Sous-groupes distingués du groupe unitaire et du groupe général linéaire d'un espace de Hilbert

Comment. Math. Helvetici 51 (1976) 241-257 Birkh~iuser Verlag, Basel

Sous-groupes distingu6s du groupe unitaire et du groupe g6n6rai lin6aire d'un espace de Hilbert.

PIERRE DE LA HARPE

I. R6sultats.

Soit H un espace de Hilbert complexe, s6parable et de dimension infinie. Nous notons L(H) l 'anneau des op6rateurs lin6aires born6s sur H, et GL(H) le groupe des unit& dans L(H) ou groupe g~.n~ral lin~aire de H. Le sous-groupe des 616ments de G L ( H ) qui conservent le produit scalaire est le groupe unitaire de H not6 U(H). L'objet de ce travail est l '6tude des sous-groupes distingu~s de GL(H) et U(H). Ce faisant, nous pr6cisons certains r6sultats de Kadison [12, 13, 14] concernant le facteur de type L ; notre contribution est en ce sens l'analogue de celle de Kaplansky [15, appendice IV] concernant le groupe g6n6ral lin6aire des facteurs de type IIi; de plus, nos m6thodes s '6tendent au cas des groupes GL(HR) et O(HR) d6finis comme ci-dessus lorsque HR est un espace de Hilbert r6el, s6parable et de dimension infinie. Avant d '6noncer nos r6sultats, nous intro- duisons quelques sous-groupes remarquables de GL(H), U(H), GL(HR) et O(HR).

Calkin ([5], voir aussi Schatten [23] chapitre I) a montr6 que tout id6al bilat6re non trivial de L(H) contient l'id6al Co(H) des op~rateurs de rang fini, et est contenu dans l'id6al C(H) des op~rateurs compacts. Par suite, il est naturel d'introduire les sous-groupes suivants de GL(H), qui sont tous distingu6s. L'op6rateur identit6 sur H est d6sign6 par 1, et tout scalaire (-- nombre complexe) est identifi6 au multiple correspondant de cet op6rateur.

GE(H, C) = {A ~ GL(H) [ A est congru ~ un scalaire modulo C(H)}

GL(H, C)={A ~ GL(H)[A est congru ~ 1 modulo C(H)}

GL(H, Co)={A ~ GL(H)[A est congru ~ 1 modulo Co(H)}

SL(H, Co)= groupe d6riv6 de GL(H, Co), qui est aussi le noyau de l 'homomorphisme det: GL(H, Co)-~" C*

C* est le sous-groupe de GL(H) form6 des scalaires non nuls.

242 P I E R R E DE LA H A R P E

De m6me pour les sous-groupes distingu6s de U(H):

UE(H, C) = U(H) N GE(H. C)

U(H, C) = U(H) n GL(H, C)

U(H, Co)= U(H)N GL(H, Co)

SU(H, C,,) = U(H) n SL(H, C,,)

S l = U(H) n C*.

On d6finit de fa~:on semblable les sous-groupes distingu6s GE(HR, C) . . . . . R* de GL(HR) et les sous-groupes distingu6s OE(HR, C) . . . . . Z2 de O(HR).

Nos r6sultats principaux s'expriment alors comme suit.

THEOREME I. Soit U un sous-groupe distingu~ non trivial de U(H). Alors (i) ou bien U est central: U c S ~ ;

(ii) ou bien SU(H, Co)c U c UE(H, C).

Preuve: voir propositions 1 et 3; analogue r6el: voir propositions 1R et 3.

COROLLAIRE. Soit U un sous-groupe distingu~ non trivial de U(H) qui est fermd dans la topologie uniforme (ou normique). Alors

(i) ou bien U est central, et donc isomorphe ft S 1 ou ~ u n groupe cyclique fini; (ii) ou bien U est un sous-groupe de congruence de niveau C(H): U(H, C ) c

U c UE(H, C); et donc U/U(H, C) est isomorphe gt UE(H, C)/U(H, C ) ~ S 1 ou ?tun groupe cyclique fini.

Preuve: voir proposition 4.

THEOREME II. Soit G u n sous-groupe distingu~ non trivial de GL(H) . Alors (i) ou bien G est central: G c C*;

(ii) ou bien SL(H, Co)c G c GE(H, C).

Preuve: voir propositions 6 et 3; analogue r6el: voir propositions 6R et 3.

COROLLAIRE. Soit G u n sous-groupe distingu~ non trivial de G L (H ) qui est [erm~ dans la topologie uniforme. Alors

(i) ou bien G est central;

(ii) ou bien G est un sous-groupe de congruence de niveau C(H): GL(H, C ) c G c GE(H, C).

Preuve: voir la fin de la section V.

Sous-groupes distingu6s du groupe unitaire 243

Les deux corollaires ont 6t6 d6montr6s par Kadison selon une preuve trbs ditt6rente de la n6tre. (Voir [12] th6or6me 4, [13] th6or6me 4 et [14] th6or~me 1.) A notre connaissance, les deux th6or~mes sont nouveaux, de m6me que leurs analogues pour les sous-groupes distingu6s de O ( H R ) et GL(HR) ; dans le cas

r6el, on doit 6videmment remplacer S ~ par le groupe h deux 616ments Z2, ainsi que C* par R*.

Si l 'on ne tient pas compte des sous-groupes centraux, les th6or6mes I e t II affirment que les sous-groupes consid6r6s sont pris en sandwich entre des groupes minimaux et maximaux, les tranches sup6rieures se r6v~lent 6tre plus

longues h maitriser que les tranches inf6rieures. Les sections II et III sont respectivement consacr6es aux tranches sup6rieure et inf6rieure du th6or6me I e t de son analogue r6el. La section IV expose des pr61iminaires alg6briques h la section V, qui consiste elle-m6me en la preuve du th6or6me II et de son analogue r6el. La section VI contient un corollaire et formule une question rest6e jusqu'ici

sans r6ponse. Je remercie le fonds national suisse de la recherche scientifique, qui m 'a

support6 pendant ce travail, ainsi que M. Karoubi, ~a qui je dois un all6gement de la section IV.

II. Les sous-groupes distingu6s maximaux de U(H)e t O(HR).

Le point de d6part pour la preuve du th6or~me I utilise un ingr6dient crucial d6 h Brown et Pearcy [4], et qui est reformul6 dans notre premier lemme. L 'ensemble des entiers naturels est d6sign6 par N.

L E M M E 1. Soit U un sous-groupe distingu~ de U(H) . Supposons qu'il existe

A ~ U avec A ~ U E ( H , C). Alors il existe I II IIl une base orthonormale e = (e.).~N LI (e . ) .~N U (e . )n~N

un nombre r~el 0i,i avec 0 < 0~, t <~ 7r

une suite de hombres rdels( O,),~N avec O~,t<-<-O, <~ 7r pour tout n ~ N

tels que D ~ U, off D est l' op&ateur unitaire ddfini sur H par

I �9 I ] D e . = e x p ( - l O . ) e .

I I �9 I 1 ~ D e . = exp(+tO. )e , pour tout n ~ N. r'~ 11I II1 I L i e n ~ e n .J

Preuve.

Echelon 1. Notons (1> le produit scalaire sur H. En vertu du lemme 3.3 de [4], il

existe une suite or thononormale (e,) ,~N dans H et un nombre r6el 1- avec

244 PIERRE DE LA HARPE

0 ~ < r < 1 tels que, si q~. = Ae~ pour tout n ~ N, alors:

(i) ( e~ l q~.)=0 pour tous m, n ~ N avec m # n (ii) ](ex. I q~.)l<~r pour tout n ~ N

(e .) .~NU0g.) .~N est de (iii) le compl6mentaire ortbogonal de la famille x dimension infinie.

Pour tout n e N , soit alors eJ. I un vecteur de norme unit6, orthogonal h e'., et dans le plan engendr6 par e~. et q~.; soient o~. et /3. des nombres com-

I - - ~ I I = plexes tels que ~o. = s . c . ~- p .e . , de sorte que Is. [ = ](e ~1 q~.)] <~ r et Is. I z + ]/3. ] 2 1. Soit " m , l n U(e.).~NU e = ( e . ) . ~ , ~ r e . ).~N une suite orthonormale dans H telle que

lII\ e . ).~rv soit une base de H. Les matrices de A e t de son adjoint A* relativement ~ e sont donc respectivement

s et p* s* u*

U r * t * W

ofJ s [resp. /3] est la ( N x N ) - m a t r i c e diagonale d6finie par les a . [resp. les /3.]. Comme A est unitaire, A A * = 1:

a6 + pp* + rr* = 1 (1) ~/36+sp*+tr*=O

[ up* + wr* = 0

sfi+ps*+rt*=O pu*+rw*=O /3fi+ss*+tt*=l su*+tw*=O

us* + wt* = 0 uu* + ww* = 1

Echelon 2. Soit J l 'op6rateur unitaire de matrice / / +1 - 1 \ / "

\ ] - 1 contient l 'opdrateur B = JAJ*A*, dont la matrice se calcule ais6ment grfice aux formules (1):

-20/36 1-2/3B0

Pour tout n e N, le sous-espace H . de H engendr6 par e'. et e~ est invariant par B. La matrice relativement g la base (e~., e'. I) de la r6duction de B g H. s'6crit

= (2ls . I 2 - 1 2s.2/3. B. \ -26 . /3 . 2ls.] - 1 1 avec Is.12+l/3d=--1.

Ses valeurs propres sont donn6es par a . ~ = 3 . + i8. o/~

3". = 21s.12-1 et - l < ~ y . ~ < 2 r - l < l

Alors U

& = 241~.1=-Is.I ' O~<&~<l.

Comme 2 2 3 , . + 8 . = 1, il existe un unique nombre r6el 0. avec O<Omin <~On<~Tret


12 = exp ( • iO.) off 0mi. = Arc cos (2~ "2- 1) est ind6pendant de n. De plus, il existe une (2 x 2)-matrice unitaire V. qui diagonalise B.:

D. , ( e x p ( - i 0 , ) 0 ) = V , , B , V , = 0 exp (+iO,) "

Soit enfin V l 'op6rateur unitaire sur H d6fini par Ve~. = V.eX., V e . u = V . e . n e t W e l l l 111 n = e~ pour tout n ~ N. Alors D = V B V * a l e s propri6t6s d6sir6es.

Nous rappelons ensuite un lemme-cl6 darts la preuve standard de la simplicit6 de SU(2) modulo son centre. L 'espace C 2 est muni du produit scalaire, de la norme associ6e, et de la base or thonormale (e, e') canoniques; le groupe SU(2) agit canoniquement sur C 2.

L E M M E 2. Soit e un hombre r~el avec 0 < e <~ 2. Alors il existe un entier positif k

ayant la propri~t~ suivante: Pour tout A ~ SU(2) avec [[Ae-e[[>~e, il existe k

dl~ments V1 . . . . . Vk dans S U ( 2 ) tels que ( V k A V * V k - I A V*k-j "'" V1A V*)(e) = - e

Preuve: Voir dans Artin ([2], chapitre V, w 2) le cas presqu'identique de SO(3). Les V i d6pendent 6videmment de A; l ' importance du lemme 2 ic ies t que leur nombre ne d6pend que de E.

Dt~FINITION. Une involution de H est un op6rateur unitaire J sur H avec j 2 = 1. Si J e s t une telle involution, soient H ~ = { x c H l J x = x } et H) -=

{ x e H I J x = - x } . Si p = d i m H~- et q = d i m H)-, nous disons que J est de type

(p, q); on a p, q e Nt3 {~} et p + q = d i m H = ~ .

Nous montrons dans les lemmes 3 et 4 que le groupe U du lemme 1 contient toutes les involutions de H.

L E M M E 3. Soit U comme dans le lemme 1. Alors U contient une involution de

type (% ~).

Preuve.

= (exp(- i0n) 0 ) Echelon 1. Pour tout n e N , soit D , \ 0 exp(+i0n) comme dans le

lemme 1; alors

ItD.e '. - e'.ll = texp (- iO.) - I I t> texp (-iOi,,t) - 11 = e > 0.

I1 existe donc en vertu du lemme 2 un entier k (ind6pendant de n) et des

(2 x 2)-matrices unitaires V.,1 . . . . . V.,k tels que

(V..kD.V,,.k* " ' " Wn, lDnWn, l*)(Etn)=-fzln.


Pour tout j e { 1 . . . . . k}, soit V(j~ I 'op6rateur unitaire sur H d6fini par

I V(j)eo- V ,je'. } I I - - I I Vq)e. - V.,je. I i, pour tout n e N.

~r �9 I I I - - J v ( j ) e n - -

Alors l 'op6rateur E = V(k)DV(~)* �9 �9 V(~)DV(I)* est dans U, et sa matrice relativement h la base e est de la forme

0

Echelon 2. Soit F l 'op6rateur unitaire dont la matrice relat ivement

e est 1 . Comme E est dans U, il en est de m~me de J = FEF*E*, dont

0

la matrice est 1 . L 'op~rateur J est donc une involution de type

0 -

(~, ~) qui est dans U.

L E M M E 4. Soit U comme dans le lemme 1. Alors U contient mutes les involutions de H.

Preuve. I1 est ~vident que deux involutions de H sont conjugu~es par un 616ment de U(H) si et seulement si elles sont de m~me type; il suffit donc de v~rifier que U contient une involution de chaque type (p, q). S i p = q = ~, il n 'y a plus rien g d~montrer. S i p est fini, soit A un d6calage bilat6ral d 'ordre p, donn6 dans une base or thonormale (e , ) ,~z de H pat Ae, = en+p; et soit J1 l ' involution donn6e par J l e , = e , si n~<0 et J ~ e , = - e , si n > 0 . Comme J1 est de type (oo, oo), c 'est un

616ment de U, et il en est de m6me de J2 = AJ1A*Jx. On v6rifie facilement que J2 est une involution de type (0% p). Enfin l ' involution - J1 est dans U puisque de type (0o, 00), et J3 = - J ~ J 2 est une involution de type (p, ~) qui est dans U.

Nous sommes en mesure d'6tablir la partie non banale du th60r~me I.

P R O P O S I T I O N 1. Soit U un sous-groupe distingu~ de U(H). Alors: ou bien U = U(H), ou bien U c UE(H, C).

Preuve. Les lemmes 1 h 4 montrent que, si U r UE(H, C), alors U contient toutes les involutions de H. La proposit ion r6sulte du th60r~me de Halmos et

Kakutani, selon lequel tout op6rateur unitaire sur un espace de Hilbert complexe


de dimension infinie est un produit de quatre involutions. (Voir par exemple Halmos [7], probl~me 112.)

Consid6rons maintenant l 'espace de Hilbert HR. L'6nonc6 et la preuve du lemme 3.3 de Brown et Pearcy [4] s '6tendent imm6diatement au cas r6el. Par

suite, si O est un sous-groupe distingu6 de O(HR) qui n'est pas contenu clans OE(HR, C), alors on montre comme dans le lemme 1 que O contient un op6rateur DR, dont la matrice relativement ~ une base ad hoc n'exhibe que des (3 • 3)-blocs centr6s sur la diagonale; ces blocs sont de deux types: une infinit6 de

blocs du type | s in0~ cos 0, avec 0 < 0i,f~ 0, ~< r r e t une infinit6 de blocs

0

6gaux fi 1 . L 'analogue du lemme 2 pour le groupe SO(3) est bien connu

0 (voir Artin [2] chapitre V w 2). On peut donc montrer comme aux lemmes 3 et 4 que O contient toutes les involutions de HR.

La preuve du th~or~me de Halmos et Kakutani, utilis6 pour la proposition 1, s '&end 6galement sans peine au cas r6el. Le seul point qui m6rite quelque commentaire est l 'existence, pour tout op&ateur A normal sur HR, d 'une suite infinie de sous-espaces ferm6s orthogonaux de HR, tous de dimension infinie et tous invariants par A. Ce dernier fait r6sulte du th6or~me spectral (voir Halmos [7] probl~me 111), et se d6montre de la mfime mani&e dans le cas r&l que dans le cas complexe. On trouvera une r6daction du th6or~me spectral pour les op&ateurs normaux sur HR dans un article de Goodrich [6]. II suffirait d'ailleurs dans notre cas d'utiliser deux r&ultats plus anciens; d 'abord le th6or~me spectral pour les op&ateurs auto-adjoints sur HR (voir Stone [25], fin du chapitre IX w 2); ensuite la forme des opdrateurs or thogonaux sur HR raise en ~vidence par Martin ([19], th6or~me IV): pour tout A e O(HR), il existe une involution J e t un op6rateur anti-adjoint S sur HR tels que A = J exp (S) avec JS = SJ. Nous avons

montr&

P R O P O S I T I O N 1R. Soit 0 un sous-groupe distingu~ de O(HR). Alors: ou bien

O= O(HR), OU bien O c OE(HR, C).

III. Les sous-groupes distingu6s minimaux; preuve du th6or~me !.

Soient H et HR comme dans la section I.


PROPOSITION 2. Les groupes SU(H, Co), SO(Hm Co), SL(H, Co) et SL(HR, Co) sont simples.

Preuve. On montre d 'abord que ces groupes sont localement presque simples. En d'autres termes: tout sous-ensemble fini d 'un de ces groupes est contenu dans un sous-groupe, respectivement de la forme SU(n), SO(n), SL,(C) ou SLy(R); et chacun de ces groupes classiques n'a comme sous-groupes distingu6s non triviaux que des sous-groupes centraux finis. La proposition 2 r6sulte alors du fait que les groupes de l'6nonc6 ont des centres triviaux (c'est le lemme de Schur; voir Lang [17] appendice II). Les d6tails sont identiques ~ ceux qui concernent les alg~bres de Lie correspondantes ([8], proposition 1A page I. 2).

LEM ME 5. Soient F u n groupe et Fo un sous-groupe distingud de F. Supposons que

(i) Fo est simple; (ii) {~reF I cry = 3,or pour tout yeFo} est ~gal au centre de F.

Soit N un sous-groupe distingu~ non central de F. Alors N contient Fo.

Preuve. Soit v ~ N avec v non central. Par (ii), il existe y 6 F o tel que a = v y v - l y - l # 1. Donc F o A N n'est pas r6duit h {1}; comme c'est un sous-groupe distingu6 de Fo, il r6sulte de (i) que Fo N N = Fo.

PROPOSITION 3. (i) Soit U [resp. O] un sous-groupe distingu~ non central de U(H) [resp.

O(HR)]. Alors U [resp. O] contient SU(H, Co) [resp. SO(HR, Co)]. (ii) Soit G u n sous-groupe distingud non central de GL(H) [resp. GL(HR)].

Alors G contient SL(H, Co) [resp. SL(HR, Co)].

Preuve. I1 suffit d 'appliquer le lemme 5, dont la premi6re condition est v6rifi6e vu la proposition 2 et la deuxi~me v u l e lemme de Schur.

Les propositions 1 et 3(i) 6tablissent le th6or~me I de la premiere section. Le corollaire r6sulte alors du r6sultat suivant, qui est bien connu des sp6cialistes du folklore, mais que nous red6montrons ici faute de r6f6rence convenable.

PROPOSITION 4. (i) L'adh~rence de SU(H, Co) dans U(H) pour la topologie normique est

U(H, C). (ii) L'adh~rence de SO(HR, Co) dans O(HR) pour la topologie normique est la

composante connexe de O(HR, C).

Sous-groupes distingu~s du groupe unitaire 249

Remarque: On sait que U(H, C) est connexe et que la composante connexe de O(HR, C) est d'indice 2 dans O(HR, C); voir par exemple [9]. Nous formulons quelques lemmes avant de d6montrer la proposition 4 proprement dite.

LEMME 6. Soit K l'un des corps R, C. Soit fo l'espace des suites ]inies (A,),~N d'dldments de K telles que ~ A, = 0 ; soit Co l'ensemble des suites (A,),~N

h E N

d'dldments de K qui convergent vers zdro, ensemble que l'on muni de sa structure usuelle d'espace de Banach sur K. Alors fo est dense cans Co.

Preuve. Soit A=(A,) ,~NeCo. Pour tout ]eN, soit /xi=(/xJ,),~N la suite dans fo d6finie comme suit: Si n <] : tx~= A,; si ]<~n<-<-2]-l: tx~ =-1/1Y~,=o A ~ ; " ~-' si n~2]: /x~ = 0. Alors les/.t ~ convergent vers A.

Dans l'6nonc6 du lemme 7, on 6crit Hc au lieu de H, et K d6signe toujours l'un des corps R, C. L'espace vectoriel des op6rateurs de rang fini et ~t trace nulle sur HK est not6 sl(HK, Co). L'espace des op6rateurs compacts sur HK est not6

gI(HK, C).

LEMME 7. L'espace sl(HK, Co) est dense dans gl(Hr, C).

Preuve. Soit d 'abord A un op6rateur normal dans gl(Hc, C). Alors A est diagonal dans une base ad hoc, et les coefficients diagonaux de la matrice correspondante forment une suite dans co; (voir Halmos [7] probl~mes 132 et 133). Le lemme 7 r6sulte donc du lemme 6, puisque tout op6rateur dans gl(Hc, C) est la somme de deux op6rateurs normaux: A = �89 + A*) +�89 - A*). Soit ensuite A un op6rateur normal dans gl(HR, C). Alors A a une repr6sentation matricielle dans une base ad hoc qui ne contient que des coefficients diagonaux et des (2 x 2)-blocs centr6s sur la diagonale (Goodrich [6] remarque 3). Le lemme 6 permet h nouveau de conclure.

Soient alors shilb(HK, Co)={Aesl(HK, Co)[ A * = - A } et hilb(HK, C ) = {A e g/(HK, C) t A* = -A} .

LEMME 8. L'espace shilb(HK, Co) est dense dans hilb(HK, C).

Preuve. Soit A ~ hilb(Hn, C). I1 existe par le lemme 7 une suite (A,),~N de sl(HK, Co) qui converge vers A. Posons B,, = �89 A*) pour tout n e N. Alors (B,~),~N est une suite de shilb(HK, Co) qui converge aussi vers A.

Preuve de la Proposition 4. Nous faisons la d6monstration dans le cas r6el. 11 suliit de montrer que tout 616ment d 'un voisinage de l'identit6 dans O(HR, C) peut &re

250 PIERRE DE LA FIARPE

arbi trairement approch6 par des 616ments de SO(HR, Co). Soit donc A e O(HR, C) tel que la norme de A - 1 soit petite. Alors il existe un op6rateur anti-adjoint

compact S sur Hn tel que A = exp (S). (C'est un cas particulier faci le--puisque A - I e s t compac t - -d ' un r6sultat de Putnam et Wintner [21].) Par le lemme 8, il

existe une suite (S,),~N de so(HR, Co) qui converge en norme vers S. Comme l 'exponentielle est continue pour les topologies normiques, les op6rateurs A , = exp (S,) convergent vers A, et ils sont 6videmment tous dans SO(HR, Co).

IV. Un r6sultat alg~brique sur certains anneaux de matrices 2 • 2.

Dans toute cette section, nous d6signons par s~ un anneau associatif avec unit6 1. Nous supposons que ~/poss~de un id6al bilat~re maximal % distinct de s~, tel que tout id6al bilat~re non trivial de s~ soit contenu dans %. De plus, nous supposons syst6matiquement que .~ poss~de les deux propri6t6s suivantes:

(P1): 2 est inversible dans ~/;

(P2): tout 61~ment de .~ est une somme finie d'616ments inversibles de ~ . Les anneaux qui v6rifient (P2) ont 6t6 6tudi6s par exemple par Henriksen (voir [10] et sa bibliographie); ils ont 6t6 class6s dans le cas fini par Stewart [24]. Les anneaux d 'op6rateurs usuels sur H ou HR satisfont certainement (P1) et (P2).

Le groupe d6riv6 du groupe GLl(sg) des 616ments inversibles de .~l sera d6sign6 par SL~(s~), et le groupe des (2• inversibles sur s~ par

GL2(~/).

P R O P O S I T I O N 5. Soit G u n sous-groupe distingu~ de GL2(s~). Supposons qu'il existe des ~l~ments a, b, c, jl, j2, j3, j4 dans s~ avec

x, y, z, t ~ avec tinversible et tx- tyt- lz~SLl(~t) . Alors (x y~ est Soient \ 2: t ~

inversible et ( x r) e G.

Nous d6composons la preuve de la proposit ion 5 en trois lemmes, 0/1 G est une lois pour toutes un sous-groupe distingu6 de GL2(s~). On aura remarqu6 que, si ~/ est un corps gauche, alors la condition t x - t y t - l z e S L l ( ~ ) s'6crit (x :) det = 1; toutefois, dans ce cas, la proposit ion serait vide, puisqu'on aurait

Z

forc~ment jl = 0 e q~.


LEMME 9. Soient a . . . . . j4 comme dans la proposition 5. Alors il existe r, s dans sg

Preuve. Soit n un multiple entier de l'unit6 de ~ . L'op6rateur

X =(I0 1 ) ( a ob)(l 0 n'~-'(1 n+j~'~( h j2~( l . -1 c 1] \ 0 1 ] \ j3 j4 / \O nl l ' )

=(a-F-nc b + a j l .-l-ncjll(jl j 2 - n j l - j 2 1

\ C Cjl / q 3 j , - - n i3- - j3 j l /

est 6videmment dans G. Vu les hypotheses de la proposition 5:

a j2 + b j4 = 0

C j2 = 1 ;

ajl + bj3 = 1

ch = 0

et par suite:

1 + ajlj3 X , = 0

avec

N n,)

N(n ) = ( a + nc ) ( j2 - njl _ j2) + ( b + a jO( j4 - n j 3 - j3j,) =

= aj2 - nail - aj2+ ncj2 +

+ bj4 - nbj3 - bj3jl + ajlj4 - najlj3 - ajlj3jl

= - j l + a j l ( j 4 - nj3--j3jl).

Mais N(O) et N(1) ne sont pas t o u s l e s deux dans ~, sinon: ( N ( O ) - N ( 1 ) ) b = ajl(j3b) = ajl serait dans %, et donc aussi jl = - N ( 1 ) + a h ( j # - j 3 - j 3 j O , ce qui est contraire aux hypotheses.

L E M M E 10. Soient r, s dans ,~l avec r inversible, s~C~, et ( ;

w 0 1 e G p ~ 1 7 6

Preuve. Comme 2 est inversible et comme 0 =

(o

~) ~ G. Alors

252 P I E R R E D E LA H A R P E

Par suite, pour toute paire u, v d'616ments inversibles de ~/:

(o o ~ ~ ~) I1 r6sulte alors de ce que s~ satisfait (P2) que 1 e G pour tout 616ment w

dans l'id6al bilat~re engendr6 par s dans s~, donc pour tout w dans sg par maximalit6 de ~.

(1)w (x LEMME 11. Si 0 1 e G p~ t~ w e s~' alors z

dans s~ avec t inversible et t x - tyt- l z ~ SLI(sg).

w 0 1 Preuve. P o u r t o u t w ~ : ( ~ 10)(10 1)(1 10)=(w

inversible dans ~:

et aussi:

(?1 ; ) ( ~ - g - ~ ) = ( g gO~) ~G"

~) ~ G pour tous x, y, z, t

0) G. Donc, pour tout g

1

De sorte que, pour tout commutateur multiplicatif ghg-~h -1 dans s~:

- 1 1 0 g 0 0 (~ o)(o ~)(o ~O(-h' ~)(; o)~__ _-(~ o --(~"~"~o

I1 en r6sulte que (~ ~ ) e G p o u r t o u t k e S L l ( S g ) . S o i e n t e n f i n x , y , z , t ~ M a v e c t

inversible et t x - t y t - l z e SL1(M); alors:

- 0 1 (,o I ~)(,x_,,,lZo 1)(o ~,x-,,,~z,~,,~11 ,,,~ ~)-- ~('o' ~)('~-"'~o ,;)(1,~z ~)~ =(t01 o] [ tx ~ x

t ] \ t - l z 1 ) = ( z r) ~G"


V. Les sous-groupes distingu6s de GL(H) et GI(HR).

Soit G on sous-groupe distingu6 de GL(H). Supposons qu'il existe A ~ G avec A~ GE(H, C). Brown et Pearcy ont montr6 ([4], corollaire 3.4) qu'il existe un op6rateur lin6aire born6 inversible T:H---~ H ~ H tel que

et tel que le noyau de l'adjoint b* de b est de dimension infinie. Soit alors

( jl j2 = a L'op6rateur j~ n'est pas compact. En effet, s'il l'6tait et vu j3 j4 C

que ah + bj3 = 1, il existerait d ~ C(H) avec bj3 = 1 - d*, et on aurait j3*b* = 1 - d ,

ce qui est impossible puisque le noyau de j3*b* est de dimension infinie. Consid6rons l 'isomorphisme de groupes

,r'l GL(H)-"~GL2(L(H)) = G L ( H ~ H) "[ A ' T A T -1

Comme C(H) est un id6al bilat6re absolument maximal dans L(H) (voir Calkin [5]), ia proposition 5 implique que le sous-groupe distingu6 I-(G) de G L ( H G H )

contient toutes les matrices (x Y] avec t inversible et t x - t y t - l z dans le groupe \ z t~

des commutateurs de GL(H). Mais GL(H) est 6gal h son groupe des commutateurs (voir par exemple Haimos [7] probl6me 192). Donc r(G) contient

t ~ xz Yt) avec t et t x - t y t - l z inversibles"

PROPOSITION 6. Soit G u n sous-groupe distingu~ de GL(H). Alors: ou bien G = GL(H), ou bien G c GE(H, C).

Preuve. Supposons que G r GE(H, C). Les notations 6tant comme ci-dessus, il suffit de montrer que ~-(G)= G L ( H ~ H ) . Lorsqu'on le munit de la topologie normique, GL(H@H) est un groupe topologique connexe (voir par exemple Kuiper [16]); il suffit donc de montrer que ~'(G) contient un voisinage de I'origine dans GL(H@H).

Soit ~ l 'ensemble des (2 x 2)-matrices ( : ~) ~ coetticients dans L(H) telles

que les normes des quatre op6rateurs 1 - x, y, z, 1 - t soient suffisamment petites (par exemple: plus petites que 1/10). Alors ~3 est un voisinage de l'origine dans

oe lus,, (: a,ors sont v r,i les, ui qoo

254 P I E R R E D E LA H A R P E

les normes de 1 - x et de 1 - ( t x - t y t - ~ z ) sont sutIisament petites. II r6sulte des remarques qui pr6c~dent la proposition que ~ c z(G), ce qui ach~ve la preuve.

Les ingr6dients utilis6s dans la preuve de la proposition 6 sont les suivants. (1 ~ Le corollaire 3.4 de Brown et Pearcy [4], dont l'6nonc6 et la preuve

passent sans aucune difficult6 au cas r6el. (On pourrait aussi 6tendre, sans doute, les preuves plus rEcentes de Anderson et Stampfli [1].)

(2 ~ La maximalit6 absolue de l'id6al bilat~re C(H) dans L(H), qui s'6tend aussi au cas r6el.

(3 ~ L'6galit6 de GL(H) et de son groupe d6riv6, qui est encore vraie dans le cas r6el. (Voir Halmos [7] probl~me 192, et les commentaires h la fin de notre section I1 concernant le th6or~me spectral pour les op6rateurs normaux sur HR [6].)

(4 ~ La connexit6 de GL(H) dans la topologie normique, qui n'offre pas davantage de difficult6 dans le cas r6el. Nous avons donc montr&

PROPOSITION 6R. Soit Gun sous-groupe distingu~ de GL(HR). Alors: ou bien G = GL(HR), ou bien G c GE(HR, C).

Le th6or~me II r6sulte des propositions 3 et 6. On v6rifie comme pour la proposition 4 que l'adh6rence de SL(H, Co) [resp. SL(HR, Co)] dans GL(H) [resp. GL(HR)] muni de la topologie normique est GL(H, C) [resp. la composante connexe de GL(HR, C)]. Le corollaire du th6or~me II 6nonc6 dans I'introduction est alors imm6diat.

Remarques. (i) La proposition 6 peut rappeler certains r6sultats expos6s par Bass ([3],

chapitre V). Toutefois l'analogie n'est gu6re instructive au niveau des preuves, puisque les "stable range conditions" de [3] ne sont pas v6rifi6es par l 'anneau L(H).

(ii) L'6tude des sous-groupes distingu6s du groupe g6n6ral lin6aire d'un espace vectoriel de dimension infinie (non muni d'aucune topologie) a 6t~ entreprise par Rosenberg [22]. Mais ses preuves ne s 'adaptent pas non plus aux cas qui nous int6ressent.

(iii) Dans la preuve de la proposition 6, il serait sans doute int~ressant de pouvoir remplacer l 'introduction du voisinage ~ par un argument de nature plus alg~brique; nous ne savons pas offrir une telle alternative.

(iv) Les propositions 1, 1R, 6 et 6R montrent que les sous-groupes distingu~s non triviaux de U(H), O(Hn), GL(H) et GL(HR) sont form,s de perturbations


compactes des scalaires, c'est-~-dire pr6cis6ment d'op6rateurs pour tesquels le

th6or6me spectral est "facile". Nous esp6rons revenir prochainement sur ce point, et en indiquer une application.

VI. Un corollaire sur i'alg~bre de Caikin et une question.

Soit CaI (H)= L(H) /C(H) I'alg~bre de Calkin de H, qui est une alg6bre stellaire. Soient CaI(H) ~"~ le groupe de ses 616ments inversibles et Cal(H) ~ le groupe de ses 616ments unitaires.

Lorsqu'il est muni de la topologie normique, CaI(H) ~"~ est un groupe topologique dont la composante connexe CaI(H)~ ~ est l'image de GL(H) par la projection canonique de L(H) sur CaI(H). On salt que Cal(H)i"~/CaI(H)~ ~ est isomorphe au groupe Z, et que l 'isomorphisme est donn6 par l'indice des op6rateurs de Fredholm (voir par exemple Palais [20], fin du chapitre VII). Ecrivons enfin PCaI(H)~ "~ le quotient de CaI(H)~ ~ par son centre C*. Sch6matiquement:

C �9

GL(H) /GL(H, C) ~ CaI(H)~ "v ~ Cal(H) i"v-~ Z

GL(H) /GE(H, C) ~ PCaI(H)~) "~

De m6me pour les groupes unitaires:

S I

U(H)/U(H, C) ~ Cal(H)g --~ CaI(H)" ~ Z

U(H)IUE(H, C)~PCaI(H)~)

PROPOSITION 7. Les groupes PCaI(H)~) et PCal(H)~o "~ sont simples.

Preuve: imm6diate h partir des propositions 1 et 6.

I1 en r6sulte que les sous-groupes distingu6s de Cal(H) i"v et CaI(H) ~ sont peu nombreux (tr6s petits ou tr6s gros) et tous connus. L'anneau CaI(H) est simple; la proposition 7 ajoute un exemple h la th6orie g6n6rale des relations entre les propri6t6s de simplicit6 d 'un anneau [resp. d'un anneau avec involution] et les


propri6te~ de simplicit6 du groupe de ses 616ments inversibles [resp. unitaires]; voir

ce suje t Hers te in [11] et Lanski [18].

Soient q un id6al bilat~re non trivial de L ( H ) et p l 'appl icat ion canon ique de

G L ( H ) dans le groupe des 616merits inversibles de L ( H ) / q . Soit G E ( H , q ) =

p - l ( C * ) , et soit G L ( H , q) ' le groupe d6riv6 du noyau de p. Soit alors G u n

sous-groupe dist ingu6 de G L ( H ) ; nous di rons que G est un groupe de congruence

de n iveau q s'il existe un id6al bilat~re q de L ( H ) tel que G L ( H , q) ' c G c G E ( H , q).

Question: Les sous-groupes dist ingu6s de G L ( H ) sont-i ls tous des groupes de

congruence?

VII. REFERENCES.

[1] J. H. ANDERSON et J. G. STAMPFLI: Commutators and compressions. Israel J. Math. 10 (1971) 433--441.

[2] E. ARTIN: Alg~bre gdom~trique. Gauthier-Villars 1962. [3] H. BASS: Algebraic K-theory. Benjamin 1968. [4] A. BROWN et C. PEARCY: Structure of commutators of operators. Ann. of Math. 82 (1965)

112-127. [5] J. W. CALKIN; Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space.

Ann. of Math 42 (1941) 839-873. [6] R. K. GOODRICH: The spectral theorem for real Hilbert space. Acta Sci. Math. (Szeged) 33 (1972)

123-127. [7] P. R. HALMOS: A Hilbert space problem book. Van Nostrand 1967. [8] P. DE LA HARPE: Classical Banach-Lie algebras and Banach-Lie groups of operators in Hilbert

space. Springer Lecture Notes in Math. 285 (1972). [9] : Some properties of infinite-dimensional orthogonal groups. In "Global analysis and its

applications, vol. II", publi6 par 1AEA, Vienne 1974. [10] M. HENRIKSEN: Two classes of rings generated by their units. J. of Algebra 31 (1974) 182-193. [11] I. N. HERSTEIN: 0n the multiplicative group of a Banach algebra. Symposia Mathematica 8

(1972) 227-232. [12] R. V. KADISON: Infinite unitary groups. Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952) 386-399. [13] : Infinite general linear groups. Trans. Amer. Math. Soc. 76 (1954) 66-91. [14] ..... : On the general linear groups of infinite factors. Duke Math. J. 22 (1955) 119-122. [15] I. KAPLANSKY: Rings of operators. Benjamin 1968. [16] N. KUIPER: The homotopy type of the unitary group of Hilben space. Topology 3 (1965) 19-30. [17] S. LANG: Introduction aux varidt~s diff~.rentiables. Dunod 1967. [18] C. LANSKI: The group of units of a simple ring, I & II. J. of Algebra 15 (1970) 554-569 & 16

(1970) 108-128. [19] M. H. MARTIN: 0n infinite orthogonal matrices. Am. J. Math.54 (1932) 579-631. [20] R. S. PALA1S: Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Princeton Univ. Press 1965. [21] C. R. PUTNAM et A. WINTNER: The orthogonal group in Hilbert space. Am. J. Math. 74 (1952)

52-78. [22] A. ROSENBERG: The structure of the infinite linear groups. Ann. of Math. 68 (1958) 278-294. [23] R. SCHATTEN; Norm ideals of completely continuous operators. Springer 1960. [24] I. STEWART: Finite rings with a specified group of units. Math. Z. 126 (1972) 51-58 & 128 (1972)

187.


[25] M. H, STONE: Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis. Amer, Math. Soc. Colloquium Pub., 15 (1932)

lnstitut de Math~matiques Universit~ de Lausanne 1015 Dori gn y-Lausanne (Suisse).

Re~u. le 7 Mai 1975

Documents

Sous-groupes distingués du groupe unitaire et du groupe général linéaire d'un espace de Hilbert