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Simulation numérique d’un transfert dans un milieu poreux déformable et phénomène « de croutage »

Présentation du pb et premières Hypothèses

• Milieu poreux déformable = variation du diamètre des pores et du volume global de l’échantillon

• Les transferts de matière : eau, vapeur, MG s’effectuent majoritairement dans les pores.

• Le transfert de matière se fait à la fois par convection (loi de Darcy) et par diffusion, la MG étant entrainée par le jus (vitesse de convection proportionnelle à celle de l’eau

• Le transfert de chaleur prend en compte la convection la conduction et les changements d’état.

• Le modèle est fortement non linéaire car dans les équations les coefficients sont très fortement dépendant des variables d’état (en particulier de la température).

• Les concentrations en eau et en gras peuvent être présentées soit en fonction du taux de MS soit en fonction du volume de l’échantillon. Par la suite elles sont exprimée sur une base de MS. Xeau = teneur en eau, Xgras teneur en MG.

Inconnues du Pb

C = concentration en eau à l’équilibre (kg/m3)

CMG = concentration en matière grasse (kg/m3)

Cv = concentration de vapeur (kg/m3)

U = vitesse dans le milieu poreux (m/s)

T = température (°C ou K)  

T = temps en secondes

= concentration en vapeur liée au changement de phase (kg/m3)

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Equations de Base

La vitesse dans le milieu poreux est liée à la différence de pression exercée sur les capillaires par la contraction fibrillaire. Elle est exprimée pour les gaz à partir d’une loi de Darcy pour les fluides (jus MG) la pression capillaire est intégrée dans une diffusivité apparente (cf. Dhall et al., 2012)

Equation pour le transfert de matière de l’eau liquide (jus) :  

(1)

L’équation est valide tant que C > Ceq,T , les deux derniers termes de l’équation sont les termes sources et puits qui correspondent au relargage de l’eau à partir de la matrice viande vers les pores. Ces deux termes sont détaillés par la suite. En ce qui concerne les deux termes de diffusivité le second qui fait intervenir l’effet température est certainement très supérieur au second.

En ce qui concerne la matière grasse l’équation est similaire, sa vaporisation étant négligée.  

(2)

Le transport de vapeur introduit la pression de vapeur. La génération de vapeur d’eau ne sera prise en compte qu’à partir d’une certaine température à définir. On ne considère pas la condensation  

(3)

Avec

Pgas = P0 si Pv < P0,  

Pgas = Pv si Pv >=P0 avec Pv = aw Psat(T)

Attention il faudra mettre une condition sur le terme il devra rester positif, c’est à dire dirigé de l’intérieur vers l’extérieur du produit (et pas l’inverse ce qui n’est pas physique). Prévoir également de pouvoir annuler ce terme.  

Bilan d’énergie

(4)  

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Avec i représentant soit l’eau, soit la MG, soit la vapeur

Changement de Phase  

Génération d’eau par déliaison eau-protéine :

(5)

Génération de vapeur à partir de l’eau. D’après équilibre de phase entre le liquide et la vapeur :  

Il vient : (6)

Génération de MG par déliaison MG-matrice :

(7)

Valeur des coefficients

Ci = Ceau dans la viande maigre crue = 800 kg/m3, Cproteine viande maigre crue = 280 kg/m3

Masse volumique viande maigre = 1080 kg/m3, masse volumique protéines =1400 kg/m3

Masse volumique de la MG = 900-950 kg/m3

Ceau dans la viande maigre crue = 800 kg/m3,

Cproteine viande maigre crue = 280 kg/m3

Dans un steak haché il y a un peu d’air la masse volumique est plus faible que celle de la viande elle dépend également de la teneur en MG. Celle-ci dépend du type de SH pour un SH à 5% de MG la concentration initiale

Concentration en eau par rapport à la matière sèche viande maigre X = 3.0 kg eau/kg de MS

Aw,T et Psat(T) Relations empiriques (à comparer avec les valeurs tabulées des fonctions matlab seront fournies pour les fonctions tabulées)  

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Psat,0 = 597Pa, T0 = 273.15 (source Van der Sman 2013)

A comparer avec les valeurs tabulées (utiliser la fonction Psat.m)  

(source Van der Sman 2013 p 944)

A comparer avec les courbes de sorption tabulées (utiliser la fonction courbe_sorption.m qui appelle les valeurs tabulées dans le fichier texte sorption_synt.txt

Expression en série des conductivités de l’eau de la vapeur et de la fraction solide (protéines) leurs variations avec la température peuvent être trouvées chez Dhall, 2013  

Dans la croute sèche où l’eau est absente et quand il y a peu de MG, on peut approximer λm en tenant compte de la porosité de la croute :  

Les expressions précédente se base sur une représentation série des conductivités dans une représentation parallèle il vient :