1. 1. Institut Sup´rieur d’Electronique e et de Communication de Sfax ***A.U. : 2013-2014 Section: 1 GEC Date: Octobre 2013Feuille d’excercices n◦ 2 Probabilit´s et statistique e Exercice 1. Le nombre de magn´toscopes vendus en une semaine dans un magasin est une variable al´atoire e e X dont la loi est donn´e dans le tableau suivant: e x P (X = x)0 0.21 0.423 0.11. Calculer P [X = 2] puis E(X) et var(X). 2. D´terminer la loi de probabilit´ de la v.a Y repr´sentant le nombre de magn´toscopes e e e e vendus en deux semaines cons´cutives puis calculer E(Y ) et var(Y ). e Exercice 2. Dans une usine, on fabrique des pi`ces. A chaque pi`ce i on associe une v.a Xi telle que Xi = 1 e e si la pi`ce est d´fectueuse, Xi = 0 si non. On d´signe par p la proportion des pi`ces d´fectueuses. e e e e e On choisit un ´chantillon de n pi`ces. e e 1. Quelle est la loi de Xi ? Donner son esp´rance et sa variance. e n2. Interpr´ter Sn = eXi puis identifier sa loi de probabilit´. D´terminer le nombre moyen e e i=1des pi`ces d´fectueuses. e e 3. On pose n = 10 et p = 0.2, (a) Calculer la probabilit´ d’avoir aucune pi`ce d´fectueuse dans cet ´chantillon. e e e e (b) Calculer la probabilit´ d’avoir au moins 2 pi`ces d´fectueuses dans cet ´chantillon. e e e e Exercice 3. Une machine a une dur´e de vie X (en ann´es) qui suit une loi de poisson de param`tre λ > 0. e e e 1. Sachant que la dur´e de vie moyenne est de 2 ans, quelle est la probabilit´ pour que la e e dur´e de vie d’une machine d´passe strictement 2 ans. e e 2. On suppose que la loi de X peut ˆtre approch´e par une loi Normale dont on pr´cisera les e e e param`tres. D´terminer P (X > 2). Conclure. e e Exercice 4. Soit la fonction d´finie par p(X = x) = e1 nsi x ∈ {1, 2, 3, ..., n}; 0 sinon.1
  2. 2. 1. Montrer que P (X = x) est une loi de probabilit´ d’une variable al´atoire X. e e 2. D´terminer l’esp´rance math´matique et la variance de X. e e e Exercice 5. Soit la fonction fX d´finie par: fX (x) = ex si 0 ≤ x ≤ 1 ; 2 − x si 1 < x ≤ 2 .1. Montrer que fX est une densit´ de probabilit´ d’une variable al´atoire X. e e e 2. D´terminer sa fonction de r´partition. e e 3. Calculer la probabilit´ que X ≥ 1.5 et calculer la probabilit´ que 0.5 ≤ X ≤ 1.5. e e 4. Calculer la probabilit´ que X ≥ 1.5, sachant que X > 1. e Exercice 6. On suppose que le temps de service d’un individu ` un guichet de banque (en minutes) est une a variable al´atoire T dont la densit´ est e e f (t) = kt(10 − t)1]0,10[ (t) 1. D´terminer k, puis calculer l’esp´rance E(T ) de T . e e 2. Quelle est la probabilit´ pour que le temps de service d’un individu d´passe 5 minutes? e e 3. D´terminer la fonction de r´partition FT de T . e e 4. D´terminer le temps de service le plus probable. e Exercice 7. Dans tout l’exercice, X d´signe une variable al´atoire ` valeurs dans ]0, 1[ et de loi uniforme sur e e a 1−X ]0, 1[. On pose Z = . X 1. Calculer explicitement la fonction de r´partition de la variable al´atoire positive Z e e 2. D´terminer la loi de Z. e 3. Pour quelles valeurs du r´el a, la variable al´atoire Z a est-elle int´grable ? e e e 4. On brise une tige de longueur 1 en choisissant au hasard le point de rupture suivant une loi uniforme sur ]0, 1[. On notera X la longueur du morceau gauche. Quelle est la probabilit´ e que l’un des deux morceaux soit plus de deux fois plus long que l’autre ? Exercice 8. Une entreprise ach´te un camion dont le prix d’aquisition est ´gal ` 100 millions de millimes. e e a La dur´e de vie du camion est une variable al´atoire X (exprim´e en dizaine d’ann´es) suivant e e e e la loi exponentielle de param`tre λ = 1. e 2
  3. 3. 1. Donner la fonction de rpartition de X. 2. En d´duire t0 tel que P [X ≤ t0 ] = 1. e 3. Calculer P [X < 1], P [X = 1] et P [X ≥ 2]. 4. Donner E(X) et V ar(X). Exercice 9. Soit Y une variable al´atoire repr´sentant la dur´e de vie d’un composant ´l´ctronique, exprim´e e e e ee e en heures. Sa fonction densit´ est donn´e par e e f (y) =c y3 0si y > 9 si y ≤ 91. Y est-elle une variable al´atoire discr`te ou continue? Justifier. e e 2. Calculer la valeur de la constante c. 3. D´terminer la fonction de r´partition FY de Y. e e 4. Quelle est la dur´e moyenne de fonctionnement du composant. e 5. La variable Y admet-elle une variance? si oui la d´terminer. e 6. Quelle est la probabilit´ que le composant fonctionne durant au moins 20 heures. e Exercice 10. D’apr`s une ´tude r´cente, la taille des hommes est distribu´e selon une loi Normale de moyenne e e e e m = 1, 58 et d’´cart-type σ = 0, 06. Pour produire un stock de vˆtements, un fabricant souhaite e e utiliser cette loi. 1. Il commence par d´terminer un intervalle de la forme [m − a, m + a] (donc sym´trique e e autour de la moyenne) contenant en moyenne 96, 6% (environ) des tailles des hommes. calculer a. 2. Il en d´duit trois tailles, S, M et L, correspondant respectivement aux intervalles: e [m − a, m − a ], [m − a ; m + a ] et [m + a , m + a]. Calculer le pourcentage de la production 3 3 3 3 qui doit ˆtre affect´ ` chaque taille. e ea3
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Serie 2 2013 2014 isecs prob gec

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  1. 1. Institut Sup´rieur d’Electronique e et de Communication de Sfax ***A.U. : 2013-2014 Section: 1 GEC Date: Octobre 2013Feuille d’excercices n◦ 2 Probabilit´s et statistique e Exercice 1. Le nombre de magn´toscopes vendus en une semaine dans un magasin est une variable al´atoire e e X dont la loi est donn´e dans le tableau suivant: e x P (X = x)0 0.21 0.423 0.11. Calculer P [X = 2] puis E(X) et var(X). 2. D´terminer la loi de probabilit´ de la v.a Y repr´sentant le nombre de magn´toscopes e e e e vendus en deux semaines cons´cutives puis calculer E(Y ) et var(Y ). e Exercice 2. Dans une usine, on fabrique des pi`ces. A chaque pi`ce i on associe une v.a Xi telle que Xi = 1 e e si la pi`ce est d´fectueuse, Xi = 0 si non. On d´signe par p la proportion des pi`ces d´fectueuses. e e e e e On choisit un ´chantillon de n pi`ces. e e 1. Quelle est la loi de Xi ? Donner son esp´rance et sa variance. e n2. Interpr´ter Sn = eXi puis identifier sa loi de probabilit´. D´terminer le nombre moyen e e i=1des pi`ces d´fectueuses. e e 3. On pose n = 10 et p = 0.2, (a) Calculer la probabilit´ d’avoir aucune pi`ce d´fectueuse dans cet ´chantillon. e e e e (b) Calculer la probabilit´ d’avoir au moins 2 pi`ces d´fectueuses dans cet ´chantillon. e e e e Exercice 3. Une machine a une dur´e de vie X (en ann´es) qui suit une loi de poisson de param`tre λ > 0. e e e 1. Sachant que la dur´e de vie moyenne est de 2 ans, quelle est la probabilit´ pour que la e e dur´e de vie d’une machine d´passe strictement 2 ans. e e 2. On suppose que la loi de X peut ˆtre approch´e par une loi Normale dont on pr´cisera les e e e param`tres. D´terminer P (X > 2). Conclure. e e Exercice 4. Soit la fonction d´finie par p(X = x) = e1 nsi x ∈ {1, 2, 3, ..., n}; 0 sinon.1
  2. 2. 1. Montrer que P (X = x) est une loi de probabilit´ d’une variable al´atoire X. e e 2. D´terminer l’esp´rance math´matique et la variance de X. e e e Exercice 5. Soit la fonction fX d´finie par: fX (x) = ex si 0 ≤ x ≤ 1 ; 2 − x si 1 < x ≤ 2 .1. Montrer que fX est une densit´ de probabilit´ d’une variable al´atoire X. e e e 2. D´terminer sa fonction de r´partition. e e 3. Calculer la probabilit´ que X ≥ 1.5 et calculer la probabilit´ que 0.5 ≤ X ≤ 1.5. e e 4. Calculer la probabilit´ que X ≥ 1.5, sachant que X > 1. e Exercice 6. On suppose que le temps de service d’un individu ` un guichet de banque (en minutes) est une a variable al´atoire T dont la densit´ est e e f (t) = kt(10 − t)1]0,10[ (t) 1. D´terminer k, puis calculer l’esp´rance E(T ) de T . e e 2. Quelle est la probabilit´ pour que le temps de service d’un individu d´passe 5 minutes? e e 3. D´terminer la fonction de r´partition FT de T . e e 4. D´terminer le temps de service le plus probable. e Exercice 7. Dans tout l’exercice, X d´signe une variable al´atoire ` valeurs dans ]0, 1[ et de loi uniforme sur e e a 1−X ]0, 1[. On pose Z = . X 1. Calculer explicitement la fonction de r´partition de la variable al´atoire positive Z e e 2. D´terminer la loi de Z. e 3. Pour quelles valeurs du r´el a, la variable al´atoire Z a est-elle int´grable ? e e e 4. On brise une tige de longueur 1 en choisissant au hasard le point de rupture suivant une loi uniforme sur ]0, 1[. On notera X la longueur du morceau gauche. Quelle est la probabilit´ e que l’un des deux morceaux soit plus de deux fois plus long que l’autre ? Exercice 8. Une entreprise ach´te un camion dont le prix d’aquisition est ´gal ` 100 millions de millimes. e e a La dur´e de vie du camion est une variable al´atoire X (exprim´e en dizaine d’ann´es) suivant e e e e la loi exponentielle de param`tre λ = 1. e 2
  3. 3. 1. Donner la fonction de rpartition de X. 2. En d´duire t0 tel que P [X ≤ t0 ] = 1. e 3. Calculer P [X < 1], P [X = 1] et P [X ≥ 2]. 4. Donner E(X) et V ar(X). Exercice 9. Soit Y une variable al´atoire repr´sentant la dur´e de vie d’un composant ´l´ctronique, exprim´e e e e ee e en heures. Sa fonction densit´ est donn´e par e e f (y) =c y3 0si y > 9 si y ≤ 91. Y est-elle une variable al´atoire discr`te ou continue? Justifier. e e 2. Calculer la valeur de la constante c. 3. D´terminer la fonction de r´partition FY de Y. e e 4. Quelle est la dur´e moyenne de fonctionnement du composant. e 5. La variable Y admet-elle une variance? si oui la d´terminer. e 6. Quelle est la probabilit´ que le composant fonctionne durant au moins 20 heures. e Exercice 10. D’apr`s une ´tude r´cente, la taille des hommes est distribu´e selon une loi Normale de moyenne e e e e m = 1, 58 et d’´cart-type σ = 0, 06. Pour produire un stock de vˆtements, un fabricant souhaite e e utiliser cette loi. 1. Il commence par d´terminer un intervalle de la forme [m − a, m + a] (donc sym´trique e e autour de la moyenne) contenant en moyenne 96, 6% (environ) des tailles des hommes. calculer a. 2. Il en d´duit trois tailles, S, M et L, correspondant respectivement aux intervalles: e [m − a, m − a ], [m − a ; m + a ] et [m + a , m + a]. Calculer le pourcentage de la production 3 3 3 3 qui doit ˆtre affect´ ` chaque taille. e ea3
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