Suites Limite de suite réelle Exercices corrigés · Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 D’autre part, , On peut donc

Suites / Limite de suite – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : conjecture de la limite d’une suite définie par une formule explicite

Exercice 2 : conjecture de la limite d’une suite définie par récurrence (avec tableur et algorithme)

Exercice 3 : existence de la limite finie d’une suite (en utilisant la définition)

Exercice 4 : existence de la limite finie d’une suite (en utilisant la définition)

Exercice 5 : divergence d’une suite sans limite : étude de la suite

Exercice 6 : limites de référence : étude des limites des suites et (en utilisant la définition)

Exercice 7 : comparaison des limites de deux suites

Exercice 8 : limite de suite par encadrement (théorème des gendarmes)

Exercice 9 : convergence d’une suite

Exercice 10 : limite d’une suite du type

Exercice 11 : limite d’une suite du type

Exercice 12 : limite d’une suite géométrique

Exercice 13 : suites adjacentes

Exercice 14 : comportement de deux suites dont on connait la limite du produit

Exercice 15 : convergence d’une suite décroissante minorée

Exercice 16 : convergence d’une suite croissante majorée

Exercice 17 : suites arithmético-géométriques (étude complète)

Exercice 18 : série télescopique

Suites – Limite de suite réelle

Exercices corrigés



2

Toutes les suites suivantes sont définies par leur terme général. Préciser leur premier terme et conjecturer leur

limite (si elle existe) :

1) Soit la suite définie pour tout par :

Le premier terme de la suite est avec .

D’autre part,

,

,

,

…

On peut donc conjecturer que la suite admet pour limite.



D’autre part, , , …

On peut donc conjecturer que la limite de la suite est .



D’autre part, ,


4) Soit la suite définie pour tout entier naturel par :

Le premier terme de la suite est avec

.

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

Rappel : Pour tout nombre réel

différent de ,



3

D’autre part,

,


5) Soit la suite définie pour tout entier naturel par :

La suite a pour premier terme tel que

.

D’autre part,

,

On peut donc conjecturer que la suite tend vers .


La suite admet pour premier terme avec .

D’autre part, pour tout entier naturel , . Ainsi, si est pair, alors (nombre

positif) et, si est impair, alors (nombre négatif).

Comme dépend de la parité de , on peut conjecturer que la suite n’admet pas de limite.

Rappel : Convergence ou divergence d’une suite

Une suite qui admet une limite finie est dite

convergente.

Une suite non convergente est dite divergente. Une

suite diverge lorsqu’elle n’a pas de limite finie ou

une limite infinie ( ou ).

Les suites , et semblent

convergentes.

Les suites , et semblent

divergentes.



4

On considère la suite définie par récurrence par

1) Calculer les 6 premiers termes de la suite.

2) A l’aide d’un tableur, donner les valeurs approchées à près des 12 premiers termes de la suite.

3) En déduire une conjecture de la limite de la suite .

4) Ecrire un algorithme, demandant à l’utilisateur de saisir la valeur du premier terme de la suite et

permettant de déterminer le premier entier pour lequel .

1) La suite est définie pour tout . Donc les 6 premiers termes sont , , , , et .

2) Avec un tableur, on peut déterminer la valeur des 12 premiers termes de la suite .

Il suffit d’entrer la valeur initiale dans la cellule

B2, puis de saisir la formule « =B2/2+1 » dans la

cellule B3, ensuite de copier cette formule et enfin

de la coller dans les cellules B4, B5, B6…

A l’aide du tableur, on observe alors que les 12

premiers termes de la suite ont pour valeur

approchée à près :





5

3) D’après les résultats de la question précédente, on peut conjecturer que la suite admet pour

limite.

4) Ecrivons un algorithme avec le logiciel AlgoBox, demandant à l’utilisateur de saisir la valeur du

premier terme de la suite et permettant de déterminer le premier entier pour lequel

. L’algorithme retourne le résultat .

Remarque : La suite est une suite arithmético-géométrique.



6

On considère la suite définie par

.

1) Déterminer un entier naturel tel que, pour tout , .

2) En déduire que la limite de la suite est .

1) Soit la suite définie par

.

Déterminons un entier naturel tel que, pour tout , .

D’une part, on remarque que

et

. Ainsi, en prenant ,

pour tout , on a

, en vertu de la décroissance de la fonction

sur . Autrement dit,

, c’est-à-dire .

D’autre part, pour tout ,

, c’est-à-dire . Il s’ensuit que .

Donc, pour tout , on a et , c’est-à-dire .

2) Montrons que

Rappel : Limite finie d’une suite (définition)

Soit une suite réelle et un réel. La suite a pour limite si et seulement si tout intervalle ouvert

contenant contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang . Dans ce cas, on note :

Considérons un intervalle ouvert contenant . On peut alors écrire cet intervalle sous la forme avec

et .

Soit un entier naturel tel que

. Comme la fonction

est décroissante sur ,

,

c’est-à-dire

. Pour tout , on a alors

, c’est-à-dire .

En outre, on a et donc .

Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen




7

En conclusion, . Autrement dit, pour tout tel que

, . On vient donc de

montrer que, pour tout intervalle ouvert contenant , il existe un entier tel que, pour tout ,

. Tout intervalle ouvert contenant contient donc tous les termes de la suite à partir

d’un certain rang ; par définition, cela signifie que

. La suite converge vers .



8

En utilisant la définition de la limite d’une suite, étudier la convergence de la suite définie par

.

L’énoncé laisse entendre que la suite admet une limite finie puisqu’il y est fait mention de

« convergence ». Calculons quelques termes de la suite pour émettre une conjecture sur le comportement de

cette suite.

Il semble donc que la suite converge vers 2.

Montrons que tout intervalle ouvert contenant 2 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

C’est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en ) (avec réel strictement positif)

contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

D’une part,

est une proposition vraie pour tout entier naturel car et – .

D’autre part,

(car la fonction

est décroissante sur )

Il suffit donc de prendre un entier naturel tel que et pour que .

Autrement dit, la suite converge vers 2.

Exemples :

Si , alors il suffit de prendre un entier naturel tel que

(par exemple ) et,

pour tout entier naturel , .

Si , alors il suffit de prendre un entier naturel tel que

(par exemple

) et, pour tout entier naturel , .

Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen




9

Justifier que la suite n’a pas de limite.

Soit la suite définie par . Montrons qu’elle n’a pas de limite, c’est-à-dire montrons :

1) qu’elle n’a pas de limite finie 2) qu’elle ne tend pas vers 3) qu’elle ne tend pas vers

Rappel : Limite infinie d’une suite (définition)

Soit une suite réelle et un réel.

La suite tend vers si et seulement si tout intervalle ouvert contient aussi tous les

termes de la suite à partir d’un certain rang .

La suite tend vers si et seulement si tout intervalle ouvert contient aussi tous les

termes de la suite à partir d’un certain rang .

1) Montrons que la suite n’admet pas de limite finie.

Si est pair, alors et, si est impair, alors . Ainsi, la suite est une suite alternée

prenant successivement les valeurs et .

Considérons un intervalle ouvert d’amplitude inférieure strictement à . Cet intervalle ne peut donc contenir à

la fois et . Autrement dit, cet intervalle ne peut donc pas contenir tous les termes à partir d’un certain

rang. Il en résulte, par définition, que la suite ne peut avoir une limite finie. La suite diverge.

2) Montrons que la suite ne tend pas vers .

La suite ne peut pas tendre vers car l’intervalle ne contient pas les termes de la suite

, de valeur , c’est-à-dire ne contient pas tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

3) Montrons que la suite ne tend pas vers .

La suite ne peut pas tendre vers car l’intervalle ne contient pas les termes de la suite

, de valeur , c’est-à-dire ne contient pas tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

En conclusion, la suite définie par , n’admettant pas de limite finie et ne tendant ni vers

ni vers , n’a pas de limite.





10

Démontrer les limites de référence suivantes :

1) Démontrons que :

Soit un réel strictement positif. Montrons que l’intervalle ouvert contient tous les termes à partir

d’un certain rang .

Comme , (car la fonction est croissante sur ), c’est-à-dire .

Posons alors par exemple . Ainsi, à partir du rang , on a . Il en résulte

que

.

Rappel : Partie entière d’un réel

Soit un réel. On appelle partie entière de , notée , le nombre entier tel que .

Exemples :

car

car

2) Démontrons que :

Montrons que tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.


contient tous les termes

de la suite à partir d’un certain rang .

D’une part, comme et comme ,

D’autre part,

(car la fonction

est décroissante sur et car )

Posons alors par exemple . Ainsi, à partir du rang , on a

. Il en résulte, par

définition, que

.

Exercice 6 (1 question) Niveau : facile




11

On considère les suites et respectivement définies par récurrence par :

1) Comparer et pour tout .

2) Si les suites et ont des limites finies respectives et , que peut-on dire de et ?

3) Ecrire un algorithme permettant de conjecturer la limite de chacune des suites.

1) Comparons et pour tout .

D’une part, et . Donc . D’autre part,

et

. Donc

. On peut donc conjecturer que, pour tout , . Vérifions cette conjecture à l’aide d’un

raisonnement par récurrence.

Rappel : Principe du raisonnement par récurrence

Soit une proposition définie sur un intervalle de . Soit .

Si :

1) la proposition est initialisée à un certain rang , c’est-à-dire si est vraie au rang

2) la proposition est héréditaire à partir du rang , c’est-à-dire si, pour tout tel que , on a

l’implication

Alors :

3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que .

Soit la proposition définie sur par : : .

Vérifions tout d’abord que la proposition est initialisée.

On a montré que donc est vraie. Par conséquent, la proposition est initialisée au rang .

Montrons désormais que la proposition est héréditaire.

Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c’est-à-dire supposons que (hypothèse de

récurrence), et montrons alors que est vraie, c’est-à-dire montrons que . Pour ce faire,

étudions le signe de .



Une proposition est un

énoncé, soit vrai, soit faux.



12

Or, par hypothèse, , c’est-à-dire, . D’autre part,

. Donc . On a donc

bien , c’est-à-dire vraie.

On vient donc de montrer que, pour tout , si est vraie au rang , alors est vraie au rang

. Autrement dit, la proposition est héréditaire.

Finalement, on vient d’établir que est vraie et que, pour tout , .

Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, en

vertu du principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On

a donc pour tout .

2) Comparons et .

D’après 1), pour tout , .

Si, de plus, on a d’une part et

d’autre part, alors .

Remarque importante : On ne peut surtout pas

conclure que . En effet, en prenant par

exemple et définies par

et

, on a pour tout , mais

.

Rappel : Comparaison des limites de deux suites

Soient deux suites réelles et et soit un

entier naturel.

Si, pour tout ,

(ou )

admet une limite finie

admet une limite finie

Alors .

3) Ecrivons un algorithme permettant de

conjecturer la limite de chacune des suites.

Autrement dit, écrivons un algorithme permettant de

calculer et (avec supposé assez

grand) en demandant à l’utilisateur de renseigner le

de son choix (dans l’exemple ci-après,

l’utilisateur cherche à calculer et , c’est

pourquoi il saisit ).



13

En utilisant cet algorithme, on peut donc conjecturer que les deux suites et tendent vers

(valeur sans doute arrondie).



14

Etudier la limite de la suite définie par :

Rappel : Théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d’encadrement)

Soient , et trois suites de nombres réels et soit un réel.

Si, pour tout entier supérieur à un certain entier ,

Alors,

Pour tout , .

La fonction étant croissante sur donc sur , on a alors .

La fonction étant croissante sur donc sur , on a alors .

De plus, pour tout , .

Ainsi, il résulte que :

, c’est-à-dire

.

Or,

et

Donc, d’après le théorème des gendarmes,





15


Démontrer à l’aide de deux méthodes différentes

que la suite converge vers .

Montrons que la suite converge vers .

1ère

méthode : utilisation de la définition

Montrons que tout intervalle ouvert contenant 0 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.


contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

D’une part,

est une proposition vraie pour tout entier naturel car et – .

D’autre part,

(car la fonction est décroissante sur

)

(car la fonction est croissante sur )

Il suffit donc de prendre un entier naturel tel que

et pour que .

Autrement dit, la suite converge vers 0.

2ème

méthode : utilisation des opérations sur les limites





16

Etudier la limite des suites et respectivement définies par :

Rappel : Limite d’une suite du type

Soient une fonction définie sur un intervalle et la suite définie par . Soit

.

Si

, alors

.

1) Etudions la limite de la suite .

La suite est de la forme où est une fonction rationnelle définie sur et, en

particulier sur , par

. Or, on a :

Ainsi,

. La suite converge donc vers

.

2) Etudions la limite de la suite .

est de la forme où est une fonction définie sur par .

Pour tout , .

On a

et

; d’où, par produit,

. Par somme, il vient que

.

Ainsi,

. La suite diverge donc vers .





17

Etudier la limite de la suite définie par

.

Rappel : Limite d’une suite du type

Soient une fonction définie sur un intervalle et une suite telle que . Les lettres et désignent

soit un réel, soit soit .

Si

et si

, alors

.

Etudions la limite de la suite définie par

.

Soit la suite définie, pour tout entier naturel non nul, par

.

Alors où est la fonction trigonométrique définie sur par .

D’une part,

. Or,

donc, par somme,

.

D’autre part,

.

Ainsi,

. La suite converge donc vers

.





18

Préciser la limite de la suite définie par

Pour tout ,

On reconnait entre parenthèses la somme des premiers termes d’une suite géométrique de premier terme

et

de raison

.

Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique

Soit une suite géométrique de raison . Alors la somme des termes consécutifs de cette suite est

donnée par la formule :

Autrement dit, avec où désigne le rang à partir duquel la suite est définie :

On a par conséquent :

Rappel : Limite de la suite géométrique

Soit un réel.

Si alors la suite converge et

Si alors la suite est constante et

Si alors la suite diverge et

Si alors la suite diverge et n’a pas de limite

Or, donc

. Ainsi, par somme,

. La suite converge vers .





19

On considère les suites et définies par :

1) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la

raison.

2) Quelle est la limite de la suite ?

3) Démontrer que les suites et sont adjacentes.

4) En déduire qu’elles sont convergentes.

5) Démontrer que la suite définie par est constante. Qu’en déduire pour les suites

et ?

1) Démontrons que la suite est une suite géométrique.

Pour tout entier naturel ,

La suite est donc géométrique de raison

et de premier terme .

2) Précisons la limite de la suite .

On a vu que est une suite géométrique de raison

. Or,

; par

conséquent,

. Cette suite converge vers .

3) Démontrons que les suites et sont adjacentes.

Rappel : Suites adjacentes (définition)

Deux suites sont adjacentes si et seulement si :

l’une de ces suites est croissante

l’autre de ces suites est décroissante

la suite (ou la suite ) converge vers

Exercice 13 (6 questions) Niveau : moyen




20

Tout d’abord, montrons que l’une de ces suites est croissante et que l’autre est décroissante.

Or, d’après 1), la suite est géométrique de raison

et de premier terme donc, pour tout

, . Par conséquent, . La suite est donc croissante.

Comme, pour tout , , . La suite est donc décroissante.

Désormais, montrons que la suite converge vers . Il se trouve que ce résultat a déjà été établi à

la question précédente puisque

.

De ces 3 résultats, il vient que les suites et sont adjacentes.

4) Justifions que les suites et sont convergentes.

Rappel : Convergence de suites adjacentes

Soient et deux suites adjacentes.

Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite ( ).

D’après la question précédente, ces suites sont adjacentes donc elles convergent vers une même limite ( ).

5) Démontrons que la suite définie par est constante. Pour tout , on a :

Donc la suite est constante. Dès lors, il résulte que, pour tout ,

.

Déduisons de ce résultat la limite des suites et .

Comme toute suite constante converge, est convergente vers .

Comme, par ailleurs, les suites et sont convergentes vers une même limite , on peut écrire

que :

c’est-à-dire . Il résulte de cette équation que

.

Les suites et convergent donc vers .



21

On considère deux suites et à valeurs dans telles que

. Montrer que les

suites et ont le même comportement.

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel ,

, c’est-à-dire

, c’est-à-dire

1) Etudions le comportement de la suite .

, c’est-à-dire . Comme , il vient

finalement que : .

La suite est donc encadrée par les suites et . Or, d’après l’énoncé,

,

donc est encadrée par deux suites qui convergent vers 1. D’après le théorème des gendarmes, la suite

est donc convergente et

.

2) Etudions le comportement de la suite .

, c’est-à-dire . Comme , il vient

finalement que : .

La suite est donc encadrée par les suites et . Or,

, donc est

encadrée par deux suites qui convergent vers 1. D’après le théorème des gendarmes, la suite est donc

convergente et

.

3) On vient d’établir que

: les suites et ont le même

comportement.



Remarque importante :

On ne peut écrire ni

ni

, tant que l’existence de la

limite des suites et n’a pas été

prouvée.



22


1) Prouver que pour tout entier naturel .

2) Etudier la monotonie de la suite.

3) Justifier la convergence de la suite.

4) Conjecturer une expression de en fonction de puis la démontrer.

5) En déduire la limite de .

1) Montrons que, pour tout , .

Soit la proposition définie sur par : : .

Vérifions tout d’abord que la proposition est initialisée.

et donc . est donc vraie. Par conséquent, la proposition est initialisée au rang .


Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c’est-à-dire supposons que (hypothèse de

récurrence), et montrons alors que est vraie, c’est-à-dire montrons que .

Par hypothèse, donc (car la fonction est croissante sur ), c’est-à-dire

.

Comme la fonction est croissante sur (donc sur ), on a , c’est-à-dire

.

Du fait de la décroissance et de la positivité de la fonction

sur (donc sur ), il vient que

, c’est-à-dire

.

Enfin, par hypothèse, . D’où

. C’est-à-dire .

On vient donc de montrer que, pour un entier naturel fixé, si est vraie au rang , alors est

vraie au rang . Autrement dit, la proposition est héréditaire.

On vient d’établir que est vraie et que, pour tout , . Autrement dit, on

vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d’après le principe du





23

raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On a donc pour

tout .

2) D’après ce qui précède, pour tout , donc la suite est décroissante.

3) Justifions la convergence de la suite.

D’après la première question, . Autrement

dit, la suite est minorée par . De plus,

d’après la question précédente, elle est décroissante.

Il en résulte que est convergente.

Rappel : Convergence des suites monotones

Toute suite croissante et majorée est

convergente.

Toute suite décroissante et minorée est

convergente.

4) Conjecturons une expression de en fonction de .

Pour cela, calculons les 4 premiers termes de la suite .

On remarque que

,

,

et

. On peut donc conjecturer que, pour tout

entier naturel ,

.

Désignons par la proposition définie sur telle que :

.

Vérifions tout d’abord que cette proposition est initialisée.

On vient de montrer que

donc est vraie. La proposition est initialisée au rang .




24

Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c’est-à-dire supposons que

(hypothèse

de récurrence), et montrons alors que est vraie, c’est-à-dire montrons que

.

On vient donc de montrer que, pour un entier naturel fixé, si est vraie au rang , alors est

vraie au rang . Autrement dit, la proposition est héréditaire.

On vient d’établir que est vraie et que, pour tout , . Autrement dit, on

vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d’après le principe du

raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On a donc

pour tout .

5) Pour tout ,

.

Or,

,

et

. Par conséquent,

.

La suite converge vers .



25

Démontrer que la suite définie par

est convergente.

Montrons que la suite est convergente, c’est-à-dire montrons tout d’abord que la suite est croissante,

puis qu’elle est majorée.

1) Pour tout entier naturel non nul,

Ainsi, . La suite est donc une suite croissante.

2) Pour tout entier naturel tel que ,

Ainsi, comme , , c’est-à-dire . La suite est majorée par 2.

3) La suite est croissante et majorée donc elle converge vers un réel tel que .

Remarque :

On peut montrer que

.

Exercice 16 (1 question) Niveau : difficile


On appelle séries de Riemann les

suites définies, pour , par :



26

Etudier le comportement des suites arithmético-géométriques définies par

Remarque : Les suites arithmético-géométriques sont également appelées suites récurrentes linéaires d’ordre 1.

Tout d’abord, commençons par traiter les quelques cas particuliers.

1) Si ,

Alors (pour tout entier naturel ). La suite est donc stationnaire à partir du rang et

pour tout entier naturel non nul. La suite admet donc pour limite.

2) Si et ,

Alors . La suite est constante et . La suite admet donc pour limite.

3) Si et ,

Alors . La suite est donc arithmétique de raison et de premier terme . On a alors, pour

tout entier naturel , . La suite diverge donc vers si ou vers si .

4) Si et ,

Alors . La suite est donc géométrique de raison et de premier terme . On a alors, pour

tout entier naturel , .

Dans ce cas,

Si , la suite diverge vers si ou vers si .

Si , la suite diverge et n’a pas de limite.

Si ,la suite converge vers 0.

Désormais, abordons le(s) cas où .

L’idée de la démarche consiste à trouver une suite géométrique de raison , obtenue par la différence des

suites et , respectivement définies par .

En effet, .

En considérant par exemple que la suite est une suite constante telle que , on obtient

.

Exercice 17 (1 question) Niveau : difficile




27

Comme , il résulte que

. La suite définie par , c’est-à-dire par ,

est alors une suite géométrique de raison et de premier terme .

On en déduit alors que, pour tout entier naturel , .

Dès lors, il vient de que , c’est-à-dire .

Ainsi, plusieurs cas sont à distinguer.

5) Si ,

Alors . La suite est constante et converge donc vers

.

6) Si et ,

Alors la suite diverge vers si , c’est-à-dire si , ou diverge vers si ,

c’est-à-dire si .

7) Si et ,

Alors la suite diverge et n’a pas de limite.

8) Si et ,

Alors la suite converge vers

.



28

Etudier la limite de la suite définie sur par :

Remarquons tout d’abord que, pour tout entier naturel non nul :

1)

2)

3)

4)

5)

Ainsi, nous avons pour tout :

Or,

. Donc, par somme,

La suite converge vers 1.



On appelle série télescopique la somme des termes

d’une suite qui s’annulent de proche en proche.

La série télescopique correspondante à une suite est donc la somme de la forme suivante :

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