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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, SCrie I, p. 617-622, 1999 Analyse num&iquelNumerical Analysis Stabilisation par viscosith de sous-maille pour l’approximation de Galerkin des ophateurs linhaires monotones RCsumC. On prksente une mkthode de stabilisation pour I’approximation des opkrateurs lint?aires monotones, L’idee principale cons&e ?I dtkomposer l’espace d’approximation en khelles rt%olues et Cchelles de sous-maille de sorte que la forme bilinkaire du problkme satisfait une condition inf-sup par rapport j cette decomposition. On obtient une approximation de Gale&in optimale en introduisant un terme de diffusion artificiel sur les petites Cchelles. ‘@I AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris Subgrid stabilization of Gulerkin approximations of monotone operators Abstract. This papc~’ pr~~sents a stabilired Galerkin technique,fiw approximating monotone linear operators it1 Hilbert spaces. The key idea consists in introducing un cl~,~~ra.Yinintion space that is bmXen up into resolved and subgrid .scales so that the bilinear,form associated bcith the problrm ,xItisjie.s a nn~$vm inf-sup condition with respect to this decomposition. An optimal Galerkir.il2 approximation is obtairwd by introducing an artifcial diffirsion on the wb,qrit/ .scale.s. cc! Academic des ScienceslElsevier, Paris A bridged English Version Let V c I, be real I-filbert spaces with dense and continuous imbedding (I/’ c L E L c VT’). Let CI.E ,C(\’ x I,, W) he a monotone bilinear form (‘v’u E V, U(U. ,VL) 2 0) such that (1.1) holds. The property ( 1, I ) is equivalent to assuming that the problem (1.2) is well posed. The objective of this Note is to propose a stabilized Galerkin approximation for (1.2). To this end, we introduce a sequence of finite-dimensional subspaces of I’, say (SH)(H>~,). and we assume that there is W, a dense subspace of I’. so that the approximation property (2.1) holds. Note prbentke par Philippe G. CIAHLE?.. 076-1--1~12/YY/O.~2806 17 3 c Ac~adtmir da Sciences/Elaevier. Paris 617

Stabilisation par viscosité de sous-maille pour l'approximation de Galerkin des opérateurs linéaires monotones

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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, SCrie I, p. 617-622, 1999 Analyse num&iquelNumerical Analysis

Stabilisation par viscosith de sous-maille pour l’approximation de Galerkin des ophateurs linhaires monotones

RCsumC. On prksente une mkthode de stabilisation pour I’approximation des opkrateurs lint?aires monotones, L’idee principale cons&e ?I dtkomposer l’espace d’approximation en khelles rt%olues et Cchelles de sous-maille de sorte que la forme bilinkaire du problkme satisfait une condition inf-sup par rapport j cette decomposition. On obtient une approximation de Gale&in optimale en introduisant un terme de diffusion artificiel sur les petites Cchelles. ‘@I AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris

Subgrid stabilization of Gulerkin approximations of monotone operators

Abstract. This papc~’ pr~~sents a stabilired Galerkin technique,fiw approximating monotone linear operators it1 Hilbert spaces. The key idea consists in introducing un cl~,~~ra.Yinintion space that is bmXen up into resolved and subgrid .scales so that the bilinear,form associated bcith the problrm ,xItisjie.s a nn~$vm inf-sup condition with respect to this decomposition. An optimal Galerkir.il2 approximation is obtairwd by introducing an artifcial diffirsion on

the wb,qrit/ .scale.s. cc! Academic des ScienceslElsevier, Paris

A bridged English Version

Let V c I, be real I-filbert spaces with dense and continuous imbedding (I/’ c L E L c VT’). Let CI. E ,C(\’ x I,, W) he a monotone bilinear form (‘v’u E V, U(U. ,VL) 2 0) such that (1.1) holds. The property ( 1, I ) is equivalent to assuming that the problem (1.2) is well posed. The objective of this Note is to propose a stabilized Galerkin approximation for (1.2). To this end, we introduce a sequence of finite-dimensional subspaces of I’, say (SH)(H>~,). and we assume that there is W, a dense subspace of I’. so that the approximation property (2.1) holds.

Note prbentke par Philippe G. CIAHLE?..

076-1--1~12/YY/O.~2806 17 3 c Ac~adtmir da Sciences/Elaevier. Paris 617

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J.-L. Cuermond

In general. the quantity ini’,,,, e-k-,, sup,.,, Es,, ( (I.( MU, ~v/~)/~\uJI ~JI-)),Q, 111,) is not bounded from below uniformly with respect to 13 by a strictly positive constant; as a result. the standard Galerkin approximation of t I ,2) is usually not optimal. To avoid this difficulty. we propose to enlarge the space of the test functions: that is, we introduce a new sequence of finite-dimensional spaces. -‘ilf’ C 1,’ and Y” fY .I- Ii = 11. so that when setting Si, = -YI, + -!,! inf-su~‘condition (2.2). One may think of .Y

-H, the bilinear form u satisfies the uniform J-I as being composed of the resolvable scales whereas

.I-;’ is composed 01‘ subgricl scales. We also define a filtering operator 1’1, : -Yr, ~ SH as being the projection associated with the decomposition -Y,, = XII + Sly. We assume that I)H is stable in L uniformly with respect to (II, 1,). For all ‘I’/, in ST,, we set 1’~ = PH(‘/) and I,/’ = I’), - ‘(1~.

The inl-sup condition ( 2.7) will allow the control of the resolvable scales of the approximate solution, but to control the cubgrid scales we introduce an artificial diffusion mecanism as follows: we set X(l)) = I/:II~,,,~,~,, (/I/:I,~/,-/III:I,)I,), we introduce a norm // )/I, satisfying (2.3). and finally WC dcfinc h,, E .b( -yy x -YL’. iw) with the continuity and coercivity properties (2.4). The simplest choice is h,, jrli’. ,,I$[’ ) = X(h)( /I:. /(:f’ )l.. but other choices are possible in practice (.SPU (2.5)).

The (stabilized) (jalerkin problem we consider now is: find ‘~1, in .Y,, so that (2.6) holds. Owing to the inf-sup condition (2.7) this problem has a unique solution and we have:

In practice. when .Yj, is a finite element space we have X( h.) m 11: as a result, the error estimate (2.8) is optimal in the norm of 1 -. Note also, that when (I is associated with a transport equation. (2.8) is identical to the c‘rror estimate of the streamline diffusion technique ((:I: 141 and 161). The subgrid technique can bc extended to take into account singular perturbations as shown in $4.

Now we focus our attention on linear PDE’s of first order, and for this class of problems we build PI and $2 approximation spaces that satisfy the hypotheses of the abstract framework defined above, Let II bc a bound& open set in R”. For X. ( {I.. . ./I} and ,111 E fV \ {O} defne .,I” : 12 b &I,,,, ,,i (R). and set ii = (-l’.. . ..I”). For a smooth function I! : 12 (:I .C (1 j, = Ci_, :cTk, ,4f,iI,,,i

p R”‘. we define /I.‘~Y/ : !) -+ W”’ by (I,, for 1 5 i < I//.. For a smooth function 11 : It -+ W”’ we define

I’ (8i.T 0) = .j-;:, 0,jij.F II),. and we denote JY/,~ l.,i = [,/;,(ij .C II) ’ (;I .V u)] I”‘. Assume. for the sake of simplicity. that 12 is a polyhedron in R” and let-711 be a regular, quasi-

uniform triangulaticjn of S2 composed of affine simplexes. We denote by 7’ the reference simplex

and by I<;[ : ‘1’1, + T the affine mapping that maps TH onto T. To build $, or p2 finite element approximation spaces, we dctinc SF, as being the /n-tensor product of the $, or $? scalar tinite xx element space based on I!{. For the $1 approximation, we define ,r/’ E H:,(T) with 0 _< 1:: 5 1, and we ~1 .y[’ = $.,.,, [spnn( (?( /g’H))]“‘, For the $2 approximation. we consider ,I + 1 independent functions of li:,( ?). I?, . . . (: ,,+I. and we assume that these functions are globally invariant by the sylnmetries

of %. Finally, we scat SLj = B7,,, [span{ $, (I$,). . . ;,l+, ( pH)))“‘. In the two cases introduced above, the decomposition 91, = -YH $) S,: is L”-stable and the

cOLl[>le (-\-J,. ST, ) is \LIcll that Lemma 4. l and Corollary 5. I hold. As ;I result, the subgrid stabilization

technique can be applied for approximating PDE’s involving the bilinear form ,I;, (1. 0 ,~+,JI . (/j .G ,l,), where the 71) x ‘I/J matrix-valued field c and /I satisfy suitable regularity and monotony hypotheses.

1. I,e problkme modikle

Sent I- c /, dwx espacea de Hilbert reels avec injection dense et continue; on identifie 1 c 1, 5 I,’ c 1.‘. Soit (I E- l(l- x I,.R) une forme bilinCaire monotone (VII E l’, U(U.YI,) > 0)

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Stabilisation par viscositk de sous-maille

L’hypothese (I. 1) est cquivalente h supposer que le probleme suivant est bien pose :

pour J c: L. trouver ‘11 15 1,’ tel que. vu E L! u(n. 0) = (./'. .V)L. (1.2)

E.rmp/e 1.1. - Soit 12 un ouvert borne regulier de R”. Considerons dans 12 l’equation scalaire (TU + /j ,C ‘11 = .f. ob /i E C’(E; IT’) est un champ de vecteur remplissant a divergence nulle si IT = 0 ou bien O(T) -div/l(:r)/2 > or1 > 0 sinon. Ce probleme entre dans le cadre ci-dessus avec I, = L’(12) et I’ = {,/I E L’(b2) 1 3.T71 E L’(O); olr = O), oti 1.. est la frontiere entrante.

E.xcm~l~’ 1.2. - En Posant 1; = H,,(rot. (2) x H(rot. 12) et L = L”(12)‘j x L’(62)“. le probleme de Maxwell simplihe : trouver (E. 13) E 1’ tel que ,I;, E r + B . 11 - f' rol,B + b. IY)~I$ = ,I;, ,f f~ + (1 h, pour tout (c,. 6) E 1, entre dans le cadre ci-de&s.

E.retqde 1.3. - Le probleme de Darcy : 1. = Ho(div. 12) x Hl(lt)/R et 1, = l,‘(f?):’ x L”(I?)/R : trouver (,I/. p) E 1’ tel que 1:. () ‘Y/, . II + ‘~1 VI) + cldivlr = ,I;, f’ (I + !](I, pour tout (11. c/) E L.

2. Le cadre discret

On s’intCresse dans cette Note a I’approximation de (1.2). Pour ce faire, on introduit (XH)(H>,~) une suite de sous-espaces de 1/ de dimension hnie, et on suppose qu’il existe II’, un sous-espace dense de I,‘, et k > 0, I’ > 0 tels que

En general. la quantite inf,,,,t.x-,, ~up,,,,~-,-,, (ra( UH. ?!H)/[)?~~/lr’)/ I~HIIL) n’est pas minoree uniformkment par rapport B H par une constante strictement positive. il en resulte que I’approximation de Galerkin de (I .2) n’est generalenent pas optimale. Pour remedier a cette difficult6 il convient d’elargir l’espace des fonctions test. Cette idee conduit B introduire une nouvelle suite d’espaces de dimension finie AY,y c i r, S,: flX~ = 8, de sorte qu’en posant A’/, = -‘iH TV ,kr,y. la forme II satisfait :

(2.2)

Par la suite on suppose que PH : .y,, --) Sl{. la projection de Xjt sur ,Y~I parallele a X,7. est stable dans L uniformement par rapport h (H. I/,). Pour tout ~1, dans XI, on pose ilH = PHI:,, et ,!H = ‘t)/L - ‘OH. I! L’espace ?i~ est moralement associe aux (< echelles resolues )>. alors que S,: est associe aux << echelles non resolues )), et PH est un filtre. L’inegalite (2.2) va permettre de controler les echelles resolues de l’approximation numerique. Le probleme qui se pose ensuite est de controler Ies echelles non resolues. La deuxieme idee importante de cette Note est que. puisque (1 est monotone, il est possible de controler ces Cchelles par une viscosite artihcielle. Dans cette perspective on pose A( 11) = 1/ fw,,,,t.\.,, (Il.‘% ll~~/ll~~~h III,) et on introduit une norme (I . I/,, telle que

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J.-L. Guermond

Remnrque 2.1. - X(/L) > 0 car Si, est de dimension finie. En particulier. pour un espace d’elements finis on a X(h) h E-I (c$ [5]).

E.w?z~I/~ 2. I - I .e choix le plus simple est b,, (v;, ,r$) = A(h) [,I:, ~ll~y)t-. Une autre possibilite consiste a prendre .Y C LT tel que ~up,.,,~.~-~, (I( ofr ll.Y/ll I’!, Ill<) 5 rsX(Ih)-‘. En supposant XI, c <Y.

on peut choisk b,, (0,:. wf) = X( II.)(,I ,w:f),. A’ msi, dans le cadre de l’exemple 1.1, (puisque Hi (S2) c 1,‘) deux definitions sont possibles pour bf,(~,,y. WI?) :

Par la suite on c’rnteresse au probleme de Galerkin suivant : trouver ‘~1)~ dans S,, tel que :

Rrmtlzjue 2.2. - Lorsque ,YH est un espace d’elements finis on a X(h) - U et I’estimation (2.8) est optimale dans L Si II.,? est L-coercive, (2.8) n’est pas optimal dans L : il manque un facteur If’!‘. On peut retrouver l’optimalite pour des elements finis si le maillage satisfait certaines proprietes geometriques (lw’r 181 et IS1 pour d’autres details).

Rer~rq~~ 2.3. - Pour les equations de transport scalaires. (2.8) est identique b I’estimation fournie par la methods de diffusion ligne de courant (wit [4] et [6]).

3. Un problhme dc perturbation singulikre

On conserve les hypotheses precedentes sur CL. V. L et on introduit un nouvel espace de Hilbert S qui est dense et s’injecte continuement dans 1,‘. On introduit d E C(X x .Y. W) et on suppose que 11 t n’ est .Y coercive : 11t~ll$ < O(Y), 0) + d(,j~.~). pour 0 5 F 5 1, on s’interesse au probleme :

pour f E L. trouver ‘0, E S. VII E S. f~,( IL. .I)) + F~~(TL,,v) = (.f, (!). (3.1)

Exevnplc 3.1 . - Penser au probleme (TTL+ ii .T’l/ - f;lu = f’. avec des hypotheses convenables sur (T. /j et les conditions aux limites : par exemple .Y = H:(ld) et V, I, detinis dans l’exemple 1.1.

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Stabilisation par viscositk de sous-maille

On se donne XI, C S et on suppose qu’il existe (’ > 0 indipendant de (H. h) tel que (’ Sill) S’,, ES!, ( ll,~,,rIIs/II,~,~(IL) < X(h)-l. Cette hypothkse signifie que S et V sont associks 2 des opkrateurs diffkrentiels de m&me ordre. On cherche ‘~1, E ,7ij, tel que :

4. Exemples

Soit It un ouvert polykdrique born6 de R”. Pour k E { 1.. . , . tl) et II/, E N \ {O} on se donne A” : bl w .A4 ,,l.,,,(R), et on pose /j = (Al.. . . . A4”). Pour une fonction rCgulikre ‘T! : II d R”‘. on dkfinit la fonction 11 .C 71, : $1 - ES”’ par (ij .ci ,Q), = Ct,, xi!:, .4fjd,r, I/,, pow 1 5 ,i < II/,. Pour une fonction t+gulik-e 11 : 12 + R”’ on d&nit 11 . (/j.V u) = XI:, ,T!;([~~V,U),,

et on note I~II/~ ./, = [,/J/3 .V,u) (/j ~C~cr)yf. 0 n s’intkresse aux problkmes basks sur la forme U(U, ,Y)) = /it ‘11. IT ‘11 + I: (/j .V 11,). oti (5 et /I satisfont des hypoth&ses convenables.

Soit 7~ .une triangulation r6gulikre quasi-uniforme de (2 composCe de simplexes affines (TH). On note ? le simplexe de rCf6rence et FH : TH - ? la transformation affine de 7‘~ sur 5;. On propose d’abord un espace d’approximation par ClCments finis $1. Soit A’H tel que

-1~ = {.UH E H’(62)“’ / I~~~,,~,,, t Pl(TH)“‘. b’TH E I&}. (4.1)

Soit ,$ E HA(?) avec 0 5 \z < 1. On dCfinit S,f’ = $7,1, [veet(&FH))]“‘. Pour construire une approximation $2 on d&nit

.l’c, = {TIH E H’(G)“’ ( ‘u~/~,, E P,(TN)r’i. VTH E ‘I&}. (4.2)

Soient ,<;I. . . . ,tTc,i.I une famille de d + 1 fonctions de HA(?). linkairement indkpendantes et globale- ment invariantes par toutes les symktries de 5;. On pose X,7 = GT,, [vect($l(&‘H). . . . &,,,(F~))]“‘. Dans les deux cas ci-dessus. la dkcomposition -‘ij, = -YH ej -‘i,f;’ est L’-stable et satisfait :

LEMME 5. I. - Si 1e.c -\fi .smt consta~~ts par I~M~~uu.~ mr 1e.s simple.~es TH c/e III

(4.3)

(4.4)

Renmrpe 4.1. - Ces deux propriktks permettent d’appliquer la thkorie prCsentCe ci-dessus aux probkmes bases sur la forme IL(T/, 7:) dCfinie ci-dessus. Cette thkorie permet d’approcher correctement

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J.-L. Guermond

les problkmes de convection-diffusion 2 convection dominante (exemple 1.1). et problkmes de Maxwell ou de Darcy (exemples 1.2 et 1.3) avec des Clkments finis $1 OLI $2.

/kJl~~rqZlP 4.2. - Les propriCk% de stabilisation des bulles pour les problkmes de convection-diffusion ont ktt? mis en kidence dans [I], 121 et 131, oh toutefois, la dkfinition des bulles est implicite. I1 semble que la mise en Cvidence de l’importance de l’in&galitk inf-sup (2.2) pour la classe des problcmes ( I.?) aoit nouvelle.

Rernuryue 4.3. - Pour les deux exemples ci-dessus, -‘i,f reprksente littkralement des c Cchelles de sous-maille )), d’oti le nom de la mCthode. Lr notion de separation d’Cchelles et de dissipation des Cchelles non rksolues est similaire 2 1’idCe de viscositk spectrale introduite par Tadmor 171.

E.~~~~pl~ 4.1. - Pour illustrer les performances de la mkthode, on I’applique en 2II au probleme (T,IL+~~,,// = ,f aver ‘11 = COS(~~J:) WS(XX://) dans 12 =]I). l[’ et (T = lo-‘. On utilise une approximation $, pour -Yrf et g)n engendre -II, -H localement sur chaque simplexe TH par la fonction pi par morceaux sur 1’~ qui vaut I au barycentre de TH et 0 aux trois sommets de T,. Pour /J!, on pose h,, ( uf . ,wf) = IT,, rnes(,TH )I/:! .I,,,, C f!,, H Gw:’ Sur la figure I on a reprCsentC 2 gauche l’interpolk . $1 de la colution. au centre la solution stabilisPe par viscosid de sous-maille et ?I droite la solution du problkme de Galerkin standard pour un maillage composC de 800 triangles (H N l/20). La supkrioritl de la technique proposke est Claire.

I?gurc I. (Gauche) intelpolL: $1 de la solution. (centre) solution stahilirCe

par vircosite dc \ous-maille. (dmi~e) solution de Galerhin standard.

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