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Université Sultan Moulay Slimane Béni-Mellal

2009/2010

Projet de Fin d’Études

Option : IMIEtude d’une équation de logistique

SOMMAIRE

REMERCIEMENTS.

DEDICACES.

INTODUCTION

PRELIMINAIRE :

-OBSERVATION PROBLEMATIQUE.

-NOTION ET DEFINITION.

POSITION DU PROBLEME

PRESENTATION DU MODEL LOGISTIQUE.

ETUDE DU PROBLEME

EXISTENCE ET UNICITE DU PROBLEME

STABILITE DU PROBLEME

DETERMINATION DES POINTS D’EQUILIBRE ET LEUR STABILITE

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE L’EQUATION

SIMULATION SOUS MATLAB

APPLICATIONS

CONCLUSION GENERALE

BIBLIOGRAPHIE

WEBOGRAPHIE

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REMERCIEMNTS   :

Je tiens avant tout à remercier les personnes suivantes pour tout ce qu’elles ont pum’apporter au cours de ce stage :

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DEDICACES   :

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1. Introduction

Le terme logistique, recouvrant de diverses interprétations, est d’origine mathématique. selon

le dictionnaire historique de la langue française le Robert, le mot logistique provient du mot

grec logistikos qui signifie « relatif au calcul », « qui concerne le raisonnement ».

Il sera par la suite à l’origine du mot latin logisticus ayant la même signification, le mot

« logistique » est employé la première fois dans la langue française en 1590, comme un

adjectif qui signifie « qui pense logiquement » ; en 1911, la logistique est constituée comme

une partie de l’algèbre qui concerne les quatre opérations élémentaires.

Dans son usage courant, le terme logistique évoque des activités d’acheminement de

matériels ou de biens, dont les domaines d’applications sont d’abord militaires où s’y

apparentent lorsqu’il est question, par exemple de logistique de l’aide humanitaire lors de

conflits ou de famines. Dans les faits, il est possible de retracer les évolutions de la logistique

d’entreprise, transport, industriels, commerciales ou de services, la logistique est désormais

devenue un enjeu stratégique majeur. Avec les progrès réalisés par l’analyse démographique,

les premières tentatives de formalisation de la dynamique des populations semblent avoir

perdu presque tout intérêt théorique et pratique.

En effet, les premiers modèles de croissance de populations datent de la fin du 18ème siècle

avec le modèle de Malthus ; Malthus était un économiste qui disait que si elle n’est pas

freinée, une population s’accroît géométriquement. Ceci se traduit par une équation discrète

de la forme :

Pn+1=λPn

avec Pn+1 la taille de la population au temps n+1 et λ   le paramètre malthusien appelé

aussi raison géométrique.

Suivant les valeurs de λ par rapport à 1, la population va soit diminuer( λ<1 ) , soit rester

constante ( λ=1 ) , soit augmenter de manière exponentielle ( λ>1 ) .

Ce modèle peut s’écrire aussi en temps continu. Dans ce cas, l’équation régissant la

population est de la forme :

y '( t )=ry ( t )

où y ( t ) est la taille de la population et r son taux de croissance. La solution de cette

équation est dite fonction logistique définie par : y ( t )= y0ert

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Dans ce cas continu c’est la position de r par rapport à 0 qui donne le sens de variation de

y ( t ) . Si r<0 la taille de la population diminue, si r=0 la population reste constante et si

r>0 , la population augmente de manière exponentielle, ce qui est illustré par l’explosion de

la population.

Le fait que la population augmente de manière exponentielle n’est pas biologiquement

satisfaisant, car même si une population arrive dans un environnement contenant toutes les

ressources nécessaires, ce qui est le cas pour les espèces invasives, une population ne peut

pas augmenter exponentiellement jusqu’à l’infini. Des phénomènes d’autorégulation vont

donc se mettre en place.

Ces phénomènes sont pris en compte dans le modèle de Verhulst (1838), appelé aussi modèle

à croissance logistique. Ce modèle en temps continu, se présente sous la forme d’une

équation différentielle logistique non linéaire de type Bernoulli d’ordre 2 :

y '( t )=ry (1− yk )

Avec r le taux de croissance de la population et k , la capacité d’accueil du milieu c'est-à-

dire le nombre d’individus maximal que le milieu peut accueillir en tenant compte de

l’espace, des ressources etc.…

Le modèle de Verhulst imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des

fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population.

Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et

son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsque les populations sont

de petites tailles, elles ont tendance à croître.

Une population à croissance logistique tend toujours vers k , la capacité d’accueil, quelque

soit la densité de population d’origine ( y 0>0 ) .

En temps discret, le modèle de Verhulst s’écrit :

yn+1= yn+r D yn (1− yn

k )Avec r D le taux de croissance et k la capacité du milieu.

En bref, le modèle de Verhulst était proposé en réponse au modèle de Malthus qui proposait

un taux d’accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la

population.

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Notre but sera donc d’entamer une étude générale de notre fameuse équation logistique :

y '( t )=ry (1− yk )

PRELIMINAIRE :

OBSERVATION PROBLEMATIQUE :

L’Histoire et la nature du problème :

Les premières études qualitatives de systèmes non-linéaires (essentiellement issus de la

mécanique) sont très anciennes, mais la découverte de leur importance en biologie peut être

datée avec une certaine précision : l´équation dite “logistique” décrivant l’évolution

démographique d’une population dans un milieu à ressources limitées a été étudiée en 1846

par le mathématicien belge Pierre François Verhulst (1804–1849) (1) ;

Elle a ensuite été redécouverte par le biologiste Pearl vers 1930. Les premières études des

équations régissant le comportement de deux espèces en interaction sont dues au

mathématicien américain Alfred J. Lotka (1880–1949) et au mathématicien italien Vito

Volterra (1860–1940) (2) au sortir de la première guerre mondiale. Le théorème de Hartman

a moins de 50 ans (3) puisque sa démonstration a été publiée en 1959, et les problèmes

ouverts qui lui sont reliés sont encore nombreux.

De manière plus générale, l’étude des propriétés qualitatives des systèmes non-linéaires

d’équations différentielles forme un domaine très important des mathématiques

contemporaines, tant par la richesse et la difficulté des questions qu’elle soulève que par la

variété des applications possibles. Au sein de ce vaste ensemble, les équations “logistique” et

“de Lotka–Volterra” sont des exemples fondamentaux, et leur étude a donnée naissance à

de nombreux concepts théoriques.

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L’hypothèse de Verhulst était de reprendre l’idée de Malthus disant que la croissance des

populations dépendait de la population elle-même mais en y ajoutant l’idée qu’au-delà d’un

certain seuil, la population ne pouvait plus croître faute de ressources. Verhulst énonça d’abord

l’idée que chaque territoire, pour une population donnée, avait une capacité limite d’accueil K

définie tant par des facteurs abiotiques (climat, végétation,…) que par des facteurs biotiques

(ressources, autres populations,…).

Il reste à introduire cette capacité limite K dans l’équation fondamentale de Malthus.

L’équation fondamentale :

L’équation fondamentale de Malthus était

dydt

=ry, et sa solution était, comme nous l’avons

calculé, y (t )= yert.

Pour Verhulst, qui se basait sur de nombreux cas observés lors de l’histoire de l’humanité,

lorsque les ressources deviennent insuffisantes, il y a des famines, des guerres et des épidémies

qui font que le taux de reproduction r que Malthus tenait pour constant, diminue. En effet le taux r

dépend des naissances moins les décès. Si les décès augmentent alors r diminue, r est donc

variable.

La loi sur laquelle se base Verhulst est donc la loi de Malthus, de type exponentiel, mais incluant

un taux de reproduction variable pour tenir compte des ressources limitées d’un territoire.

Comment associer le taux r à la population maximale K?

Verhulst eut l’idée de poser r=rmax( K−Y

K )

Ainsi lorsque la population Y est très faible,

K−YK

≃1 et r≃rmax . Nous sommes alors dans le

modèle exponentiel malthusien.

Mais lorsque la population Y s’approche de la limite d’accueil du milieu alors Y≃K et

K−YK

≃0, alors la population cesse de croître!

En définissant le taux de croissance comme r=rmax ( K−Y

K ), l’équation fondamentale selon

Verhulst devient :

dYdt

=r max( K−YK )Y

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Ce modèle est aussi nommé « modèle de compétition intraspécifique ». On remarque que pour

Verhulst, il n’y a que des facteurs qui influencent la croissance de la population : la taille de la

population elle-même et les ressources du milieu. De plus Verhulst suppose que la capacité

d’accueil K d’un territoire ne varie pas au cours du temps. Il est évident qu’il dépend des

populations qui l’habitent et des ressources qu’elles consomment.

Aujourd’hui cette capacité d’accueil d’un territoire se calcule bien pour chaque type de

populations. Pour l’espèce humaine elle dépend évidemment des facteurs abiotiques de

l’écosystème et aussi du type de consommation de la population. C’est ce qu’on appelle

« l’empreinte écologique ».

NOTIONS ET DEFINITIONS :

POPULATION, Y: groupe d’organismes, généralement de la même espèce, occupant une aire

définie suffisamment close pour permettre des croisements génétiques selon la loi du

hasard.

Dynamique des populations : étude des fluctuations en nombre des populations

d’animaux ou de plantes ; la dynamique des populations est d’une importance fondamentale

en écologie car toutes les populations subissent, même à des degrés divers, des

variations (accroissement ou diminution) en nombre sur une courte ou longue période.

Densité : certain nombre d’individus par unité de surface.

NATALITE : étude du nombres de naissances au sein d’une population : rapport entre le

nombre des naissances et celui des habitants d’une région pendant un temps donné.

TAUX DE NATALITE : nombre de naissance sur 1000 individus de femelles par an.

MORTALITE : nombre de décès annuels rapporté au nombre d’habitants d’un territoire

donné.

TAUX DE MORTALITE : nombre d’individus morts sur 100 individus par an .

TERRITOIRE : espace géographique qualifié par une appartenance juridique ou par une

spécificité naturelle ou culturelle sur laquelle vit un groupe humain.

AUTOREGULATION : processus où un facteur inhibant endogène compense les effets de

changements internes ou externes.

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CAPACITE D’ACCUEIL, K : taille maximale de la population d’un organisme qu’un milieu

donné peut supporter.

TAUX DE CROISSANCE, r : proportion de nombre d’individus issus des naissances et des

immigrations.

ESPECE INVASIVE : espèce vivant exotique qui devient un agent de perturbation nuisible à

la biodiversité des écosystèmes naturels ou semi naturels parmi lesquels elle s’est établie.

EXTINCTION DE POPULATION : action consistant à éteindre quelque chose, en biologie,

l’extinction de population désigne la disparition totale d’une espèce ou d’un groupe.

EXPLOSION DE POPULATION : accroissement démographique très élevé de la population

d’un pays.

FACTEUR ABIOTIQUE :

POSITION DU PROBLEME :

PRESENTATION DU MODELE :

Considérons une population de Y(t) individus. Le modèle le plus simple d'évolution de

cette population est donnée par l'équation logistique (Verhulst) Y'(t) = r Y(t) (1-Y(t)/k) où

Y'(t) est la dérivée de Y(t) par rapport au temps, r et K sont deux paramètres du modèle. Cette

équation est dite « scalaire » (elle ne porte que sur une seule quantité), par opposition aux

équations « vectorielles » (systèmes d'équations). Cette équation doit être complétée par la

donnée d'une valeur Y0 de Y en un temps donné t0. Ce modèle conduit, en temps continu, à une

fonction logistique et en temps discret à une suite logistique dont la particularité est d'être,

dans certaines circonstances, chaotique.

Ce modèle a été proposé en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux

d'accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la

population.

Y’(t) = r Y(t) ( 1- Y (t)

K) ; pour t > 0

Y(t0) =Y0 > 0

Où r le taux de croissance et K la capacité d’accueil du milieu (r et k sont des réels).

(L)

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ETUDE DU PROBLEME :

EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS :

Théoreme 1 (Cauchy-Lippschitz ) :

Si f est continue sur U et localement lipschitzienne par rapport à t alors on a

l’existence et l’unicité de la solution.

La première question que se pose un mathématicien au vu d'une équation est de savoir si elle

a une, plusieurs, ou pas du tout de solutions. Dans notre cas, la réponse est donnée par le

théorème de Cauchy Lipchitz qui nous dit: si on se donne la valeur y1 de y a un certain temps

t0 alors il existe une unique solution de y'= f ( y ( t ) ) telle que y(t0) = y1.

De plus, le plus grand intervalle sur lequel est définie cette solution est de la forme ] t', t’’[,

avec ou bien t'' est infini: la solution existe pour tout temps t >t_0.ou bien t'' est fini et dans ce

cas lorsque t s'approche de t'',soit y(t) sort du domaine de définition de f (par exemple une

concentration chimique devient négative) soit une des composantes de y(t) au moins devient

infinie (explosion du nombre d'individus,...).

CALCUL DES SOLUTIONS :

Étude de f : ici f est bien localement lipschitzienne, donc le théorème de Cauchy-Lipschitz et son corollaire 22 s'appliquent : en tout point Y0, il passe une uniquesolution maximale Y : I --> R telle que Y(0) = N0.

On peut calculer explicitement les solutions de l’équation différentielle logistique

y '=ry (1− yk)  de la façon suivante :

dy (t)

dt=ry (t)¿ )

peut se réécrire :

1

y ( t )(1− y (t )k )

dy ( t )=r dt

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Mais comme on a l’égalité : 1

y (1− yk )

=1y+

1k

(1−yk )

L’équation devient :

dy (t)y (t)

+

1k

dy (t)

(1− y (t)k )

=rdt

d’où, en intégrant,

ln y ( t )−ln (1−¿y ( t )K

)=rt+c¿

soit encore en prenant l’exponentielle

y ( t)

1−y (t )K

=ert ec

Il est facile de vérifier que la constante d’intégration vaut ici C=ln (y (0 ) K

K− y (0 )) D’où, après

simplifications, la solution

Y ( t )= Y (0 ) KY (0 )+e−rt ( K−Y (0 ) )   ;

Pour savoir qu’elle est l’allure du graphe de cette solution (en réalité il y a autant de

solutions que de choix de valeurs initiale Y(0)), on pourrait calculer sa dérivée (ce qui serait

légèrement fastidieux...) mais il est bien plus simple d’utiliser l’équation différentielle : en

effet, l’équation différentielle donne la dérivée Y0 comme une fonction de Y, puisque

Y'=rY (1− Y

K)

On voit donc, sans calcul, que

– Y’ s’annule lorsque Y = 0 et Y = K

– Y’ > 0 lorsque Y est compris entre 0 et K

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– Y’ < 0 sinon.

Fig.1 – La parabole qui s’annule en Y= 0 et Y = K, graphe de la fonction Y’ = f(Y).

Il en résulte que, aussi longtemps que la population reste inférieure à sa capacité biotique K,

elle ne cesse de croître (puisque Y’> 0). Et on calcule facilement la limite, quand t tend vers

l’infini, de l’expression trouvée pour la solution Y(t), qui vaut précisément K. A l’inverse, si

Y(t) est supérieure à cette capacité, Y(t) décroît (puisque Y’ < 0) et on vérifie facilement

qu’elle tend également vers K.

L’examen du graphe de la fonctionf (Y )=rY (1−YK ), qui représente la dérivée de Y,

renseigne aussi sur le taux de croissance maximal d’une population soumise à une croissance

logistique. En effet, le maximum de f est atteint pour Y = 1/2K, ce qui signifie que c’est

lorsque la taille de la population est égale à la moitié de sa capacité biotique que sa

croissance est la plus forte.

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Modèle de logistique

Fig. 2 – Solutions d’une dynamique logistique : elles sont croissantes si la taille de la

population est inférieure à sa capacité biotique et décroissante si elle est supérieure. La

capacité biotique est un équilibre de la dynamique.

STABILITE DES SOLUTIONS :

DETERMINATION DES POINTS D’EQUILIBRE ET LEUR STABILITE :

Définition 1   :

Pour une équation différentielle de la forme dy(t)/dt = f(y(t)), on appelle équilibre état

stationnaire, point fixe ou point critique une valeur constante y * de la quantité y telle que si

y(0) = y* alors y(t) = y* pour tout t (la quantité reste à l’équilibre). Un équilibre est donc

une solution constante de l’équation différentielle. Une telle solution a nécessairement une

dérivée nulle, c’est-à-dire que l’on a f(y*) = 0 ; en d’autres termes y* est aussi un zéro de la

fonction f.

Remarque   :

Tout point qui n’est pas un point d’équilibre est appelé un point régulier.

Stabilité des équilibres :

Ce graphe (figure 3) permet en outre de visualiser, sur son axe horizontal, un schéma de la

dynamique : il suffit de mettre une flèche dans le sens des y croissants sur les segments de

l’axe où f > 0 (c’est-à-dire où le graphe de f est au dessus de l’axe) et une flèche dans le sens

des y décroissants sur les segments de l’axe où f < 0. Parfois ce schéma de la dynamique est

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suffisant et peut remplacer une résolution explicite de l’équation (qui, de toute façon, est bien

souvent impossible).

Définition 2   :

On dit qu’un équilibre y* pour lequel on a f’(y*) < 0 est un équilibre stable car dans ce cas

l’évolution de toute solution dont la condition initiale est proche de l’équilibre y* est de s’en

rapprocher. De façon analogue, on dit qu’un équilibre y* pour lequel on a f’(y*) > 0 est un

équilibre instable car dans ce cas l’évolution de toute solution dont la condition initiale est

proche de l’´equilibre y* est de s’en éloigner.

On peut vérifier en appliquant ce critère que l’unique équilibre du modèle malthusien est

stable lorsque r < 0 (extinction) et instable lorsque r > 0 (explosion) et de même, si l’on

suppose r > 0, on peut vérifier que l’équilibre y* = K(> 0) du modèle logistique est un

équilibre stable (capacité biotique) alors que y* = 0 est un équilibre instable. A noter que

lorsque f’(y*) = 0, on ne peut pas savoir à partir de f’ si l’´equilibre est stable, instable ou ni

l’un ni l’autre.

Esquisse des solutions :

La condition f’(y*) < 0 (resp. f0(y*) > 0) est donc un critère de stabilité (resp. d’instabilité)

qui se révèle très opérationnel puisqu’il se calcule facilement. Pour rendre ce critère intuitif,

on se reportera à nouveau au schéma de la dynamique obtenu `a partir du graphe de f. On y

voit que lorsque f’(y*) < 0 le graphe de f passe au point y_ de valeurs positives `a des valeurs

négatives et donc que la population croit tant qu’elle est plus petite que y_ (puisque f0(y) > 0)

et décroit tant qu’elle est plus grande. Elle tend donc dans tous les cas `a se rapprocher de

l’équilibre. On fait le même raisonnement, inversé cette fois, dans le cas où f’(y*) > 0.

La figure ci dessous montre que la détermination des équilibres et du seul sens de variation

des autres solutions suffit bien souvent pour tracer l’esquisse des solutions de l’´equation.

C’est ce qu’on appelle l’´etude qualitative. Notons que cette esquisse en dit souvent plus sur

le comportement des solutions que l’expression explicite de la solution générale (lorsqu’elle

peut être calculée) car son l’expression, éventuellement compliquée, se révèle souvent bien

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peu parlante.

Fig. 3 – Graphe de la fonction f(y) = r y(1− y K) dans le plan (y, y’) et esquisse des solutions de l’équation différentielle y’(t) = r y(t)(1− y(t)K ) dans le plan (t, y). Sur l’axe des y, les points représentent les équilibres et les flèches indiquent le sens de variation des solutions (croissantes si y’>0 et décroissantes si y’ < 0).

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE LA SOLUTION   :

On appelle fonction logistique la fonction la fonction Y(t) = Y(0) K / Y(0) + e –rt (K − Y(0)).

Posons c=K b=K-1 a=r, la fonction devient :

f(t)=c/(1+ be-at )

avec a, b et c sont des réels strictement positifs.

PROPRIETES :

La fonction logistique, définie sur IR, y est strictement croissante et est strictement comprise

entre 0 et c.

Seule la croissance stricte demande une vérification :

f ' (t )= abc e−at

(1+b e−at ) ² est strictement positif pour tout t.

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la fonction logistique représente un point d’inflexion en :

lnba

Où elle prend la valeur c/2 où la pente de la tangente au graphe vaut ac4

La dérivée seconde de cette fonction vaut :

f ' (t )= a ² bc e−2 at

(1+b e−at ) 3(b−e−at)

le premier facteur est toujours strictement positif. Quant au second qui s’annule pour :

t=lnba

son signe est déterminé par la croissance de eat . ona donc le tableau des variations suivant.

t 1 /a Ln b

f’(t)

f ’’(t)

+ + +

+ 0 -

f(t)

Tableau des variations de la fonction logistique

Il est alors facile de vérifier que :

f(1/a ln(b))=c/(1+be-a 1/a lnb )

=c/(1+b e-ln b)

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=c/2

Et de la même manière,

f’(1/a ln b)=ac/4.

Le graphe de la fonction logistique est une figure symétrique par rapport au point

(1/a ln b, c/2).

Il suffit de vérifier que

C2

−f ( 1a

lnb−u)=f ( 1a

lnb+u)−C2

V u ϵ IR

ou encore: f ( 1a

lnb−u)+ f ( 1a

lnb+u)= c V u ϵ IR

le premier member vaut :

c

1+b e−a (1

alnb−u)

+ c

1+b e−a ( 1

alnb+u ) =

c

1+eau+ c

1+e−au

=c

1+eau+ceau

1+eau

= c .

Les asymptote au graphe de la fonction logistique sont les droites horizontales d’equation

y=0 (asymptote en -∞) et y=c (asymptote en +∞).

On a en effet ;

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limt →−∞

c

1+b e−at = 0

limt →+∞

¿ c

1+b e−ax = c

Par ailleurs, étant continue, cette fonction ne peut admettre d’asymptote verticale.

La croissance de la variable y dont les variations sont représentées par la fonction logistique

et proportionnelle à y lui-même ainsi qu’à l’écart qui sépare y de la valeur de saturation c :

f' (t )=a

cf (t ) [c−f ( t ) ] .

En effet, le membre de droite peut s’écrire :

ac

f (t ) [c−f ( t ) ]=ac

c1+b e−at

c+b ce−at−c1+be−at =

ab ce−at

(1+b e−at) ²

qui est bien l’expression de la dérivée de la fonction logistique.Compte tenu de ces propriétés,

on peut tracer le graphe de la fonction logistique pour les valeurs particulières de a, b et c.

Nous avons envisagé ici le cas : a=3/4 , b=7 , c=2/5 (voir figure 4).

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SIMULATION SOUS MATLAB :

exemples

CONCLUSION GENERALE 

BIBLIOGRAPHIE :

[1] M. Crouzeix, A.L. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles. Masson,Paris.[2] J.P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles. PUG, Grenoble.[3] J. Istas, Modèles mathématiques pour l'écologie. Cours polycopié de l'École Polytechnique.[4] H. Reinhard, Équations différentielles. Fondements et applications. Dunod, Paris.

WEBOGRAPHIE