Suites numériques : généralités – Exercices corrigés

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Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 1 : définition d’une suite, notion de rang et termes d’une suite

Exercice 2 : calcul avec les termes d’une suite

Exercice 3 : relation de récurrence

Exercice 4 : sens de variation d’une suite (monotonie : croissance ou décroissance)

Pour chacune des suites suivantes de terme général , indiquer à partir de quel rang elles sont définies puis

calculer la somme des 3 premiers termes.

1) 2)

Rappel : Définition d’une suite numérique

Une suite numérique est une fonction définie sur (ou un intervalle de ) et à valeurs dans . Elle

peut être définie :

par une formule explicite :

par récurrence :

désigne l’ensemble des entiers naturels :

1) Soit la suite définie par :

est définie si et seulement si existe, c’est-à-dire si et seulement . Or, cette condition est vérifiée

pour tout .

est donc définie pour tout entier naturel .

Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :

Suites numériques – Généralités

Exercices corrigés

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

Par convention, pour tout réel,

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2) Soit la suite définie par :

est définie si et seulement si . Or, avec, d’une part, pour tout

entier naturel et, d’autre part, pour tout entier naturel .

est donc définie pour tout entier naturel .

Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :

3) Soit la suite définie par :

est définie si et seulement si . Or, . Seul le facteur peut être

nul dans puisque, pour tout entier naturel , .

est donc définie pour tout entier naturel .

Remarque : Même si existe a priori, comme n’est pas définie pour , alors la suite n’est définie

qu’à partir du rang 2.

Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :

Remarque : On peut observer que, pour tout entier naturel , on a :

A l’aide de cette expression, on calcule rapidement les différents termes de la suite : ; etc.

4) Soit la suite définie par :

est définie si et seulement si .

On dit aussi que la

suite est définie à

partir du rang 4.

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est donc définie sur .

Calculons désormais et , les 3 premiers termes de :

Soit la suite définie pour tout entier naturel par :

Vérifier que le rapport

est indépendant de n.

est la suite définie pour tout entier naturel n par :

Ainsi :

D’où :

Le

rapport

est donc constant.

Montrer que la suite définie pour tout entier naturel par vérifie la relation de récurrence

.

Soit la suite définie pour tout entier naturel par .

Alors,

Exercice 2 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 2

Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 3

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Autrement dit,

Remarque : Il était également possible de comparer et après avoir calculé ces deux

expressions séparément.

Etudier le sens de variation des suites suivantes.

1) 2)

Rappel : Sens de variation d’une suite

Uns suite est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si on a pour tout entier naturel où la

suite est définie : (respectivement ).

Point méthode : Monotonie d’une suite (croissance ou décroissance)

Pour montrer qu’une suite est monotone, c’est-à-dire croissante ou décroissante, on peut opter pour

l’une des méthodes suivantes :

1- étudier le signe de la différence

si , la suite est croissante

si , la suite est croissante

2- étudier le signe du quotient

à condition que les termes de la suite soient strictement positifs

si

, la suite est croissante

si

, la suite est croissante

3- si la suite est de la forme et si est monotone sur , alors la suite est monotone à

partir du rang .

Remarque : Ces résultats sont identiques avec des inégalités strictes ; on parle alors de stricte croissance ou de

stricte décroissance.

Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 4

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1) Soit la suite définie par :

Etudions le sens de variation de la suite , définie pour tout .

Or, pour tout entier naturel , donc .

Par conséquent, la suite est croissante pour tout .

2) Soit la suite définie par :

Etudions le sens de variation de , définie pour tout .

Pour tout entier naturel , donc .

Par conséquent, la suite est croissante pour tout .

3) Soit la suite définie par :

est définie si et seulement si (condition vérifiée pour tout entier naturel ) et (condition

également vérifiée car pour tout entier naturel ).

Etudions le sens de variation de , définie pour tout .

Etudions le signe de ce quotient pour tout .

D’une part, . D’autre part, .

Enfin, pour tout entier naturel , et (car la fonction est strictement

croissante sur donc sur ). Ainsi, .

Par conséquent, . Autrement dit, la suite est croissante pour tout .

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4) Soit la suite définie par :

est définie pour tout et, par définition de cette suite, .

Or,

Le signe de dépend donc du signe de . Comme , alors pour

tout entier naturel .

En conclusion, est croissante à partir du rang .