Séquence : Calcul littéral (1)

Objectifs du Socle commun :

D1.3.3 : Comprendre et utiliser la lettre en mathématiques

D4.4 : Démontrer

D4.5 : Calculer

Attendus de fin de cycle :

• Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes.

• Utiliser le calcul littéral.

Une expression littérale est une suite d’opérations dans laquelle certains nombres sont

remplacés par des lettres. Chaque lettre représente un même nombre, dont les valeurs

peuvent changer. Ces lettres sont appelées des variables.

ex : A = 2 x + 4y - 5 est une expression littérale

I) La distributivité

a) Le développement simple

Développer, c’est transformer un produit en somme (ou différence).

Pour tous nombres relatifs k, a et b :

k x (a + b) = k x a + k x b

k x (a- b) = k x a - k x b

Exemples : Développer et réduire

4(x + 5) = 4 x x + 4 x 5 = 4x + 20

-3(y + 8) = = -3y - 24

2x(x - 6) = 2x x x – 2x x 6 = 2x² - 12x

-5(a - 7) = -5a + 35

Propriété : L’opposé d’une somme algébrique est égal à la somme des opposés de

chacun des termes.

Exemple 1 : L’opposé de a + b - 2ab est

- (a + b + 2ab) = - 1 x (a + b + 2ab) = -a -b - 2ab

Cette propriété sert à enlever les parenthèses précédées d’un signe « - ».

Exemple 2 : 3a - (2b - 5ab + b²) = 3a - 2b + 5ab - b²

b) La double distributivité

On applique 2 fois la distributivité.

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemples : Développer et réduire :

(x + 3)( x + 2) = x x x + x x 2 + 3 x x + 3 x 2

= x² + 2x + 3x + 6

= x² + 5x + 6

(3a – 4)(5a + 7) = 3a x 5a + 3a x 7 - 4 x 5a - 4 x 7

= 15a² + 21a – 20a – 28

= 15a² + a - 28

c) Factorisation

Factoriser, c’est transformer une somme (ou une différence) en produit.

Pour tous nombres relatifs k, a et b :

k x a + k x b = k x (a + b)

k x a - k x b = k x (a- b)

Exemples : Factoriser les expressions suivantes.

3a + 3 x 2 =

6y + 6 x 9 - 3 x 6 =

Cas où le facteur commun est un nombre.

14a - 7b = 7 x 2a - 7 xb On fait apparaître le facteur commun 7.

= 7 x (2a - b) On met le facteur 7 devant les parenthèses puis on

= 7(2a - b) regroupe les facteurs restants.

25x + 15 =

= 5 (5x + 3)

Cas où le facteur est une lettre.

2x + 5x = x(2 + 5) = 7x

a² + 6a = a x a + 6 x a On fait apparaître le facteur commun a.

= a x (a + 6) On met le facteur a devant les parenthèses puis on

regroupe les facteurs restants.

= a(a + 6)

3x² + x =

= x(3x + 1)

II) Le calcul littéral pour démontrer

Une lettre représente un nombre. Quand on veut démontrer qu’un résultat est vrai en

général, pour n’importe quel nombre, on utilise une lettre.

Exemple avec un programme de calcul.

Quand on effectue le programme ci-contre, on s’aperçoit que

le résultat obtenu est le double du nombre de départ.

Pour prouver ceci, des exemples ne suffisent pas !

Il faut faire le programme avec une lettre, qui représente

n’importe quel nombre.

• x

• x +3

• 2(x + 3) = 2x + 6

• 2x + 6 - 6 = 2 x

Pour un nombre x, on obtient 2x. Cela prouve que le résultat est le double du nombre de

départ.

Pour d’autres situations, on peut avoir besoin d’équations ou d’inéquations. Ces notions

seront abordées dans des séquences ultérieures.

• choisir un nombre

• Ajouter 3

• Prendre le double de la somme

obtenue.

• Soustraire 6 au résultat.