Structure de l'espace des tenseurs d'lasticit en 2D de lexpose Introduction Parametrisation de lespace des tenseurs delasticite Invariants du tenseur delasticite Structure de lespace des ...

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  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Structure de lespace des tenseurs delasticite en2D

    Gery de Saxcea Claude Valleeb

    a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscqb LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers

    10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques AppliqueesPoitiers, 26-31 aout 2010

    August 22, 2010Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Plan de lexpose

    Introduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticite

    Invariants du tenseur delasticiteInvariants joints

    Structure de lespace des tenseurs delasticite

    Tranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotrope

    Conclusions et perspectives

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Contexte du travail

    I CITV (Colloque International de Theories Variationnelles)http://citv.iam.rwth-aachen.de/citv

    I Programme PEPS Maths-ST2I 09-99 Classification desmateriaux elastiques et calcul des invariants

    I Partenaires : LATP (Marseille), LML, LIFL (Lille), MSME(Paris-Est), LMS (Poitiers), LMS (Palaiseau), IAM (Aachen),FAST (Paris-Sud)

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Contexte du travail

    I CITV (Colloque International de Theories Variationnelles)http://citv.iam.rwth-aachen.de/citv

    I Programme PEPS Maths-ST2I 09-99 Classification desmateriaux elastiques et calcul des invariants

    I Partenaires : LATP (Marseille), LML, LIFL (Lille), MSME(Paris-Est), LMS (Poitiers), LMS (Palaiseau), IAM (Aachen),FAST (Paris-Sud)

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Contexte du travail

    I CITV (Colloque International de Theories Variationnelles)http://citv.iam.rwth-aachen.de/citv

    I Programme PEPS Maths-ST2I 09-99 Classification desmateriaux elastiques et calcul des invariants

    I Partenaires : LATP (Marseille), LML, LIFL (Lille), MSME(Paris-Est), LMS (Poitiers), LMS (Palaiseau), IAM (Aachen),FAST (Paris-Sud)

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Origine du probleme

    I En elasticite, les materiaux sont decrits par les orbites delaction du groupe des rotations sur lespace des systemes decoefficients elastiques. Leur description seffectue par ladetermination dun systeme fini dinvariants polynomiaux quiseparent les orbites.

    I Quoique le probleme en 3D a deja fait lobjet detudes parPratz (1983), Cowin (1988), Boehler, Kirillov Jr et Onat(1993), Ostrasablin (1998), Bona, Bucataru et Slawinski(2008), lambition est de le resoudre de maniere exhaustive.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Origine du probleme

    I En elasticite, les materiaux sont decrits par les orbites delaction du groupe des rotations sur lespace des systemes decoefficients elastiques. Leur description seffectue par ladetermination dun systeme fini dinvariants polynomiaux quiseparent les orbites.

    I Quoique le probleme en 3D a deja fait lobjet detudes parPratz (1983), Cowin (1988), Boehler, Kirillov Jr et Onat(1993), Ostrasablin (1998), Bona, Bucataru et Slawinski(2008), lambition est de le resoudre de maniere exhaustive.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Origine du probleme

    I Les retombees attendues sont nombreuses concernant lesmateriaux composites, biologiques et les geomateriaux.

    I Toutefois, letude du cas 2D est interessante per se.Lidentification du comportement elastique dun materiauanisotrope dont la symetrie materielle est a priori inconnueest par exemple un probleme de premiere importance engeotechnique.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Origine du probleme

    I Les retombees attendues sont nombreuses concernant lesmateriaux composites, biologiques et les geomateriaux.

    I Toutefois, letude du cas 2D est interessante per se.Lidentification du comportement elastique dun materiauanisotrope dont la symetrie materielle est a priori inconnueest par exemple un probleme de premiere importance engeotechnique.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Objectif

    I Loi de Hooke ij = Cijklkl

    I Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiquesC = (Cijkl)1i ,j ,k,ld

    I Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)

    C = (r)C C ijkl = rpi r

    qj r

    rk r

    sl Cpqrs ,

    I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente delespace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Objectif

    I Loi de Hooke ij = CijklklI Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiques

    C = (Cijkl)1i ,j ,k,ld

    I Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)

    C = (r)C C ijkl = rpi r

    qj r

    rk r

    sl Cpqrs ,

    I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente delespace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Objectif

    I Loi de Hooke ij = CijklklI Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiques

    C = (Cijkl)1i ,j ,k,ldI Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)

    C = (r)C C ijkl = rpi r

    qj r

    rk r

    sl Cpqrs ,

    I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente delespace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Objectif

    I Loi de Hooke ij = CijklklI Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiques

    C = (Cijkl)1i ,j ,k,ldI Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)

    C = (r)C C ijkl = rpi r

    qj r

    rk r

    sl Cpqrs ,

    I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente delespace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Demarche

    I Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductibles

    I Etape 2 : determination des invariants de lorbite

    I Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)

    I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbites

    I Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriaux

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Demarche

    I Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductibles

    I Etape 2 : determination des invariants de lorbite

    I Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)

    I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbites

    I Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriaux

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Demarche

    I Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductibles

    I Etape 2 : determination des invariants de lorbite

    I Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)

    I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbites

    I Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriaux

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Demarche

    I Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductibles

    I Etape 2 : determination des invariants de lorbite

    I Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)

    I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbites

    I Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriaux

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Demarche

    I Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductibles

    I Etape 2 : determination des invariants de lorbite

    I Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)

    I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbites

    I Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriaux

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Representation de Kelvin

    I en 2D : 1122212

    = C1111 C1122

    2C1112

    C2211 C2222

    2C22122C1211

    2C1222 2C1212

    1122212

    m

    s = c e

    I Notation suggeree par Kelvin, reintroduite et utilisee parWalpote, Rychlewski, Mohrabadi et Cowin

    I Theoreme : dans la representation de Kelvin, toute matriceorthogonale, r O(2) agit sur S2R2 comme une matriceorthogonale R O (3) agissant sur s R3.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Representation de Kelvin

    I en 2D : 1122212

    = C1111 C1122

    2C1112

    C2211 C2222

    2C22122C1211

    2C1222 2C1212

    1122212

    m

    s = c e

    I Notation suggeree par Kelvin, reintroduite et utilisee parWalpote, Rychlewski, Mohrabadi et Cowin

    I Theoreme : dans la representation de Kelvin, toute matriceorthogonale, r O(2) agit sur S2R2 comme une matriceorthogonale R O (3) agissant sur s R3.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Representation de Kelvin

    I en 2D : 1122212

    = C1111 C1122

    2C1112

    C2211 C2222

    2C22122C1211

    2C1222 2C1212

    1122212

    m

    s = c e

    I Notation suggeree par Kelvin, reintroduite et utilisee parWalpote, Rychlewski, Mohrabadi et Cowin

    I Theoreme : dans la representation de Kelvin, toute matriceorthogonale, r O(2) agit sur S2R2 comme une matriceorthogonale R O (3) agissant sur s R3.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Parametrisation de lespace des tenseurs de contraintes

    I Idee-cle : le changement de variable s = P1s, avecp = s1+s2

    2, = s1s2

    2 ps3

    =

    12

    12

    012 1

    20

    0 0 1

    s1s2

    s3

    .

    I induit sur le tenseur delasticite le changement de variable

    c = P1 c P =

    2( + ) 0 00 2 00 0 2

    + 0 2 2

    2

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Parametrisation de lespace des tenseurs de contraintes

    I Idee-cle : le changement de variable s = P1s, avecp = s1+s2

    2, = s1s2

    2 ps3

    =

    12

    12

    012 1

    20

    0 0 1

    s1s2

    s3

    .I induit sur le tenseur delasticite le changement de variable

    c = P1 c P =

    2( + ) 0 00 2 00 0 2

    + 0 2 2

    2

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticite

    I ou apparaissent les coefficients de Lame :

    =1

    8(c11 + c22 + 6c12 2c33) ,

    2 =1

    4(c11 + c22 2c12 + 2c33) ,

    I et dautres variables :

    =c11 c22

    2, =

    1

    8(2c33 + 2c12 c11 c22)

    =c23 + c13

    2, =

    c23 c132

    2.

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticite

    I ou apparaissent les coefficients de Lame :

    =1

    8(c11 + c22 + 6c12 2c33) ,

    2 =1

    4(c11 + c22 2c12 + 2c33) ,

    I et dautres variables :

    =c11 c22

    2, =

    1

    8(2c33 + 2c12 c11 c22)

    =c23 + c13

    2, =

    c23 c132

    2.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Decomposition en sous-espaces irreductibles

    I Le choix des nouvelles variables revele la decompositionirreductible :

    =

    1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 cos2 sin2 0 00 0 sin(2) cos2 0 00 0 0 0 cos4 sin40 0 0 0 sin4 cos4

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    Invariants joints

    Invariants de chaque sous-espace irreductible

    I Sous-espace E0 : un invariant

    I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = 2 + 2

    I Sous-espace E4: un invariant I 24 = 2 + 2

    I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), Lorbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quelorbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont couplees)

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    Invariants joints

    Invariants de chaque sous-espace irreductible

    I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E0 : un invariant

    I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = 2 + 2

    I Sous-espace E4: un invariant I 24 = 2 + 2

    I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), Lorbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quelorbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont couplees)

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    Invariants joints

    Invariants de chaque sous-espace irreductible

    I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = 2 + 2

    I Sous-espace E4: un invariant I 24 = 2 + 2

    I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), Lorbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quelorbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont couplees)

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    Invariants joints

    Invariants de chaque sous-espace irreductible

    I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = 2 + 2

    I Sous-espace E4: un invariant I 24 = 2 + 2

    I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), Lorbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quelorbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont couplees)

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    Invariants joints

    Invariants joints

    I Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quelon peut determiner simplement en travaillant avecz2 = + i et z4 = + i .

    I On obtient un invariant complexe

    =z22z4

    I 24 = z22 z4 = ( + i )

    2( + i )

    I Mais attention ! Il est lie aux autres par | |2= I 24 I 42I Dou deux invariants reels :

    r =

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    Invariants joints

    Invariants joints

    I Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quelon peut determiner simplement en travaillant avecz2 = + i et z4 = + i .

    I On obtient un invariant complexe

    =z22z4

    I 24 = z22 z4 = ( + i )

    2( + i )

    I Mais attention ! Il est lie aux autres par | |2= I 24 I 42I Dou deux invariants reels :

    r =

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    Invariants joints

    Invariants joints

    I Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quelon peut determiner simplement en travaillant avecz2 = + i et z4 = + i .

    I On obtient un invariant complexe

    =z22z4

    I 24 = z22 z4 = ( + i )

    2( + i )

    I Mais attention ! Il est lie aux autres par | |2= I 24 I 42

    I Dou deux invariants reels :

    r =

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    Invariants joints

    Invariants joints

    I Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quelon peut determiner simplement en travaillant avecz2 = + i et z4 = + i .

    I On obtient un invariant complexe

    =z22z4

    I 24 = z22 z4 = ( + i )

    2( + i )

    I Mais attention ! Il est lie aux autres par | |2= I 24 I 42I Dou deux invariants reels :

    r =

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    Structure de lespace des tenseurs delasticite

    I Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2, I4, r ) ou(, , I2, I4, i ).

    I Si I2 = 0 et I4 > 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I4).

    I Si I2 > 0 et I4 = 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2).

    I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (, ).

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    I Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2, I4, r ) ou(, , I2, I4, i ).

    I Si I2 = 0 et I4 > 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I4).

    I Si I2 > 0 et I4 = 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2).

    I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (, ).

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    I Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2, I4, r ) ou(, , I2, I4, i ).

    I Si I2 = 0 et I4 > 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I4).

    I Si I2 > 0 et I4 = 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2).

    I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (, ).

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    Structure de lespace des tenseurs delasticite

    I Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2, I4, r ) ou(, , I2, I4, i ).

    I Si I2 = 0 et I4 > 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I4).

    I Si I2 > 0 et I4 = 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2).

    I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (, ).

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    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Determination dune tranche lineaire globale

    I un sous-espace vectoriel S E(2) tel que chaque orbite deSO(2) dans E(2) intersecte S en un point dune orbite dungroupe fini est appele une tranche lineaire globale.

    I Lexistence dune telle tranche rend letude des tenseursdelasticite beaucoup plus aisee car

    Ela(2) = E(2)/SO(2) = S/ .

    I on identifie E(2) a lespace R6 des vecteurs

    c =(

    )T

    .

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    I un sous-espace vectoriel S E(2) tel que chaque orbite deSO(2) dans E(2) intersecte S en un point dune orbite dungroupe fini est appele une tranche lineaire globale.

    I Lexistence dune telle tranche rend letude des tenseursdelasticite beaucoup plus aisee car

    Ela(2) = E(2)/SO(2) = S/ .

    I on identifie E(2) a lespace R6 des vecteurs

    c =(

    )T

    .

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    I un sous-espace vectoriel S E(2) tel que chaque orbite deSO(2) dans E(2) intersecte S en un point dune orbite dungroupe fini est appele une tranche lineaire globale.

    I Lexistence dune telle tranche rend letude des tenseursdelasticite beaucoup plus aisee car

    Ela(2) = E(2)/SO(2) = S/ .

    I on identifie E(2) a lespace R6 des vecteurs

    c =(

    )T

    .

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    Determination dune tranche lineaire globale

    I Une tranche lineaire globale est

    S ={c R6 | = 0

    },

    I le groupe fini = Z2 Z2 agissant sur S par

    (1, 2) (

    0 )T

    =(

    0 1 2 )T

    .

    I Lalgebre R[E(2)]SO(2) des invariants des tenseurs delasticiteest generee par un nombre fini de polynomes

    R[E(2)]SO(2) = R[, , I2, I4, i ] .

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    Determination dune tranche lineaire globale

    I Une tranche lineaire globale est

    S ={c R6 | = 0

    },

    I le groupe fini = Z2 Z2 agissant sur S par

    (1, 2) (

    0 )T

    =(

    0 1 2 )T

    .

    I Lalgebre R[E(2)]SO(2) des invariants des tenseurs delasticiteest generee par un nombre fini de polynomes

    R[E(2)]SO(2) = R[, , I2, I4, i ] .

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    Determination dune tranche lineaire globale

    I Une tranche lineaire globale est

    S ={c R6 | = 0

    },

    I le groupe fini = Z2 Z2 agissant sur S par

    (1, 2) (

    0 )T

    =(

    0 1 2 )T

    .

    I Lalgebre R[E(2)]SO(2) des invariants des tenseurs delasticiteest generee par un nombre fini de polynomes

    R[E(2)]SO(2) = R[, , I2, I4, i ] .

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    Separation des orbites

    I On obtient lapplication polynomiale

    P : E(2) R5 : c 7(

    (c) (c) I2(c) I4(c) i (c))T

    .

    I Les invariants separent les orbites signifie que lapplicationP induit une application injective P : Ela(2) R5.

    I En effet, utilisant S , lapplication P est injective

    P

    0

    = P

    0| || |

    =

    I2I4i

    =

    | |

    | 2 + 2 |1/22

    .

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    Separation des orbites

    I On obtient lapplication polynomiale

    P : E(2) R5 : c 7(

    (c) (c) I2(c) I4(c) i (c))T

    .I Les invariants separent les orbites signifie que lapplication

    P induit une application injective P : Ela(2) R5.

    I En effet, utilisant S , lapplication P est injective

    P

    0

    = P

    0| || |

    =

    I2I4i

    =

    | |

    | 2 + 2 |1/22

    .

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    Separation des orbites

    I On obtient lapplication polynomiale

    P : E(2) R5 : c 7(

    (c) (c) I2(c) I4(c) i (c))T

    .I Les invariants separent les orbites signifie que lapplication

    P induit une application injective P : Ela(2) R5.I En effet, utilisant S , lapplication P est injective

    P

    0

    = P

    0| || |

    =

    I2I4i

    =

    | |

    | 2 + 2 |1/22

    .

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    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Classe de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotrope

    Classe de materiaux en elasticite anisotrope

    I Le stabilisateur dun tenseur delasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.

    I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).

    I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.

    I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique dunmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).

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    Classe de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotrope

    Classe de materiaux en elasticite anisotrope

    I Le stabilisateur dun tenseur delasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.

    I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).

    I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.

    I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique dunmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).

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    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Classe de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotrope

    Classe de materiaux en elasticite anisotrope

    I Le stabilisateur dun tenseur delasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.

    I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).

    I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.

    I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique dunmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

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    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

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    I Le stabilisateur dun tenseur delasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.

    I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).

    I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.

    I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique dunmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).

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    Classe de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotrope

    Materiau monoclinique

    I Un materiau dont le stabilisateur contient une reflexion parrapport a une droite est dit etre monoclinique.

    I Si la normale a est inclinee dun angle par rapport a laxeOx1, la reflexion m a une representation de Kelvin de laforme

    M = P1 M P =

    (1 00 m2

    ).

    I On decompose c par bloc

    c =

    (2 ( + ) vT

    v A

    ).

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    Materiau monoclinique

    I Un materiau dont le stabilisateur contient une reflexion parrapport a une droite est dit etre monoclinique.

    I Si la normale a est inclinee dun angle par rapport a laxeOx1, la reflexion m a une representation de Kelvin de laforme

    M = P1 M P =

    (1 00 m2

    ).

    I On decompose c par bloc

    c =

    (2 ( + ) vT

    v A

    ).

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    Materiau monoclinique

    I Un materiau dont le stabilisateur contient une reflexion parrapport a une droite est dit etre monoclinique.

    I Si la normale a est inclinee dun angle par rapport a laxeOx1, la reflexion m a une representation de Kelvin de laforme

    M = P1 M P =

    (1 00 m2

    ).

    I On decompose c par bloc

    c =

    (2 ( + ) vT

    v A

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    Classe de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotrope

    Materiau monoclinique

    I Laction de la reflexion sur les coefficients elastiques secrit

    c = M c (M)T =

    (2 ( + ) (mv)Tmv mAmT

    ).

    I Le materiau est monoclinique si les coefficients elastiques sontinvariants par une reflexion :

    v = mv , A = mAmT ,

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    Materiau monoclinique

    I Laction de la reflexion sur les coefficients elastiques secrit

    c = M c (M)T =

    (2 ( + ) (mv)Tmv mAmT

    ).

    I Le materiau est monoclinique si les coefficients elastiques sontinvariants par une reflexion :

    v = mv , A = mAmT ,

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    Materiau monoclinique

    I dou les relations :

    = tan(2) , = tan(4) . (1)

    I Eliminant entre les deux relations donne la condition pourquun materiau soit monoclinique

    i = 2 (2 2) = 0 . (2)

    I Si (2) est verifiee, elles permettent de determiner la valeur de donc le repere de symetrie sil nest pas connu a priori.

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    I dou les relations :

    = tan(2) , = tan(4) . (1)

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    i = 2 (2 2) = 0 . (2)

    I Si (2) est verifiee, elles permettent de determiner la valeur de donc le repere de symetrie sil nest pas connu a priori.

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    I dou les relations :

    = tan(2) , = tan(4) . (1)

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    i = 2 (2 2) = 0 . (2)

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    Materiau orthotrope

    I Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 2 droites orthogonales est dit etre orthotrope.

    I Si les relations (1) sont satisfaite pour , elle le sont pour + /2, ce qui montre en 2D quun materiau monocliniqueest orthotrope.

    I i = 2 (2 2) est une mesure invariante du defautdorthotropie.

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    Materiau orthotrope

    I Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 2 droites orthogonales est dit etre orthotrope.

    I Si les relations (1) sont satisfaite pour , elle le sont pour + /2, ce qui montre en 2D quun materiau monocliniqueest orthotrope.

    I i = 2 (2 2) est une mesure invariante du defautdorthotropie.

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    Materiau orthotrope

    I Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 2 droites orthogonales est dit etre orthotrope.

    I Si les relations (1) sont satisfaite pour , elle le sont pour + /2, ce qui montre en 2D quun materiau monocliniqueest orthotrope.

    I i = 2 (2 2) est une mesure invariante du defautdorthotropie.

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    Materiau tetragonal

    I Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 4 droites obtenues par rotation successive de /4est dit etre tetragonal.

    I Un materiau orthotrope est tetragonal si = = 0 (ou siI 22 =

    2 + 2 = 0), donc si :

    c11 = c22 , c23 = c13 .

    I Pour un materiau orthotrope, I2 est une mesure invariante dudefaut de tetragonalite.

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    Materiau tetragonal

    I Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 4 droites obtenues par rotation successive de /4est dit etre tetragonal.

    I Un materiau orthotrope est tetragonal si = = 0 (ou siI 22 =

    2 + 2 = 0), donc si :

    c11 = c22 , c23 = c13 .

    I Pour un materiau orthotrope, I2 est une mesure invariante dudefaut de tetragonalite.

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    Materiau tetragonal

    I Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 4 droites obtenues par rotation successive de /4est dit etre tetragonal.

    I Un materiau orthotrope est tetragonal si = = 0 (ou siI 22 =

    2 + 2 = 0), donc si :

    c11 = c22 , c23 = c13 .

    I Pour un materiau orthotrope, I2 est une mesure invariante dudefaut de tetragonalite.

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    Materiau isotrope

    I Un materiau dont le stabilisateur est O(2) lui-meme est ditetre isotrope.

    I Un materiau tetragonal est isotrope si = = 0 (ou siI 24 =

    2 + 2 = 0).

    I Pour un materiau tetragonal, I4 est une mesure invariante dudefaut disotropie.

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    Materiau isotrope

    I Un materiau dont le stabilisateur est O(2) lui-meme est ditetre isotrope.

    I Un materiau tetragonal est isotrope si = = 0 (ou siI 24 =

    2 + 2 = 0).

    I Pour un materiau tetragonal, I4 est une mesure invariante dudefaut disotropie.

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    Materiau isotrope

    I Un materiau dont le stabilisateur est O(2) lui-meme est ditetre isotrope.

    I Un materiau tetragonal est isotrope si = = 0 (ou siI 24 =

    2 + 2 = 0).

    I Pour un materiau tetragonal, I4 est une mesure invariante dudefaut disotropie.

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    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Conclusions et perspectives

    I En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.

    I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.

    I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.

    I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut de

    symetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.

    I Perspectives : traiter le cas 3D.

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    Conclusions et perspectives

    I En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.

    I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.

    I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.

    I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut de

    symetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.

    I Perspectives : traiter le cas 3D.

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    Conclusions et perspectives

    I En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.

    I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.

    I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.

    I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut de

    symetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.

    I Perspectives : traiter le cas 3D.

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    Conclusions et perspectives

    I En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.

    I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.

    I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.

    I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.

    I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut desymetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.

    I Perspectives : traiter le cas 3D.

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    Conclusions et perspectives

    I En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.

    I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.

    I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.

    I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut de

    symetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.

    I Perspectives : traiter le cas 3D.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

  • Plan de lexposeIntroduction

    Parametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticite

    Structure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

    Stratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

    Conclusions et perspectives

    I En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.

    I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.

    I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.

    I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut de

    symetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.

    I Perspectives : traiter le cas 3D.

    Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2D

    Plan de l'exposIntroductionParamtrisation de l'espace des tenseurs d'lasticitInvariants du tenseur d'lasticitInvariants joints

    Structure de l'espace des tenseurs d'lasticitTranche linaire globale et sparation des orbitesStratification de l'espace des orbites et classes de matriauxClasse de matriaux en lasticit anisotropeMatriau monocliniqueMatriau orthotropeMatriau ttragonalMatriau isotrope

    Conclusions et perspectives

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