Structure de l'espace des tenseurs d'lasticit en 2D de lexpose Introduction Parametrisation de lespace des tenseurs delasticite Invariants du tenseur delasticite Structure de lespace des ...

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Plan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesStructure de lespace des tenseurs delasticite en2DGery de Saxcea Claude Valleeba LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscqb LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques AppliqueesPoitiers, 26-31 aout 2010August 22, 2010Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteInvariants jointsStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeConclusions et perspectivesGery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesContexte du travailI CITV (Colloque International de Theories Variationnelles)http://citv.iam.rwth-aachen.de/citvI Programme PEPS Maths-ST2I 09-99 Classification desmateriaux elastiques et calcul des invariantsI Partenaires : LATP (Marseille), LML, LIFL (Lille), MSME(Paris-Est), LMS (Poitiers), LMS (Palaiseau), IAM (Aachen),FAST (Paris-Sud)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesContexte du travailI CITV (Colloque International de Theories Variationnelles)http://citv.iam.rwth-aachen.de/citvI Programme PEPS Maths-ST2I 09-99 Classification desmateriaux elastiques et calcul des invariantsI Partenaires : LATP (Marseille), LML, LIFL (Lille), MSME(Paris-Est), LMS (Poitiers), LMS (Palaiseau), IAM (Aachen),FAST (Paris-Sud)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesContexte du travailI CITV (Colloque International de Theories Variationnelles)http://citv.iam.rwth-aachen.de/citvI Programme PEPS Maths-ST2I 09-99 Classification desmateriaux elastiques et calcul des invariantsI Partenaires : LATP (Marseille), LML, LIFL (Lille), MSME(Paris-Est), LMS (Poitiers), LMS (Palaiseau), IAM (Aachen),FAST (Paris-Sud)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesOrigine du problemeI En elasticite, les materiaux sont decrits par les orbites delaction du groupe des rotations sur lespace des systemes decoefficients elastiques. Leur description seffectue par ladetermination dun systeme fini dinvariants polynomiaux quiseparent les orbites.I Quoique le probleme en 3D a deja fait lobjet detudes parPratz (1983), Cowin (1988), Boehler, Kirillov Jr et Onat(1993), Ostrasablin (1998), Bona, Bucataru et Slawinski(2008), lambition est de le resoudre de maniere exhaustive.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesOrigine du problemeI En elasticite, les materiaux sont decrits par les orbites delaction du groupe des rotations sur lespace des systemes decoefficients elastiques. Leur description seffectue par ladetermination dun systeme fini dinvariants polynomiaux quiseparent les orbites.I Quoique le probleme en 3D a deja fait lobjet detudes parPratz (1983), Cowin (1988), Boehler, Kirillov Jr et Onat(1993), Ostrasablin (1998), Bona, Bucataru et Slawinski(2008), lambition est de le resoudre de maniere exhaustive.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesOrigine du problemeI Les retombees attendues sont nombreuses concernant lesmateriaux composites, biologiques et les geomateriaux.I Toutefois, letude du cas 2D est interessante per se.Lidentification du comportement elastique dun materiauanisotrope dont la symetrie materielle est a priori inconnueest par exemple un probleme de premiere importance engeotechnique.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesOrigine du problemeI Les retombees attendues sont nombreuses concernant lesmateriaux composites, biologiques et les geomateriaux.I Toutefois, letude du cas 2D est interessante per se.Lidentification du comportement elastique dun materiauanisotrope dont la symetrie materielle est a priori inconnueest par exemple un probleme de premiere importance engeotechnique.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesObjectifI Loi de Hooke ij = CijklklI Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiquesC = (Cijkl)1i ,j ,k,ldI Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)C = (r)C C ijkl = rpi rqj rrk rsl Cpqrs ,I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente delespace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesObjectifI Loi de Hooke ij = CijklklI Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiquesC = (Cijkl)1i ,j ,k,ldI Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)C = (r)C C ijkl = rpi rqj rrk rsl Cpqrs ,I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente delespace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesObjectifI Loi de Hooke ij = CijklklI Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiquesC = (Cijkl)1i ,j ,k,ldI Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)C = (r)C C ijkl = rpi rqj rrk rsl Cpqrs ,I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente delespace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesObjectifI Loi de Hooke ij = CijklklI Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiquesC = (Cijkl)1i ,j ,k,ldI Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)C = (r)C C ijkl = rpi rqj rrk rsl Cpqrs ,I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente delespace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDemarcheI Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductiblesI Etape 2 : determination des invariants de lorbiteI Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbitesI Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriauxGery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDemarcheI Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductiblesI Etape 2 : determination des invariants de lorbiteI Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbitesI Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriauxGery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDemarcheI Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductiblesI Etape 2 : determination des invariants de lorbiteI Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbitesI Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriauxGery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDemarcheI Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductiblesI Etape 2 : determination des invariants de lorbiteI Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbitesI Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriauxGery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDemarcheI Etape 1 : choix dun systeme de parametres faisant apparatrela decomposition en sous-espaces irreductiblesI Etape 2 : determination des invariants de lorbiteI Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)I Etape 4 : determination dune tranche lineaire globale etseparation des orbitesI Etape 5 : stratification de lespace des orbites et classes demateriauxGery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesRepresentation de KelvinI en 2D : 1122212 = C1111 C11222C1112C2211 C22222C22122C12112C1222 2C1212 1122212ms = c eI Notation suggeree par Kelvin, reintroduite et utilisee parWalpote, Rychlewski, Mohrabadi et CowinI Theoreme : dans la representation de Kelvin, toute matriceorthogonale, r O(2) agit sur S2R2 comme une matriceorthogonale R O (3) agissant sur s R3.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesRepresentation de KelvinI en 2D : 1122212 = C1111 C11222C1112C2211 C22222C22122C12112C1222 2C1212 1122212ms = c eI Notation suggeree par Kelvin, reintroduite et utilisee parWalpote, Rychlewski, Mohrabadi et CowinI Theoreme : dans la representation de Kelvin, toute matriceorthogonale, r O(2) agit sur S2R2 comme une matriceorthogonale R O (3) agissant sur s R3.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesRepresentation de KelvinI en 2D : 1122212 = C1111 C11222C1112C2211 C22222C22122C12112C1222 2C1212 1122212ms = c eI Notation suggeree par Kelvin, reintroduite et utilisee parWalpote, Rychlewski, Mohrabadi et CowinI Theoreme : dans la representation de Kelvin, toute matriceorthogonale, r O(2) agit sur S2R2 comme une matriceorthogonale R O (3) agissant sur s R3.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesParametrisation de lespace des tenseurs de contraintesI Idee-cle : le changement de variable s = P1s, avecp = s1+s22, = s1s22 ps3 =1212012 1200 0 1 s1s2s3 .I induit sur le tenseur delasticite le changement de variablec = P1 c P = 2( + ) 0 00 2 00 0 2+ 0 2 2 2 Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesParametrisation de lespace des tenseurs de contraintesI Idee-cle : le changement de variable s = P1s, avecp = s1+s22, = s1s22 ps3 =1212012 1200 0 1 s1s2s3 .I induit sur le tenseur delasticite le changement de variablec = P1 c P = 2( + ) 0 00 2 00 0 2+ 0 2 2 2 Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteI ou apparaissent les coefficients de Lame : =18(c11 + c22 + 6c12 2c33) ,2 =14(c11 + c22 2c12 + 2c33) ,I et dautres variables : =c11 c222, =18(2c33 + 2c12 c11 c22) =c23 + c132, =c23 c1322.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteI ou apparaissent les coefficients de Lame : =18(c11 + c22 + 6c12 2c33) ,2 =14(c11 + c22 2c12 + 2c33) ,I et dautres variables : =c11 c222, =18(2c33 + 2c12 c11 c22) =c23 + c132, =c23 c1322.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDecomposition en sous-espaces irreductiblesI Le choix des nouvelles variables revele la decompositionirreductible : =1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 cos2 sin2 0 00 0 sin(2) cos2 0 00 0 0 0 cos4 sin40 0 0 0 sin4 cos4Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesInvariants jointsInvariants de chaque sous-espace irreductibleI Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = 2 + 2I Sous-espace E4: un invariant I 24 = 2 + 2I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), Lorbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quelorbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont couplees)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesInvariants jointsInvariants de chaque sous-espace irreductibleI Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = 2 + 2I Sous-espace E4: un invariant I 24 = 2 + 2I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), Lorbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quelorbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont couplees)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesInvariants jointsInvariants de chaque sous-espace irreductibleI Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = 2 + 2I Sous-espace E4: un invariant I 24 = 2 + 2I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), Lorbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quelorbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont couplees)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesInvariants jointsInvariants de chaque sous-espace irreductibleI Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E0 : un invariant I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = 2 + 2I Sous-espace E4: un invariant I 24 = 2 + 2I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), Lorbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quelorbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont couplees)Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesInvariants jointsInvariants jointsI Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quelon peut determiner simplement en travaillant avecz2 = + i et z4 = + i .I On obtient un invariant complexe =z22z4I 24 = z22 z4 = ( + i )2( + i )I Mais attention ! Il est lie aux autres par | |2= I 24 I 42I Dou deux invariants reels :r = Plan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesInvariants jointsInvariants jointsI Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quelon peut determiner simplement en travaillant avecz2 = + i et z4 = + i .I On obtient un invariant complexe =z22z4I 24 = z22 z4 = ( + i )2( + i )I Mais attention ! Il est lie aux autres par | |2= I 24 I 42I Dou deux invariants reels :r = Plan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesInvariants jointsInvariants jointsI Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quelon peut determiner simplement en travaillant avecz2 = + i et z4 = + i .I On obtient un invariant complexe =z22z4I 24 = z22 z4 = ( + i )2( + i )I Mais attention ! Il est lie aux autres par | |2= I 24 I 42I Dou deux invariants reels :r = Plan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesInvariants jointsInvariants jointsI Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quelon peut determiner simplement en travaillant avecz2 = + i et z4 = + i .I On obtient un invariant complexe =z22z4I 24 = z22 z4 = ( + i )2( + i )I Mais attention ! Il est lie aux autres par | |2= I 24 I 42I Dou deux invariants reels :r = Plan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesStructure de lespace des tenseurs delasticiteI Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2, I4, r ) ou(, , I2, I4, i ).I Si I2 = 0 et I4 > 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I4).I Si I2 > 0 et I4 = 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2).I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (, ).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesStructure de lespace des tenseurs delasticiteI Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2, I4, r ) ou(, , I2, I4, i ).I Si I2 = 0 et I4 > 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I4).I Si I2 > 0 et I4 = 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2).I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (, ).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesStructure de lespace des tenseurs delasticiteI Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2, I4, r ) ou(, , I2, I4, i ).I Si I2 = 0 et I4 > 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I4).I Si I2 > 0 et I4 = 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2).I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (, ).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesStructure de lespace des tenseurs delasticiteI Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2, I4, r ) ou(, , I2, I4, i ).I Si I2 = 0 et I4 > 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I4).I Si I2 > 0 et I4 = 0, r = i = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (, , I2).I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (, ).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDetermination dune tranche lineaire globaleI un sous-espace vectoriel S E(2) tel que chaque orbite deSO(2) dans E(2) intersecte S en un point dune orbite dungroupe fini est appele une tranche lineaire globale.I Lexistence dune telle tranche rend letude des tenseursdelasticite beaucoup plus aisee carEla(2) = E(2)/SO(2) = S/ .I on identifie E(2) a lespace R6 des vecteursc =( )T.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDetermination dune tranche lineaire globaleI un sous-espace vectoriel S E(2) tel que chaque orbite deSO(2) dans E(2) intersecte S en un point dune orbite dungroupe fini est appele une tranche lineaire globale.I Lexistence dune telle tranche rend letude des tenseursdelasticite beaucoup plus aisee carEla(2) = E(2)/SO(2) = S/ .I on identifie E(2) a lespace R6 des vecteursc =( )T.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDetermination dune tranche lineaire globaleI un sous-espace vectoriel S E(2) tel que chaque orbite deSO(2) dans E(2) intersecte S en un point dune orbite dungroupe fini est appele une tranche lineaire globale.I Lexistence dune telle tranche rend letude des tenseursdelasticite beaucoup plus aisee carEla(2) = E(2)/SO(2) = S/ .I on identifie E(2) a lespace R6 des vecteursc =( )T.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDetermination dune tranche lineaire globaleI Une tranche lineaire globale estS ={c R6 | = 0},I le groupe fini = Z2 Z2 agissant sur S par(1, 2) ( 0 )T=( 0 1 2 )T.I Lalgebre R[E(2)]SO(2) des invariants des tenseurs delasticiteest generee par un nombre fini de polynomesR[E(2)]SO(2) = R[, , I2, I4, i ] .Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDetermination dune tranche lineaire globaleI Une tranche lineaire globale estS ={c R6 | = 0},I le groupe fini = Z2 Z2 agissant sur S par(1, 2) ( 0 )T=( 0 1 2 )T.I Lalgebre R[E(2)]SO(2) des invariants des tenseurs delasticiteest generee par un nombre fini de polynomesR[E(2)]SO(2) = R[, , I2, I4, i ] .Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesDetermination dune tranche lineaire globaleI Une tranche lineaire globale estS ={c R6 | = 0},I le groupe fini = Z2 Z2 agissant sur S par(1, 2) ( 0 )T=( 0 1 2 )T.I Lalgebre R[E(2)]SO(2) des invariants des tenseurs delasticiteest generee par un nombre fini de polynomesR[E(2)]SO(2) = R[, , I2, I4, i ] .Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesSeparation des orbitesI On obtient lapplication polynomialeP : E(2) R5 : c 7((c) (c) I2(c) I4(c) i (c))T.I Les invariants separent les orbites signifie que lapplicationP induit une application injective P : Ela(2) R5.I En effet, utilisant S , lapplication P est injectiveP0 = P0| || | =I2I4i =| || 2 + 2 |1/22 .Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesSeparation des orbitesI On obtient lapplication polynomialeP : E(2) R5 : c 7((c) (c) I2(c) I4(c) i (c))T.I Les invariants separent les orbites signifie que lapplicationP induit une application injective P : Ela(2) R5.I En effet, utilisant S , lapplication P est injectiveP0 = P0| || | =I2I4i =| || 2 + 2 |1/22 .Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesSeparation des orbitesI On obtient lapplication polynomialeP : E(2) R5 : c 7((c) (c) I2(c) I4(c) i (c))T.I Les invariants separent les orbites signifie que lapplicationP induit une application injective P : Ela(2) R5.I En effet, utilisant S , lapplication P est injectiveP0 = P0| || | =I2I4i =| || 2 + 2 |1/22 .Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeClasse de materiaux en elasticite anisotropeI Le stabilisateur dun tenseur delasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique dunmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeClasse de materiaux en elasticite anisotropeI Le stabilisateur dun tenseur delasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique dunmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeClasse de materiaux en elasticite anisotropeI Le stabilisateur dun tenseur delasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique dunmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeClasse de materiaux en elasticite anisotropeI Le stabilisateur dun tenseur delasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique dunmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau monocliniqueI Un materiau dont le stabilisateur contient une reflexion parrapport a une droite est dit etre monoclinique.I Si la normale a est inclinee dun angle par rapport a laxeOx1, la reflexion m a une representation de Kelvin de laformeM = P1 M P =(1 00 m2).I On decompose c par blocc =(2 ( + ) vTv A).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau monocliniqueI Un materiau dont le stabilisateur contient une reflexion parrapport a une droite est dit etre monoclinique.I Si la normale a est inclinee dun angle par rapport a laxeOx1, la reflexion m a une representation de Kelvin de laformeM = P1 M P =(1 00 m2).I On decompose c par blocc =(2 ( + ) vTv A).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau monocliniqueI Un materiau dont le stabilisateur contient une reflexion parrapport a une droite est dit etre monoclinique.I Si la normale a est inclinee dun angle par rapport a laxeOx1, la reflexion m a une representation de Kelvin de laformeM = P1 M P =(1 00 m2).I On decompose c par blocc =(2 ( + ) vTv A).Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau monocliniqueI Laction de la reflexion sur les coefficients elastiques secritc = M c (M)T =(2 ( + ) (mv)Tmv mAmT).I Le materiau est monoclinique si les coefficients elastiques sontinvariants par une reflexion :v = mv , A = mAmT ,Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau monocliniqueI Laction de la reflexion sur les coefficients elastiques secritc = M c (M)T =(2 ( + ) (mv)Tmv mAmT).I Le materiau est monoclinique si les coefficients elastiques sontinvariants par une reflexion :v = mv , A = mAmT ,Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau monocliniqueI dou les relations : = tan(2) , = tan(4) . (1)I Eliminant entre les deux relations donne la condition pourquun materiau soit monocliniquei = 2 (2 2) = 0 . (2)I Si (2) est verifiee, elles permettent de determiner la valeur de donc le repere de symetrie sil nest pas connu a priori.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau monocliniqueI dou les relations : = tan(2) , = tan(4) . (1)I Eliminant entre les deux relations donne la condition pourquun materiau soit monocliniquei = 2 (2 2) = 0 . (2)I Si (2) est verifiee, elles permettent de determiner la valeur de donc le repere de symetrie sil nest pas connu a priori.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau monocliniqueI dou les relations : = tan(2) , = tan(4) . (1)I Eliminant entre les deux relations donne la condition pourquun materiau soit monocliniquei = 2 (2 2) = 0 . (2)I Si (2) est verifiee, elles permettent de determiner la valeur de donc le repere de symetrie sil nest pas connu a priori.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau orthotropeI Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 2 droites orthogonales est dit etre orthotrope.I Si les relations (1) sont satisfaite pour , elle le sont pour + /2, ce qui montre en 2D quun materiau monocliniqueest orthotrope.I i = 2 (2 2) est une mesure invariante du defautdorthotropie.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau orthotropeI Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 2 droites orthogonales est dit etre orthotrope.I Si les relations (1) sont satisfaite pour , elle le sont pour + /2, ce qui montre en 2D quun materiau monocliniqueest orthotrope.I i = 2 (2 2) est une mesure invariante du defautdorthotropie.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau orthotropeI Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 2 droites orthogonales est dit etre orthotrope.I Si les relations (1) sont satisfaite pour , elle le sont pour + /2, ce qui montre en 2D quun materiau monocliniqueest orthotrope.I i = 2 (2 2) est une mesure invariante du defautdorthotropie.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau tetragonalI Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 4 droites obtenues par rotation successive de /4est dit etre tetragonal.I Un materiau orthotrope est tetragonal si = = 0 (ou siI 22 = 2 + 2 = 0), donc si :c11 = c22 , c23 = c13 .I Pour un materiau orthotrope, I2 est une mesure invariante dudefaut de tetragonalite.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau tetragonalI Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 4 droites obtenues par rotation successive de /4est dit etre tetragonal.I Un materiau orthotrope est tetragonal si = = 0 (ou siI 22 = 2 + 2 = 0), donc si :c11 = c22 , c23 = c13 .I Pour un materiau orthotrope, I2 est une mesure invariante dudefaut de tetragonalite.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau tetragonalI Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 4 droites obtenues par rotation successive de /4est dit etre tetragonal.I Un materiau orthotrope est tetragonal si = = 0 (ou siI 22 = 2 + 2 = 0), donc si :c11 = c22 , c23 = c13 .I Pour un materiau orthotrope, I2 est une mesure invariante dudefaut de tetragonalite.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau isotropeI Un materiau dont le stabilisateur est O(2) lui-meme est ditetre isotrope.I Un materiau tetragonal est isotrope si = = 0 (ou siI 24 = 2 + 2 = 0).I Pour un materiau tetragonal, I4 est une mesure invariante dudefaut disotropie.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau isotropeI Un materiau dont le stabilisateur est O(2) lui-meme est ditetre isotrope.I Un materiau tetragonal est isotrope si = = 0 (ou siI 24 = 2 + 2 = 0).I Pour un materiau tetragonal, I4 est une mesure invariante dudefaut disotropie.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotropeMateriau isotropeI Un materiau dont le stabilisateur est O(2) lui-meme est ditetre isotrope.I Un materiau tetragonal est isotrope si = = 0 (ou siI 24 = 2 + 2 = 0).I Pour un materiau tetragonal, I4 est une mesure invariante dudefaut disotropie.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesConclusions et perspectivesI En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut desymetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.I Perspectives : traiter le cas 3D.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesConclusions et perspectivesI En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut desymetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.I Perspectives : traiter le cas 3D.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesConclusions et perspectivesI En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut desymetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.I Perspectives : traiter le cas 3D.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesConclusions et perspectivesI En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut desymetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.I Perspectives : traiter le cas 3D.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesConclusions et perspectivesI En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut desymetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.I Perspectives : traiter le cas 3D.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de lexposeIntroductionParametrisation de lespace des tenseurs delasticiteInvariants du tenseur delasticiteStructure de lespace des tenseurs delasticiteTranche lineaire globale et separation des orbitesStratification de lespace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectivesConclusions et perspectivesI En 2D, lespace des tenseurs delasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.I Cest une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.I Les invariants i , I2, I4, , separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut desymetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.I Perspectives : traiter le cas 3D.Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve dAscq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de lespace des tenseurs delasticite en 2DPlan de l'exposIntroductionParamtrisation de l'espace des tenseurs d'lasticitInvariants du tenseur d'lasticitInvariants jointsStructure de l'espace des tenseurs d'lasticitTranche linaire globale et sparation des orbitesStratification de l'espace des orbites et classes de matriauxClasse de matriaux en lasticit anisotropeMatriau monocliniqueMatriau orthotropeMatriau ttragonalMatriau isotropeConclusions et perspectives

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