7
Suites géométriques Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : reconnaissance d’une suite géométrique, raison et premier terme Exercice 2 : calcul d’une raison et calcul des termes d’une suite géométrique Exercice 3 : somme de termes d’une suite géométrique Exercice 4 : calcul d’une somme et résolution d’une équation polynômiale Exercice 5 : résolution de problème Déterminer si les suites suivantes sont géométriques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite géométrique. 1) 3) ( ) ( ) 2) () 4) () Rappel : Définition d’une suite géométrique Une suite ( ) est une suite géométrique lorsqu’on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul , appelé raison de la suite. On a : . Point méthode : Comment montrer qu’une suite est géométrique ? Pour prouver qu’une suite est géométrique, plusieurs méthodes sont envisageables : s’assurer que n’est jamais nul et montrer que, pour tout entier naturel tel que désigne le rang à partir duquel la suite est définie : Cette réelle (indépendante de ) est appelée la raison de la suite et on la note souvent . utiliser la définition en montrant qu’il existe un réel non nul tel que , pour tout entier naturel tel que Remarque : Cette 2 ème méthode est à préférer car elle permet de s’affranchir de la vérification . montrer qu’il existe deux nombres réels et tels que pour tout entier naturel : désigne la raison de la suite Suites géométriques Exercices corrigés Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile Correction de l’exercice 1

Suites géométriques Exercices corrigés · Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 1) Soit la suite : ;définie pour tout entier

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Suites géométriques Exercices corrigés · Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 1) Soit la suite : ;définie pour tout entier

Suites géométriques – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 1 : reconnaissance d’une suite géométrique, raison et premier terme

Exercice 2 : calcul d’une raison et calcul des termes d’une suite géométrique

Exercice 3 : somme de termes d’une suite géométrique

Exercice 4 : calcul d’une somme et résolution d’une équation polynômiale

Exercice 5 : résolution de problème

Déterminer si les suites suivantes sont géométriques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite

géométrique.

1) 3) ( )

( ) 2) ( )

4) ( )

Rappel : Définition d’une suite géométrique

Une suite ( ) est une suite géométrique lorsqu’on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours

par le même nombre non nul , appelé raison de la suite. On a : .

Point méthode : Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

Pour prouver qu’une suite est géométrique, plusieurs méthodes sont envisageables :

s’assurer que n’est jamais nul et montrer que, pour tout entier naturel tel que où

désigne le rang à partir duquel la suite est définie :

Cette réelle (indépendante de ) est appelée la raison de la suite et on la note souvent .

utiliser la définition en montrant qu’il existe un réel non nul tel que , pour tout entier

naturel tel que

Remarque : Cette 2ème

méthode est à préférer car elle permet de s’affranchir de la vérification .

montrer qu’il existe deux nombres réels et tels que pour tout entier naturel : où

désigne la raison de la suite

Suites géométriques

Exercices corrigés

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

Page 2: Suites géométriques Exercices corrigés · Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 1) Soit la suite : ;définie pour tout entier

Suites géométriques – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

2

1) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par :

Méthode 1 :

Pour tout entier naturel , . En effet, est nul si et seulement si ou .

Or, , et

Pour tout entier naturel , on a donc :

( ) ( )

Le rapport

est constant donc ( ) est une suite géométrique de raison et de 1

er terme .

Méthode 2 :

Pour tout entier naturel ,

( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme .

Méthode 3 :

Pour tout entier naturel ,

( )

( ) est clairement de la forme avec {

.

( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme

.

Remarque : Pour la suite de cet exercice, il sera fait le choix d’une méthode parmi les trois.

2) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par : ( )

Pour tout entier naturel ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme ( ) .

Remarque : - , et , et .

Ne pas confondre ( )

et ( )

Page 3: Suites géométriques Exercices corrigés · Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 1) Soit la suite : ;définie pour tout entier

Suites géométriques – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

3

3) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par : ( ) ( )

Pour tout entier ,

( ) ( ) ( ( ))( ) ( )

Dès lors, soit on reconnait l’écriture d’une suite arithmétique de raison et de premier terme ,

soit on utilise l’une des méthodes vues précédemment.

Remarque : ( ) n’est pas géométrique puisque pour tout entier naturel (

), le rapport de deux termes consécutifs de la suite n’est pas constant :

4) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par : ( )

Pour tout entier ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme ( ) .

Soit une suite géométrique ( ) de raison telle que et . Déterminer .

Rappel : Terme d’une suite géométrique

Soit ( ) une suite géométrique de raison définie pour tout entier naturel où désigne le rang à

partir duquel la suite est définie.

Alors, pour tout entier naturel tel que , on a :

Commençons par déterminer la raison de la suite.

Exercice 2 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 2

Page 4: Suites géométriques Exercices corrigés · Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 1) Soit la suite : ;définie pour tout entier

Suites géométriques – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

4

( ) est une suite géométrique de raison telle que et . Donc :

Or, ou

Remarque : On peut également résoudre l’équation en utilisant la touche √

de la calculatrice. En

fait, il convient de saisir √

et UNE BONNE CALCULATRICE affiche et . Ces résultats signifient que

et sont les racines sixièmes. Malheureusement, la plupart des calculatrices limitent l’affichage à un seul

résultat : !

Autre remarque - Vérification des raisons trouvées :

et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

La suite ( ) est donc une suite géométrique de raison ou de raison .

Déterminons désormais le terme .

( )

Remarque : Un tel résultat montre encore une fois clairement les limites d’une calculatrice, incapable d’écrire

la valeur exacte de !

Déterminer l’entier naturel tel que : .

On donne : .

Or, on reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique ( ) de raison et de

premier terme . En effet :

avec

{

On a alors pour tout entier naturel : .

Autrement dit, le terme général de ( ) est : .

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 3

( )

Page 5: Suites géométriques Exercices corrigés · Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 1) Soit la suite : ;définie pour tout entier

Suites géométriques – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

5

Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique

Soit ( ) une suite géométrique de raison . Alors la somme des termes consécutifs de cette suite est

donnée par la formule :

Autrement dit, avec où désigne le rang à partir duquel la suite ( ) est définie :

Remarque : si , ( )

Ainsi,

( )

Donc, pour tout entier naturel :

( )

L’entier naturel satisfait l’équation donc pour .

Résoudre dans * + l’équation .

Méthode 1 : Résolution à l’aide des résultats sur les suites géométriques

Soit l’expression .

On reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique ( ) de raison et de premier

terme .

En effet, avec (pour tout entier naturel

non nul). On a bien : ; ( ) ; ; etc.

Dès lors, on déduit de l’écriture d’une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme

et de raison que, pour tout * + :

Exercice 4 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 4

Page 6: Suites géométriques Exercices corrigés · Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 1) Soit la suite : ;définie pour tout entier

Suites géométriques – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

6

( )

( )

( ( ) )

( )( )

( ( ) )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

Ainsi,

* +, ( )( )( ) {

{

car, pout tout réel, et .

L’équation admet donc deux solutions réelles : et .

Méthode 2 : Résolution par regroupement et factorisations successives

* +,

( ) ( ) ( )( )

(car , , et ) ( ) ou

L’équation admet donc deux solutions réelles : et .

Remarque : Cette 2ème

méthode est à préférer, certes car elle est plus rapide, mais surtout car elle permet de

résoudre dans et pas uniquement dans * +.

Un forgeron frappe, sans discontinuer, toutes les secondes, un fer à cheval d’épaisseur 1 cm, de sorte à le rendre

deux fois moins épais. A chaque coup, l’épaisseur du métal diminue de 1 %. Quel est le temps minimal

nécessaire au forgeron pour qu’il mène à bien son projet ?

Soit l’épaisseur de la pièce métallique après coups, exprimée en cm.

Avant que le forgeron ne frappe le fer à cheval, c’est-à-dire avant le premier coup, on a : .

Après le premier coup, l’épaisseur de la pièce est telle que a diminué de 1 %.

Autrement dit,

Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 5

Page 7: Suites géométriques Exercices corrigés · Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 1) Soit la suite : ;définie pour tout entier

Suites géométriques – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

7

De même,

Et, de manière générale, en désignant l’épaisseur, en cm, de la pièce après coups :

Comme , ( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme .

Ainsi, pour tout entier naturel , .

Le forgeron cherche à diminuer au moins de moitié l’épaisseur initiale de la pièce. En d’autres termes, il

souhaite que son épaisseur soit inférieure ou égale à 0,5 cm.

Il convient par conséquent de résoudre l’équation (ou bien ).

Procédons par encadrements successifs (arrondis à près) pour trouver la valeur de ( ) minimale

qui satisfait l’inéquation.

Il faut par conséquent au minimum 69 secondes au forgeron pour diminuer de moitié l’épaisseur du fer à

cheval.