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SSUUII TTEE DDEE FFII BBOONNAACCCCII EETT NNOOMM BBRREE DD’’ OORR La suite des entiers de Fibonacci s’écrit 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , …… Chaque terme s’obtient en additionnant les deux nombres précédents . 1 + 1 = 2 , 1 + 2 = 3 , 2 + 3 = 5 , 3 + 5 = 8 , 5 + 8 = 13 … et on continue indéfiniment . Cette suite est apparue en 1202 dans le Liber Abaci publié par Léonard de Pise dit Fibonacci . Elle provient sans doute de recherches plus anciennes menées en Inde et transmises par les arabes .
FFiibboonnaaccccii ((11117755–– 11224400 ))
La suite de Fibonacci intervient de manière naturelle dans la situation suivante où l’on juxtapose successivement des carrés dont les côtés mesurent 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 …. .
En examinant les rectangles qui se forment au fur et à mesure ,
on se rend compte que le rapport longueur
largeur
tend vers une valeur Φ voisine de 1,6 .
s'appelle le nombre d'or Φ
longueur 1 = = 1
largeur 1
longueur 3 = = 1,5
largeur 2
longueur 2 = = 2
largeur 1
longueur 8 = = 1,6
largeur 5
longueur 5 = = 1,666...
largeur 3
longueur 21 = = 1,615 ...
largeur 13
longueur 13 = = 1,625
largeur 8
RECTANGLES D’OR
On dit qu’un rectangle est un rectangle d’or
lorsque longueur
= largeur
En ajoutant un carré Cela signifie aussi que ajoutant un carré , on obtient un nouveau
RECTANGLES D’OR
On dit qu’un rectangle est un rectangle d’or
longueur = Φ .
Cela signifie aussi que si l’on a un rectangle d’or , on obtient un nouveau rectangle
d’or , alors en rectangle d’or .
CALCUL DU NOMBRE D’OR Dans un rectangle d’or si la largeur vaut 1 , alors la longueur est Φ . En juxtaposant un carré de côté Φ , on trouve un rectangle d’or de largeur Φ et de longueur Φ + 1 .
2 + 1On a donc = et par conséquent = +
1
Φ ΦΦ
Φ Φ
2 2
2 2
1L'égalité = + 1 s'écrit 2 = 1
2
1 1 1 5puis = 1 et enfin = .
2 4 2 4
Φ Φ Φ − × × Φ
Φ − − Φ −
1 5 1 5
Il y a deux possibilités = ou = 2 2 2 2
1 + 5 1 5 c 'est à dire = ou = .
2 2
Mais comme est positif , on o
Φ − Φ − −
−− − Φ Φ
Φ 1 5 = btient
2
+Φ
DES RECTANGLES D’OR DANS LE DOMAINE DE L’ART
Léonard de Vinci ( peintre italien - 1452 – 1519 )
Pieter Mondrian ( peintre néerlandais - 1872 – 1944 )
Le Parthénon ( V ème
siècle avant J.C. ) Michel Ventrone ( La porte d’harmonie à Annemasse - 1997 )
LA SUITE DE FIBONACCI EN UTILISANT Xcas
Cet algorithme calcule le terme Fib(n) de rang n dans la suite
de Fibonacci
On calcule les termes Fib(19) , Fib(23) , Fib(200)