Squence complte de calcul d'un 20Stratifi%e9/...On dtaille dans ce paragraphe la faon dont on calcule les tenseurs caractristiques de chaque ... en inversant les tenseurs un un grce aux ...

  • Published on
    06-Feb-2018

  • View
    213

  • Download
    0

Transcript

  • - 1 -

    Universit de Versailles et Saint Quentin-en-Yvelines LISV - Laboratoire d'Ingnierie des Systmes de Versailles Btiment Descartes RC27 45, Avenue des Etats-Unis 78035 Versailles Master 2 SPI DSME Responsable: Paolo VANNUCCI (paolo.vannucci@meca.uvsq.fr) Cours Matriaux Composites: Anisotropie et mcanique des stratifis A.U. 2005-06

    Squence complte de calcul d'un stratifi Dans ce document on dtaille les tapes ncessaires mener bien le calcul d'un stratifi, une fois sa composition connue (matriaux des plis et squence d'empilement) et lorsque le mme stratifi est soumis un tat de sollicitation mcanique et thermique connu. Un exemple numrique est dvelopp la fin. 1. DONNEES DE DEPART 1.1 Matriaux composant le stratifi: ils sont orthotropes et d'habitude connus grce aux constantes de l'ingnieur dans l'es directions d'orthotropie de la couche, E1, E2, 12 et G12, aux caractristiques de rsistance de chaque pli Xc, Xt, Yc, Yt, S et ventuellement F12*, aux coefficients de dilatation thermique et d'absorption d'eau dans les deux directions d'orthotropie, 1, 1, 1 et 2, et leur paisseur hc. Une alternative est celle de donner directement les composantes tensorielles du tenseur de la rigidit Q, Q11, Q12, Q22 et Q66; dans ce cas, l'tape de calcul du tenseur Q partir des constantes de l'ingnieur n'est videmment pas ncessaire.

    1.2 Actions mcaniques: elles sont donnes en spcifiant, dans les axes du stratifi, le tenseurs N et M des actions de membrane et de flexion: Nx, Ny, Nxy, Mx, My et Mxy. 1.3 Actions thermiques: elles sont donnes en spcifiant la variation de temprature t par rapport un tat sans contraintes (normalement celui de fabrication du stratifi) et la variation de temprature t entre la surface suprieure et l'infrieure du stratifi. 1.4 Actions hygroscopiques: elles sont donnes en spcifiant le pourcentage d'eau m absorbe par rapport l'tat de fabrication du stratifi et la variation m de pourcentage d'eau entre la surface suprieure et infrieure du stratifi.

    2. CALCUL DES TENSEURS DES COUCHES On dtaille dans ce paragraphe la faon dont on calcule les tenseurs caractristiques de chaque couche, qui serviront ensuite au calcul des tenseurs caractristiques du stratifi. Bien videmment, dans le cas, trs frquent, d'un stratifi compos de plis identiques, ce calcul ne se fait qu'une seule fois, pour le pli de base.

    2.1 Tenseurs Qk: pour chaque couche k, il faut calculer le tenseur de rigidit rduite dans les axes d'orthotropie de la couche:

  • _____________________________________________________________________

    - 2 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    ,

    ,1

    ,1

    ,1

    1266

    2112

    222

    2112

    12112

    2112

    111

    GQ

    EQ

    EQ

    EQ

    =

    =

    =

    =

    (1)

    avec

    1

    21221 E

    E = . (2)

    2.2 Tenseurs k=Qkk: si le chargement thermique n'est pas nul, pour chaque couche k il faut calculer le tenseur des rigidits thermique dans les axes d'orthotropie de la couche:

    .0000

    00

    222112

    212111

    2

    1

    66

    2212

    1211

    ++

    =

    ==

    QQQQ

    QQQQQ

    kkk Q (3)

    2.3 Tenseurs k=Qkk: si le chargement hygroscopique n'est pas nul, pour chaque couche k il faut calculer le tenseur des rigidits hygroscopique dans les axes d'orthotropie de la couche:

    .0000

    00

    222112

    212111

    2

    1

    66

    2212

    1211

    ++

    =

    ==

    QQQQ

    QQQQQ

    kkk Q (4)

    3. CALCUL DES TENSEURS DU STRATIFIE On dtaille dans ce paragraphe la faon dont on calcule les tenseurs qui dcrivent le comportement du stratifi:

    =

    HG

    GF

    WV

    VU

    DBBA

    MN

    hmm

    htt

    o . (5)

    3.1: Tenseurs A, B et D: ces tenseurs sont donns par

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    zz

    zz

    zz

    13

    13

    12

    12

    1 1

    );)((31

    ,))((21

    ,))((

    QD

    QB

    QA

    (6)

    ici, k est l'angle dont l'axe x1 du pli k est tourn par rapport l'axe x du stratifi, comme en figure. Il est impratif d'exprimer les diffrents tenseurs Qk dans le mme repre, celui de la plaque, {x, y, z}.

    y

    x1

    x2

    x3 z

    x

    k

  • _____________________________________________________________________

    - 3 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    Pour ce faire, on utilise les formules de changement de repre: si c= cos k et s= sin k, alors

    +

    +

    =

    22

    66

    12

    11

    422224

    333333

    2222442222

    22224422

    333333

    422224

    42)(2

    224

    )(242

    QQQQ

    ccscsssccssccssccscscssccscscscssccs

    cssccssccsscscscsc

    QQQQQQ

    yy

    ys

    ss

    xy

    xs

    xx

    . (7)

    Si les plis sont identiques, les formules sont plus simples; en numrotant les couches selon le schma de figure, on obtient

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kk

    n

    k kk

    n

    k k

    dnh

    bnh

    nh

    13

    3

    12

    2

    1

    ),(31

    ,)(21

    ,)(

    QD

    QB

    QA

    (8)

    avec

    [ ].)2(34)1(1241

    ,12

    +++=

    =

    nnnkkd

    nkb

    k

    k

    (9)

    A remarquer que les coefficients bk sont antisymtriques par rapport au plan moyen et les dk symtriques.

    3.2 Tenseurs U, V et W: ces tenseurs dcrivent le comportement thermo-lastique du stratifi; en gnral,

    ( )

    ( )

    ( ).)(31

    ,)(21

    ,)(

    13

    13

    12

    12

    1 1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    zz

    zz

    zz

    W

    V

    U

    (10)

    La rotation de k des tenseurs k, qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grce aux relations suivantes:

    =

    22

    11

    22

    22

    csscscsc

    yy

    xy

    xx

    . (11)

    Dans le cas de plis identiques, alors:

    z n

    h/2

    h/2

    zk-1 zk

    k

    1

  • _____________________________________________________________________

    - 4 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    .)(31

    ,)(21

    ,)(

    13

    3

    12

    2

    1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkk

    n

    k kkk

    n

    k kk

    dnh

    bnh

    nh

    W

    V

    U

    (12)

    3.3 Tenseurs F, G et H: ces tenseurs dcrivent le comportement hygro-lastique du stratifi; en gnral,

    ( )

    ( )

    ( ).)(31

    ,)(21

    ,)(

    13

    13

    12

    12

    1 1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    zz

    zz

    zz

    H

    G

    F

    (13)

    La rotation de k des tenseurs k, qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grce aux relations suivantes:

    =

    22

    11

    22

    22

    csscscsc

    yy

    xy

    xx

    . (14)

    Dans le cas de plis identiques, alors:

    .)(31

    ,)(21

    ,)(

    13

    3

    12

    2

    1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkk

    n

    k kkk

    n

    k kk

    dnh

    bnh

    nh

    H

    G

    F

    (15)

    4. INVERSION DE LA LOI DE COMPORTEMENT Le calcul des contraintes dans chaque couche ncessite du calcul des dformations et pour cela il est indispensable d'inverser la loi de comportement (5). Faisons cela par tapes.

    4.1 Cas d'un chargement mcanique: dans ce cas la (5) se rduit

    =

    DBBA

    MN o

    ; (16)

    en gnral, l'inversion donne

    =

    MN

    DBBA

    1o

    (17)

    et donc il faut inverser la matrice complte; cela est faisable et on peut crire la formule d'inversion d'une matrice 66 une fois pour toute. Le problme est que cette formule est trs longue et complique. Une autre faon d'aborder ce mme problme est d'inverser un un les

  • _____________________________________________________________________

    - 5 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    trois tenseurs qui apparaissent dans (17), A, B et D. On peut donc rcrire la (17) sous la forme

    =

    MN

    dbba

    T

    o

    (18)

    avec

    ( )( )

    ( ) .,

    ,

    1111

    11

    11

    ==

    =

    =

    BDBBDAaBDb

    BBADd

    BBDAa

    (19)

    Le problme se simplifie considrablement au cas o le stratifi est dcoupl; dan ce cas B=b=O et

    ,,

    dMaN

    ==o

    (20)

    avec

    .,

    1

    1

    ==

    DdAa (21)

    On rappelle la formule d'inversion de A (pour D c'est analogue):

    =2

    1222112611161222162612

    261116122

    16661166122616

    221626126612261622666221

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    a , (22)

    avec

    .2 222162616126621222611662211 AAAAA+AAAAAAA = (23)

    4.2 Cas d'un chargement thermique et/ou hygroscopique: dans ce cas la (5) se rduit

    +

    +

    +

    =

    HG

    GF

    WV

    VU

    DBBA

    hmm

    htt

    o 1

    . (24)

    Encore une fois, en inversant les tenseurs un un grce aux (19) on trouve:

    +

    +

    +

    =

    hg

    gf

    wv

    vu

    2

    1

    2

    1 hmm

    htt

    o , (25)

    avec

    ,,,

    ,

    T2

    T1

    dWVbwbWaVvdVUbv

    bVaUu

    +=

    +=+=

    +=

    (26)

    et

  • _____________________________________________________________________

    - 6 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    .,,

    ,

    T2

    T1

    dHGbhbHaGgdGFbg

    bGaFf

    +=

    +=+=

    +=

    (27)

    Si le stratifi est plis identiques et B=O, alors on peut montrer que mme V=v1=v2=O et aussi que G=g1=g2=O et donc les (26) et (27) se simplifient pour donner

    .,

    ,,

    dHhaFfdWwaUu

    ====

    (28)

    4.3 Cas d'un chargement complet: dans ce cas il faut prendre en considration la (5) dans sa totalit et on obtient:

    +

    +

    +

    +

    =

    HG

    GF

    WV

    VU

    MN

    DBBA

    hmm

    htt

    o 1

    (29)

    et donc, en procdant comme dans les cas prcdents,

    +

    +

    +

    +

    =

    hg

    gf

    wv

    vu

    MN

    dbba

    2

    1

    2

    1T h

    mmhtt

    o . (30)

    De cette dernire quation on voit bien que la dformation totale, de membrane ou de flexion, est due la partie mcanique (consquence de l'application des charges), la partie thermique et la partie hygroscopique, comme si toutes agissaient sparment (superposition des effets due la loi de Hooke-Duhamel).

    5. CALCUL DES CONTRAINTES DANS LES COUCHES Les contraintes dans les couches on les calcule grce la loi de comportement; elles sont fonction de la couche et de la position du point de calcul l'intrieur de la couche mme, la contrainte et la dformation tant fonction de la position verticale z par rapport au plan moyen.

    5.1 Calcul des contraintes dans le repre du stratifi: pour calculer les contraintes dans le repre du stratifi il suffit d'appliquer, pour une couche k, la loi contrainte dformation pour une position z qui appartient la couche; normalement, le calcul est fait en correspondance du plan moyen de la couche, tant donn que pour des couches minces la contrainte ne varie pas beaucoup dans l'paisseur de la couche mme. Donc on aura, pour la couche k,

    [ ] [ ]( )QQ zzz okkkkk +== )()()()( (31) o Qk(k) est le tenseur de rigidit de la couche k calcul dans le repre du stratifi, l'aide de la (7) et donc dj connu. La coordonn z appartient l'intervalle [zk-1, zk]. 5.2 Calcul des contraintes dans le repre matriel de la couche: dans ce cas il faut d'abord tourner le tenseur de la dformation pour le ramener au repre de la couche:

    [ ] [ ]( )TT zzz okk +== )()()()( TT (32)

  • _____________________________________________________________________

    - 7 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    avec

    =

    22

    22

    22

    T

    22)(

    sccscscscs

    cssc

    kT . (33)

    Ensuite, on aura tout simplement

    )()( zz kk Q = , (34)

    o Qk est le tenseur de rigidit du pli dans son repre matriel.

    Une autre faon de faire, est celle de calculer d'abord le tenseur de la contrainte '(z) de la couche k la cte z dans le repre du stratifi, selon la (31); ensuite, on ramne la contrainte au repre matriel de la couche grce la relation

    [ ] )()()( zz k T = , (35) avec

    =

    22

    22

    22

    22

    )(sccscs

    cscscssc

    kT . (36)

    6. VERIFICATION DES COUCHES La connaissance de la contrainte dans les couches permet de faire la vrification du matriau, qui doit tre faite couche par couche; cette vrification dpend du critre de rsistance choisi.

    6.1 Critre de la contrainte maximale: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repre matriel soient bornes par les valeurs limites propres au matriau constituant le pli:

    .

    ,,

    6

    2

    1

    SYYXX

    tc

    tc

    (37)

    Alternativement, si l'on connat les contraintes dans le repre du stratifi, il faudra vrifier que

    .)(

    ,2

    ,2

    22

    22

    22

    Ssccscs

    YcscsY

    XcsscX

    syx

    tsyxc

    tsyxc

    ++

    +

    ++

    (38)

    6.2 Critre de la dformation maximale: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les dformations dans le repre matriel soient bornes par les valeurs limites propres au matriau constituant le pli:

    .

    ,,

    6

    2

    1

    SYYXX

    tc

    tc

    (39)

  • _____________________________________________________________________

    - 8 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    Alternativement, si l'on connat les dformations dans le repre du stratifi, il faudra vrifier que (attention, la transformation est diffrente par rapport celle des contraintes)

    .)(22

    ,

    ,

    22

    22

    22

    Ssccscs

    YcscsY

    XcsscX

    syx

    tsyxc

    tsyxc

    ++

    +

    ++

    (40)

    6.3 Critre de Tsai-Hill: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repre matriel satisfont la limitation:

    12

    62

    212

    22

    1

    +

    +

    SXYX . (41)

    Dans la (41), les valeurs de X et Y sont celles de compression ou de traction; dfaut d'indications plus prcises, on choisira, de faon conservative, la valeur qui rend le premier membre le plus grand.

    Alternativement, si l'on connat les contraintes dans le repre du stratifi, il faudra vrifier que

    ( ) ( )

    .1)(22

    22

    222

    2

    2222

    222222

    +++

    +++

    ++

    ++

    Ssccscs

    Xcscscssc

    Ycscs

    Xcssc

    syxsyxsyx

    syxsyx

    (42)

    6.4 Critre de Hoffmann: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repre matriel satisfont la limitation:

    .12

    26

    2121

    22

    21 +

    +

    ++

    SYYYY

    XXXX

    XXYYXX tctc

    tc

    tc

    ctctct

    (43)

    Comme pur les critres prcdents, on peut faire le calcul directement dans le repre du stratifi.

    6.5 Critre de Tsai-Wu: il s'agit de vrifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repre matriel satisfont la limitation:

    .122

    26

    2121*

    12

    22

    21 +

    +

    +++

    SYYYY

    XXXX

    XXF

    YYXX tctc

    tc

    tc

    ctctct

    (44)

    Comme pur les critres prcdents, on peut faire le calcul directement dans le repre du stratifi. A remarquer que si, comme c'est le cas souvent,

    21*

    12 =F (45)

    les critres de Hoffmann et de Tsai-Wu concident.

    7. CALCUL DES CARACTERISTIQUES EQUIVALENTES DU STRATIFIE 7.1 Constantes de l'ingnieur: les constantes de l'ingnieur en membrane et en flexion se calculent facilement partir des tenseurs de souplesse normalis:

  • _____________________________________________________________________

    - 9 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    .

    12*

    ,*3

    dd

    aahh

    =

    = (46)

    Donc, une fois calculs a* et d*, on a (indice m pour les caractristiques de membrane, f pour celles de flexion):

    ,

    ,

    ,

    ,1

    ,1

    ,1

    *

    *

    ,

    *

    *

    ,

    *

    *

    *

    *

    *

    yy

    ysmyxy

    xx

    xsmxxy

    xx

    xymxy

    ss

    mxy

    yy

    my

    xx

    mx

    aaaaaa

    aG

    aE

    aE

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    .

    ,

    ,

    ,1

    ,1

    ,1

    *

    *

    ,

    *

    *

    ,

    *

    *

    *

    *

    *

    yy

    ysfyxy

    xx

    xsfxxy

    xx

    xyfxy

    ss

    fxy

    yy

    fy

    xx

    fx

    dddddd

    dG

    dE

    dE

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    (47)

    7.2 Caractristiques thermo-hygroscopiques: les coefficients de dilatation et de courbure thermo-hygroscopiques sont simplement les composantes des tenseurs u,w,f et h:

    ,2

    ,,

    ,2

    ,,

    smxy

    ymy

    xmx

    smxy

    ymy

    xmx

    fff

    uuu

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    .2

    ,,

    ,2

    ,,

    sfxy

    yf

    y

    xf

    x

    sfxy

    yfy

    xf

    x

    hhh

    www

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    (48)

    8. EXEMPLE NUMERIQUE Stratifi avec 5 couches identiques, squence [//0//], avec =30. Le matriau est du carbon-poxyde T300-5208; les valeurs caractristiques sont:

    hc=0.125 mm E1= 181000 MPa E2=10300 MPa G12=7170 MPa

    12=0.28

    Xt=1400 MPa Xc=900 MPa

  • _____________________________________________________________________

    - 10 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    Yt=35 MPa Yc=110 MPa S=70 MPa

    F*12=0.3 Le stratifi est charg avec

    m

    MN105.0

    010

    4

    =N , MN10

    030

    6

    =M .

    En faisant les calculs comme indiqu on trouve:

    h=0.625 mm

    =

    717000010346289702897181811

    Q MPa

    =

    3673620053541932005323647324635419332463109379

    )(Q MPa

    =3673620053541932005323647324635419332463109379

    )( Q MPa

    mMN

    26.1900012.1359.16059.1641.77

    =A

    B=O

    MNm1074.023.063.023.048.065.063.065.024.2

    6-

    =D

    MNm10

    52.000005.122.0022.018.0

    1

    =a

  • _____________________________________________________________________

    - 11 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    MNm110

    81.131.042.031.054.395.042.095.084.0

    6

    =d

    MPa

    11032.000065.014.0014.011.0

    * 4

    =a

    MPa

    11037.006.008.006.072.019.008.019.017.0

    * 4

    =d

    ,0

    ,0

    ,265.1

    ,MPa30822

    ,MPa15296,MPa90279

    ,

    ,

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    myxy

    mxxy

    mxy

    mxy

    my

    mx

    G

    EE

    .087.0

    ,5.0

    ,124.1

    ,MPa27228

    ,MPa13887,MPa58148

    ,

    ,

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    fyxy

    fxxy

    fxy

    fxy

    fy

    fx

    G

    EE

    Remarque: le stratifi est orthotrope en membrane mais pas en flexion.

    m1

    9.06.108.2

    ,10026.022.0

    18.04

    =

    = o .

    Tableau des contraintes

  • _____________________________________________________________________

    - 12 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    Tableau des facteurs de chargement

    Remarque: pour les critres de la contrainte maximale et de la dformation maximale, le facteur de chargement est le rapport entre la contrainte, ou la dformation, et sa valeur admissible; la vrification est satisfaite si ce facteur est donc infrieur 1. Dans les autres critres, le premier membre des diffrentes expressions est directement le facteur de chargement.

    Graphiques du module d'Young et de cisaillement en membrane (MPa)

    E

    G

  • _____________________________________________________________________

    - 13 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    Graphiques du module d'Young et de cisaillement en flexion (MPa)

    Versailles, 23/10/2005 P. Vannucci

    E G

Recommended

View more >