STT 3220: Méthodes de prévision

Travail pratique 10

Hiver 2017

(1) Soit {Zt} un bruit blanc iid N(0,1) et posons

Wt =

{Zt si t est pair,

(Z2t−1 − 1)/

√2 si t est impair.

• Donner la fonction moyenne et la fonction d'autocovariance de la série chronologique

Yt = ZtZt−1.

• Donner la fonction moyenne et la fonction d'autocovariance de la série chronologique

Yt = Zt + Zt−1.

• Montrer que le processus {Wt} est une suite de variables non-corrélées (un bruit

blanc faible) mais que ce n'est pas une suite de variables indépendantes (un bruit

blanc fort) (autrement dit, {Wt} est bruit blanc faible, mais pas un bruit blanc

fort).

• Calculer l'espérance conditionnelle E(Wn+1|W1, . . . ,Wn). Indice: Distinguer les

cas où n est pair et impair et comparer les résultats.

(2) Une proposition a�rme que si {Xt} est stationnaire et admet une dépendance d'ordre

q alors forcément {Xt} admet une représentation MA(q). Considérons Yt = Xt + Wt où

{Xt = φXt−1 + Zt} admet une représentation AR(1), {Zt} est un bruit blanc, et {Wt}est un bruit blanc. On présume que E(WsZt) = 0, ∀t, s.• Montrer que {Yt} est stationnaire et trouver sa fonction d'autocovariance.

• Montrer que {Ut = Yt−φYt−1} admet une dépendance d'ordre un et par conséquent

admet une représentation MA(1).

• Déduire que {Yt} est un ARMA(1,1).

(3) Considérons deux processus gaussiens indépendants; le premier {Xt} admettant une

représentation AR(1), et le second {Yt} admettant une représentation MA(1). Posons

{Zt = Xt + Yt}. Étudier la représentation ARMA(p,q) du processus {Zt}.

1

2

(4) Supposons que {Yt} est un AR(1) dont l'on a ajouté un bruit blanc:

Yt = Xt + bt,

avec

Xt = φXt−1 + at,

où {at} est BB(0,σ2a) et {bt} un BB(0,σ2

b ), et E(asbt) = 0 pour tous s et t.

• Montrer que {Yt} est stationnaire et trouver sa fonction d'autocorrélation.

• Dé�nissez Ut = Yt − φYt−1. Montrer que {Ut} admet une dépendance d'ordre un.

Concluez que {Ut} est une moyenne-mobile d'ordre un.

• Conclure que {Yt} est un ARMA(1,1), et exprimer les paramètres du modèle en

fonction de φ, σ2a et σ2

b .

(5) (Question 6; examen �nal; hiver 2015) Considérons le modèle saisonnier Zt = at +

0.2at−2 − 0.08at−4, avec σ2a = 4. Vous observez Z1, . . . , Zn.

a) Est-ce que le processus est inversible? Est-ce que le processus est stationnaire?

Dans l'éventualité que vous pouvez les déterminer, trouver les poids πj.

b) Décrivez la fonction d'autocorrélation pour tous les délais.

c) Développer des formules a�n de trouver la prévision d'horizon l = 1, . . . , 3, notée au

cours Zn(l). Indication: Votre prévision doit être fonction des données Z1, . . . , Zn.

d) Trouver la variance des erreurs de prévision en c), pour les horizons l = 1, . . . , 3.

(6) (Question 3; examen �nal; hiver 2013) Considérons le processus {Xt} qui s'écrit sous la

forme d'un ARMA(p,q) stationnaire et inversible. On rappelle que BXt = Xt−1. Posons

Yt = (1−B)Xt.

a) Est-ce que que le processus {Yt} est stationnaire et inversible? Justi�ez.

b) Calculer la variance de Yt = (1−B)Xt si:

Xt = at − θat−2,

où {at} est BB(0, σ2a).

c) Calculer la variance de Yt = (1−B)Xt si:

(1− φB2)Xt = at,

3

où {at} est BB(0, σ2a).

d) Discutez les résultats.

(7) (Question 6; examen �nal; hiver 2013) Un analyste désire analyser des données annuelles

obtenues par l'agrégation de données mensuelles. Autrement dit, les données annuelles

sont obtenues en sommant les données obtenues à chacun des mois de l'année. Dénotons

{Zt} le processus observé sur les mois, que l'on présume stationnaire au sens large, et

{WT} le processus observé annuellement.

a) Montrer que WT =∑12T

t=12(T−1)+1 Zt = (∑11

i=0 Bi)Z12T .

b) Est-ce que le processus {WT} est stationnaire au sens large? Justi�ez.

c) Supposons que {Zt} est MA(1), c'est-à-dire une moyenne-mobile d'ordre un. Déter-

miner la fonction d'autocovariance du processus agrégé {WT}.d) Est-ce que le processus {WT} en c) peut s'écrire comme un modèle ARIMA(p,d,q)?

Dans l'a�rmative, trouver les ordres p, d et q.