Solution  de  l’Examen du Cours « Physique des basses températures »

29 janvier 2014

Partie « Techniques de refroidissement », C. Hoffmann

10 points + 1 point bonus, durée 1h Calculatrice autorisée ; documents interdits

On donne : constante de Stefan-Boltzmann σ  = 5,7 10-8 W/ (K4 m2) 1 Atm = 101325 Pa = 1,01325 bar = 760 torr

En annexe, vous trouverez différents formules et tableaux qui vous seront utiles pour répondre aux questions. Un cryostat pour étudier la physique du solide à basses températures

On se propose de réaliser un cryostat cylindrique, adapté à des expériences entre 1 K et 4,2 K d’une  durée entre 5 et 10 jours sans réchauffement.

1.) (1,5 pt) Pour  commencer,  on  supposera  que  le  cryostat  est  constitué  d’un  écran  extérieur  à  300  K  et  d’une  enceinte  intérieure  à  4,2  K  remplie  d’He  4  liquide,  sans  autre  écran  intermédiaire.  L’écran  extérieur  est  en  Inox  avec  une  émissivité  ε  =  0,15  et  l’enceinte  intérieure  est  en  cuivre  poli  avec  une  émissivité  ε  =  0,02.

Négligeant  pour  l’instant  toutes  les pertes possibles, excepté le rayonnement, quelle serait l’autonomie  d’un  tel  cryostat  ?   Pour simplifier les calculs, on suppose que la surface intérieure et la surface extérieure sont identiques et que le cylindre est complètement fermé. Compte tenu de la place que prend la canne de mesure et de la hauteur maximale de remplissage, on ne peut remplir que 80 % du volume du cylindre avec de l’Hélium  liquide.  Dimensions : diamètre D = 35 cm ; hauteur H = 100 cm.

Pr = σ  E A1 (Tchaud4-Tfroid

4) = 10,8 W avec E = 0,018 ; A1 = π (0,5 D² + DH) = 1,3 m²

Consommation  de  l’hélium : Pr * Taux  d’évaporation = 10,8 W * 1,4 l/W/h = 15 l/h

Volume du cryostat : V = pi/4 D² H = 96 dm3 ; dont 80% rempli avec LHe : 77 l

Autonomie : 5,1 h << 10 jours

Comparez cette autonomie avec  l’autonomie  souhaitée, à savoir 10 jours, pour ne pas perturber l’expérience  avec  un  remplissage  du  réservoir.

2.) Pour  augmenter  l’autonomie  du  cryostat,  on  ajoute  un  écran  intermédiaire (en pointillé sur le schéma).

On suppose, par exemple, un  écran  en  cuivre  avec  ε  =  0,02.

a.) (2 pt) Discutez les 3 possibilités suivantes pour refroidir cet écran à une température entre 50 K et 100 K (principe physique sous-jacent ; faisabilité et mise  en  œuvre ; aspects économiques,  …)  :

I.) utilisation  des  vapeurs  froides  du  bain  d’Hélium  4

Principe : chaleur spécifique de  l’hélium  -> enthalpie sensible entre 4 K et 50 .. 100 K est importante et bien plus grande que la chaleur latente ; en utilisant les vapeurs froides on peut en principe refroidir des écrans en assurant une grande surface d’échange.

Est-ce possible ici ? Supposons, le cas le plus favorable, une  température  de  l’écran  de  100  K ; calcul de la chaleur arrivant sur cet écran 2 : P1 = σ  E A1 (Tchaud

4-Técran24) = 10,7 W ; avec E = 0,018

Est-ce  qu’elle  peut  être  compensée par  l’enthalpie  sensible  des  vapeurs  d’hélium  qui  résultent  de  l’évaporation  du  bain  due  à  la  chaleur  arrivant  sur  l’écran  3 ? Chaleur  arrivant  sur  l’écran  3 : P2 = σ  E A1 (Técran2

4-Técran34) = 0,074 W ; avec E = 0,01

ce  qui  conduit  à  une  évaporation  d’hélium liquide de P2 * 1,4 l/W/h = 0,1 l/h. Enthalpie sensible : H = R/M*(100 – 4) = 5,2 J/g/K * 96 K = 500 J/g = 62,5 kJ / l ce qui conduit à une puissance froide de 62,5 kJ /  l  *  0,1  l/h  =  1,7  W  ce  qui  n’est  pas  suffisant,  même  si  on  compte un peu plus de  pertes  par  d’autres  canaux ! il faudrait ajouter un quatrième écran.

II.)  refroidissement  à  l’azote  liquide

Principe :  énergie  nécessaire  pour  l’évaporation  du  liquide  est  retirée de  l’écran ; chaleur latente LN2 = 161 kJ/l

Faisabilité : oui, il faut coupler  un  réservoir  d’une  vingtaine de  litres  à  l’écran  intermédiaire. Evaporation 0,022 l / W / h * 10,7 W = 0,24 l /h. Un remplissage tous les 3 à 4 jours.

très  économique  car  l’azote  ne  coute  pas  cher  du  tout

III.)  utilisation  d’une  machine  cryogénique mono-étage

Principe :  détente  d’un  gaz dans un cycle Stirling (2 isothermes, 2 isochores) ou Ericsson (2 isothermes, 2 isobares) fournit la puissance froide ; déplaceur mécanique

ou piston gazeux à froid ; un régénérateur à froid pour absorber / rendre de la chaleur lors du cycle

Faisabilité : besoin typiquement de qqs kW électrique ; coupler le doigt froid de la machine à  l’écran 2

Economique ? si on utilise une machine (coût  qqs  dizaine  de  k€), pourquoi pas utiliser une machine bi-étage pour faire du 2 .. 4 K aussi et  s’affranchir  complètement  des  liquides cryogéniques ?

Avantage : presse-bouton

b.) (3 pt) Pour le cas II :

Calculez le gain en autonomie, si on se limite de nouveau aux seules pertes par rayonnement.

En baissant la température de  l’écran  de 300 K à 77 K : P2 = 26 mW (avec E ≈  ε/2  = 0,01)

consommation de 0,04 l / h autonomie de 80 jours

On discute maintenant les autres pertes possibles :

Calculez les  pertes  dues  à  la  conduction  thermique  du  col  entre  l’écran  intermédiaire  et  l’enceinte  à  4,2  K.  Le col est en Inox. Il a une longueur L = 15 cm, un diamètre d = 10 cm et une épaisseur e = 2 mm.

𝑃 = 𝜋𝑑𝑒𝐿 𝑘(𝑇)  𝑑𝑇 = 𝜋  10𝑐𝑚  0,2  𝑐𝑚    

15  𝑐𝑚,3,49 𝑊𝑐𝑚 = 0,42𝑐𝑚  3,49 𝑊𝑐𝑚 = 1,46  𝑊

Ces  pertes  sont  surestimées  par  rapport  à  des  mesures  qu’on  effectue  sur  le  cryostat.  Expliquez pourquoi.

Les vapeurs d’He  qui  remontent refroidissent le col –> une diminution significative de Pcond.

A part le rayonnement et la conduction via le col, quelles pertes (mécanismes de transfert de chaleur) sont également à surveiller dans un tel cryostat ?

- convection : un vide < 10-4 mbar ; du charbon actif pour absorber les gaz résiduels à froid

- conduction par les supports / fixations mécaniques : utiliser des matériaux mauvais conducteurs thermiques (inox), des sections creuses et de faible épaisseur

- conduction via la canne de mesure et les fils électriques  pour  mesurer  l’échantillon  et  les  thermomètres: thermaliser sur les étages intermédiaires

- rayonnement via le col -> mettre des écrans

c.) (1 pt) Pour le cas III :

Expliquez brièvement les différences entre une machine Stirling, une machine Gifford MacMahon et un tube à gaz pulsé. Quelle machine favoriser si votre mesure est sensible aux vibrations du cryostat ?

Stirling : piston à chaud – doigt froid est forcément à proximité du volume chaud

Gifford-Mac Mahon :  à  l’entrée,  une  alternance  entre  haute  (20  bar) et basse (8 bar) pression une vanne qui est connecté à un compresseur -> le compresseur peut être déplacé loin de la manip

Tube à gaz pulsé : piston gazeux ; n’a  pas  de  pièce  mobile  à  froid

3.) (1,5 + 0,5 pt bonus) A la bride en cuivre, refroidi à 4,2 K, on couple un échantillon métallique de capacité thermique C via une tige métallique représentant une résistance thermique RTh. Quelle est l’expression  de  la  constante  du  temps  τ  du  refroidissement  ?  

τ  =  RTh * C

Unités : RTh = L / k(T) / S en K/W (avec L longueur de la tige, S section de la tige, k(T) conductivité thermique) et  C  en  J/K  (c’est  le  Cp  multiplié  par  la  masse  de  l’échantillon)

[Bonus : Justifiez  qu’à  basse  température  et  en  bonne  approximation,  elle  est  indépendante  de  la  température.]

RTh ~1/k(T) ~ 1/T et C ~ T donc τ indépendant de T

Quelles précautions doit-on prendre si on relie des pièces différentes à basse température ?

- bien serrer les vis car sinon résistance de contact élevée

- si deux matériaux différents, attention à la différence dans les coeffs de dilatation thermique (casse ; desserrage ;  …)

4.) (1 + 0,5 pt bonus) Ponctuellement, on aimerait refroidir l’échantillon à une température entre 1 et 2 K. Si  on  pompe  directement  sur  le  bain  d’hélium,  on  perd  environ  50%  de  la  totalité  du  liquide.  Expliquez la raison.

On passe la transition superfluide à 2,17 K avec un maximum dans la chaleur spécifique

Quelle solution alternative pouvez-vous proposer ? Boite à 1K connectée via un capillaire au bain. Bonus : Quels thermomètres utiliseriez-vous pour suivre le refroidissement du cryostat et pour une mesure précise de la température limite ? Justifiez vos réponses.

Par exemple : Pt ou carbone pour le refroidissement (bon marché et bonne gamme) ; Cernox ou RhFe pour  mesurer  autour  de  1K  (précis  et  facile  d’utilisation  dans  cette  gamme).

Annexe :

I. Propriétés de quelques liquides cryogéniques

II. Enthalpie [J/g] de quelques matériaux

∆𝐻 = 𝐶 (𝑇)𝑑𝑇 = 𝐻 −𝐻

III. Puissance transmise par conduction entre deux points de températures T0 et T1 via un matériau de conduction thermique k(T), de section S et de longueur L

𝑃 = 𝑆𝐿 𝑘(𝑇)𝑑𝑇

IV. Valeurs  de  l’intégrale  de  k(T)  depuis  4,2K

V. Puissance transmise par rayonnement entre deux surfaces

41421 TTAEPr