 . normalisation 1.

Normalisation.

Comme on manipule des hombres complexes cens6s ~tre de module 1, th6oriquement, 61ev6s 5- une puissance non n6gligeable, et que, pratiquement, 5- cause du bruit, ils sont de module inf6rieur h 1, il faut normaliser. On a l e choix entre 3 normalisations possibles :

1) on normalise z,,. pour te calcut de F.(1) puis Z,

2) on normalise P.(1),

3) on normalise Z.

On a visualis6 sur la figure 3 le signal faible 5- d6tecter et sur les figures 4 5- 14, le r6sultat des diverses m6thodes avec les diff6rentes normalisations associ6es (la figure 14 est le r6sultat de la r6jection du signal fort par l'algo- rithme ~< double-Levinson>~). Les r6sultats obtenus

FIG. 5. - - Idem : m6thode 1 o normal i sa t ion 2.

Idem : method 1 - normalisation 2.

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24 J. DE REFFYE. - SEPARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR

d i s p a r a i t avec le f i l t rage q u a d r a t i q u e . D a n s ce cas,

e n effet , o n d6 t ec t e l ' u n o u l ' a u t r e de s d e u x s i g n a u x

qu i d i f f6 ren t p a r l eu r c o v a r i a n c e , e t n o n p lus p a r

l eu r m o y e n n e , e t les p r o b l 6 m e s de p h a s e r e l a t i ve

e n t r e d e u x 6 c h a n t i l l o n s n ' e x i s t e n t p lus . (Le b r u i t se

ca rac t6 r i se , Fig. 13 e t 14, p a r le s igna l c o n t i n u c e n t r 6

a u m i l i e u de la f igure . )

FIG. 9. - - l d e m : m6thode 2 - normalisation 2.

Idem : m e t h o d 2 - normalisat ion 2.

FIG. 6. - - I d e m : m6thode 1 - normalisation 3.

Idem : m e t h o d 1 - normalisat ion 3.

F l~ . 7. - - I d e m : m&hode 3 - norrnalisation 3.

Idem : m e t h o d 3 - normalisat ion 3.

FIG. 10. - - l d e m : m6thode 2 - normalisation 3.

Idem : m e t h o d 2 - normalisat ion 3.

FIG. 8. - - I d e m : m6thode 2 - normalisation 1.

Idem : m e t h o d 2 - normalisat ion 1.

FIG. 11. - - Idem : m6thode 3 - normalisation 1.

Idem : m e t h o d 3 - normalisat ion 1.

ANN. TI~Lt~COMMUN., 43, n ~ 1-2, 1988 5]17

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J. DE REFFYE. - SEPARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES R A D A R 2 5

IV.2. Filtrage quadratique (Annexe 5).

IV.2 .1 . Premibre m6thode (m6thode 5).

Soient N M-6chantil lons. Posons :

(20) 1 ~ n ~ N : Z.,M = {z.1 . . . . . Z.,M} T,

(21) I(0) =

1 0 . . . . 0 x \ \ I

N x \ NN. ~ \ \ 1

\ , \ \ 0 I \ \

0 - - - --0 1

de dimension M,

FIG. 12. - - l d e m : m6thode 4 - normal i sa t i on 1.

I d e m : m e t h o d 4 - normalisat ion 1.

FIG. 13. - - l d e m : m 6 t h o d e 4 - n o r m a l i s a t i o n 2.

I d e m : m e t h o d 4 - normalisat ion 2.

FIG. 14. - - Idem : m 6 t h o d e 4 - n o r m a l i s a t i o n 2 (sur (1) : a lgor i thme doub le Lev inson) .

I d e m : m e t h o d 4 : normalisat ion 2.

(22) 1(1) =

(23) I ( - - 1 ) =

0 . . 1 0 C - - - ~

I " " "1 I . . x

0 "0 \ 0

0. , 0 z- 0 .,. -,. [

~ " x \ I 1... "-. " x I

x x ~ " x ~. [

0 - - - 20 "1 " 0

(24) P.(k) = z [ m I ( k ) z.,M ; 0 ~<k <

On pose : (25) r.(k) = [r,(k) . . . . . VN(k)] T.

Et on teste les 2 hypoth6ses suivantes :

(26) hypoth~se H o �9 rN(k) = , [ rB(k)J

FB = corr61ation du bruit h l'ordre k,

[ ] FB(k) (27) hypoth~se Hj : rN(k) = ! +

Lr~(k)J

IAI [exp[-2ir:v(At(k--1)]] Lexp[ - 2 i r c v N A t ( k - - 1)] ]

N 6tant le nombre de rafales prises sur n.

Le vecteur de filtrage ( h , . . . . . hN) v est solution du syst6me :

etc.

M - - l .

(28) N

Z ~ l?i,(k - - m ) h j 2 ( m - - n ) F B ( n - - l ) q = l t/1 n

I ~JI <~N

1 <.j2<~N

]AI 2 exp[ - - 2 i r~v~(k-- / ) At]

" " - ----.. ------.- I

. . . . . .

- - - - ~ . . . . 0

�9 - " - - ~ - - o r AI ~ ex"p[- 2i ~ ( k - - OAt]

6/17 ANN. TI~L~COMMUN., 43, n ~ 1-2, 1988

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26 J. DE REFFYE. - SI~PARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR

Soit :

(29)

F.(0) . . . . . . . . F.(1 - - M ) h.(0) . . . . . . . . h . ( l - - M ) [ I Fa(0) . . . . . . . P . (1 - - M )

" " : " [ I I ', I I I i i I

r n ( M - - l ) - - - rn(0 ) h . ( M - - 1) . . . . h(0) r R ( M - - I ) - - - l ? . ( 0 )

l . . . . . . . . exp[2iT:(1 - - M ) v.At = I A I z : : �9

, , , l < ~ n < ~ N .

exp[2ir:(1 - - M) v.At . . . . . . . . 1

Le rappor t de vraisemblance (qui induit par principe un r6cepteur 5 ̀probabilit6 de fausse alarme constant �9 PEAt) est donn6 par �9

N N N

(30) l n A : E E 5", [z.L,~ . . . . . Z..M] n l = l n 2 = l n 3 = l

h.2(0 ) . . . . . . . . h,,2(1 - - M) ! i ! t t i

h.~(M - - 1 ) - - - h.~(0)

N

: ~ [ Z n , 1 . . . . . Z n , M ] n = l

m Zn3,1

i ! !

Z n 3 , M

h.(0) . . . . . . . . h.(l - - M) i ! i t i i

h.(M - - 1 ) - - - h(0)

Z n , 1 i i i

car :

h. (0)

(31) [z.~,t . . . . . Z..M] = 0 , n i l=n . . . 1)_

On simplifie les calculs en posant :

(32) Y.,,. = Z.,m e x p [ - - 2 i r ~ ( m - 1) v.At].

Darts ces conditions, les corr61ations F.(k) :

(33) r . (k) = Y2M I(k) Y.,M ,

= Fa(k) ; hypoth6se H o ,

= P . (k ) + ]A[ 2 ; hypoth~se H 1 ,

ne d6pendent plus de n. On a un seul syst6me 5̀ r6soudre :

(34) [Fs] [h] [ r . ] = 1.412,

et :

(35) lnA = trace {[ Y.m] r h [ Y.,m]}.

Le type de d6tecteur induit un PFAC fr6quentiel. En effet, le bruit est connu avant int6gration et le signal n 'est significatif que dans le filtre off il est int6gr6 d 'une mani6re coh6rente. Un r6cepteur 5̀ PFAC fr6quentiel se caract6rise par la d6tection d 'un signal en comparan t un filtre Doppler par rappor t aux filtres adjacents, tandis que le PFAC temporel est obtenu en comparan t le signal d ' un m~me filtre Doppler 5 ̀ deux instants diff6['ents.

IV.2.2. Deuxi6me m6thode (m6thode 6).

On consid6re comme signal 5. d6tecter le signal apr6s int6gration.

M

(36) S. = Z Y. = [z.,, . . . . . z.,u] • m = l

1 t i ~ t

e x p [ - - 2 i ~ ( M - - 1) v.Atl

Sous l 'hypoth6se du bruit seul, on calcule les cova- riances du bruit int6gr6 :

(37) r%(n t , n2) = Z Z Z.l,m ' Zn2,m 2 X m l m2

exp[ - - 2 i ~ ( m l v l - - m2v2) At].

On admet le bruit d6corr616 rafale 5 ̀ rafale 5 ̀ l 'entr6e du filtrage. D'of i :

( 3 8 ) F B v ( H I , / ' / 2 ) = Z Z Z n l , m I Zn2 ,m 2 X m I m 2

e x p [ - - 2 i T z ( m t V l - m2 v2) At],

Dans ces conditions, 6gal 5̀ :

(39) Unv,(l, 1)

0 IX-..

l n A = S T I x. I I

0

~ Z . 7 m 7 Z n l m2 X nl I m 2

exp[ - - 2ivz(ml - - m2) v. At],

Fa(n, %).

le rappor t de vraisemblance est

0<- . . . . . . -0

-. I F " t B~(2, 2) \

" 6 -x

" . . " P a v . ( N , N) -"0

- 1

S.

Si le bruit est stationnaire, alors il vient :

- 1 8 . ( " . ) 1 2 (40) lnA

- . = 1 PB(0, v.)"

Ce type de d6tecteur implique un TFAC temporel. En effet, l 'est imation de la puissance de bruit dans la direction d ' int6gration v n6cessite l 'absence du signal durant la mesure. Comme on cherche 5̀ d6tecter un signal modul6 en frfquence, on peut poser :

v. = v + ( v . - - 1 ) y.

Et si l 'on admet le bruit blanc, on obtient, avec la premi6re m6thode, en supposant le signal faible devant le bruit :

ANN. TI~LI~COMMUN., 43, n ~ 1-2, 1988 7/17

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J. DE REFFYE. - SEPARATION DDPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR 27

1 N

(41) lnA--- -~ E__I z, r

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . exp[ - - 2 i T z ( M - - 1) (v Jr (n - - 1) y) At] I I I I I I

e x p [ 2 i ~ ( M - - 1) (~ 6- ( n - - 1) y) At] . . . . . . . . . . . . . . . 1

D

avec :

(42) P = [(Ps(0)] 2.

Tandis que, avec la seconde m&hode, on obtient la rnSme sommation, mais avec la r6f6rence bruit suivante :

M M

(43) P = E Z z.,.,, z.,,.~ ~- Fa(0). r a l = l m 2 = l

On remarque donc que, si les deux r6cepteurs sont TFAC, leur seuil de d6tection doit 8tre diff6rent si l 'on veut la m&ne probabilit6 de fausse alarme P r , .

Remarquons 6galement que l ' int6gration partielle :

exp[ - - 2ir~(v + (n -~- 1) y) At] 0 . . .~ .~ . 0 N

(44) 5". [z. , l . . . . . Z.,M] I

I 0 . . . . . . . . . . . . . ~--~0 exp[ - - 2ir~(v + (n - - 1) y) At] z.,M

peut &re obtenue par une DFT sur les corr61ations F,(I) d6finies par :

M - I

(45) r . (1 ) = 5'. z ..... z.,m+, �9 1

C'est ce dernier calcul que l 'on a simul6. L' int6gration compl6te serait obtenue par la formule suivante :

N

(46) Y'. [z,,, .... ,Z,,,M] n = l

1 _. exp[ - - 2i 7~(u + ( n - - 1)y) At] . . . . e x p [ - - 2 i r ~ ( M - - l ) ( u § ( n - - 1) y) At]

e x p [ 2 i ~ ( v + ( n - - l ) y) At] " ~ ---- II

etxp[2ir~(M - 1)(~ + ( n - - l ) y ) At] -- 1

2n, l i I I I I I I

2n,M

N

[ Z n , 1 . . . . . 2n,M] n = l

e x p [ 2 i = ( M - - 1) (v 6- ( n - - 1 )y) At]

On a simul6 le calcul ci-dessus avec le bruit issu du filtre r6jecteur et, ensuite, avec ce mSme bruit et le signal faible, de maniSre ~. pouvoir effectuer un TFAC temporel. Les r6sultats de ces deux simula- tions sont donn6s respectivement par les fgures 15 et 16, et 17 et 18. On apergoit net tement le signal faible. Une int6gration compl6te doit donc permettre une d6tection correcte du signal faible, a f o r t i o r i .

FIG. 1 5 . - Module du spectre du signal derri6re le banc de filtres FFT Doppler et un traitement quadratique : m6thode 5

(algorithme << double Levinson ))) : avion seul.

Signal spectrum modulus below the Doppler FFT filter bank and a quadratic processing : method 5 (algorithm << double

Levinson >> ) : aircraft only.

8/17 ANN, TELI~COMMUN., 43, n ~ 1-2, 1988

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28 J. DE REFFYE. - SI~PARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR

FIG. 16. - - Idem : m6thode 5 : avion + missile.

Idem : method 5 : aircraft § missile. FIG. 18. - - M6thode 6 : avion + missile.

Method 6 : aircraft + missile.

FIG. 17. - - Idem : m6thode 6 : avion seul.

ldem : method 6 : aircraft only.

V. U T I L I S A T I O N DES PROCI~ DURES PRI~CI~DEMMENT DI~VELOPPI~ES

A UN T R A I T E M E N T C O M P L E T SI~PARATION ET DI~TECTION

DE S I G N A U X D A N S L ' E S P A C E D O P P L E R D ' U N R A D A R COHI~RENT

V . 1 . C a s d ' u n s i g n a l m o d u l 6 en f r6quence .

On cherche h d6tecter une sinusoide de faible amplitude modul6e lin6airement en fr6quence contre un signal fort compos6 de plusieurs harmoniques fix6es et d ' u n bruit de fond. Le radar utilis6 pour la d6tection 6met des rafales de M impulsions, il est coh6rent sur chaque rafale, mais incoh6rent de rafale ~. rafale. On appelle {z,,,,} les impulsions regues (m-i6me r6currence de la n-i6me rafale). (N .B . La not ion de coh6rence en radar porte toujours sur la

phase.)

Sdparation des s ignaux.

On consid6re que le signal fort constitue un brouil- lage du signal faible.

On utilise le fait que le brouillage constitue un signal stationnaire. On suppose connue une r6fdrence bruit seul (sur une case distance adjacente).

On calcule les coefficients du filtre de r6jection du brouillage par l 'dquation :

(47) (P=z - - FB) A = 0,

off : r,.:,(o) . . . . . . p~,~(-- L)

I I (48) P = , , ,

rzzCL) . . . . . . G+(o) r.+(o) . . . . . . r . ( - - L)

(49) P a i ," '

G C L ) . . . . . . r . ( o )

A = [1, al . . . . . aL] T.

On r6sout le syst4me d6fini ci-dessus par l 'algo- rithme de Levinson.

On peut montrer (cf. Annexe entre le filtre blanchissant de au paragraphe III.2., et le filtre

( 5 0 ) = P B 1

h(L)

que l 'on a : I l f f 1 = A T A,

6), par des relations la m6thode d6finie adapt6 d6fini par :

1

2 i

Z N - 1

(50

A =

r B 1

a L a L - t - - - at 1 0 - - - 0 \ x \ \ �9 t

OxXx \ X \ \ \ I \ X \ \ I t \ \ \ \ \ \ 0 t \ \ \ \

\ \ x N \ - - - - 0 \ a L' " l

(Matrice de convolut ion de d sur tin vec- teur signal x),

o;--o I N x ~ I f ",, 0 I ,- l".. "a L

% x . i

O- " 0 " 1

aL a L _ , - - - a, 1 0 - - -0 k \ I

O\ \ \~ i ~\ \ \ \ \ \ I x \ \ \ \ I I \ \ \ \ \i I \ \ \ \ I \ x \ ~ 0 0 - - - 0 aL . . . . . al 1

ANN. TELECOMMUN., 43, n ~ 1-2, 1988 9/17

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J. DE REFFYE. - SI~PARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES C1BLES RADAR 29

Mais, on ne connaR pas la fr6quence de modulation du signal ~t analyser. On est donc oblig6 d'effectuer une DFT sur les fr6quences et sur les variations de fr6quence possibles. D'autre part, cette modulation associ6e aux instabilit6s de phase entre 2 rafales dues 5̀ l'6metteur du radar et 5̀ la fluctuation des cibles nous empSchent d'effectuer un filtrage lin6aire par int6gration coh6rente.

On sera amen6 5̀ effectuer un filtrage quadratique sur les rafales.

On remarquera que les paramStres ne sont pas estim6s statistiquement, mais que l'on construit un banc de filtres adapt6s aux signaux modul6s lin6aire- ment en fr6quence. Cette proc6dure est toujours plus robuste que la pr6c6dente, et permet une r6gulation de la fausse alarme par un d6tecteur 5̀ TFAC fr6quentiel.

Pour chaque rafale, on effectue une DFT sur une fr6quence d6cal6e de la rafale prdcddente selon la variation de fr6quence estim6e. Comme on ne connait pas cette variation de fr6quence, on divise cette variation en P valeurs de 0 5, Ymax �9 Pour chaque rafale, on calcule l'expression du filtre adapt6 5̀ la fr6quence instantan6e :

(52) Z z ( n , m , p ) = [z.,~

I \ \ \ a~ \ C \ \

\ 0, ,,

o_'.o ,o,

. . . ) Zn,M] )'(

a~ . . . . a~ 0 - - - 0 \ \ \ )

\ x k ,

!,\, ', ' , I \ \ \ \ , \ X "0 t \ \ \

1 \ \ \ x

b - - 2 0 . . . .

x

I [ " (m--1)AF ~ (n--1)(p--1)8~,lt ex"I ma: On peut aussi se contenter du syst6me filtre

blanchissant-int6gration coh6rente �9

(53) k ~ ( n , m , p ) = [z.,l . . . . , Z..M]

~

1 x \ \ \'() \ \

0 \ \ \ a L I x \ \ x

0---\0 "1

x

e x p t _ 2 i = ( L ) [ ( m - - 1) AF [_ FR (n 1)@ax 1)Sy] I

Mais cette proc6dure est n6cessairement moins performante que la premi6re (car on utilise la matrice

p~1/2 au lieu de P~ 1 et que l 'on int6gre sur L 6chan- tillons au lieu de M L-6chantillons).

La premi6re proc6dure fournit le traitement sui- vant :

(54) z(t) -->I---A[-~

| D6cision.

I__1 -I Tandis que la seconde donne le traitement :

(55) z(t) ~ D6cision

n est le num6ro de la rafale,

m est le num6ro du filtre Doppler usuel,

p e s t le num6ro du filtre de variation Doppler.

On calcule ensuite pour N rafales :

N

(56) A=(m, p) = E IxXn, m, p)]2, n = l

et on ddtecte sur :

(57) Azz = max Azz(m, p), m,p=~ 0

en comparant A= 5̀ un seuil.

V . 2 . C a s d ' u n s i g n a l n o n m o d u l 6 en f r 6 q u e n c e .

On a irrlplicitement admis au cas pr6c6dent que la variation de fr6quence du signal 5̀ d6tecter est suffisamment importante pour que, m~me s'il est pr6sent pendant l'apprentissage des corr61ations, il apparaisse comme non stationnaire et donc non appr6hendable par le filtre r6jecteur. Ici, rien de tel. I1 faut donc 6mettre l'hypoth6se que le signal faible n'est pas pr6sent pendant l'apprentissage du signal fort, ou qu'il est suffisamment faible pour ne pas 8tre rejet6. Ensuite, les calculs sont les m~mes avec simple- ment p = 1.

VI. CONCLUSION

Cette 6tude est l 'introduction du traitement multi- plicatif en radar. En effet, le probl6me trait6 6tait un probl6me couramment rencontr6 en sonar : d6tecter du bruit dans du bruit. Or le sonar commence lui-m~me 5̀ utiliser des techniques de traitement multiplicatif comme la matrice interspectrale : ces techniques s'introduisent tout naturellement en radar 5̀ l'occasion de probl6mes ponctuels difficiles. Notons tout de suite qu'elles ne remplaceront jamais dans les cas usuels la technique additive classique qui permet des calculs infiniment plus simples et de conserver le caract6re lin6aire 5̀ l'op6rateur de traite- ment.

10/17 ANN. T~LI~COMMUN., 43, n ~ 1-2, 1988

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30 J. DE REFFYE. - SI~PARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR

Notons toutefois l'6norme diff6rence entre ce traitement et le traitement des sonars actuels : il s'agit d 'un traitement temporel de signaux param6tr6s tandis que le sonar ne sait param6trer les signaux regus que spatialement, le traitement temporel restant une int6gration quadratique incoh6rente.

Quant aux techniques adaptatives, on remarquera qu'elles s'utilisent tout aussi bien en r6jection de signaux qu'en analyse spectrale (il suffit de << retour- ner>> les figures). L'association des deux techniques d6crites ci-dessus aboutit ~t un outil d'extraction tr~s puissant du signal cherch6 dans un environnement brouill6.

ANNEXE 1

RI~SOLUTION DE L'I~QUATION :

max (P -1 - - k l ) A = 0

N . B . : L'inverse d 'une matrice de Toeplitz n'est pas de Toeplitz. Par contre, si la matrice est ~t sym6trie hermitienne, son inverse est ~ sym6trie hermitienne.

On r6sout l '6quation :

(A-l) F~+I(0) (l~x+~(0)) -1 : I : (el . . . . , es+~),

oh :

- 0 -

i 0

e~ = 1 (le 1 en i-i6me position). 0 ,, i 0

Or, on sait que l'algorithme de Levinson-Durbin r6sout l '6quation :

LrN-1--- Co On peut s'y ramener b, partir du syst~me :

fo---~N ~oN I I I I ~ N

I a N + l a N + l : II 'l , I I I

FN--- Fo ~NN

Le principe de l'inversion de F~+~, dans l'algo- rithme propos6 en annexe, utilise la r6cursivit6 de Levinson.

Le calcul repose sur l 'algorithme suivant : d6crit dans l 'annexe suivante et r6sum6 ici : sachant ~k solution de :

on calcule otk+ ~ solution de :

1 1

I'~+1 0tk+x --

0

par :

I ~ (Xl ,k+ 1 - - 0~1, k (A-4) I'k+ 1 ! =

l ~u,k + 1 - - ( X N , k

o h :

r k + I = [ I a l , . . . , [ a k + l ] T ,

I - - ~0tk' Fk+ i ~ 1 0

I i 0

(6quation r6solue par Levinson).

D 'oh la matrice ( F x + l ( 0 ) ) - l . Le vecteur propre associ6 b. la plus grande valeur propre de (Fx+ 1(0) )-1 done ~ sa norme, est obtenu par les it6rations sui- vantes :

A (k + l) = ( r~+l(0) -1) A (k) ; A(0) = [1 . . . . . l] T,

et la valeur propre cherch6e est 6gale h :

AT(00) (rX+ 1(0) ) -1 A(OO) ( A - 5 ) ~'max = A T ( o o ) A ( o o )

On calcule les coefficients du filtre r6jecteur par la r6solution du syst6me :

(A-6) [Fx+l(0) - - •max I] [1, al . . . . . aN] T : [0 ..... 0] T,

r6solution obtenue encore par l 'algorithme de Levin- son.

ANNEXE 2

INVERSION D 'UNE MATRICE DE T O E P L I T Z HERMITIENNE

A PARTIR DE LA RI~CURSION DE LEVINSON

I. Prineipe de l'algorithme.

1) On calcule A1 :

(A-7)

F, AI = [1 ,0 , . . . ,0 ] T, avec F,

. . . . . r o j

A partir de l'algorithme de Levinson, en conservant les vecteurs interm6diaires du calcul (le coefficient aol est d6termin6 par la normalisation sur 1).

2) On cherche A 2 :

(A-S) F, A2 = [0 ,1 ,0 . . . . ,0] T.

ANN. TI~LECOMMUN., 43, n ~ 1-2, 1988 11/17

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J. DE REFFYE. - S f P A R A T I O N D O P P L E R ADAPTATIVE DES CIBLES R A D A R 31

Pour cela, on calcule or2 :

o . . . . . 1 kgZ-i---ro J ~.-,,~

Puis, on cherche le vecteur A~z :

(A-10) P. A,2 = [1, 1, 0 . . . . , 0 ] T.

Or, on a l e th6or5me :

------ ~

0

Thdorbme.

Le vecteur 0~12 d6fini par �9

[~ ~ 1 2 : A 1 2 - - 0t 2

est solution du syst6me :

(A-12) F . a ~ 2 = [ 1 - - < ~ z , F . > , 0 . . . . ,0] r,

oit : F . = [F~ . . . . , I ' . y ,

n- -1

< (12 ' F n > = ~ ~ j , 2 l ~ j + l �9 j = 0

D'of i a z , puis ~q2, puis A ~ : , et enfin Az :

A z = A I 2 - - A 1 �9

N.B. : ~ 2 , a~2 sont calcul6s par la r6cursion de Levinson, et : [0] (A-13) A12 = a12 + a2

II. D6monstrat ion de l 'algorithme d6fini par le th6o- r6me.

I1 reste ~t d6montrer la r6currence de k ~t k + I, et k § I 5. k + 2.

On a, pour le k-i6me vecteur �9

(A-14) F. Ak =

lao 7

li ~ ilia!/ I g . - - - t o /

On cherche ensuite c~k+2 �9

7 0 1,~ 0 i i i 0

(A-18)

O . . . . k + 2

F k + 2 0~k+ 2 = [ ]1 ]1

l r~-+2- - ro

On pose :

0 ~ k + 2 , k + 2

�9 0~k+ 2 =

Or :

[o] (A-19) Fk+2 atk+l

- - k + 1

j = O

1 1 0 0

k + l

1 - - Y ~j,~+1 Pj+ l j = O

= 0 1 i

0

On continue l ' a lgor i thme jusqu' / t l 'ob tent ion de ,4 k �9

Et l 'on a "

I~A lk

k - |

(A-20) Ak = A l k - ~ A j ; FAk = j = l

0 ,,

0 lk 0 I 0

A N N E X E 3

A D A P T A T I O N DE LA M I ~ T H O D E DE P I S A R E N K O A LA R I ~ J E C T I O N

E X A C T E DES H A R M O N I Q U E S D U M O D E L E DE DISPART

On adopte c o m m e mod61e de fonct ion spectrale, une somme d 'ha rmon iques et une densit6 spectrale de puissance constante cor respondant fi un bruit de fond blanc.

On calcule :

17~ (A-21) PN+l =

I r ( N ) . . . . . . r(0) _

off :

1 1 b - k

(A-22) P(k) - - 2g' k 5-2 x, x ,+~ . - - 1

2f 6tant le nombre d '6chanti l lons disponibles du signal complexe x(t). Soit Po la puissance du bruit de fond.

12/17 ANN. T~L~COMMUN.) 43, n ~ 1-2, 1988

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32 J. DE REFFYE. - SI~PARATION DDPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR

On a �9

(A-23) Iru+~--PoIN+~[ = 0 pour �9 N ) N o ,

No 6tant le nombre r6el de sinusoides.

Pour N = No �9

(A-24) Ir 0+l - - P o Is0+,] = 0 ; ] r u 0 - - P o / N o [ @ 0.

On sait que Po est la plus petite valeur propre de FN+~ �9 Son ordre de multiplicit6 est N § 1 - - N o .

Pour N = N o , un vecteur propre associ6 Po est o r thogonal aux diverses sinusoides composan t le signal d 'entr6e.

En effet, Fu+~ est hermitienne. Ses valeurs propres sont r6elles et ses vecteurs propres sont o r thogonaux 2 h 2. Or les vecteurs propres associ6s aux valeurs propres autres que P o , de multiplicit6 1 pour N = N o , sont des combinaisons lin6aires des diff6rentes frd- quences du signal incident. C o m m e tous ces vecteurs propres fo rment une base, c.q.f.d.

De plus, les coefficients du vecteur A = [ao . . . . , au] v solution de l '6quat ion :

[ lla l (A-25) P~ + 1 - - P o I~ + 1 = 0 avec : ao = 1,

[_ao

s'identifient, pour N ---- N o , aux coefficients du filtre de r~jection des fr6quences ~ , ..., ~So des composan ts du signal d 'entr6e, et solution du syst6me :

t 1 -[- at e -21~vl q- ... q- aso e - 21 =~~ = 0 , (A-26)

( 1 + a l e -21=~ No + ... + aNo e-21nlvov~r176 : 0 .

Par cons6quent, les coefficients (ak}~<k<No sont d6termin6s par des 6quations ayant la m~me structure que les 6quations de Yule-Walker . Par r appor t aux 6quations usuelles, le crit6re d 'a r r~t est s implement �9

(A-27) ~2 X e-

D ' a u t r e part , le vecteur solution apparaR ~ la t&e en bas >> dans le syst6me de base et non dans le sens usuel c o m m e dans les 6quations de Yule-Walker .

Ceci est dfi ~ ce que l ' on a une convolut ion dans le domaine 6nerg6tique.

A N N E X E 4

En effet, le probl6me est de rejeter les ha rmoniques d ' un signal bruit6 par un bruit addi t i f non blanc, mais dont on suppose qu' i l est ind6pendant du signal et que :

(A-29) r , ( k ) = 0, Ik[ > N , .

On calcule les corr61ations du signal re~u en dehors des corr61ations bruit6es "

(A-30) {Ps(k) ; k > N.},

et on s ' impose le nombre maximal de raies du mod61e N s . On admet donc, implici tement, que le signal d 'entr6e a, au plus, S sinusoides.

Les coefficients du filtre r6jecteur {a,}o<.~Ns (avec ao = 1) sont donn6s par la r6solution du syst~me "

I?s(NB + Ns + 1) - - Fs(NB + 1) I I I I (A-31) , , • I I

Ps(NB + 2 Ns q- 1) - - Fs(NB q- Ns = 1)

a~s

al 1

Rappels sur l'algorithme de Levinson.

On r6sout le syst6me pr6c6dent par : k = - - N et l ' on a l e s it6rations suivantes, de l 'o rdre N - 1

l 'o rdre n :

n - - 1

P(n) § Z aj,n-1 F(n-- j ) (A-32) a , , = - - j= 1 ~2_ i '

aj,n = a j , n - I ~ - ~nn a n - j , n - I ,

62 = ~,_,2 (1 - - [a . .12) .

L ' a lgor i thme dit <( Double-Levinson )) consiste en deux algori thmes de Levinson imbriqu6s. On r6sout s imultan6ment les syst6mes :

(A-33) Ps(n) [a . . . . . . . a , . , 1] a" = [0, ..., 0, crn] v,

F~(n) [d,,, . . . . . a l n , l ] T = [ 0 . . . . . 0 , ~ n ] T ,

A L G O R I T H M E D I T ~ D O U B L E - L E V I N S O N >>

Cet a lgor i thme a 6t6 mis au point pour r6soudre les syst6mes lin6aires du type �9

F(N+k)-- -P(k) I ! I I

(A-28) , I I

F(ZN+k)- -F(N+k) a i i

i

! !

ao 0

avec :

(A-34) Fs(n)

I?s (NB+ Ns + 1) . . . . . I 's(NB q- N s + l - - n ) I I I I

I I

Ps(NB + Ns + 1 § n) - - - Fs(NB + Ns + 1)

Et on a l e s formules de passage de l '6 tape n - 1 /l l '6tape n e n posant :

ANN. T~L~COMMUN., 43, n ~ 1-2, 1988 13]17

Page 14: Séparation Doppler adaptative par détection quadratique des cibles radar en confusion de distance *

J. DE REFFYE. - SI~PARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR 33

(A-35) N = NB + Ns + I

11--1

I ' ( N - - n ) + Z a~,._~ P ( N - - ( n - - i ) ) 1

a1111 - -

~n-- 1

aln : a11_l,11_ 1 ann "~- at,n_ 1 ,

I1--1

r ( U + n ) + Za,,11-1 (U+(n--i)) 1

ann : - - ~ n - i

( Y n - 1 = t ~ n - I

aln : an_ l , n_ 1 ann -~ al ,n_ 1 ,

cr n = crn_ 1 (1 - - an n anf'~.).

Le crit~re d 'arrat est : i~1112 .~ ~.

ANNEXE 5

R A P P E L S SUR LE F I L T R A G E Q U A D R A T I Q U E ET A P P L I C A T I O N S

On ddcide de distinguer deux signaux par leur covariance. On construit pour cela le test de l 'hypo- th6se Ho(F :-- Fo) contre l ' hypoth&e H I ( F ---- F 0 .

Sous des r6serves et des conditions sur lesquelles nous ne nous dtendrons pas, on montre (Grenander , Rosenblatt , Davenport , Root , Kadota) que le test optimal est donnd par :

(A-36) A = t) x ( t ) ds dt X k, o

A > k : on ddcide HI ; A < k : on ddcide H o , avec : h (s, t) solution de l 'dquation intdgrale :

(A-37) Po(S, u) h(u, v) Pl(v, t) du dv 0 0

= FI(s, t) - - Fo (s, t),

x(t) &ant le signal requ.

Pour notre probl6me Fo(s, t) reprdsente la cova- fiance du bruit filtrd par le filtre r6jecteur, et le rdsidu de signal fort qui subsiste encore.

Fl(s, t) reprdsente la covariance Fo(s, t) 5. laquelle s 'a joute la covariance du signal faible filtrd par le filtre rdjecteur.

(A-38) Ho : r (s , t) = to(S, t),

H1 : F(s, t) : Fo(S, t) q- [Amo[2 e-21=Vmo ( t - s ) .

D'ofa le syst6me d'dquations, qui fourni t la rdponse percussionnelle du filtre :

(A-39) M- I M- 1 p, m ---- O, ..., M - - 1, Z S'. F o ( r n - - n l ) h11(nx n2) •

1 1 1 = 0 n 2 = 0

tro(n~ - p ) + ... + IA.ol 2 o-2,~.,~-11~,~] = [Amol 2 e-~'~.("-m)~.

Et pour chaque rafale, on a :

(A-40) ~. ---- ~o + ( n - 1) A~.

D'o/~ le filtrage complet sur N rafales :

N

(A-41) A = E [z11,1 . . . . . z11,,1 • 1 1 = 1

h11(0, 0) . . . . . . . . h11(0, M - - 1) z11,t I I I I I I I I

h 1 1 ( M - 1, O) . . . . h11(0, O)

et la r6gle de ddcision :

(A-42) A > k : on ddcide F1 ; A < k : on ddcide Fo �9

Matriciellement, les dquations prdcddentes s'dcri- vent :

(A-43)

Fo(O) . . . . . . . . Uo(-- ( M - 1)) I E I I I I I I

to(M-- I) .... Fo(0)

h, •

l~s(0) ........ Vs(--(M- I)) I I

I I

I I

I I

rs(M-- 1) . . . . Us(O )

Vn r~o(O) . . . . . . . . r~o(- ( M - 1)) I I a I I I I I

r~o(M -- 11 ..... r~o(O)

avec :

(A-44) Ds(k) = Fo(k) q- F~o(k),

ofa :

(A-45) F~o(k) = IA.ol 2 e-e,=~T~..

En utilisant l'opdrateur de convolution., il vient :

(A-46) Po * h/1 * Fs---- F~, o �9

On peut distinguer deux cas extremes.

1 "e hypothbse : le signal h ddtecter est fort devant le rdsidu de brouillage. Le t rai tement optimal devient :

N

(A-47) A = E z, a" Fff 1 z-~->< k. 1 1 = 1

2 ~ hypothbse : le signal 5. ddtecter reste faible devant le rdsidu de brouillage. On a le t rai tement optimal suivant :

N

(A-48) A = E zJ [r~ 1 . rk 0 . r o q ~ X e. 1 1 = 1

Cas particulier.

Le brouillage est constitud simplement d 'un bruit blanc.

Alors le filtre rdjecteur admet comme coefficient

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34 J. DE REFFYE. - SI~PARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR

(1, 0 . . . . . 0) et Po est simplement la matrice d'auto- corr61ation d'un bruit blanc.

(A-49) Fo(k) = No ~ (k).

Les 6quations pr6c6dentes deviennent, respective- ment pour chacune des deux hypoth6ses �9

I (A-50) A = ~ o o X Zn TT.<>k,

n = l

1 N A = N----~ n=~l z T U r n m0 ~ n ~ k,

avec, pour la rafale n :

1 . . . . . . . . . . e + 217~(M- 1)'~n I i

(A-51) F~"m0 = .' ,' I Amolz I I

e - 217z(M-- 1 )vn_ _ _ 1

La premiere 6quation est tr6s exactement la post- int6gration usuelle. Quant /t l 'autre 6quation, elle peut s'6crire :

1 (A-52) A = ~ o X

I 1 I 2" N N

X Z [ z . , , . . . . . i n = l n = l i

e - 2 1 ~ ( M - - 1)qn

On analyse la fr6quence Doppler sur M fr6quences :

On analyse la variation de fr6quence Doppler sur p valeurs :

.... ;m2 /" Et l 'on obtient :

1 N

(A-53) A(m, p) -- N2 ,Z--1 Z n , 1 ~ . . . , Z n , M ]

_exp t 2

On commence par calculer la matrice Fzz en calcu- !ant les diverses corrflations la composant. Puis on effectue une DFT ~1. 2 dimensions restreintes ~t la premi6re diagonale.

ANNEXE 6

RELATION ENTRE FILTRE BLANCHISSANT ET FILTRE ADAPTI~

17 B d6signe la matrice d'autocorr61ation du bruit 5. l'entr6e.

1) Filtre blanchissant.

I1 est solution du syst6me :

(A-56) ['B[1, al . . . . . a/.] r = [1, 0 . . . . . 0] r.

2) Filtre adaptd ?t un signal s.

I1 est solution du syst6me :

(A-57) rB[1, ~1 . . . . . e l l x = [So . . . . . ~ l T-

Posons �9

(A-58)

( M - 1) [ / (m 1)

FR i

A(m, p) peut s'6crire 6galement sous la forme suivante �9

(A-54) A(m, p) =

avec : (A-55)

[ 1, ..., exp - - 2 i n FR

S O . . . . . . S L

i i i i S = i i I I

SL . . . . . . . So

p=(p, M) =

1 i i l ! i

AF +

] max _ 2.

Fzz

exp [ 2 i n

1 ! i i ! i

( M - - 1 l ( m - - l l A F ]

FR

] Z n , l l 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Znl Z,.M exp 2irc n = l n = l ~ ~/rna x

I I I I i I I i

~z .1 z..M exp 2in ( M - 1 ) ( n - 1 ) ( p - 1 ) S ~ . . . . . . . . . . . . . fl[z.,M[ n = l ~ Vmax =

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J. DE REFFYE. - SI~PARATION D O P P L E R ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR 35

O n a la re lat ion :

(A-59) SP~[1 , at . . . . . aL] ~ = [ ~ . . . . , ~ ] ~

d ' o ~ :

(A-60)

= FB[I, ~i , - . . , 0~L] T,

[1, a~ , . . . , aLl T = I~B i s - l imB[1 , ~1 , ..., ~L] T,

[1, ~ . . . . . ~L] T = F ~ S Fa[1 , a l . . . . . aL] T.

Z = e 217~Atv

= [1 . . . . , z L] f lai l < t I

I

' "" 15 a L - - - - - - ~--" L[2

[1 . . . . , Z L] I ' f f ~ [1 . . . . , z - L ] T,

D e plus, on a la re lat ion su ivante :

I L 2 1

( A - 6 1 ) ~=oai z ~ =

= 1[1, . . . , z L] [1, a l , . . . , aL]TI 2,

e t "

(A-62) I ~ x = [1 . . . . . a z ] x [1 . . . . , aL].

1 I I !

I ! z - L

Enfin, par c h a n g e m e n t de variable , on obt ient :

N N N N

Z a ,z ' 2 ~ z - j = Z Y~ a, ai+k z-~

j = O

N N - k N

= 2 2 a la l+ kz - k + 2 2 a l a , + k z - % k~>O i = j - k k<O i = j - k

- l ~ > k > ~ - N i>~--k J > i

N N

~ a i a l _ k, Z k ' . k ; = - k l=k '

(A-63) = [1,. . , # ..., z -u ]

(A-64)

1 al a~

) \ 0 0 "1

1

a l + [z ~ . . . . . 1] i f

0<- - - 0

1"~ . ~ ~. I

aN_ ~ _2- a~ " -1 " 0

= [z N . . . . . z, 1, 1, z - 1 . . . . . z-r , ]

"-.... - - 0

a N _ t - - ' - a t "1 0 0

a t aN i

x . . a l

0 " 1

a N

a N - I I I I I

a l

1

1

i' I

a N - I

aN P I I

I I

1

= [ z N . . . . , 1 . . . . , z - N ]

1, , . 0~. 0 " t I ,, "-,.., [

l "~',x~ " ~. ~.~ {

aN-i - - - a l \ 1 0

. . . . . - - - 0 1 a i - =- aN x x % % [

% " % % "x [

% \ "a I \ % % x

\ k x

"0 %1

a N

,aN- i I I I I

al

I

ai I I l I

aN- i

(I N

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36 J. DE REFFYE. - SI~PARATION DOPPLER ADAPTATIVE DES CIBLES RADAR

Cette convolution est 6videmment ferm6e tt toute int6gration coh6rente. Le traitement complet est donn6 par :

L (A-65) Zo . . . . . z , - + x k = ~ a~zk_l ; x = L . . . . ,N ,

1=0

Ii XL aL ao 0----4) N

" ' 0 " " - - - " a L "ao

i O

Z/v

Et le filtre adapt6 est donn6 par :

N L (A-67) < z , Fff l g > = Z xk Z a l s k - l ,

k = L 1=O

Fffl est de la forme :

(A-68) H( . ) . l q ( - - . ),

o/a H(.) est la r6ponse percussionnelle du filtre blan- chissant. Ce r6sultat a d6jh 6t6 trouv6 par l'6tude des fonctionnelles lin6aires et continues en th6orie du signa! [5].

Conform6ment ~t ce qui pr6c6de :

(A-66)

F - I =

aL,, o r - - o

\ -0 N \ x.

0"x " ' ' " .~L

0 - - - - " 0 \ ~

a L - - --ao 0 - - - 0 X I \ \

x \

0 \ \ X \ Ix \ \ "0 I \ \ x, \

\ X

I \ \ \ I \ \ \ 0 - - 2 0 " ' a t . - - - 0

REMERCIEMENTS.

L'auteur remercie beaucoup M me Marie-Christine Souty et M. Thierry Girou qui ont assurO la simulation des algorithmes et M. Claude Chanot pour son aide dans la formalisation du problkme physique et les rapporteurs, pour leur excellent travail critique.

Manuscrit refu le 13 mai 1987,

acceptd le 9 octobre 1987.

BIBLIOGRAPHIE

[1] DARRICAU (J.). Physique et th6orie du radar. Edition Sodipe (1981), 2 tomes, pp. 583-650.

[2] CARPENTIER (M. H.). Le radar : bases nouvelles. Masson (1981), 4 ~ edition, 310 p.

[3] KAY (S. M.), MARrLE (S.). Spectrum analysis : a modern perspective. Proc. IEEE (nov. 1981), 69, n ~ 11, pp. 1380-1419.

[4] KADOTA (T. T.). Generalized optimum receivers for Gaussian signals. Bell Syst. techn. J. (mars 1967), 46, n ~ 3, pp. 577- 593.

[5] REFFYE (J. de). Applications des distributions et des disti'i- butions al6atoires h la th6orie du signal. Revue du Cethedec (3 e trim. 1981), 18, n ~ 68, pp. 79-98.

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