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    06-Feb-2018

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- 1 - Universit de Versailles et Saint Quentin-en-Yvelines LISV - Laboratoire d'Ingnierie des Systmes de Versailles Btiment Descartes RC27 45, Avenue des Etats-Unis 78035 Versailles Master 2 SPI DSME Responsable: Paolo VANNUCCI (paolo.vannucci@meca.uvsq.fr) Cours Matriaux Composites: Anisotropie et mcanique des stratifis A.U. 2005-06 Squence complte de calcul d'un stratifi Dans ce document on dtaille les tapes ncessaires mener bien le calcul d'un stratifi, une fois sa composition connue (matriaux des plis et squence d'empilement) et lorsque le mme stratifi est soumis un tat de sollicitation mcanique et thermique connu. Un exemple numrique est dvelopp la fin. 1. DONNEES DE DEPART 1.1 Matriaux composant le stratifi: ils sont orthotropes et d'habitude connus grce aux constantes de l'ingnieur dans l'es directions d'orthotropie de la couche, E1, E2, 12 et G12, aux caractristiques de rsistance de chaque pli Xc, Xt, Yc, Yt, S et ventuellement F12*, aux coefficients de dilatation thermique et d'absorption d'eau dans les deux directions d'orthotropie, 1, 1, 1 et 2, et leur paisseur hc. Une alternative est celle de donner directement les composantes tensorielles du tenseur de la rigidit Q, Q11, Q12, Q22 et Q66; dans ce cas, l'tape de calcul du tenseur Q partir des constantes de l'ingnieur n'est videmment pas ncessaire. 1.2 Actions mcaniques: elles sont donnes en spcifiant, dans les axes du stratifi, le tenseurs N et M des actions de membrane et de flexion: Nx, Ny, Nxy, Mx, My et Mxy. 1.3 Actions thermiques: elles sont donnes en spcifiant la variation de temprature t par rapport un tat sans contraintes (normalement celui de fabrication du stratifi) et la variation de temprature t entre la surface suprieure et l'infrieure du stratifi. 1.4 Actions hygroscopiques: elles sont donnes en spcifiant le pourcentage d'eau m absorbe par rapport l'tat de fabrication du stratifi et la variation m de pourcentage d'eau entre la surface suprieure et infrieure du stratifi. 2. CALCUL DES TENSEURS DES COUCHES On dtaille dans ce paragraphe la faon dont on calcule les tenseurs caractristiques de chaque couche, qui serviront ensuite au calcul des tenseurs caractristiques du stratifi. Bien videmment, dans le cas, trs frquent, d'un stratifi compos de plis identiques, ce calcul ne se fait qu'une seule fois, pour le pli de base. 2.1 Tenseurs Qk: pour chaque couche k, il faut calculer le tenseur de rigidit rduite dans les axes d'orthotropie de la couche: _____________________________________________________________________ - 2 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi ,,1,1,1126621122222112121122112111GQEQEQEQ==== (1) avec 121221 EE = . (2) 2.2 Tenseurs k=Qkk: si le chargement thermique n'est pas nul, pour chaque couche k il faut calculer le tenseur des rigidits thermique dans les axes d'orthotropie de la couche: .000000222112212111216622121211++=== QQQQQQQQQkkk Q (3) 2.3 Tenseurs k=Qkk: si le chargement hygroscopique n'est pas nul, pour chaque couche k il faut calculer le tenseur des rigidits hygroscopique dans les axes d'orthotropie de la couche: .000000222112212111216622121211++=== QQQQQQQQQkkk Q (4) 3. CALCUL DES TENSEURS DU STRATIFIE On dtaille dans ce paragraphe la faon dont on calcule les tenseurs qui dcrivent le comportement du stratifi: =HGGFWVVUDBBAMNhmmhtto . (5) 3.1: Tenseurs A, B et D: ces tenseurs sont donns par = = = ===nk kkkknk kkkknk kkkkzzzzzz131312121 1);)((31,))((21,))((QDQBQA (6) ici, k est l'angle dont l'axe x1 du pli k est tourn par rapport l'axe x du stratifi, comme en figure. Il est impratif d'exprimer les diffrents tenseurs Qk dans le mme repre, celui de la plaque, {x, y, z}. y x1 x2 x3 z x k _____________________________________________________________________ - 3 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi Pour ce faire, on utilise les formules de changement de repre: si c= cos k et s= sin k, alors ++=2266121142222433333322224422222222442233333342222442)(2224)(242QQQQccscsssccssccssccscscssccscscscssccscssccssccsscscscscQQQQQQyyysssxyxsxx. (7) Si les plis sont identiques, les formules sont plus simples; en numrotant les couches selon le schma de figure, on obtient ======nk kknk kknk kdnhbnhnh1331221),(31,)(21,)(QDQBQA (8) avec [ ].)2(34)1(1241,12+++==nnnkkdnkbkk (9) A remarquer que les coefficients bk sont antisymtriques par rapport au plan moyen et les dk symtriques. 3.2 Tenseurs U, V et W: ces tenseurs dcrivent le comportement thermo-lastique du stratifi; en gnral, ( )( )( ).)(31,)(21,)(131312121 1= = = ===nk kkkknk kkkknk kkkkzzzzzzWVU (10) La rotation de k des tenseurs k, qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grce aux relations suivantes: =22112222csscscscyyxyxx. (11) Dans le cas de plis identiques, alors: z n h/2 h/2 zk-1 zkk 1 _____________________________________________________________________ - 4 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi .)(31,)(21,)(1331221======nk kkknk kkknk kkdnhbnhnhWVU (12) 3.3 Tenseurs F, G et H: ces tenseurs dcrivent le comportement hygro-lastique du stratifi; en gnral, ( )( )( ).)(31,)(21,)(131312121 1= = = ===nk kkkknk kkkknk kkkkzzzzzzHGF (13) La rotation de k des tenseurs k, qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grce aux relations suivantes: =22112222csscscscyyxyxx. (14) Dans le cas de plis identiques, alors: .)(31,)(21,)(1331221======nk kkknk kkknk kkdnhbnhnhHGF (15) 4. INVERSION DE LA LOI DE COMPORTEMENT Le calcul des contraintes dans chaque couche ncessite du calcul des dformations et pour cela il est indispensable d'inverser la loi de comportement (5). Faisons cela par tapes. 4.1 Cas d'un chargement mcanique: dans ce cas la (5) se rduit =DBBAMN o; (16) en gnral, l'inversion donne =MNDBBA 1o (17) et donc il faut inverser la matrice complte; cela est faisable et on peut crire la formule d'inversion d'une matrice 66 une fois pour toute. Le problme est que cette formule est trs longue et complique. Une autre faon d'aborder ce mme problme est d'inverser un un les _____________________________________________________________________ - 5 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi trois tenseurs qui apparaissent dans (17), A, B et D. On peut donc rcrire la (17) sous la forme =MNdbbaTo (18) avec ( )( )( ) .,,11111111====BDBBDAaBDbBBADdBBDAa (19) Le problme se simplifie considrablement au cas o le stratifi est dcoupl; dan ce cas B=b=O et ,,dMaN==o (20) avec .,11==DdAa (21) On rappelle la formule d'inversion de A (pour D c'est analogue): =2122211261116122216261226111612216661166122616221626126612261622666221AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAa , (22) avec .2 222162616126621222611662211 AAAAA+AAAAAAA = (23) 4.2 Cas d'un chargement thermique et/ou hygroscopique: dans ce cas la (5) se rduit +++=HGGFWVVUDBBAhmmhtto 1. (24) Encore une fois, en inversant les tenseurs un un grce aux (19) on trouve: +++=hggfwvvu 2121 hmmhtto , (25) avec ,,,,T2T1dWVbwbWaVvdVUbvbVaUu+=+=+=+= (26) et _____________________________________________________________________ - 6 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi .,,,T2T1dHGbhbHaGgdGFbgbGaFf+=+=+=+= (27) Si le stratifi est plis identiques et B=O, alors on peut montrer que mme V=v1=v2=O et aussi que G=g1=g2=O et donc les (26) et (27) se simplifient pour donner .,,,dHhaFfdWwaUu==== (28) 4.3 Cas d'un chargement complet: dans ce cas il faut prendre en considration la (5) dans sa totalit et on obtient: ++++=HGGFWVVUMNDBBAhmmhtto 1 (29) et donc, en procdant comme dans les cas prcdents, ++++=hggfwvvuMNdbba 2121T hmmhtto . (30) De cette dernire quation on voit bien que la dformation totale, de membrane ou de flexion, est due la partie mcanique (consquence de l'application des charges), la partie thermique et la partie hygroscopique, comme si toutes agissaient sparment (superposition des effets due la loi de Hooke-Duhamel). 5. CALCUL DES CONTRAINTES DANS LES COUCHES Les contraintes dans les couches on les calcule grce la loi de comportement; elles sont fonction de la couche et de la position du point de calcul l'intrieur de la couche mme, la contrainte et la dformation tant fonction de la position verticale z par rapport au plan moyen. 5.1 Calcul des contraintes dans le repre du stratifi: pour calculer les contraintes dans le repre du stratifi il suffit d'appliquer, pour une couche k, la loi contrainte dformation pour une position z qui appartient la couche; normalement, le calcul est fait en correspondance du plan moyen de la couche, tant donn que pour des couches minces la contrainte ne varie pas beaucoup dans l'paisseur de la couche mme. Donc on aura, pour la couche k, [ ] [ ]( )QQ zzz okkkkk +== )()()()( (31) o Qk(k) est le tenseur de rigidit de la couche k calcul dans le repre du stratifi, l'aide de la (7) et donc dj connu. La coordonn z appartient l'intervalle [zk-1, zk]. 5.2 Calcul des contraintes dans le repre matriel de la couche: dans ce cas il faut d'abord tourner le tenseur de la dformation pour le ramener au repre de la couche: [ ] [ ]( )TT zzz okk +== )()()()( TT (32) _____________________________________________________________________ - 7 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi avec =222222T22)(sccscscscscssckT . (33) Ensuite, on aura tout simplement )()( zz kk Q = , (34) o Qk est le tenseur de rigidit du pli dans son repre matriel. Une autre faon de faire, est celle de calculer d'abord le tenseur de la contrainte '(z) de la couche k la cte z dans le repre du stratifi, selon la (31); ensuite, on ramne la contrainte au repre matriel de la couche grce la relation [ ] )()()( zz k T = , (35) avec =22222222)(sccscscscscssckT . (36) 6. VERIFICATION DES COUCHES La connaissance de la contrainte dans les couches permet de faire la vrification du matriau, qui doit tre faite couche par couche; cette vrification dpend du critre de rsistance choisi. 6.1 Critre de la contrainte maximale: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repre matriel soient bornes par les valeurs limites propres au matriau constituant le pli: .,,621SYYXXtctc (37) Alternativement, si l'on connat les contraintes dans le repre du stratifi, il faudra vrifier que .)(,2,2222222SsccscsYcscsYXcsscXsyxtsyxctsyxc+++++ (38) 6.2 Critre de la dformation maximale: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les dformations dans le repre matriel soient bornes par les valeurs limites propres au matriau constituant le pli: .,,621SYYXXtctc (39) _____________________________________________________________________ - 8 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi Alternativement, si l'on connat les dformations dans le repre du stratifi, il faudra vrifier que (attention, la transformation est diffrente par rapport celle des contraintes) .)(22,,222222SsccscsYcscsYXcsscXsyxtsyxctsyxc+++++ (40) 6.3 Critre de Tsai-Hill: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repre matriel satisfont la limitation: 1262212221 ++SXYX . (41) Dans la (41), les valeurs de X et Y sont celles de compression ou de traction; dfaut d'indications plus prcises, on choisira, de faon conservative, la valeur qui rend le premier membre le plus grand. Alternativement, si l'on connat les contraintes dans le repre du stratifi, il faudra vrifier que ( ) ( ).1)(222222222222222222 ++++++ ++ ++SsccscsXcscscsscYcscsXcsscsyxsyxsyxsyxsyx (42) 6.4 Critre de Hoffmann: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repre matriel satisfont la limitation: .122621212221 ++++SYYYYXXXXXXYYXX tctctctcctctct (43) Comme pur les critres prcdents, on peut faire le calcul directement dans le repre du stratifi. 6.5 Critre de Tsai-Wu: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repre matriel satisfont la limitation: .122262121*122221 +++++SYYYYXXXXXXFYYXX tctctctcctctct (44) Comme pur les critres prcdents, on peut faire le calcul directement dans le repre du stratifi. A remarquer que si, comme c'est le cas souvent, 21*12 =F (45) les critres de Hoffmann et de Tsai-Wu concident. 7. CALCUL DES CARACTERISTIQUES EQUIVALENTES DU STRATIFIE 7.1 Constantes de l'ingnieur: les constantes de l'ingnieur en membrane et en flexion se calculent facilement partir des tenseurs de souplesse normalis: _____________________________________________________________________ - 9 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi .12*,*3ddaahh== (46) Donc, une fois calculs a* et d*, on a (indice m pour les caractristiques de membrane, f pour celles de flexion): ,,,,1,1,1**,**,*****yyysmyxyxxxsmxxyxxxymxyssmxyyymyxxmxaaaaaaaGaEaE====== .,,,1,1,1**,**,*****yyysfyxyxxxsfxxyxxxyfxyssfxyyyfyxxfxdddddddGdEdE====== (47) 7.2 Caractristiques thermo-hygroscopiques: les coefficients de dilatation et de courbure thermo-hygroscopiques sont simplement les composantes des tenseurs u,w,f et h: ,2,,,2,,smxyymyxmxsmxyymyxmxfffuuu====== .2,,,2,,sfxyyfyxfxsfxyyfyxfxhhhwww====== (48) 8. EXEMPLE NUMERIQUE Stratifi avec 5 couches identiques, squence [//0//], avec =30. Le matriau est du carbon-poxyde T300-5208; les valeurs caractristiques sont: hc=0.125 mm E1= 181000 MPa E2=10300 MPa G12=7170 MPa 12=0.28 Xt=1400 MPa Xc=900 MPa _____________________________________________________________________ - 10 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi Yt=35 MPa Yc=110 MPa S=70 MPa F*12=0.3 Le stratifi est charg avec mMN105.00104=N , MN100306=M . En faisant les calculs comme indiqu on trouve: h=0.625 mm =717000010346289702897181811Q MPa =3673620053541932005323647324635419332463109379)(Q MPa =3673620053541932005323647324635419332463109379)( Q MPa mMN26.1900012.1359.16059.1641.77=A B=O MNm1074.023.063.023.048.065.063.065.024.26-=D MNm1052.000005.122.0022.018.01=a _____________________________________________________________________ - 11 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi MNm11081.131.042.031.054.395.042.095.084.06=d MPa11032.000065.014.0014.011.0* 4=a MPa11037.006.008.006.072.019.008.019.017.0* 4=d ,0,0,265.1,MPa30822,MPa15296,MPa90279,,======myxymxxymxymxymymxGEE .087.0,5.0,124.1,MPa27228,MPa13887,MPa58148,,======fyxyfxxyfxyfxyfyfxGEE Remarque: le stratifi est orthotrope en membrane mais pas en flexion. m19.06.108.2,10026.022.018.04== o . Tableau des contraintes _____________________________________________________________________ - 12 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi Tableau des facteurs de chargement Remarque: pour les critres de la contrainte maximale et de la dformation maximale, le facteur de chargement est le rapport entre la contrainte, ou la dformation, et sa valeur admissible; la vrification est satisfaite si ce facteur est donc infrieur 1. Dans les autres critres, le premier membre des diffrentes expressions est directement le facteur de chargement. Graphiques du module d'Young et de cisaillement en membrane (MPa) E G_____________________________________________________________________ - 13 - P. Vannucci - Calcul d'un stratifi Graphiques du module d'Young et de cisaillement en flexion (MPa) Versailles, 23/10/2005 P. Vannucci E G

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