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Institut Sup´ erieur d’Electronique A.U. : 2013-2014 et de Communication de Sfax Section: 1 GEC *** Date: Octobre 2013 Feuille d’excercices n 2 Probabilit´ es et statistique Exercice 1. Le nombre de magn´ etoscopes vendus en une semaine dans un magasin est une variable al´ eatoire X dont la loi est donn´ ee dans le tableau suivant: x 0 1 2 3 P (X = x) 0.2 0.4 0.1 1. Calculer P [X = 2] puis E(X ) et var(X ). 2. D´ eterminer la loi de probabilit´ e de la v.a Y repr´ esentant le nombre de magn´ etoscopes vendus en deux semaines cons´ ecutives puis calculer E(Y ) et var(Y ). Exercice 2. Dans une usine, on fabrique des pi` eces. A chaque pi` ece i on associe une v.a X i telle que X i =1 si la pi` ece est d´ efectueuse, X i = 0 si non. On d´ esigne par p la proportion des pi` eces d´ efectueuses. On choisit un ´ echantillon de n pi` eces. 1. Quelle est la loi de X i ? Donner son esp´ erance et sa variance. 2. Interpr´ eter S n = n X i=1 X i puis identifier sa loi de probabilit´ e. D´ eterminer le nombre moyen des pi` eces d´ efectueuses. 3. On pose n = 10 et p =0.2, (a) Calculer la probabilit´ e d’avoir aucune pi` ece d´ efectueuse dans cet ´ echantillon. (b) Calculer la probabilit´ e d’avoir au moins 2 pi` eces d´ efectueuses dans cet ´ echantillon. Exercice 3. Une machine a une dur´ ee de vie X (en ann´ ees) qui suit une loi de poisson de param` etre λ> 0. 1. Sachant que la dur´ ee de vie moyenne est de 2 ans, quelle est la probabilit´ e pour que la dur´ ee de vie d’une machine d´ epasse strictement 2 ans. 2. On suppose que la loi de X peut ˆ etre approch´ ee par une loi Normale dont on pr´ ecisera les param` etres. D´ eterminer P (X> 2). Conclure. Exercice 4. Soit la fonction d´ efinie par p(X = x)= 1 n si x ∈{1, 2, 3, ..., n}; 0 sinon. 1

Serie 2 2013 2014 isecs prob gec

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Institut Superieur d’Electronique A.U. : 2013-2014et de Communication de Sfax Section: 1 GEC

*** Date: Octobre 2013

Feuille d’excercices n◦2Probabilites et statistique

Exercice 1.

Le nombre de magnetoscopes vendus en une semaine dans un magasin est une variable aleatoireX dont la loi est donnee dans le tableau suivant:

x 0 1 2 3

P (X = x) 0.2 0.4 0.1

1. Calculer P [X = 2] puis E(X) et var(X).

2. Determiner la loi de probabilite de la v.a Y representant le nombre de magnetoscopesvendus en deux semaines consecutives puis calculer E(Y ) et var(Y ).

Exercice 2.

Dans une usine, on fabrique des pieces. A chaque piece i on associe une v.a Xi telle que Xi = 1si la piece est defectueuse, Xi = 0 si non. On designe par p la proportion des pieces defectueuses.On choisit un echantillon de n pieces.

1. Quelle est la loi de Xi? Donner son esperance et sa variance.

2. Interpreter Sn =

n∑i=1

Xi puis identifier sa loi de probabilite. Determiner le nombre moyen

des pieces defectueuses.

3. On pose n = 10 et p = 0.2,

(a) Calculer la probabilite d’avoir aucune piece defectueuse dans cet echantillon.

(b) Calculer la probabilite d’avoir au moins 2 pieces defectueuses dans cet echantillon.

Exercice 3.

Une machine a une duree de vie X (en annees) qui suit une loi de poisson de parametre λ > 0.

1. Sachant que la duree de vie moyenne est de 2 ans, quelle est la probabilite pour que laduree de vie d’une machine depasse strictement 2 ans.

2. On suppose que la loi de X peut etre approchee par une loi Normale dont on precisera lesparametres. Determiner P (X > 2). Conclure.

Exercice 4.

Soit la fonction definie par p(X = x) =

{1n si x ∈ {1, 2, 3, ..., n};0 sinon.

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1. Montrer que P (X = x) est une loi de probabilite d’une variable aleatoire X.

2. Determiner l’esperance mathematique et la variance de X.

Exercice 5.

Soit la fonction fX definie par: fX(x) =

{x si 0 ≤ x ≤ 1 ;2− x si 1 < x ≤ 2 .

1. Montrer que fX est une densite de probabilite d’une variable aleatoire X.

2. Determiner sa fonction de repartition.

3. Calculer la probabilite que X ≥ 1.5 et calculer la probabilite que 0.5 ≤ X ≤ 1.5.

4. Calculer la probabilite que X ≥ 1.5, sachant que X > 1.

Exercice 6.

On suppose que le temps de service d’un individu a un guichet de banque (en minutes) est unevariable aleatoire T dont la densite est

f(t) = kt(10− t)1]0,10[(t)

1. Determiner k, puis calculer l’esperance E(T ) de T .

2. Quelle est la probabilite pour que le temps de service d’un individu depasse 5 minutes?

3. Determiner la fonction de repartition FT de T .

4. Determiner le temps de service le plus probable.

Exercice 7.

Dans tout l’exercice, X designe une variable aleatoire a valeurs dans ]0, 1[ et de loi uniforme sur

]0, 1[. On pose Z =1−XX

.

1. Calculer explicitement la fonction de repartition de la variable aleatoire positive Z

2. Determiner la loi de Z.

3. Pour quelles valeurs du reel a, la variable aleatoire Za est-elle integrable ?

4. On brise une tige de longueur 1 en choisissant au hasard le point de rupture suivant une loiuniforme sur ]0, 1[. On notera X la longueur du morceau gauche. Quelle est la probabiliteque l’un des deux morceaux soit plus de deux fois plus long que l’autre ?

Exercice 8.

Une entreprise achete un camion dont le prix d’aquisition est egal a 100 millions de millimes.La duree de vie du camion est une variable aleatoire X (exprimee en dizaine d’annees) suivantla loi exponentielle de parametre λ = 1.

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1. Donner la fonction de rpartition de X.

2. En deduire t0 tel que P [X ≤ t0] = 1.

3. Calculer P [X < 1], P [X = 1] et P [X ≥ 2].

4. Donner E(X) et V ar(X).

Exercice 9.

Soit Y une variable aleatoire representant la duree de vie d’un composant electronique, exprimeeen heures. Sa fonction densite est donnee par

f(y) =

{ c

y3si y > 9

0 si y ≤ 9

1. Y est-elle une variable aleatoire discrete ou continue? Justifier.

2. Calculer la valeur de la constante c.

3. Determiner la fonction de repartition FY de Y.

4. Quelle est la duree moyenne de fonctionnement du composant.

5. La variable Y admet-elle une variance? si oui la determiner.

6. Quelle est la probabilite que le composant fonctionne durant au moins 20 heures.

Exercice 10.

D’apres une etude recente, la taille des hommes est distribuee selon une loi Normale de moyennem = 1, 58 et d’ecart-type σ = 0, 06. Pour produire un stock de vetements, un fabricant souhaiteutiliser cette loi.

1. Il commence par determiner un intervalle de la forme [m − a,m + a] (donc symetriqueautour de la moyenne) contenant en moyenne 96, 6% (environ) des tailles des hommes.calculer a.

2. Il en deduit trois tailles, S, M et L, correspondant respectivement aux intervalles:[m− a,m− a

3 ], [m− a3 ;m+ a

3 ] et [m+ a3 ,m+ a]. Calculer le pourcentage de la production

qui doit etre affecte a chaque taille.

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