STT 3220: Méthodes de prévision

Travail pratique 2

Hiver 2017

(1) Dans le numéro 3 du t.p. 1, trouver le meilleur préviseur et le meilleur préviseur linéaire

de Y sachant X. Calculer les EQM de ces deux préviseurs.

(2) Considérons deux variables aléatoires indépendantes. Montrer que E(X|Y = y) =

E(X), quelque soit y, aussi bien dans le cas continu que dans le cas discret.

(3) Montrer que si E(Y |X = x) = E(Y ), quelque soit x, alors X et Y sont non-correlés.

Donner un contre-exemple montrant que la réciproque n'est pas vraie.

(4) Montrer que cov(X, E(Y |X)) = cov(X, Y ).

(5) On considère X et Y deux variables aléatoires conjointement normales de densité:

f(x, y) =1

2πσxσy

√1− ρ2

exp

{− 1

2(1− ρ2)

[(x− µx

σx

)2

+

(y − µu

σy

)2

− 2ρ(x− µx)(y − µy)

σxσy

]}

• Montrer que la loi conditionelle de Y lorsque X = x est normale d'espérance

µy + ρ(σy/σx)(x− µx) et de variance σ2y(1− ρ2).

• Discuter des implications de ce résultat dans la recherche du meilleur préviseur et

du meilleur préviseur linéaire.

• Montrer que la corrélation entre X et Y est ρ.

• Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si ρ = 0.

(6) Supposons que Y admette une loi normale N(µ, σ2).

• Montrer que E|Y − c| = σQ{(c − µ)/σ}, où Q(t) = 2{φ(t) + tΦ(t)} − t. Les

fonctions φ(t) et Φ(t) sont les fonctions de densité et de distribution d'une normale,

respectivement.

• Montrer que µ minimise E|Y − c| comme fonction de c.

(7) Supposons que (X, Y ) est une normale bivariée. Montrer que le meilleur prédicteur,

dans le sens de l'erreur quadratique moyenne, coincide avec le meilleur prédicteur dans

le sens de l'erreur absolue moyenne.1

2

(8) Le meilleur préviseur linéaire de Y basé sur X est donné par µy + ρ(σy/σx)(X − µx).

Ainsi, si E(Y |X) = a + bX, alors montrer qu'il découle que a = µy − ρ(σy/σx)µx et

b = ρσy/σx.

(9) On considère deux stations A et B. On suppose que la station émettrice est A et que

B est donc la station qui reçoit le signal. Le signal d'intensité s émis par A et perçu

par B est une variable aléatoire normale N (s, 1). Cependant, le signal émis par A est

lui-même une variable aléatoire N (µ, σ2), que l'on note S. Le signal observé par B est

noté R.

a) Trouver la loi conjointe de (S, R). Indication: Pour aider l'intuition, vous pouvez

calculer les moments de R et S, et même la covariance entre R et S. Il semble y

avoir beaucoup de normalité dans le problème! Pourquoi ne pas tenter de voir si la

conjointe ne peut pas s'écrire comme en 5)?

b) Trouver la loi conditionnelle de S|R = r.

c) Trouver la meilleure estimation de l'intensité d'émission si l'on enregistre R = r.

(10) (Question 1; examen intra; hiver 2013) Soient X et Y deux variables aléatoires ayant la

fonction de densité suivante:

fXY (x, y) =e−x/ye−y

y, 0 < x < ∞; 0 < y < ∞.

a) Trouver la distribution marginale de Y et la distribution conditionnelle de X

sachant Y .

b) Trouver l'espérance conditionnelle E(X|Y = y).

c) Trouver la covariance entre X et Y .

d) Déterminer la meilleure prévision linéaire a�n de prévoir X à partir de Y = y, ainsi

que l'erreur quadratique moyenne associée.

e) A�n de prévoir X, comparer la réduction en erreur quadratique moyenne lorsque

Y est utilisée a�n de prévoir X, utilisant la meilleure prévision linéaire, compara-

tivement à la situation où Y est ignorée a�n de prévoir X.