C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, S&ie I, p. 323-327, 1998

kquations aux dbrivkes partielles/PartM Differential Equations

Stabilisation d’un systi3me hybride par un feedback non li&aire, non monotone

Eduard FEIREISL a, Geoffrey O’DOWD b

” Institut of Mathematics AVCR. Zitna 25, 11567 Praha 1. Rkpubliqur Tch&cIur

” Institut I&-Cartan, B.P. 239, 54506 Vandmuvrr-l&-Nancy cedex, France Courriel : odowd@ircn.u-nancy.fr

(Rryu le 15 septemhrr lYY7, accept6 apr+s &vision lr 1”’ dGcembrr 1997)

R&urn& Pour un systbme hybride constituk d’un cdble aux extrCmitCs duquel sont accrochCes deux masses, on dCmontre la stabilitC forte pour une loi de (< feedback >> non IinCaire et non monotone appliquke & une extrCmit&

Stabilization of a hybrid system with a nonlinear

nonmonotone feedback

Abstract. For u hybrid system composed of u cable with masses at both end,y, we prove strong stability for a nonlinear and nonmonotone ,feedback law applied at one end.

A bridged English Version

In this Note, we study the well-posedness and the strong stability of the hybrid system:

yt*(.c, t) - (q/,),r(~,t) = 0, t>o, O<x<l,

((JYr)(O,t) - nLY*t(O, t) = F(t), (1)

(UYT)(13f) + Mytt(l,t) = 0:

with u E Hl(O!l), a(x) > QO > 0 on [0, 11. System (1) modelizes the displacement of an overhead crane consisting of a cable carrying a load of mass M. The cable is linked at its top end to a platform of mass rn moving along a rail by means of a force F (see [l], [6], or [4]). In [6], strong stabilization using La Salle’s principle (see [3]) is achieved by neglecting the mass m and choosing the control F in the form of a feedback law:

F(t) = ~(0, t) + f(wtU4 t,): (2)

Note prtkentbe par Philippe G. CIARLET.

0764-4442/98/03260323 0 Acadtmie des ScienceslElsevier. Paris 323

E. Feireisl, C. O’Dowd

with (1 > 0 and f a continuous increasing function. Estimates of the energy decay are obtained according to the behaviour of f at 0 and infinity. In [5], nl is taken into account and strong stabilization is obtained when f(s) = ys with y > 0, but no decay rate may be expected according to Russell’s compact perturbation theorem (see [7]).

Here we also take m into account but we’ll get rid of the linear and global monotonicity hypothesis on f, allowing thus a larger class of feedback laws. Strong stabilization is obtained despite the lack of contraction of the semigroup associated to the system.

Assume the following hypothesis on f :

f E C’(R), sf(s) 2 0 V’s E R, and on every compact interval,

‘(‘) - ‘(‘s’) is bounded below. the increment ratio s - s’

(3)

We then obtain the well posedness of (l)-(2) by means of an evolution equation in H1(O, 1) x IJ2(0. 1) x R2 and a result of Lipschitz perturbation.

For a solution y of (l)-(2), define its energy by:

+ o,(:r)y;(:c; Q)d, + ‘“~~(0, t) + n&(0, t) + My,“( I> t)].

Assume (3); the main result of this Note is then the following: if there exists S ;a 0 such that: either f is strictly increasing on ] - S, 6[ or f(s) = 0 for s < 0 and is strictly increasing on 10, ($[, then E(t) + 0 as t + fee for every solution of (l)-(2) with initial data in H2(0! 1) x H1(O, 1).

1. Introduction

Dans ce travail, nous dtudions la stabilisation d’un modele de pont roulant, constitue d’un cable pesant de longueur fixe au bout duquel est suspendue une charge de masse M. Ce cable est attache en son extremite superieure a un chariot de masse m, anime d’une force motrice F et se dCplaGant sur un rail rectiligne.

En supposant les oscillations du cable de faible amplitude, ce systeme est gouveme par une equation des ondes couplee a deux equations dynamiques aux bords (voir [l], [6] ou [4]) :

Yt4.h t) - (UYrL(2, t) = 0,

(UYT)(O, t) - ~n~y,*(O, t) = F(t), (1)

(q/x)(1, t) + M&l, t) = 0.

ou y(z, t) est le deplacement horizontal a l’instant t du point d’abscisse curviligne IC du cable, suppose de longueur 1 et ou le coefficient a verifie :

(H,) (i) a E H1(O, 1) et (ii) U(X) > (Lo > 0 sur [O,l].

Dans [6], B. Rao neglige l’acceleration de la masse m du chariot et propose une loi de commande F sous forme de << feedback )> du type :

F(t) = a~/(& t) + f(~yt((4 t,), (2)

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Stabilisation d’un systi?me hybride par un feedback non lidaire, non monotone

avec f croissante et continue sur W et Q > 0. 11 prouve la stabilite forte du systeme grace au principe de La Salle (voir [3]) applique au semi-groupe de contractions associe a un probleme d’evolution. Un taux de decroissance est tgalement obtenu suivant le comportement de f en 0 et a l’infini.

Dans [5], A. Mifdal prend en compte m et prouve la stabilisation forte avec f(s) = ys oti y > 0; aucun taux de decroissance ne peut &tre obtenu en vertu d’un thtoreme de perturbation compacte de Russell (voir [7]).

Dans cette Note, nous prouvons la stabilite forte du systeme en considerant Cgalement la masse m et une loi de commande de type (2) mais en s’affranchissant de l’hypothese de monotonie sur f permettant ainsi un plus grand choix de lois de feedback. Des difficult& surviennent alors en raison de l’absence de contraction du semi-groupe associe. On peut neanmoins se ramener it un semi-groupe de contractions par l’intermediaire d’estimations integrales basees sur une technique d’invariants de Riemann.

2. lhoncC des rbultats

Soil H = H1(O, 1) x L’(0, 1) x Hz muni du produit scalaire

(U, v) = /’ (4z)yl,(x)iL(z) + z(z).5(z:))dz + ay(O)G(O) + rnvq + M<<. 0

pour U = (y, Z,V, <) et 6 = (G,Z, 6, {) d ans H, conferant ainsi a H une structure hilbertienne dont la norme associee est Cquivalente a la norme produit usuelle en vertu de (Hi) (ii).

Nous definissons ensuite l’operateur non borne A0 : WA,) = {U = (Y, 2, v,E) E H2(0, 1) x

H1(O, 1) x W2 Iv = z(O) et I$ = z(l)}, Ao(U) = (- z: -(~y~)~, -i(clyx(0) - ay(0)). bay,,(l))

et l’operateur B defini sur H par B(U) = (O,O, if(q), 0). C onsiderons l’equation d’holution :

dU dt+A,U+BU=o, (3)

de donnee initiale Ua = (yc, ze, 710~ <a) E II( On veritie que toute solution t H U(t) = (yY(., t), z(., t), q(t), E(t)) de (3) est tek que, au moins formellement. y satisfait (1) avec

y(:c.O) = YO(Z) et ~~(60) = 20(z). Nous ferons les hypotheses suivantes sur f :

(Hz) f E C’(H) et sur tout intervalle compact, le taux d’accroissement 0s) - f(d est born6 s - s’

inferieurement ;

(KS) .sf (s) 2 0 pour tout reel s.

Notons que (Hz) est verifiee pour f E W:;:(W).

TH~OR~ME 1. - Pour toute donn&e initiale UO E D(Ao), l’kquation d’e’volution (3) possPde une solution (forte) et une se&e t H U(t) satisfaisant U(t) E D(Ao) pour tout t 2 0 et U(0) = Uo, et jouissant en outre de la proprie’te’ de rkgularite’ : VT > 0, U E W1+((O, T), H).

325

E. Feireisl, G. O’Dowd

Le rksultat principal de cette Note est la stabilitk forte du systkme : & toute solution forte U = (y, .z! q, <) de (3) nous associons son Cnergie :

E(t) = ir.1’ ( ‘( yt 2. t ,I + a(~~.)y:(:c; t))d, + o~y’(O, t) + n~y;(O> t) + Myy,2(1, t)] ~

qui est dkroissante puisque E’(t) = -yt(O,t)f(yt(O,t)) < 0 d’aprks (H3). On suppose que f vCrifie l’une des deux hypothkses suivantes :

U-b) il existe 6 > 0 tel que f est strictement croissante sur ] - 0, S[;

(H5) f(s) = 0 p our s < 0 et il existe 6 > 0 tel que f est strictement croissante sur IO, n[.

On a alors :

TH~ORBME 2. - E(t) + 0 lorsque t --+ +cc pour toute solution de (3) de don&e initiale Uo E

3. Jbments de demonstration

D(h).

Id&e de dtfmonstration du th&ort?me 1. - Elle est basCe sur une estimation a priori : &ant donnC U” E 2D(A,,), une solution U = (y! Z, q,<) de (3) avec U(0) = U, est telle que

IY,“W)l 5 ;-w pour tout t > 0, si bien que seule importe la connaissance de f sur

K = [ - ($0)) I”‘, (LE(O)) 1’2]. D’aprks (HZ), on peut alors se ramener aprks prolongement

convenable en dehors de p au cas oti f est de la forme f(s) = fi(s) - cs sur tout Iw, fi Ctant une application continue et croissante sur Iw et c > 0.

La r&solution de (3) avec U(0) = UC, Cquivaut done g la rksolutioti de

$+All+ LU=O, U(0) = u,, (4)

oti A est l’optrateurAofB1, de domaine D(Ao), B1 &ant dCfini sur H par B,(U) = (O,b: k.fl(r,)> 0)

et L est dtfini par L(U) = (O,O, -lcr,,O). 0 n p rouve la monotonie et la maximalit des opkrateurs

A0 et B1, si bien que A. +Bl est un TppCrateur maximal monotone sur H (voir 121, corollaire 2.7, p. 36). Enfin, L &ant lipschitzien sur H, l’existence, l’unicitk et la rkgularid d’une solution 2 (4) est

condquence d’un ksultat de perturbation lipschitzienne (voir [2], th. 3.17, p. 105 et prop. 3.2, p. 67).

Ide’e de dkmonstration du thPort?me 2. - 11 s’agit essentiellement de montrer que ~~((1: t) appartient au domaine de monotonie de f pour tout t assez grand. Nous le ferons dans cette Note en supposant (HA). Pour ce faire, nous introduisons des invariants de Riemann pour une solution de 1’Cquation des ondes ytt - (~‘y~)~ = 0, oti I’on a pose c = fi E H1(O, 1) en vertu de (HI) (i). Posons :

g(x, t) = y/t (cr. t + p(x) - p(O) + K) + c(x:)yx (XT, t + ‘p(x) - p(O) + K) et

h(z, t) = yt(z, t - (p(z) + p(O) + K) - c(e)yr (2:: t - p(,x) + p(O) +- K),

oti K est choisi assez grand pour que !J et h soient bien dkfinies pour tout t > 0 et 0 5 .I: < 1, p 1

Ctant une primitive de --. Ces fonctions vkrifient : c

~~(2, t) = -c’(~:)Y~ (x; t + p(x) - p(O) + K) et h,.(.~, t) = c’(x)yl, (x, t - cp(~) + ~(0) + K).

I1 est ?i noter que lorsque c est constante, on retrouve les invariants classiques : yt(z; t) f Q/,.(X, t) est constante le long des caractkristiques 2 f ct = constante.

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Stabilisation d’un syst&me hybride par un feedback non linbaire, non monotone

L’CgalitC g(O,t) = g(:c; t) - J’Z 5( . ,)d g s t s conduit, apres diverses estimations integrales, aux

majorations suivantes : il existe de: reels 0 et y > 0, dtpendant quadratiquement de ]]Ua]l~, tels que pour tout intervalle borne I inclus dans W+ on ait, en notant 111 la longueur de I :

On fixe un reel d > i [z”(O)] 1’2, une suite (a,) quelconque de limite +cc et l’on considere la suite

de fonctions (v,) definie sur [O. d] par uTL(t) = ~(t+n,,+K) = y*(O,t+u,,+K). Grace a la compacite de l’injection H’ ((0, d)) -+ C( [O: d]) et a (5) on peut extraire une sous-suite de (II,, ) convergeant

uniformement vers une fonction continue ‘~1 sur [0, d] qui, puisque [y(O, t)] < [z”(O)] l”, ne peut pas

verifier IV] 2 S sur [0, d] car sinon d6 > ]y(O, ulL + d+ K) - ~(0, a,,+K)l = 1 J^“+;+’ vl(O,t)dtl = u.7, +h

1 .I” (At))& + / I’^ (v(t))dti > dS.

l% notant J zyT[O, J]), L = J n] - S, S[ est done un intervalle non vide. En outre, l’egalite

.I

+cO E’(t) = -yt(O, t)f(yt(O,t)) fournit l’inegalite : f(y,(O,t))yt(O,f)dt < +w qui entraine

0 a,, +d+K

lim n i 30 .I

f(yt(O,t))y,(O,t)tlt = 0. On en deduit, par continuite de f : Gz +K

.I a’f(l;(l))t;(t)dt = lim .i

o”+d+K f(;yt(O,t))yt(O,t)dt = 0. n-Kt 0

‘f(r),(t))n,,(b)dt = lim 1L’cO .I an +h’

D’apres (Hs) on a alors f(n(t))n(t) = 0 sur [0, d], et d’apres (H4) on en deduit L = (0) puis J = {0}, i.e. 21 - 0 sur [0, d], ce qui prouve que ~~(0, t) --+ 0 quand t 4 +oc ; done yt(O, t) E [--6, O] a partir d’un certain instant to.

On se ramene alors a un semi-groupe de contractions en procedant ainsi : on considere une fonction f continue monotone sur R coiircidant avec f sur [-5, S], l’operateur B defini sur H par

SU = (01 0, -if(v), 0) et l’equation d’evolution

dU dt+A,U+BU=o, (6)

qui est associee a un semi-groupe de contractions car B &ant maxima1 monotone sur H, Aa + B de domaine D(Aa) l’est aussi. La solution Ii de (6) telle que U(0) = U(t,), &at de la solution du systeme (l)-(2) a l’instant to, verifie U(t) = U(t + t ) ,t, en vertu de l’unicid du probleme de Cauchy pour (6), du choix de to et de 7. si bien qu’il suffit de prouver que U(t) + 0 lorsque t + +-co,. Ceci se demontre de facon standard par application du principe de La Salle, puisque nous sommes en presence d’un semi-groupe con~uc~unr. A cet effet, on peut proceder comme dans [l] ou [6].

Remarque. - La densite de D(Aa) dans H permet de definir la notion de solution faible a l’equation (3) pour une donnee initiale UO E H. Mais la contraction du semi-groupe associe h (3) faisant defaut, on ne peut pas affirmer que les solutions faibles convergent vers zero, m&me faiblement.

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