STATIQUE DU SOLIDE

LES LOIS DU FROTTEMENT

On s'intéresse dans ce cours à la tribologie, qui est la science des frottements.

Un "frottement" intervient lorsque deux surfaces en contact sont mises en mouvementl'une par rapport à l'autre, produisant une force qui s'oppose au mouvement .

La notion même de frottement est intuitive : frottement des mains pour les réchauffer,frottement de l'archet sur les cordes du violon, glissade sur une patinoire, freinage àvélo, crissement des freins du TGV, celui des gonds d'une porte mal huilée, déplacementd'une armoire lourde sur un sol dur (effort différent au départ puis lors du mouvement),bruit de stick-slip des essuies-glaces sur la vitre qui sèche d'une voiture…

La recherche en tribologie se focalise dans deux directions : - soit l'optimisation d'un contact pour réduire les frottements, réduire donc laconsommation d'énergie et augmenter la durée de vie des pièces en contact,- soit l'optimisation d'un contact pour augmenter le plus possible le frottement avec unedurée de vie importante (freins composites...).

Les phénomènes associés au frottement ont été formulés mathématiquement au 18èmesiècle seulement, notamment par Coulomb, alors que Léonard de Vinci avait faitcertaines expériences 200 ans auparavant, mettant en évidence les phénomènes, voirfigure ci-dessous.

Dans ce cours, nous proposons dans un premier temps, d'analyser quelques expériencessimples afin de retrouver les lois empiriques énoncées par Coulomb. Puis nousutiliserons ces lois pour étudier des systèmes mécaniques usuels.

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1 Énoncé des lois de Coulomb - aspects théoriques

1.1 Expériences

Dans le cas d'un contact entre deux pièces, par exemple une caisse parallélépipédiquenotée 0 sur une plaque inclinée 1, il y a équilibre statique si la réaction globale R⃗ de 0sur 1 équilibre le poids P⃗ de 1, suivant le principe de l'inertie (un corps au repos dansun repère Galiléen n'est soumis à aucune force), soit R⃗+ P⃗ = 0⃗.

Figure 2 � Analyse des lois de Coulomb

Expérimentalement, on distingue quatre étapes essentielles lorsqu'on incline la plaque enpartant d'un angle α1 petit (�gure 2.1) :

1. La caisse est en équilibre tant que l'angle α1 reste inférieur à un angle φ, même sion "aide" la caisse à bouger.

2. En "aidant" la caisse à bouger, pour un angle donné φ, la caisse initie un glissementet son mouvement est conservé si le lancement est su�sant. C'est le glissementnaissant (ou équilibre strict).

3. Sans aider la caisse, son mouvement de glissement commence naturellement dèsque la plaque est inclinée d'un angle φ0.

4. À partir de l'angle φ0, la caisse glisse et ne s'arrête plus. L'équilibre statique estimpossible et la somme vectorielle R⃗ + P⃗ correspond à la quantité d'accélération

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de la caisse (m.γ⃗).

Interprétation : l'angle φ0 correspond à l'angle d'adhérence ; il est plus grand quel'angle φ qui se nomme l'angle de frottement (de glissement). Cette di�érence est impor-tante car elle est à la source des phénomènes de stick-slip (déplacement d'une armoire,essuie-glace, tremblement de terre, bruit de grincement, de crissement, etc.).

1.2 Cas du glissement naissant

Dans la pratique, on prendra l'angle le plus restrictif pour les calculs, généralementce sera φ. On pourra alors dé�nir un "cône de frottement" plutôt à partir de l'angle φ.Tant que la force globale résultante R⃗ est contenue dans ce cône, il peut y avoir équilibrestatique, voir �gure 3.

PSfrag replacements

α

Figure 3 � Cas du glissement naissant

La réaction R⃗ se décompose en une composante tangentielle T⃗ = T.x⃗ liée au frottementet une réaction normale notée N⃗ = N.y⃗. Les lois de Coulomb peuvent s'énoncer ainsi :

1. La réaction normale N est positive ;

2. La composante tangentielle s'oppose à la tendance au mouvement, dansle cas présent T > 0 ;

3. T et N sont liées par la relation : |T | = f.N ;

4. le facteur f est le facteur de frottement de glissement, il est lié à l'angle de frotte-ment par la relation f = tanφ.

Attention : le facteur de frottement est :� indépendant de la surface de contact,� peu sensible à la force normale de contact.Donc, question ouverte : pourquoi des pneus larges plutôt que �ns sur des voitures de

sport, si la force tangentielle T transmissible au sol ne dépend que de l'e�ort de contactN ?

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APPLICATIONS

Polygone de sustentation

Étude d'un double-decker :

Les normes britanniques imposent que les autobus àdeux étages ne doivent pas verser, si, à l'arrêt, ils sont inclinés de moins de 28°.Le poids du double-decker est fixé à 15 000 daN.

Question : position limite du centre de gravité du double-decker (sachant que le bus estsupposé symétrique) ?

Échelle posée sur un mur

On considère une échelle simple de longueur L, de masse m, de centre de gravité G, enappui sur un mur en A et sur le sol en B. Le problème est supposé plan.

On étudie les trois cas d'équilibre suivant :

- aucun frottement aux points de contact A et B,- frottement au contact échelle/sol en B (facteur de frottement noté fa),- frottement en B (comme précédemment) et frottement en A (facteur de frottementnoté fb).

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Voiture garée dans une pente

On considère une voiture garée, frein à main serré dans une montée ; seules les rouesarrières du véhicule sont bloquées. On souhaite déterminer l'angle β maximal, à partirduquel la voiture glisse.

Données : h =80cm, a =1m et b =1,5m. Facteur de frottement de glissement sur routesèche : 0,8

Reprendre le problème lorsque la voiture est garée en descente, roues arrièresbloquées.Quel est le cas le plus défavorable ?

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