C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Sikie II b, p. 333-341, 1999 Mikanique des fluides numeri ue/Com utational fluid mechanics (InstabihtC et turbulence//nsta rhty an I*- % turbulence)

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Direct-numerical simulations (DNS) of turbulence are not practical for real flows of engineering or geophysical interest. Large-eddy simulations (LES) get rid of subgrid-scales by a proper low-pass filtering. The subgrid-scale tensor is generally modelled in terms of an eddy-viscosity, whose major

Note prCsent6e par Red MOREAU.

1287.4620/99/032700333 0 AcadCmie des sciences/Elsevier, Paris 333

drawback is the assumption of a scale separation which is never observed in turbulence. This is why the concept of spectral eddy viscosity [7] is interesting: the energy transfers through the cut-off k, are evaluated with the aid of the EDQNM theory [8], and normalized with vs where E( kc) is the kinetic-energy spectrum at the cut-off [9]. The resulting eddy-viscosity has a plateau-peak behaviour (figure 1). We have improved the model assuming that E(k) does not necessarily follow Kolmogorov’s law at the cut-off. This spectral-dynamic model yields excellent results for the channel (see below).

We have applied the filtered-structure model to a spatial mixing layer. With a quasi two-dimensional weak random forcing upstream, quasi 2D Kelvin-Helmholtz vortices form stretching between them intense longitudinal vortices (figure 2). If the forcing is 3D isotropic (figure 3), vortices undergo helical pairing, as was obtained in the periodic mixing-layer simulations of Comte et al. [lo].

LES can be very useful to predict accurate statistics. This is the case in particular for the plane channel flow at hf = 390, for which our results compare very well with the DNS of Kim [ 121, as can be seen inJigure 5. Here, the LES is 100 times faster than the DNS.

We have also simulated the spatial development of turbulence in a boundary layer above a flat plate at Mach 0.3. The upstream state is generated with the aid of a Tollmien-Schlichting wave field perturbed by a 3D white noise. Figure 6 shows the downstream evolution of the friction coefficient at the wall, compared with theoretical predictions. One recovers in these calculations the classical high- and low-speed streaks, corresponding respectively to descenfing and ascending flow. We have found secondary hairpin vortices ejected above the low-speed streaks, but examination of animated low- pressure fields does not display coherent longitudinal vortices close to the wall.

Following this, we looked at the influence of a solid-body rotation upon shear flows and work in the rotating frame. One considers a basic (or mean) parallel velocity profile U(y). The local Rossby number is defined by equation (2). DNS and LES show, in anticyclonic regions such that -2o- - 10 < R,( y, 0 ) < - 1, the appearance of a universal linear mean velocity profile of local Rossby equal to - 1 (see Jigure 7 for the mixing layer, and Jigure 8 for the channel). Up to now, no industrial turbulence model has been able to reproduce this result.

We have studied LES of compressible turbulence, within the framework of Favre averaging [ 131, and introducing macro-pressure and temperature. The problem reduces to compressible Navier-Stokes equations with a change of the molecular diffusion coefficients. Finally, we computed the flow in a channel at an incidence of 30’ (Mach 0.25, Reynolds 50 000, see figure 9).

In conclusion, LES allows in the case of turbulent-flow prototypes to investigate the coherent-structure dynamics and to predict statistics. They permit one to look at the effects of rotation, thermal stratification, compressibility and magnetic fields, and are in these cases excellent means of validation for industrial statistical models. It is clear that all the theoretical modelling and computational progress achieved will soon make possible the application of LES to more realistic industrial and environmental situations.

1. SGE dans I’espace physique

Rappelons d’abord le concept de simulation numerique directe (SND) des equations de Navier- Stokes. Grace a des schemas numeriques approximant les differents operateurs aux derivees partielles, et une discretisation de l’espace-temps Ax, At, on fait progresser dans le temps de man&-e determi-

niste le calcul des quantids (vitesse ui( x’, t), pression p( x’, t ), temperature...) caracthisant le fluide aux points du maillage. En fait, cela suppose mathematiquement une hypothese d’unicite des

334

solutions, hypothese qui est loin d’etre demontree et pour laquelle on se reportera aux travaux de Leray [l] et Lions [2]. En fait, la SND n’est pas realiste dans la pratique : il faudrait = 3 x lOI points de l’espace pour simuler une aile d’avion, et 2 x 1O29 pour l’atmosphere terrestre !

En simulation des grandes Cchelles, on choisit la maille spatiale h intermediaire entre les plus petites et les plus grandes longueurs d’onde porteuses d’energie. Un filtrage local passe-bas permet d’elimi- ner les Cchelles inferieures a Ax. Nous considerons essentiellement des ecoulements a densite cons-

tante. Les champs filtres Ui( x’, t ), p( x’, t ) satisfont Navier-Stokes, avec des contraintes sous-maille :

- - TV = P( ui uj - ui ~j )

qu’il faut modeliser. La difference avec les equations de Reynolds est que le champ filtre a ici une grande variabilite spatio-temporelle, et le tenseur TV une forme differente des contraintes de Reynolds.

La plupart des SGE dans l’espace physique font une hypothese de viscosite turbulente v,( x’, t), 00 l’on suppose la proportionnalite entre le deviateur de TV et le tenseur de deformation ( l/2) (Z, lax, + aij laxi). Les principaux modeles sont, dans l’ordre historique : le modele de Smagorinsky [3], les modeles de la fonction de structure developpes a Grenoble [4], et le modele de Smagorinsky <q dynamique >> [5]. La principale difticulte associee a cette hypothese est qu’elle suppose la separation d’echelles entre champs resolus et champs sous-maille, comme cela est souvent fait pour l’application des techniques d’homogenisation dans certains problemes de meca- nique. Mais la separation d’echelles n’est jamais realisee en turbulence. C’est pour cette raison que le concept de viscosite turbulente spectrale est tres interessant, lorsqu’il peut etre utilise.

2. SGE dans l’espace de Fourier

Nous travaillons dans le cadre de la transformee de Fourier spatiale f( i, t ) des divers champs

f( x’, t ). Elles sont definies au sens de la theorie des distributions [6]. On peut Ccrire Navier-Stokes dans l’espace de Fourier en supposant 1’homogCnCitC statistique locale. Aux Cchelles sous-maille

inferieures a hx correspondent des modes 1; 1 > kc = n/Ax. Le concept de viscosite turbulente spectrale v,( k ( kc ) , introduit par Kraichnan [7], modelise les transferts d’energie cinetique a travers k,. Kraichnan utilisait une theorie statistique de la turbulence isotrope, le TFM (test-$&f model). Nous avons travail16 a l’aide de la theorie EDQNM (eddy-dumped quasi-normal markovian, voir [S, 91). La figure 1 montre la viscosite turbulente spectrale ainsi obtenue, calculee dans un spectre d’energie de Kolmogorov en k- 5’3 au voisinage de k,. Elle montre un comportement plateau-pit, deja obtenu par Kraichnan. Nos viscosites sont normalisees par qm, oti E( k,) est le spectre d’energie cinetique a la coupure. Cette normalisation n’avait pas CtC consideree par Kraichnan, et s’avere essentielle pour la SGE. Nous avons aussi introduit la diffusivid turbulente spectrale, representee sur la figure, ainsi que le nombre de Prandtl turbulent. Un des inconvenients de ce modele est l’hypothbse d’un spectre de Kolmogorov a la coupure, qui n’est plus justifiee dans des situations de transition ou au voisinage des parois. Nous avons done propose le modele dynamique spectral, ou la valeur du plateau est corrigee analytiquement par la theorie EDQNM pour prendre en compte des spectres quelconques E(k) N k-” a la coupure. Ce modele donne d’excellents resultats pour le canal turbulent (voir plus loin).

3. Couches de mklange spatiales

Nous presentons ici la SGE d’une couche de melange entre deux Ccoulements paralleles et de m&me sens se developpant spatialement. Le modele de viscosite turbulente est la fonction de structure filtree.

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2.0

1.6 -

1 1.6 - -I

1 1.4 - 1

I + 0' 1.2 - I- Figure 1. ViscositC (trait plein) et diffusivitk 2 turbulentes spectrales (tirets) dans un calcul EDQNM.

1.0 - I- Figure 1. Eddy viscosity (straight line) and diffusivit)

(dashed line) from an EDQNM calculation.

La$gure 2 montre le cas d’un forcage amont consistant en un bruit blanc quasi bidimensionnel. On y represente differentes composantes du vecteur vorticite (la vorticite est le rotationnel de la vitesse, et caracterise une sorte de vitesse angulaire locale de rotation). On voit le &her de tourbillons de Kelvin-Helmholtz primaires d’axe parallele a l’envergure. 11s Ctirent entre eux de fins tourbillons longitudinaux de mCme circulation, done beaucoup plus intenses. Nous avons montre que ces derniers s’appariaient en meme temps que les tourbillons primaires. Au contraire, quand le forGage est un bruit blanc tridimensionnel, le reseau de tourbillons se disloque, comme on le voit sur 1aJigure 3 qui montre des champs de basse pression. Les depressions sont en effet assez bien associees aux hautes vorticites (nous avons montre recemment qu’un excellent critbe pour identifier les tourbillons coherents est celui dit du Q - cc), ou les surfaces d’isomodule de vorticite assez Cleve sont conditionnees par la condition Q = V2 p/2 > 0). Remarquons qu’une structure de ce type (appariements helicoi’daux) avait deja CtC obtenue en SND de couche de melange periodique par Comte et al. [lo]. Notons que ces calculs ont CtC realis& sur les machines par-alleles du centre de calcul national du CEA : le domaine de calcul est divise en 16 sous-domaines dont chacun est affect6 a un processeur.

Figure 2. SGE d’une I _. --

,_ I -- couche de mklange “... spatiale forcCe en

amont par une perturbation alkatoire

quasi bidimensionnelle ; isosurface ( 2/3 ) CO, du

module de vorticitk

Figure 2. LES of a spatial mixing layer

forced upstream by a quasi 20 random

- ,_._ - perturbation; I_.“. ----

__ _,.’ vorticitymodulus iso-surface ( 213 ) w,

336

Figure 3. Champ de basse pression dans le m&me calcul que la &+re 2,

mais fox6 par un bruit blanc tridimensionnel.

Figure 3. Low-pressure Jield in the same calculation as figure 2, but

with a 30 white-noise forcing.

4. Couches limites turbulentes

11 ne faut pas croire que la SGE ne sert qu’a dessiner de jolis dessins de tourbillons. Elle peut predire aussi les diverses statistiques caracterisant l’ecoulement. C’est le cas du canal entre deux parois paralleles infinies (ecoulement de Poiseuille plan), qui est schematise sur lajguw 4. L’ecoulement va de la gauche vers la droite. On a represente un axe de rotation solide dirige suivant l’envergure, qui nous servira plus tard pour l’etude des Ccoulements tournants. Pour l’instant, 52 = 0. LaJigure 5 tiree de [ 1 l] montre les resultats d’un calcul de SGE a un nombre de Reynolds fond6 sur la vitesse debitante et la largeur 2h du canal de 14 000. Cela correspond a h+ = hv, lv = 389, oii v* est la vitesse de frottement a la paroi, deja definie dans le texte de Pironneau de ce volume. Le calcul est compare a une SND faite par Kim [ 121 a un Reynolds tres proche. L’accord est excellent. On voit sur la figure 5a (qui est en coordonnees semi-logarithmiques) le profil logarithmique de vitesse pour yf > 30. LaJigure 5b montre en particulier le pit de l’ecart type de u pour y+ = 15. Cela correspond a un type de structure coherente t&s particulier de la couche limite turbulente, consistant en des courants de haute et basse vitesses observes pres de la paroi, jusqu’a y+ = 40. On peut se demander pourquoi faire une SGE, puisque la SND est possible. En fait, cette dernihe est tres there, de l’ordre de 1 000 h de calcul sur une machine de type CRAY C90 en monoprocesseur. La SGE coute 100 fois moins cher sur la meme machine. Precisons aussi que ces calculs de canal et ceux qui vont suivre ont CtC realids sur le centre de calcul IDRIS du CNRS.

Nous avons Cgalement simule le developpement de la turbulence dans une couche limite a Mach 0,3 se developpant spatialement sur une plaque plane (nous verrons plus loin comment la compressibilite est prise en compte. En fait, a des nombres de Mach aussi faibles, les effets de compressibilite sont peu importants). L’etat amont est g&t&C a partir d’un champ d’ondes de Tollmien-Schlichting perturb6 par un bruit blanc tridimensionnel. LaJigure 6 montre l’evolution vers l’aval du coefftcient de frottement a la paroi, compare aux predictions theoriques de Van Driest et Barenblatt. Nos deux calculs sont faits pour une transition de type Klebanoff, a deux resolutions a la paroi (Ay’ = 1, Ay’ = 2). On voit c, croitre brusquement vers la fin de la transition, pour atteindre des valeurs proches de la theorie. On retrouve dans ces calculs la formation des courants de haute et basse vitesses deja vus pour le canal.

Figure 4. Vue Y

schtmatique du canal.

Figure 4. Schematic view of the channel. 2

(a) 25

20

15

+s

10

5

0 1_1d- c LIl_dp.-I.--L-

1 lo1 1 o2

Y+

0 100 20+0 300 a00

Figure 5. Canal plan : comparaison du modtle

dynamique spectral (trait plein, h+ = 389) avec les SND de Kim

(symboles, h+ = 395) ; (a) vitesse moyenne, (b) &carts types des

composantes de vitesse.

Figure 5. Plane channel: comparison between the

spectral-dynamic model (straight line, h+ = 389) and Kim’s DNS

(symbols, h+ = 395); (a) mean velociq, (b) rms velocit)

components.

0.006

0.005

0 004

t,

0.003

0.002

TRANSITION K - cf y+1

Figure 6. Couche limite en dtveloppement spatial sur une

cf ),*2 plaque plane : coefftcient de -- cf cousteix frottement pour deux resolutions

. cf barenblott a la paroi (traits continu et pointille) compare aux predictions

thtoriques de Van Driest (tirets) et Barenblatt &as).

Figure 6. Spatially-growing boundar); layer upon a jat plate:

friction coe$lcient for two resolutions at the wall (straight

lines and points) compared to the theoretical predictions of Van

Driest (dashed) and Barenblatt (bold).

Ces courants correspondent a du fluide respectivement descendant et montant, comme un argument simple, fond6 sur l’equation d’Euler (v = 0) oii l’on neglige les gradients de pression, permet de le montrer : le fluide garderait alors sa vitesse, et serait environne par du fluide plus lent s’il descend, et plus rapide s’il monte. Dans les courants de basse vitesse, le fluide qui s’eloigne de la paroi rend le profil de vitesse localement inflexionnel. 11 en resulte une instabilite de Kelvin-Helmholtz secondaire responsable de l’ejection dune allee de tourbillons en Cpingle a cheveux au-dessus du

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courant de basse vitesse. Nous avons bien visualise ce phenomene dans nos calculs. Nous n’avons en revanche pas vu sur les champs de basse pression les tourbillons longitudinaux coherents alternes a la paroi, qui sont consider& comme responsables de la formation des courants.

5. lhoulements cisaillk tournants

fitudions maintenant l’influence d’une rotation solide sur ces Ccoulements. Nous considerons done un Ccoulement de base (ou moyen) parallele de profil de vitesse U( y ), et supposons que l’on travaille

dans un rep&e relatif toumant de vecteur rotation 6. La force de Coriolis est rajoutee a Navier- Stokes, mais les forces centrifuges sont incorporees dans le gradient de pression. Soit :

(2)

le nombre de Rossby local. Les SND et SGE montrent, dans les regions anticycloniques telles que -20 - - 10 < R,( y, 0 ) < - 1 (la borne inferieure decroit quand le Reynolds augmente), l’appari- tion d’un profil de vitesse moyen lineaire universe1 oti :

R,(y,t) =-I (3)

Ce resultat est vrai pour les Ccoulements libres (couches de melange, sillage) et parietaux. LaJigure 7 montre une SND de couche de melange periodique, dont le Rossby initial minimal est de -5 au point d’inflexion du profil en tangente hyperbolique. On voit s’etablir le profil de vitesse lineaire de Rossby - 1 sur une grande par-tie du domaine. On trouve le m&me resultat dans la region anticyclonique d’un sillage, et dans les SND et SGE du canal (figure 8). Dans ce dernier cas, c’est un bon test pour les SGE que de retrouver un resultat aussi important, qu’aucun modele industriel ne permet de reproduire.

Figure 7. SND d’une couche de mklange pkiodique en rotation : Cvolution temporelle du

nombre de Rossby local.

Figure 7. DNS of a rotating periodic mixing layer: time evolution of the local Rossby

number:

6. SGE des Ccoulements compressibles

Considerons les equations de Navier-Stokes pour un gaz parfait. On travaille dans le cadre des moyennes de Favre [ 131 qui sont ponderees par la densite et constituent un formalisme extremement puissant pour la modelisation et la simulation des Ccoulements turbulents compressibles. On introduit

339

une macropression et une macrotemperature qui satisfont I’equation d’etat du gaz. En faisant les hypotheses de viscosite et diffusivite turbulentes classiques pour expliciter les flux sous-maille de quantite de mouvement et de chaleur, et en modifiant legerement les termes de dissipation visqueuse moleculaire), on arrive finalement a des equations de Navier-Stokes compressibles, oti l’on rajoute aux viscosites et conductivites moleculaires les quantites turbulentes des modeles incompressibles. De bons resultats ont ainsi CtC obtenus pour les couches de cisaillement libres, les couches limite temporelles a Mach 4,5, un modele du volet arriere d’Hermes a Mach 2,5 et enfin les boosters a poudre d’Ariane V. Nous avons aussi simule un modele d’entree d’air de reacteur d’un avion Rafale a 30” d’incidence (Mach 0,25). 11 s’agit de l’ecoulement dans un canal en incidence. Le nombre de Reynolds fond6 sur 2h et la vitesse a l’infini est de 50 000. On voit ainsi sur la j&w-e 8 la nappe de vorticite amont qui decolle sur la paroi inferieure et se destabilise en gros tourbillons en /1. On voit aussi la transition a la turbulence dans la couche limite superieure.

(right) of a rotating channel.

-1 -0 5 0 0.5 1-I -0.5 0 0.5 1 Y/h y/h

Figure 9. Module de vorticitk 1,l UJH dam la SGE d’un canal en incidence de 30” ;

we en perspective.

Figure 9. Vorricity norm 1.1 UJH in the LES of a

channel at an incidence of 30’; perspective view.

7. Conclusion, discussion et perspectives

On a vu que, pour des Ccoulements prototypes, on peut, grace aux SGE, a la fois dechiffrer la structure tourbillonnaire de la turbulence et en predire les statistiques, et ce 21 des couts bien inferieurs aux simulations directes, quand celles-ci sont possibles.

Les SGE permettent, sans ajustements particuliers de constantes, de predire les effets de rotation, stratification thermique, compressibilite, champ magnetique. Elles constituent pour ces exemples d’excellents moyens de validation des modeles statistiques industriels.

Sans triomphalisme exagere, on peut esperer que grace a la comprehension fine des phenomenes ainsi acquise (e.g. la generation des tourbillons et structures), aux progres foudroyants de l’informati- que et de l’analyse numerique (parallelisme, schemas numeriques, maillages), a une confrontation systematique avec les modeles statistiques (equation de Reynolds instationnaire en particulier), les SGE vont pouvoir aborder dans les prochaines annees des situations industrielles ou environnementales reelles.

Remerciements. Nous remercions chaleureusement E. Briand, E. Lamballais et G. Silvestrini pour leur contribution, et P. Begou pour l’assistance informatique. Ce travail a CtC realist? avec le soutien du CEA, du CNRS, de la DRET et de 1’IUF.

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